Un pequeño proyecto en el cual se usa la serie de Taylor-Maclaurin en PythonDescripción completa
Descripción: Trabajo de las Series de MacLaurin y Taylor
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Descripción: Las oraciones relativas en griego clásico
Applications of Taylor series in chemistry
Instituto Tecnológico de Aguascalientes Departamento de Ingeniería Eléctrica Electrónica Métodos numéricos
ERROR
Un error es una incertidumbre en el resultado de una medida. Se define como la diferencia entre el alor real !r " una apro#imación a este alor !a$
e =Vr – Va E#isten diferentes tipos errores% cada uno se puede e#presar en forma absoluta o en forma relatia. Error absoluto
Es la diferencia entre el alor de la medida " el alor tomado como e#acto. &uede ser positio o negatio% seg'n si la medida es superior al alor real o inferior (la resta sale positia o negatia). Tiene unidades% las mismas *ue las de la medida. El error absoluto de una medida no nos informa por sí solo de la bondad de la misma. Es eidente% *ue no es igual de grae tener un error absoluto de 1 cm al medir la longitud de una carretera *ue al medir la longitud de un folio.
Es el cociente (la diisión) entre el error absoluto " el alor e#acto. Si se multiplica por 1++ se obtiene el tanto por ciento (,) de error. Al igual *ue el error absoluto puede ser positio o negatio (seg'n lo sea el error absoluto) por*ue puede ser por e#ceso o por defecto. -o tiene unidades.
En matemticas matemticas%% una serie de Ta"lor es una apro#imación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como
( x −a )n
llamados términos de la serie% dic/a suma se
calcula a partir de las deriadas deriadas de de la función función para un determinado determinado alor o punto
a suficientemente
deriable sobre la función " un entorno sobre el cual coner0a la serie. Si esta serie est centrada sobre el punto cero
a =0 % se le denomina serie de Maclaurin.
Esta apro#imación tiene tres enta0as importantes$
1
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la deriación e integración de una de estas series se puede reali2ar término a término% *ue resultan
•
operaciones triiales3
•
se puede utili2ar para calcular alores apro#imados de funciones3
•
es posible calcular la óptimidad de la apro#imación
4a serie de Ta"lor de una función f real o comple0a ƒ( x) infinitamente diferenciable en el entorno de un n'mero real o comple0o a es la siguiente serie de potencias$
*ue puede ser escrito de una manera ms compacta como la siguiente sumatoria$
% Donde$ •
n! es el factorial de n
•
f (n)(a) denota la n5ésima deriada de f para el alor a de la ariable respecto de la cual se deria.
4a deriada de orden cero de f es definida como la propia f " tanto ( x 6 a)+ como
son ambos definidos
como 1 ( 7 1). En caso de ser a 7 +% como "a se mencionó% la serie se denomina también de Maclaurin. 8abe destacar *ue en una serie de Ta"lor de potencias centrada en a de la forma puede /acer el cambio de ariable para e#presarla como
(con lo *ue
en la función a desarrollar original)
centrada en +. 4uego /a" *ue des/acer el cambio de ariable. &or e0emplo% si
se *uiere desarrollar la función
alrededor de a 7 1 se puede tomar
desarrollaría
centrada en +.
SERIE DE FUNCIONES DE SENO Y COSENO
x
4a función e#ponencial real ∞
x
e
=∑ n=0
1
n!
x
e
dice *ue
n
Esto da pie a definir la función e#ponencial comple0a mediante la fórmula siguiente$
siempre se
% de manera *ue se
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∞
1
e : =∑ z
n!
n= 0
z
n
Es sencillo comprobar *ue el radio de conergencia de la serie anterior es infinito% " por tanto la serie conerge absolutamente en
C .
&or otro lado se erifica z
w
e e =e
z+ w
para cada
z , w ∈ C
8ual*uier producto de las correspondientes series es absolutamente conergente% en particular lo es el producto de 8auc/" *ue proporciona ∞
z
e e
w
=∑ n= 0
1
n!
( z + w )n e z +w
Esta igualdad es clae para definir de forma analítica las funciones trigonométricas. x
0
1.
8omo
e =1 % si #
∈ :
se tiene
− x
e e
x
=1
% con lo *ue la función e#ponencial
e
no se
anula% siendo% de /ec/o positia% "a *ue para # ; + lo es. En consecuencia su deriada es positia " la lim
función es estrictamente creciente% siendo .
x
e
=∞
x → ∞
"
x → − ∞
z = x + iy ,con x, y ∈ R % como consecuencia se tiene
Si
x + iy
e
=e x e iy ∞
Utili2ando la conergencia absoluta de la serie
∑ = n 1
n
n
i x n!
se puede escribir
Se define entonces las funciones seno " coseno por las fórmulas
9
lim
x
e
=0
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&ara todo
x ∈ R % puesto *ue el radio de conergencia de las series es infinito. En particular supuesto *ue
z = x + iy ,con x, y ∈ R se obtiene la formula
2
= como
|e iy| =1
se tiene
De la ecuación anterior se obtiene% en particular *ue
|senx|≤ 1 y |cos x|≤ 1
. A partir de las series de
potencias *ue las definen% sobre deriación término a término% se obtienen las deriadas de dic/as funciones " *ue seno es una función impar% mientras *ue coseno es una función par.
