FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRICA Y ELECTRÓNICA
ALUMNOS: BERROSPI ALVARADO, FREDDY 20110218E MOGROVEJO CAHUI, JULIO ERNESTO 20072102I PERALTA BENITES, VICTOR ANTONIO 20127051A
TRABAJO: EXPERIMENT EXPERIMENTO O 02 (MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE)
ABRIL 2012
I-OBJETIVOS:
Determinar la constante de fuerza de un resorte. Verificar experimentalmente las leyes del Movimiento Armónico Simple.
II-EQUIPO:
Un resorte Una base y soporte universal Una tira de papel milimetrado Un cronómetro Cuatro masas de aproximadamente 150, 200, 250 y 500 gramos
Un clip (cómo indicador de la posición de “m”).
III-FUNDAMENTO TEÓRICO: El movimiento armónico simple es un movimiento vibratorio con aceleración variable, producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio. Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza recupperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese movimiento de vaivén. Observando el movimiento del resorte, vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio, de equilibrio. La distancia desde el punto medio a cualquiera de los extremos la l a llamamos AMPLITUD y la representamos por A. La posición que ocupa la bola roja en cada momento con respecto al punto central la conocemos como ELONGACIÓN, x. El tiempo en realizar una oscilación completa es el PERÍODO, representado por T y medido en segundos. La FRECUENCIA es el número de oscilaciones por segundo que realiza y la representamos por n. Para definir el movimiento tenemos que calcular su ecuación, donde veremos la relación entre las magnitudes que intervienen e influyen sobre él. Como cualquier movimiento, debemos encontrar una ecuación que nos relacione la posición (x) con el tiempo, t iempo, es decir, encontrar la expresión de la posición en función del tiempo. Para ello vamos a partir de dos leyes muy conocidas en Física: - Ley de Hooke: que determina que la fuerza recuperadora re cuperadora del resorte es proporcional a la posición y de signo contrario. La expresión de la ley le y es: F = - Kx - La 2ª ley de Newton: que nos viene a decir que toda aceleración ac eleración tiene su origen en una fuerza. esto lo expresamos con la conocida: F = ma Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración acele ración del movimiento, lo que supone que ambas fuerzas, expresadas arriba, son iguales. Luego:
donde hemos expresado la aceleración como la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo. A partir de esta est a ecuación encontramos dos soluciones para el valor de la posición en función del tiempo: x = A sen(wt + q) y x = A cos(wt + q) siendo x la elongación, A la amplitud, w la pulsación o frecuencia angular y q el desfase, que nos indica la discrepancia entre el origen de espacios (pinto donde empezamos a medir el espacio) y el origen de tiempos. El valor de la frecuencia angular está relacionado con la constante recuperadora por la ecuación que viene a continuación:
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS
A partir de la ecuación de la posición o elongación (partimos de la 1ª ecuación de la de arriba) y, derivando con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la velocidad en el MAS: v = A w cos(wt + q) Modificando ligeramente esta ecuación encontramos una expresión de la velocidad en función de x, la elongación:
Derivando con respecto al tiempo la velocidad, obtenemos la ecuación de la aceleración en el MAS: a = - A w 2 sen(wt + q) de la que podemos obtener también una ecuación que la relaciona con la posición: a = - A w2 Con las expresiones de la velocidad y de la aceleración acel eración podemos calcular fácilmente los valores máximos de ambas y los puntos de la trayectoria donde se dan estos valores. Quedan resumidos en la siguiente tabla: Magnitud
Ecuación
Condición máximo
Se da en
Velocidad Aceleración Aceleración
a=-Aw
X=0
El punto de equilibrio
X = A (X es máximo) máximo)
En los puntos puntos extremos extremos
RESUMIDAMENTE: El Movimiento Armónico Simple de una masa “m” es establecido cuando sobre dicha
masa actúa una fuerza
(16.1)
En nuestro caso F es la fuerza recuperadora del resorte, “x” es la deformación del resorte a partir de la posición de equilibrio y “k” e s la constante de la fuerza del resorte.
El signo menos indica que F actúa en sentido contrario a la deformación. La ecuación (16.1) en términos de la aceleración da lugar a:
x=0 (16.2) Cuya solución general es
(16.3)
De donde
(16.4) Entonces:
Combinando las ecuaciones (16.5), (16.4) y (16.1) se s e obtiene:
(16.5)
(16.6) Teniendo en cuenta que F/x es constante deducimos que la frecuencia depende de la masa “m”.
Para dos masas suspendidas del mismo resorte se obtiene:
(16.7)
En el trabajo de laboratorio esta ecuación requiere requier e una corrección incrementando al valor de las masas, un tercio de la masa del resorte.
IV- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL: 1.- En el soporte universal cuelgue el resorte y de éste suspenda las masas. Marque con el indicador y sobre la hoja de papel milimetrado, milimetr ado, la posición de la masa “m”.
2.- Mida la deformación del resorte al suspender de él y una por una de las masas de 150 g, 200g,250g,500g 200g,250g,500g más combinaciones por 350 g y 450 g. Para medir la elongación x del resorte deje oscilar la masa hasta el reposo. Construir una tabla (TABLA (TABLA 1). 3. Suspenda del resorte la masa de 100g y a partir de la posición de equilibrio dé un desplazamiento hacia abajo y suelte la masa para que oscile y cuando se estabilicen las oscilaciones determine el número de oscilaciones en 60 ó 90 segundos. Repita tres veces para diferentes dif erentes amplitudes. Construya una tabla con los datos (TABLA 2). 4. Repita el paso 3 para las otras tres marcas restantes.
(SE ESTÁN ADJUNTANDO LAS TABLAS 1 Y 2 EN EL INFORME)
V-CÁLCULOS Y RESULTADOS: 1.- Determine la constante del resorte promediando los resultados del paso 2.
Con los datos obtenidos en el paso 2, se construyó la siguiente tabla:
m1=741,45g m2=746,15g m3=994,15g m4=1006,6g
t1(s) 10,91 11,02 12,67 12,7
Sabemos:
Despejando tenemos:
Según esto tendríamos:
t2(s) 10,87 11,09 12,66 12,7
t3(s) 10,95 10,99 12,73 12,67
#oscilaciones 15 15 15 15
Periodo(s) 1,37 1,36 1.18 1,17
√
K=22,17
2.- Determine la frecuencia promedio con cada una de las masas y compare:
La diferencia porcentual es 1.59%.
La diferencia porcentual es 0.676%.
La diferencia porcentual es 0.858%.
La diferencia porcentual es 1.853%.
1.349
La diferencia porcentual es 0.353%.
1.0125
La diferencia porcentual es 1.185%.
3. Adicionando a cada masa un tercio de la masa del resorte vuelva a comparar las razones del paso 2. m : masa del resorte m=52.8g.
La diferencia porcentual es 1.59%.
La diferencia porcentual es 0.151%.
La diferencia porcentual es 1.615%.
La diferencia porcentual es 1.268%.
La diferencia porcentual es 0.311%.
La diferencia porcentual es 1.166%.
4. Calcule la frecuencia para cada masa utilizando la siguiente ecuación y compare el resultado con las frecuencias obtenidas experimentalmente.
√ Frecuencia teórica
k=0.638N/m
Frecuencia experimental
f 1=0.1084rad/s
f 1=1.375rad/s
f 2=0.109rad/s
f 2=1.36rad/s
f 3=0.11691rad/s
f 3=1.1823rad/s
f 4=0.11693rad/s
f 4=1.182rad/s
5. ¿Como reconocería si el movimiento de una masa que oscila, cumpleun movimiento armónico? Esto dependerá del contexto en el que nos encontremos, a simple vista podríamos apreciar algún movimiento oscilatorio que cuente concierta armonía y este podría describirse como movimiento armónico,pero para confirmar este hecho tendríamos que conocer los rasgosfísicas con que cuenta(podemos extender este concepto para
otrosmovimientos) y si estas cumplen con las ecuaciones ecu aciones del MovimientoArmónico y para estar aún mas seguros, este tiene que contar conpequeñas oscilaciones que no afecten en demasía su forma“armoniosa” de movimiento.
6. ¿Que tan próximo es el movimiento estudiado aquí, a un movimientoarmónico simple? El movimiento armónico en sistemas físicos ideales cumple lascondiciones para ser un M.A.S.; el movimiento aquí presentado varialigeramente con un M.A.S. debido a ciertas perturbaciones como lafuerza de resistencia del aire y un movimiento errático del sistemabloque-resorte peroesto lo afecta enmenor medida y esto serefleja al calcular elporcentaje de error alutilizar las ecuacionesdel M.A.S. con los datos obtenido.
7. Haga una grafica del periodo al cuadrado versus la masa.Utilíce los del paso 2.
VI-CONCLUSIONES: •Las deformaciones sufridas por un resorte
y el periodo deoscilación del mismo
son proporcionales a la masa. ectúa un movimiento armónico simple puesto que eldesplazamiento de la •La masa ef ectúa masa desde el punto de equilibrio, varia en eltiempo, es decir se mueve periódicamente respecto a su posición deequilibrio. •La aceleración es proporcional al desplazamiento de la masa apartir del equilibrio y
está en la dirección opuesta. La aceleración esvariable. Cuando la masa pasa por la posición de equilibrio, suaceleración se hace cero y su velocidad es máxima puesto que la masaoscila entre dos puntos de retorno.
resorte dividido entre el peso de la masa suspendida de un sistema masa-resorte nos da como resultado laconstante de fuerza fuerz a del resorte utilizado para el movimiento.
•La elongación del
•El periodo no
depende de la amplitud del movimiento.
•Un movimiento periódico es el desp lazamiento de una partícula de talmanera que a
intervalos de tiempo iguales se repita con las mismas características.
VII-BIBLIOGRAFÍA: Física universitaria ; Sears , Zemansky , Young , Freedman ; AdisonWesley Pearson Educación ;undécima edición ; Pág. 476 – 493 . Mecánica Vectorial para Ingenieros Dinámica ,R.C.Hibbeler ; PearsonPrentice Hall , décima edición ;Pág. 605 – 609 618 – 619
