Movimiento Armonico Simple (1)

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

1. Si cons consid ider eram amos os la so soluc lució ión n del del MAS: MAS: x=AC x=ACos os((ωt+α) ¿Cuál es la cons consta tant ntee de fase fase α?. Si la osición de la art!cula oscilante en el instante t=" es: a) "# $) %A# c) A# A# d) A&' A&' SOLUCION

x=ACos(ωt+α)

t=" ⇒ x=ACos(α)

a) x=" ⇒ ACos(α)=" ⇒ α=π&' $) x=A ⇒ ACos(α)=A ⇒ Cos(α)=1 α=π rad c) x=A x=A ⇒ ACos(α)=A ⇒ Cos(α)=1 α=" d) x=A& x=A&' ' ⇒ ACos(α)=A&' ⇒ Cos(α)=1&' α=π& rad '. *n MAS tiene la ráfica ráfica ,ue se muestr muestraa en la fiura. fiura. -etermin -eterminar ar las ecuaciones de la osición# elocidad / aceleración. y

0

x

1

(1.#") '

0

SOLUCION

-e la fiura: A=0 cm 1#02=1# s ⇒ 2=

2 π

ω

⇒ ω=

de donde la frecuencia anular: 2 π

T

=

2 π 6/5

=

5 π 3

rad&s

3uesto ,ue el moimiento emie4a en el extremo /=0# φ= Ing. Orlando Paredes Acuña (94922924!

"

π 2

rad

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

5as ecuaciones en función del tiemo: ωt + ¿

• 3osición: x=ASen • 6elocidad: =

⇒ x=0Sen

¿

dy dt

=AωCos

• Aceleración: a=

Sen

3

'

=Aω Sen 2

a=

125 π 9

⇒ =

¿

25 π

= dv dt

ωt + ¿

(

5 πt π + 3 2

) cm=0Cos ( ) cm Cos ( + ) cm&s 5 πt 3

25 π

5 πt π 3 2

3

( ) cm&s 5 πt 3

2

ωt + ¿

⇒ a=

¿

125 π 9

Cos ( ) cm&s 5 πt 3

Sen

(

5 πt π + 3 2

) cm&s

'

'

. Se sa$e ,ue una art!cula art!cula reali4a reali4a un moimiento moimiento armónico armónico simle. simle. Si la elocidad máxima es ' m&s / la aceleración máxima es de 7 m&s ' determine la frecuencia anular / la amlitud del moimiento. SOLUCION

5a elocidad máxima: max=Aω=' 5a aceleración máxima: amax=Aω'=7 -iidimos am$as exresiones:

Aω 2

A ω

=

2 4

⇒ ω=' rad&s

5a frecuencia anular: ω=' rad&s 2

5a amlitud: A=

ω

=

2 2

=1 m

7. *n oscilador oscilador armónico armónico consta consta de una masa de "#' "#' 8 / un resorte ideal ideal con una constante constante de fuer4a 8=17" 9&m. Calcular: Calcular: a) l eriodo. eriodo. $) 5a frecuencia de i$ración. c) 5a frecuencia anular. an ular. SOLUCION

-atos: m="#' 8 8=17" 9&m a) 5a constante constante elástica: elástica: 8=mω' ⇒ 17"="#'ω' ⇒ ω=';#7; rad&s l eriodo: 2=

2 π

ω

=

2 π 26,46

="#'<0 s

Ing. Orlando Paredes Acuña (94922924!

2

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE 1

$) 5a frecuencia: f=

T

1 0,2375

=

=7#'1 4

c) 5a frecuen frecuencia cia anular: anular: ω=';#7; rad&s 0. *n o$>et o$>eto o está anim animad ado o de MAS MAS con un eri eriod odo o de π&' s / amlitud A="#7 m. n t=" el o$>eto está en x=". ¿A ,u distancia está de la osición de e,uili$rio en t=π&1" s?. SOLUCION

l eriodo: 2=

2 π

ω

=

π 2

⇒ ω=7 rad&s

5a amlitud: A="#7 m

5a ecuación del moimiento: x=ASen(ωt+φ) ero t=" x="

φ="

x="#7Sen(7t)

3ara t=

π 10

s

⇒ x="#7Sen ( ) ="# m 4 π 10

;. 5a o osi sici ción ón de un unaa art art!c !cul ulaa ien ienee dada dada o orr x=(0 x=(0 cm)C cm)Cos os(7 (7πt) en donde t está dado en seundos. ¿Cuál es: a) 5a frecuencia de i$ración. $) l er!odo. c) 5a amlitud del moimiento de la art!cula. d) ¿Cual es el rimer instante desus de t=" en ,ue la art!cula está en su osición de e,uili$rio?. ¿n ,ue sentido se está moiendo en ese instante? SOLUCION

-atos: x=(0 cm)Cos(7πt) a) 5a frecuenci frecuenciaa de i$ración i$ración:: ω=7π rad&s ⇒ $) l eriodo: c) 5a amlitud amlitud del moimiento: moimiento: A=0 A=0 cm d) x=(0 x=(0 cm)Cos( cm)Cos(7 7πt)= x=(0 cm)Sen(7πt+π&') sto indica ,ue el moimiento se inicia en el extreme. l tiemo de ia>e de un amlitud es: moindose a la i4,uierda. <. *na $arra de 1 m de lonitud lonitud /  8 de masa oscila oscila susendida susendida de uno uno de sus extremos. allar el eriodo de las oscilaciones de e,ue@a amlitud anular.


#


SOLUCION

-atos: 5=1 m m= 8 3ndulo f!sico: 2='π '

-onde: ="+mB = 5ueo: 2='π

√

√

mL

I mgh

2

+m

12

() L

2

=

2

mL

2

3

=

3 3

'

=1 8.m B=

L 2

=

1 2

m

1 3g

() 1 2

=1#;7 s

. *na masa se fi>a en el extremo li$re de un resorte ertical cu/a constante es 8=0"" 9&m. Si la masa se desla4a 0 cm de su osición de e,uili$rio / se suelta cuando t=" oscila con una frecuencia de 1' 4. scri$ir las ecuaciones del desla4amiento# elocidad / aceleración en función del tiemo. Calcular tam$in el alor de la masa oscilante. SOLUCION

-atos: 8=0"" 9&m A="#"0 m f=1' 4 φ=

π 2

rad

(se suelta desde el extremo) 5a frecuencia anular: ω='πf='π(1')='7π rad&s 5a masa oscilante: 8=mω' ⇒ 0""=m('7π)'

⇒ m="#"< 8

5as ecuaciones en función del tiemo:

• 3osición: x=ASen

ωt +¿

¿

⇒

x="#"0Sen (

24 πt +

π 2

)

m

x="#"0Cos('7πt) m

• 6elocidad: =

dy dt

=AωCos

ωt +¿


¿

4


=1#'πCos ( dv dt

• Aceleración: a= '

a=;π Sen

(

24 π t +

π 2

) m&s

ωt +¿

'

=Aω Sen

24 π t +

π 2

)

⇒ =1#'πSen('7πt) m&s ¿

m&s' ⇒ a=;π'Cos('7πt) m&s'

. *n resorte de masa desrecia$le# se estira 0 cm cuando se susende de su extremo li$re un eso de 1"" 9. -eterminar la frecuencia de i$ración del resorte cuando sostiene en su extremo un eso de '7"9. SOLUCION

-atos: D=1"" 9 x="#"0 m 5a constante del resorte: D=8x ⇒ 1""=8("#"0) ⇒ 8='""" 9&m 240

ABora con el eso de '7" 9: 240

'"""=

m=

g

8 ⇒ si 8=mω'

'

ω ⇒ ω=#"7 rad&s ⇒

g

f=

❑ 2

=

9,04 2

=1#77 4

1". Se tira Bacia $a>o de una masa de '#0 8 ,ue está susendida de un resorte de constante 8=7" 9&m / desus desla4arlo 1' cm or de$a>o de la osición de e,uili$rio se suelta. -eterminar: a) 5a ener!a total de la masa. $) 5a ener!a cintica / otencial cuando t="#; s. c) ¿n ,u instante la ener!a cintica ale los &7 de la ener!a total? SOLUCION

a) 5a ener!a total: *=

kA 2

2

=

40 ( 0,12 ) 2

2

="#' E

$) 5a ecuación de la osición: x=ASen(ωt+φ) '

-onde: 8=mω (extremo) x="#1'Sen

(

4 t +

π 2

)

'

⇒ 7"='#0ω

⇒ ω=7 rad&s

ara t="#; s ⇒ x="#1'Sen


A="#1' m

[

π

φ=

2

π

4 ( 0,6 )+

2

rad

] ="#" m

$


5a ener!a otencial: *3=

kx

2

=

2

40 (−0,089 )

2

="#10 E

2

5a ener!a cintica: *C=*2*3="#'"#10="#1" E c) 5a ener!a cintica ale los &7 de la ener!a total: *C =

3 4

'

'

mv

*3 ⇒ '

A ω Cos

(

4 t +

2

π 2

)=

( )

2

3 kA 4 2

= 3 4

'

2

⇒

'

m[AωCos

(

'

ωA ⇒

Cos

4 t +

π 2

(

)=

4 t +

3

π 2

) ]= '

3 4

⇒ Cos

4

mω'A'

(

4 t +

π 2

)=

√ 3 2

7t+

π 2

=π+

π 6

⇒ t=

π 12

s

11. *n oscilador armónico está formado or un $lo,uemuelle. 5a masa del $lo,ue es "#07 8 / la constante elástica del muelle 8=1'0 9&m. mie4a a funcionar a artir de una osición extrema con una ener!a mecánica de "#01 E. a) 5a amlitud del moimiento. $) 5a elocidad / aceleración máximas. c) 5a elocidad / aceleración en el momento ,ue su desla4amiento es 0 cm. d) 5a ener!a cintica / otencial en el instante ,ue Ba transcurrido el tiemo t=2&1;. SOLUCION

-atos:

8=1'0 9&m m="#07 8 *="#01 E

a) 5a amlitud del moimiento: *= m $) 5a frecuencia anular:

kA 2

2

125 A 2

2

⇒ A="#"

="#01

8=mω'

1'0="#07ω' ⇒ ω=10#'1 rad&s ⇒

max=Aω="#"(10#'1)=1#< m&s

amax=Aω'="#"(10#'1)'='"# m&s' Ing. Orlando Paredes Acuña (94922924!

%


c) 3ara x="#"0 m:  5a elocidad: =ω √ A − x =10#'1 √ 0,09 −0,05 =1#17 m&s  5a aceleración: a=ω'x="#"0(10#'1)'=11#0; m&s' 2

d) 3ara t=

T 16

donde 2=

2

2

2

❑

t=

=

2 15,21

0,413 16

2

="#71 s

="#"'; s

[

x=ASen(ωt+φ) ⇒ x="#"Sen

15,21 ( 0,026)+

π

2

] ="#" m

5a ener!a otencial: * 3=

kx 2

2

=

125 ( 0,055 )

2

2

="#1 E

5a ener!a cintica: *C=*2*3="#01"#1="#'1 E 1'. *n resorte i$ra con una frecuencia de 1#' 4 cuando sostiene una masa de "#<0 8. ¿Cuál es su frecuencia de i$ración si sostiene una masa de 1# 8? SOLUCION

5a constante del resorte: 8=mω'=m('πf)'=7π'f '

5ueo: 7π'(f 1)'m1=7π'(f ')'m' ⇒ "#<0(1#')'=1#(f ')' ⇒ f '="#<<0 4

1. l sistema mostrado en la fi. consta de tres masas / dos resortes idnticos# el sistema oscila con un eriodo de "# s. Si se retira la masa A# el eriodo es "#< s. -eterminar: a) 5a masa del $lo,ue C. $) 5a constante 8 de cada resorte c) l eriodo de oscilación si se retiran los $lo,ues A / F. SOLUCION

a) 5a constante del resorte: 8=mω'=m


( ) 2 π

T

2

2

=

4 π m 2

T




5ueo# al ariar la masa# aria el eriodo: ⇒ 5a masa 1 es m+0 / la masa ' cuando se retira la masa A es m+#0.

⇒ 7(0+m)=;7(m+#0)

'70+7m=;7m+''7

10m='1 ⇒ m=1#7 8 $) 5a constante del resorte: c) l eriodo de oscilación si se retiran los $lo,ues A / F: 8=mω' ⇒ 7#<=1#7ω' ⇒ ω=1;#< rad&s

17. *n ndulo de torsión consiste de un $lo,ue de madera de forma rectanular de dimensiones  cm x 1' cm x  cm / con una masa de "#0 8 susendido or medio de un alam$re ,ue asa or su centro de masa de tal modo ,ue el lado más corto es ertical. l eriodo de las oscilaciones torsionales es '#7 s. ¿Cuál es la constante de torsión µ del alam$re?

SOLUCION

3eriodo ara un ndulo de torsión: 3ara el aralele!edo:


&


10. *na masa m se Bace oscilar unida a  resortes como se indica en la fiura. l eriodo de oscilación de la masa es de 1 s. Si se retira el resorte del centro se o$sera aBora ,ue el eriodo de oscilación es 1#0 s. -eterminar la masa m del $lo,ue si 8 '=0" 9&m.

SOLUCION

5a constante del resorte: 8=mω' ⇒ 3ara los resortes en serie: 8=8 1+8 '+8  2a=1 s con los  resortes / 2 $=1#0 s sin 8 '. 8 1+8 '+8 =1#0'(8 1+8 )

⇒ 0"='#'0(8 1+8 )(8 1+8 ) ⇒

1;. *n ndulo de torsión está formado de una esfera maci4a de "#" m de radio / "#0 8 de masa. 5a esfera está susendida de un alam$re a lico de lonitud 5="#; m como se indica en la fiura. 3uesto el ndulo a oscilar tiene un er!odo 0 s. -eterminar la constante de torsión µ.

SOLUCION


9


3eriodo ara un ndulo de torsión: 3ara la esfera solida:

1<. *n ndulo está BecBo de una arilla de 5=1#0 m de lonitud / de 1 8 de masa. n el extremo inferior se fi>a un disco de "#0 8 de masa / 10 cm de radio como se e en la fi. Si la distancia entre el iote / el centro del disco es de 1#70 m# determinar el eriodo de eriodo de oscilación del ndulo.

SOLUCION


"'


1. *na $arra Bomonea de 1 m de lonitud / 1 8 de masa tiene orificios searados 1" cm uno del otro. Se Bace oscilar la $arra rimero a 1" cm de su centro / desus a 7" cm del mismo centro. -eterminar la diferencia de los eriodos de oscilación ara am$os casos. SOLUCION

-atos: 5=1 m m=1 8


""


5a diferencia de los eriodos de oscilación: ∆2=1#71#<<="#1< s 1. 5a fi. muestra 7 resortes de constantes 8 1=<0 9&m# 8 '=70 9&m# 8 =' 9&m# 8 7=7" 9&m# unidos a dos $arras A- / C- ,ue en todo momento ermanecen Bori4ontales. 5a $arra AF sostiene un eso H=# 9. l sistema está fi>o en su arte suerior / oscila con MAS. -eterminar el eriodo de oscilación. SOLUCION

allamos la constante e,uialente del resorte. 8 1 / 8 ' antes de la $arra C- en aralelo. ntre las $arras C- / AF tam$in en aralelo. G cd=8 1+8 '=<0+70=1'" 9&m G AF=8 +8 7='+7"=<' 9&m

ABora ara los resortes en serie:


"2


'". Si en cada ciclo un oscilador reduce su ener!a en un dcimo de su ener!a del ciclo anterior. ¿Iu ener!a tiene el oscilador al trmino del seundo ciclo? SOLUCION

5a ener!a ara un oscilador amortiuado: ="e'γ t

l oscilador al termino del seundo ciclo tiene el 1J de la ener!a inicial. '1. *n oscilador amortiuado ierde 1&10 de su ener!a durante cada ciclo. ¿Cuántos ciclos Ban asado cuando disia &7 de su ener!a inicial? SOLUCION

5a ener!a ara un oscilador amortiuado: ="e'γ t 5a ener!a remanente en un ciclo: =" 14 E 0 15

="e

'γ 2

⇒

14 15

=e

'γ (1)

(

1−

1 15

)=

'γ

⇒ e =

14 E 0 15

14 15

Cuando su ener!a se Ba disiado en &7 de su ener!a inicial# ,ueda K en n ciclos: Ing. Orlando Paredes Acuña (94922924!

"#


="e

'γ (n)

1 4

'γ n

⇒

"="(e )

n=

() ( )

ln

1 4

ln

14 15

1 4

=

( ) 14

n

⇒

15

5n ( ) =n5n ( ) 1 4

14 15

='"#"≈'" ciclos

''. l moimiento oscilatorio de un ndulo en el aire se atenLa de tal manera ,ue su amlitud se reduce en un '0J de su alor inicial desus de transcurrir 1 minuto. Si la lonitud del ndulo es '#70 m. -eterminar: a) l coeficiente de amortiuamiento $&'. $) 5a frecuencia anular del moimiento. c) l nLmero de oscilaciones comletas reali4ado comletas este tiemo. SOLUCION a)

5a amlitud ara un oscilador amortiuado: A=A"eγ t 5a amlitud remanente en t=;" s: A= 3 4

$)

;"γ

=e

⇒ ;"γ =5n

3 A 0 4

( ) =7#<x1" rad&s 3 4

5a frecuencia anular del moimiento: ω= 3ero 2='π

√

L g

='π

√

2,45

g

=A"e;"γ 

2 π

T

=π s ⇒ ω=

2 π

❑

=' rad&s

c) 3ara el numero de oscilaciones en t=;" s: t=n2

⇒ n=

60

π

=1#1≈1 oscilaciones

'. -eterminar el nLmero de resortes idnticos de constante 8=1"" 9&m. ,ue de$en asociarse en aralelo ara ,ue el eriodo del con>unto sea 1#0< s cuando oscila soortando# una masa de 0" 8ilos. SOLUCION

3ara resortes en aralelo# la constante e,uialente del sistema: G e=∑8 i ⇒ G e=1""n 9&m Ing. Orlando Paredes Acuña (94922924!

"4


5a elocidad anular:

ω=

2 π

T

=

2 π 1,57

=7#" rad&s

3ara la constante del resorte: 8=mω'

⇒ 1""n=0"(7)'

9= resortes '7. *na masa m se coloca en el extremo li$re de un resorte / i$ra con una frecuencia de 1'" 4. Si a la masa m se le area una masa de "#1'0 8 la frecuencia de i$ración es aBora " 4# -eterminar el alor de la masa m. SOLUCION

-atos: f 1=1'" 4 ⇒ m1=m 5a constante de un resorte: 5ueo:

m1(ω1)'=m'(ω')'

f '=" 4 ⇒ m'=m+"#1'0 8 8=mω'

⇒

⇒ ω='πf

m1('πf 1)'=m'('πf ')'

m1(f 1)'=m'(f ')' ⇒ m(1'")'=(m+"#1'0)(")' '#'0m=m+"#1'0 ⇒

m="#1 8

'0. -os masas iuales se susenden de dos resortes distintos. *no de los resortes se estira  cm / el otro 1' cm de$ido al eso de la masa ,ue soortan. Si el resorte ,ue se estira más# oscila con una amlitud do$le ,ue el otro# determine la relación de las ener!as de los dos sistemas. SOLUCION

D=8x

3ero m=D ⇒ m=8x ⇒ 8=

mg x

3ara el rimer resorte: x1="#" m ⇒ 8=

mg 0,08

3ara el seundo resorte: x'="#1' m ⇒ 8= Además A'='A1 5a ener!a: =


kA

=1'#0m

mg 0,12

=#m

2

2

"$

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE 2

2

5a relación de ener!as:

E 1 E 2

=

k A1

m1 g A 1

2

x1

=

2

k A2

m2 g ( 2 A 1 )

2

2

=

x 2 m1 4 x 1 m2

0,12

=

4 ( 0,08 )

=

x2

3 8

';. *n cuero ,ue descri$e moimiento armónico simle# tiene una aceleración máxima de <' m&s ' / una elocidad máxima de  m&s. -eterminar su eriodo de oscilación. SOLUCION

-atos:

amax=<' m&s'

max= m&s 2

Si:

amax=Aω

'

max=Aω

A ω Aω

⇒

3eriodo: 2=

2 π

ω

=

=

2 π 8

=

72 9

π 4

⇒ ω= rad&s s

'<. *n cuero está i$rando con M.A.S a lo laro de una recta Bori4ontal. Cuando se encuentra a 1" cm de su osición de e,uili$rio tiene una aceleración de "#0< m&s'. -eterminar a) Su eriodo de oscilación# $) 5a frecuencia de i$ración si en ese mismo unto su aceleración fuese el do$le. SOLUCION

-atos: x=".1 m ⇒ a=".0< m&s' a) a=ω'x ⇒ ".0<=".1ω' ⇒ ω= l eriodo: 2=

2 π

ω

=

2 π 2.39

√ 5.7

='. rad&s

='.; s

$) Si a='(".0<) ⇒ a=ω'x ⇒ '(".0<)=".1ω'

ω=

√ 11.4

=. rad&s ⇒ f=

ω 2 π

=

3.38 2 π

=". 4

'. *na masa de "#7 8 se muee en el extremo de un resorte de constante 8="" 9&m sometido a la acción de una fuer4a


"%


amortiuadora Dx=$ a) Si $= 8&s ¿Iu frecuencia de oscilación tiene la masa? ¿Con ,u alor de $ la amortiuación será cr!tica? SOLUCION

-atos: m="#7 8 8="" 9&m a) 5a frecuencia en un ndulo amortiuado:

ω= √ ω −γ = 2 0

2

√ ( ) =√ k b − 2m m

2

( )

300 9 − 0,4 0,8

5a frecuencia: f=

ω 2 π

2

='7#< rad&s =

'. *na masa de 1 8 reali4a un M.A.S de acuerdo con la ecuación x="#70Cos(0t) donde las unidades se dan en el S. -eterminar: a) l eriodo de oscilación. $) 5a ener!a total. c) 5a ener!a cintica cuando t=1&7 s. d) 5a ener!a otencial cuando t=1&0. SOLUCION

a) l eriodo: x="#70Cos(0t) ω=0 rad&s 2=


2 π

ω

=

"


". *na art!cula esta animada e M.A.S / ia>a una distancia total de ;# cm durante un ciclo de 1#<1 s. a) ¿Cuál es la raide4 media de la art!cula?. $) ¿Cuáles son su raide4 / aceleración máxima?


"&


1.

*n o$>eto animado de M.A.S con un eriodo de π&' s / amlitud A="#7"" m. n t=" el o$>eto está en x=". ¿A ,ue distancia está de la

osición de e,uili$rio en t=π&1" s?

'.

*n $lo,ue está animado de M.A.S con amlitud de "#1 m so$re la suerficie Bori4ontal sin fricción n un unto a "#"; m del e,uili$rio# la raide4 del $lo,ue es de ".; m&s. a) ¿Cuánto ale el eriodo? $) ¿Cuánto ale el desla4amiento cuando la raide4 es de "#1' m&s. c) *n o$>eto e,ue@o cu/a masa es mucBo menor ,ue la del $lo,ue se coloca so$re el $lo,ue# si el o$>eto está a unto de


"9


res$alar en el extremo del moimiento. ¿Cuánto ale el coeficiente de fricción estática entre el / el $lo,ue?

x'="#1'("#1'&"#7#0)'


⇒

x="#"; m

2'


. Si en cada ciclo un oscilador reduce su ener!a en un dcimo de su ener!a del ciclo anterior. ¿Iu ener!a tiene el oscilador al trmino del seundo ciclo? SOLUCION

5a ener!a ara un oscilador amortiuado: ="e'γ t

(

5a ener!a remanente en un ciclo: =" 9 E 0 10

="e

'γ 2

⇒

9 10

=e

'γ (1)

1−

1 10

)=

'γ

⇒ e =

9 E 0 10

9 10

Al trmino del seundo ciclo: t=' ="e

'γ (')

'γ '

="(e ) = "

( ) 9 10

2

=

81 E0 100

l oscilador al trmino del seundo ciclo tiene el 1J de la ener!a inicial. . Se tiene un li,uido de densidad ,ue ocua una lonitud 5 dentro del tu$o de un manómetro Si se le da un desla4amiento inicial x Bacia a$a>o como indica la fi. -etermine el eriodo de oscilación desreciando al amortiuamiento or fricción.


2"


7. *n eso H 10" 9 e0tá susendido de 1 $urra Al la cual se esta unida a otra $arra C) mediante ' resortes de constantes ;" 9&m 8 .7" 9&m. 5a $arra C- está f Na al unto 3 mediante un resorte de constante O " 9&m como se


22


indica en la fiura. -urante la oscilación del sistema la $arras ermanecen en su osición Bori4ontal desreciando el eso de las $arras. allar el eriodo de oscilación de la fuer4a Ci.


2#


7.

*na masa m en el extremo de un resorte oscila con frecuencia anular P. Se ,uita la masa# se arte en dos el resorte# / se uele a fi>ar la masa. ¿Cuál es la nuea frecuencia anular?

0.

*n disco delado / uniforme# de la masa M / radio Q# cuela de un clao ,ue lo erfora erendicularmente a una distancia - del


24


centro. u) Cual es el momento de inercia del disco con resecto al clao? B) ¿Cuál es la ecuación del moimiento ara oscilaciones e,ue@as de este ndulo# resecto al unP en donde lo trasasa el clao? (suerencia la le/ de 9ePton ara el ar con resecto al linto Rn cuestión) e) ¿Cuál es el er!odo 2 de las oseiaoioncs alrededor del unto de susensión? d) ¿Cual es 2 en el limite donde - se Bace cero?


2$


<. *n o$>eto oseila con una amlitud de ; cm unido a un muelle Bori4ontal de constante ' 89&m. Su elocidad máxima es '#'" m&s. allar: a) 5a masa del o$>eto. B) 5a frecuencia del moimiento c) l eriodo riel moimiento.


2%


# *n disco delado de 0 G. de masa / Con 5in radio de '" cm se susende mediante un e>e Bori4ontal erendicular al disco / ,ue asa or su eriferia. l disco se desla4a lieramente del e,uili$rio / se de>a li$remente. allar el eriodo del moimiento armónico simle su$siuiente.


2


. *n o$>eto de 1#' G. ,ue cuela de un muelle de constante "" 9&m escila con una elocidad máxima de " cm&s. a) ¿Cuál es su desla4amiento máxima? Cuando el o$>eto esta n su desla4amiento máximo# Ballar $) 5a ener!a total del sistema. e) 5a ener!a otencial raitatoria rl) 5a ener!a otencial del muelle.


2&


7". *n cuero de '.0 8 cuela de un muelle ertical de constante ;"" 9&m. oscila con una amlitud de  cm. Cuando el cuero osee su máximo desla4amiento Bacia a$a>o# encuentra a 5a ener!a total del sistema $) 5a ener!a otencial raitatoria e) 5a ener!a otencial del muelle d) ¿Cuál es la ener!a cintica máxima del cuero? escoer  T cuando el cuero está en e,uili$rio.


29


71. *na masa m ti>a al extremo de un resorte se suelta# artiendo del reoso# cuando t = T s# desde una osición estirada xm. 5a masa m "#' 8# / la constante 8 1 9&m. -esus de "#0 s# se mide la raide4 de la masa / resulta 1#0 m&s. Calcule x# tu raide4 máxima del moimiento# / la ener!a total.


#'


7'. *n ndulo simle tiene Pa frecuencia de ".7' 4. 5a lonitud de su Bilo es '#1' m. ¿Cuál es el alor local de ?


#"


7. -os resortes idnticos# am$os con constante 8# se fi>an extremo a extremo ara formar un resorte más laro# -emuestre ,ue este nueo resorte tiene una constante 81'. Se dice ,ue los resortes están conectados en serie. n el caso de a resortes conectados en serie se o$tiene un resorte con n eces la lonitud# / cu/a constante 8r# = 8m


#2



##



#4


77. *na art!cula e>ecuta un moimiento armónico simle con una amlitud de ." cm. ¿#.n ,ue desla4amiento# resecto del unto medio de su moimiento# su raide4 será iual a la mitad de la raide4 máxima?

70. 5a amlitud de un sistema moindose con un moimiento armónico simle se dulica. -etermine el cam$io en: a) 5a ener!a total. $) 5a elocidad máxima# e) 5a aceleración máxima. d) l eriodo.


#$



#%


7;. *n alam$re delado de # m de lonitud se fi>a al tecBo de un salón de clases rande. Al alam$re se fi>a un li$ro. l li$ro se desla4a un ánulo de "#1 Qad.# / se suelta. xrese el desla4amiento anular del li$ro como función del tiemo# ara =# m&s'

7<. *na masa en un resorte con frecuencia anular natural (o =  rad&s# se coloca en un am$iente en el cual Ba/ . uno fuer4a de amortiuamiento reU)rcional a. la elocidad de la masa. Si la amlitud se reduce a ".' Ing. Orlando Paredes Acuña (94922924!

#


eCes su alor inicial en # s# ¿Cuál es la frecuencia anular del moimiento amortiuado?

7. *n oscilador armónico# con eriodo natural 1#0 s# se coloca en un am$iente donde su moimiento se amortiua con una resistencia roorcional a su elocidad. 5a amlitud dc la oscilación $a>a a 0"J de su alor oriinal en  s. ¿Cuál es el eriodo del oscilador en el nueo am$iente?


#&

Movimiento Armonico Simple (1)

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