1.
VIBRACIONES LIBRES DE PARTICULAS MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Considere un cuerpo de masa
unido a un resorte de constante .
Puesto que en el tiempo presente se considera solo el movimiento de su centro de masa, a este cuerpo se le considerará como una partícula. Cuando la partícula esta en equilibrio
estático, las fuerzas que actúan sobre ella son su peso y la fuerza ejercida por el resorte, la magnitud , donde denota la elongación del resorte. Por lo tanto, se
= = á
tiene,
á =á
Supóngase ahora que la partícula se desplaza a una distancia equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Si
desde su posición de
se ha elegido más pequeña que
á
, la
partícula se moverá hacia un lado y otro de su posición de equilibrio; se ha generado una vibración de amplitud . Advierta que la vibración también puede producirse impartiendo
cierta velocidad inicial a la partícula cuando esa se encuentra en la posición de equilibrio
0 =
=
o , de manera más general, al inici ar el movimiento de la partícula desde una posición dad con una velocidad inicial
.
Para analizar la vibración, se considerará la partícula en una posición P en algún tiempo
arbitrario .
( ℎ ), (á +) =á ( ℎ ) =−(á +)=− = ̈ +=0 ̈ +=0 Denotando por
el desplazamiento
=
medido desde la posición de equilibrio
se nota que las fuerzas que actúan sobre las partículas son su peso
y la fuerza
ejercida por el resorte que, en esta posición, tiene una magnitud
. Como
se encuentra de la magnitud de la resultante es
las dos fuerzas
de
……………………….(1)
De tal modo la resultante de las fuerzas ejercidas sobre la partícula es proporcional al desplazamiento
medido desde la posición de equilibrio. Recordando la convención de
signos, se advierte que
esta dirigida siempre hacia la posición de equilibrio
en la ecuación fundamental con respecto a , se escribe.
. Sustituyendo
̈
y recordando que es la segunda derivada de de
……………………………………. (2)
Hay que observar que debe usarse la misma convención de signos para la aceleración para el desplazamiento , a saber, positivo hacia abajo. El movimiento definido por la ecuación
̈
y
recibe el nombre de movimiento
armónico simple. Este se caracteriza por el hecho de que la aceleración es proporcional al desplazamiento y de dirección opuesta. Se puede verificar que cada una de las funciones
1 =(√ / ) 2 =(√ / ) y
satisface la ecuación
̈ +=0
, la solución
general de la ecuación se obtiene al multiplicar cada una de las soluciones particulares por una constante arbitraria y sumando. De tal manera, la solución general se expresa c omo
= 11 +22 = 1 +2 .
………………. (3)
Observe que es una función periódica del tiempo y que, por lo tanto, representa una vibración de la partícula . El coeficiente de en la expresión obtenida se conoce como la frecuencia circular natural de la vibración y se denota como por Se tiene
Al sustituir
= = √ / = 1 +2
………………………………… (4)
en la ecuación, se escribe
………………………………… (5)
Esta es la solución general de la ecuación diferencial
̈ + 2 = 0
………………………………………………. (6)
Que puede obtenerse de la ecuación al dividir ambos términos entre
/=2
y al observar que
. Al diferenciar dos veces ambos miembros de la ecuación con respecto a , se
obtienen las siguientes expresiones para la velocidad y la aceleración en el tiempo
=̇ = 1 −2 =̈ =− 1 2 −2 2
.
…………………… (7) ……………… (8)
Los valores de las constantes Por ejemplo, se tiene suelta en
0
=0
1 = 0
1 2 y
dependen de las condiciones iniciales del movimiento.
si la partícula se desplaza desde su posición de equilibrio y se
sin ninguna velocidad inicial, y
2 = 0 =0
= 1 = / 2 =
si la particula empieza desde O en
con cierta velocidad inicial. En general, al sustituir y los valores iniciales y desplazamiento y la velocidad en las ecuaciones (5) y (7), se halla que y
del
Las ecuaciones obtenidas para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de una particula pueden describirse de una forma mas compacta si se observa que la ecuación (5) expresa que el desplazamiento es la suma de las componentes de dos vectores y
2
= 1 2
respectivamente, la magnitud
y
, dirigidos como se muestra en la figura
()
1
cuando
varia, ambos vectores giran en el sentido de las manecillas del reloj; también se denota que
la magnitud de su resultante
