Tema: Análisis Combinatorio
Contenidos transversales con la Asignatura Informática
Prof. Guillermo Morelli
Indice temático Conceptos básicos Aplicación del Análisis combinatorio Permutaciones simples Permutaciones con Repetición Variaciones sin repetición Variaciones con repetición Combinaciones sin repetición Combinaciones con Repetición Video tutoriales Calculadora Combinatoria
Conceptos Básicos
El Análisis Combinatorio : Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos (ordenamientos) o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos , placas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos.
Aplicaciones Muchos
de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser predichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues la mayoría de los hechos están influidos por factores externos. Además, existen aquellos sucesos que están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos que no se está seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones. Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por la probabilidad nos llevan a descubrir que algunos sucesos tienen una mayor o menor probabilidad de ocurrir que la ponderación asignada a través del sentido común. Nuestros sentidos, la información previa que poseemos, nuestras creencias o posturas, nuestras inclinaciones, son algunos de los factores que intervienen para no permitirnos hacer estimaciones reales. Volver al Índice
El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos. Ejemplo :
Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un número determinado de prendas de vestir
Ordenar 5 artículos en 7 casilleros Contestar 7 preguntas de un examen de 10
Designar 5 personas de un total 50 para integrar una comisión. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas
Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales
Permutaciones Permutaciones Simples: Definición:
Son permutaciones simples, de n elementos distintos, todas las agrupaciones de esos n elementos, dispuestos linealmente, sin que ninguno falte o se repita. Estas agrupaciones se diferencian entre sí, sólo por el orden de sus elementos. Cálculo: El número de permutaciones simples que pueden realizarse con n elementos distintos ( P n ) , :
Pn = n! Ejemplo: Una madre tiene 3 hijos ¿de cuántas maneras distintas, nombrándolos uno por uno, puede llamarlos a cenar? Respuesta: P 3 = 3 ! = 6
Permutaciones con repetición: Si tengo 3 objetos {a, b, c} , los puedo colocar ordenadamente de manera que la 'a' aparezca 2 veces, la 'b' otras 2 veces y la 'c' 1 sola vez, como se puede ver en los siguientes ejemplos:
Concepto.-
Si tengo 3 objetos {a, b, c} , los puedo colocar ordenadamente de manera que la 'a' aparezca 2 veces, la 'b' otras 2 veces y la 'c' 1 sola vez, como se puede ver en los siguientes ejemplos:
El número de permutaciones con repetición de 3 elementos que se repiten 2 veces, 2 veces y 1 vez, teniendo por tanto cada grupo 5 elementos, se denota por P52,2,1 y equivale a: 5! 2,2,1
P 5
= ____________ = 30 2! 2! 1!
Justificación Si los 5 objetos que aparecen en las permutaciones fueran todos distintos, pongamos {a1, a2, b1, b2, c}, en lugar de estar repetidos algunos, evidentemente estaríamos en el caso de las permutaciones ordinarias y el número de grupos sería P5 = 120. Si en uno de estos grupos cambiáramos el orden de las 'a' entre sí tendríamos una permutación distinta, pero si suprimiéramos los subíndices, entonces sería la misma. Lo mismo podríamos decir de las 'b'. Pero las distintas ordenaciones que se pueden hacer con las dos 'a' y las dos 'b' s on 2! . 2! = 4, así que por cada 4 permutaciones ordinarias tenemos una permutación por repetición. Luego el número de estas últimas debe ser 120 / 4 = 30.
V ariaciones V ariaciones sin repetición Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos ordenados de 3 de ellos de muchas maneras:
Cada grupo ordenado decimos que es una variación de estos 5 elementos de orden 3, o también, tomados de 3 en 3.
Ejemplo: ¿Cuántas banderas diferentes, de tres franjas horizontales de igual ancho y de colores distintos, pueden confeccionarse a partir de siete colores diferentes? Respuesta:
V ariaciones
con repetición
Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos ordenados de 3 de ellos, pudiéndose repetir los objetos en un mismo grupo, de la manera siguiente:
Cada grupo ordenado decimos que es una variación con repetición de estos 5 elementos de orden 3, o también, tomados de 3 en 3.
El número de variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3 se denota por VR53 y equivale a: 3 VR
3 = 5.5.5 = 5 = 125
5
Ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse a partir de los dígitos 1 y 2? 3 3 Respuesta : VR = 2 = 8 2
Combinaciones Combinaciones sin repetición Son combinaciones simples, todas las agrupaciones de k elementos, dispuestos linealmente, que se pueden formar a partir de n elementos distintos ( k £ n ) , sin que ninguno se repita y sin importar el orden de ellos. Estas agrupaciones se diferencian entre sí, sólo por los elementos que las conforman.
Ejemplo: Un alumno decide rendir tres de las cinco P. C. E. ¿De cuántas maneras distintas puede elegir esas tres pruebas? Respuesta:
Combinaciones sin repetición Son combinaciones con repetición, todas las agrupaciones de k elementos, dispuestos linealmente, que se pueden formar a partir de n elementos distintos, donde cada uno de los elementos puede formar parte de la agrupación, las veces que se quiera y sin importar el orden de ellos. Cálculo: El número de combinaciones con repetición de k elementos, que pueden formarse a partir de n elementos distintos , es:
Ejemplo: Al lanzar tres monedas iguales al aire ¿cuántas opciones distintas existen, si se quiere apostar por una de ellas? Respuesta:
V ideo Tutoriales V ideos explicativos de ejemplo ± Clic en el link hipervínculo y te direccionará
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