TRILCE
Capítulo
ECUACIONES E INECUACIONES TRIGOONOM ÉTRICAS TRIG
15
E C U A C I O N E S TR TR I G O N O M ÉT R RII C A S
Son So n igualdades igualdad es condi cionales io nales donde dond e la variable varia ble (x ) o arcos de la forma ( ax + b) se enc encuentr uentran an afectados afectados de algún operado operadorr trigonom tri gonom étrico como el seno, seno, coseno, coseno, etc. etc.
F.T. (ax + b) = N
Es de la forma :
.......... ..... .......... ..... (*)
D onde el valor principal principal ( V p) es el valor del ángulo ángulo o arco arco ( ax + b) definido d efinido en el "rango " de la función trigonométrica inversa.
De (*) :
V p = A rc F.T. (N )
A demás demá s N debe pertenec pertenecer er al do mi nio de la funci funci ón trigonométrica; tri gonométrica; a y b son constantes reales con a 0 . E j emplo emp lo : D e las ecuacio ecuaciones nes trigonom tri gonom étricas elementales, con s sus us respectivos pectivo s valores val ores principa pri ncipales les :
*
Sen3x
*
C os 2x
*
T an
3 3 rcSen V p A rcSen 2 2 3 1 V p A rcC 1 2 rcC os 4 2 2 3
3x 1 V p A rcT rcT an( 1) 4 5 8
E X P R E SI SI O N E S G E N E RA RA L E S D E T O D O S L O S A R C O S Q U E TI TI E N E N L A M I S M A F U N C I ÓN TRIGON OM ÉTRICA
ECUACIÓN Si : Senx N
SOLUCIÓN
K
x K ( 1) V p
; kZ
O bs : Vp = ArcSe ArcSen(N) n(N)
ECUACIÓN Si : C os osx xN
SOLUCIÓN
x 2K V p
; K Z
O bs : Vp = ArcC ArcC os(N )
15 3
Trigonometría
ECUACIÓN Si : Tanx N
SOLUCIÓN
x K Vp
; K Z
O bs : V p = ArcTan(N )
I N E C U A C I O N E S TR I G O N O M ÉT RI C A S
Tri gono mé tr ic a : Es una desigualdad condicional que involucra funciones trigonométricas por lo menos
In ecuac ión una. Ejemplos :
* *
Sen2x > C osx Tan2x + C o t2x > C scx
*
Sen xC osx SenxCos x
*
Sen2x
3
3
1 4
1 3
In ecuaci ón Tri gono mé tr ic a El ement al : U na inecuació n trigonométrica se llamará elemental, cuando es de la forma : F. T .( K x )
a , x : incógnita
Ejemplos :
1 2
*
Senx
*
C os2x
*
T an3x 1
3 2
Resoluc ión d e una I necuación Tri gonom é tr i ca El emental : Se estila seguir dos métodos : R esolver : Senx
15 4
1 2
TRILCE
Mé t o do I : En la circunferencia trigonom étrica, ubicamos todos los arcos "x" cuyos senos sean mayores que
1 , así : 2
y
5 6
1 2
Senx
6
1 2
6
x
5 6
El conjunto solución general será :
6 x
x2+ y2= 1
2n x
6
2n ;
5 6 5 6
2n ; n Z
2n
; nZ
Mé t o do I I : G raficamos en un mismo sistema coordenado las funciones :
f ( x ) Senx
g(x)
1 2
L os puntos de i ntersecció n en un periodo del Senx : osea en 0 ; 2 , se obtienen con :
f ( x ) g( x ) Senx
x
6
x
1 2 5 6
y 1 g( x )
1 2
1 2
2
6
5 6
x f(x)= Senx
1
15 5
Trigonometría
EJERCICIOS PROPUESTOS 01.
Sume las dos primeras soluciones positivas de:
Sen2x
1 2
a) 90º d) 225º
b) 180º e) 135º
c) 270º
08. Resolver : a) 180º d) 270º 02.
b) 360º e) 135º
c) 90º
b) 240º e) 270º
1 2
a) 90º d) 225º
1
T an x
b) 135º e) 270º
c) 180º
09. A l resolver la ecuación :
b) 180º e) 150º
3
C os4 x Sen4 x 2C os C os2x Sen2x L uego, señale la menor solución positi va.
c) 200º a)
04. Si : x y x son los dos primeros valores positivos de 2
d)
b)
4
e)
8
c)
6
3
12
"x" que verifican : 2
2Sen x C osx 1 , calcule : Sen( x x ) , 2
si : x x 1
a)
3 2
d)
1 2
1
2
b)
1 2
e)
b) 3
7 3
e) 4
d)
3 2
Sen5x Sen3x
07.
c) 165º
........... ( 1)
SenyC osx
1 5
........... ( 2)
a) b) c) d) e)
x x x x x
= = = = =
63º30' 53º 71º30' 67º30º 60º
4
y= y= y= y= y=
26º30' 37º 18º30' 22º30' 30º
4
c) 1 ; 3 2 2
d) 1 ;
1 2
3 2
b)
x 1
1 2
a)
Sen x Sen x C o
; ; ; ; ;
11. Resolver :
e)
Señale la suma de las dos menores soluciones positi vas de la ecuación :
15 6
4 5
C os( 2A rcC osx )
3 ( C os5x C os3x )
b) 180º e) 210º
2
SenxC osy
c)
06. Sum e las tres prim eras soluciones positi vas de la ecuación :
a) 135º d) 160º
10. Resolver :
Para : x , y 0 ; 90º
c) 1
05. Resolver : (Sen4x+ Cos4x)( Senx+ C osx)= 1+ Sen5x Indique la suma de los tres primeros valores positivos de "x" a) 2
2
1
C ot x
c) 300º
T an( 2x 30º )
1
Sen x
2
L uego, señale la suma de las dos primeras soluciones positivas.
Sume las dos primeras soluciones positivas de :
a) 170º d) 210º
2
2
C os x
Sume las dos primeras soluciones positivas de :
a) 120º d) 260º
1
2
C os3x
03.
1
3 2
2 2
12. Resolver :
Sen2x C os
9
;
n Z
TRILCE
a)
; 2 4 ; 5 3 3 3 3
b)
; 5 7 ; 11 6 6 6 6
e)
c)
; 2 4 ; 5 3 3 3 3
13. Resolver :
d)
; 5 7 ; 11 6 6 6 6
e)
; 2 7 ; 5 6 3 6 3
5 18
n 7
a) n ( 1)
c) n ( 1)
n ( 1) n 7 36 2
b)
n d) 2n ( 1) 18 9
n ( 1) n 5 18 2
n Z
2Cos5x . C osx - C os6x = 1 ; a) 2n c)
4n
b)
n 2
d)
n
17. R esolver en el intervalo de 0 ;
n 4
2
T an x T anx 0
e)
14. R esolver : Secx = 6Senx
; n Z
a)
n ( 1) 1 A rcSen n 2 6
b)
n ( 1) 1 A rcSen 2 2 6 n
c)
a)
;
4
2
c)
; 4 2
e)
; 3 4 4 2
b)
0 ;
d)
;
4
2
18. Resolver :
n ( 1) 1 A rcSen n 2 3
2C osx 1 0 2Senx C osx 7 Para : x 0 ;
n ( 1) n 1 A rcSen d) 2 2 3
a) e)
la inecuación :
n ( 1) n 2 A rcSen 2 3 2
c)
15. R esolver en el intervalo de 0 ; 2 la inecuación :
Senx
1 2
e)
; 3 2
; 4
b)
4
3 ; 4
0 ; 4
d)
; 3
4
4
19. Resolver : a)
; 5 6 6
5 c) ; 6 6 e)
b) ; 6
5 6
3x
Sen
x Sen x C os3 x 1 2 2 2 4
en el intervalo de 0 ; 2
2 d) ; 3 3
; 2 3 3
a)
16. R esolver en el intervalo de 0 ; 2 la inecuación :
1 C osx 1 2
2
C os
2
; 5 6
c) ; 6 e)
0 ;
6
5 6
b)
; 2 3
d) ; 3
3
2 3
5 ; 6 6
15 7
Trigonometría
0 ; 2
20. Resolver en
26. A l
Sen2x > C osx
;
a) c)
6
5 3 ; 6 2
b)
2
7 ; 2 6
resolver
la
ecuación
2
3T an 1 donde
0 2 , la suma de todas sus soluciones es : a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
c) 4
27. L a suma de las soluciones, en el intervalo [ 0º ; 360º] de la ecuación :
d) a b
2Sen2x Senx C osx es :
e) a c 21. D ada la ecuación : C osx + C os2x + C os3x = 0,
a) 450º d) 945º
b) 495º e) 1170º
c) 600º
hallar la suma de todas las soluciones de dicha ecuación, si estas soluciones están comprendi das entre
28. L a afirmación que cumple con la siguiente inecuación:
0 y 2 (radianes). a)
b) 2
d) 3
e) 6
3Senx c) 4
22. A l resolver el sistema :
2Senx 3T any 4 3 6Senx T any 2 3 ,
2C osx
3
1 5
a)
x A rc Sen
b)
C osx
2 6 5
c)
Senx
2 3
d)
1 x A rc Sen 2 5
e)
x 9
se obtiene que la solución en el primer cuadrante es : a) b) c) d) e)
x x x x x
= = = = =
45º 60º 30º 60º 60º
, , , , ,
y= y= y= y= y=
45º 30º 60º 45º 60º
4
29. Si x y x 1
2 Sen2x C o x T anxC scx , calcular la di ferencia entre dos de di chas soluciones :
d)
2 3
b)
2 15
e)
c)
6
12
3 4
c)
2
12
8
, , 2
6
12
b)
d)
6
4
, , 5 2
6
12
15 8
b) 1
2
2
c) 1
e) 1
2 2
En la que x varía : x 2 El número de intersecciones de la función y = f(x) con el ej e de abscisas es : a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
Sen2x > Senx , 0 x
12
b) 150º e) 120º
1
31. R esolver la desigualdad :
25. H allar "x" en : Sen40º Senx = C os40º C osx - 2C os20º C osx a) 130º d) 135º
2
6
, , 5 e) 2
1
30. D ada la función f cuya regla de correspondencia es : f(x) = Cosx Sen2x
, , 2
Senx Senx Senx Senx es :
d) 1
2SenxC os2x 2C os2x Senx 1 0
, ,
entonces el valor de :
a) 0
24. R esolver la siguiente ecuación :
a)
son dos soluciones de la ecuación : 5C osx
4Senx = 4,
23. A l resolver la ecuación :
a)
2
c) 60º
a) 0 ; 3 c)
0 ;
3
b) 0 ; 3 d)
0 ;
3
TRILCE
36. R esolver la ecuación :
e) 0 ;
Sen2x + 5Senx + 5Cosx + 1 = 0 32. C alcular la suma d e las soluci ones de la ecuación
a)
; 2 2
trigonométrica, si x
x x 3C osx 2Sen C os 4 2 4 2
a)
d)
2
3
b)
c)
2
4
b)
2k ; k Z
c)
3 2k ; k Z 4
d)
k ; k Z
e)
3 k ; k Z
3
e)
k ; k Z
4
4
4
37. R esolver la ecuación :
33. R esolver la ecuación :
T an2x Cotx 8C o N O TA : K es un número entero.
Sen4x + 3Sen2x = Tanx
2
x a)
k ; k Z 3
a)
K ( 1) k 4 3
b)
2k ; k Z
b)
K ( 1) k 4 6
c)
k ; k Z 3
c)
K ( 1) k 4 12
d)
k ; k Z 6
d)
K ( 1) k 4 24
e)
k ; k Z 4
e)
K ( 1) k 4 48
38.
de la ecuación : Cosx = (2 Tanx) ( 1 + Senx)
7 ; 11 34. H allar el menor ángulo en el intervalo 3 3 que satisface la ecuación : 2
2T an x 3Secx 0
a)
10 3
d) 0
b)
e)
2 3
c)
4 3
8 3
R esolver e indi car el número de soluciones en 0 ; 2
a) 2
b) 3
c) 4
d) 1
e) N o existen soluciones. 39.
Si k es un número entero, las soluciones de la ecuación:
2Sen x a) k
c) k ( 1)
ecuación :
1 Senx 1 Sen x 2
1
Q ue se encuentran en el intervalo [ 0 ; ]
a)
2
d) 0
b)
4
e)
c)
e) 2k
k
3
4
d) k ( 1)
k
6
6
40. El ángulo en grados, que satisface la ecuación :
1 C os 6 2
3 2C os
3
b) k
4
35. D etermi nar la suma d e todas las solucio nes de la
SenxSec2x son : 4
Pertenece al intervalo : a)
180º ; 240º
15 9
Trigonometría
120º ; 135º
b)
e) 0 x
c)
300º ; 300º
d)
90º ; 120º
e)
240º ; 270º
45. En el intervalo 0 ; 2 , para qué valores de , se cumple la sigui ente desigualdad:
Sec T an
41. El número de elementos del conjunto :
a)
0 ; 3 ; 7 2 2 4
b)
0 ; 3 ; 2 2 2
F x [ 0 ; 2] / C os2xSecx Secx 1 0
es :
42.
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
3 ; 2 2
c)
R esolver la siguiente ecuación trigonométrica :
x C ot Senx Cotx 2
; 3
d)
2
a)
1 ( 2k 1) 2
b)
1 ( 2k 1) 3
c)
1 ( 2k 1) 4
d)
1 ( 4 k 1) 2
43.
b)
46. Para qué valores de x 0 ; , se cumple: 2 x
2x C os 0 2 3
C os
1 ( 4 k 3) 2
Indi que una solución general para la ecuación : 4Cosx C os2x Cos3x = 1
a)
2
; 3 ; 2 2 2
e)
e)
4
k k
;
4
;
2
k
d)
k
e)
k
3
6
c) 0 x
6
6
0 ;
e)
2 ; 3
k Z k Z
;
k Z k Z
; 0 y 2
2
b) 0 x d) 0 x
Tanx T an x
a) d)
9 5 9
0 ;
d)
0 ;
3 2 3
T an x T an x 9 6
18
b)
2 9
e)
17 36
c)
4 9
6
6
2
( T an2x C ot 2x ) | T an2x C ot2x | 6
k Z
a)
k 4 8
k b) 2 8
c) k 4
d) k 16
k e) 8 8
16 0
b)
48. Resuelva :
4
Entonces el intervalo en el que x satisface la igualdad : Tany = 2Senx es :
a) 0 x
c)
k Z
;
;
8
44. Sea : 0 x
0 ;
47. C alcule la mayor solución negativa de la ecuación :
c)
a)
TRILCE
49. Resolver : 4 9x
C os
54. Resolver :
C os4 3x Sen4 9x Sen4 3x
2
2
2
2
Tan5x Tanx = Tan2x Tan3x
k Z
k Z
a) ( 4k 1) 2
k b) 6
c) ( 2k 1) 2
k 6 24
b)
2k 24 3
d)
2k 9 3
c)
k d) 12
k 2 12
e)
e) ( 4k 1) 12
55. Si : x 50.
k 3 18
a)
H alle el menor valor positivo que resuelve la ecuación trigonométrica :
C o 6x 3 4C o
2
1
x 2 son las dos menores soluciones positivas
de la ecuación : 2
2
2
3 5T an x T an 5x( 5 3T an x)
2x
Tal que : x x , a)
d)
b)
15
2
x 2 halle : x
5
1
e)
4
c)
12
1
6
a) 3 d) 8
b) 6 e) 5
c) 4
51. R esuelva la ecuación :
1 C os2x 28 | C osx | 3 9 e indique la suma de soluciones en el intervalo de 0 ; 2
a) 5 d)
b) 4
9 2
e)
c) 6
7 2
52. Si : x 1 Sen es una raíz de : 14 3
2
f ( x ) 8x 4x 4x n ,
56. Resolver : 2
b)
c)
d) 1
e) 7
2
23 27
k Z
a)
2k ArcCos 1 3
b)
2k ArcCos 2 3
c)
k ( 1) k A rcSen 2 3
d)
k ( 1) k A rcSen 1 3
e)
2k A rcT an 1 3
calcule "n"
a) 1
3
Sen x C os x
7
57. Resolver : 4
8 Sen x C o 4x
53. R esolver la ecuación :
;
nZ
2
2T an3x 3T an2x T an 2xTan3x
n Z
a) n
3
c) 2n
6
b) n
d)
n
6
a)
n ArcCos 3 4
b)
n 1 ArcCos 3 2 4
c)
n ArcCos 3 4 2
e) 2n
16 1
Trigonometría
d)
n 1 A rcC os3 4 2 2
b)
n ( 1) n 4
e)
n 1 A rcC os3 4 4 2
c)
n ( 1) n 2
d)
n ( 1) n 4 4
e)
n ( 1) n 4 4
58. Si el determinante de la matriz :
Senx Sen3x C Sen2x Sen4 x 1 1
Sen5x
Sen6x 1
Es : 0,5Sen2x
60. Resuelva :
H allar "x" ( n Z )
2 x
Sen
n a) 2
b) n ( 1)
c) n ( 1)
n
6
n
6
59. Resolver : 13(1 + Senx + Cosx) + Sen2x = 0
a)
16 2
n ( 1) n 4
4
e indi que como respuesta la suma de soluciones en 0 ; 8
d) a y b
e) a y c
n Z
2
Sen x 0
a) 12
b) 16
d) 15
e) 28
c) 20
TRILCE
laves Claves 01.
c
3 1.
c
02.
a
3 2.
c
03.
b
3 3.
d
04.
d
3 4.
e
05.
e
3 5.
d
06.
c
3 6.
d
07.
b
3 7.
a
08.
c
3 8.
a
09.
b
3 9.
b
10.
a
4 0.
c
11.
b
4 1.
b
12.
b
4 2.
a
13.
d
4 3.
c
14.
d
4 4.
d
15.
b
4 5.
b
16.
c
4 6.
c
17.
c
4 7.
c
18.
e
4 8.
a
19.
c
4 9.
b
20.
d
5 0.
b
21.
e
5 1.
b
22.
e
5 2.
a
23.
a
5 3.
d
24.
d
5 4.
b
25.
e
5 5.
c
26.
c
5 6.
b
27.
b
5 7.
b
28.
d
5 8.
c
29.
b
5 9.
d
30.
c
6 0.
c
16 3
