MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Docente: Lic. EGBERTO SERAFIN GUTIERREZ ATOCHE Facultad:: INGENIERIA Facultad I NGENIERIA Escuela: INGENIERIA CIVIL AMBIENTAL AMBIENTAL
FISICA II
MOVIMIENTOS PERIÓDICOS En la naturaleza hay ciertos movimientos que se producen con asiduidad. Entre ellos destacan los movimientos oscilatorios. Este tipo de movimientos tienen una característica en común: SON MOVIMIENTOS PERIÓDICOS Y de todos ellos el más simple de abordar desde el punto de vista matemático es el movimiento armónico simple (m.a.s.).
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MOVIMIENTOS PERIÓDICOS
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Diremos que el movimiento de una partícula material es periódico cuando su estado cinemático (posición, velocidad y aceleración) se repite a intervalos regulares de tiempo. Físicamente el movimiento de una partícula material será periódico cuando lo sea su ecuación horaria. Es decir, la función s(t) debe ser tal que s(t) = s(t+T). T (periodo): tiempo que debe transcurrir para que se repita el estado cinemático del movimiento. f (frecuencia): número de veces que se repite el estado cinemático en cada segundo. Es la inversa del período.
Movimiento periódico
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El movimiento periódico simple es aquel movimiento en el que un cuerpo se mueve de ida y vuelta sobre una trayectoria fija y regresa a cada posición y velocidad después de un intervalo de tiempo definido.
f =
1 T
Amplitud A
El periodo, T, es el tiempo para una oscilación completa. (segundos,s) La frecuencia, f, es el número de oscilaciones completas por segundo. Hertz (s-1)
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Ejemplo 1: La masa suspendida realiza 30 oscilaciones completas en 15 s. ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia del movimiento?
T x
f =
F
1 T
=
15 s =
30 ciclos
= 0.50 s
Periodo: T = 0.500 s
1 0.500 s
Frecuencia: f = 2.00 Hz
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE DEFINICIÓN Una partícula material ejecuta un movimiento armónico simple cuando sigue un movimiento rectilíneo con una ley horaria que es una función armónica del tiempo.
x(t) = a cos ( ωt - ϕ )
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE NOMENCLATURA
x a ω
ωt - ϕ
ϕ
ELONGACIÓN AMPLITUD PULSACIÓN (o FRECUENCIA ANGULAR) FASE FASE INICIAL (o DESFASE)
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE RELACIONES Comprobando la periodicidad del movimiento se puede obtener que 2π ωT = 2π ↔ T = ω y también
ω = 2π f
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE OTRAS EXPRESIONES EQUIVALENTES x(t) = a sen ( ωt - ϕ′ ) recordar que
sen α = cos(α −
π
2
)
x(t) = A sen ωt + B cos ωt recordar que
cos ( ωt - ϕ ) = cos ωt cos ϕ + sen ωt sen ϕ
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
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Al ser un movimiento rectilíneo, velocidad y aceleración serán tratados como escalares con signo. Derivando la ecuación horaria obtenemos la velocidad
x (t ) = a cos( wt − ϕ )
v(t) = − a ω sen ( ωt - ϕ )
Y, derivando de nuevo, la aceleración
a(t) = − a ω2 cos ( ωt - ϕ ) = − ω2 x(t) Se puede observar que: Tanto la velocidad como la aceleración son también funciones periódicas (del mismo periodo) del tiempo. La aceleración es proporcional al desplazamiento.
Espacio - Tiempo
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Ecuación: x(t) = a cos ( ωt - ϕ ) Máximos y mínimos: Ordenada en el origen:
xmax = ± a
en
t=
ϕ ω
x(t = 0) = a cos ϕ
+
kT 2
Velocidad - Tiempo
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Ecuación v(t) = − a ω sen ( ωt - ϕ ) : ϕ T (2 k + 1) v max = ± a ω en t = + Máximos y mínimos: ω
Ordenada en el origen:
v(t = 0) = a ω sen ϕ
4
Aceleración - Tiempo
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2 − a(t) = a ω cos ( ωt - ϕ ) Ecuación:
ϕ
kT Máximos y mínimos: amax = − a ω en t = + ω 2 Ordenada en el origen: a(t = 0) = − a ω2 cos ϕ = − ω2 x(t 2
= 0)
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Espacio - Tiempo
Velocidad - Tiempo
Aceleración - Tiempo
OBSERVACIONES
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la velocidad es nula en los puntos extremos del movimiento (x=±a) la velocidad es máxima en el origen (x=0) la aceleración es máxima en los extremos y nula en el origen la aceleración siempre apunta hacia el origen del movimiento
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Movimiento armónico simple, MAS El movimiento armónico simple es movimiento periódico en ausencia de fricción y producido por una fuerza restauradora que es directamente proporcional al desplazamiento y de dirección opuesta.
x
F
Una fuerza restauradora, F, actúa en la dirección opuesta al desplazamiento del cuerpo en oscilación. F = -kx
Ley de Hooke
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Cuando un resorte se estira, hay una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento.
F = -kx x m
F
La constante de resorte k es una propiedad del resorte dada por: ∆F k = ∆x
TRABAJO REALIZADO PARA ESTIRAR UN RESORTE
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El trabajo realizado SOBRE el resorte es positivo ; el trabajo DEL resorte es negativo. De la ley de Hooke la fuerza F es:
x
F = -kx
m
F (x) = kx
Para estirar el resorte de x 1 a x 2 , el trabajo es:
F
dw = − Fdx
x 1
x 2
Trabajo
= kx − kx 1 2
2 2
1 2
2 1
F
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Ejemplo 2: Una masa de 4 kg, suspendida de un resorte, produce un desplazamiento de 20 cm. ¿Cuál es la constante de resorte? La fuerza que estira es el peso (W = mg) de la masa de 4 kg:
20 cm
F m
F = (4 kg)(9.8 m/s2) = 39.2 N
Ahora, de la ley de Hooke, la constante de fuerza k del resorte es:
∆F 39.2 Ν k = ∆x = 0.2 m
k = 196 N/m
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Ejemplo 2 (cont.): La masa m ahora se estira una distancia de 8 cm y se sostiene. ¿Cuál es la energía potencial? (k = 196 N/m) La energía potencial es igual al trabajo realizado para estirar el resorte:
0 Trabajo
1 2
=
2
kx22
−
1 2
U = ½ kx = ½(196
8 cm m
kx12
N/m)(0.08 m)
U = 0.627 J
F
2
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Desplazamiento en MAS x
m x = -A
x=0
x = +A
• El desplazamiento es positivo cuando la posición está a
la derecha de la posición de equilibrio (x = 0) y negativo cuando se ubica a la izquierda. • Al desplazamiento máximo se le llama la amplitud A.
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Velocidad en MAS v (-)
v (+)
m x = -A
x=0
x = +A
• La velocidad es positiva cuando se mueve a la derecha y
negativa cuando se mueve a la izquierda.
• Es cero en los puntos finales y un máximo en el punto
medio en cualquier dirección (+ o -).
Aceleración en MAS +a
-x
+x
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-a
m x = -A
x=0
x = +A
• La aceleración está en la dirección de la fuerza restauradora. (a es positiva cuando x es negativa, y negativa cuando x es positiva.)
F = ma = − kx • La aceleración es un máximo en los puntos finales y es cero en el centro de oscilación.
ACELERACIÓN CONTRA DESPLAZAMIENTO a
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v
x
m x = -A
x=0
x = +A
Dados la constante de resorte, el desplazamiento y la masa, la aceleración se puede encontrar de:
F
= ma = − kx
o
a=
− kx
2
a = −w x
m
Nota: La aceleración siempre es opuesta al desplazamiento.
w =
k m
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Ejemplo 3: Una masa de 2 kg cuelga en el extremo de un resorte cuya constante es k = 400 N/m. La masa se desplaza una distancia de 12 cm y se libera. ¿Cuál es la aceleración en el instante cuando el desplazamiento es x = +7 cm?
a=
− kx
m
a=
−(400 N/m)(+0.07 m)
a = -14.0 m/s2
2 kg
a
+x
m Nota: Cuando el desplazamiento es +7 cm (hacia abajo), la aceleración es -14.0 m/s2 (hacia arriba) independiente de la dirección de movimiento.
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Ejemplo 4: ¿Cuál es la aceleración máxima para la masa de 2 kg del problema anterior? (A = 12 cm, k = 400 N/m)
La aceleración máxima ocurre cuando la fuerza restauradora es un máximo; es decir: cuando el alargamiento o compresión del resorte es mayor. F = ma = -kx
a=
−kA m
=
x max =
A
−400 N( ± 0.12 m)
Máxima aceleración:
2 kg
amax = ± 24.0 m/s2
+x
m
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Ejemplo 5 (Cont.): ¿Cuál es la velocidad máxima para el problema anterior? (A = 10 cm, k = 800 N/m, m = 2 kg.) La velocidad es máxima cuando x = 0:
0 ½
mv2
2
+ ½kx =
v=
½kA2
k m
A=
v = w A 2 − x 2
800 N/m 2 kg
v = ± 2.00 m/s
+x (0.1 m)
m
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Dinámica del MAS. • Aplicando la segund a ley de Newton , se tiene que la fuerza que tiene que actuar sobre una partícula de masa m que se mueve con un MAS es, F = ma
Como a = −ω2 x
F = −mω2 x Llamando k = m ω2 Constante elásti ca
F = −kx En un MAS F es proporci onal y opuesta a x
• De este modo, se puede escribi r k = m ω2
ω = k m
T = 2π ω
T = 2π
f
= 1 T
f =
m k
1 k 2π m
Energía del MAS.
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• La energía cinética de una partícula que se mueve con un MAS es Ec = 12 mv 2
= 12 mω2 A 2sen 2 (ωt + ϕ0 ) = 12 mω2 A 2 1 − cos 2 (ωt + ϕ0 )
v2
Como x = A cos (ωt + ϕ0 )
La Ec es máxima en el centro (x=0 ) y cero en los extremos de oscilación (x= A )
Ec = 12 mω2 A 2 − x 2
= 12 k A 2 − x 2
• Se obtiene la energía potencial a partir de F x
=−
dEp dx
dEp Como F x = − kx dx
Ep
= kx
Ep
∫
0
dEp =
x
∫ kxdx 0
Integrando
= 12 kx 2 = 12 mω2 x 2
La Ep es cero en el centro (x=0 ) y máxima en los extremos de oscilación (x= A )
• La energía total del MAS es E = Ec + Ep
= 12 mω2 ( A 2 − x 2 ) + 12 mω2 x 2
E = 12 mω2 A 2
= 12 kA 2
E es constante
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Péndulo simple.
• Se define com o una partícula de masa m suspendida de un punto O mediante una cuerda de longitud l y masa despreciable. • Cuando m se separa de la posición de equilibr io y se suelta describe un movimiento oscilatorio , que se debe a la comp onente tangencial del peso . • Aplicando la segunda ley d e Newton en la dir ecc ión tangencial se obtiene 2 2 F t = mat = mlα
− mgsenθ = ml
d θ dt 2
d θ g + senθ = 0 dt 2 l
• Que difiere de la ecuación básic a de un MAS por el término sen . Sin embargo si el ángulo es muy pequeño , entonces sen y se tiene d 2 θ dt 2
g
+ θ=0 l
Ecuación bási ca de un MAS 2 de frecuencia ω = g l
• Y su solución es un MAS cuya expresión es
θ = θ0 cos (ωt + ϕ0 ) siendo el periodo de oscilación T = 2π
l g
Péndulo compuesto.
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• Se define como un sólido rígido suspendida de un punto O que pasa por un pivote. • Cuando el sóli do se separa de la posición de equilibrio y se suelta describe un movimiento oscilatorio , debido al momento de la fuerza prod ucido por el peso. Pivote
O
• Apli cando la ecuación fundamental de la dinámica M O
d 2 θ − mgD senθ = I 2 dt
= I α
d 2 θ dt 2
+
mgD I
sen θ = 0
• Que difiere de la ecuación básic a de un MAS por el término sen . Sin embargo si el ángulo es muy pequeño , entonc es sen y se tiene d 2 θ dt 2
+
mgD I
θ=0
Ecuación básic a de un MAS de frecuencia ω2 = mgD I
• Y su solución es un MAS cuya expresión es
θ = θ0 cos(ωt + ϕ0 ) siendo el periodo de oscilación T = 2π
I mgD
PROBLEMAS
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Un oscilador armónico simple es dado por la ecuacion x= 4sen (0,1t + 0,5) y las unidades están en CGS: hallar (a) la amplitud, el periodo, la frecuencia la fase inicial del movimiento. (b) la velocidad y la aceleración. (c) la posición, velocidad aceleración para t = 5 s
PROBLEMAS
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La fase inicial de un M.A.S es igual a cero. Cuando la elongación del punto es 2,4 cm, su velocidad es igual a 3 cm/s y cuando dicha elongación es de 2,8 cm, la velocidad es igual a 2 cm/s. Hallar la amplitud y el periodo de esta vibración.
Un objeto descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento está sujeto a un muelle horizontal de constante de fuerza k = 4,5kN/m. El otro extremo del muelle está quieto. El muelle se estira 10 cm desde el equilibrio y se deja en libertad. Determinar su energía total
PROBLEMAS
FISICA II
Un objeto de 1,5 kg oscila con movimiento armónico simple unido a un muelle de constante de fuerza k = 500 N/m. Su velocidad máxima es 70 cm/s. (a) ¿Cuál es su energía total? (b) ¿Cuál es la amplitud de oscilación?
Un péndulo colgado en el hueco de una escalera de un edificio de 10 pisos se compone de una masa grande suspendida de un alambre de 34,0 m de longitud. ¿Cuál es su periodo de oscilación.
PROBLEMAS
FISICA II
Después de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial construye un péndulo simple con longitud de 50,0 cm y determina que efectúa 100 oscilaciones completas en 136 s. ¿Cuánto vale g en ese planeta?
