En el presente documento se lleva a cabo una investigación acerca del Teorema de Taylor, su teorema de convergencia y sus aproximaciones mas un ejemplo.Descripción completa
informe métodos numéricos, método de series de taylor
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Descripción: Encuesta
Descripción: es la tabla modificada y ordenada lo mejor posible ojala y les guste el asunto...
aqui se encuentran algunas integrales directas k pueden ser de utilidad.
Descripción: analisis matematico
CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DE TAYLOR
x 3 x 5 x 7 sen sen x = x − + − 3! 5! 7! senx senx dx
¿
1
∫¿ 0
Integramos cada término de la serie x 3 x 5 x 7 sen sen x = x −∫ dx +∫ dx −∫ dx 3! 5! 7 ! dx
[
][
x 2 1 x 4 + sen sen x = − ∗ 2 6 4!
¿
¿
1
20
][
x 6 − 6!
∗
1
x 8 8!
∗
5040
]
x 2 x 4 x 6 x8 ⌉ evaluado evaluado de 0 a 1 − + − 2 2 4 720 40320 ¿
[
]
1 1 1 1 − + − − 0 =0.45969 VA 2 24 720 40320
[ ]
senx senx dx =−cos x + c ] ev aluadode 0 a 1 =⌈ −0.99985 ⌉ − [−1 ] =1.5 x 10−04= 0.00015 VV
¿
1
∫¿ 0
Ejemplos de ejercicios resueltos Ejercicio 1: Escribir la fórmula de Taylor de orden 5 alrededor del origen (serie de Maclaurin para la función: f(x ! e x senx"
#$%& 1:
$l ser de orden 5 deberemos reali'ar las cinco primeras deriadas de la función) y dado *ue nos situamos alrededor del origen deberemos calcular f(+) f,(+)f-(+ . f--,(+" En este caso nos encontramos con *ue nuestra función es una combinación de la función e x y la función senx) por tanto podemos reali'ar este paso por separado para posteriormente combinar los resultados"
#$%& /: 0ecordemos *ue una e' reali'adas las deriadas deberemos aplicar la siguiente fórmula:
Teniendo en cuenta *ue nos encontramos alrededor del origen) a en este caso ale +" por tanto nos *uedara algo como lo siguiente:
#$%& 2: #or 3ltimo) dado *ue 4emos reali'ado los pasos anteriores por separado para cada función) a4ora toca unirlos) dado *ue se nos pide la fórmula de Taylor de
orden 5) todos a*uellos resultados cuyo exponente sea superior a 5 sern ignorados" por tanto si por ejemplo tenemos x 2" x6 ! x7) este no formara parte del polinomio final) pues su exponente es mayor *ue 5" 8omo tenamos f(x ! e x senx) tendremos *ue multiplicar los resultados anteriores:
#ara terminar el ejercicio simplemente faltara simplificar la expresión de arriba por ejemplo reali'ando las sumas y restas"
Escribaaquí la ecuación.
9na funcion *ue no tiene antideriada (es decir no la puedes integrar por los metodos conocidos) llmese sustitucion) por partes) uniersal) etc" %e puede expresar como una sucesion de la serie de tailor f(x! f(x+ (x ; x+ f<(x+ (x;x+=/ f<<(>+ ? /@ """" (x;x+=n f=n (x+ ? n@ """" Es decir imaginemos *ue tu *uieres expresar la serie de Taylor de e=x en el punto + (eso es super importante el punto f(x! e=x f(x! f(x+ (x ; x+ f<(x+? (x;x+=/ f<<(>+ ? /@ """" (x;x+=n f=n (x+ ? n@ """" f(x!e=(+ (x ; + e=(+?/@ (x ;+=2 e=(+ ? /@ """"" (x;+=n ? nA f(x! 1 x x=/ ?/A x=2?2A x=n ? nA Eso se define como Ba sumartoria desde i!+ 4asta n de >=n ? nA Es decir no tienes *ue 4acer el proceso solo debes aprenderte la ultima formula""" $4ora para *ue te sire eso"""" bueno es para integrar funciones *ue no tienen antideriada) por ejemplo e=x=/ (e eleado a la x al cuadrado por mas *ue intentes no podras integrar eso"
Entonces expresas la funcion como una serie de taylor es decir e=x ! >=n ? nA e=x=/ ! (>=/=n ? nA Integral(e=x=/! Integral (>=/n?nA $4ora solo tienes *ue integrar un polinomio y la respuesta es: Integral(e=x=/! (>=/n 1 ? nA(/n1 1"; 8alcule la serie de maclaurin para
"
%olución
%i para toda x) por tanto) ecuación de maclaurin se tiene la serie de maclaurin:
para toda n" as) de la
&btenga la serie te Taylor para sen x en a" si C(x ! sen x) entonces CD(x ! cos x) CDD(x ! ;sen x) CDDDD(x ! ;cos x) as sucesiamente" e este modo) de la fórmula
(x ! sen x) y de Taylor) la
serie
de
Taylor re*uerida se obtiene del teorema serie de Taylor"
2.-Utilizando la defnición de desarrollo de Taylor ( ó de MacLaurin ) se obtiene:
f ( z ) = e z •
f ( n ) ( z ) = e z f ( n ) (0) = 1 . Es entera y ,
Sea
z
e
z
1
1!
2
z
2!
n
...
n!
z n 0
n!
Lueo:
N
n
z
...
∀n ∈
R
!
"n#loa$ente: 3
senz z •
z
3!
5
z
5!
... ( 1 )
n
2n 1
z
( 2 n
1 )!
n 2n 1
( 1 ) z
... n 0
( 2 n
1 )!
R
!
2
cos z
4
z
1
z
2!
... ( 1 )
4!
2n n z
n 2n
( 2 n )!
( 1 ) z
...
( 2 n )!
n 0
R
,
•
2n
2n 1
z
Shz
( 2 n n 0
Chz
1 )!
R
n 0
,
•
z
( 2 n )!
!
R
,
%.- &o$o consecuencia de los anteriores es in$ediato 'ue or ee$lo:
e
∞
−z
=
∑
n n
( −1) z
e
n!
n =0
3z
∞
=
R = ∞
∑
n n
3 z
n=0
n!
R = ∞
•
e
∞
z2
=
∑
∞
z 2n
sen5z =
n! n =0
R = ∞
(−1) n 5 2n +1 z 2n +1
∑
(2n + 1)!
n =0
R = ∞
•
*.- " artir de la serie eo$+trica 1
2
1 z •
n
1 z z
... z
n
...
z
R
n 0
1
, ueden obtenerse de or$a in$ediata: 1 1
z
1
2
z z
n n
...
( 1 ) z
n n
...
( 1 ) z
R
n 0
!
•
1
2
4
1 z
2
z
6
z
...
1 z
n 2n
( 1 ) z
R
n 0
!
•
1 9−z •
1
2
=
1
1 − ( z3)
1 z 1 + 9 3
2
9 2
=
4 ∞ z 2n z + + ... = ∑ 2n + 2 3 n = 0 3
