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*
>0
2 raíces reales diferentes
*
=0
2 raíces reales iguales
*
<0
2 raíces complejas y conjugadas
Nota:
Propiedades Generales:
*
Posee raíces simétricas
x1 + x2 = 0
*
Posee raíces recíprocas
x1 x2 = 1
A. Operaciones básicas con raíces: Sea: ax + bx + c = 0 ; a 0 2
Material de Clase
de raíces x1, x2 *
Suma de raíces (S): 1.
La suma de las raíces de la ecuación: 2 3x + ax + a – 6 = 0 es 4, hallar su producto.
2.
La ecuación: 2x + 5x – 1 = 0, tiene como raíces r y s, hallar: 2 2 A) r +s
b x1 + x2 = S = a
Producto de raíces (P): x1 x2 = P =
*
c a
r +s
3
2
3.
La ecuación: 3x + 7x – 8 tiene raíces r y s. Hallar una 2 2 ecuación que tenga raíces r y s .
4.
Si r y s son raíces de la ecuación: x – 3x + 4 = 0, hallar (2r + 3s + 1) (3r + 2s – 1) + 2s
5.
Hallar el menor valor de “m” de modo que la ecuación:
2
(x1 + x2) – (x1 – x2) = 4x, x2 2 2 S – D = 4P
*
3
B)
Diferencia de raíces (D): 2
2
2
Reconstrucción de la ecuación: 2
2
x – (x1 + x2)x + x1 x2 = 0 2 x – Sx + P =0
4x – mx + 1 = 0; tenga solución única. 6.
Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones: 2 I) x – x – 1 = 0 2 II) x – 2x + 3 = 0 2 III) 3x + x – 2 = 0 no admite raíces reales.
7.
Si la ecuación 2x + 3x + k – 3 = 0 tiene raíces reales
B. De las ecuaciones equivalentes: 2
Sean:
ax + bx + c = 0 2 dx + ex + f = 0;
luego: a b c d e f
2
y diferentes; hallar el producto de todos los valor de k, si k .
C. Naturaleza de las raíces: Sea: ax + bx + c = 0 ; a 0 2
donde: {a, b, c}
La ecuación: 2 x – 5x + m + 2 = 0 posee raíces reales, mientras que: 2
Definimos su discriminante, así: = b – 4ac 2
8.
2x + 3x + m = 0 posee raíces imaginarias. Calcular la suma de valores enteros de “m”, que satisface estas condiciones.
Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730
9.
Determine el mayor valor de “a” en la ecuación 2 cuadrática: ax + (5 – a)x + 1 = 0; de tal manera que el producto de las raíces sea igual a la diferencia de las mismas. 2
Si las raíces de la ecuación cuadrática x – px + q = 0, son reciprocas entre sí, hallar q. A) 0 B) –1 C) 1 D) 2 E) N.A.
4.
Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes
2
10. Si: x1 + x2 – x1x2 = 4 Siendo x1 y x2 soluciones de la ecuación: 2 x + (b – 2)x + (b – 2) = 0 Determinar el menor valor que adquiere: 2 2 x1x2 + x1 x2
racionales, en donde una de las raíces es: 3 + A) B) C) D) E)
11. Si las ecuaciones: 2 x – nx + 6 = 0 2
x – (n + 1)x + 8 = 0 tienen una raíz en común, indicar la suma de raíces no comunes. 12. Hallar el mayor valor de “a” en la ecuación: 2 2 P(x) = x – (2a + 4)x + a + 8 = 0 Si una raíz es triple de la otra. 13. Hallar la suma de cuadrados de las raíces de la ecuación: 2 (k+2)x – 2(k+2)x + 2k – 6 = 0 sabiendo que una de dichas raíces es la inversa de la otra.
6.
Hallar “k” si: x – 15 – k (2x – 8) = 0 tiene raíces iguales. A) 1 B) 5 C) 6 D) 7
E) 8
Calcular “m” si en la ecuación: 2 2x + (m – 1)x + (m + 1) = 0 Sus raíces difieren en 1 A) 1 B) –11 C) 6
E) 11
8.
D) 2
Resolver:
dar como respuesta la suma de sus soluciones. A) 7/4
B) 27/4
C) 5
D) –7/4
Calcular “m” en: 2 x – 8x + m = 0 con raíces x1 y x2 si: 3x1 – 4x2 = 3 A) 5 B) 10 C) 15 D) 25
E) –5
E) 35
10. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes
Determinar la ecuación cuyas raíces sean –5/6 y –5/3: 2 A) 9x – 15x + 25 = 0
enteros cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la ecuación: 2 5x – 7x + 13 = 0 Indicar el coeficiente de su término independiente. A) 25 B) 91 C) –91 D) 100 E) –100
2
18x + 25x + 25 = 0 2 18x + 45x + 25 = 0 2 18x – 15x + 25 = 0 N.A.
De la ecuación:
2
3x 1 2x = –6
9.
2.
x – 7x + 6 = 0 2 x – 7x = 0 2 x – 6x – 7 = 0 2 x – 6x + 7 = 0 N.A.
Calcular “m” si las raíces de una ecuación: 2 (m + 1) x – 2mx + (m – 3) = 0, son iguales A) 3/2 C) –3/2 E) N.A. B) 2/3 D) –2/3
ecuación, calcular: (1 – x1)(3 – x2)(1 – x2)(3 – x1)
B) C) D) E)
2
2
5.
7.
14. En la siguiente ecuación cuadrática: 2 P(x) = x – (2n + 5)x + n = 0 si una raíz excede a la otra en 3 unidades. Si x1, x2 son las raíces de la
1.
2
3.
11. En la ecuación:
15 11x 5 1 x x2
ab 1 1 ab abx x
dar como respuesta la diferencia de sus raíces. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
El producto de las raíces es: A) 0 B) 1 C) ab
-2-
D) –ab
E) N.A.
Ecuac. 2do. Grado II
x2
12. Resolver:
( x 1)2
x2 ( x 1)2
20. Si el discriminante de una ecuación general de segundo grado es una cantidad positiva y cuadrado perfecto, se afirma que las raíces son: A) Reales e iguales
10 9
dar como respuesta la suma de las raíces reales. A) 5 B) –1/2 C) 1/2 D) 0 E) –5
B) C) D) E)
13. Calcular “m” en: 2 x – mx + 48 = 0 con raíces x1 y x2 si: x1 = 3x2 C) 16
B) –16
A) 16
E) 12
D) 12
Racionales e iguales Irracionales y desiguales Enteras y desiguales Racionales y desiguales
21. Si las raíces de la ecuación: 2 (2 + 2k)x – (1 + k)x + 4 = 0 son iguales, el valor de k es: A) 31 B) 32 C) –1
14. Siendo “x1” y “x2” las raíces de la ecuación: 2 2mx + 2(m + 1)x + (m – 1) = 0 Calcular “m” si se cumple la siguiente relación: x1 x 2 =7 ; m>0 x 2 x1
D) 1
E) N.A.
22. Sabiendo que las raíces de la cuadrática en “x”: 2 x + bx + 30 = 0, son positivas y la diferencia entre ellas es 7, halle el valor de “b”. A) 13 C) 5 E) Más de una es correcta B) –13 D) –5
m
Señale como respuesta el valor de: m + 2m A) –3 B) 0 C) 5 D) 8 E) 31 2
15. Hallar “c” para que en la ecuación: x – 8x + c = 0, una raíz sea el inverso multiplicativo de la otra. A) –1 B) 1 C) 16 D) –16
23. Si las ecuaciones: 2
(2m + 1) x – (3m – 1) x + 2 = 0
E) 0
2
16. En la ecuación: x – px + 36 = 0, determinar p tal que se tenga:
2
(n + 2) x – (2n + 1) x – 1 = 0
son equivalentes; calcular el valor de “m” A) –9 B) 6,5 C) 9 D) –6,5
1 1 5 r s 12
E) 14
24. Para qué una de las raíces de la ecuación 2
Donde r, s son las raíces de dicha ecuación de segundo grado. Dar como respuesta la suma de las cifras de p. A) 6 B) 5 C) 1 D) 4 E) 2
ax + bx + c = 0 sea el doble de la otra, los coeficientes deben estar relacionados como sigue: 2 2 A) 4b = 9c D) 2b = 9ac 2 2 B) b – 8ac = 0 E) 2b = 9a 2 C) 9b – 2ac = 0
17. Halle el menor valor entero positivo del parámetro “n” para que la ecuación cuadrática en “x”: 2
x +
25. ¿Para cuántos valores naturales de a, la ecuación de 2 segundo grado, (a – 3) x + 3x + 2 = 0, tiene soluciones reales?
n x + 1 = 0, presente raíces reales.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) Más de 6
A) 6 18. Formar la ecuación cuyas raíces son las inversas multiplicativas de las raíces de la ecuación: 2 2x – 3x – 1 = 0 2
C) 4
D) 3
E) 2
26. Encontrar el valor de “p” si una raíz es el doble de la 2 otra en la ecuación: x + 6x + p = 0 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.
2
A) 2x + 3x – 2 = 0 2 B) x – 3x – 2 = 0 2 C) 2x – 3x + 1 = 0
B) 5
D) x + 3x – 2 = 0 E) N.A.
27. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación: 2 x – (m – 1)x + m + 1 = 0 2
Calcular el valor de “m” si:
19. Dada la ecuación 2x + 3px + p + 4 = 0, determinar el producto de todos aquellos valores de p que hacen que la suma de los cuadrados de las raíces sea 14. A) –2 B) –6 C) –8 D) 6 E) N.A.
A) 3
-3-
B) 4
C) 5
1 1 2 x1 x 2 3
D) 6
E) 7
Ecuac. 2do. Grado II
2
28. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean “n” veces las raíces de la ecuación: 2 ax – bx + c = 0 Indicar su término independiente. A) a
B) an
C) nb
D) nc
36. Si la ecuación: Kx + (2K + 1) x + K = 0, tiene raíces iguales, hallar el producto de las raíces de la siguiente 2 2 ecuación: (4K + 3) y + 3Ky – 4K + 9 = 0 A) 35/8 B) 35/4 C) –35/8 D) –35/4 E) N.A.
2
E) n c 2
37. Hallar “m” en la ecuación: x + (2m + 5) x + m = 0, sabiendo que una raíz excede a la otra en 3 unidades. A) 2 B) –2 C) 4 D) 1 E) –1
29. Si una de las raíces de la ecuación es (–6), hallar la 2 otra: x + (a + 3)x + a + 2 = 0 Calcular la otra raíz. A) 4 B) 2 C) –1 D) –3 E) N.A.
38. Si p y q son raíces de la ecuación: –2 –2 x (x + 2b) = –2c , hallar p + q 2 2 –2 2 –2 A) (b – c ) c D) (b – c) c 2 2 –1 2 –1 B) (b – c ) c E) (b – c ) c
30. Sabiendo que las raíces de la ecuación: 2 2 x – (3n – 2)x + n = 1
2
39. Si r y s son raíces de la ecuación: 2 2 3 3 3 2 x – 3ax + a = 0, hallar: r – s , si r – s > 0
31. Hallar el cubo de la suma de las raíces de una ecuación de segundo grado en la que sus tres coeficientes son iguales. A) 2
B) –1
C) 1
D) 3
A) 8 3 a
2
C) 8 3 a
3
B) 8 5 a
2
D) 8 2 a
3
E) 8 5 a
3
2
40. La ecuación x + bx + c = 0 tiene raíces r y s. Una 2 2 ecuación que tiene raíces 1/r y 1/s es: 2 2 2 A) c x + (2c – b ) x + 1 = 0 2 2 B) c x + (2c – b ) x + 1 = 0 2 2 2 C) c x + (2c – b) x + 1 = 0 2 2 2 D) c x + (2c – b) x – 1 = 0 2 2 2 E) c x + (2c – b ) x – 1 = 0
E) –2
2
32. Las ecuaciones: x + ax + b = 0 x + cx + d = 0, a c, b d 2
tiene raíz común. El valor de esta es: A) (b – d) / (a – c) D) ac/bd B) (d – b) / (a – c) C) bd/ac
–2
C) (b – c ) c
son números enteros y una de ellas es el triple de la otra, éstas son: A) 1 y 3 C) 3 y 9 E) 5 y 15 B) 2 y 6 D) 4 y 12
E) N.A.
33. Calcular n–m, sabiendo que las siguientes ecuaciones tienen las mismas raíces: 2 3 (m – 2) x – (m + 2) x – (n + 6) = 0 2 2 3 (m – 1) x – (m + 1) x – (4n – 4) = 0 Nota: Considerar el mayor valor posible para m. A) –1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 2
34. En la ecuación: x –
3 x + q = 0, uno de los valores
de q que permite que la suma de los cuadrados de las inversas de sus raíces sea 1 es: A) –5 B) –3 C) 0 D) 3 E) 5 35. Calcular el valor de “t” para que se cumpla que: –2 –2 –1 r + s = –14 en la siguiente ecuación: 2
x – tx – x + 28 = 0.
r, s: raíces de la ecuación.
A) t = 1 t = –3
D) t = –2 t = 1
B) t = 1 C) t = –1
E) t = –2
-4-
Ecuac. 2do. Grado II
