ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA 11 ME ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
∆
= b2 – 4ac
*
∆
>0
⇔
2 raíces reales diferentes
*
∆
=0
⇔
2 raíces reales iguales
*
∆
<0
⇔
2 raíces complejas y conjugadas
Propiedades Generales: A.
Operaciones básicas con raíces raí ces:
Nota:
Sea: ax 2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
*
Pose Posee e raíc raíces es simé simétr tric ica as
⇔
x1 + x2 = 0
de raíces x1, x2
*
Pose Posee e raíc raíces es recí recípr proc oca as
⇔
x1 x2 = 1
*
Suma de ra raíce íces (S (S):
Material de Clase
x1 + x2 = S = 1. •
La suma suma de las las raíce raíces s de la ecua ecuació ción: n: 3x2 + ax + a – 6 = 0
Producto de raíces (P):
es 4, hallar hallar su producto. producto. x1 x2 = P = 2.
La ec ecuación ión: 2x 2x2 + 5x – 1 = 0, tiene como raíces r y s, hallar:
*
Dife Difere ren ncia cia de raíc raíces es (D): D): 2
A)
r2 + s2
B)
r 3 + s3
2
(x1 + x2) – (x1 – x2) = 4x, x2 S2 *
–
D2
= 4P
3.
ecuación que tenga raíces r 2 y s2.
Reco Recons nstr truc ucci ción ón de la ecua ecuaci ción ón:: x2 – (x1 + x2)x + x1 x2 = 0 x2 –
Sx
+
4.
ax2 + bx + c = 0
6.
dx2 + ex + f = 0; luego:
d C.
Naturaleza Naturalez a de las raíces raí ces:
b =
e
c =
Cuál Cuál o cuáles cuáles de de las sigu siguien ientes tes ecua ecuacio ciones nes:: I)
x2 – x – 1 = 0
II)
x2 – 2x + 3 = 0
III) 3x2 + x – 2 = 0 no admite raíces reales.
f 7.
Si la ecuac uación ión 2x 2x2 + 3x + k – 3 = 0 tiene raíces reales y diferentes; hallar el producto de todos los valor de k, si
Sea: ax 2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
k ∈ Ν.
donde: {a, b, c} ⊂ ℜ Definimos su discriminante, así:
Hallar Hallar el menor menor valor valor de de “m” “m” de modo modo que que la ecuac ecuación: ión: 4x2 – mx + 1 = 0; tenga solución única.
B. De las las ecua ecuacio cione nes s equiv equivale alent ntes: es:
a
Si r y s son son raíc raíces es de la ecua ecuaci ción ón:: x2 – 3x + 4 = 0, hallar (2r + 3s + 1) (3r + 2s – 1) + 2s
P =0 5.
Sean:
La ec ecuación: 3x 3x2 + 7x – 8 tiene raíces r y s. Hallar una
8.
La ecuac uación:
Av. Universitaria Universit aria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730 261-8730
x2 – 5x + m + 2 = 0 posee raíces reales, mientras que:
2.
2
2x + 3x + m = 0 posee raíces imaginarias. Calcular la suma de valores
−
11 x + 5 x2
x
= −1
dar como respuesta la diferencia de sus raíces.
enteros de “m”, que satisface estas condiciones. 9.
15
De la ecuación:
A) 2
Determine el mayor valor de “a” en la ecuación
3.
cuadrática: ax 2 + (5 – a)x + 1 = 0; de tal manera que el
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Si las raíces de la ecuación cuadrática x 2 – px + q = 0, son reciprocas entre sí, hallar q.
producto de las raíces sea igual a la diferencia de las
A) 0
B) –1
C) 1
D) 2
E) N.A.
mismas. 4. 2 1
2 2
10. Si: x
+ x – x1x2 = 4
Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes racionales, en donde una de las raíces es: 3 +
Siendo x1 y x2 soluciones de la ecuación:
2
A) x2 – 7x + 6 = 0
x2 + (b – 2)x + (b – 2) = 0
B) x2 – 7x = 0
Determinar el menor valor que adquiere:
C) x2 – 6x – 7 = 0
x1x22 + x12x2
D) x2 – 6x + 7 = 0 E) N.A.
11. Si las ecuaciones: x2 – nx + 6 = 0 5.
x2 – (n + 1)x + 8 = 0
Calcular “m” si las raíces de una ecuación:
tienen una raíz en común, indicar la suma de raíces
(m + 1) x2 – 2mx + (m – 3) = 0, son iguales
no comunes.
A) 3/2
C) –3/2
B) 2/3
D) –2/3
E) N.A.
12. Hallar el mayor valor de “a” en la ecuación: 6.
P(x) = x2 – (2a + 4)x + a 2 + 8 = 0
Hallar “k” si: x2 – 15 – k (2x – 8) = 0 tiene raíces iguales.
Si una raíz es triple de la otra.
A) 1
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
D) 2
E) 11
13. Hallar la suma de cuadrados de las raíces de la 7.
ecuación:
Calcular “m” si en la ecuación:
(k+2)x2 – 2(k+2)x + 2k – 6 = 0
2x2 + (m – 1)x + (m + 1) = 0
sabiendo que una de dichas raíces es la inversa de la
Sus raíces difieren en 1 A) 1
otra. 8.
14. En la siguiente ecuación cuadrática:
B) –11
C) 6
Resolver: 3x + 1 − 2x = –6
P(x) = x2 – (2n + 5)x + n = 0 si una raíz excede a la otra en 3 unidades. Si x 1, x2 son las raíces de la
dar como respuesta la suma de sus soluciones.
ecuación, calcular: (1 – x1)(3 – x2)(1 – x2)(3 – x1)
A) 7/4 9.
B) 27/4
C) 5
D) –7/4
E) –5
Calcular “m” en: x2 – 8x + m = 0 con raíces x 1 y x2 si: 3x1 – 4x2 = 3 A) 5
1.
Determinar la ecuación cuyas raíces sean –5/6 y –5/3:
B) 10
C) 15
D) 25
E) 35
10. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes
2
A) 9x – 15x + 25 = 0
enteros cuyas raíces sean la suma y el producto de
2
B) 18x + 25x + 25 = 0
las raíces de la ecuación:
2
C) 18x + 45x + 25 = 0
5x2 – 7x + 13 = 0
2
D) 18x – 15x + 25 = 0
Indicar el coeficiente de su término independiente.
E) N.A.
A) 25
B) 91
C) –91
D) 100
E) –100
Ecuac. 2do. Grado II - 2 -
19. Dada la ecuación 2x2 + 3px + p + 4 = 0, determinar el
11. En la ecuación: a
+
b
1 =
ab
a
+
b
+
x
−
1
producto de todos aquellos valores de p que hacen
x
que la suma de los cuadrados de las raíces sea 14.
El producto de las raíces es: A) 0
B) 1
C) ab x2
12. Resolver:
A) –2
( x − 1)2
+
D) –ab
x2 ( x + 1) 2
=
B) –1/2
C) 1/2
9
segundo grado es una cantidad positiva y cuadrado perfecto, se afirma que las raíces son:
D) 0
A) Reales e iguales
E) –5
B) Racionales e iguales C) Irracionales y desiguales D) Enteras y desiguales E) Racionales y desiguales
con raíces x1 y x2 si: x1 = 3x2 C) ± 16
B) –16
E) ± 12
D) 12
21. Si las raíces de la ecuación: (2 + 2k)x2 – (1 + k)x + 4 = 0
14. Siendo “x1” y “x2” las raíces de la ecuación:
son iguales, el valor de k es:
2mx2 + 2(m + 1)x + (m – 1) = 0
A) 31
Calcular “m” si se cumple la siguiente relación: +
x2
x2 x1
B) 32
C) –1
D) 1
E) N.A.
22. Sabiendo que las raíces de la cuadrática en “x”:
=7 ; m>0
x2 + bx + 30 = 0, son positivas y la diferencia entre
Señale como respuesta el valor de: m m + 2m A) –3
E) N.A.
20. Si el discriminante de una ecuación general de
x2 – mx + 48 = 0
x1
D) 6
10
13. Calcular “m” en:
A) 16
C) –8
E) N.A.
dar como respuesta la suma de las raíces reales. A) 5
B) –6
B) 0
C) 5
D) 8
ellas es 7, halle el valor de “b”.
E) 31
A) 13
C) 5
B) –13
D) –5
E) Más de una es correcta
15. Hallar “c” para que en la ecuación: x2 – 8x + c = 0, una raíz sea el inverso multiplicativo de la otra. A) –1
B) 1
C) 16
D) –16
23. Si las ecuaciones: E) 0
(2m + 1) x2 – (3m – 1) x + 2 = 0 ∧
2
16. En la ecuación: x – px + 36 = 0, determinar p tal que
son equivalentes; calcular el valor de “m”
se tenga: 1 r
1 +
(n + 2) x2 – (2n + 1) x – 1 = 0
A) –9
B) 6,5
C) 9
D) –6,5
E) 14
5 =
s
12
24. Para qué una de las raíces de la ecuación
Donde r, s son las raíces de dicha ecuación de
ax2 + bx + c = 0 sea el doble de la otra, los
segundo grado. Dar como respuesta la suma de las
coeficientes deben estar relacionados como sigue:
cifras de p.
A) 4b2 = 9c
D) 2b2 = 9ac
B) b2 – 8ac = 0
E) 2b2 = 9a
A) 6
B) 5
C) 1
D) 4
E) 2
C) 9b2 – 2ac = 0 17. Halle el menor valor entero positivo del parámetro “n” para que la ecuación cuadrática en “x”: 2
x +
25. ¿Para cuántos valores naturales de a, la ecuación de segundo grado, (a – 3) x2 + 3 x + 2 = 0 , t i e n e
n x + 1 = 0, presente raíces reales.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
soluciones reales?
E) Más de 6
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
18. Formar la ecuación cuyas raíces son las inversas 26. Encontrar el valor de “p” si una raíz es el doble de la
multiplicativas de las raíces de la ecuación:
otra en la ecuación:
2x2 – 3x – 1 = 0 A) 2x2 + 3x – 2 = 0
D) x2 + 3x – 2 = 0
B) x2 – 3x – 2 = 0
E) N.A.
A) 2
B) 4
x2 + 6x + p = 0 C) 6
D) 8
E) N.A.
27. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación:
2
C) 2x – 3x + 1 = 0
Ecuac. 2do. Grado II - 3 -
x2 – (m – 1)x + m + 1 = 0 1
Calcular el valor de “m” si: A) 3
B) 4
x1
C) 5
1
+
r –2 + s –2 = –14 –1 =
x2
D) 6
en la siguiente ecuación:
2
2
x – tx – x + 28 = 0.
3
A) t = 1 ∨ t = –3
D) t = –2 ∨t = 1
B) t = 1
E) t = –2
E) 7
r, s: raíces de la ecuación.
C) t = –1 36. Si la ecuación: Kx2 + (2K + 1) x + K = 0, tiene raíces
28. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces
iguales, hallar el producto de las raíces de l a siguiente
sean “n” veces las raíces de la ecuación:
ecuación: (4K + 3) y2 + 3Ky – 4K2 + 9 = 0
ax2 – bx + c = 0
A) 35/8
Indicar su término independiente. A) a
B) an
C) nb
B) 35/4
C) –35/8
D) –35/4 E) N.A.
E) n 2c
D) nc
37. Hallar “m” en la ecuación: x 2 + (2m + 5) x + m = 0, sabiendo que una raíz excede a la otra en 3 unidades.
29. Si una de las raíces de la ecuación es (–6), hallar la otra:
A) 2
x2 + (a + 3)x + a + 2 = 0
B) –2
C) 4
D) 1
E) –1
Calcular la otra raíz. A) 4
B) 2
C) –1
D) –3
38. Si p y q son raíces de la ecuación:
E) N.A.
x (x + 2b) = –2c , hallar p –2 + q –2 A) (b2 – c2) c –2
D) (b2 – c) c –2
x2 – (3n – 2)x + n 2 = 1
B) (b2 – c2) c –1
E) (b – c2) c –1
son números enteros y una de ellas es el triple de la
C) (b – c2) c –2
30. Sabiendo que las raíces de la ecuación:
otra, éstas son: A) 1 y 3
C) 3 y 9
B) 2 y 6
39. Si r y s son raíces de la ecuación:
E) 5 y 15
x2 – 3ax + a2 = 0,
D) 4 y 12
31. Hallar el cubo de la suma de las raíces de una ecuación de segundo grado en la que sus tres coeficientes son iguales. A) 2
B) –1
C) 1
D) 3
hallar: r 3 – s3 , si r 3 – s2 > 0
A) 8 3 a2
C) 8 3 a3
B) 8 5 a2
D) 8 2 a3
E) 8 5 a3
40. La ecuación x2 + bx + c = 0 tiene raíces r y s. Una
E) –2
ecuación que tiene raíces 1/r 2 y 1/s2 es: A) c2 x2 + (2c – b2) x + 1 = 0
32. Las ecuaciones: x2 + ax + b = 0
B) c x2 + (2c – b2) x + 1 = 0
x2 + cx + d = 0, a ≠ c, b ≠ d
C) c2 x2 + (2c2 – b) x + 1 = 0
tiene raíz común. El valor de esta es: A) (b – d) / (a – c)
D) ac/bd
B) (d – b) / (a – c)
E) N.A.
D) c2 x2 + (2c2 – b) x – 1 = 0 E) c2 x2 + (2c – b2) x – 1 = 0
C) bd/ac 33. Calcular n–m, sabiendo que las siguientes ecuaciones tienen las mismas raíces: (m – 2) x2 – (m + 2) x – (n3 + 6) = 0 (m – 1) x2 – (m2 + 1) x – (4n 3 – 4) = 0 Nota: Considerar el mayor valor posible para m. A) –1
B) 1
34. En la ecuación: x 2 –
C) 2
D) 3
E) 5
3 x + q = 0, uno de los valores
de q que permite que la suma de los cuadrados de las inversas de sus raíces sea 1 es: A) –5
B) –3
C) 0
D) 3
E) 5
35. Calcular el valor de “t” para que se cumpla que: Ecuac. 2do. Grado II - 4 -
