ESTUDIO DEL MOVIMIENTO TEORICO DE UN SISTEMA MASA-RESORTE
Julian Alexander ipia troche! "ordan #iraldo! lina $aria re%e& $era
[email protected],
[email protected] [email protected], jhrealpe@unicauc a.edu.co Facultad Ingenieria Civil Departamento de Física Ingeniería Civil y automatica Laoratorio de Fisica de Fluidos !niversidad del Cauca "opay#n
Palabras claves: estático. Oscilación, ley de Hooke, masa-resorte, masa-resorte, elasticidad, frecuencia, amplitud, constante elástica, fuerza de restitución.
1.
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'l propó propósit sito o es analiz analizar ar la oscila oscilació ción n de un sistema masa- resorte, y los conceptos de este sistema como la constante elástica, la frecuencia de oscilación y el periodo del movimiento del resorte resorte donde a nivel e(periment e(perimental al puede ser )allada mediante la modificación de variables del sistema, tales como la amplitud, la constante de elasticidad y la masa. *a práctica en el laboratorio debe proporcionarnos +ráficas en las ue se puede lle+ar a comprobar lo ocurrido en este sistema y relacionar los conceptos de la constante elástica, la frec frecuen uencia cia de oscila oscilació ción n y el period periodo o del movimiento.
. /#& /#&O O "'O "'O# #&O &O 's indi indisp spen ensa sabl blee tene tenerr clar claro o una una seri seriee de concep conceptos tos teóric teóricos os básico básicoss ue son 0tiles 0tiles al realiz realizar ar nuestr nuestraa serie serie de e(peri e(perime mento ntoss en el labora laborator torio, io, los cuales cuales sirve sirven n de apoyo apoyo para para analizar y comprobar los resultados conse+uidos y por tanto, cuanto se acerca a nuestra base teórica teórica para de esta esta forma forma obtener obtener el menor menor ran+o de errores de la e(perimentación Hay Hay ue ue empe empeza zarr defi defini nien endo do:: frec frecue uenc ncia ia,, amplitud, constante elástica, oscilación, fuerza de restitución, ley de Hooke.
Oscilaci Oscilación: ón: e denomina oscilación oscilación a una variación, perturbación o fluctuación en el tiem tiempo po de un medi medio o o sist sistem ema. a. i el fenómeno se repite, se )abla de oscilación periódica. 'n f2sica, u2mica e in+enier2a, movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición posición central, central, o posición posición de euilibrio.
3recuencia: *a frecuencia mide la cantidad de vueltas ue se dan en un per2odo de tiempo. /mplitud: /mplitud: 's la distancia distancia má(ima entre el punto más ale4ado de una onda y el punto de euili euilibri brio o o medio5 medio5 la amplit amplitud ud de un movimiento oscilatorio, ondulatorio es una medid edidaa de la var variac iación ión má(im (ima del del desplazamiento u otra ma+nitud f2sica ue var2a periódicamente en el tiempo 3uer 3uerza za de rest restit ituc ució ión: n: una una defo deform rmac ación ión elás elásti tica ca de un ob4e ob4eto to,, por por e4em e4empl plo o un resorte o muelle, la fuerza ue 6ste e4erce tendiente a restituirlo a su forma ori+inal se llama llama fuerza fuerza de restitución. restitución. *a fuerza fuerza de restitu restitució ción n es react reactiva iva,, es decir decir,, es una reacción del ob4eto ante una fuerza activa ue lo tiende a deformar. Por ello es i+ual en módulo, pero con sentido contrario a la fuerza ue ori+ina la deformación. &onstante 'lástica: %na constante elástica es cada uno de los parámetros f2sicamente medibles ue caracterizan el comp compor orta tami mien ento to elás elásti tico co de un sóli sólido do deformable elástico-lineal. *ey de Hooke: *a constante k del muelle cara caract cter eriz izaa su ri+i ri+ide dez. z. 'l si+n si+no o meno menoss indica ue se trata de una fuerza rest restau aura rado dora ra55 es deci decirr se opon oponee a la dire direcc cción ión del del desp despla laza zami mien ento to.. 'sto 'sto se conoce como la ley de Hooke dada por la e(presión: ' ( -)*
= i la amplitud A de las oscilaciones es tal ue se cumple la ley de Hooke, entonces el periodo de la oscilación está dado por la relación
89
'i+ura ,. odelo del sistema masa 7 resorte: 8a9 Posición del resorte sin estirarlo5 8b9 Posición media; del resorte estirado5 8c9 Posición a la ue se lleva el resorte manualmente, y desde la cual se suelta5 8d9 Oscilaciones del resorte alrededor de la posición media del resorte estirado.
'n la 3i+ura 1a se )a representado un resorte suspendido verticalmente, de cuyo e(tremo libre cuel+a un portapesas. $enominemos *o la lon+itud medida desde el punto de suspensión del resorte )asta el e(tremo libre del portapesas. /l a+re+ar una masa $ al portapesas, el resorte se estirará ba4o la acción del peso 3
la masa del resorte participa en la dinámica del sistema de una manera comple4a, ya ue todas las part2culas del resorte no oscilan de la misma manera. e puede demostrar por consideraciones de variación de ener+2a cin6tica y potencial elástica del sistema oscilante, ue 1>? parte de la masa del resorte participa en la dinámica de la oscilación. Por tanto $e será nuestra masa del resorte.
8?9
?.
'"O$O '@P'#'!"/*
Materiale&
- Aalanza. - Bue+o de pesas completo. - &ronómetro +raduado en C.C1s. - #esortes muy livianos. - Portapesas. - #e+la de 1m +raduada en mm. - oporte universal.
819
'l si+no ne+ativo indica ue la dirección de la fuerza aplicada sobre el resorte es de sentido contrario al desplazamiento e(perimentado por el sistema. = i el sistema de la 3i+ura 1b se desplaza manualmente una distancia A )acia aba4o o )acia arriba con respecto a la posición de euilibrio *, el sistema oscilará alrededor de * con una amplitud A, tal como se muestra en las 3i+s. 1c-d. 'l análisis matemático demuestra ue: = i se desprecia la fuerza de rozamiento5 = i se desprecia la masa del resorte5
*a 3i+ura ilustra esuemáticamente la +eometr2a del arre+lo e(perimental. 'l sistema consta de un resorte 819 suspendido verticalmente de un soporte 8D9. $el e(tremo libre del resorte 819 cuel+a un platillo portapesas 8?9 sobre el ue se pueden colocar pesas adicionales, constituyendo la masa del sistema. /dicionalmente se contaba con una re+la
milimetrada anclada al soporte en el punto de amarre. 'l resorte )ace oscilar verticalmente a la masa con un cierto periodo, el cual se mide con el cronómetro di+ital. 3.1. $%todo est#tico & $edici'n de la constante el#stica(
= $eterminar la masa del resorte y la masa del sistema portapesas lámina de aluminio con la ayuda de la balanza. = /rmar el monta4e e(perimental indicado en la 3i+ura anterior. edir el estiramiento 8elon+ación9 ue e(perimenta el resorte cuando al portapesas se le a+re+a una masa de m<1CC + y observar la posición del portapesas con la ayuda de la re+la, ase+urarse ue sus o4os están al mismo nivel de la lámina.
*a e(actitud de la medida del tiempo está limitada por la velocidad de reacción del observador, la cual es de C. se+ para iniciar el cronómetro y C. se+. para detenerlo. •
/l desplazar el resorte de su posición de euilibrio, verifiue ue su desplazamiento sea solo vertical y ue no se le )a dado un impulso adicional, por e4emplo, un movimiento torsional alrededor del e4e del resorte. •
G. #'%*"/$O "/A*/ G.1. $atos e(perimentales metodo estatico.
•
= $eterminar la masa total mt
= *levar los datos obtenidos a la tabla. G.1. ). $%todo din#mico & $edici'n de la constante el#stica(
!o. Ob s
asa HI+J -
prom
E
-
prom
1
C.1
C.1
C.1
C.KL
C.KL
C.KL
C.?GL C.?GL C.?GL
C.
C.
C.
1.KM
1.KM
1.KM
C.?DD C.?DM C.?DM
?
C.?
C.?
C.?
.KG
.KG
.KG
C.?MG C.?MG C.?MG
G
C.G
C.G
C.G
?.K
?.K
?.K
C.?F1 C.?F C.?F
D
C.D
C.D
C.D
G.K
G.K
G.K
C.?L
M
C.M
C.M
C.M
D.LL
D.LL
D.LL
C.?LF C.?LF C.?LF
F
C.F
C.F
C.F
M.LM
M.LM
M.LM
C.?KM C.?KM C.?KM
Poner en el portapesas una masa de FCC + y con la ayuda del cronómetro, mida el tiempo de 1C oscilaciones completas, ? veces para esta masa y calcule el tiempo promedio. $ivida el tiempo promedio por el n0mero de oscilaciones para obtener el periodo ". = #e+istre en la tabla G. el valor de " vs. la masa total suspendida al resorte.
= Para medir el tiempo es conveniente ue accione el cronómetro despu6s de l as ? primeras oscilaciones del sistema.
'lon+ación @ HmJ
E
•
= #epitir los dos pasos anteriores, disminuyendo paulatinamente la masa al portapesas, )asta lle+ar a CC +. Precauciones para eliminar el error sistemático.
Peso H!J
."/A*/ .
E
-
prom
C.?FK C.?FK
// HI +J
"-1C osc HsJ
" s J
D.M
D.M
C.DM C.F?1
C.M
G.F?G
G.F?G
C.GF?G
C.G1
C.D
G.M
G.M
C.GM
C.1FLM
C.G
G.1K
G.1K
C.G1K1
C.1FDF
C.?
?.MG
?.MG
C.?MG
C.1?D
C.
?.C
?.C
C.?C
C.CK1
C.F
"- 1 osc HsJ
" Hs-J
Para encontrar el valor de la constante de elasticidad usamos el m6todo de re+resión lineal con la ecuación 8?9. #ealizamos la +rafica " vs m. 'l valor de k esta dado por la pendiente de esta +rafica. Para encontrar ", )allamos el promedio de los cuatro tiempos re+istrados, y posteriormente lo dividimos entre el numero de oscilaciones 8D oscilaciones.9 para obtener el periodo, el cual elevamos al cuadrado.
Parte 1: edición de k con el metodo estatico.
Para encontrar el valor de la constante de elasticidad usamos el m6todo de re+resión lineal con la ecuación #ealizamos la +rafica ' .& x, donde '($+/ 'l valor de 0 esta dado por la pendiente de dic)a +rafica.
$e la +rafica obtenemos una función lineal, cuyo valor de la pendiente es G.D?D , por lo tanto
Incertidu$1re de 02
Para encontrar la incertidumbre de la constante obtenida, )allamos las derivadas parciales de la ecuación anterior, ue uedar2a e(presada de la si+uiente forma:
'ncontramos el Nk para cada una de las masas y lue+o )allamos Nk promedio.
"/A*/ ?. edición de las masas en forma ascendente y descendente con el dinamómetro calibrado.
D.
/!/* $' #'%*"/$O
Por lo tanto, el valor de la constante de elasticidad encontrado por el m6todo estático es:
Para el valor de k, usamos el promedio de los dos valores encontrados 8metodo estatico y dinamico9. ncertidumbre relativa
*a incert. relativa del valor de 0 obtenidoes del C.CK, lo ue nos indica ue fue un resultado con muy buena precisión, teniendo en cuenta ue estos resultados se ven afectados por distintos factores
Parte : edición de k con el metodo
'l valor te'rico de
Error2
$inamico. $espues del procedimiento se obtiene los valores de las masas $ y los tiempos para D oscilaciones, los cuales estan re+istrados en la tabla . Para encontrar el valor de la constante de elasticidad usamos el m6todo de re+resión lineal con la ecuación 8?9. #ealizamos la +rafica T3 .& $. 'l valor de 0 esta dado por la pendiente de esta +rafica. Para encontrar ", )allamos el promedio de los cuatro tiempos re+istrados, y posteriormente lo dividimos entre el numero de oscilaciones 8D oscilac.9 para obtener el periodo, el cual elevamos al cuadrado.
e presento una diferencia de C,CDD entre el valor e(perimental y el teórico de
error euivale al 1CL, ue puede deberse a la propa+ación de los errores, ya ue de al+0n modo las diversas operaciones ue se usaron van aumentando el error, y tambi6n debido a errores ue se presentan a la )ora de re+istrar los datos, errores en los cálculos, y otros factores ue afectan los resultados del e(perimento.
M. ERROR A4SOLUTO 5 RELATIVO DE 02
'l valor de teorico de k esta dado por el valor encontrado mediante el procedimiento estatico.
•
Para encontrar el valor e*perimental de , usamos el intercepto de la +rafica ,
, cuyo
&O!&*%O!'
/l realizar este laboratorio de masa - resorte pudimos ver ue el valor de la constante de elasticidad 8I9, )allado de manera teórica 8por met. estático9 fue muy similar al obtenido de manera e(perimental 8por met. dinámico9 lo cual nos dice ue en este caso la teor2a concuerda muy bien con la práctica, donde obtuvimos una diferencia de C,1F ue euivale al ?,FG. -Por el m6todo estático la constante nos dio mas precisa comparado con la dinámica , debido a ue en el primer procedimiento se realizo menos mediciones comparado con el se+undo, además entre menos variables ten+a la formula a utilizar menor es la propa+ación de
errores. *a precisión del k 8m6todo dinámico9 fue de 1.?F y la del estático fue de C.CK. -'n un sistema masa-resorte, el periodo depende del coeficiente de elasticidad del resorte, y de la masa del peso ad4unto al mismo, además ambos factores son directamente proporcionales, como vimos en la +rafica " vs m, donde a medida ue aumenta la masa total del resorte tambi6n aumenta el periodo del mismo. -&uando se traba4a con un sistema de masaresorte, +eneralmente se desprecia la masa del resorte, ya ue no afecta muc)o en el sistema .'n este caso se considero ue esta masa influir2a en nuestros resultados, por lo tanto fue necesario incluirla en las formulas para tener una mayor e(actitud, a la ue llamamos mef , ue euivale a 1>? parte de la masa del resorte ue es la fracción de esta masa ue participa en la dinámica de la oscilación.
#'3'#'!&/ •
"omas, /. oore, 32sica eis deas 3undamentales. &#/Q H**.
•
erRay, #aymond /. y 4eRett, 32sica , tomo 'ditorial ")omson.
