INECUACIONES

FACULTAD DE ADMINISTRACIÒN DE EMPRESAS

TEMA: Inecuaciones

CURSO: Matemática I

 Arequia! "#

%$1

De&icamos este ro'ecto &e in(esti)aci*n a Dios ' a nuestros a&res+ A Dios Dios orque ,a esta&o con nosotras a ca&a aso que &amos! cui&án&onos ' &án&onos -orta.e/as ara continuar! continuar! a nuestros a&res! a&res! quienes a .o .ar)o &e nuestra (i&a ,an (e.a&o or nuestro 0ienestar ' e&ucaci*n sien&o nuestro ao'o en to&o momento+ Deositan&o su entera con-ian/a en ca&a reto que se nos resenta0a sin &u&ar ni un so.o momento m omento en nuestra inte.i)encia ' caaci&a&+ Es or e..os que somos .o que que somos a,ora+ Los amamos amamos con to&a nuestra (i&a

Este ro'ecto es e. resu.ta&o &e. es-uer/o con1unto &e to&os .os que -ormamos e. )ruo &e tra0a1o+ Por esto a)ra&e/co a nuestra &ocente! Patricia F.ores! mis 2

coma2eras Maricie.o Ma'&e Tio Pari..o! Ane.' 3er.an)a Esqui(e.! Caro.ina  Arau1o 4uise! Rosmer' Lia' Lia' ' mi ersona! quienes a .o .o .ar)o &e este tiemo ,an uesto a rue0a sus caaci&a&es ' conocimientos en e. &esarro..o &e este tra0a1o &e inecuaciones e. cua. ,a -ina.i/a&o ..enan&o to&as nuestras e5ectati(as+ A nuestros a&res quienes a .o .ar)o &e nuestra (i&a nos ,an ao'a&o ' moti(a&o en nuestra -ormaci*n aca&6mica! cre'eron en nosotras en to&o momento ' no &u&aron &e nuestras ,a0i.i&a&es+ A mi ro-esora a quien .e &e0o )ran arte &e mis conocimientos! )racias a su aciencia ' ense2an/a ' -ina.mente un eterno a)ra&ecimiento a esta resti)iosa uni(ersi&a& .a cua. a0ri* a0re sus uertas a 1*(enes como nosotros! rearán&onos ara un -uturo cometiti(o ' -ormán&onos como ersonas &e 0ien+

RESUMEN 3

En 6ste tra0a1o &e in(esti)aci*n se a.ican (arias t6cnicas estu&ia&as a .o .ar)o &e .a (i&a estu&ianti.+ Con .a a.icaci*n &e to&as 6stas t6cnicas necesarias se &esea rea.i/ar una )u7a que roorcione a .os a.umnos un con1unto &e conocimientos &inámicos as7 como to&os .os m6to&os em.ea&os ara .a reso.uci*n &e ro0.emas &e inecuaciones+ Las inecuaciones sien&o &esi)ua.&a&es &e e5resiones a.)e0raicas en .as que ,a'! a. menos! una (aria0.e cu'o (a.or num6rico &esconocemos ' a. que ..amamos inc*)nita+ E. en-oque &e. estu&io será &e )ran a'u&a ara .a )u7a &e to&os .os estu&iantes que quieran aren&er &inámicamente toman&o casos &e .a (i&a &iaria nos ,a interesa&o &esarro..ar esec7-icamente .as! inecuaciones! uesto que! a. estar  re.aciona&os con .a reso.uci*n &e ro0.emas &e .a (i&a &iaria es a8n más imortante su &ominio

LISTA DE CONTENIDOS

1. CAPÍTULO I Planteamiento del problema_____________________7 1.1. Descripción del Problema________________________________________8 1.2. Formulación del Problema_______________________________________8 1.3. Interrogantes de la Investigación_______________________________8 1.4. Obetivo general__________________________________________________8 1.!. Obetivo espec"#cos______________________________________________8 1.$. %usti#cación del Problema_______________________________________&

2. CAPÍTULO II Inecuaciones____________________________________10 4

2.1. De#nición________________________________________________________11 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4.

¿Desigualdades parecidas a igualdad?_______________________________12 Las inecuaciones están presentes en nuestra vida cotidiana._________14 Representación de las siguientes oraciones en inecuaciones__________14 Intervalos____________________________________________________________14

2.2. Propiedades de desigualdades________________________________1$ 2.2.1. 2.2.2.

¿Tendrán ropiedades Las Desigualdades?___________________________1! ¿ara "u# se usan las propiedades de las desigualdades?____________21

2.3. 'lasi#cación_____________________________________________________24 2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4.

Inecuación de pri$er grado__________________________________________2% De &egundo grado o cuadrática______________________________________2' Inecuación (raccionaria______________________________________________2! Inecuación de valor a)solute_________________________________________3*

2.4. (istemas de inecuaciones______________________________________33 2.4.1.

+lgunos ,-ercicios____________________________________________________3%

COCLU!IO"!___________________________________________________#$ %"CO&"'ACIO"!______________________________________________#( )I)LIO*%A+ÍA____________________________________________________,0

LISTA DE FIGURAS Ilustración 1 &/$)olos.................................................................................13 Ilustración 2 0 %*................................................................................... 13 Ilustración 3 ta)la....................................................................................... 1 Ilustración 4 uestra...................................................................................21 Ilustración % uestra...................................................................................22 Ilustración 5 Ta)la....................................................................................... 23 Ilustración '................................................................................................. 3%

%

5

1. CAPÍTULO I Planteamiento del prolema

1.1.

De!"rip"i#n del Prolema  A .o .ar)o &e .a ,istoria! .as matemáticas ,an constitui&o! arte &e .as necesi&a&es &e. ser ,umano &e contar! me&ir ' &eterminar .a -orma &e to&o aque..o que .e ro&ea0a+ Por e..o es necesario que .os ni2os &es&e temrana e&a& &esarro..en .as &estre/as! caaci&a&es en e. área &e matemática+

1.$.

Form%la"i#n del Prolema Estu&io &e inecuaciones

1.&.

Interro'ante! de la In(e!ti'a"i#n

'

6 6 6 6

1.).

9C*mo reso.(er una inecuaci*n 9C*mo so.ucionar ro0.emas me&iante e. uso &e inecuaciones 94u6 m6to&os se ue&es em.ear en .a reso.uci*n &e inecuaciones 9C*mo so.ucionar ro0.emas me&iante e. uso &e inecuaciones

O*eti(o 'eneral E.a0orar una )u7a que roorcione a .os a.umnos un con1unto &e

conocimientos concetua.es as7 como to&os .os m6to&os em.ea&os ara .a reso.uci*n &e ro0.emas &e inecuaciones

1.+.

O*eti(o e!pe",-i"o!

a+ Conocer .as roie&a&es &e .as inecuaciones me&iante e. uso &e e1ercicios 0+ Desarro..ar ' a.icar .os m6to&os ara .a reso.uci*n &e inecuaciones+ c+ Desarro..ar ' a.icar estrate)ias ara .a reso.uci*n sim.i-ica&a &e inecuaciones+ &+ Ana.i/ar ' reso.(er ro0.emas ,acien&o uso &e inecuaciones

1..

/%!ti-i"a"i#n del Prolema En .a actua.i&a& )ran arte &e .os a.umnos no tienen un 0uen

ren&imiento matemático! or .o que a.)unos sue.en recurrir a -uentes &e in-ormaci*n como e. internet! .i0ros! tra0a1os &e in(esti)aci*n! entre otros! encontrán&ose con materia. com.e1o o e5i)uo+ Esta ro0.emática )enera e. &esánimo en .os a.umnos interesa&os en aren&er matemática ' &i-icu.ta su situaci*n! Sin em0ar)o! nos ,a interesa&o &esarro..ar esec7-icamente .as! inecuaciones! uesto que! a. estar re.aciona&os con .a reso.uci*n &e ro0.emas &e .a (i&a &iaria es a8n más imortante su &ominio

!



$. CAPÍTULO II Ine"%a"ione!

$.1.

De-ini"i#n

I)ua.&a&;&esi)ua.&a& es atrimonio &e to&o ser ,umano! e5resa&as tanto en su intimi&a& como en su re.aci*n con .os otros ' e. me&io am0iente en )enera.+ Se)uramente estarás siemre escuc,an&o! .e'en&o o re-.e5ionan&o que &e0iera ,a0er i)ua.&a& &e )6nero! &e acceso a .a sa.u&! a .a e&ucaci*n! a un tra0a1o &i)no! a una (e1e/ &i)na+ To&as estas '! sin &u&a! otras tantas reocuaciones -orman arte &e un a7s que quiera e. .eno &esarro..o &e sus ,a0itantes ' &e manera arm*nica+ Por otro .a&o! .a &e.incuencia! .a &ro)a&icci*n! .a (io.encia ' e. narcotrá-ico se encuentran mu' asocia&os a .a &esi)ua.&a& &e oortuni&a&es! ' .os conocemos como .os ma.es socia.es actua.es que )o.ean &irectamente a nuestra comuni&a&! socie&a&! naci*n+ De manera incuestiona0.e! .a i)ua.&a& &e )6nero ,a si&o una &e .as reocuaciones que se ,an e(i&encia&o más -uertemente en e. resente si).o+ Ca0e recor&ar .a articiaci*n &e mu1eres nota0.es en .os si).os E.o7sa D7a/ ' Ernestina P6re/! quienes se reci0ieron &e m6&ico en $??@> a0rie.a Mistra.! Premio No0e. &e Literatura! '! or suuesto! Mic,e..e 3ac,e.et =eria! .a rimera mu1er que asume como Presi&enta &e C,i.e+ Pero ,a' muc,o más que ,acer  1*

en estos ' otros ni(e.es ara .o)rar (i(ir en una naci*n ca&a (e/ más .i0re! aut6ntica! &emocrática! comrometi&a ' a0ierta a to&os .os cam0ios que se requieran ara a.can/ar .a .enitu& &e to&os+ Nuestra contri0uci*n es &es&e .a matemática+ E. estu&io ' .as a.icaciones &e .as &esi)ua.&a&es matemáticas en (arios asectos &e .a (i&a coti&iana ' &e. sa0er en )enera. ue&en ser un 0uen inicio ara co.a0orar &e manera constructi(a a &isminuir .as &esi)ua.&a&es socia.es que ,emos menciona&o anteriormente+ Para Mi)ue. &e u/mán! matemático esa2o. B$;"##G! e. imacto &e .a matemática en nuestro entorno cu.tura. es e(i&ente+ Nuestros sistemas &e or)ani/aci*n mani-iestan esquemas matemáticos que .es sir(en &e soorte+ Nuestra arquitectura re(e.a estructuras matemáticas su0'acentes+ Nuestros me&ios &e in-ormaci*n ' &e comunicaci*n son ca&a (e/ más otentes )racias a .os a(ances recientes &e .a in-ormática! que a8na &e -orma esectacu.ar .os ro)resos matemáticos ' tecno.*)icos +Te in(itamos en esta uni&a& a tra0a1ar con .a Matemática! o0ser(ar! &escu0rir ' aren&er so0re &esi)ua.&a&es! inecuaciones matemáticas ' sistemas &e inecuaciones+

$.1.1. 0De!i'%aldade! pare"ida! a i'%aldad Mar)arita está crecien&o mu' rái&o ' ,o' ,a reci0i&o .a rimera mesa&a que tanto quer7a tener+ Sus a&res ,an ca.cu.a&o e. &inero que )asta en .ocomoci*n más e. que ser7a ru&ente que )astara a. mes en otros asuntos! ' .e ,an &a&o H$"###+ E..a! cuan&o reci0i* e. &inero! sac* sus roias cuentas ' &i1o as7: En .ocomoci*n )asto H"# to&os .os &7as que (o' a. co.e)io ' H$## to&os .os &7as en co.aci*n+ Esto &a un tota. &e H@"## a. mes! si consi&ero que (o' "# &7as a. co.e)io+ Entonces! a .o más! o&r6 )astar H?## en otras cosasJ+ Su aá! atento a .os cá.cu.os &e su ,i1a! .e re)unt*:

 0P%ede! e!"riir lo! "2l"%lo! 3%e a"aa! de 4a"er Mar)arita escri0i*: Locomoci*n: $# K $# Bi&a ' (ue.ta or &7aG+ Co.aci*n: $## or &7a+ $# K $# K $##  # or &7a+ Como son "# &7as! entonces! # "# @ "## 7  ' como me &ieron $"###! entonces! $"###  @"##  ?## ara m7+ 8 Mu' 0ien &i1o e. aá! ,as ,ec,o muc,as i)ua.&a&es que son

ciertas! ero aca0as &e &ecir que A .o más! o&rás )astar H?##J+ 11

0Se podr2 e!"riir

e!o

"on

!,molo!

matem2ti"o!

Desu6s &e ensar! Mar)arita en un a0rir ' cerrar &e o1os! .e &i1o a su aá: 8 Lo escri0ir6 as7:

Mis )astos  HH+?## ?## o Mis )astos H?##+ 8 Mu' 0ien! ,i1a! &i1o su aá! ' acot*: .o que aca0as &e .antear es

una &esi)ua.&a& ' am0as cosas se ue&en resumir &e .a si)uiente manera: Mis )astos HH ?## ?##+  A. i)ua. que Mar)arita! en esta uni&a& nosotros aren&eremos más acerca &e .as &esi)ua.&a&es ' su a.icaci*n+ Comencemos+ Un conceto que 'a mane1as 0ien es e. &e i)ua.&a&+ Cuan&o tienes en una mano % mone&as &e H$## ' en .a otra una mone&a &e H%##! &ices que .a canti&a& &e &inero que tienes en am0as manos es i)ua. Bo es .a mismaG ' .o anotas con e. si)no + Una &esi)ua.&a& es .a manera matemática que tenemos ara &ecir que a.)o no es i)ua.+  As7! cuan&o &os canti&a&es no son i)ua.es! es orque una es ma'or que .a otra! necesariamente+ Pensemos en .os n8meros  ' @> entonces se ue&e anotar que:  @ o @  o @  Q+  A,ora 0ien! ,a' ocasiones en que! como Mar)arita! necesitamos escri0ir! or e1em.o! que una canti&a& 5 es más )ran&e o i)ua. que ! entonces uti.i/amos 5  + ! or e. contrario! si queremos escri0ir que .a canti&a& 5 es más eque2a o i)ua. que ! escri0imos! 5  +

Ilustración 1: Símbolos

12

Con .as &esi)ua.&a&es o&emos e5resar a.)unas &e .as situaciones rea.es que constatamos a &iario+ De esta manera! or e1em.o! o&emos tra&ucir .os si)uientes enuncia&os: 8 Los mm &e ..u(ia ca7&a ,asta e. momento están or &e0a1o &e .os &e un a2o norma.+ 8 Si ..amamos c L a .os mm &e ..u(ia ca7&a ,asta e. momento ' n L a .os mm &e ..u(ia en un a2o norma. c n 9  L L + 8 Pi.ar cree que su unta1e &e .a PSU estará entre ## ' %# untos+ 8 Si ..amamos  a. unta1e 9  ## %# + 8 C.emente &ice que e. m que quiere &e0er7a costar a .o más H"%###+ 8 Si  es e. recio &e. m 9   "%### "%+###+ 8  Au)usta tiene como m7nimo  &7as más &e tra0a1o ara terminar su tesis+ 8 Si & son .os &7as &e tra0a1o 9  & + 8 Consue.o &ice que su sue.&o es &istinto &e H#####+ Si s es e. sue.&o 9 s ##+### ##### o s #####+

$.1.$. La! ine"%a"ione! e!t2n pre!ente! en n%e!tra (ida "otidiana. Está se2a. &e tránsito se uti.i/a ara in&icar e. má5imo &e (e.oci&a& ermiti&a en un tramo &e (7a ara cua.quier me&io &e transorte+ Su -in es e(itar acci&entes se)8n e. &ise2o &e .a (7a+ Si 5 reresenta .a (e.oci&a& &e cua.quier me&io &e transorte! Ilustración 2 entonces escrito en inecuaci*n ser7a 5  %#+

0 %*

$.1.&. Repre!enta"i#n de la! !i'%iente! ora"ione! en ine"%a"ione! a+ La &istancia 5 i.*metros &e .a casa &e Pe&ro a .a estaci*n &e metro! es menos &e ? i.*metros+ 5? 0+ La suma &e un n8mero cua.quiera más cinco es ma'or que $#+ 5 K %  $#

13

c+ La e&a& &e mi ma&re es más &e # a2os+ 5  # &+ La me&i&a &e un án)u.o menor &e # )ra&os reci0e e. nom0re &e a)u&o+ #  5  #

$.1.). Inter(alo! Los inter(a.os son su0;con1untos &e .os n8meros rea.es que sir(en ara e5resar .a so.uci*n &e .as inecuaciones! estos inter(a.os s6 reresentan )rá-icamente en .a recta num6rica rea.+

Consi&eremos .os si)uientes tios &e inter(a.os: a+ Inter(a.o cerra&o+;cuan&o a0 a!0V  W5X IRY a50Z 0+ Inter(a.o a0ierto+; a0 a!0  W5X IRY a50Z

c+ Inter(a.o cerra&o en a ' a0ierto en 0 a!0  W5X IRY a50Z &+ Inter(a.o a0ierto en a ' cerra&o en 0 a!0V  W 5X IRY a50Z

a

)

a

)

a

)

a

)

e+ Inter(a.os in-initos a!K[  W 5X IRY 5aZ a!K[  W 5X IRY 5aZ ;[!0V  W 5X IRY 50Z

a a )

;[!0  W 5X IRY 50Z

)

;[!K[  W 5 Y 5 X IRZ ;[!a U a!K[  W 5X IRY5QaZ a

14

$.$.

Propiedade! de de!i'%aldade! a+ Si a .os &os miem0ros &e una &esi)ua.&a& se suman o se resta una misma canti&a&! e. si)no &e .a &esi)ua.&a& no (ar7a+  As7 como &a&a .a &esi)ua.&a& a0! Po&emos escri0ir: aKc  0Kc ' a;c 0;c 0+ Si .os &os miem0ros &e una &esi)ua.&a& se mu.ti.ican o &i(i&en or  una misma canti&a& ositi(a! e. si)no &e .a &esi)ua.&a& no (ar7a+  As7 &a&a .a &esi)ua.&a& a0 ' sien&o c una canti&a& ositi(a a

o&emos escri0ir ac0c '

c



b c

+

c+ Si .os &os miem0ros &e una &esi)ua.&a& se mu.ti.ican o &i(i&en or  una misma canti&a& ne)ati(a! e. si)no &e .a &esi)ua.&a& (aria+  As7! si en .a &esi)ua.&a& a0! mu.ti.icamos am0os miem0ros or c! ten&remos: ;ac  ;0c+  &i(i&imos or c! o sea mu.ti.ican&o or ;

;

1

c

ten&remos: ;

a c

b c

&+ Si cam0ia e. or&en &e .os miem0ros! .a &esi)ua.&a& cam0ia &e si)no+  As7! si a 0 es e(i&ente que 0  a+ e+ Si se in(ierten .os &os miem0ros! .a &esi)ua.&a& cam0ia &e si)no+  As7! sien&o a0 se tiene que

1

a

 

1

b

-+ Si .os miem0ros &e una &esi)ua.&a& son ositi(os ' se e.e(an a una misma otencia ositi(a! e. si)no &e .a &esi)ua.&a& no cam0ia+  As7! %+ E.e(an&o a. cua&ra&o: %\ \ o sea "%   1%

)+ Si .os &os miem0ros o uno &e e..os es ne)ati(o ' se e.e(an a una otencia imar ositi(a! e. si)no &e .a &esi)ua.&a& no cam0ia+ $  As7! ;  ;%+ E.e(an&o a. cu0o: B;G] B;%G] o sea ;"@  ;$"%+ " ";"+ E.e(an&o a. cua&ra&o: B;G]   ' B;%G  "% ' que&a "%+ ,+ Si un miem0ro es ositi(o ' otro ne)ati(o ' am0os se e.e(an a una misma otencia ar ositi(a! e. si)no &e .a &esi)ua.&a& ue&e cam0iar+  As7! ; ;% e.e(a&o a. cua&ra&o: \   ' B;%G\  "% ' que&a "% cam0ia+ ? ;" E.e(a&o a. cua&ra&o: ?\   ' que&a    no cam0ia+ i+ Si .os &os miem0ros &e una &esi)ua.&a& son ositi(os son ositi(os ' se .es e5trae una misma ra7/ ositi(a! e. si)no &e .a &esi)ua.&a& no cam0ia+  As7! si a0 ' n es ositi(o! ten&remos: ^a  ^0+  1+ Si &os o más &esi)ua.&a&es &e. mismo si)no se suman o mu.ti.ican miem0ro a miem0ro! resu.ta una &esi)ua.&a& &e. mismo si)no+  As7! si a0 ' c &! ten&remos: aKc0K& ' ac  0&+ + Si &os &esi)ua.&a&es &e. mismo si)no se restan o &i(i&en miem0ro a miem0ro! e. resu.ta&o no es necesariamente una &esi)ua.&a& &e. mismo si)no! u&ien&o ser una i)ua.&a&+  As7! $#? ' %"+ Restan&o miem0ro a miem0ro: $#  %  % ' ?  "  ! .ue)o que&a %> cam0ia e. si)no+ Si &i(i&imos miem0ro a miem0ro .as &esi)ua.&a&es $# ? ' %! tenemos

10 5

8

" '

4

  "> .ue)o que&a "  "! i)ua.&a&+

$.$.1. 0Tendr2n Propiedade! La! De!i'%aldade! Por suuesto que s7! (eamos a.)unas &e e..as: 1 2 15

$+ En un cum.ea2os! Marcia. ' Pascua.a ,an reco)i&o &u.ces cuan&o se romi* .a i2ata+ Marcia. reco)i* $" ' Pascua.a! $#+ Si .ue)o a0rieron sus sorresas ' ca&a una tra7a  &u.ces! 9se)uirá tenien&o más &u.ces Marcia. que Pascua.a

Si! 9(er&a& Esto es .o que nos &ice .a rimera roie&a&! que en .en)ua1e a.)e0raico se escri0e:

Si a5  6 " !on n7mero! reale! "on a 8 5 enton"e! a 9 " 8  9 ". 9Funcionará esto tam0i6n si c es ne)ati(o _eamos:

Por lo tanto5 podemo! re!%mir 3%e: +l su$ar o restar un n:$ero real a a$)os lados de una desigualdad; esta se $antiene; es decir; no ca$)ia el sentido de

"+ Loreto ' Lucia están concursan&o en un ro)rama &e te.e(isi*n+ `arán )irar una ru.eta ' sa0rán qu6 asará con e. &inero que ca&a una ,a )ana&o ,asta e. momento+ Loreto ,a )ana&o H$##### ' Luc7a H"%####+ Cuan&o .a ru.eta se &etu(o marca0a am0as tri.ican su remioJ! 9se)uirá tenien&o más &inero Luc7a que Loreto 9_er&a& que s7> esto es .o que nos &ice .a se)un&a roie&a&! que en .en)ua1e a.)e0raico se escri0e as7: Si a5  6 " n7mero! reale!5 "on a 8  6 " ; <5 enton"e! a" 8 ". 9Funcionará si c  #> (eamos:

Para que .a &esi)ua.&a& que .anteamos sea correcta! &e0emos escri0ir  que: ;## ###  ; @%# ###> or .o tanto! .a &esi)ua.&a& 'a no se mantiene! sino que cam0ia &e senti&o+ Por .o tanto: Si a5  6 " !on n%mero reale!5 "on a 8  6 " 8 <5 enton"e! a" ; ". 1'

+l $ultiplicar una desigualdad por un n:$ero real positivo; la desigualdad se $antiene. &i se $ultiplica por un n:$ero real negativo; la desigualdad ca$)ia de sentido.

+ Ra/ona0a `u)o &e .a si)uiente -orma: Ten)o &os cua&ra&os &e .a&os  cm '  cm! resecti(amente> or .o tanto! e. área &e. cua&ra&o &e .a&o menor será más eque2a que e. área &e. otro cua&ra&o+ Por otra arte! si ten)o &os cua&ra&os &e áreas &istintas! entonces .a me&i&a &e. .a&o &e. cua&ra&o &e área ma'or será más )ran&e que .a me&i&a &e. .a&o &e. otro cua&ra&oJ+ 9Estás &e acuer&o Parece .*)ico+

9Pasará esto siemre ara cua.quier ar &e n8meros a ' 0 O0ser(emos e. si)uiente cua&ro comarati(o! aten&ien&o a. senti&o &e .a &esi)ua.&a&:

Ilustración 3 ta)la

`u)o se &i1o:J A. arecer! estas re.aciones no se cum.en siemre! so.o con rea.es ositi(osJ+ Por .o tanto! so.o o&emos )enera.i/ar que: Si a! 0 son n8meros rea.es ositi(os ' a  0! entonces a  0 ' En otras a.a0ras! a. e.e(ar a un n8mero ositi(o o e5traer ra7/ B&e cua.quier 7n&iceG a una &esi)ua.&a& -orma&a or t6rminos ositi(os! .a &esi)ua.&a& se mantiene+ 1!

+ No to&os .os a.umnos &e. curso ..e(aron e. aserr7n ' .a tierra &e ,o1a e&i&as ara .a c.ase &e Tecno.o)7a+ =acinta ' 3oris miraron sus materia.es ' notaron que =acinta tiene menos aserr7n que tierra &e ,o1a ' 3oris! tam0i6n+ Si 1untan sus materia.es! 9se)uirá ,a0ien&o más tierra &e ,o1a que aserr7n Es tam0i6n mu' .*)ico+ Suon)amos que =acinta tiene $ i.o &e aserr7n ' " i.os &e tierra &e ,o1a ' que 3oris tiene $!% i.os &e aserr7n ' $!@ i.os &e tierra &e ,o1a! entonces: $  " ' $!%  $!@

 ?  a  -  o   >  e   d  a   r   r  e  i   t  e   d  s   a   )    $   a  =  n  /   r   r  e   s   a  e   d  s   e   d   a   d  i   t  n   a   c  s   a   )    $   a  o   d   n   a   t  n   u  -  ;  d   a   d  l  a   u   g  i  s   e   d  a  l  e   d  s   o   n  i   $

"!%  !@! se mantiene .a &esi)ua.&a&+ Conc.u'en&o! se tiene que: &i a; ); c = d son n:$eros reales; a @ ) = c @ d; entonces aA c @ ) A d. +l tener dos desigualdades del $is$o sentido; se pueden su$ar

%+ Emi.io ' `u)o! coma2eros &e curso! &iscut7an so0re e. si)uiente tema+ Mira! `u)o  &ec7a Emi.io  si tienes que a  0 ' 0  c! entonces a  c! siemre+ No entien&o! no entien&o! no .o)ro enten&er+ Mmmm+ i6nsa.o &e .a si)uiente manera: Si t8 tienes "# esos menos que 'o! ' 'o ten)o # esos menos que mi ,ermano! entonces t8 tam0i6n tienes menos &inero que mi ,ermano+  A,! (er&a&! es -áci.> or suuesto! es mu' .*)ico+ •

• •

•

,ntonces; si a; ) = c son n:$eros reales; se cu$ple sie$pre "ue

,sta propiedad se lla$a transitividad.

$.$.$. 0Para 3%= !e %!an la! propiedade! de la! de!i'%aldade! E5isten &os )ran&es a.icaciones &e e..as que queremos comartir  conti)o+ La rimera ' más usua. en un conte5to coti&iano es .a a.icaci*n a .a reso.uci*n &e inecuaciones! que trataremos en .a r*5ima secci*n+ La se)un&a! menos usa&a en conte5tos coti&ianos! ero i)ua.mente

1

imortante! es .a a.icaci*n a .a &emostraci*n &e a.)unas re).as matemáticas! .a que (eremos a continuaci*n+  Antes &e comen/ar! es 0ueno que ac.aremos &os concetos que sue.en con-un&irse: no es .o mismo mostrar que a.)o suce&e! que &emostrar  que aque..o suce&e+ Cuan&o mostramos que a.)o suce&e! &amos un e1em.o! ue&e ser  num6rico! &e que &etermina&a re).a se cum.e+ Cuan&o &emostramos que a.)o suce&e! &e0emos ,acer.o &e -orma )enera.! &e mo&o que usan&o una serie &e asos .*)icamente or&ena&os ' correctos! 'a sean a.)e0raicos o )eom6tricos! se ue&a conc.uir que .a a-irmaci*n se2a.a&a es (er&a&era+ _eamos a.)unos e1em.os &e &emostraciones' mostremos tam0i6n otras roosiciones+ a+ A. ,ermano &e =or)e! que esta0a en $b me&io! .e &ieron una tarea &e Matemática+

De07a

&emostrar

)eom6tricamente

que

E. ro-esor ,a07a ,ec,o en c.ases .a &emostraci*n )eom6trica ara e. cua&ra&o &e .a suma! as7 que ara 6. no -ue tan &i-7ci. construir .a -i)ura a&ecua&a con rectán)u.os ' cua&ra&os &e co.ores

Ilustración 4: Muestra

2*

Desu6s que su ,ermano ,a07a .o)ra&o &emostrar .o que quer7a! =or)e o0ser(* un momento+++ C.arod! ens*! ' .os or&en* &e esta manera+

Ilustración 5: Muestra

. ,a07a mostra&o! sin querer! que 0+ =or)e esta0a tan contento que .e ..e(* su &escu0rimiento a. ro-esor+ . se a.e)r* muc,o> siemre .o ,ac7a a. (er .o que sus estu&iantes o&7an &e&ucir ' ser caaces &e ra/onar+ Entonces! .e &i1o: Mira e. si)uiente cua&ro! &on&e a siemre es ositi(oJ:

Ilustración 6: Tabla

21

=or)e ens* ' ens*! mir* or un 0uen rato tratan&o &e encontrar  una re)u.ari&a&! ca.cu.* .o mismo ara otros (a.ores ' .ue)o .e &i1o a su ro-esor: 8 Pro-esor! creo que

1 a +  ≥ 2 a

 ! ero no se me ocurre c*mo .o ue&o

&emostrar+ E. ro-esor .e &i1o que un mu' 0uen unto &e arti&a era tener c.aro qu6 es .o que se quer7a &emostrar! ' .o in(it* a aren&er una estrate)ia ara e..o+ Una -orma &e &emostrar una roosici*n es: Suoner que esta es cierta> o Tra0a1ar.a ,acien&o una serie &e asos .*)icos o ermiti&os Ben esto nos a'u&arán .as roie&a&es &e o

.as &esi)ua.&a&esG> Conc.uir a.)o que sa0emos que es cierto &e antemano+

De este mo&o! ' ara .ue)o resentar .a &emostraci*n -orma.mente or&ena&a! o&emos escri0ir .os asos &es&e e. 8.timo a. rimero ' ten&remos que a artir &e a.)o que es cierto! o0tenemos .o que se quer7a+ _eamos esta -orma &e &emostraci*n en acci*n:

 A,ora anotamos or&ena&amente .os asos &es&e e. 8.timo a. rimero:

22

$.&. f f

Cla!i-i"a"i#n Se)8n sus inc*)nitas De &os inc*)nitas+ + o o De tres inc*)nitas+ + Se)8n .a otencia &e .a inc*)nita! De tercer )ra&o o c80ica+ Cuan&o e. ma'or e5onente &e o cua.quiera &e sus inc*)nitas es tres+

+

$.&.1. Ine"%a"i#n de primer 'rado 5  ? es una inecuaci*n &e rimer )ra&o ' una inc*)nita+ O0ser(amos que 5  " no es so.uci*n! ues f"   es menor que ?+ Sin em0ar)o! 5   s7 es so.uci*n! ues f   s7 es ma'or que ?+ Para encontrar e. con1unto &e so.uciones &e .a inecuaci*n! &ese1amos .a inc*)nita 5: 5  ? 9 5  ?Y

o

De rimer )ra&o o .inea.+ Cuan&o e. ma'or e5onente &e .a inc*)nita &e .a inecuaci*n es uno+

+

Son aque..as que ue&en onerse en .a -orma a5K0  # BgG! sien&o a ' 0 n8meros rea.es ' aQ#+ BgG Pue&e ser cua.quier otra &esi)ua.&a&: !  * + Si -uese a# entonces nos que&ar7a .a &esi)ua.&a& num6rica 0  # que ser7a siemre cierta o siemre -a.sa se)8n -uese e. si)no &e 0+

23

Las e5resiones &e .a -orma a5K0 Bcon aQ#G se anu.an ara un so.o (a.or &e 5 Bara 5;0YaG+ A ca&a .a&o &e este (a.or ten&rán un si)no &i-erente! como (eremos en .os si)uientes e1em.os: E1em.o +$+; Resue.(e .a inecuaci*n "5 K  #+

E*emplo! de e"%a"ione! lineale!: Emi.io .e cuenta a su ,ermano =u.ián que ,a ,ec,o a.)unos cá.cu.os ara (er  c*mo em.ear e. &inero que )an* &urante sus (acaciones tra0a1an&o como emaqueta&or en un suermerca&o+ Tiene H"@### ' &esea comrarse anta.ones! ero no quiere )astar más &e un tercio &e su &inero+ Tamoco a)ar7a más &e H$"### or un anta.*n+ =u.ián sonr7e+ Emi.io se mo.esta un oco ' .e &a un eque2o co&a/o+   9Me (as a &ecir a.)o

o so.o te (as a re7r &e m7

=u.ián .e )ui2a un o1o a su ,ermano mientras si.a0ea+++   I;ne;cua;cio;nes+ En .a cara &e Emi.io se &i0u1* .a incerti&um0re+  S7! s7! .as matemáticas se usan en to&o ' son mu' entreteni&as+ a! te escuc,o+  Lo que aca0as &e &ecir se ue&e escri0ir as7:

 Esto quiere &ecir que o&rás comrar! a .o más! @ anta.ones+   Per-ecto! 'a enten&7d O sea que+++ se interrumi* s80itamente Emi.io .as inecuaciones se resue.(en i)ua. que .as ecuaciones+  So.o ,a' que tener cui&a&o con .as &esi)ua.&a&es+ 24

Si mu.ti.icamos o &i(i&imos or un n8mero ne)ati(o! .a &esi)ua.&a& cam0ia &e senti&o+++   9Tienes or a,7 a.)unos e1ercicios 4uiero racticar+ =u.ián -in)i* reocuaci*n+   Mamád rit* =u.ián+ Emi.io está en-ermo+  a+ Cá..ate ' &is-r8ta.od Ten7as ra/*n+ Pero =u.ián no ,a07a termina&o+   9No te

-a.ta a.)o

 S7! )racias! ,ermanito+ =u.ián escri0i* estos e1ercicios ' Emi.io .os reso.(i* as7:

Por .o tanto! e. con1unto so.uci*n es:

Nota que en una inecuaci*n! .a so.uci*n es! en )enera.! un con1unto &e n8meros+

2%

$.&.$. De Se'%ndo 'rado o "%adr2ti"a. Cuan&o e. ma'or e5onente &e cua.quiera &e sus inc*)nitas es &os+ + 5\  "% es una inecuaci*n &e se)un&o )ra&o+ O0ser(amos que 5   ' 5   no son so.uci*n! ues: "  ! no es ma'or o i)ua. que "%+ "  $! no es ma'or o i)ua. que "%+ Sin em0ar)o! 5  % ' 5   s7 son so.uci*n! ues: %"  "%! que es i)ua. a "%+ "  ! s7 es ma'or o i)ua. que "%+

$.&.&. Ine"%a"i#n -ra""ionaria

25

Las inecuaciones -raccionarias o raciona.es tienen .a inc*)nita en e. &enomina&or+  P ( x ) Q ( x )

>0o

P ( x ) Q ( x )

< 0, Q ( x ) ≠ 0

D*n&e PB5G ' 4B5G son monomios o o.inomios &i-erentes a cero +

E*emplo! de ine"%a"ione! "%adr2ti"a! 6 -ra""ionaria!  A .a ma2ana si)uiente! =u.ián entra corrien&o a .a cocina! aura&o+  Emi.io+++ t8 aqu7 ,acien&o tareasd  S7! ' necesito tu a'u&a+ Dice as7: Una cierta canti&a& se &i(i&e or un n8mero tres uni&a&es menor! que&an&o menor que #+9Para qu6 n8meros se cum.e este enuncia&oJ Lo trato &e ,acer ' no me &a .a resuesta &e. .i0ro+  _eamos &ice=u.ián+

 Te ue&es sentir tenta&o &e am.i-icar am0os .a&os or 5 h! ero (eamos or  qu6 no sir(e ,acer eso+ Recuer&a que cuan&o mu.ti.icamos una &esi)ua.&a&! &e0emos sa0er si e. n8mero es ma'or o menor que #! orque &een&erá &e eso si e. si)no &e .a &esi)ua.&a& cam0ia &e senti&o o no+ Pero en este caso no sa0emos si 5 h será ositi(o o ne)ati(o+ Lue)o! &e0emos ana.i/ar esta inecuaci*n or casos+ O0ser(a: 4ue .a -racci*n si)ni-ica que es ne)ati(o! ' ara que esto suce&a! se &e0e tener que 6. numera&or o e. &enomina&or &e0en ser  ne)ati(os+ Esto .o o&emos escri0ir como:

 Entien&o &i1o Emi.io> 9me ue&es a'u&ar con este a,ora 3 2'

 3ien+ `a' que &e1ar e. .a&o &erec,o &e .a &esi)ua.&a& en # ara o&er  searar en casos+ Recuer&a que so.o o&emos ,acer eso orque # es e. .7mite entre un n8mero ositi(o ' uno ne)ati(o+ Entonces! sumemos $ a am0os .a&os+ Con esto se tiene que:

  9 este otro e1ercicio

=u.ián .e recor&* a Emi.io que &e0er7a tener resente que un &enomina&or no ue&e ser cero+ Esto tiene que (er &irectamente con que! a. searar en casos! e. &enomina&or &e0erá ser estrictamente ma'or o menor que cero+ A&emás! ara que una -racci*n sea ositi(a! numera&or ' &enomina&or &e0en ser  am0os ositi(os o am0os ne)ati(os+ O0ser(a:

2!

`a)amos a,ora este e1ercicio:

$.&.). Ine"%a"i#n de (alor a!ol%te Emi.io ..e)* mu' contento a su casa esa tar&e+ Sus a&res ' ,ermano ..e)aron &esu6s ' se sorren&ieron+  Emi.io! 9,as

reara&o .a once &i1o =u.ián+

 S7! esto' mu' contento ' te quiero a)ra&ecer .a a'u&a ara mi rue0a> 'o creo que me -ue mu' 0ien+  4u6 0uenod! me a.e)ro muc,o> cuan&o quieras+  A,ora! .a ro-esora nos &io una tarea ara in(esti)ar ' ..e(ar.a ma2ana+   9Son inecuaciones tam0i6n  S7! son unas mu' raras! ero nos o-reci* unas &6cimas si o&7amos e5.icar  c*mo se resue.(en ' or qu6 se a.ica ese m6to&o+  _eamos+ 94u6 o&r6 e&ir

a cam0io ri*

=u.ián+

 Casi .o que quieras reson&i* Emi.io! a quien 'a .e ,a07a )usta&o sacarse 0uenas notas+  a s6! r6stame tu sate ara e. -in &e semana+  O! me arece un 0uen trato> aqu7 (an+ 2

 A,! &i1o =u.ián+ Para esto &e0es recor&ar a.)unas cosas so0re e. (a.or  a0so.uto+ _eamos: E. (a.or a0so.uto es .a &istancia que ,a' en .a recta num6rica entre e. # ' e. n8mero &a&o+  As7! or e1em.o! si se tiene que 5  " ! 0uscamos to&os .os n8meros que a. rem.a/ar.os or 5! satis-a)an .a con&ici*n &e ser menores o i)ua.es a "+  A.)unos &e estos (a.ores son: $! $! #! $!%! $!%! etc+ Si .o )ra-icamos! ten&remos que!

Si te -i1as! esto es equi(a.ente a ,acer .a si)uiente intersecci*n:

Esto se ue&e escri0ir como 5   h "+ Entonces! o&emos )enera.i/ar que:

Por otro .a&o! -71ate en .o si)uiente+ Suon)amos que queremos &eterminar .os n8meros que cum.en que 5  " + A.)unos e1em.os son: "! ! ! ero tam0i6n  "! ! + Entonces o&emos reresentar estos n8meros en .a recta num6rica &e .a si)uiente manera:

Esto se ue&e escri0ir como 5  "B 5 h "+ Entonces o&emos )enera.i/ar que:

 9Entien&es! Emi.io &i1o =u.ián+  S7! creo+ 9`a)amos 1untos e. e1ercicio que te &i1e 3*

 3ien! (eamos+++ ! se)8n .o que aca0amos &e &ecir! &e0emos anotar que:

Por .o

tanto! .a so.uci*n

es:  Mu' 0ien! ,a)amos otro:

Recuer&a que .a so.uci*n -ina. será .a uni*n &e am0os inter(a.os! es &ecir! .a so.uci*n es R+  or 8.timo+++

31

Como .a so.uci*n -ina. es .a intersecci*n &e am0os inter(a.os! entonces es:

$.).

Si!tema! de ine"%a"ione! Emi.io mir* que comen/a0a a ..o(er esa tar&e+ Incre70.emente! ,a07an asa&o un ar &e semanas &es&e .a 8.tima (e/ que .e ,a07a e&i&o a'u&a a =u.ián+ Desu6s &e to&o ens*! =u.ián ten7a ra/*n: .a matemática no es tan com.ica&a ' ue&e ..e)ar a ser entreteni&aJ+ Premio ara e. que escri0a to&os .os n8meros que cum.en con ser  menores que $# si se .es suma $> ' ma'ores que  si a su &o0.e se .e resta J! ,a07a &ic,o su ro-esor a. cerrar .a uerta &e .a sa.a+ o me quiero )anar ese remioJ! ens* Emi.io! ' escri0i*:

94u6es esto Tranqui.o se &i1o! 'o so'caa/J+ Pensemos! era .o que siemre &ec7a =u.ián cuan&o no sa07a or &*n&e comen/ar un e1ercicio+ Esto se arece a un sistema &e ecuaciones! ero .os m6to&os que estu&i6 so.o ser(7an si ,a07a i)ua.&a&es+ 94u6 ,a)o 3ien! reso.(er6 ca&a inecuaci*n or seara&o:

 a,ora! 9qu6 si)ueJ  =u.ián! ten)o una re)unta! está en mi cua&erno+ Su ,ermano .o o0ser(* ' .e &i1o:  9Cuá. es .a re)unta  No s6 c*mo se)uir+++  Pensemos &i1o =u.ián! mientras Emi.io so.ta0a una carca1a&a+ 32

 94u6

con&ici*n

&e0en cum.ir

tus

n8meros

a,ora

que &ese1aste .a inc*)nita  4ue sean menores que  ' ma'ores que +  A,+++ am0as con&iciones a .a (e/! 9no Emi.io no tar&* en tomar &e nue(o su cua&erno ' .ái/:  Lo ten)od )rit*> &e0o intersectar am0as so.uciones+

$.).1. Al'%no! E*er"i"io! a+ Para -ormar arte &e. equio &e 0a.oncesto! e. entrena&or ,a uesto .a si)uiente e5tra2a con&ici*n ara .a a.tura &e .os 1u)a&ores:

Ilustración '

94u6 quiere &ecir esta e5resi*n _amos a reso.(er ca&a inecuaci*n or seara&o:

33

Por tanto! .a con&ici*n que one e. entrena&or es que .a a.tura &e .os 1u)a&ores est6 comren&i&a entre $!?# ' "!"# metros! am0os inc.usi(e+

0+ Marce.a tra0a1a 1unto con su aá en .a construcci*n &e 0arcos a esca.a+ En esta ocasi*n están constru'en&o un mo&e.o &e )a.e*n+ Marce.a tu(o una inquietu&:  9Cuántas ersonas (ia1ar7an en un 0arco como este re)unt*+  No .o s6 con e5actitu&! ,i1a! ero .e7 .o si)uiente:  9Pue&es ca.cu.ar esto or m7 A'er te (i estu&ian&o inecuaciones+  A'u&emos a Marce.a+ Si ..amamos 5 a .a triu.aci*n &e .a na(e! tenemos que:

34

c+ E1ercicios

&+ E1ercicios

3%

35

CONCLUSIONES  Coinci&imos en que este orta-o.io nos ,a a'u&a&o a er-eccionar  nuestras ,a0i.i&a&es matemáticas en .os &istintos temas! inc.u'en&o e. &esarro..o &e nuestras caaci&a&es &e re-.e5i*n+  No so.o nos a'u&a a nosotros en nuestro aren&i/a1e! sino tam0i6n a .os estu&iantes &e .os cic.os (eni&eros! ara su re-or/amiento+  To&os .os temas son imortantes ' a.ica0.es en nuestra (i&a &iaria! ' e. 0uen conocimiento &e estos nos -aci.itan .os &i(ersos ro0.emas que constantemente reso.(emos en nuestro &7a a &7a+   A2a&imos que as7 como nos a'u&a en nuestra (i&a &iaria! tam0i6n .o ,ará en nuestra (i&a -utura como ro-esiona.es Ben nuestra emresa o ne)ocioG+

3'

RECOMENDACIONES  En matemáticas es imortante que e. .ector sea qu6 es ca&a (aria0.e! antes &e que se usen 6stas or rimera (e/+  Piensa siemre en una notaci*n a&ecua&a ' e.i)e aque..a que sea más -áci.+  Re(isa siemre tu tra0a1o antes &e &ar.o or termina&o! entre)ar.o! etc+  Re(isa tus auntes &e .a c.ase anterior antes &e ir a .a r*5ima c.ase+  No &e1es .a so.uci*n &e tareas ara e. 8.timo &7a+ Or)an7/ate &e acuer&o a .as su)erencias &a&as en este &ocumento so0re .a a&ministraci*n &e. tiemo+  No comiences a estu&iar ara e. e5amen un &7a antes &e. mismo+  Reasa .os e1ercicios ' ro0.emas ,ec,os en c.ase ' en tareas+  `a/ e1ercicios a&iciona.es re.aciona&os con .os temas &e. e5amen+  Recuer&a .as má5imas e. tiemo es oro ' no &e1es ara ma2ana .o que ue&es ,acer ,o'+

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