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Silabo de Fisica i (Ic) 2017 - II
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MOVIMIENTO ARMONICO FORZADO
NTRODUCCIÓN TEÓRICA
Si un sistema oscilante se deja balancear libremente, en un momento dado deja de oscilar, a est
movimiento se denomina amortiguado. Sin embargo, un sistema puede tener una fuerza exterio aplicada a él que tiene su propia frecuencia y entonces tenemos una oscilación forzada.
Una manera de suministrar energía a un sistema formado por un objeto que cuelga de un muell vertical es mover el punto del soporte hacia arriba y hacia abajo, con un movimiento armónico simple de frecuencia
.
Al principio el movimiento es complicado, debido a que la frecuencia exter na es diferente de
la frecuencia natural del sistema que es la que tendría un oscilador si no estuviesen presentes n amortiguamiento ni el sistema impulsor. Pero finalmente alcanzará un estado estacionario en el que el sistema oscila con la misma frecue ncia de la fuerza externa impulsora y con amplitud constante y, por tanto, con energ ía constante también. En el estado estacionario la energía
introducida en el sistema por la fuerza impulsora durante un c iclo es igual a la disipada en un cic debido al amortiguamiento. La amplitud y, por tanto, la energía de un sistema en estado
estacionario, depende no sólo de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia
Si la frecuencia impulsora es igual (o aproximadamente igual) a la fre cuencia natural del sistema
éste oscilará con una amplitud mucho mayor que la propia amplitud de la fuerza impulsora. Este
efecto se conoce como resonancia. Cuando la frecuencia impulsora es igual a la frecuencia natur
del oscilador,la energía absorbida por éste es máxima. Por e llo, la frecuencia natural del sistema denomina frecuencia de resonancia del mismo.
up to vote on this title Se denominan curvas de resonancia a la re presentación deSign la amplitud alcanzada por el oscilado usefulel Useful Not en el estado estacionario en función de la fre cuencia a la que es activado. act ivado. Cuando
amortiguamiento es pequeño, el oscilador absorbe mucha más energía que la fuerza impulsora a la frecuencia de resonancia (o próxima a ella), lo cual no ocurre a cualquier otra frecuencia; en
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1) Oscilación forzada amortiguada Ahora estudiaremos el movimiento de una particula de masa m suspendida en un resorte, las oscilaciones hemos de aplicar una fuerza oscilante al oscilador amortiguado. Tomaremos en
cuenta el efecto del rozamiento y además consideraremos que sobre la particula actua una fuer complementaria.
Supongamos que esta fuerza complementaria F’’ varia con el tiempo según La Ley del coseno o d seno.
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Dicha fuerza varia periódicamente con un periodo
, y con una amplitud máxima
.
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Por consiguiente la fuerza total actuante sobre la particula es:
La fuerza que ejerce el muelle -k·x La fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad λv y de sentido contrario a ésta Sign up to vote on this title La fuerza oscilante F 0·cos(w f t ) de frecuencia angular w f . Por lo que obtenemos: Useful Not useful
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Dividiendo todos los términos de la ecuación por la masa m:
Si hacemos:
,
=
donde
viene a ser el valor de la frecuencia angular sin
amortiguamiento . Se obtiene:
Es lógico suponer que la particula no oscilara con su frec uencia angular sin amortiguamiento ni con la frecuencia angular amortiguada
√
oscilar con la frecuencia angular de la fuerza aplicada
en su lugar, la particula será forzada
.
Por consiguiente supondremos como posible solución de la ecuación, una expresión de la forma
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Verificamos si cumple:
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Hallando la primera y segunda derivada x respecto a t
( )
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Y reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene:
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Silabo de Fisica i (Ic) 2017 - II
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Para que esta ecuación se cumpla e s necesario igualar los términos en ambos miembros por lo tanto:
() () De la ecuación (1) se obtiene:
) ( Elevando al cuadrado las ecuaciones (1) y (2) y sumándolas obtenemos:
() De donde:
( ) You're Reading a Preview
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La amplitud de las oscilaciones forzadas A, tiene un valor máximo cuando el denominador sea minino y para obtener un mínimo igualamos a cero la derivada de dicho denominador :
() ()()
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Cuando la frecuencia
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Silabo de Fisica i (Ic) 2017 - II
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⁄ √ √
de la fuerza aplicada es igual a
, se dice que hay resonancia
la amplitud. Cuanto menor es el amortiguamiento mas pronunciada es la resonancia, y cuando es cero, la amplitud de resonancia es infinita y ocurre para
2. Oscilación forzada no amortiguada: Según la ley de Newton, la ecuación de movimiento es:
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Las fuerzas que actúan sobre el sistema son la fuerza restauradora del muelle, y la fuerz Unlock full access with a free trial. exterior de variación armónica. Introduciendo la frecuencia del sistema no perturbado,
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escribimos esta ecuación como un MAS: Sign up to vote on this title
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una solución particular de la ecuación general
En nuestro caso, sabemos que la solución general es :
donde las constantes A,
dependen de las condiciones iniciales del movimiento.
Para encontrar la solución particular, suponemos que la respuesta del sistema a l fuerza exterior es proporcional a ésta. Dicho de otra forma, esperamos que la
respuesta del sistema sea lineal con la perturbación exterior que recibe. Con esto la solución particular será de la forma:
Introduciendo
en la ecuación del movimiento, se satisface:
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full access with a free trial. Despejando la amplitud CUnlock ,
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que es la amplitud del movimiento forzado.
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Por tanto, la masa m realiza el movimiento: Useful
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Silabo de Fisica i (Ic) 2017 - II
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Resonancia
Fijándonos en la solución particular
vemos que si la frecuencia
exterior coincide con la frecuencia natural
de la fuerza
del sistema, la amplitud de la
oscilación forzada tiende a infinito
Es el fenómeno de la resonancia. Físicamente expresa el hecho de que cuando
, toda la energía comunicada al sistema por la fuerza exterior es
almacenada por el sistema, con lo que la amplitud crece sin límite.
Cualquier sistema físico sufre algún tipo de amortiguamiento debido al rozamiento. En ese caso, se mantiene el fenómeno de la resonancia, pero la
amplitud de la oscilación forzada no tiende a infinito, llega a ser muy grande, per se mantiene finita.
You're Reading a Preview Régimen transitorio y permanente Unlock full access with a free trial.
En cualquier sistema real existen fuerzas de rozamiento que hacen que la Download With Free Trial energía se disipe, se transforme en otras formas de energía (calor). Como la fuer exterior actúa indefinidamente, es la oscilación libre (primer término de la solución) la que pierde energía y tiende a remitir. Por tanto, en la etapa inicial,
cuya duración depende de la intensidad de la amortiguación, los dos movimiento
tiemp (libre y forzado) son importantes. Es el régimen transitorio. Después de un Sign up to vote on this title
suficientemente largo, el único movimiento presente Not useful forzada de Usefules la oscilación frecuencia W. Es el régimen permanente o estacionario.
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y de aquí se observa que a) Si
la amplitud C del movimiento forzado es positiva. La partícula y la fuerza
la amplitud C del movimiento forzado es negativa. La partícula y la fuerza
exterior están en fase, y oscilan en el mismo sentido. b) Si
>
exterior están en desfase, y oscilan en sentido contrario.
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