Se presenta una revisión condensada de los principales conceptos del temario asignado a la experiencia curricular Matemática Básica la cual pretende ser un material de apoyo en el aprendizaje de los temas de ecuaciones inecuaciones - matrices, para los estudiantes de ingeniería de Agroindustrias del I Semestre 2016 del Valle Jequetepeque de la Universidad Nacional de Trujillo.
UNIDAD I: ECUACIONES INECUACIONES MATRICES
VALLE JEQUETEPEQUE JLDL- 2016
UNIDAD I: 1. INTRODUCCIÓN Se presenta una revisión condensada de los principales conceptos temáticos con el propósito de
introducir al lector en la resolución de ecuaciones,- inecuaciones y sistemas lineales de ecuaciones por métodos adecuados. Parece Parece conveniente, en primer lugar, establecer la notación, definiciones y algunas de las bases de álgebra necesarias para alcanzar el objetivo planteado.
ECUACIONES Igualdad Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x − 2
Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 · (x + 1)
2x + 1 = 2x + 2
1≠2.
2x + 2 = 2x + 2
2 = 2
Cierta 2x + 2 = 2 · (x + 1)
I d e n t i d a d U n a i d e n t i d a d e s u na na i g u a l d a d q u e e s c i e r t a p a r a c u a l q u i e r v a l o r de las letras. 2x + 2 = 2 · (x + 1)
2x + 2 = 2x + 2
2 = 2
Ecuación Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras. x + 1 = 2
x = 1
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Los términos son los sumandos que forman los miembros.
UNIDAD I: 1. INTRODUCCIÓN Se presenta una revisión condensada de los principales conceptos temáticos con el propósito de
introducir al lector en la resolución de ecuaciones,- inecuaciones y sistemas lineales de ecuaciones por métodos adecuados. Parece Parece conveniente, en primer lugar, establecer la notación, definiciones y algunas de las bases de álgebra necesarias para alcanzar el objetivo planteado.
ECUACIONES Igualdad Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x − 2
Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 · (x + 1)
2x + 1 = 2x + 2
1≠2.
2x + 2 = 2x + 2
2 = 2
Cierta 2x + 2 = 2 · (x + 1)
I d e n t i d a d U n a i d e n t i d a d e s u na na i g u a l d a d q u e e s c i e r t a p a r a c u a l q u i e r v a l o r de las letras. 2x + 2 = 2 · (x + 1)
2x + 2 = 2x + 2
2 = 2
Ecuación Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras. x + 1 = 2
x = 1
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Los términos son los sumandos que forman los miembros.
Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.
Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. 2x − 3 = 3x + 2
x = −5
2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2 − 10 −3 = −15 + 2
−13 = −13
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monom ios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones según su grado 5x + 3 = 2x +1
Ecuación de primer grado.
5x + 3 = 2x2 + x
Ecuación de segundo grado.
5x3 + 3 = 2x +x2
Ecuación de tercer grado.
5x3 + 3 = 2x4 +1
Ecuación de cuarto grado.
Clasificación de ecuaciones 1. Ecuaciones polinómicas enteras Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio.
Grado de una ecuación El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monom ios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones polinómicas 1.1 Ecuaciones de primer grado o lineales Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al
operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. (x + 1)2 = x2 - 2 x2 + 2x + 1 = x2 - 2 2x + 1 = -2 2x + 3 = 0
1.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas Son ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.
Ecuaciones de segundo grado incompletas ax2 = 0,
ax2 + b = 0,
ax2 + bx = 0
EJERCICIOS: Ecuaciones de segundo grado Determina las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1) x(2x – 3) – 3(5 – x) = 83
13) (x – 2)(x + 5) = 9x + 10
2) (2x + 5)(2x – 5) = 11
14) (2x + 6)(2x – 6) = (2x + 9)(3x – 4)
3) (7 + x)2 + (7 – x)2 = 130
15) (x + 3)2 – 8x – 9 = 0
4) (2x – 3)(3x – 4) – (x – 13)(x – 4) = 40
16) (x + 4)2 + (x – 3)2 = (x + 5) 2
5) (3x – 4)(4x – 3) – (2x – 7)(3x – 2) = 214
17) (x + 13)2 = (x + 12) 2 + (x – 5)2
6) 8(2 – x)2 = 2(8 – x)2 7) 8)
x
2
6
2 5x
3
x
x
2
4
4 7x x
2
18)
3x
5
19)
54
2x
4 x
3
18
3 3
x
3
7
20) x2 – 18x + 80 = 0
9) x2 – 3x = 0
21) x2 – 4x – 96 = 0
10) 6x2 + 42x = 0
22) x2 – 17x + 52 = 0
11) x2 + ax = 0
23) x2 – 7x – 120 = 0
12) (x – 2)(x – 3) = 6
24) 4x2 + 5x – 6 = 0 25) 6x2 + 5x – 1 = 0
3
26) 3x2 – 10x – 25 = 0
31)
27) 7x2 – 16x + 9 = 0 28) x x
29)
3 x
30)
x
15 x
18 x
8
2
32)
8
x x
1
x
4 x
1
1
x 3 x 2
13
6 2
33) x2 + 4ax – 12a2 = 0
50 x
2x
34) x2 – 5ax + 6a 2 = 0
1
35)
10
7 3x 5 x
2x 3 x
8
Respuestas: 1) 7 y -7 -4
2) 3 y -3
4) 4 y -4
3) 4 y
2
5) 6 y -6
6) 4 y -4
7) 6 y -6 8) 1 y -1
9) 0 y 3
10) 0 y -7
y –a
12) 0 y 5
14) 0 y 0y8
19 2
11) 0
19) 0 y
3 7
20) 10 y 8
22) 4 y 13
23) -8 y 15
24) -2 y
16)
18) 0 y
25) -1 y 27) 1 y
1 6 9 7
30) 13 y -6
11 3
4 5 3
29)
1.3 Ecuaciones de tercer grado Son ecuaciones del tipo ax 3 + bx2 + cx + d = 0, con a ≠ 0.
1.4 Ecuaciones de cuarto grado Son ecuaciones del tipo ax 4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, con a ≠ 0.
Ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene térm inos de grado impar. a x 4 + bx 2 + c = 0 , c o n a ≠ 0 .
1.5 Ecuaciones de grado n En general, las ecuaciones de grado n son de la forma: a1 x n + a2x n-1 + a3 x n-2 + ...+ a 0 = 0
31) -3
32) 3 y 5 33) 2a y -6a
34) 9 y
3
26) 5 y 28) 5 y 3
-6 y -9 y2
21) 12 y -8
13) 0 y 6
15) 0 y 2
17) 0 y 12
9
2. Ecuaciones polinómicas racionales
Las ecuaciones polinómicas son de la forma polinomios.
, donde P(x) y Q(x) son
EJERCICIOS: ECUACIÓNES CON EXPRESIONES RACIONALES. A.- Resuelva las siguientes ecuaciones: 1)
13 2 x
3)
5)
4 x 1 2 x 9 4 3 x 1 6 x 2
y
2
4
2)8
4 x
4)
12
2 x 5
6)
4 x 13 4
y
5
2
x
2
7
7)
3
2
5
y
2
8)
3 7 x 2 9 2 x 6 4 2u 3
x
9 3x 1 7 5 x 15 10 4u 2
B.- Dada la fórmula entregada. Despeje la variable específica. 1) I = Prt para P ---- > Interés Simple 2) V
1 3
2
r h para h ---- > Volumen de un cono
3) P = 2I + 2W para W ---- > Perímetro de un rectángulo 1
4) S gt 2 2
5) S
6)
1 R
V 0 t para V0 ---- > distancia de caída de un cuerpo
q q p(1 q) 1
R1
1
R2
para q ---- > Ley de Amdahl para Supercomputadoras 1
R3
para R2 ----- > Tres resistores conectados en paralelo.
C.- Escoge la ecuación que mejor describe la tabla de datos.
3
9
2 3 1 2u 3
x
y
1
0,8
1)
y - 1,2x 2
0,4 3 1,6
2)
y -1,2x 2
4
4)
2
3)
2
y 0,8 x 3
2,8 5 4,0
y x 4 - 0,2
Análisis de ejercicios que aparecen el Cálculo. Analice los siguientes ejemplos: 1. Simplificar: 4 x
3
x
1 1 2 1 x x 1 2 2 x 2 2 1 2 x 12 1
2
4
2
Los dos términos del numerador contienen el factor común (x 2+1)-1/2
x
1
2
4
1
2
x
x
4 x
x
5
4 x
1
5
x
2 x
2
4 x
1
2
1
2 x
2
x
2
1 x
5
1
x
1
2
3 x
3
2
3
5
1
3
1
En Cálculo, algunas veces es necesario racionalizar el numerador(o denominador) de una fracción; si se desea obtener una fracción equivalente que no contenga algún radical en el numerador (o denominador) Recordando el producto (a + b)(a – b) = a2 – b2 Cada factor es llamado el conjugado del otro. El concepto de conjugado es usado para racionalizar el numerador (o denominador) de una fracción cuando el numerador (o denominador) es un binomio que contiene un radical de orden 2.
Ejemplo: Racionalice el numerador de la fracción:
x h
x
h
x h
x
h
, donde x > 0, x+h > 0 y h 0
x h
x
h
·
x h
x
x h
x
x h x
h
x h
h x
h
x h
x
1
x h
x
Ejercicios Propuestos. 1)
Simplifique: 1 1 x 1 2 x x 1 2 2 a) 2 1 x 1 2
1 2 x - 1 3 x x 1 3 3 b) 2 x 1 23
1
2
1 1 2 4x 3 x 1 x 3 x 1 2 6 x 2 c) 2 1 2 3 x 12 2 1 1 1 1 1 3 x 1 3 32 x 32 3 x 13 2 x 3 2 2 3 2 d ) 1
3
2
4
2
2 3 12 x
2)
Racionalice el numerador. Todos los radicandos y todas las variables representan números positivos; ninguno de los denominadores es cero. 4h 2
a)
b)
h 1 x h
c)
3)
2
2x h 1 2 x 1 h
1
h2
x
h 1 h
d )
h
Simplifique la expresión: (a)
x
1
2
8 x 16
2
x
1
2
8 x 16
2
(b) ¿Para qué valores de x, la expresión del inciso (a) es equivalente a 2x?
2
3. Ecuaciones polinómicas irracionales Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.
Ejemplo 1: 2 x
2 x
2 x
5
5
5
/( )2
7
2
49
49
2x = 54 x = 27 Nota: Toda ecuación irracional debe comprobarse porque al elevar la ecuación a una potencia par, la ecuación se transforma en otra, por lo que en algunos casos su solución no satisface la ecuación original. Comprobemos en la ecuación original: 2·27 5
54
7
49
5
7
7
7=7 Por lo tanto x = 27 satisface la ecuación, es decir, es su raíz o solución.
Ejemplo 2 : Resolver
x
5 x
5
x
5
x
12
x
6
x
x
6
2
2
2
x
2
2
5 36 12
x
2
2
36 x
2
x
33
x
12
2 6 aquí conviene aislar las raíces:
2
x
5
2
/( )2
2
144(x+2) = 1089 144x+288 = 1089 x =
89 16
Comprobemos usando este valor en la ecuación original: 89 16
5
89
16
2
6 y
obtenemos 6=6,por lo tanto
89 16
es su raíz o solución.
EJERCICIOS PROPUESTOS : A.- Resolver las siguientes ecuaciones irracionales: a) c)
5
2 3 x
x
3
e)
g)
i)
3
4
x
b)
7
d)
2
f)
x 1 1
1
4
2
3
2
3
x
3
5 x 8
x
2
3 x
3
5
i)
x
4
h)
x 1 1
6 x 2
2
1
3
32 3
3
x
1 2
3
4
x
3 x
1 23
2
x
2
x 1
2 3
x
B.- Plantea la ecuación y resuelve los siguientes problemas: a) El área de u triángulo equilátero es 9 3 m2. Determine el perímetro y la medida de su altura. b) El volumen de u cubo mide 1728 m 3. Calcule la medida de la diagonal de una de sus caras y la medida de la diagonal del cubo. c) Si la raíz cuadrada de un número se aumenta en dos, resulta 5. ¿Cuál es el número? d) El volumen de una esfera mide 36 m3. Calcule la medida de su radio. e) Determine el perímetro de un rombo cuyas diagonales tienen como medida 6 m y 8 m, respectivamente. f) Las medidas de los lados de un triángulo son 26 m , 24 m y 10 m, respectivamente. Calcule su área. g) El volumen de un cono recto mide 245 cm3. ¿Cuánto mide su radio basal si la medida de su altura es 15 cm? h) El área de un triángulo equilátero es 100 3 m2. Indique la medida del área del cuadrado que tiene por lado la altura del triángulo. i) El área de un cuadrado es 8 m 2. Calcule la medida del área del cuadrado que tiene por lado la diagonal del cuadrado. j) Determine la medida del área del cubo que tiene como arista la diagonal de un cubo cuyo volumen mide 729 m 3. k) Calcule el área de un triángulo equilátero cuyo lado tiene la misma medida que el lado de un cuadrado en que su diagonal mide 7
2
m.
4. Ecuaciones no polinómicas 4.1 Ecuaciones exponenciales Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.
;
;
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente. Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta: 1. 2. 3. Las propiedades de las potencias .
a0 = 1 a1 = a
am · a n = am+n am : a n = am - n (am)n = am · n an · b n = (a · b) n
an : b n = (a : b) n
Resolución de ecuaciones exponenciales Caso 1 Realizar las operaciones necesarias para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que podemos igualar los exponentes. Ejemplos 1.
2.
3.
Caso 2 Cuando tenemos una ecuación más compleja podemos recurrir a un cambio de variable. Ejemplos 1 . En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes. Posteriormente realizamos el cambio de variable:
Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable.
2.
3.
Deshacemos el cambio de variable en primer con el signo más.
Como no podemos igualar exponentes tomamos logaritmos en los dos miembros y en el primer miembro aplicamos la propiedad:
Despejamos la x
Con el signo negativo no tendríamos solución porque al aplicar logaritmos en el segundo miembro nos encontraríamos con el logaritmo de un número negativo, que no existe.
Caso 3 Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia.
Ejemplo
4.2 Ecuaciones logarítmicas Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.
;
;
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta: 1 Las propiedades de los logaritmos. 1 2 3 4 5 6 7
2
Inyectividad del logaritmo:
3 Definición de logaritmo: 4 Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos. Ejemplos 1. Resuelve la ecuación logarítmica: En el primer miembro aplicamos del logaritmo de un producto y en segundo la propiedad del logaritmo de una potencia: Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos tenemos: Resolvemos la ecuación y comprobamos que no obtenemos un logaritmo nulo o negativo.
2. Resuelve la ecuación logarítmica: En el 2º miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente: Restamos en los dos miembros tenemos:
log x
y teniendo en cuenta que el
log 10 = 1,
Teniendo en cuenta la definición de logaritmo y que es un logaritmo decimal:
3. Resuelve la ecuación logarítmica: En primer miembro aplicamos la propiedad del producto y en el 2º la de l a potencia de un logaritmo.
Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos tenemos: Resolvemos la ecuación y comprobamos la solución .
4. Resuelve la ecuación logarítmica: Multiplicamos en los dos miembros por
log(3x −4).
En el 2º miembro aplicamos la propiedad de la potencia de un logaritmo y tenemos en cuenta la inyectividad de los logaritmos.
Resolvemos la ecuación x = 0 no es solución porque nos encontraríamos al sustituir en la ecuación nos encontraríamos en el denominador un logaritmo negativo.
4.3 Ecuaciones trigonométricas Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por u na función trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo genera l infinitas soluciones.
IDEAS BÁSICAS DE TRIGONOMETRÍA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS: Definición: En el triángulo rectángulo ABC; se definen: Sen
BC
AC
: Cos
BC
AC
;
2
C Cos
Tg
AB AC
BC
Cotg
AB
Sen 0º= 0
AB AC
;
2
β
;
AB
: Sen
Fig. 1
A 0
;
BC
Cos 0º = 1
También se definen:
B
Sen
2
1
Cos
2
0
2
1) tg
Sen
Cotg
:
Cos
1
Sec
:
tg
1
: cos ec
cos
1
Sen
2) Según Teorema de Pitágoras: 2
AC
AB
2
2
BC
Sen
2
Cos
2
1:
Al dividir por Sen 2 y Cos 2 1 Cotg 2
cos ec
2
tg 2 1 Sec 2
De aquí construimos las llamadas “Identidades fundamentales ”: 1. Sen
1
2. Cos
1
Cos
Sen 2
3. Sec
2
1 tg
2
4. Co sec 1 Cotg 2 Aún más, se pueden lograr relaciones de cada una de estas razones gracias a un simple expediente gráfico con ayuda del teorema de Pitágoras.
1
1 a)
b)
Sen
α
α 1 Sen
2
1 Cos
2
Cos
c)
2
1 tg
Tg
cos ec
α
1
α 1 d)
e)
1 cot g
2
α α
1
f)
cos ec
2
1
Sec
α
Sec 2 1
1
En cada gráfico buscamos la razón trigonométrica según la definición: Así en a) tg
sen
: sec
1
sen
2
1
: cos
1
sen
2
1
sen
2
1
De este modo se puede construir en una tabla todas la relaciones o “identidades fundamentales” de
las razones entre sí.
tg
cos
Sen
cos ec
1
tg
___
Sen
1 cos
2
1 tg
2
1
2
sen
____
sen
tg
1
sen
1 cos
2
cos ec
1 1 sen
cot g
____
1 sen
2
2
1 tg 2
1 tg
1 cos
sen
2
2
2
cos ec
2
1
1
1 cot g
2
cot g
____
1 cot g
sec
2
2
_____
1
tg
2
1
1
cot g
1
2
1 cot g
sec
cos ec
2
cot g
1
_____
cos ec
cos
sec
sec
cos
2
cos ec
1 cot g
sec
cos ec
2
1
1
1
1
1
1 2
2
cot g
sec
tg
1 cos
sen
1
1
sec
1 tg
cos
2
cos ec 2
2
sec
cos ec
1 cos
sec
1
3) Siendo 360º = 2π rad. Donde 1 radián es el ángulo cuyo arco es la medida del radio, como éste está contenido 2 veces en la circunferencia que equivale al ángulo completo de 360º. Entonces:
360º = 2π rad. 90º =
60º =
2
3
180º = π rad.
rad.
.45º =
rad.
30º =
4
6
r
rad.
r
rad.
4) Como en la fig. 1 :
2
Sen
cos
cos sen pues: 2 2
Sen cos
r
cos
sen
tg cot g
2
2
cot g tg
y
5) Del gráfico C
1
B
A
Sen
tg
1
4
cos
4
1
2
2 2
1
4
a 3
C Sen
a
2
6
1
a
sen
a
2
cos
a
2
3 3
2
6
3
2
3
a
A
a
2
a B Lo que podemos resumir en el siguiente cuadro
0
α 1
Sen α
2 1
Cos α
0
2
6
4
3
2
1
1
2 4
Identidades trigonométricas:
1 2
1 2
3
1 2
2 2
1
3
2 1 2
1 2
1
1 2
4
0
Son relaciones de igualdad válidas para todo valor del ángulo, cuya verificación se logra con las identidades fundamentales y algunos recursos algebraicos
Ejemplo: Verificar las identidades elementales a) sen sec Solución.:
tg
sen sec sen
1 cos
tg
b) cot g sec sen 1 Solución.: cot g
c)
cos
sec
sen
sen
cos ec
cos
1
sen
cos
Sen 1
Sec
sen cos
Solución.: 1º. miembro :
2º miembro :
cos sen sen cos cos ec
sec
cos sen cos 1
d)
cos
sen sen cos
1 sen
1 cos
1
sen
sen 2
cos
sec
cos
Solución.:
sen 2
cos
cos
sen 2
cos 2
cos
1 cos
sec
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Son relaciones de igualdad válidas para ciertos valores del ángulo, valores que buscamos encontrar, pero ello demanda una mayor profundización en el tema veremos algunos ejemplos muy elementales.
1)
sen 4 x
1
2
Solución.: sen 4 x sen
6
4 x
x
6
24
3 x 3 4 2
2) cos
Solución.: x x x cos x 6 3 3 6 3 12 4 3 4
cos
3) cos x
cos 2 x 4 3
Solución.: cos 2 x x 2 x 3 x x 4 4 3 3 4 36 3
cos x
OTRAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Otras identidades que son de uso frecuente son: 1)
sen
Sen
cos sen
cos
S Sen( )
SP
OS
ST TP
Sen Cos
0S
α
R
T
Cos Sen
RQ OR
OR OS
ST
SR
SR OS
_____________________ P
Q
TP OS
ST
β
O
OS
Sen( )
2) 3)
Sen Cos Cos Sen
Cos( ) Cos Cos Sen Sen tg tg 3) tg 1 tg tg
De ellas se puede deducir que (haciendo ) a)
Sen 2
b)
cos 2
2 sen cos
sen2 2 tg
cos
c) c) tg 2
2
1 tg 2
De aquí se puede obtener las siguientes nuevas identidades a)
Sen
1
cos
b)
2
2
cos
2
1 cos
c) tg
2
sen
2
1 cos
1 cos
sen
En efecto: a)
Si tomamos Sen
2
2
debemos probar que:
1 cos 2
2 sen
Sen
2
1 cos
2
2
sen2
Sen
1 cos 2
1 cos 2
2
como vemos que
2 2
sen
cos
2
1
como esto último es verdadero lo anterior lo es si argumentamos en reversa es decir a partir de esto último y ( lo normal sería partir de este punto y construir lo que sigue en el proceso pero ello es más laborioso). De igual modo se verifica las otras identidades.
Ejercicios 1) Calcular el valor numérico de:
Sen
7 12
Solución.: 7 sen Sen cos cos Sen 4 3 4 3 12 4 3
Sen
2
2) Calcular
2
1
Sen
2
2
3
2
2
2
4
6
4
1
4
2
6
2
Solución.:
Sen
sen cos cos sen 2 2 2
Sen
cos
3) Demuestre que
cos
0
cos 1
cos 2 cos cos
Solución.: cos
cos
cos
cos
cos
cos sen sen
cos
sen
sen
cos 2 cos cos
a) De igual forma se puede verificar que :
sen sen
2 sen cos
b)
cos
c)
cos
Nótese que haciendo
a)
x
2
y
2
y
x
sen
sen
2
y
se llega a:
x y x y cos 2 2
cos x cos y 2 cos
x y x y sen 2 2
b)
Sen x sen y 2 sen
c)
cos y
cos x
2
x y x y sen 2 2
Sen
Estas identidades son de gran utilidad para estudios posteriores. 4.- Si tg
4 15
5Sen 7Cos
, Hallar el valor de
6Cos 3Sen
.
Solución. Recurriendo al cuadro de identidades (Pág. 13) tg
Sen
2
1 tg
6Cos 3Sen
20 105
2
90 12
125
78
4
Sen
1 tg
5Sen 7Cos
1
Cos
241
y Cos
15
luego
241
.
5.- Si Tg Sec 2, Demostrar que
Sen
3
5
Solución. Tg Sec 2 Sen 1 2Cos (Sen 1) 2 5Sen
2
2Sen 3 0 Sen
28
ó Sen
10
6.- Determinar el valor numérico de: X=
4(1 Sen 2 )
3 5
2
3Tg 30º
1 4
Sec 60º 5Cotg 2 45º
Solución. Con ayuda del cuadro de la pág.14: Tg 30º
3 3
; Sec 60º 2 ; Cotg 45º 1 ; Sen 60º
3 2
X 6
2 3
Sen 2 60º
7.- Comprobar las identidades: a) Sec 4 1 2Tg 2 Tg 4 b)
c)
Tg Sec 1
Tg Sec 1
2Co sec
2Sen Cos Cos 1 Sen
2 2 Sen Cos
Cotg
d) Sen Cos Tg Cos Sen Cotg 1 Solución. a) Reescribiendo el primer miembro como: (Sec 2 1)(Sec 2 1) y el segundo miembro como: Tg 2 (2 Tg 2 ) (Sec 2 1)(2 Sec 2 1) , la identidad a demostrar quedaría:
Sec 2 1 Sec 2 1 , por lo que no hay nada que demostrar.
b) Como una identidad no puede trabajarse admitiendo la igualdad, es que desarrollamos el primer miembro y/o el segundo por separado. 1º M Tg Tg Tg ( Sec 1) Tg ( Sec 1) 2Tg Sec 2Cos Sec
Sec 1
c) 1ºM:
Sec 1
Sec 2 1
Cos (2Sen 1)
1 Sen Sen 2 (1 Sen 2 )
d) Sen Cos Tg
Sen
2
Tg 2
Cos (2Sen 1)
2Sen 2 Sen
Cos Sen
Sen
2Co sec
Cotg
y Cos Sen Cotg Cos 2 , la suma resulta 1.
Algunos Problemas 1) Un poste colocado a 100 mts. de un punto de observación, el observador ve su cúspide bajo un ángulo de 30º. Hallar la altura del poste. Solución.:
tg 30º
h 100
3 2
h 50 3
h 30º
100 2) En la orilla de un canal hay dos personas a 50 mts. una de la otras; en la otra orilla y en un lugar intermedio un observador ve a uno en un ángulo de 30º y al otro en uno de 45º ¿Cuál es el ancho del canal? Solución.: tg 45º
h
50 x
1
A
tg 30º
h
3
50
B h
h
x 2 __________ _____
45
30
50-x h 50 x ; x
2h
h
50
2h
3
3
2
h1
50 h
x
3
50
1
3
2
3) Pruebe que en el triángulo ABC su área está dada por
A
1
2
bc Sen
1
2
ac Sen
1
ab seb
2
Solución.: A
C
2
AB h : Sen
h
b
h
b Sen
a
b
A
h A
1
α
c
1 2
bc Sen .
B
Los otros resultados se logran del mismo modo (rotando los vértices)
4) Pruebe el llamado “teorema del seno”
sen
sen
a
sen
b
En un triángulo ABC
c
Solución.:
A
1
bc Sen
2
bc sen
sen
b
1
ac Sen
2
ab Sen
ab Sen / : abc
sen
sen
a
2
ac sen
1
c
5) Pruebe el llamado “teorema del coseno” a
2
c
2
b
2
2bc cos
C
b
a h
α
A
x
x b cos
c
2
c
2
x
b
2
2
c x2
2c x
2bc cos
B
c-x
b
2
h
x
a
2
2
a
2
a
2
2
Observación Al término de esta visión muy elemental del tema solo nos corresponde esperar que el alumno a partir de ello pueda insertarse exitosamente en los contenidos del programa regular de la signatura
Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. 2x − 3 = 3x + 2
x = −5
x + 3 = −2
x = −5
Criterios de equivalencia de ecuaciones 1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. x + 3 = −2 x + 3 − 3 = −2 − 3 x = −5
2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. 5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x + 2 = 3 x + 2 −2= 3 −2
x = 1
Ecuaciones de primer grado En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en en el otro.
x e n
un miembro y los términos independientes
4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita.
Despejamos la incógnita:
Ag r u p a m os lo s t é r m in o s s e m ej a n t es y lo s i n d e p e nd i e n t e s , y s u m a m o s :
Quitamos paréntesis:
Ag r u p a m o s t é rm in o s y s u m am o s :
Despejamos la incógnita:
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos sem ejantes:
Despejamos la incógnita:
Quitamos paréntesis y simplificamos:
Quitamos denominadores, agrupamos y sumam os los términos semejantes:
Quitamos corchete:
Quitamos paréntesis:
Quitamos denominadores:
Quitamos paréntesis:
Ag r u p a m o s t é rm in o s :
Sumamos:
Dividimos los dos miembros por: −9
Problemas de ecuaciones de primer grado Expresiones algebraicas comunes El d o b l e o d u p l o d e u n n ú m e r o : 2 x El t r i p l e d e u n n ú m e r o : 3 x El c u á d r u p l o d e u n n ú m e r o : 4x La mitad de un número: x/2. Un tercio de un número: x/3. Un cuarto de un número: x/4. Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,.. Un número al cuadrado: x2 Un número al cubo: x3 Dos números consecutivos: x y x + 1. Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2. Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.
Descomponer 24 en dos partes : x y 24 − x. La suma de dos números es 24: x y 24 − x. La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x. El p r o d u c t o d e d o s n ú m e r o s e s 2 4 : x y 2 4 / x . El c o c i e n t e d e d o s n ú m e r o s e s 2 4 ; x y 2 4 · x
Problemas de relojes El ángulo o arco descrito que recorre el minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que describe la aguja horaria. Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se superpondrán las agujas?
x es el arco que describe la aguja horaria.
(15 + x) es el arco que describe el minutero. 15 + x = 12x x = 15/11 min Las agujas se superpondrán a la 3 h 16 min 21 s Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán sus agujas por primera vez un ángulo recto? Las agujas del reloj forman un ángulo recto a las 2 h 25 min y un poco más, que llamaremos x.
x es el arco que describe la aguja horaria. 25 + x, es el arco que describe el minutero. 25 + x = 12x x = 25/11 min Las agujas del reloj conformarán un ángulo de 90° a las 2h 27 min 16 s.
Problemas de móviles Para plantear problemas sobre móviles que llevan velocidad const ante se utilizan las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme:
espacio = velocidad × tiempo
1er caso Los móviles van en sentido contrario.
eAC + eCB = eAB
Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9 de la mañana parte de l a ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y d e la ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km /h. Se pide:
1 El tiempo que tardarán en encontrarse.
90t + 60t = 300
150t = 300
t = 2 horas
2 La hora del encuentro. Se encontraran a las 11 de la mañana .
3 La distancia recorrida por cada uno. e
AB =
90 · 2 = 180 km
e
BC =
60 · 2 = 120 km
2o caso Los móviles van en el mismo sentido.
eAC − eBC = e
AB
Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las 9 de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A c i r c u l a a 9 0 k m /h , y e l q u e s a le d e B v a a 6 0 k m / h. Se p id e :
1 El tiempo que tardarán en encontrarse. 90t − 60t = 180
30t = 180
t = 6 horas
2 La hora del encuentro. Se encontraran a las 3 de la tarde.
3 La distancia recorrida por cada uno. e
AB =
90 · 6 = 540 km
e
BC =
60 · 6 = 360 km
3er caso L o s m ó v i l e s p a r t e n d e l mi s m o p u n t o y c o n e l m i s m o s e n t i d o . e
1
= e
2
Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del prim ero con una velocidad de 120 km/h. Se pide:
1 El tiempo que tardará en alcanzarlo. 90t = 120 · (t − 3) 90t = 120t − 360
−30t = −360
t = 12 horas
2 La distancia a la que se produce el encuentro. e
1
= 90 · 12 = 1080 km
Problemas de grifos E n u n a h o r a e l p r i m e r g r i f o l l e n a 1/ t 1 d e l d e p ó s i t o . En una hora el segundo grifo llena 1/t2 del depósito. Si existe un desagüe En una hora el desagüe vacía 1/t3 del depósito. En una hora los dos grifos juntos habrán llenado: Sin desagüe
Con desagüe
Un grifo tarda en llenar un depósito tres horas y otro grifo tarda en llenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos gri fos juntos el depósito? En una hora el primer grifo llena 1/3 del depósito. En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depósito. En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:
7x = 12
x = 12/7 horas
Problemas de mezclas C1
1ª cantidad. C1 = x
C2
2ª cantidad. C2 = Cm - x
Cm
Cantidad de la mezcla Cm = C1 + C2
P1
Precio de la 1ª cantidad
P2
Precio de la 2ª cantidad
Pm
Precio de la mezcla
C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm También podemos poner los datos en una tabla
Cantidad
Precio
Coste
1ª sustancia
C1
P1
C1 · P1
2ª sustancia
C2
P2
C2 · P2
Mezcla
C1 + C2
P
C1 · P1+ C2 · P2
C1 · P1 + C2 · P2 = (C 1 + C2) · Pm
Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 nuevos soles el kg y la segunda a 60 nuevos soles el kg. ¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 k ilos de mezcla a 50 nuevos soles el kg?
1ª clase
2ª clase
Total
Nº de kg
x
60 − x
60
Valor
40 · x
60 · (60 − x)
60 · 50
40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50
40x + 3600 − 60x = 3000; x = 30;
− 60x + 40x = 3000 − 3600;
20x = 600
60 − 30 = 30
Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y otros 30 de la 2ª clase . Problemas de aleaciones La ley de la aleación es la relación entre el peso del metal fino, es decir, más valioso, y el peso total. Se resuelven del mismo modo que los problemas de mezclas, teniend o en c u e n t a q u e l a l e y d e l a a l e a c i ó n e q u i v a l e a l p r e c i o d e l a m e z c l a.
C1 · L1 + C2 · L2 = (C 1 + C2 ) · La
Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada lingote para obtener 18 00 g de plata de ley 0.900?
1ª ley
2ª ley
Total
Nº de g
x
1800 − x
1800
Plata
0.750 · x
0.950 · (1800−x)
0.900 · 1800
0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800 0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620 0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710 −0.2x = − 90
1ª ley
450 g
2ª ley
1350 g
x = 450
Problemas geométricos con ecuaciones de primer grado Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B. C
x
B
x + 40
A
x + 40 + 40 = x+ 80
x + x + 40 + x+ 80 = 180; 3x = 60; C = 20º
x + x + x = 180 − 40 − 80;
x = 20 B = 20º + 40º = 60º
A = 6 0 º + 4 0 º = 1 0 0 º
Ecuaciones de 2º grado Resolución de ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
Ecuaciones de segundo grado incompletas Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas ax2 = 0
La solución es x = 0.
;
ax2 + bx = 0
ax2 + c = 0 Despejamos:
Extraemos factor común x:
Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado a x 2 + b x + c = 0
b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en c ada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:
b2 − 4ac > 0 La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.
b2 − 4ac = 0 La ecuación tiene una solución doble.
b2 − 4ac < 0 La ecuación no tiene soluciones reales.
Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado La suma de las soluciones de una ecuación de segundo gra do es igual a:
El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:
Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:
Siendo S = x 1 + x2 y P = x 1 · x2 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.
S= 3 − 2 = 1 P = 3 · 2 = 6 x2 − x + 6 = 0
Factorización de un trinomio de segundo grado a x2 + bx +c = 0
a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0
Ecuaciones de primer grado. Resumen Igualdad Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. Identidad Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras. Ecuación Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras. Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Los términos son los sumandos que forman los miembros.
Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación. Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monom ios que forman sus miembros.
Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
Resolución de ecuaciones de primer grado En general para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en otro.
x e n
un miembro y los términos inde pendientes en el
4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita.
Aplicaciones Problemas sobre móviles
1er caso Los móviles van en sentido contrario.
e
AB
+ e
BC
= e
AB
2o caso Los móviles van en el mismo sentido.
e
AC
− e
BC
= e
AB
3er caso Los móviles parten del mismo punto y con el mismo sentido.
e
1
= e
2
Problemas sobre grifos Problemas sobre mezclas Problemas sobre relojes El ángulo o arco descrito que recorre el minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que describe la aguja horaria.
Problemas geométricos Ecuaciones de 2º grado Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas ax2 = 0 La solución es x = 0.
a x 2 + bx = 0 Extraemos factor común x. I g u a l a m o s c a d a f a c t o r a 0 y r e s o l v e m o s l a s e c u a c i o n e s d e 1 e r g r a d o . x = 0.
ax2 + c = 0 Despejamos:
a x 2 + b x + c = 0
b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en c ada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:
b2 − 4ac > 0 La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.
b2 − 4ac = 0 La ecuación tiene una solución doble.
b2 − 4ac < 0 La ecuación no tiene soluciones reales. La suma de las soluciones de una ecuación de segundo gra do es igual a:
El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:
Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:
Siendo S = x 1 + x2 y P = x 1 · x2
Resolver las ecuaciones de primer grado 1 2 3
4
5 6 7
8
9
10
11
12
13
14 Problemas de ecuaciones de primer grado
1 Un padre tiene 35 a ños y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?
2Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el núm ero? 3 La base de un rectángulo es doble que su altur a. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm? 4En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas? 5 Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón. 6 Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay? 7Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide: 1. Litros de gasolina que tenía en el depósito. 2. Litros consumidos en cada etapa. 8En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 nuevos soles. ¿Cuánto dinero tenía Ana? 9 La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número? 10Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad del padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos. 11Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro? 12Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.
Problemas de relojes, móviles, grifos y mezclas 1Un reloj marca las 3 en punto. ¿A q ué hora entre las 3 y las 4 se superpondrán las agujas? 2Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán sus agujas por primera vez un ángulo recto? 3Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9 de la mañana parte de la ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y d e la ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Se pide: 1 El tiempo que tardarán en encontrarse. 2 La hora del encuentro.
3 La distancia recorrida por cada uno. 4Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las 9 de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A c i r c u l a a 9 0 k m /h , y e l q u e s a le d e B v a a 6 0 k m / h. Se p id e : 1 El tiempo que tardarán en encontrarse. 2 La hora del encuentro. 3 La distancia recorrida por cada uno. 5Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del prim ero con una velocidad de 120 km/h. Se pide: 1 El tiempo que tardará en alcanzarlo. 2 La distancia a la que se produce el encuentro. 6 Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 40 km/h. Una hora m ás tarde sale de la misma ciudad y en la misma dirección y sentido un coche a 60 km/h. Se pide: 1. Tiempo que tardará en alcanzarle. 2. Distancia al punto de encuentro. 7Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9 de la mañana de los pueblos A y B situados a 130 kilómetros de distancia. El ciclista que sale de A pedalea a una velocidad constante de 30 km/h, y el ciclista que sale de B, a 20 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán y a qué hora? 8Un grifo tarda en llenar un depósito tres horas y otro grifo tarda en lle narlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grif os juntos el depósito? 9Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 nuevos soles el kg y la segunda a 60 nuevos soles el kg. ¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café par a obtener 60 kilos de mezcla a 50 nuevos soles el kg? 10Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada lingote para obtener 18 00 g de plata de ley 0.900? 11Un lingote de oro de ley 0.950 pesa 6 300 g. ¿Qué cantidad de cobre puro se habrá de añadir para rebajar su ley a 0.900 ?
PROBLEMAS RESUELTOS DE RELOJES, MÓVILES, GRIFOS Y MEZCLAS
1ª clase
2ª clase
Total
Nº de kg
x
60 − x
60
Valor
40 · x
60 · (60 − x)
60 · 50
1ª ley
2ª ley
Total
Nº de g
x
1800 − x
1800
Plata
0.750 · x
0.950 · (1800−x)
0.900 · 1800
Oro
Cobre
Total
Nº de g
6 300
x
6 300 + x
Oro puro
0.950 · 6 300
0.900 · (6 300 + x)
INECUACIONES
INECUACIONES.
OBJETIVOS: -
Definir una inecuación. Conocer propiedades de las inecuaciones. Utilizar esas propiedades en los ejercicios. Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita. Conocer distintas formas de representar las soluciones de una inecuación. Resolver problemas con la ayuda de inecuaciones.
1. INTRODUCCIÓN: Tenemos dos figuras: un triángulo equilátero de lado x y un rectángulo de largo x y de alto igual a 4. Determina para qué valores de x el perímetro del rectángulo es superior al del triángulo.
DEFINICIÓN:
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. Una inecuación es únicamente cierta para determinados valores de la incógnita x. Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen números y letras ligados mediante las operaciones algebraicas. Los signos de desigualdad son: <, , >, Las inecuaciones se clasifican por su grado y por su número de incógnitas. Soluciones de una inecuación son los valores de la(s) incógnita(s) que cumplen la desigualdad. En las inecuaciones suele hablarse de conjunto de soluciones, pues las soluciones se dan mediante intervalos. Resolver una inecuación es encontrar sus soluciones. Resolver una inecuación es localizar todos los valores que puede tomar la incógnita para que sea cierta. Para resolver una inecuación hay que despejar la incógnita. Para ello hay que tener en cuenta las siguientes propiedades:
3) PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES:
PROPIEDADES: Si se suma o resta un mismo número a los dos términos de una desigualdad se obtiene una desigualdad del mismo sentido. Si se multiplica (o divide) a los dos términos de una desigualdad por un mismo número positivo se obtiene una desigualdad del mismo sentido. Si se multiplica (o divide) a los dos términos de una desigualdad por un mismo número negativo se obtiene una desigualdad de distinto sentido.
EJERCICIO: 1) Completa y rellena los espacios ____ con ” <” , o “>” y los huecos ….. con números: a) -5___4 Si multiplico los dos números por 3 resulta …….______....... b) -4___7 Si sumo 6 a los dos miembros resulta …….______....... c) 7___-6 Si resto 2 a los dos miembros resulta …….______....... d) 7___-4 Si multiplico por -4 a los dos miembros resulta …….______....... e) 5___7 Si sumo 3 a los dos miembros resulta …….______....... f) 12___9 Si divido los dos miembros por 3 resulta ……._ _____....... g) -6___8 Si divido los dos miembros por -2 resulta …….______.......
2) Completar la segunda desigualdad y justifica su sentido.
RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN. 1) Se despeja la variable igual que se hace con las ecuaciones. 2) En ese proceso hace falta respetar las propiedades de las desigualdades indicadas en el apartado anterior: cuando sea preciso se variará el sentido de la desigualdad. 3) La solución de una inecuación de primer grado son un conjunto de valores . Se pueden representar mediante un dibujo o un intervalo.
Ejemplo 1: Aplicación de propiedades a una inecuación: Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
3x + 4 < 5
3x + 4 − 4 < 5 − 4
3x < 1
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada. 2x < 6
2x : 2 < 6 : 2
x<3
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
−x < 5
(−x) · (−1) > 5 · (−1)
x > −5
MÁS PROPIEDADES: 1.
A< B
2.
A
A · n < B · n, si n > 0
También: A/n < B/n, si n 0, si n 0
3.
A
A · n > B · n, si n < 0
También: A/n > B/n, si n 0, si n 0
A + n < B + n.
También: A n < B n
OJO: Si se multiplica por un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad.
Ejemplos:
Observa: 3 < 5 (multiplicando por 6)
3 < 5 (multiplicando por 6)
18 < 30
18
> 30 (se cambia < por >)
Igualmente: 2x2 < 8 dividiendo por 2, que x2 < 4 x + 1 < 2x multiplicando
por 1:
(x + 1) > 2x
2x < x 1
1. Inecuaciones de primer grado Para resolverlas se utilizan las tres propiedades indicadas. Además, en todos los casos se tendrá en cuenta el orden de prioridad de las operaciones.
Ejemplos:
Resolver 2(x + 1) + 3 5(x + 2) 10 Operamos los paréntesis y trasponemos términos:
2x + 2 + 3
5x + 10 10
5 ≤ 5x 2x
5 ≤ 3x
5
3
x
La solución son los puntos de [5/3, )
Resolver
x 2
3
2x 4 5
1º. Multiplicamos ambos miembros por 15: 5(x 2) < 3(2x 4) 2º. Operamos los paréntesis:
5x 10 < 6x 12
3º. Trasponemos términos:
5x 6x < 12 + 10
4º. Agrupamos:
x
5º. Multiplicamos por 1:
< 2 x>2
2. Inecuaciones de segundo grado La expresión ax
2
ax
2
bx c
bx c puede ser mayor, menor o igual que 0. Esto es, podemos plantearnos:
0
ax
2
bx c
0
ax
2
bx c
0
En los tres casos conviene resolver la ecuación de segundo grado asociada y escribir el trinomio ax
2
bx
c como producto de factores.
Dependiendo de las raíces de esa ecuación escribiremos: ax
2
ax
2
bx c
bx
si no hay
c
a( x x1 )( x x2 )
a( x x1 )
2
0 (si hay dos soluciones distintas x 1 y x2).
0 (si sólo hay una solución, x 1)
soluciones reales, la inecuación no puede descomponerse en factores.
En cada caso, estudiando los signos de los factores se encuentran los intervalos solución. Observación. En los tres casos puede no haber solución o soluciones.
Ejemplos:
Para resolver
2 x
2
4x 6
0 hallamos las soluciones de la ecuación asociada; son: x 1 = 3 y x2
= 1. Por tanto, 2 x 2
4 x 6 2( x 3)( x 1) .
Con esto escribimos: 2 x
2
4x 6
2( x 3)( x 1) 0 .
0
Como el primer factor, 2, es positivo, el signo del producto dependerá del signo de cada uno de los otros dos factores, (x + 3) y (x 1). (+) · () (x + 3 > 0) · (x 1 < 0)
(x
> 3) y (x < 1) 3 < x < 1
() · (+) (x + 3 < 0) · (x 1 > 0)
(x
< 3) y (x > 1) No hay puntos comunes.
Nota: Hemos hallado los puntos para los que
2 x
También hemos hallado los puntos para los que
2
2 x
4x 6 2
x = 3 y x = 1.
0
4x 6
0 3 < x < 1.
En consecuencia, para todos los demás valores de x se cumplirá que x < 3 y para x > 1. Por tanto, al resolver
2 x
2
4x 6
2 x
2
4x 6
0 también queda resuelta la inecuación 2 x
2
0 . Esto es, para
4x 6
0
Gráficamente, la situación es la siguiente:
2 x
2
2 x
2
4x 6 0
4x 6
0 2 x
< –3
2
4x 6 0
> 1
x
x
–3
2 x
2
1
4x 6 0
–3 < x < 1
Observación: Puede ser oportuno recordar que la función
y
2 x
2
4 x 6 , es una parábola. Si se
representa gráficamente, su curva: · corta al eje OX en los puntos x = 3 y x = 1, que son las soluciones de la ecuación ;
2 x
· y está por debajo del eje OX en el intervalo ( 3, 1), precisamente las soluciones de 2 x
2
4x 6
0.
Resolvamos ahora
x
2
4x 4
0.
2
4x 6
0
Como la ecuación x
2
x
2
4x 4
0 sólo tiene una solución doble, x = 2, se deduce que
4 x 4 ( x 2) 2 : Y como un cuadrado nunca es negativo, la inecuación planteada no tiene
solución, pues
x
2
4 x 4 ( x 2) 2
0 , para cualquier número real de x.
Observación: Como puede verse fácilmente, la parábola
y
x
2
4 x 4 tiene su vértice (su
mínimo) en el punto ( 2, 0), de abscisa x = 2; para los demás valores de x siempre está por encima del eje OX.
Por contra, la inecuación
x
2
4x 6
x
2
4x 6
0 es cierta para todo valor de x, pues
0 no tiene soluciones reales. Por tanto, sólo hay dos posibilidades: o siempre es
mayor que cero; o siempre es menor que cero. Como para x = 0 vale 6, siempre será negativa; esto es,
x
2
4x 6
0 es cierta para todo valor de x.
Observación: Para este caso, también puede verse que la gráfica de la parábola y x 2
4x 6
siempre queda por debajo del eje OX.
Menor que 0 y mayor que 0 en productos y cocientes Muchas veces interesa conocer sólo el signo de una expresión algebraica. Esto es, saber cuándo es menor que cero (negativa) y cuándo es mayor que cero (positiva). El mejor procedimiento, salvo en casos inmediatos, es descomponer dicha en factores y, después, tener en cuenta las reglas de los signos: (+) · () = () < 0
(+) · (+) = (+) > 0
() · (+) = ( ) < 0
() · () = (+) > 0
(+) : () = () < 0
(+) : (+) = (+) > 0
() : (+) = ( ) < 0
() : () = (+) > 0
Pueden presentarse los siguientes casos:
Producto A · B < 0
Producto A · B > 0
A 0 A 0 A 0 A 0
y B 0, o y B0 y B 0, o y B0
(Un factor es positivo y otro negativo.) (Los dos factores tienen el mismo signo)
Ejemplos:
La expresión 2x > 0 cuando x > 0. Análogamente, 2x < 0 si x < 0. 2 2 x siempre es negativa, pues x > 0 para todo x. x2(x 1) será positiva cuando x 1 > 0; esto es, cuando x > 1.
Cociente
Cociente
A B
0
0
A B
A 0 A 0 A 0 A 0
y B 0, o y B0
(Los dos términos con distinto signo)
y B 0, o y B0
(Los dos términos con el mismo signo)
Ejemplos: El signo de las expresiones
1
1
,
x
1
< 0 si x < 0;
x
2
1 x
x
3
sólo depende del denominador. Así:
> 0 si x > 0. Obsérvese que
x
1 x
1
x
2
1
o
3
1
nunca vale 0.
x
> 0 siempre, pues el denominador siempre es positivo.
1
< 0 si x > 0 [( ) : (+) = ( )].
x
x
3
> 0 si x < 0 [( ) : () = (+)].
1
0 cuando x – 1 > 0 y x + 2 > 0: [(+) : (+) = (+)] x > 1. 2 También, cuando x – 1 < 0 y x + 2 < 0: [( –) : ( –) = (+)] x < –2
x
El signo de las expresiones
x
3
2
1
sólo depende del numerador, pues el ( x 2) 2 denominador siempre es positivo, salvo en x = 0 y x = 2, respectivamente, en donde dichas expresiones no están definidas. Así:
x
x
3
x
x
2
2
= 0 si x 3 = 0 x = 3;
2
3
x
1
( x 2) x
x
2
2
1
( x 2) 2
o de
x
2
> 0 si x > 3;
x
3
x
2
< 0 si x < 3.
= 0 si x 2 1 = 0 x = 1;
> 0 si x < 1 o x > 1;
x
2
1
( x 2) 2
< 0 si 1 < x < 1.
3. Inecuaciones de grado superior Para resolver una inecuación de la forma P(x) < 0 o P(x) > 0, donde P(x) es un polinomio de grado 3 o mayor, se procede como sigue: 1º. Se descompone P(x) en factores; para ello habrá que hallar las raíces de P(x) = 0.
Si estas raíces fuesen x1, x2, x3, supuesto P(x) de tercer grado, se tendría: P(x) < 0 ax3
bx 2
cx d 0
(
a x x
1
)( x x2 )( x x3 ) 0
2º. Representar las raíces sobre la recta y determinar los intervalos que se obtienen. 3º. Estudiar el signo de a( x x1 )( x x2 )( x x3 ) 0 en cada uno de esos intervalos. 4º. Dar la solución.
Ejemplo: La inecuación x 3 4 x 2 5x 0 x(x + 1)(x – 5) < 0 Representadas las raíces x = –1, x = 0 y x = 5 se obtiene los intervalos:
x < –1,
–1 < x < 0,
0
x>5
Los signos de los factores de x(x + 1)(x – 5) son: ( –)( –)( –) ( –)
( –)(+)( –) (+) (+)(+)( –) ( –) (+)(+)(+) (+)
En consecuencia, las soluciones de la inecuación son: x < –1 o 0 < x < 5
4. Inecuaciones con valor absoluto La expresión
A
< n significa que
n < A < n.
Ejemplos:
x
< 4
4 < x < 4
Análogamente, la inecuación
x
2
1
indica que
1 < x 2 < 1. Esto es: 1 < x < 3.
Para obtener ese resultado hemos sumado 2 a los tres miembros de las desigualdades: 1 < x 2
<1
1 + 2 < x 2 + 2 < 1 + 2
De igual modo, la inecuación x 1
1
3 indica que 3 > x +1 o x + 1 > 3. Esto es: x < 4 o que x >
2. Para obtener esos resultados hay que resolver las inecuaciones por separado: 3 > x + 1
3 1 > x + 1 1
x+1>3
x + 1 1 > 3 1
4 > x
x < 4
x > 2.
Observación: Nótese que en la solución de la primera inecuación,
x
2
1
, interviene el
cuantificador “y”: x > 1 y x < 3, intervalo (1, 3); o bien, conjunto (1, +)(, 3).
En cambio, en las soluciones de la segunda inecuación,
x 1
3 , hay que utilizar el cuantificador
“o”: x < 4 o x > 2; conjunto ( , 4) (2, +)
5. Inecuaciones con expresiones radicales Podemos plantearnos las dos siguientes inecuaciones: A
n;
A
n
donde A es una expresión con una incógnita y n es un número positivo.
A n
0 A n
A n
A n
2
2
.
Ejemplo:
x
3
0 x < 9
Ejemplo:
x
5
x > 25
Si intervienen otros términos se procederá utilizando los criterios generales ya estudiados. Además, se tendrá en cuenta que al elevar al cuadrado una desigualdad se pueden introducir errores (ganar o perder soluciones). También habrá que tener en cuenta si el signo + o de la raíz puede afectar al resultado. Como en consecuencia de esto, es aconsejable comprobar los resultados.
Ejemplos:
2
2 De x 3 podría deducirse que x x > 9. El resultado no es falso, pero es ( 3) incompleto, pues la desigualdad se cumple siempre que x 0.
x 3 (multiplicando
1
1
2
2
x
x
por 1)
x 2 cuenta el valor del radicando. Observa:
ESTÁ MAL:
x 2 x
ESTÁ BIEN:
2
x
x
Para resolver x
x
0
6
2
x
x 2 13x 36 0
x>9
0 hay que aplicar las reglas del cociente y tener en
x > 2. El motivo es que
x
2
x
no está definido si
1 < x < 0.
0 x (2, 1)(0, +). Esto es: {x > 2} {1 < x < 0}.
x
x
3
4
x x
Para resolver la inecuación
2 x x
1 x
2
x
6
6 , lo normal es hacer lo siguiente:
x
x
6
2
2
x
x
2
12 x
4 < x < 9. (Los valores 4 y 9 son las soluciones de
36 x
2
x
13x
36
0 ).
Sin embargo, la inecuación dada admite otras soluciones, por ejemplo x = 2. ¿Qué ha sucedido para que no salga directamente? El error se ha generado al hacer el cuadrado. Fijémonos ahora en otra posibilidad: x
x
6
x
x
6
0
(hacemos el cambio
x
t )
2
t
t 6 0 .
Resolvemos ahora la ecuación t 2 t 6 0 , cuyas soluciones son: x t 3 y x t 2 . Si consideramos sólo el signo positivo de la raíz, que es lo habitual, y observamos que la x no puede tomar valores negativos, la solución es:
0
x t 3
0 x < 9
que es la solución correcta. Ojo: Si A < B no es cierto que A2 < B2. Observa: –2 < 1, pero ( –2)2 > 12.
Inecuaciones con dos incógnitas Son desigualdades de la forma: ax by c ,
ax by c
El conjunto de soluciones de cuáquera de ellas es uno de los dos semiplanos en los que divide la recta ax by c al plano cartesiano. Si a > 0, la solución de ax by c es el semiplano situado a la izquierda; la solución de ax by c sería el semiplano de la derecha. Si se consideran las desigualdades ax by c o ax by c , el conjunto de soluciones contiene, además del semiplano correspondiente, a los puntos de la recta ax by c .
Ejemplos: Las soluciones de la inecuación 2x + 3y < 12 son todos los puntos del semiplano situado a la izquierda de la recta 2x + 3y = 12. (Ver figura) Las soluciones de la inecuación x 2y 4 son todos los puntos del semiplano situado a la derecha de la recta x 2y = 4. (Ver figura)
EJERCI CI OS: I ntr oducción a las desigualdades e inecuacion es li neales¨ I.
Si a > b > 0 , entonces la(s) afirmación(es) verdadera(s) es (son):
ab>b b) a2 - b2> 0 a)
II.
d)
a2+ b2> 2 a b
> 2
Considere los siguientes intervalos: A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5]. Dibuje en forma de recta numérica lo que se le pide. a. A D b. B – C
III.
c)
c. A C d. B* (el complemento de B)
Resuelva las siguientes inecuaciones. Exprese su solución en intervalos. Compruebe la solución obtenida evaluando solo un punto de los obtenidos en el intervalo. a. 6 - 2x ≤ x + 3 b. c. d. e.
IV.
b. c.
a) b) c) d) VI.
|42| > 6 1 1 ≤ 1
Resuelva las siguiente desigualdades lineales graficamente (tabule). Exprese su solución en intervalos y sombre el área (s) correspondiente (s). a.
V.
− <4 3 <
5 > 1 49≥27 3 ≤ ≤ 5
Resuelva las siguientes desigualdades utilizando el método grafico (tabule). Considere que se necesita aproximadamente 2*2n puntos para una correcta visualización.
6 1 0 > 2 45≤210 9 < 0 415>3(1)
Utilice el método de cruces para resolver las siguientes desigualdades. a. b. c. d.
x(x1)(3x)0 x2( x + 5 ) > 0 8 1 2 < 0
|3 | ≤ |1 |
e. f.
1 < 2 − + ( −+) < 0
g.
+ + < 2
REPRESENTACIÓN Y CONCEPTOS DE FUNCIONES¨ I. 1. 2.
II.
Elaborar la gráfica de la ecuación mediante el trazado de puntos. Considere que se necesita aproximadamente 2*2n puntos para una correcta visualización.
= ( 3) = | 2|
Encontrar todas las intersecciones con los ejes. 1. 2.
= 2
III.
Aplicar la prueba de la recta vertical para determinar si 1.
IV.
a.
= 4
= 0
3.
= √25
es una función de . 1, ≤ 0} 2. = { 2, > 0
() = √ para dibujar la gráfica de cada ecuación. Obtenga las
Utilizar la gráfica de tabulaciones de los puntos.
= √ 2
b.
= √
c.
= √ 2
MATRICES Y DETERMINANTES
INTRODUCCION MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.
MATRICES: Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma
La matriz anterior se denota también por ( ai
j), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j ).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m n. Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ... Ejemplo:
donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus
CLASES DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Matrices cuadradas: Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad: Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales. La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A, A· I =
I · A = A.
Matrices triangulares: Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales: Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag ( d 11, d 22, ..., d nn ). Por ejemplo,
son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).
Traspuesta de una matriz La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. Así, la traspuesta de
En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m n, entonces AT = trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades: 1. ( A + B)T = AT + BT.
es la matriz n m. La
2. ( AT)T = A. 3. (k·A)T = k·AT (si k es un escalar). 4. ( AB)T = BT AT.
Matrices simétricas: Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = - A. Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
.
Matrices ortogonales: Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.
Consideremos una matriz 3 3 arbitraria:
Si A es ortogonal, entonces:
Matrices normales: Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = AT A. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal. Ejemplo :
Puesto que AAT = AT A, la matriz es normal.
OPERACIONES CON MATRICES Suma y resta de matrices Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 2 y otra de 3 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo:
Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.
Ejemplo:
Producto de matrices Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda. Es decir, si tenemos una matriz 2 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 5, la matriz resultante será de orden 2 5. (2 3) (3 5) = (2 5) Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación. 3 5 por 2 3, Puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda. Supongamos que A = (ai
j
) y B = (bi j) son matrices tales que el número de columnas de A
coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m p y B una matriz p n. Entonces el producto AB es la matriz m n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B. Esto es,
Ejemplo :
1.
2.
Produc to por un escalar
El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente k·A, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k :
Ejemplo :
Entonces:
División de matrices La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1: Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar. Ejemplo:
MATRICES INVERTIBLES Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que AB = BA = I
Siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1. Ejemplo:
Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.
Método de Gauss Sea A = (ai j) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
Paso 1. Construir la matriz n 2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M , y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.
Ejemplo :
Consideremos una matriz 3 3 arbitraria
Paso 1.
Paso 2.
El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal.
Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular. Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar. Ejemplo : Supongamos que queremos encontrar la inversa de
Primero construimos la matriz M = ( A I ),
La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M , la operación habría terminado ( A no es invertible). A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.
Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:
La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:
Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I . Comprobación : AA-1 = I
Ejercicio: operaciones con matrices
Sean
a) ¿Qué clase de matrices son? b) Calcular:
c) Calcular:
( A · B) /C .
- A - B + C . A + B - C .
d ) Calcular la inversa de A ( A-1) y comprobar
3 A + C /2.
el resultado.
Resolución :
a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque los
elementos simétricos son opuestos entre sí.
b)
c)
que ( A B) /C = A B C -1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el producto. Puesto
Dividimos
la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,
Por
lo tanto, la matriz inversa de C es:
A continuación,
Por
último, calculamos ( AB)C -1.
= Sacando
d )
se calcula el producto de las matrices A y B,
. factor común 1/3, el resultado puede escribirse como:
Primero
se construye la matriz M = ( A I ) y luego se va desarrollando por Gauss. Así pues:
Se
simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene
. Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,
. Puesto
que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M , se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,
Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:
Para
comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A-1, tiene que cumplir AA-1 = I .
Procedamos a la comprobación:
MATRICES. Y SISTEMAS. DE ECUACIONES LINEALES La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente:
Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.
Método de Gauss Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo : Sea el sistema,
su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x , la segunda a los de la y , la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes:
De este modo, el sistema tiene la solución única x = 2, y = -1, z = 3.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.
Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices
Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:
a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:
La tercera fila se suprime, puesto que es múltiplo de la segunda y resultaría una fila nula. Así, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas:
La solución del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones. x = -9 - y + 10t z = 7t - 7 ó (- 9 - y + 10t , y , 7t - 7, t ).
Dependiendo de qué valores se escojan para y y t , salen distintos resultados. Así, para y = t = 0 tendremos la solución del sistema x = -9, y = 0, z = -7, t = 0. b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:
No hay necesidad de continuar calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solución. Específicamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuación 0 x + 0y + 0z + 0t = -5 obteniendo como resultado 0 = -5, que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solución.
DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o
Una tabla ordenada n n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz. La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.
DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue: = a11
Así, el determinante de una matriz 1 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det ( A) = |a11| = a11. Ejemplos: a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3 x +5) = 3 x +5. b)
DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue:
a12a21a33 - a32a23a11
Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por t res elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:
Ejemplo : Calcular el valor del determinante:
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63
El determinante de la matriz 3 3 A = (ai j ) puede reescribirse como: det ( A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) =
que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente:
Nótese que cada matriz 2 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.
Ejemplo: Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Las propiedades básicas del determinante son las siguientes:
1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir,
2. Sea A una matriz cuadrada,
Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente
= 0.
Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal,
entonces
es igual al producto de los elementos de la diagonal.
3. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas,
Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, |B| = - |A|.
Si se ha sumado un múltiplo de una fila (columna) a otra, entonces | B| = |A|.
Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k , |B| = k |A|.
4. Sea A cualquier matriz n-cuadrada, son equivalentes los siguientes principios:
A es invertible, es decir, A tiene inversa A-1.
AX =
0 tiene solamente la solución trivial.
El determinante de A no es nulo: | A| 0.
5. El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del matrices A y B es el producto de los determinantes: | AB| = |A| |B|.
producto de
6. Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: | A| = |B|.
DETERMINANTE. DE ORDEN ARBITRARIO Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n n (siendo n un número par). Para calcular el det ( A) se procede de la siguiente manera:
Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante. Es decir:
Ejemplo :
Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. Así pues, si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero.
+
= -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140.
Ejercicio: cálculo de determinantes
Calcular los siguientes determinantes:
SOLUCION
= 2(-6-24+16+2)+ 5(-4-24+6)-1(4+12-16-3) = -24-110+3 = -131.
= 1·(16+0+24-(-4)-(-30)-0) -2·(-128-2+30-(-40)-12-(-16)) = 74-2·(-56) = = 74+112 = 186.
ADJUNTO DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K . El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:
Ejemplo :
Los cofactores de los nueve elementos de A son:
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:
Aplicación
del adjunto para hallar la matriz inversa
Para toda matriz cuadrada A, A·(adj A) = (adj A) · A = |A|I
De este modo, si | A| 0,
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.
Ejemplo : Consideremos la matriz
y el det A:
Así pues, aplicando la propiedad anterior:
Ejercicio: cálculo de la matriz inversa
Calcular,
por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:
a)
b)
SOLUCION a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son: B11 = 5
B12 = -2
B21 = 1
y el adjunto de B, denotado por adj B, será
B22 = 3
b) Empezaremos por hallar el det A,
Los cofactores de los nueve elementos de A son:
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1:
CÁLC. DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij):
1. El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A' que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la líneas (filas o columnas) cuyas entradas estén sólo formadas por ceros, es decir, que sean nulas. 2. Consideremos la matriz: A1 = (a11, a12, ..., a1n) y supongamos que
entonces : rango ( A) rango( A 1) = 1
3. Añadimos filas de la matriz A a la matriz A 1 hasta encontrar una matriz que cumpla: rango ( A) rango( A 2) = 2. Si esto no hubiese sido posible, entonces: tal que posea un menor no nulo de la forma:
rango ( A) = 1. Supongamos que rango ( A) rango (A2) y que i = 2 y j = 2.
Por consiguiente,
4. Añadimos filas a la matriz A 2 hasta encontrar una matriz que cumpla:
de forma que posea un menor de orden tres de la forma:
Entonces: rango ( A) rango ( A2) = 3. En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor, entonces: rango ( A) = rango ( A2) = 2.
Suponiendo que rango ( A) rango ( A3) y que i = 3 y j = 3, se procedería como en los casos anteriores, y así sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A. Ejemplos: a) Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango ( A).
Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como máximo el rango ( A) puede valer tres. Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A. Así pues
Ya que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero. Si no encontramos ninguna, el rango ( A) = 1.
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango ( A) = 2. Añadimos ahora una columna y una fila más para ver si el rango puede ser tres:
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango ( A) = 3. No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, ésta tiene que ser cuadrada. Así, en el siguiente ejemplo: b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 4.
Como hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que 2. Calculamos a continuación los determinantes de orden superior:
Probamos con un segundo determinante de orden tres:
sí pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango ( B) = 3. Un rango mayor que 3 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden 4. Recuérdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz, éstas tienen que ser cuadradas.
APLICION. DE LOS DETERMINANTES En el tema de matrices y su aplicación a los sistemas de ecuaciones lineales, se vio cómo resolverlas mediante el teorema de Gauss. Con los determinantes, y aplicando la regla de Cramer, veremos otra manera de calcular los sistemas de ecuaciones lineales.
Regla de Cramer Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:
1. Hallar la matriz ampliada ( A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.
2. Calcular el determinante de A. 3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: a) ir sustituyendo la primera columna del det ( A) por los términos independientes; b) dividir el resultado de este determinante entre el det ( A) para hallar el valor de la primera
incógnita;
c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto
de las incógnitas. Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:
El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:
Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:
Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales A continuación, se estudiará la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tiene o no solución y si tienen una única o infinitas soluciones. El estudio o discusión de los sistemas de ecuaciones se efectúa aplicando el teorema de RouchéFröbenius. Éste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas:
1. Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (S.C.), esto es, que tenga solución. 2. Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (S.I.) o que no tenga solución. El primer caso puede dividirse en dos: a) que sea un sistema compatible y determinado (S.C.D.), esto es, que tenga una única solución;
b) que el sistema sea compatible e indeterminado (S.C.I.), es decir, que tenga infinitas so luciones.
Sea un sistema no homogéneo:
En consecuencia, la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es:
y el sistema será compatible cuando: rango ( A) = rango ( A b), lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada. Si el sistema anterior es compatible y rango ( A) = rango ( A b) = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado, es decir, tiene una única solución. Si, por el contrario, tenemos que rango ( A) = rango ( A b) < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Si rango ( A) rango ( A b), el sistema es incompatible y no tiene ninguna solución. Ejemplos : Discutir, sin resolver, los siguientes sistemas de ecuaciones:
Puesto que rango ( A) = 1 rango ( A b) = 2, el sistema es incompatible; no existe ninguna solución.
A b) = 2 = número de incógnitas, el sistema es compatible y Ya que rango ( A) = rango ( A determinado; determinado; es decir, existe una única solución.
A b) = 1 < número de incógnitas, el sistema es compatible e Puesto que rango ( A) = rango ( A indeterminado; indeterminado; existen infinitas soluciones.
Ejercicio: cálculo de las incógnitas en un sistema de ecuaciones lineales
a)
Discutir y calcular el valor de las incógnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
Calculamos a continuación el rango de A y el rango de la matriz ampliada ( A b): El rango de la matriz A será:
El rango de la matriz ampliada ( A b):
A b) = 3 = número de incógnitas, el sistema es compatible y Dado que rango ( A) = rango ( A determinado; determinado; tiene, pues, una única solución.
Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer:
Calculamos el det ( A):
Aplicando la la regla de Cramer: Cramer:
x = = 68/23; y = = -53/23; z = = -42/23.
POLINOMIO CARACTERÍSTICO Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:
A - ·In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y un escalar indeterminado, se La matriz ( A
denomina matriz característica de A:
Su determinante, det ( A - ·In) , que es un polinomio en , recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a det ( A - ·In) = 0 ecuación característica de A.
Ejemplo: Hallar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A:
La matriz característica será ( A - ·In). Luego:
y el polinomio característico, característico,
Así pues, el polinomio polinomio característico característico es 2 - + 4.
Valores propios y vectores propios Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K .
Un escalar K n se denomina un valor propio de A si existe un vector (columna) no nulo v K n para el que Av = v
Todo vector que satisfaga esta relación se llama vector propio de A perteneciente al valor propio . Los términos valor característico y vector característico (o autovalor y autovector) se utilizan con frecuencia en lugar de valor propio y vector propio.
Ejemplo: Sea
y
Así pues, v 1 y v 2 son vectores propios de A pertenecientes, respectivamente, a los valores propios
1 = 4 y 2 = -1 de A.
Ejercicio: operaciones con matrices
1. Sean
a) ¿Qué clase de matrices son? b) Calcular:
- A - B + C . A + B - C .
3 A + C /2.
c) Calcular:
( A · B) /C .
d ) Calcular la inversa de A ( A-1) y comprobar el resultado.
2. Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Demostrar las que sean ciertas y dar u contraejemplo para las falsas. a) Si A y B son matrices cuadradas invertibles, entonces A+B también es invertible. b) Si A es una matriz cuadrada simétrica, entonces A 2 también lo es. c) Si A y B son matrices cuadradas ortogonales, entonces A.B también es ortogonal. d) Si A y B son matrices cuadradas regulares tales que A.B=I, entonces A y B son regulares. 3. Calcular por el método de Gauss la inversa de las siguientes matrices, en caso de que se pueda:
1 A 1 1
1
1 1 1
1 E 2
1 B 1 1
0 0
3
1
1 1 0
1 1 1 1 2 1 F 1 1 2 1 3 3
1
1 C 1 0
0 0
2 2 1
0
3 1 D 1 1 1 1
4 1
1
2
2
1
3.- Dadas las siguientes matrices:
1 A 1 0
2 0 2
3 2 B 2 1 1 1
4
2 6
1 1 E 2 3
2
4
2
1
0
3
1
1
1
4
2
3
0
1
C
3 4 2 1
0
a) Clasificar las matrices anteriores según tipo. b) Calcular suma y producto dos a dos donde sea posible. c) Calcular el rango de las matrices.
2 4
1
3
D
1 2
2
1
0
2
1
4.- Calcular la inversa, donde sea posible, utilizando determinantes.
1
A 2 0
1
1
1
2 1
1 0
1 0 E 0 0
B 2 3
2
0
3
0
0 0
2 0
1 1 0
2
1 3 3 2 F 5 2
0
0 1 3
2
1
2 1 0 0 D 2 1 0 0
0
C 1 2 2 3 3 1 4
2
7
3
3
2
7
3
9
3 2 3
1 G 2 3
2
3
4
5
4
6
1
1
1
0
1
1
0
1
5.- Calcular los siguientes determinantes, haciendo operaciones por filas o columnas. (Sin desarrollarlos totalmente):
a
)
x
1
1
1
x
1
1
1
x
b)
a
b
b
b
a
b
b
b
a
c
)
1 x
1
1
1
1 x
1
1
1
1 x
Ejercicio: cálculo de determinantes
1. Calcular los siguientes determinantes:
d )
0
a
b
c
a
0
b
c
a
b
0
c
a
b
c
0
Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices
1. Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:
2.
Resuelve estos sistemas por el método de su elección:
1º
2º
3º
4º
Resuelve por el método que consideres más adecuado:
3.
Dos de los siguientes sistemas tienen solución única, uno de ellos es incompatible (no tiene solución) y otro es indeterminado (tiene infinitas soluciones). Intenta averiguar de qué tipo es cada uno, simplemente observando las ecuaciones. Después, resuélvelos gráficamente para comprobarlo:
4.
Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes:
5.
Halla las soluciones de estos sistemas:
6.
Cuatro barras de pan y seis litros de leche cuestan 6,8 leche cuestan 4,7 nuevos
7.
nuevos soles ; tres barras de pan y cuatro litros de
soles . ¿Cuánto vale una barra de pan? ¿Cuánto cuesta un litro de leche?
La suma de dos números es 15. La mitad de uno de ellos más la tercera parte del otro es 6. ¿De qué números se trata?
8.
Por una calculadora y un cuaderno habríamos pagado, hace tres días, 10,80
nuevos soles . El precio de la
calculadora ha aumentado un 8%, y el cuaderno tiene una rebaja del 10%. Con estas variaciones, los dos artículos nos cuestan 11,34 nuevos soles . ¿Cuánto costaba cada uno de los artículos hace tres días?
9.
Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2 500 nuevos los vende por 2 157,50
soles . Después de algún tiempo,
nuevos soles . Con el equipo de música perdió el 10% de su valor, y con el
ordenador, el 15%. ¿Cuánto le costó cada uno?
