1. La compañia Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y un costo unitario de $ 15. Si los costos fijos son de $ 600 000, determine el número mínimo de unidades que deben ser vendidos para que la compañia tenga utilidades. Solución Sea: q = cantidad de unidades 20q = ventas totales. 15q + 600 000 = costos totales Entonces planteamos que las diferencia entre ventas totales menos los costos totales tienen que ser mayor a 0. Quedando planteada la inecuación de la siguiente forma:
Por lo tanto se necesitan producir al menos 120 001 productos para que la compañia tenga utilidades. 2. El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propiosempaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a $ 1.10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en $ 800 al mes y el costo del material y de mano de obra será de $ 0.60 por cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión decisión de fabricar fabricar sus propios propios empaques? Solución
q= cantidad de empaques. Monto total si compra a sus proveedor: 1.10q Monto total si lo produce: 800+0.60q Por tanto el costo de producción propio tiene que ser menor al costo de comprarlo a los proveedores.
Respuesta: Deberá producir al menos 1601 empaques al mes para justificar la fabricación. 2. Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra $ 3 por corte por cada incremento de $ 0.5 en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientes. ¿Qué precio deberá fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que él obtiene por una tarifa de $ 3? Solución Sea; x = el número de incremento de $ 0.5 en la tarifa por encima de $ 3 $ (3 + 0.5x) = el precio del corte. 100 - 10x = número de clientes por semana. Ingreso total a la semana = (número de clientes) precio del corte = (100 - 10x)(3 + 0.5x) dólares El ingreso correspondiente a 100 clientes son de (100)($ 3) = 300 luego los nuevos ingresos semanales deben ser al menos 300 dólares, es decir:
aplicando puntos críticos:
por lo tanto la solución es:
Esto quiere decir que debería subir a lo más 4 x 0.5 = $ 2 El peluquero debería cobrar una tarifa máxima de $3+ $2=$5 por corte, para obtener al menos los mismos ingresos que los correspondientes a 100 clientescobrándoles $3 por corte. 3. Una compañia de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $ 1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es de $ 1.40 por revista. El ingreso por publicidad es de 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10 000 ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben ser vendidas de modo que la compañía obtenga utilidades?
Solución Sea q = número de revistas vendidas. El ingreso total recibido de los distribuidores es 1.40q y el recibido por publicidad es (0.10) (1.40)(q-10000) el costo total de la publicación es 1.50q
Por lo tanto el número total de revistas debe ser mayor que 35000, es decir que al menos 35001 ejemplares deben ser vendidos para garantizar utilidades.
4. Las ventas mensuales "x" de cierto artículo cuando su precio es P dólares están dadas por P = 200 - 3x. El costo de producir x unidades del mismo artículo es C= (650 + 5x) dólar ¿Cuántas unidades de este artículo deberán producirse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2500 dólares?
Solución Sea R= el ingreso en $ obtenido por vender x unidades al precio de P dólares por unidad, es decir: R = x (precio por unidad) = x(p) = x(200 3x)
C = el costo en $ de fabricar x unidades, es decir: C= 650 + 5x Como utilidad = Ingresos - costos , entonces lo planteamos de la siguiente forma:
Como la utilidad debe ser al menos de $ 2500, es decir:
factorizando se tiene:
aplicando puntos críticos:
Luego para obtener una utilidad de al menos $ 2500 al mes, el fabricante debe producir y vender cualesquiera unidades de 30 a 35.
5. Un constructor debe decidir si renta o compra una máquina excavadora. Si renta la máquina el pago mensual sería de $ 600 (con base en un año) y el costo diario (gas, aceite y conductor) sería de $ 60 por cada día que sea utilizada. Si la compra, su costo fijo anual sería de $ 4000 y los costos por operación y mantenimiento serían de $ 80 por cada día que la máquina sea utilizada ¿Cuál es el número mínimo de días al año que tendría que usarse la máquina para justificar la renta en lugar de la compra?
Solución Determinaremos expresiones para el costo anual de la renta y el de la compra, así encontraremos cuando el costo de la renta es menor que el de la compra. Sea d = el número de días de cada año en que la máquina es utilizada. Si la máquina rentada, su costo total anual consistiría en el pago de la renta, que es (12)(600) y los cargos diarios de 60d, si la máquina es comprada, el costo por año será. 4000 + 80d, queremos que el Costo Renta < Costo Compra. 12(600) + 60d < 4000 + 80d entonces 7200 + 60d < 4000 + 80d , de donde 3200 < 20d entonces 160 < d Por lo tanto, el constructor debe utilizar la máquina al menos 161 días para justificar su renta.
6. La gerencia de una minera, ha estimado que necesita "x" miles de dólares para adquirir: acciones de una compañía telefónica. Determinar el dinero que necesita esta minera para adquirir un mínimo de 100 000 acciones de esta compañía telefónica.
Solución Calculamos la cantidad de dinero que la minera necesita para adquirir un mínimo de 100 000 acciones resolviendo la inecuación.:
de donde:
Por lo tanto la minera necesita al menos $ 3 000 7. El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $ 60 cada artículo. Gasta $ 40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $ 30 000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $ 1 000 a la semana.
Solución Sea X = número de artículos producidos y vendidos a la semana. Como el costo total de producir "x" unidades es de $ 3000 más $40 por artículo, es decir: (40x + 3000) dólares el ingreso x unidades a $60 cada una será de 60 x dólares, por lo tanto. Utilidad = Ingresos - Costos = 60x - (40x + 3000) como debe tener ganancias de al menos $ 1000 al mes, tenemos la inecuación: Utilidad >= 1000 de donde 20 x - 3000 > 1000 entonces x >= 200 , por lo tanto, el fabricante debe producir y vender al menos 200 unidades cada semana.
8. Para una compañía que fabrica termómetros, el costo combinado de mano de obra y material es de $ 5 por termómetro. Los costos fijos (los costos de un periodo dado sin importar la producción) son de $ 60 000. Si el precio de venta de un termómetro es de $ 7 ¿Cuántos debe venderse para que la compañia obtenga utilidades?
Solución Como: Ganancia = Ingreso total - Costo total Entonces debemos encontrar el ingreso total y el costo total y después determinar cuando su diferencia es positiva. Sea q = el número de termómetros que deben ser vendidos entonces su costo es 5q Luego el costo total para la compra es: 5q + 60 000 , el ingreso total de "q" termómetros será: 7q y como: Ganancia= Ingreso total - Costo total > 0
Entonces: 7q - ( 5q + 60 000) > 0 , de donde 2q > 60 000 , entonces q > 30 000 , por lo tanto se deben vender al menos 30001 termómetros para que la compañía obtenga utilidades.
9. El Producto bruto interno (PBI) de un pais está proyectado en t^2 + 2t + 50 miles de millones de dólares, donde t se mide en años a partir del año en curso. Determínese el instante en que el PBI del país sea igual o excesa a $ 58 mil millones. Solución El PBI del país será igual o excederá $ 58 mil millones cuando t^2 + 2t + 50 >= 58 Para obtener la solución de la inecuación expresaremos en la forma: t^2 + 2t + 50 >=0 donde al factorizar se tiene (t+4)(t-2) >= 0
Aplicando el criterio de los puntos críticos se tiene:
El conjunto solución de la inecuación es
como t debe ser positivo, es decir se considera t >= 2 es decir que el PBI será igual o excederá por vez primera a los $ 58 mil millones, cuando t =2 es decir dentro de dos años. 10. Resolver la siguiente inecuación: 3 (x - 5) - 4(4 - 3x) > = 2( 7- x) - 3 ( x-5) Solución.
x/a + x/b > 1 + x/c , c > b > a > 0 Solución.
Resolver la siguiente inecuación de primer grado: 2x + (6-3x)/4 < 4. Resolución.
Resolver: 2x3-3x2-11x+6 < 0
Resolver. X5+3x4-5x3-15x2+4x+12 > 0
Resolver la siguiente inecuación de primer grado: 2x/3a + 4 > 5x / 6b + 2x , a > b > 0 Resolución.
x / (a ^2 - b ^2 ) + 3x / (a+b) < 5 / (a-b) , a > b > 0
Resolver la siguiente inecuación: -1/5 =< 3x - 1/4 =< 1/3
Resolver la siguiente inecuación: 5x -2 < 10 x + 8 < 2x + 16 Solución.
