Inecuaciones: soluciones gráficas 3.2 Recuerda como se resuelven las inecuaciones de primer grado, segundo y de grado superior.
Inecuaciones lineales con dos variables. Ejemplos
En esta actividad puedes ver las zonas solución de estas inecuaciones
Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables. Ejemplo
Solución gráfica de inecuaciones de segundo grado. Ejemplo
Problema de programación lineal (P!
Ejemplo
El siguiente es un ejemplo de un problema PL Un problema de programación lineal es un problema en cual debemos hallar el valor máximo o mínimo de una expresión lineal ax + by + cz +...
(llamada la función ojectiva), sujeta a unas restricciones lineales de la forma Ax + By + Cz + . . .≤ N
!etermine el valor máximo de p " # x - $ y + % z
sujeta a % x + # y - z ≥ # x + $ y + z ≤ % x ≥ &, y ≥ &, z ≥ & La "unción ojectiva es p # $ x - % y & ' z . Las restricciones son
% x + # y - z ≥ # x + $ y + z ≤ % x ≥ &, y ≥ &, z ≥ &.
P (Espera) *Por+u no puedo sencillamente escoger,
o
por ejemplo, +ue tenga z un valor muy grande -como Ax + By + Cz + . z # ,///,///0 y así hacer +ue p sea como grande +ue . .≥ N. +uiero1
El valor más grande o más pequeño de la función ojetiva se llama el valor óptimo, ! un conjunto de valores de x , y , z , . . .
C 2o se puede por+ue Escoja una
que se resultan en el valor óptimo es la solución óptima. 'as variales x , y , z , . . . se llaman las variables decisión.
nicio de página
nicio de página "ibujar el conjunto solución de una desigualdad lineal
Para dibujar la región representada por una desigualdad en dos variables
Ejemplo
Para dibujar la desigualdad lineal
# x - % y ≤ $, *rimero diuje la recta # x - % y " $.
A. !ibuje la recta +ue se obtiene por sustituir una igualdad por la desigualdad. B. Escoja un punto de prueba +ue no está en la recta --/,/0 es una elección conveniente si la recta no pasa por el origen. 3i pasa por el origen, un punto en un eje sería su"iciente0. C. 3i el punto de prueba satis"ace la desigualdad, el conjunto de las soluciones es la región entera en el mismo lado de la recta. 3i no, el conjunto solución es la región del otro lado de la recta. En cual+uier de los dos casos, sombree la región opuesta para dejar claro el conjunto solución. nicio de página
espus, elije el origen (&, &) como el punto de pruea (pues no está en la recta). -ustitu!endo x " &, y " & en la desigualdad, otenemos #(&) - %(&) ≤ $, una declaración verdadera. Entonces, (&, &) s está en el conjunto solución, que se consiste entonces de todos los puntos en el mismo lado que (&, &). ejamos claro esta región, mientras somreamos la región no solución para ocultarla.
nicio de página #egión factible
La región factible determinada por un conjunto de desigualdades lineales es el conjunto de puntos +ue satis"acen a la ve4 todas las desigualdades.
Ejemplo
La región "actible determinada por el siguiente conjunto de desigualdades es la región no sombreada mostrada más abajo -incluyendo su "rontera0.
# x - % y ≤ $, x + $ y ≥ % x ≥ y ≥ &.
Para dibujar la región "actible determinada por un conjunto de desigualdades lineales !ibuje las regiones determinadas por cada desigualdad recordando en cada caso sombrear la parte del plano +ue no +uiere. La región +ue permanece sin sombreado es la región "actible.
nicio de página
nicio de página $%todo gráfico
Ejemplo
El método gráfico para solucionar a un problema de programación lineal es el siguiente
5inimi4ar C # $ x & ' y sujeta a
/. iuje la región factile de los
# x - % y ≤ $, x + $ y ≥ % x ≥ , y ≥ &. La región "actible para este conjunto de restricciones
restricciones.
"ue mostrada más arriba. 6+uí está otra ve4 con los puntos de es+uinas indicados.
0. 1alcule las coordenadas de los puntos e2tremos (puntos de esquina). 1. -ustitu!a las coordenadas de los puntos de esquina en la función ojetiva para ver cual da el valor óptimo. Este punto da la solución del prolema de programación lineal.
6un+ue no es acotada la región "actible, estamos minimi4ando C # $ x & 'y, cuyas coe"icientes son no negativos. Entonces existe una solución obtenida por el mtodo más arriba a la i4+uierda. La siguiente tabla muestra el valor de C a cada punto de es+uina
. -i la región Punto C & 3 x ' ) factile no es acotada, este mtodo puede (, #()+%(.5) " mnimo ser erróneo3 .5) 6 soluciones óptimas siempre #(%)+%(&) " e2isten cuando (%, &) $ la región factile está acotada, Entonces, la solución es x " , y " .5, que da pero pueden no e2istir en el caso C " 6 como el valor mnimo. no acotado. -i la nicio de página región factile no es acotada, estamos minimizando una función ojectiva cu!as coe4cientes son no negativos, entonces e2iste una solución dado por este mtodo. Para determinar si existe una solución en el caso general no acotado
. /cote la región por añadir una recta 7ori8ontal por encima del punto de esquina más arria, ! una recta vertical a la derec7a del punto de esquina que est mas 7acia la derec7a. $. 1alcule las coordenadas de los puntos nuevos de esquina que se otiene. #. 9alle el punto de esquina donde ocurre el valor óptimo de la función ojectiva. %. -i el valor óptimo se ocurre a un punto de esquina de la región original (no acotada) entonces e2iste la solución óptima a aquel punto. -i ocurra el valor óptimo solo a un punto nuevo de esquina, entonces el prolema de programación lineal no tiene soluciones. 3i +uiere ver una utilidad +ue automati4a el proceso entero, pruebe el 7rá"icador programación lineal. (8ace todo
automáticamente, incluyendo dibujar la región "actible) nicio de página Problema de ma*imi+ación estándar
Ejemplos
La siguiente es una problema de maximi4ación estándar
Una problema de maximización estándar ;a2imi8ar P " $ x - # y + z sujeta a con n incógnitas es un problema de programación ' x - $ y & z ; $ lineal en lo +ue x & y & z ; / necesitamos maximi4ar -no x < /, y < /, z < /. minimi4ar0 la "unción ojectiva, sujeta a La siguiente no es una problema de maximi4ación restricciones de la "orma estándar x ≥ &, y ≥ &, z ≥ &, . . . ,
! restricciones adicionales de la forma Ax + By + Cz + . . . ≤ N,
;a2imi8ar P " $ x - # y + z sujeta a ' x - $ y & z < $ x & y & z ; / x < /, y < /, z < /. nicio de página
donde A, B, C, . . . ! N son n:meros con N no negativa. 9bserve +ue la desigualdad a+uí debe ser una :;,: y no :#: o :<.: nicio de página $%todo simple* para problemas de ma*imi+ación estándar
Unos enlaces útiles =utorial sobre el mtodo simplex
Para solucionar un 8erramienta 7auss>?ordan y pivotador problema de maximi4ación estándar por el método 8erramienta Excel 7auss>?ordan y pivotador simplex, seguimos los siguientes pasos
Paso 1. @onvierta las desigualdades en igualdades por introducir variables de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, y escriba las restricciones en "orma estándar como muestra en"rente en el ejemplo. Paso . Escriba la tabla inicial simplex. Paso !. Escoja la columna pivote Encuentre el nAmero negativo mayor -en valor absoluto0 en el Altimo renglón -excluyendo la entrada más hacia la derecha0. 3u columna es la columna pivote. -3i hay más +ue una candidata, escoja alguna.0 3i no hay nAmeros negativo en Altimo renglón son cero -excluyendo la entrada más hacia la derecha0, entonces está terminado la corriente solución básica maximi4a la "unción ojectiva -la solución básica está descrito más abajo0. Paso ". Escoja el pivote en la columna pivote El pivote debe ser una entrada positiva. Para cada entrada positiva b en la columna pivote, calcule la ra4ón aBb, donde a es la entrada
8erramienta mtodo simplex
nicio de página
de la Altima columna -valores solución0 del renglón. Entre estas razones de prueba, escoja la más pe+ueCa. La entrada correspondiente b es el pivote. Paso #. Use el pivote para despejar la columna en la manera normal descrito en el tutorial del mtodo 7auss ?ordan, y sustituya la eti+ueta de la columna pivote por la eti+ueta del reglón pivote. La eti+ueta original es la variable saliendo y la nueva eti+ueta es la variable entrando. Paso $. Daya a Paso $. nicio de página Solución básica
Ejemplo
Para obtener la solución básica +ue corresponde a alguna tabla del mtodo simplex, iguale a cero a todas las variables +ue no aparecen como eti+uetas de renglones -estas son las variables inactivas0.
En la siguiente tabla
El valor de una variable +ue no aparece como una eti+ueta de renglón -es decir, una variable activa0 es la ra4ón aBb, en la +ue a es la entrada de la Altima columna del renglón y a es la entrada de a+uel renglón
x
y
z
s
t
u
p
Ans
-
&
&
&
&
&
%
&
#
&
&
<
&
$
%
&
&
&
#
&
&
$
-5
$
&
&
&
=
&
%
=
&
&
&
&
&
5
-$5
la solución ásica es x " &, y " $, z " %, s " %, t " $>#, u " &,
cuya columna tiene la misma eti+ueta.
p " -5,
! las variales activas son y , z , s, t, ! p.
nicio de página
nicio de página
#estricciones no estándar
Para solucionar un problema PL con restricciones de la "orma Ax & By & . . .< N con N positiva, sustraiga una variable de excedente del lado i4+uierdo en ve4 de aCadir una variable de holgura. La solución básica +ue corresponde a la primera tabla no estará "actible por+ue algunas de las variables activas serán negativas, entonces las reglas para pivotar son di"erentes a las mostradas más arriba. Estrellar cada renglón +ue da un valor negativo a la variable asociada activa -salvo la variable ojectiva, +ue puede ser negativa0. 3i hay algunos renglonges estrellados, tiene +ue empe4ar con %ase &' %ase &' (levándose a la región factible )*eshaciéndose de las estrellas+ En el primero renglón estrellado, encuentre la entrada positiva más grande. Use ra4ones de prueba como más arriba para encontrar el pivote en su columna -excluyendo el Altimo renglón como de costumbre0, y pivote. 2ota 3i la ra4ón más pe+ueCa ocurre en un renglón estrellado y tambin en un renglón no estrellado, escoja el pivote en un renglón estrellado. !espus de pivotar, comprueba otra ve4 para ver cual renglones necesitan estrellas. epita hasta +ue permanece no renglones estrellados, y despus avance a %ase &&. %ase &&' ,se el método para problemas P( estándar. 3i permanece algunas entradas a la i4+uierda del Altimo renglón despus de Fase G, use el mtodo descrito más arriba para solucionar problemas estándar de maximi4ación.
Para algunos e jemplos interactivos, visita el tutorial para problemas general de programación lineal. nicio de página $%todo Simple* para problemas de minimi+ación
Para solucionar un problema de minimi4ación por el mtodo simplex, se convierte el problema en un problema de
Ejemplo
El problema PL de minimi4ación
;inimi8ar C " # x + % y - < z sujeta a # x - % y ≤ $, x + $ y + z ≥ % % x - $ y + 5 z ≤ $&
x ≥ &, y ≥ &, z ≥ & maximi4ación por negar la "unción objetiva En ve4 de puede ser reempla8ar por el siguiente minimi4ar c, se maximi4a prolema de maximización3 p # -c. ;a2imi8ar P " -# x - % y + < z sujeta a nicio de página
# x - % y ≤ $, x + $ y + z ≥ % % x - $ y + 5 z ≤ $& x ≥ &, y ≥ &, z ≥ &.
