ANÁLISIS COMBINATORIO

ANÁLISIS COMBINATORIO PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO 1. PRINCIPIO PRINCIPIO DE MULTIP MULTIPLICACI LICACIÓN ÓN (Teorema fundamental del análisis combinatorio) Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y para cada una de estas, otro evento "B" ocurre de "n" maneras, entonces el evento "A" seguido de "B", ocurre de "" maneras.

Observaciones: * En este este princi principio pio,, la ocurre ocurrenci ncia a es uno a conti continu nuaci ación ón del otro, es decir, ocurre el evento "A" y luego ocurre el evento "B". * Es Este te princ princip ipio io se puede puede gener general aliz izar ar para para má máss de do doss eventos. Ejemplos: !. na persona puede viajar viajar de "A" a "B" de # $ormas y de "B" a "%" de & $orma $ormas, s, '(e cuánt cuántas as manera manerass distinta distintass puede ir de "A" a "%" pasando por "B" y sin retroceder)

5. (e 0ima a %rujillo rujillo, pasando por %
2. PRI PRINCI NCIPIO PIO DE AD ADICI ICIÓN: ÓN: Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y otro evento "B" ocurre de "n" maneras, entonces el evento A ó B, es decir, no simultáneamente, ocurre de "m @ n" maneras. &. '%uá '%uántos ntos resultados resultados di$er di$erente entess se pued pueden en ote otener ner al lanzar: A+ una moneda y un dado dad o simultáneamente) B+ tres monedas y dos dados simultáneamente) %+ n- monedas y m- dados simultáneamente) simultáneamente)

Observaciones: * En este principio, la ocurrencia no es simul sim ultán táneam eamen ente, te, es dec decir ir,, ocu ocurre rre el eve evento nto "A" o el evento "B"2 pero no amos a la vez. * Es Este te princ princip ipio io se puede puede gene genera rali liza zarr pa para ra más de dos eventos.

Ejemplos:

!. na persona persona puede puede viajar de "A" a "B" por v9a a/rea o por v9a terrestre y tienen a su disposición & l9neas a/reas y 1 l9neas terrestres, '(e cuántas maneras distintas puede realizar el viaje)

#.Ana tie tiene ne # lu lusas sas di$eren di$erentes tes y  $al $aldas das tami/n tami/n di$erentes, '(e cuántas maneras maneras se puede vestir Ana) &. '%uá '%uántos ntos resultados resultados di$e di$erent rentes es se pued pueden en ote otener ner al lanzar un dado o una moneda)

. 0uis 0uis tie tiene ne 1 cam camisa isass di$erent di$erentes es22 3 pan pantal talone oness 4& iguales+ igua les+ y 5 pare paress de zapatillas zapatillas 4# igu iguales+ ales+,, '(e cuántas cuántas maneras se puede vestir 0uis Angel)

#. n producto producto se vende en # mer mercados cados:: en el !ro. se tiene disponile en 3 tiendas, en el &do. en 1 tiendas y en #er.. mercado #er mercado en  tiendas, '(e cuántas maneras distintas distintas puede ad?uirir una persona un art9culo de dic
1. '(e cuántas maneras di$erentes di$erentes se puede seleccionar una vocal y una consonante de la palara 6ES7%A) . '(e cuánta cuántass manera manerass di$ere di$erente ntess podrá podrá viajar viajar una una persona de "A" a "(" sin retroceder)

3. '%uántos n8meros n8meros pares de # d9gitos se pueden $ormar con los d9gitos: !, &, 1, 3, 5,  y ;, si cada d9gito puede emplearse una sola vez)

PERMUTACIÓN Es un arreglo u ordenación ?ue se puede $ormar con una parte o con todos los elementos disponiles de un conjunto. En una permutación, s9 interesa el orden de sus elementos. Se pueden presentar en tres casos:

. '(e cuántas maneras se pueden ordenar 3 c
1. PERMUTACIÓN LINEAL: Es un arreglo u ordenación de elementos en l9nea recta. Si tenemos un conjunto de cuatro elemento : A  a ,  , c , dC, los posiles arreglos o permutaciones de este conjunto tomados de & en & son : a 2 a 2 c 2 c ac 2 ca 2 d 2 d ad 2 da 2 cd 2 dc Demos ?ue
1. Encontrar el n8mero total de enteros positivos ?ue pueden $ormarse utilizando los d9gitos !, &, # y , si ning8n d9gito
A = {a , b , c , d} 4

O rd e n a c ió n d e 2 e n 2

3

N ú m e r o d e p e r m u ta c io n e s p o s i b l e s = 4

×

3 = 12

(el ejemplo anterior, otenemos las siguientes conclusiones: * El n8mero de permutaciones de  elementos tomados P4 de & en & se denota como 2 *

P24

=

12 = 4 × 3

En general: El n8mero de permutaciones de "n" elementos di$erentes tomados de "" en "", se calcula como: Pkn

=

n(n

1) ( n

−

−

2 ) ... "k" factores

Observaciones: *%uando se toman todos los elementos del conjunto para ordenarlos o permutarlos 4es decir,   n+, se dice ?ue es

una permutación de "n" elementos y se denota por n = n

P

Pn

=

Pn

2. PERMUTACIÓN CIRCULAR Es un arreglo u ordenación de elementos di$erentes alrededor de un ojeto. En estas ordenaciones no
NOTA:

Gara

determinar

 " n )

#. '(e cuántas maneras, se pueden ordenar 5 niFos en una $ila, de manera ?ue cuatro niFos en particular ?ueden juntos)

permutaciones

=

n

−

1)!

Observaciones: * Gara di$erenciar una permutación circular de otra, se toma uno de los elementos como elemento de re$erencia y se recorre en sentido
&. n grupo está $ormado por 3 personas y desean $ormar una comisión integrada por un presidente y un secretario, '(e cuántas maneras puede $ormarse dic
de

PC

n!

!. En una carrera participan  atletas, 'de cuántas maneras distintas pueden llegar a la meta, si llegan uno a continuación del otro)

n8mero

circulares de "n" elementos distintos, denotado por, (n) , asta $ijar la posición de uno de ellos y los "n H !" restantes podrán ordenarse de 4n H !+I maneras. Si se toma otro elemento como $ijo, las ordenaciones de los restantes serán seguro uno de los ya considerados. 0uego:

.

Ejemplos:

el

1# "

$

$

2# "

A

$

3# A

"

"

4# A

$

"

%# $

A

A

&#

"

$

Aparentemente
ser9a más tedioso mostrar todos los ordenamientos posiles. Esto nos conlleva a utilizar la $órmula antes indicada. Ksea: PC(3)

=

(3 − 1)!

=

2!

=

#. '(e cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palara GAGAOA)

2

Ejemplos: !.'(e cuántas maneras di$erentes pueden sentarse alrededor de una mesa 6uan y sus cinco amigas)

&. %uatro parejas de enamorados, de cuántas maneras di$erentes pueden uicarse alrededor de una $ogata, de modo ?ue: 7. 0os
COMBINACIÓN Es una selección o grupo ?ue se puede $ormar con una parte o con todos los elementos disponiles de un conjunto. En una cominación no interesa el orden de sus elementos. A trav/s de un ejemplo nos daremos cuenta ?ue
 e r m u t a c io n e s o r d e n a m i e n to s ) 







  









ab c,acb, b a c, b ca,cab,cb a abd,adb,bad,bda,dab,d ba acd ,ad c, cad , cd a , d ac, d ca b cd,b d c,cbd,cdb,d b c,d cb 









  



  o ta l + 2 4

3. PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS Es un arreglo u ordenación de elementos no todos di$erentes 4elementos repetidos+. Si se tienen "n" elementos donde
 elementos repetidos de una !ra. clase.

K2

 elementos repetidos de una &da. clase.

K r 

 elementos repetidos de una r H /sima clase. El n8mero de permutaciones di$erentes con "n" elementos los cuales tienen elementos ?ue se repiten, se calcula como sigue:  ( n , (  ,    , (  1 2 r

=

n! (  1 ! × (  2 ! ×      

×

(  r !

(onde: K1 + K 2 + .... + K r  ≤ n

Ejemplos: !. n estante tiene capacidad para 1 liros de L.M. ?ue tienen pasta azul,  de L.D. de pasta roja y # de Nistoria del Ger8 de pasta amarilla. '(e cuántas maneras pueden colocarse los l iros seg8n los colores)



=

 34







 

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

 

" o m b i n a c io n e s  * r u p o s )

& & & &



 

abc abd acd b cd

 

1 1 1 1

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

  o ta l + 4

=

" 43

(el ejemplo anterior, otenemos las siguientes conclusiones: * El n8mero de cominaciones de  elementos tomados C4

de # en # se denota por 3 * %ada cominación tiene 3 permutaciones, es decir: C34

=

4=

24 6

=

P34 3!

=

4.3.2 1.2.3

En general: El n8mero de cominaciones de "n" elementos tomados de "" en "", se calcula como:

Cnk

=

n × (n − 1) × (n − 2) × ...."k " factores 1× 2 × 3 × 4 × ...... × k

Observaciones: * %uando se toman todos los elementos del conjunto para agruparlos o cominarlos 4es decir,   n+, se dice

?ue es una cominación de "n" elementos y : Cn0 = 1 ; C1n = n ; Cnn = 1 * n n " / = " n / −

=

" 13 -

" %-

=

" %-

4&

* *

" 1. -

Cn0

+

C1n

+

Cn2 + .... + Cnn

Cnn

=1

4

=

2n

Ejemplo: !. '%uántos grupos de  personas se pueden $ormar con 3 personas)

&. Se tienen ! anderas donde & son rojas, # lancas y 1 son azules, '(e cuántas maneras se pueden
&. Se e=traen dos cartas de una araja de 1& cartas. '(e cuántas maneras se puede
#. En una reunión
. Si deseas viajar a Denezuela y dispones de # arcos, 1 aviones y  uses 4todos di$erentes entre s9+, 'de cuántas maneras puedes realizar dic
+ 3 e+ 1!

c+ !&

ENUNCIADO "(e 0ima a 7ca, e=isten  caminos di$erentes, de 7ca a >acna acna, pasando siempre por 7ca) . n estudiante tiene ?ue contestar  de ! preguntas en un e=amen: 7. '(e cuántas maneras puede el estudiante escoger las  preguntas) 77. Si las tres primeras son oligatorias, 'de cuántas maneras puede escoger las preguntas) 777. Si tiene ?ue contestar  de las 1 primeras, '(e cuántas $ormas puede escoger las preguntas)

a+ ; d+ 

+ & e+ 3&1

c+ !&

3.(el enunciado: '(e cuántas maneras di$erentes se podrá ir de 0ima a >acna y regresar, si la ruta de regreso dee ser di$erente a la de ida) a+  d+ #;;

+ # e+ !

c+ &

5. (e un grupo de !1 personas ?ue estudian sólo & idiomas cada uno, se sae ?ue  de ellos estudian ingl/s y alemán, 1 ingl/s y $ranc/s y los otros sólo alemán y $ranc/s. Si se ?uiere escoger & personas ?ue
+ 5 e+ !&

c+ ;&

. (el siguiente talero, 'de cuántas maneras di$erentes se puede escoger una casilla lanca y una casilla negra de tal manera ?ue no est/n en la misma
1. %on las $rutas: papaya, melón, piFa y $resa, 'cuántos jugos de di$erentes saores se podrán
c+ #&

;. '(e cuántas maneras di$erentes2 & peruanos, # argentinos y  colomianos pueden sentarse en $ila de modo ?ue los de la misma nacionalidad se siente juntos)

AORA TU: ENUNCIADO "0alo tiene 3 pantalones,  camisas y 1 pares de zapatos, todos de di$erentes colores entre s9". !. '(e cuántas maneras di$erentes puede vestirse) a+ !1 d+ !&

+ !& e+ 3

+ & e+ 5&

c+ 3

a+ 3 d+ ;&

+ !5& e+ !5

c+ 3

!. El aula especial de la Academia consta de !1 alumnos a los cuales se le toma el e=amen $inal. '%uántas opciones distintas se tiene para ocupar los & primeros puestos, si no
&. (el enunciado: '(e cuántas maneras di$erentes puede vestirse, si # de los pantalones $ueran iguales)

a+ &! d+ &1

a+ !& d+ !&

!!. '%uántos resultados posiles se pueden otener en el lanzamiento simultáneo de 1 monedas y # dados legales)

+ 3 e+ 5&

c+ 

+ &# e+ !

#. (el enunciado: '(e cuántas maneras puede vestirse, si la camisa lanca siempre la usa con el pantalón azul)

a+ 3;# d+ 31!&

a+ ;1 d+ 3!

!&.'(e cuántas maneras di$erentes se puede vestir una persona ?ue tiene 3 ternos 4iguales+, 1 pares de medias 4#

+  e+ ;!

c+ !&

+ 3;!& e+ 3;#3

c+ &

c+ 35

iguales+, & pares de zapatos,  coratas 4& iguales+ y 3 camisas 4# iguales+) a+ & d+ 

+ & e+ !3

c+ &

3 3 c+ 26 × 10 e+ 26 × 25 × 24

3 d+ 26 × 10

&!. %on 3 pesas de !2 &2 12 !2 # y 5 Rg, 'cuántas pesas di$erentes pueden otenerse tomando a?uellas de # en #)

!#.Se lanzan tres dados legales al piso, 'de cuántas maneras di$erentes se pueden otener resultados di$erentes en los tres dados)

a+ !1 d+ 3

a+ !& d+ !#

&&. n total de !& estrec
+ ! e+ !!5

c+ !

!. na alumna tiene para vestirse:  lusas2 # pantalones, & $aldas, 3 pares de zapatos. '(e cuántas maneras se podrá vestir convencionalmente) a+ !& d+ 5&

+ 3 e+ &

c+ !

!1. '(e cuántas maneras di$erentes se podrán sentar en
+  e+ 5&

c+ ;3

!3. '(e cuántas $ormas di$erentes se pueden sentar en una $ila  varones y  mujeres, si 0uis 4?ue es uno de ellos+ se ?uiere sentar junto y entre Qiorela y (eysi 4?ue son dos de ellas+).Además, consideremos ?ue las personas del mismo se=o no están juntas. a+ 5& d+ I

+ #3 e+ !

c+ &

!5. n clu tiene & miemros de los cuales !& son mujeres. '%uántas juntas directivas de # miemros: Gresidente, vicepresidente y secretario pueden $ormarse, si el presidente dee ser una mujer y el vicepresidente un
+ !5!3 e+ !5&

c+ !3&

!. 6uan, Manuel, %arlos y 1 amigos más participan en una carrera, 'de cuántas maneras di$erentes pueden llegar a la meta, de tal manera ?ue %arlos llegue antes ?ue Manuel y /ste llegue antes ?ue 6uan) a+ 35& d+ !

+ #3 e+ !1#

c+ !1#&

!;. 'Gor cuántas rutas di$erentes se puede ir de A a B) A

a+ !& d+ &

"

+ ! e+ &

$

c+ !3

&. 0a Municipalidad de 0ima
2 2 + 26 × 10

a+ !& d+ !

+ !& e+ 

+ ! e+ !3

c+ &

c+ &

&#.'(e cuántas maneras puede escogerse un comit/ compuesto de #
+ #1 e+ #

c+ #1

&. '%uántos arreglos di$erentes se pueden
+  e+ 3

c+ !&

&1. '(e cuántas maneras # parejas de esposos se pueden uicar en una mesa circular, si en ning8n momento las parejas estarán separadas) a+ !& d+ !

+ !3 e+ 5&

c+ 

&3. %on las $rutas: Glátano, papaya, melón, piFa y mamey, 'cuántos jugos de di$erentes saores se podrán
+ ! e+ #!

c+ &1

&5. %uatro personas aordan un automóvil en el ?ue
+ 3 e+ #3

c+ !&

&. '(e cuántas maneras di$erentes se pueden sentar ! personas en una mesa redonda de 3 asientos, si  están en espera) a+ &1& d+ !I

+ !& e+ !1I

c+ &1&

&;.Al ir 1 parejas de esposos al teatro Segura, tienen mala suerte de encontrar solamente 1 asientos juntos en una misma $ila. '(e cuántas maneras distintas se pueden acomodar, si se ?uiere ?ue por lo menos est/ sentado un
40a óveda se arirá cuando los tres discos se cominen de manera correcta+.

a+ ! d+ !

+ !& e+ 1!&

c+ ;;;