UNIVERSIDAD DEL CAUCA Departamento de Física Laboratorio de Mecánica de Fluidos I Periodo de 2010
Movimiento Armónico Simple M.I. Urbano1, A.López1, J.M. Escobar1, J.L. Rengifo1 1
Ingenieria en Automática Industrial, Facultad de Ingenieria Electrónica y Telecomunicaciones Universidad del Cauca, Sector Túlcan Carrera 2 con calle 18N, Popayán Colombia Recibido: 5 de Abril de 2010
Resumen Mediante esta práctica calcularemos experimentalmente el valor de la constante de elasticidad (k),y el periodo (T) haciendo uso de la ley de Hooke y la ecuación del movimiento armónico simple de un resorte sometido a una fuerza de deformación y así lograr aclarar los conceptos teóricos vistos dentro de la materia. Palabras Clave: Periodo, Elasticidad, Ley de hooke, movimiento armónico simple. Abstract Through this practice experimentally we will calculate the value of the constant elasticity (k),and the period (T) 2
using Hooke's law and the equat w ion of simple harmonic motion of a spring subjected to a deformation force and thus achieve clarify the concepts viewed within the theoretical field. Keywords: Period, Elasticity, Hooke's law, simple harmonic motion.
Introducción
Marco Teórico
El movimiento vibratorio u oscilatorio de los sistemas mecánicos, constituye uno de los campos de estudio más importante de toda la física. Uno de estos sistemas que en muchas ocasiones ha sido objeto de nuestro estudio, es el sistema masa-resorte, debido a las diferentes facetas que este presenta.
Un cuerpo se denomina elástico si al actuar una fuerza sobre él sufre una deformación de tal manera que al cesar de actuar la fuerza recupera su forma original. El prototipo de un cuerpo elástico lo constituye un resorte o muelle en un rango de deformaciones no demasiado grandes (rango de elasticidad). Si la deformación supera un cierto umbral el resorte queda permanentemente deformado. [3]
Es muy importante analizar los efectos tanto estáticos como dinámicos originados por la masa del resorte. En este caso nos centramos en el efecto dinámico que la masa del resorte tiene sobre las oscilaciones verticales del sistema, el cual está constituido por un resorte uniforme de masa y constante de elasticidad k, con una masa m sujeta en su extremo inferior.
El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.) es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento en ausencia de todo rozamiento. La elasticidad es la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan. El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad.
En el desarrollo de esta práctica, podemos observar la propiedad que tienen algunos materiales de cambiar de forma al ser afectados por una fuerza de deformación y volver a su estado normal que depende de un máximo esfuerzo que un material puede soportar. Conociendo la propiedad anteriormente mencionada podemos percatarnos de la existencia de diversos materiales que nos servirán para la implementación de sistemas mecánicos útiles en el campo profesional. 1
Movimiento Armónico Simple
La Ley de Hooke dice que la cantidad de estiramiento o de compresión es directamente proporcional a la fuerza aplicada.
2
a=-A w Sen wt Al tener x=A Sen wt, tenemos:
=−
2
a= - w x, entonces -kx=ma,
x: Elongación o alargamiento producido k: Constante de Elasticidad (N/m)
2
K=m w , por lo tanto,
Donde el signo negativo se debe a la fuerza restitutiva.
w=
Como la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración tenemos que: =
k , donde la masa total del sistema es igual a la m
masa del cuerpo (m), mas la masa del resorte que es un tercio (1/3) de la masa masa real (m0).
(Ley de Newton) −
= Como T=
2
-kx = m
y
d x dt 2
·
æ m + m0 2p , entonces, T= 2p ç ç w k è
ö ÷ ÷ ø
Si se llegara despreciar el rozamiento del aire, no habría ninguna fuerza contraria al movimiento, por lo tanto el sistema masa-resorte entraría en un movimiento infinito conocido como movimiento armonico simple.
Resultados y Análisis A continuación se presentan las tablas con los datos obtenidos en el laboratorio.
Tabla 1. Masa contra elongación: Tomas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X=OP El péndulo recorre el arco DQ → β=wt x=OQ Sen β= Asen β x=A Sen wt Como
æ2p ö w =ç ÷→ x=A Sen èT ø
æ2p t ö ç ÷ èT ø
Derivamos dos veces para obtener la aceleración 2
æ2p ö æ2pt ö ÷ Sen ç ÷ èT ø èT ø
a=-A ç
2
Fuerza (gr-f)
Elongación (cm)
k
100 150 250 300 350 400 500 550 600 700 750 900
0.65 1.1 1.92 2.29 2.75 3.15 4.11 4.49 4.95 5.61 6.09 7.29
153.85 136.36 130.21 131.00 127.27 126.98 121.65 122.49 121.21 124.78 123.15 123.46
Masa contra periodo:
Se calcula la pendiente mediante: − = −
Anexo 1.
= 8.28 10
De donde se tiene que
Con los datos tomados en la práctica de laboratorio se obtuvieron las siguientes grágicas:
Como
=
, la pendiente se relaciona con la contante
de elasticidad k tenemos que:
=
1
→
=
1
Por lo tanto se tiene que −
= 120.772
Existe una pequeña diferencia entre las constates de elasticidad encontradas por los diferentes métodos; sin embargo son bastante similares lo cual sugiere que ambos métodos funcionan y se llega a resultados bastante aproximados. 2.
Gráfica de masa contra periodo
1.Para hallar la contante de elasticidad k se puede emplear emplear la ecuación de la ley de Hook = o se puede utilizar la grafica obtenida a partir de los datos. Mediante la ley de Hook hallamos la constante de elasticidad para cada masa los resultados se muestran en la tabla1. Por lo tanto la constante k será la media de estos valore y se tendrá que: = 128.54
−
Mediante la grfica se debe realizar el siguiente procedimiento: En la grfica de masa contra elongación se observa claramente que la unión de los puntos experimentales no proporciona una recta. Sin embargo una aproximación lineal a este resultado experimental es asociarle a esa colección de puntos una recta que los represente mejor.
Modelo matemático propuesto:
=
+
3. Mediante un proceso de linealización que relacione la masa y el periodo se determina la contante k y la masa esquivalente del resorte .
Una vez dibujada la mejor recta se procede a determinar los valores de la pendiente y del término independiente en la ecuación: = + Para ello se toman dos puntos alejados de la recta dibujada que no tienen que corresponder a puntos experimentales y cuyas coordenadas ( , ) y ( , ) se miden cuidadosamente sobre la gráfica.
La recta de regresión de mínimos cuadrados de Y sobre X es: = +
3
Movimiento Armónico Simple
Por regresión lineal tenemos que:
Esto coincide con la pendiente hallada por lo tanto la grafica anterior es la recta que mejor representa a los datos tomados en el laboratorio.
= 0.26 = 3.5 10
4.
Entonces
La constante hallada con el método estático tiene
un igual a
= 0.26 + 3.5 10
−
= 128.535
y la hallada por el método = 112474.12
dinámico tiene un valor de
Las dos constantes se encuentran en diferentes unidades, por lo tanto es necesario realizar una pequeña conversión:
Tenemos que la pendiente de la recta es = 3.5 10 Se tiene la ecuación que relaciona la pendiente de la recta con la constante de elasticidad: =
128.535
4
∗
980
−
∗
= 125964.3
−
Se observa que el valor de la constante hallada por ambos métodos es similar; sin embargo se puede ver que la constante del método estático es mayor.
Por lo tanto tenemos que: = 112474.12
Para linealizar: Con los valores hallados mediante la regresión lineal se realiza la gráfica:
æ m + m0 k è
T= 2p ç ç
ö ÷ ÷ ø
Eleveamos la anterior ecuación al cuadrado en ambos lados, entonces se tiene: (
=4
+
Entonces separamos la ecuación asi: =
4
+
4
Sabiendo que: =
+
Entonces m sera: = Se toman dos puntos de la grafica y se resuelve la ecuación: =
− −
→
Y b será:
0.53 − 0.30 = 750 − 100
=
Por lo tanto se tiene que = 3.5 14
4
4
4
)
Fuerza (gr-f) 100
0.09
150
0.11
250
0.11
300
0.13
350
0.14
400
0.16
500
0.19
550
0.20
600
0.23
700
0.27
750
0.28
900
0.33
Haciendo uso de dos puntos de la Gráfica 2. Al final del informe, se halla la pendiente:
Datos Masa y Periodo. − −
= 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00
M = 3.71 ∗ 10
Se igualan las pendientes:
Series1
= 0
500
,
=
1000 4
Grafica Periodo vs Masa. Realizando la linealizacion de la grafica la cual también corresponde a la Gráfica 1. Al final del informe obtenemos tenemos la siguiente grafica:
= 3.71 ∗ 10
Despejo K; =
4 3.71 ∗ 10
= 106410.83
5
Movimiento Armónico Simple
6.
es la densidad lineal = Sustituyendo
en la anterior ecuación y despejando de esta
se tiene: =
[2 =
Al derivar
1 2 Reemplazando la ecuación [1 y [2 en la anterior se tiene =
Considerando la energia cinética y potencial tenemos que: =
,
=
1 2
=
= +
=
Donde: es la energía cinética del resorte.
1 2 1 2
3 1 6
=
es la energía cinética de la masa.
Para hallar
Entonces se tiene:
1 = 2 se tiene que:
Tomando un diferencial de la masa del resorte y suponiendo que éste se mueve en fase se tiene que la velocidad del resorte es proporcional a la velocidad .
=
1 6
+
=
1 1 2 3
+
1 2
= La constante
se obtiene de:
Aplicando el método de Rayleigh
=
(
Donde: 1 2
y la distancia a la que se estira el resorte. =
=(
)
Luego:
L es la elongación del resorte con la masa.
Entonces
)
[1
+
1 3
=
1 2
Como el sistema masa-resorte es M.A.S =
Para hallar el diferencial se tiene que
sin(
+ ∅)
A=
=
Al derivar esta ecuación se tiene: ̇= De donde
Donde: 6
Aw =
cos(
+ ∅)
Entonces: 1 2
+
1 3
+
(
) =
1 3
Haciendo uso de los dos métodos estático y dinámico, se obtuvieron constantes de elasticidad relativamente similares, lo que nos permite elegir cualquiera de los dos métodos, dependiendo de las condicones y los datos obtenidos en el laboratorio.
1 2
Los errores presentes en este laboratorio se presentaron debido a errores instrumentales, debido a que la regla no se encontraba totalmente paralela al resorte, errores personales ya que la reacción del sentido de la vista no es inmedianto ante las oscilaciones del resorte.
=
Despejando w se tiene:
+ Como
=
1 3
, reeplazando w se tiene: Referencias
1 +3
=2
[1] Enciclopedia
Wikipedia en español: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Elastici dad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)&oldid =35484843
Teóricamente sabemos que: +
=2
[2] Enciclopedia
2
= 2
Demostrando asi que:
español:
[3] Documento “Ley de Hook: Constante de recuperación de un cuerpo elástico:
1 +3
http://webpages.ull.es/users/fexposit/ife_b1.pdf
Elevando al cuadrado y efectuando algunas cancelaciones obtenemos: =
en
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Movim iento_arm%C3%B3nico_simple&oldid=35633492
Igualando las dos ecuaciones anteriores se tiene: +
Wikipedia
[4]
1 3
Documento regresión lineal. http://www.monografias.com/trabajos35/movi miento-armonico-hooke/movimiento-armonicohooke.shtml
= [5] Documento movimiento armónico simple.
http://www.unalmed.edu.co/fisica/paginas/curs os/paginas_cursos/recursos_web/lecciones_fisic a_universitaria/leccion_teoria_de_la_medida/co ncepto/index42.htm
Conclusiones Las deformaciones sufridas por un resorte y el periodo de oscilacion del mismo son proporcionales a las masas. La masa efectúa un movimiento armónico simple puesto que el desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio, varia en el tiempo, es decir se mueve periodicamente respect a su posición de equilibrio.
7
