teoria inecuaciones

DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ≠), no tiene apenas importancia en matemáticas y en la vida real. Ejemplos: 4 ≠ 5, 5, que se lee 4 distinto de 5 (ó 5 distinto de 4) El término "DESIGUALDAD" si tienen interés en la vida real y por tanto en matemáticas; y se  " mayor que" ( > )  " menor que" (< )  forma con cualquiera de esos cuatro símbolos  .  " mayor o igual que" ( ≥ )  " menor o igual que" ( ≤ )

Ejemplos de desigualdades: a) 5 < 11

b) –2 > –7

c) 0 ≤ 1

4 ≥ –3

Las desigualdades tienen un inconveniente al leerse y es que se leen diferente de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Practica con los ejemplos anteriores. Con estos símbolos se construye la relación de orden, ya que dados dos números cualesquiera cualesquiera a y b, siempre se da una de estas condiciones: a es menor que b, a es igual a b, ó a es mayor que b. (a < b) b) (a = b) b) (a > b) b) si unimos

si unimos

a≤b a≥b Para evaluar una desigualdad, sólo podemos podemos decir si es verdadera (V) o falsa (F. Ej. Completa con V (verdadero) (verdader o) o F (falso) las siguientes desigualdades: 5<3 ___    ___  5≤ 2 –2 < –5

___

0,25 < 0,205 ___ 3

≤1

5 5 8 − 2 9 4 19

≥ >

9 16 − 10 45

> −7

___ ___ ___  ___ 

b≥b a+3 ≤ a+8 a a

___   ___   ___

 

___  

2a–1 > 2a+5 ___   π 

≥ 3,14

 ___ 

Ej Completa con el símbolo correcto las siguientes desigualdades: 3 ___ –5,

–8 ___ –8,

–4 ___ –20,

35 ___ 6

π 

 ___ 

22 7

Una desigualdad falsa se puede convertir en verdadera cambiando de sentido a la desigualdad; ejemplo: 3>5 es falsa si cambiamos de sentido 3<5, es verdadera; cambiar de sentido una desigualdad es cambiar el signo que tiene por el contrario. Pág – 1 – 

 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES  De la suma: Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número o una expresión algebraica se obtiene otra desigualdad del mismo sentido. Dada la desigual desigualdad dad 3 < 8, 8, si sumam sumamos os 7 a los dos miembros miembros se se obtien obtienee 3+7 < 8+7, otra desigualdad (en concreto) 10 < 15 del mismo sentido. Dada la desigual desigualdad dad 3 < 8, si resta restamos mos 4 a los dos miembros miembros se obtie obtiene ne –1 < 4, otra del mismo sentido. Dada la desigual desigualdad dad 3 < 8, si sumamos sumamos x y restamos restamos 1 se obti obtiene ene 2+x < 7+x, otra del mismo sentido. Del producto Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número *Mayor que cero se obtiene otra desigualdad del mismo sentido *Menor que cero se obtiene otra desigualdad de sentido contrario. Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos multiplicamos ambos miembros por 5 se obtiene 15 < 40, otra del mismo sentido Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por –6 se obtiene –18 > –48, otra pero de sentido contrario. Dada la desigualdad 3 < 8, si dividimos ambos miembros por 2 se obtiene 3 2

< 4 , otra del mismo sentido.

Dada la desigualdad 3 < 8, si dividimos ambos miembros por –1, se obtiene  –3 > –8, otra de sentido contrario. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Una inecuación es una desigualdad en la que aparece alguna incógnita en uno o en los dos miembros de una desigualdad. Son inecuaciones: 2 + 3x < 5 x 2 – 5x + 3 ≥ 0 3x – y > 5y + 4x – 14 Las inecuaciones se clasifican por el grado y las incógnitas que tiene. Veamos un problema: Encuentra problema:  Encuentra los números que verifican: que el doble menos uno sea mayor que  si al número le sumamos 4. Este problema tendría una transcripción algebraica así. 2 x–1> x+4 Vemo Vemoss que que hay hay mu much chos os núme número ross que que cump cumple lenn est estaa con condi dici ción ón..  Nº 9 11 90 6 3 –4

Doble menos 1

17 21 179 11 5 –9

Nº + 4

13 15 94 10 7 0

cierto SI SI SI SI NO NO

Los números 9, 11, 90 y 6 vemos que la hacen cierta así como otros muchos números. Sin embargo, los números 3, –4 no la hacen cierta, estos números no cumplen la condición, también hay otros. Luego nos damos cuenta que la respuesta a una inecuación no es única, existen varias soluciones. Pág – 2 – 

En general una inecuación tiene infinitas soluciones. Resolvamos la anterior inecuación (Aplicando las propiedades de las desigualdades) Sumamos 1 a los dos mi miembros ros 2x > x + 4 + 1 Restamos x a lo los dos mi miembros ros 2x – x > 4 + 1 Reducimos miembros x>5 x>5 Por tanto, la solución de esta inecuación es: Las soluciones de una inecuación son los valores que puede tomar la incógnita tales que al sustituirlos en la inecuación la conviertan en una desigualdad cierta, Inecuación: 2 x – 1 > x + 4 si sustituimos la x por 9 2·9 – 1 > 9 + 4 17 > 13 que es una una desig desigual ualdad dad ciert cierta, a, y, y, por tanto, tanto, el valor valor 9 será será una una soluc solución ión 2·3 – 1 > 3 + 4 5 >7 no es es ci cierta la la de desigualdad, po por ta tanto, el el va valor 3 no es es so solución. * Para resolver una inecuación se transforma en otras más sencillas que sean equivalentes. * Dos inecuaciones son equivalentes cuando ambas tienen las mismas soluciones. Las propiedades que permiten transformar inecuaciones en otras más sencillas son las mismas que las las propi propieda edades des de las las desig desigual ualdad dades, es, simpl simpleme ement ntee cambi cambiand andoo la palab palabra ra desigu desigual aldad dad por  inecuación.  PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES  De la suma: Si a los dos miembros de una INECUACIÓN se les suma o resta un mismo número o una expres expresión ión algebr algebrai aica ca se obt obtie iene ne otra otra INECUA INECUACIÓ CIÓN N equiva equivale lente nte del mi mismo smo sentido. Del producto Si los dos miembros de una INECUACIÓN I NECUACIÓN se multiplican o dividen por un número *mayor que cero se obtiene otra INECUACIÓN equivalente del mismo sentido *menor que cero se obtiene otra INECUACIÓN equivalente a la dada pero de sentido contrario. En la práctica las inecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones pero teniendo en cuenta que a veces hay que cambiarla de sentido. Se debe cambiar de sentido una inecuación cuando: * Cambiamos todos los signos de una inecuación (Equivale a multiplicar todos por –1) * Cuando sea negativo negativo y utilicemos: "el que está está multiplicando multiplicando pasa al otro miembro dividiendo" * A la hora de quitar denominadores denominadores en una inecuación cuando cuando el denominador denominador común es negativo

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EJEMPLOS: 5x − 3 > 2x + 12 trasponemos

4(x − 2) − 5 < 7x − 1 quitamos paréntesis

4 x − 8 − 5 < 7 x − 1

3 x > 15

trasponemos

4 x − 7 x < − 1 + 5 + 8

15

reducimos

− 3 x < 12

resolvemos

 x >

5 x − 2 x > 12 + 3

reducimos

 x >

resolvemos

= 5

3 en esta inecuación no hemos tenido que cambiar de sentido.

12

−3

= −4

en esta inecuación SI hemos cambiado el sentido

3x − 5 x + 2 ≤ − 2x 2 3 quitamos denominadores multiplicando

5x + 8 3x x − 2 ≥ + 3 2 4 quitamos denominadores multiplicando

los dos miembros por 6,

los dos miembros por 12, no hay que cambiar 

no hay que cambiar de sentido

12 x − 4(5 x + 8) ≥ 18 x + 3( x − 2)

3( 3 x − 5) ≤ 2( x + 2) − 6 ⋅ 2 x

12 x − 20 x − 32 ≥ 18 x + 3 x − 6

9 x − 15 ≤ 2 x + 4 − 12 x

12 x − 20 x − 18 x − 3 x ≥ − 6 + 32

9 x − 2 x + 12 x ≤ 4 + 15

− 29 x ≥ 26

x−

19 x ≤ 19  x ≤

19 19

 x ≤ −

=1

26 29

hemos tenido que cambiar  porque 29 es negativo

 FORMAS DE DAR LA SOLUCIÓN A UNA INECUACIÓN  a) Según se obtiene en la resolución. 3 ejemplos anteriores: anteriores:  x > 5;  x > – > – 4;

 x ≤ 1

 b) En forma de intervalos: intervalos: los mismos anteriores son: (5 , + ∞); (–4 , +∞); ( − ∞ ,1] c) De forma gráfica, utilizando la recta real

Siempre Siemp re que resolv resolvamo amoss una inecua inecuaci ción ón en un senti sentido, do, tamb también ién estam estamos os resolv resolvien iendo do otra otra inecuación de sentido contrario. Ejem. Si tenemos la inecuación " algo < otro algo" algo " cuya solución es x < 7; la solución de la inecuación " algo> otro algo" algo" es x > 7

 Resolver las siguientes inecuaciones : 1) 3 x − 5 ≥ 2 x + 11 3)

 x − 4

3

2)

− 1 <  x + 2

5) 2( x + 6) +

 x

2

< − 5x +

4) 5 3

6)

4 x − (5 + 7 x ) < 2( x + 11) 4 x − 1 ≤ x+ 2 4(3 + 5 x ) − 3 3( 4 x + 3) 4 x − 7 − ≥ 6 − (8 x + 11) 5 2

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INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Ejemplos de este tipo son:

x+y≤0

2x + y > 5

4x – 7y < 11

Para este tipo de inecuación inecuación no se puede dar una solución de forma algebraica, sólo se puede dar una solución de forma gráfica, para ello se requiere la representación gráfica de funciones. Es obvio decir que para su resolución la inecuación debe estar simplificada. La solución es, siempre, un semiplano de los que la gráfica (siempre una línea recta) divide al plano, basta probar con un punto cualquiera de un semiplano para determinar cuál es. Ejemplo: Resolver la inecuación 2x + y > 5 Para Para ello rep repres resent entamo moss sobre obre unos nos ejes jes cartesianos cartesianos la función 2x + y = 5 ó mejor la función equivalente  y = 5 – 2x, inecuación. 2x, obtenida de la inecuación. Los Los punt puntos os dibu dibuja jado doss en la rect rectaa corr corres espo pond ndee a la igualdad (2x ( 2x + y = 5 ); la desigualdad > o < esta en uno de los dos sem semiplanos nos en que que la rec recta divid vide al  plano .Para determinar cuál de los dos semiplanos es la repuesta cogemos un punto cualquiera; el mejor es el origen ( 0, 0 ) y probamos con él: 2 · 0 + 0 > 5; como no es cierto, el semiplano que contiene al origen no es la solución, por lo tanto es el otro que aparece sombreado. Todos los puntos (x,y) situados en el plano sombreado forman parte de la solución de la inecuaci inecuación, ón, cojamos cojamos uno cualquier cualquiera: a: el (3,1) y lo sustitui sustituimos mos en la inecuació inecuación: n: 2 · 3 + 1 > 5 y vemos que es cierto; podemos probar con el punto ( 3’26 ,  – 0’34 ) Si la inecuación esta construida con el símbolo ≥ o ≤ la solución sería un semiplano y además los  puntos de la recta r ecta dibujada.

 Resolver las siguientes inecuaciones : 1) 3 x −

y≤ 6

3) 2 x + 5 y > 0 5)

 x +  y

2

− 3 ≥ 5x

2)

 x + 3 y ≥ 1

4)

3 x − 4 y < − 5

6)

4−

2 x + 5 y 3

< 2x − 1

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SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Ya que la solución de una inecuación es un conjunto numérico ( x > 3 ). Se pueden resolver  sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita simplemente buscando las soluciones comunes a todas las inecuaciones.   x < 9 , vemos que las dos inecuaciones tienen en común el conjunto o    x > 4

Ejemplo:

intervalo abierto (4 , 9); o sea "todos los números comprendidos entre 4 y 9". Puedes Puedes util utiliza izarr las las repres represen entac tacio iones nes gráfi gráficas cas de cada cada inecu inecuaci ación ón para para buscar buscar las las soluc solucion iones es comunes. La forma de resolver estos sistemas es la siguiente: “Se resuelve cada inecuación individualmente y luego se busca la solución común” Ejemplo.  2 x + 1 > 5 (a) Resolvemos cada  (a) Sol :  x > 2 Resolver.  inecuación individualmente  (b) Sol : x < 10 (b)   x − 9 < 1 Que si pensamos un poco vemos que lo que tienen en común son los números mayores que 2 y menores que 10, o sea, el intervalo (2,10). Podem Pod emos os busca buscarr la soluc solución ión común común media mediant ntee la repres represent entac ació iónn gráfi gráfica ca sobre sobre la Recta Recta Real, Real,  pudiendo hacerse de dos formas I) Marcando los que son (utilizando colores) II) Borrando los que no son. Con el ejemplo anterior: De la forma I) La Sol de (a) en azul, y la Sol de (b) en rojo

Los comunes son los números marcados con ambos colores; el intervalo (2 , 10) De la forma II) tachando

vemos el intervalo (2 , 10) La forma más elegante es representar las soluciones en forma de intervalos y buscar la solución común hallando la intersección de ambos.  (a) Sol : x > 2 ≡   (b) Sol :  x < 10 ≡

(2,+ ∞ ) (-∞ ,10)

la solución común sería: (2,+ ∞ ) ∩ (-∞ ,10) = (2,10)

 Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita :  3 x − 7 > 5   x + 1 > 3

2)

 3 x > 5   −  x < 2  7 >  x 

4)

1)  3)

 7 −  x ≥ 1   2 x − 3 > 1   x ∈ ( − 6,10)   2 x > − 3   x < 2 

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SISTEMAS DE DOS INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Igual que en las inecuaciones de primer grado con dos incógnitas sólo se puede dar una solución gráfica, en los sistemas ocurre lo mismo. Será la intersección de los semiplanos de cada inecuación. Ejemplo:

 2 x −  y > 0  3 x +  y < 7

Resolver el sistema: 

Para ello representamos las funciones  y = 2x en (verde) y la función  y = 7 – 3x (en rojo). Buscamos los semiplanos de cada inecuación. La solución del sistema es la intersección de los dos semiplanos, en este caso la región del plano sombreado. Si el sistema está construido con el símbolo ≥ o ≤ en alguna o en las dos inecuaciones, la solución solución sería la región sombreada y además los puntos de la recta dibujada  bien una o las dos rectas.

Ejemplo:

Sistema de inecuaciones:

 2 x −  y ≥ 3   3 x + 5 y > 2

En azul la solución del sistema.

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SISTEMAS DE MÁS DE DOS INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Sólo existe solución gráfica como en las anteriores.

Ejemplo:

Ejemplo:

  y ≤ 2  Sistema de inecuaciones:   y ≥ − 1   x <  y 

Resolver el sistema:

  x ≥ 9 ;  y ≥ 0 ;  x,  y ∈  N   (1)   x + 3 y ≤ 36  2 x + 3 y ≤ 60 (2) 

Repres Represen entam tamos os tod todas as las las inecua inecuaci cione oness en unos mismos ejes cartesianos y buscamos lo común. En gene genera rall es un reci recint ntoo que que pued puedee ser  ser  abierto o cerrado.

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INECUACIÓN DE 2º GRADO * Debes tener tener en cuenta cuenta que decir decir “ mayor mayor que cero” cero” y decir decir “positivo” “positivo” es lo lo mismo, y decir  “menor que cero” y decir “negativo” es lo mismo. * Las inecuaciones inecuaciones de 2º grado grado se resuelven igual ya sea con el símbolo > 0, < 0, * Hay cuatro cuatro formas formas de resolver resolver la inecua inecuación ción.. Las veremos veremos con un ejemplo ejemplo.. > <  2 Resolver la siguiente inecuación:  x − 5 x + 4 ≥  ≤

≥

0ó≤0

    0 . Punto de partida para todas.  

1ª forma y la más recomendada. Hallamos los valores para la  x que dan el valor cero, esto es, resolvemos la ecuación:  x − 5 x + 4 = 0 ; obtenemos dos valores  x1 = 1 y  x2 = 4. Para estos valores la expresión  x 2 − 5 x + 4 toma el valor cero, eso quiere decir que en los demás valores no da cero, esto es, dan positivo ( > 0) o negativo ( < 0); es lo mismo que: “analizar los signos que toma la expresión  x 2 − 5 x + 4 ”. Los  buscamos de una manera gráfica sobre la recta Real representado los valores que dan cero. 2

La recta Real queda divida en tres intervalos: I1 = ( – ∞ , 1);

I2 = ( 1 , 4 )

I3 = ( 4 , + ∞ )

Pues bien, la expresión  x 2 − 5 x + 4 siempre toma el mismo signo ( + , – ) en cada uno de los intervalos; basta probar con un valor cualquiera del intervalo para saber el sigo que toma en todo el intervalo, En el intervalo I 1 probamos con x con x = 0 la expresión toma el valor 4 que es > 0 En el intervalo I 2 probamos con x con x = 2

la expresión toma el el valor –2 –2 que es < 0

En el intervalo I 3 probamos con x con x = 5

la expresión toma el el valor 19 19 que es > 0

Que se representa así: Si estamos resolviendo la inecuación:

 x − 5 x + 4 > 0 , la solución sería: ( – ∞ , 1) ∪ ( 4 , + ∞ )

Si estamos resolviendo la inecuación:

 x 2 − 5 x + 4 < 0 , la solución sería: ( 1 , 4 )

Si estamos resolviendo la inecuación:

 x 2 − 5 x + 4 ≥ 0 , la solución sería: ( – ∞ , 1 ] ∪ [ 4 , + ∞ )

Si estamos resolviendo la inecuación:

 x − 5 x + 4 ≤ 0 , la solución sería: [ 1 , 4 ]

2

2

 NOTA.– A la hora de probar con un valor del intervalo conviene probar con valores exagerados cuando se pueda. Pág – 9 – 

2ª forma.

Es transformarla en un sistema de dos ecuaciones con una incógnita.

Se descompone en factores la expresión  x 2 − 5 x + 4 , pues utilizar Ruffini o la ecuación de 2º grado 2  x − 5 x + 4 = ( x − 1) ⋅ ( x − 4) * Si la inecuac inecuació iónn es  x 2 − 5 x + 4 > 0 , descomp descompuest uestaa en factores factores queda: queda: ( x − 1) ⋅ ( x − 4) > 0 y “decimos”: “decimos”: “el producto de dos factores es positivo si ambos son positivos positivos ó ambos negativos” negativos” y construimos los dos sistemas de inecuaciones siguientes: Los dos positivos

  x − 1 > 0    x − 4 > 0

De solución x > 4

Los dos negativos

  x − 1 < 0    x − 4 < 0

De solución x < 1

Luego la solución final sería:

x < 1 ó x > 4 equivalente a ( – ∞ , 1) ∪ ( 4 , +∞ )

* Si la inecuación es  x 2 − 5 x + 4 < 0 , descompu descompuesta esta en factores factores queda: ( x − 1) ⋅ ( x − 4) < 0 y “decimos”: “el producto de dos factores es negativo si uno es positivo y el otro negativo, y viceversa” y construimos los dos sistemas de inecuaciones siguientes:  positivo-negativo

  x − 1 > 0    x − 4 < 0

De solución: ( 1 , 4 )

negativo-positivo

  x − 1 < 0    x − 4 > 0

De solución Incompatible

Luego la solución final sería:

(1,4)

Se resuelve de forma análoga si es

≥

0 ó

≤

0

3ª forma, recomendada para otros tipos de inecuaciones. Se descompone en factores la expresión grado

 x 2 − 5 x + 4

 x 2 − 5 x + 4

, puedes utilizar Ruffini o la ecuación de 2º

= ( x − 1) ⋅ ( x − 4)

Se analizan gráficamente los signos de cada uno de los factores sobre rectas Reales iguales y luego se analiza el producto. Signo de ( x – 1 ) Signo de ( x – 4) Sign Signoo de ( x – 1 ) · ( x –  4) Si estamos resolviendo la inecuación:

 x − 5 x + 4 > 0 , la solución sería: ( – ∞ , 1) ∪ ( 4 , + ∞ )

Si estamos resolviendo la inecuación:

 x 2 − 5 x + 4 < 0 , la solución sería: ( 1 , 4 )

Se resuelve de forma análoga si es

0 ó

≥

2

≤

0

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4ª forma, utilizar la representación representación gráfica de funciones. Representamos la función

 x 2 − 5 x + 4 =  y .

Podemos utilizar utilizar DERIVE

Si queremos resolver r esolver la inecuación: valores “ x”  x” tienen la “ y “ y”” positiva.

 x − 5 x + 4 > 0 ,

tenemos qu que ver ¿q ¿qué

Si queremos resolver r esolver la inecuación: valores “ x”  x” tienen la “ y “ y”” negativa.

 x − 5 x + 4 < 0 ,

tenemos qu que ver ¿q ¿qué

2

2

Se resuelve de forma análoga si es ≥ 0 ó ≤ 0 Como vemos en la gráfica los valores x valores  x < 1 tienen la y la  y positiva ( > 0 ) y también los valores  x > 4. Y los valores x valores  x comprendidos comprendidos entre 1 y 4 tienen la y la  y negativa. negativa. ( < 0 ) Observa que los valores para la  x = 1 y  x = 4, la función toma el valor CERO, que son donde la gráfica corta el eje X, y estaríamos resolviendo la ecuación  x 2 − 5 x + 4 = 0 Ejercicio: Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación:

3 x 2 − 16 x − 12 ≤ 0

 Por la 1ª forma: forma : Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la inecuación, o sea, resolvemos la ecuación: 3 x 2 − 16 x − 12 = 0 , cuyas soluciones son  x1 = –2/3 y x y  x2 = 6. Posteriormente analizamos los signos en cada intervalo

Luego la solución de la inecuación es: [ – 2/3 , 6 ] Ejercicio: Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación:

6 x 2 − 7 x + 2 > 0

 Por la 1ª forma: forma: Representamos sobre la recta Real los valores que anulan la inecuación, inecuación, o 2 sea, resolvemos la ecuación: 6 x − 7 x + 2 > 0 , cuyas soluciones son  x1 = 1/2 y  x2 = 2/3. Posteriormente analizamos los signos en cada intervalo

Luego la solución de la inecuación es: ( – ∞ , ½ ) ∪ ( 2/3 , +∞ ) Pág – 11 – 

Ejercicio: Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación:

 x 2 − 10 x + 25 > 0

  Por la 1ª forma: forma: Repr Repres esen enta tamo moss sobr sobree la rect rectaa Real Real los los valo valore ress que que anul anulan an la 2 inecuación, inecuación, o sea, resolvemos la ecuación: ecuación:  x − 10 x + 25 = 0 , cuyas soluciones son  x1 = 5 doble. Posteriormente analizamos los signos en cada intervalo Sólo tenemos dos intervalos, que probando con – 1000 y con + 1000, los dos dan positivo Luego la solución de la inecuación es: Todos los números Reales menos  x = 5 que da el valor CERO. Escrito en matemáticas: ℜ − {5} Si hubiese sido la inecuación: La solu solució ciónn hubie hubiese se sid sido: o:

2

“Todos “Todos los los núme números ros Rea Reales les””

Si hubiese sido la inecuación: La solu soluci ción ón hubie hubiese se sido: sido:

 x − 10 x + 25 ≥ 0

 x 2 − 10 x + 25 < 0

“No tend tendría ría solu soluci ción” ón”.. Incomp Incompati atible ble

Si hubiese sido la inecuación:

 x − 10 x + 25 ≤ 0 2

La solución hubiese sido:  x = 5. Solución única Ejercicio: Ejercicio: Resolver la siguiente inecuación:

 x 2 − 10 x + 26 > 0

  Por la 1ª forma: forma: Repr Repres esen enta tamo moss sobr sobree la rect rectaa Real Real los los valo valore ress que que anul anulan an la 2 inecuación, inecuación, o sea, resolvemos la ecuación: ecuación:  x − 10 x + 26 = 0 , que al resolverla no tiene raíces reales; por lo tanto en la recta Real no podemos representar ningún valor, esto es sólo tenemos un intervalo. Probamos con cualquier número de la recta (el cero) y analizamos el signo que toma; en este caso 26 que es >0 (+) Luego la solución de la inecuación es: Todos los números Reales Escrito en matemáticas: ℜ . Si hubiese sido la inecuación: La solu solució ciónn hubie hubiese se sid sido: o:

“Todos “Todos los los núme números ros Rea Reales les”, ”,

Si hubiese sido la inecuación: La solu soluci ción ón hubie hubiese se sido: sido:

ℜ

 x 2 − 10 x + 26 < 0

“No tend tendría ría solu soluci ción” ón”.. Incomp Incompati atible ble

Si hubiese sido la inecuación: La solu soluci ción ón hubie hubiese se sido: sido:

 x 2 − 10 x + 26 ≥ 0

 x − 10 x + 26 ≤ 0 2

“No tend tendría ría solu soluci ción” ón”.. Incomp Incompati atible ble Pág – 12 – 

INECUACIÓN RACIONAL O DE GRADO SUPERIOR  Para este tipo de ejercicios es mejor la 3ª forma.  Las inecuaciones inecuaciones racionales racionales hay que resolverlas con la expresión CERO en uno de sus miembros, si no es así se pasan las expresiones algebraicas a un miembro y se realizan las operaciones hasta dejarlas como una única fracción algebraica. Se analizan gráficamente los signos que toma el numerador y denominador, por separado, sobre rectas Reales iguales y luego se analizan los signos del cociente. Para el caso ≤ 0, ≥ 0 ten en cuenta que el denominador no puede ser cero.  Las inecuaciones de grado superior  hay que resolverlas con la expresión CERO en uno de sus miembros, si no es así se pasan las expresiones algebraicas a un miembro y se realizan las operacio operaciones nes hasta hasta dejarlas dejarlas como una única única expresió expresiónn algebrai algebraica. ca. Después Después se descompo descompone ne en factores; se analizan los signos de cada uno de los factores sobre rectas Reales iguales y luego se analizan los signos del producto.  x − 5

Ejercicio de racional: racional : Resolver la siguiente inecuación:

2 x + 4

> 0

  Por la 3ª forma: forma: Se analizan gráficamente los signos que toma el numerador y denominador, por  separado, sobre rectas Reales iguales y luego se analizan los signos del cociente. Signo de ( x  x – 5) Signo de (2 x + 4) Signo de

 x − 5

2 x + 4

Al estar resolviendo la inecuación:

 x − 5

2 x + 4

> 0 , la solución es: (–  ∞ , – 2) ∪ (5 , + ∞)  x − 5

Si hubiese sido la inecuación: La solu soluci ción ón hubi hubies esee sido sido::

2 x + 4

(– ∞ , – 2) ∪ [5 , + ∞)

Si hubiese sido la inecuación: La solu soluci ción ón hubi hubies esee sid sido: o: Si hubiese sido la inecuación: La solu soluci ción ón hubi hubies esee sid sido: o:

 x − 5

2 x + 4

 x − 6  x + 2

<1

cuya solución es:

⇒

 x − 6  x + 2

− 1< 0

⇒

< 0

(– 2 , 5) 5)  x − 5

2 x + 4

≤ 0

(– 2 , 5] 5]  x − 6

Ejercicio de racional: racional : Resolver la siguiente inecuación: Sol:

≥ 0

 x + 2  x − 6 −  x − 2  x + 2

< 0

<1 ⇒

−8 < 0,  x + 2

 x > – 2 Pág – 13 – 

Ejercicio de grado TRES: TRES : Resolver la siguiente inecuación:

 x 3 − 13x + 12 > 0

  Por Por la 3ª forma forma: Descomponemos la expresión en factores, (utilizamos Ruffini) y 3 queda:  x − 13 x + 12 = ( x − 1)( x − 3)( x + 4) , cuyas raíces (soluciones de la ecuación) son:  x1 = – 4,  x2 = 1 y  x3 = 3. Se analizan gráficamente los signos de cada uno de los factores sobre rectas Reales iguales y luego se analiza los signos del producto. Signo de ( x ( x + 4) Signo de ( x ( x – 1) Signo de ( x ( x – 3) Signo de ( x ( x + 4) ( x  x – 1) ( x  x – 3) Al estar resolviendo la inecuación

 x 3 − 13x + 12 > 0 , la solución es: (– 4 , 1)

Si hubiese sido la inecuación: La solu soluci ción ón hubi hubies esee sid sido: o: Si hubiese sido la inecuación: La solu soluci ción ón hubi hubies esee sido sido:: Si hubiese sido la inecuación: La solu soluci ción ón hubi hubies esee sido sido:: Ejercicio mezcla: mezcla: Resolver la siguiente inecuación:

∪

(3 , + ∞).

 x − 13x + 12 ≥ 0 3

[– 4 , 1] ∪ [3 , + ∞)  x − 13x + 12 < 0 3

(– ∞ , – 4) ∪ (1 , 3)  x − 13x + 12 ≤ 0 3

(– ∞ , – 4] ∪ [1 , 3]  x − 3  x 2 − 1

> 0

 Por la 3ª forma: forma: Descomponemos en factores y analizamos signos del numerador y denominador. Signo de ( x  x – 3) Signo de ( x  x – 1) ( x  x + 1) Signo de

 x − 3  x 2 − 1

Al estar resolviendo la inecuación:

 x − 3  x − 1 2

> 0 , la solución es: (–1, 1)

∪

(3 , + ∞)

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