INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
Desigualdad.
Inecuación de Primer Grado.
Inecuación de Segundo Grado.
Aplicaciones.
DESIGUALDAD:
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:
Símbolo
Se lee
Ejemplo
<
menor que
2x − 1 < 7
≤
menor o igual que
2x − 1 ≤ 7
>
mayor que
2x − 1 > 7
≥
mayor o igual que
2x − 1 ≥ 7
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que v erifica la inecuación.
Intervalos:
Podemos expresar la solución de la inecuación mediante: a.
Una representación gráfica.
b.
Un intervalo.
1
Ejemplos:
1.
2x − 1 < 7
2x < 8
x<4
2x ≤ 8
x≤4
2x > 8
x>4
2x ≥ 8
x≥4
C.S. = (- ∞, 4) 2.
2x − 1 ≤ 7
C.S. = (- ∞, 4] 3.
2x − 1 > 7
C.S. = (4, ∞)
4.
2x − 1 ≥ 7
C.S. = [4, ∞)
2
Criterios de equivalencia de inecuaciones:
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada. 3x + 4 < 5
3x + 4 − 4 < 5 – 4
3x < 1
Si a los dos miembros de una inecuación se les m ultiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada. 2x < 6
2x ÷ 2 < 6 ÷ 2
x<3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada. (−x) × (−1) > 5 × (−1)
−x < 5
INECUACION LINEAL O DE PRIMER GRADO
Inecuación que se puede escribir dela siguiente forma: ax + b ≤ 0;
a≠0
Ejemplos:
a. 7x – 3 0 b. 2 – 5x 0 c.
Estrategias p ara la Resolu ción de Inecuaciones de Primer Grado
Ejemplos:
a. Consideremos la inecuación:
La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1º
Quitar corchetes.
2º
Quitar paréntesis.
3º
Quitar denominadores.
3
x > −5
4º
Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
5º
Efectuar las operaciones
6º
Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la
desigualdad.
7º
Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla: De forma gráfica:
Como un intervalo: C.S. = [3, +∞)
b. Resuelve ( ) Aplique la
propiedad distributiva de la
multiplicación Reste 6 a ambos lados
Divida entre -2 para despejar la incógnita, la
desigualdad cambia
Represente gráficamente la solución.
Exprese el C.S en forma de intervalo
] [
4
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Inecuación que se puede escribir dela siguiente forma: ax + b ≤ 0;
a≠0
Ejemplos:
a. 7x – 3 0 b. 2 – 5x 0 c.
Estrategias para la Resolución de Inecuaciones de Segund o Grado
Ejemplos:
a. Consideremos la inecuación: 2
x − 6x + 8 > 0 La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1º
Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado. x2 − 6x + 8 = 0
2º
Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0 P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0 P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
C.S. = (-∞, 2)
5
(4, ∞)
2
b. Resuelva: x + 2x +1 ≥ 0 Solución x2 + 2x +1 = 0
(x + 1)2 ≥ 0 Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es
Conjunto Solución
c.
x + 2x +1 ≥ 0
(x + 1) ≥ 0
x + 2x +1 > 0
(x + 1) > 0
x + 2x +1 ≤ 0
(x + 1) ≤ 0
x + 2x +1 < 0
(x + 1) < 0
x=−1
Resuelva: x2 + x +1 > 0 Solución x2 + x + 1 = 0
Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es
.
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.
Conjunto Solución x + x +1 ≥ 0 x + x +1 > 0 x + x +1 ≤ 0 x + x +1 < 0
Inecuaciones racionales
Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.
6
Ejemplos:
a)
Resuelve: Solución 1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador. x−2=0
x=2
x−4=0
x=4
2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas. 3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica. C.S. = (-∞, 2]
b)
(4, ∞)
Resuelva: Solución Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.
7
Hallamos las raíces del numerador y del denominador. −x + 7 = 0
x=7
x−2=0
x=2
Evaluamos el signo:
C.S. = (-∞, 2)
(7, ∞)
Ejercicios
1 Resolver las siguientes inecuaciones a.
b.
c. 2 Resuelve el sistema:
3 Resolver las inecuaciones: a.
4 Resuelve:
2
1 7x + 21x − 28 < 0
a.
2
b. −x + 4x − 7 < 0 c.
8
4
2
4
2
b.
x − 25x + 144 < 0
c.
x − 16x − 225 ≥ 0
5 Resolver las inecuaciones:
7 Resuelve: 2
4x − 4x + 1 ≤ 0 a.
8 Resuelve:
b. 6 Resolver la inecuación:
9 Halla los valores de k para los que las raíces de la ecuación x2 − 6x + k = 0 sean las dos reales y distintas. 10 Resolver las inecuaciones de primer grado a.
b.
c.
d.
e.
11 Resolver las inecuaciones de segundo grado 2
a.
x − 6x + 8 > 0
b.
x + 2x +1 ≥ 0
g.
2
c.
x + x +1 > 0
d.
7x + 21x − 28 < 0
e.
f.
2
2
4x − 4x + 1 ≤ 0
2
h.
2
i.
x − 25x − 144 < 0
j.
x − 16x − 225 ≥ 0
−x + 4x − 7 < 0
12 Resolver las inecuaciones racionales
a.
c.
b.
d.
9
4
2
4
2
e. APLICACIONES:
1. Utididades: La compañía “Durini” fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y un costo unitario de $ 15. si los costos fijos son de $ 600,000, determine el número mínimo de unidades que la compañía debe de vender para obtener utilidades. 2. Utilidades: Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo de material es de $ 2.50 y el de m ano de obra es de $ 4. el gasto general, sin importar el volumen de ventas es de $ 5000. Si el precio para un mayorista es de $ 7.40 por unidad, determine el número mínimo de unidades que debe ser vendido para que la compañía obtenga utilidades. 3. Renta versus compra: una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre los costos de compra y rentar un automóvil. Ella puede rentar un automóvil por $ 400 mensuales (con una base anual). Bajo este plan el costo por kilómetro (gasolina y aceite) es de $ 0.10. si comprase el carro el gasto fijo anual sería de $ 3000 más $ 0.18 por kilómetro. ¿Cuál es el menor número de kilómetros que deberá conducir por año para que la renta no sea más cara que la compra. 4. Publicidad: El costo unitario de publicación de una revista es de $ 0.65; se vende al distribuidor a $ 0.60 cada una y la cantidad que se recibe por publicidad es de 10 % de lo recibido por todas las revistas vendidas arriba de las 10,000. Encuentre el menor número de revistas que pueden ser publicadas sin pérdida (suponga que toda la emisión será vendida). 5. Inversión: Una compañía invierte $30,000 de sus fondos excedentes a dos tasas de interés anual: 5 y 6.75%. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que de invertir a la tasa de 6.75%? 6. Asignación de Producción: Una compañía produce relojes despertadores. Durante una semana norm al de trabajo, el costo de mano de obra para producir un reloj es de $ 2.00, pero si es hecho en tiempo extra su costo es de $ 3.00. El administrador ha decidido no gastar más de $ 25,000 por semana en mano de obra. La compañía debe producir 11,000 relojes esta semana. ¿Cuál es el número mínimo de relojes que deben ser producidos en una semana normal de trabajo? 7. Asignación de ventas: Un fabricante tiene 2,500 unidades de un producto cuyo precio unitario es de $ 4. el próximo mes el precio por unidad se incrementará en $ 0.50; el fabricante quiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2,500 unidades no sea menor que $ 10,750. ¿Cuál es el número máximo de unidades que pueden ser vendidas en este mes.
10
8. Sueldo por hora: A los pintores mayormente se les paga por hora o por obra terminada. El salario que reciba puede afectar la velocidad con la cual trabaje. Por ejemplo, suponga que pueda trabajar por $ 8.50 la hora, o por $ 300 más $ 3 por cada hora por debajo de 40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma t horas. Si
t 40 ,
claramente el sueldo por hora en mejor. Si
t 40 ,
para que valores de t el salario por hora es mejor? 9. Compensación: Suponga que una compañía le ofrece un puesto de ventas y que usted elija dos métodos para determinar su salario. Un método paga $ 12,600, más un bono de 2% sobre sus ventas anuales. El otro método paga una sola comisión del 8% sobre sus ventas. ¿Para qué nivel de ventas anuales es mejor escoger el primer método? 10.Concierto en el campus: La rectora de la universidad está planeando que un grupo de rock realice un concierto en el campus. El precio por el concierto sería un pago único de $ 2,440 o un pago de $ 1,000 más el 40% de las entradas. Es probable que 800 alumnos asistan. A lo más, ¿Cuánto podría cobrar la rectora por boleto de modo que la segunda forma de pago no sea más elevada que el pago único? Si se cobra este máximo ¿Cuánto dinero deberá de dejarse para publicidad, guardias y otros gastos del concierto?
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