CENTRO PREUNIVERSITARIO “LA MERCED”
“Una
Nueva Dimensión en tu Preparación”
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La
Merced Av. Larco 1117 - Telf. 284755
28 ANÁLISIS COMBINATORIO II
Técnicas de Conteo Las técnicas de conteo que estudiaremos son: - Lineales I) Permutaciones - Circulares - Con Con elem elemen ento toss repetidos - Simple II)Combinaciones: II)Combinaciones: - Con elementos elementos repetidos I) PERMUTACIONES (importa el orden) Se denomina así a las diferentes ordenaciones que se pueden formar con una parte o con todos los elementos de un conjunto. A)Permutación Lineal Se da cuando los elementos considerados son todos distintos y se ordenan en línea recta. De todos los elementos El número de permutaciones de “n” elementos está dado por: Pn = n! Aplicación: 5 tomos de una colección de matemá matemátic tica, a, ¿De cuánta cuántass manera manerass dist distin inta tass se pued puede e ubic ubicar ar en una una biblioteca? Solución:
P k n
1) (n − 2 )... n (n −
=
" k " factores
Ejemplo: 5
P 2
=5
x 4
=
20
Aplicación: Con las fichas: ¿Cuántos núme número ross de 2 díg dígitos itos pod podemos emos formar? Solución:
Aplicación: Se quiere ordenar en una vitrina 3 juguetes, disponiendo de 5 juguetes dist distin into tos. s. ¿De ¿De cuánt uántas as mane manera rass diferentes puede hacerse? Solución:
•
•
De algunos elementos El número de permutaciones de “n” elementos tomados de k en k está dado por: n!
n
P k
=
(n
O en forma práctica:
−
)
k !
B)Permutación Circular Se da cuando los ele elemento ntos son distin distinto toss y se ordena ordenan n forman formando do una circunferencia: PC(n) = (n - 1)! Aplicación: Ana, Beto y Carlos juegan a la ronda, ¿Cuánt ántas rondas dist istint intas de 3 personas pueden formar en total? Solución:
Aplicación: ¿De ¿De cuán cuánta tass mane manera rass dife difere rent ntes es se pueden colocar las letras: A, D, O, L, F en el siguiente tablero rotatorio? Solución:
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O en forma práctica: n C k
C)Permutación con repetición: Cuando se ordenan elementos, de los cuales hay algunos que se repiten. Si se tiene “n” elementos donde hay: K1: elementos repetidos de una 1º clase. K2: elementos repetidos de una 2º clase.
=
P k n1 , k 2 , ...
=k ! x k ! x k ! x . 1
2
k (k
2) x ... (k veces )
−
1)(k
−
2 ) x ... 3 x 2 x 1
−
5!
5
C 2
=
(
2! 5
=
1 x 2
)
2 !
=
=
2! 3!
=
15
=
8 x 7 x 6
C 3
5 x 4 x 3!
5!
−
6 x 5
C 2
8
n!
1)(n
−
Ejemplo:
6
El número de permutaciones diferentes está dado por:
n (n
1 x 2 x 3
56
=
3
Aplicación: ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar las 8 fichas en fila?
Propiedades: n
C 0
n
C 1
n
C n
Solución:
=1 =
n
=1
n
10
n
C k = C n −k ⇒C 7
10
= C 3
Aplicación: ¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letras se pueden formar con las letras de la palabra TOTO, sin necesidad de que tengan sentido o no? Solución:
II) COMBINACIONES (no interesa el orden) Son las diferentes agrupaciones que se pueden formar con una parte o con todos los elementos de un conjunto. En la combinación no interesa el orden. A)Combinación Simple: Si tenemos “n” elementos distintos y lo agrupamos de k en k. El total de combinaciones o agrupaciones se calcula así: n!
n
C k
=
k !
(n
k )!
−
n
n
C 1 +C 2
n
+C 3
+... +=
2
n
−1
Aplicación: ¿Cuántas comisiones de 3 alumnos se pueden formar con 4 varones y 5 mujeres? Solución:
Aplicación: ¿Cuántas sumas diferentes, de 4 sumandos cada uno, se pueden obtener con los números: 3,4,8,13,60 y 15? Solución:
2 x 3!
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n C k
=
1 k −
+
4.
Un grupo está conformado por 7 personas y desean formar una comisión integrada por un presidente y un secretario ¿De cuántas maneras puede formarse dicha comisión? A) 14 B) 21 C) 42 D) 30 E) 56
5.
De cuántas manetas se pueden ordenar las letras de la palabra “MATEMÁTICA” A) 130200 B) 148600 C)149700 D) 150300 E) 151200
6.
Se tiene 9 banderillas donde 2 son blancas; 3 rojos y 4 negras. ¿De cuántas maneras se pueden hacer señales poniendo todas las banderas en fila? A) 1050 B) 1150 C)1260 D) 1320 E) 1480
7.
Con 8 hombres y 7 mujeres. ¿Cuántos comités de 5 personas se pueden formar de modo que esté conformado por 3 hombres y 2 mujeres? A) 648 B) 948 C)1058 D) 1176 E) 1234
8.
Se tiene lápices de 7 colores ¿De cuántas maneras se pueden formar grupo de 3 ó 2 elementos con dichos lápices? A) 35 B) 48 C) 56 D) 64 E) 72
9.
En un campeonato de fútbol, 12 equipos deben jugar todos contra todos si llegan 3 equipos más ¿Cuántos partidos adicionales deben jugarse? A) 15 B) 25 C) 30
Aplicación: Se desea comprar 2 frutas (iguales o diferentes) y se dispone de manzanas, naranjas, papayas y fresas. ¿De cuántas maneras puede hacerse? Solución:
Aplicación: ¿De cuántas maneras diferentes se puede comprar 7 refrescos en una tienda donde lo ofrecen en 4 sabores distintos? Solución:
PRÁCTICA Nivel I 1. ¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los números 2, 3, 4, 5, 6? A) 20 B) 30 C) 45 D) 60 E) 120 2.
3.
En un examen se ponen 7 temas para que el alumno escoja 4 ¿De cuántas manetas puede hacerlo? A) 15 B) 25 C) 35 D) 40 E) 55 Con 8 pantalones diferentes los cuales deben ser colocados en una bolsa ¿De cuántas manetas diferentes se pueden embolsar 3
3
pantalones si en dicha bolsa solo caben 3 pantalones? A) 336 B) 36 C) 48 D) 56 E) 64
B)Combinación con Repetición: Se denomina así al número de maneras en que se puede escoger un grupo de elementos de un total dado, pudiendo repetir sus elementos cada grupo. n CRk
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D) 39
E) 42
10. ¿De cuántas maneras 5 parejas de esposos pueden ubicarse en una mesa circular para almorzar; si estas parejas siempre deben de almorzar juntos? A) 576 B) 648 C) 756 D) 768 E) 780 Nivel II 11. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 3 hombres y 3 mujeres alrededor de una mesa circular de tal manera que cada mujer esté entre 2 hombres? A) 4 B) 18 C) 24 D) 14 E) 8 12. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros diferentes sobre una estantería de manera que 3 de ellos siempre deben de estar juntos? A) 3! 9! B) 3! 10! C)3! 12! D) 3! 11! E) 3! 7! 13. Una pareja de esposos y sus cuatro niñas van al cine y encuentran 6 asientos en la misma fila ¿De cuántas maneras pueden sentarse si las cuatro niñas siempre quieren estar sentadas juntas? A) 72 B) 120 C) 36 D) 144 E) 48 14. UNT – 2006 I Nueve estudiantes, de los cuales cuatro son varones, deciden sentarse en fila con la condición que las mujeres no se sienten una al lado de la otra. El número de maneras diferentes en que puedan sentarse, es: A) 2850 B) 2860 C) 2870 D) 2880 E) 2890 15. UNT – 2005 exonerados El número de palabras que no contengan tres vocales juntas que se
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pueden formar con todas las letras de la palabra “email” es: A) 1 B) 2 C) 6 D) 12 E) 24 16. CEPUNT – 2006 Una familia de 5 miembros: padres y tres niños, se forman en fila para tomarse una fotografía. Si los padres deben estar juntos, el número de formas posibles que pueden ordenarse para tomarse la fotografía, es: A) 12 B) 24 C) 48 D) 64 E) 72 17. Nueve platillos (de forma idéntica) se ordenan como se muestra en la figura. Un deportista debe romper los nueve platillos con su pistola y nueve balas, para esto siempre debe romper el platillo que queda en la parte inferior en cualquiera de las columnas ¿De cuántas formas distintas puede hacerlo? R
B
N
R
B
N
R
N N
A) 1200 1440 D) 1260
B) 720
C)
E) 1720
18. Se tiene 8 vasos descartables de un mismo tipo, 5 de los cuales están llenos con gaseosa y los restantes con refresco chicha morada ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar linealmente los vasos llenos; si dos vasos conteniendo gaseosa y chicha tienen que estar siempre juntos? A) 120 B) 105 C) 168 D) 210 E) 350 19. ¿De cuántas maneras 4 parejas de esposos se pueden ubicar en una
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mesa circular para jugar casino, si estas parejas siempre juegan juntas? A) 100 B) 7! C) 96 D) 124 E) 144 20. En una despedida de soltero a la que asistieron sólo chicas, todas bailaron entre sí una vez. Si en total se lograron conformar 28 parejas diferentes, el número de chicas que participaron fue: A) 12 B) 17 C) 13 D) 8 E) 7 21. Con cuatro banderas de diferente color se debe mandar un mensaje de un barco a otro ¿Cuántos mensajes se pueden mandar, si no es obligatorio usar todas las banderas? A) 64 B) 80 C) 24 D) 8 E) 16 22. De 5 ingenieros y 4 médicos se desea escoger un grupo de 4 personas ¿De cuántas maneras se podrá realizar esto; si en cada grupo debe haber a lo más 2 médicos? A) 65 B) 85 C) 105 D) 125 E) 155 T. 09.02.07
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