INECUACIONES DE PRIMER GRADO
I. Def inición.-
Intervalo Abierto :
Presenta la siguiente forma: ax + b > 0 ó ax + b 0 ax + b < 0 ó ax + b 0
= {x R/ a < x < b}
Por ejemplo: 3x – 3x – 8 < 2x + 3 3x 5 5
0; 0; 2x
a
- 5x + 13 > 0 3x + 9 0
x
b
+
b
+
Intervalos semiabiertos:
[a, b> = {x R /a x < b}
2
5
II. S Solución
a
-
Se denomina así a todo valor de “x” que satisface la desigualdad dada.
x
Por ejemplo: El número número 2 es solución de 3x – – 8 < 0, puesto que: 3 . 2 – 2 – 8 8 < 0 -2 < 0
a
-
2x 5
Solución: 2x – 2x – 5 5 – – 3 3 > 9 – 9 – 3x 3x
Significa hallar todos los valores de la incógnita que verifican la desigualdad dada. La búsqueda de la solución de cualquier inecuación de primer grado con una incógnita da lugar a desigualdades elementales de la forma:
5x > 17 x>
- x < <
02. Resolver:
2 x 1
a
x
+
x [a, > conjunto solución
3 x 2 6
2x 1 2
x
a
+
3
Solución: MCM(5;6;2;3) = 30 Todo por 30 y simplificando
6(2x – 6(2x – 1) 1) + 5(3x – 5(3x – 2) 2) > 15(2x + 1) + 10(2) 12x – 12x – 6 6 + 15x – 15x – 10 > 30x + 15 + 20 27x – 27x – 16 16 > 30x + 35
x a
Trasponiendo: 27x – 27x – 30x 30x = 35 + 16
-
2
30
x <- <-, a> conjunto solución
2 x 1 3 x 2 2 x 1 2 30 30 30 5 6 2 3
x
-
junto s s olución ,, >5 con ju
5
5
17
+
x
17
+
x a
-
17 5
x>a
x conjunto solución
1 3x
3
III. R Resolver u una IInecuación
-
b
Ejercicios Resueltos: 01. Resolver.
x
x
a
+
x <- <-, a] conjunto solución
IV IInter valos F Finitos:
2 – 3x – 3x > 51 Cambiando signos y sentido
+
d) 4
C .S .
x ;17
12. Resolver:
PROBLEMAS PARA LA CLASE Nº 03 01. R Resolver :
5x + 2 > x – 6 13. Resolver:
a) < – 2 ; > d) < – 8 ; > 02. Resolver:
b) < – 4 ; > e) < – ; 8 >
c) < – 6 ; >
3 – x < 5 + 3x
a) < – 1 ; > b) < – 4 ; > c) < 2 ; > d) < – 1/4 ; > e) < – 1/2 ; > 5 03. Resolver: 3x 5 3 x 3 a) < – 1 ; > b) < 1 ; > c) d) < – ; > e) 0 5x 6x 04. Resolver: 3 2 5 a) x 1 b) x 1 c) x – 1 d) x – 1 e) x – 2 05. Resolver la inecuación: Indicar la suma de enteros positivos que verifican la ecuación: x7 x 1 7 2 4 a) 3 b) 6 c) 10 d) 15 e) 21 5x 1 x 2 06. Resolver: 10 3 2 Indicar el producto de enteros positivos que verifican a) 6 b) 24 c) 120 d) 720 e) 2 2x 1 x - 3 1 07. Resolver: 2 2 4 Dar el mínimo valor de “x” a) 1 d) 4
b) 2 e) 5 x 6
x 3
1
x
2
x2 9 x 9
b) x 0 c) x 3 e) x = 0 2x 1 3x 4 x 8 2 5 3
a) – ; 10 c) – ; 10 e) – 10 ; 10
.
08. Resolver:
a) x 9 d) x 0
e) 7
c) 3 x4
4 a) x 1 b) x 1 c) x 0 d) x 0 e) 09. Resolver: 3x + 1 5x + 3 2x + 9 Indicar la suma de valores enteros que verifica a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 6 10. ¿Cuál es la suma de los enteros que satisfacen el sistema. x 5x 1 8 ………. ( 1 ) 2 x 1 x x ………. ( 2 ) 3 4 2 3 a) – 10 b) –6 c) –5
14. Resolver:
b) 10 ; + d) –10 ; +
(2a b)x
6b
(2b a)x
2
6a
2
(a < b) a) – ; 3 d) 3 ; 15. Resolver:
b) – ; 4 c) – ; 4 e) 4 ; (3a 2b)x (3b 2a)x 7b 7a 5 3
(a < b) a) – ; 7 d) 7 ;
b) – ; 5 e) 5 ; 7
c) 5 ;
PROBLEMAS PARA LA CASA Nº 03 01. Resolver: 2(x – 3) + 3(x – 2) > 4 (x – 1) Indicando el menor valor entero de que adopta “x” a) 1 b) 8 c) 7 d) 10 e) 9 x 2 x 1 x 4 02. Resolver: 3 3 6 9 a) x 1 b) x 2 c) x 3 d) x 5 e) x 4 5x 1 x 2 03. Resolver: 10 3 2 Indicar la suma de enteros positivos que verifican a) 10 b) 15 c) 20 d) 21 e) 28 x2 x2 x 05. Resolver: 6 3 5 4 Indicar el mayor valor entero de “x” a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 06. Resolver:
x 1 2
x2 3
x-3 4
x4 5
Hallar el mayor valor entero que satisface la desigualdad. a) 2 b) 1 c) 0 d) – 1 e) – 2 07. Resolver: x – 7 3x + 1 < x + 15 Indique la suma de las soluciones enteras a) 15 b) 12 c) 11
2x
x
5
d) – ; –5
……… ( 1 )
3 x 1
10. Resolver:
x
ax 2b
09. Resolver:
b
c) 4 bx 2a
3
x 1 a
(0 < a < b)
2
b) – 2 e) 6
x1 b
……... ( 2 )
a) 2 d) – 4
e) –5 ; +
a) x > 1 d) x < 2
b) x R e) x > 2
c) x
a
3
(a < b) a) – ; 5
b) 5 ; +
c) – 5 ; 5
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1. Forma G General 2 P(x) = ax + bx + c > a 0 <0; Donde: a, b, c IR De donde se deduce: 2 2 ax + bx + c > 0; ax + bx + c < 0 2
2
ax + bx + c 0;
ax + bx + c 0
+ -
+ -1
-
3
+
2 Como P > 0 entonces la respuesta es la Zona
positiva.
Se escribe el intervalo solución: x –, –1/2 3,
La solución de la inecuación depende del primer coeficiente y del determinante 2
= b – 4ac
Primer C Caso: 2
a(x – x1)(x – x2) > <0
Procedimiento Se verifica que “a” sea positivo, si a es negativo se cambia el signo a todos los términos de la desigualdad. Ejemplo: 2 Resolver -2x + 5x + 3 < 0 Solución: cambiando el signo 2 2x – 5x – 3 > 0
Se calculan las raíces factorizado por aspa simple o por la fórmula general: 2 2x – 5x – 3 = 0 (2x + 1) (x – 3) = 0 x = –1/2 ;
P(x) > 0; o, P(x) 0, el conjunto solución serán los intervalos positivos
P(x) < 0; o, P(x) 0, el conjunto solución será el intervalo negativo.
Segundo C Caso:
Si: > 0; (a > 0), el polinomio: ax + bx + c, es factorizable en el campo real, para resolver utilizaremos el método de los puntos críticos
x=3
“puntos críticos”
2
Si: = 0; (a > 0), el polinomio: ax + bx + c, se transforma a un trinomio cuadrado perfecto de la forma: 2 (mx + n) > <0 Ejemplo: Resolver: 2 x – 10x + 25 > <0 Solución: Calculando el discriminante: 2 (-10) – 4(1)(25) = 0 2 2 x 10x 25 > (x – 5) > <0 <0 Trinomio cuadrado perfecto
Resolviendo cada una de las desigualdades: 2 a. (x – 5) 0 Se verifica: x IR C.S. = IR 2 b. (x – 5) > 0 Se verifica: x IR; a excepción de: x – 5 = 0 x=5 C.S. = IR – 5 2 c. (x – 5) < 0 Se observa una inecuación, la cual no se verifica para ningún valor de x IR C.S. = 2 d. (x – 5) 0 La inecuación sólo se cumple si: x 5 = 0
2
Luego, como la inecuación factorizada es 0, sombreamos el intervalo negativo. Y como el signo de la desigualdad es el intervalo es cerrado.
Si: < 0; (a > 0), el polinomio: ax + bx + c, se transforma a un trinomio cuadrado perfecto más un cierto número real positivo, de la forma: 2 (mx + n) + k > < 0;
Ejemplo: Resolver:
k>0
2 x + 2x + 6 > <0
Solución:
Calculando el discriminante: 2 = 2 – 4(6)(1) = – 20 < 0 Luego: 2 1 5 > x 2x < 0 trinomio cuadrado perfecto
2 (x + 1) + 5 > <0 Resolviendo cada una de las desigualdades:
a.
2 5 > 0
(x 1)
2
b. 5 0
También se verifica: x IR C.S. = IR = - ; + c.
(x 1)
< 0 5
(x 1)
Graficamos: +
+ -5
2
Luego, como la inecuación factorizada es > 0, sombreamos los intervalos positivos. Y como el signo de la desigualdad es > el intervalo es abierto.
Solución: Hallamos los puntos críticos: 2 x – 2x – 2 = 0 Como no se puede factorizar, utilizamos la fórmula general.
x
2
2 12 2
1 3 ,
luego los puntos críticos
son:
Nunca se verifica, pues el primer miembro siempre es mayor que cero: C.S. = d.
Finalmente: C.S. = 2; 3 Resolver: (2 – x)(x + 5) < 0 Solución: Multiplicamos por (-1): (x – 2)(x + 5) > 0 Hallamos los puntos críticos igualando a cero cada factor: x – 2 = 0 x = 2 x + 5 = 0 x = -5
Finalmente, C.S. = - ; -5 2 ; + 2 3. Resolver: x – 2x – 2 0
se verifica: x IR C.S. = IR = - ; +
(x 1)
2.
x1
1
3
x2
1
3
Graficamos:
2
5 0
+
Nunca se verifica C.S. =
E je Resueltos jercicios R 1. Resolver:
+ 1 3
2
x – 5x + 6 0
Solución: Factorizamos por aspa simple 2 x – 5x + 6 0 x -2 x -3 (x – 2)(x – 3) 0 I necuación F actori zada Hallamos los puntos críticos igualando a cero cada factor: x 2 0 xc 2 1 x 3 0 xc 3 2 Graficamos:
1 3
Luego, como la inecuación 0, sombreamos el intervalo positivo Y como el signo de la desigualdad es el intervalo tiene dos extremos cerrados. C.S. = - ; 1 3 1 + 3 ; + 4. Resolver:
2 x
x 3 3
3
0 2
Solución: Efectuando operaciones: 2 x 2 6 x
3
0
3 2 Todo por MCM
MCM (3;2) = 6
2 x 2 6x 3 6 6(0) 3 2
6
2 x 2 x
+3 +3
(2 x 3)(2x 3) 0
Inecuación Factorizada
Puntos críticos:
2 x 3 0 xc1
2 x 3 0 xc 2
3 2 3
Punto críticos iguales
2
Entonces por propiedad: CS x c = x = -3/2 PROBLEMAS PARA LA
CLASE Nº 04 PROBLEMAS PARA LA CASA Nº 04
2
01. Resolver: x – 8x + 15 > 0 a) –; 5 b) 5; c) 3; 5 d) –; 3 5; e) –; –3 –5; 2 02. Resolver: x – 2x – 8 < 0 a) –4; 2 b) 2; 4 c) –2; 4 d) –4; –2 e) 0; 8 03. Resolver: (x – 1)(x – 2) 12 a) – 2; 5 b) 1; 5 d) 3; 5 e) 0; 5 04. Resolver: (5 – x)(x + 2) > 6
c) –2; 4
Indicar la suma de enteros que verifica. a) 2 b) 4 c) 6 d) 10 e) 12 2 05. Resolver: x 9 Indicar el intervalo solución: a) – 2; 5 d) –3; 06. Resolver: a) 2 ;
b) – ; 3 c) 3; e) – 3; 3 2 x + 2x – 1 < 0
2
b) 1
2; 1
c) 3
5 ;
d) 1
2; 1
e) 2
2; 2
07. Resolver:
2
2
b) 3 5 ;
d) 3
10. Resolver: a) 6;
5
3
5 ;
2
x + 4x + 4 0 b) – ; 2 e) IR
c) 0;
+
2
x – 6x + 9 > 0 b) – ; 3
d) IR
c) 0;
e) IR – 3 x(x – 12) – 36 b) – ; 6
d) IR – 6
a) 1
d) 1
2
b) ;
09. Resolver: a) 3;
a) 4; b) – 4; c) – 4; 4 d) –; 0 4; e) –; – 4 4; 2 06. Resolver: x + 4x + 1 < 0 3; 1
3 3
c) 2 2 3 ; 2 2 3
x + 10x + 27 0
d) IR
2
01. Resolver: x – 7x + 12 > 0 a) –; 3 b) 3; c) –3; 4 d) –; 4 6; e) –; –3 4; 2 02. Resolver: x + 4x – 21 < 0 a) –3; –7 b) –7; –3 c) –3; 7 d) 3; 7 e) 0; 4 03. Resolver: (x + 6)(x – 1) 30 a) – 9; 4 b) – 4; 9 c) 4; 9 d) –10; 3 e) 3; 10 04. Calcular la suma de valores enteros que verifican la inecuación: (x + 7)(5 – x) > 27 a) 7 b) – 7 c) 5 d) – 5 e) 3 05. Resolver: x(x + 2) 2(x + 8)
b) 2 3 ; 2
2
a) - ; +
e) 08. Resolver: a) 2;
d) 4 e) 13. Hallar el menor entero de “n” tal que x IR se cumple que: 2 x + 2x + n > 0 a) 1 b) – 1 c) 2 d) – 2 e) 3 14. El mayor número entero “m” que satisface la desigualdad: 2 2x – 8x + 1 2m x IR a) – 1 b) 1 c) – 3 d) 3 e) – 4
c) IR
e) 6 2
11. Resolver: x + 10x + 27 0 a) - ; + b) 0;
c) - ;0
3; 1
3
e) 2 07. Resolver: 4x – 4x + 1 0 a) 1/2; b) –; 1/2 c) –; d) 0; e) 08. Resolver: (x – 6)(x – 4) –1 a) 5; b) –; 5 c) –; d) R – 5 e) 5 09. Hallar el menor entero de “m” tal que x IR se cumple que: 2 x – 10x + 32 > m a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 10. El mayor número entero “n” que satisface la desigualdad: 2 7 + 12x + 2x n x IR a) 18 b) 19 c) 24 d) 25 e) 26
