Preguntas propuestas
7
2015
• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales
Álgebra Matrices
5.
NIVEL BÁSICO
1.
a = 0
2 y B = b c b
c
b
1 Si se cumple que A+B=I , donde I = 0
B) – 1/2
6.
C) 0 E) 1
−1 A = , 3 1
B
= c
a
5
B) 1/2
−3
y 2
B) 4
C) 2 E) 6
Dada la matriz
α cos α
sen
0
0 1 0
A) sen(2a) B) 2cosa+1 C) 1 D) 0 E) 3
1
tal que AB=BA. Calcule el valor de (a+c). A) 1/4 D) 2
3 y
calcule la traza de matriz BBT .
Sean las matrices
2
y 2
cos α B = sen α 0
UNI 2000 - II
2.
x + y x 2 + z
A) 0 D) 3
, 1 0
halle el valor de a+b+2c. A) – 1 D) 1/2
Si la matriz A es simétrica, entonces calcule el valor de x2+ y2+ z2.
x 3 A = −3 5
Sean las matrices A
NIVELES
P RÁCTICA POR
C) 1 E) 3
NIVEL INTERMEDIO UNI 2004 - I
3.
Halle el valor de x+y+z si se sabe que las ma-
7.
trices A y B son iguales.
(0, 2) x −1 A = 1 z 2 A) log y1 D) 3
4.
Sea
A
33 x + 2 y ; 4
B=
B) 1
25 ( y − 1)
3 i si i = j a ij = i + j si i ≠ j
27 4
suma de los elementos de X+Y . A) – 2 D) 4
B) 1
7
si
i = j
0
si
i ≠ j
Halle la traza de la matriz A+B. A) 11 D) 9 8.
trices X e Y , de modo que A=aX+bY , halle la 2
1
b ij =
C) 2 E) 4
a b = una matriz. Si existen ma − b − b
Sean A=(a ij )2×2 y B=( b ij )2×2 dos matrices, de modo que
B) 12
x y
Si la matriz A =
C) 10 E) 8
x
es idempotente, ¿cuál es
y
el valor de x+y? Considere x ≠ y.
A) 0 B) 1 C) – 1 C) 2 D) 3 E) 2 E) 0 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 2
Álgebra
Academia CÉSAR VALLEJO
9.
Si la matriz M cumple lo siguiente
5 3
2 M = 1 3 4
NIVEL AVANZADO
1 0
13.
determine la suma de sus elementos. A) 2/3 D) 0 10.
B) 1/3
C) 1 E) 2
A)
n−1
D) 9 E) 14.
⋅ A
2
9
⋅ I
Sea Y un número real no nulo. Calcule el valor de ( E+L) – (T+U ) si E , L, T y U satisfacen el siguiente producto de matrices.
Y 0 E T U T
B) 1
Si se cumple que
n 16 = 0 k 1
; tal que n, k ∈ Z+, 16 32
determine el valor de A) 3/2 D) 1/3
, determine la matriz 0
1
16.
B)
1 0
0 0
C)
1
1 0
1
1 0
1
0
E)
0
3
C) 2 E) 4 UNI 2005 - II
n k
.
B) 1/2
Dada la matriz J =
0 −1
C) 2 E) 1
, determine el valor 0
1
de T . T=J+J 2+ J 3+...+ J 2012
A) I D) 2010 J Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 D)
Y 0 = U E L
L
A) 0 D) 3
k 0
A2010.
0
2 n−1
−1 Dada la matriz A = −1
0 1
⋅ A
n+1
A) FFFF B) FVVF C) FFVV D) FFVF E) VFVF
0 0 0 0
2
C) 9
Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. ( AB)2= A2 B2 II. ( A+B)2= A2+2 AB+B2 III. Si AB=BA, entonces A y B son matrices conmutables. IV. Si AB=A, entonces B=I ∨ A=0.
A)
9 2 ⋅ I
B) 9 n · A
15.
12.
Sea la matriz A=(a ij )2×2, donde la traza de A es igual a cero y la suma de los elementos de la diagonal secundaria también es igual a cero; además, a11=5 y a21= – 4. Calcule el equivalente de A n; n ∈ N y n es impar. n
Sean A y B dos matrices de orden 2×2. Señale la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. Si A2=0 → A=0 II. Si AB=0 → A=0 o B=0 III. ( A+B)( A – B)= A2 – B2 A) VVV B) VVF C) FFV D) FFF E) FVV
11.
Material Didáctico N. o 7
B) J
8
C) 0 E) I+J
Anual UNI 17.
Álgebra
Sea
18.
a 0 b a; b; c ⊂ N M = 0 c 0 } { a 0 b Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones. I. Si A, B ∈ M → AB ∈ M II. Si A ∈ M → – A ∈ M III. Si A, B ∈ M → ( A+B) ∈ M A) VVV D) VFF
Álgebra
B) FVF
C) FFF E) VFV
9
Si ( x1; x2; ...; x20) es una 20-upla de números reales. Sea la ecuación ( x1 – x2)2+( x2 – x3)2+( x3 – x4)2+...+( x19 – x20)2+ +( x20 – x1)2=1 El número de 20-uplas de números enteros ( x1; x2; ...; x20) que son soluciones de la ecuación anterior es igual a A) 0 D) 20
B) 1
C) 19 E) ∞ UNI 2006 - I
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 4
Álgebra PRÁCTICA POR NIVELES Determinantes y matriz inversa 5.
NIVEL BÁSICO
1.
Si
a
b
c
d
=
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto de las siguientes igualdades.
2; I.
halle el valor de
A) – 2 D) 1
2+ a
b
2+ c
d
+
2
B) – 1
1 d 1 b
.
C) 0 E) 2
II.
3
7
10
5
1
4
3
8
1
4
7
8
0
8
9
0
0
6
5
1
4
3
8
1
3
7
10
8
0
0
10
6
0
20
5
4
a
b
c
d
=
=
UNI 2000 - I 2.
Calcule el determinante de A si se cumple lo siguiente
2 A 2 + 1 1 3
−1
2
0
2 = 3 1 5
III.
1 1
B) 2
3.
2 D) 3 2
{ }
1 1 A) ; 3 2
B) {2; – 2}
3 2
;
1
4 2
2
1
3 B) 2 1
2 2 5
5 2
1
1 C) 3 2
2
5 E) 2 2
2 1
NIVEL INTERMEDIO
2
3
7.
2
1 i Sea A = ; i i −1
Si se sabe que
3 ( −1 1
E) {3; – 3}
4.
C) FVV E) VVV
Si | A| ≠ 0, tal que
3 A) 2 5 2
x − 1 2
{ } D) { − }
6
entonces determine AT .
sea singular.
C) 2;
=
B) VVF
3 5
E) 1/2
x + 1 = 4
2 d
A = A
Determine los valores de x para que la matriz A
2c
C) 1
D) 0
3 b
A) VFV D) VFF 6.
A) 2
3a
2010 = 2009
2)
m 2008 p 2009
determine el valor de mn – pq. =
1. Calcule det( P( A))
−
A) 2010 si se sabe que P( x)=1+ x+x + x +... B) 0 C) 1 A) 1 B) 0 C) – 1 D) 2009 D) 4 E) 5 E) 7 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 2
13
3
5
n
q
5 2 3
Álgebra
Academia CÉSAR VALLEJO
8.
Si A y B son matrices 3×3 y r ≠ 0 un número real, indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. det( AB)=det( A)det( B) II. det( A+B)=det( A)+det( B) III. det( rA)= r det( A) A) VVV D) VFF
B) VVF
Material Didáctico N.o 7
12.
inversa de la siguiente matriz. A
II.
a + x b c+ y 1
1
1
2
3
4
2
III.
d
=
2
4
C) n D) 2 n E) A no tiene inversa
(4
+
−
NIVEL AVANZADO
x b y d
2) ( 4
−
13.
3) ( 3
−
2)
3
18
7
12
30
9
20
24
5
16
=
0
B) FFV
C) VVV E) VFV
Si A=[a ij ]11, tal que A+ A t=0; calcule el valor de T . T =traz( A)+| A t| B) – 2
w w
2
1
w
1
si w = cos
A) w2 D) 1
2
w
2π 3
+
14.
B – 1= P – 1 A – 1 P
B) B3= PA3 P – 1
∧
B – 1= P – 1 A – 1 P
C) B3= PA3 P – 1
∧
B – 1= P – 1 A – 1 P
D) B3= PA3 P – 1
∧
B – 1= P – 1 A P ∧
B – 1= P – 1 A – 1 P
Respecto al polinomio
2 3
C) 1 E) 0
2π 3
B) wi
∧
P( x)=det( xI – A), tal que A =
i sen
A) B3= P – 1 A3 P
E) B3=( P – 1)3 AP3
Halle el determinante de
1 A = w w2
Sean A, B y P tres matrices cuadradas del mismo orden, de modo que B=P – 1 AP. Indique la proposición verdadera.
2
2
A) 2 D) – 1 11.
c d
=
A) FVF D) VVF 10.
a b
n − 1 n
B) 1
C) FVV E) FFF
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto de las siguientes igualdades. I.
n + 1 = n
A) 0
UNI 2008 - II
9.
Determine la suma de los elementos de la
C) 0 E) – w
, 4 1
indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. La suma de raíces de P( x) es igual a la traza de A. II. El producto de raíces P( x) es igual al determinante de A. III. P( x)= x2 – 6 x+5 A) FFF B) FFV C) VVF D) VVV E) VFV
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 14 6
Álgebra
Anual UNI
15.
3 Con las matrices A = 0
y 1
0
A) det( A)=a3 x3+a2 x2+a1 x+a0
−1 1 B = 6 − 5
B) det( A)= x3+a1 x2+a2 x+a3 C) det( A)=( x – a1)( x – a2)( x – a3)
se forma la matriz P= ABA – 1. Halle la matriz P
D)
16.
.
E) det( A)=a0 x3+a1 x2+a2 x+a3
5 3
2
5 2
3
1
B)
5 3
1
2
1
C)
E)
5 2
3
5 1
3
1
2
Sea la matriz
0 −α M = ; α ≠ 0. α 0 Calcule el valor de | M 2013|. A) – a D) a2013 17.
D) det( A)=( x+a1)( x+a2)( x+a3)
–1
A)
Álgebra
B) – a2307
C) – a4026 E) a4026
Halle el determinante de la siguiente matriz.
a0 a1 a2 −1 x 0 A = 0 −1 x 0 0 −1
a3 0 0
x
18.
Resuelva la ecuación 1 x1
x2
x3
1 x
x2
x3
1 x1
x
x3
1 x1
x2
x
=
0 ; x1 ≠ x2
≠
x3
de incógnita x. Luego indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. Presenta 3 soluciones. II. La suma de las soluciones es igual a x1+ x2+ x3. III. El producto de soluciones es igual a x1 x2 x3. A) VVV B) FFF C) VFV D) FFV E) VVF
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 15 7
Álgebra
P RÁCTICA POR
NIVELES
Sistema de ecuaciones lineales y no lineales A) 2 D) 5
NIVEL BÁSICO
1.
5.
Dado el sistema lineal
3 x + 2 y = a + 2 3 x − 3 y = 2a − 1 calcule el valor de a que permita x=2 y. A) 13 D) 1/5 2.
B) 14/13
6.
Dado el sistema de ecuaciones
A) 47 D) 4
C) VVV E) VVF
B) 34
7.
Resuelva el sistema
2 3
x − 2 = 4 y − 2 2
e indique la suma de componentes de la solución. A) 3 D) 1
A) k ≠ – 2; k ≠ 3 B) k ≠ – 2; k ≠ 2 C) k ≠ – 3; k ≠ 3 D) k ≠ – 3; k ≠ 2 E) k ≠ – 2; k ≠ – 3
8.
UNI 2000 - I
Halle el valor de m+n para que el sistema de ecuaciones
19
C) 11 E) 74
NIVEL INTERMEDIO
¿Para qué valores de k el sistema de ecuaciones x+ky=3 kx+4 y=6 tiene solución única?
( m + n) x + ( m + 7) y = 2 m + 8 nx + 6 y = 9 sea indeterminado.
C) 8 E) 2
determine el valor de m, de modo que y sea menor que x en 7 unidades.
5 x + 2 y = 1 III. El sistema es incompatible. 5 x + 2 y = 2
4.
B) 5
5 x − 2 y = m x + 9 y = m
36 x + 24 y = 30 II. El sistema 6 x + 4 y = 5 es compatible indeterminado.
3.
Determine el valor de k para que el sistema de ecuaciones
A) 7 D) 4
2 x + 7 y = 124 I. El sistema 48 x − 14 y = 361 es compatible determinado.
B) VFV
C) 3 E) 8
( k + 1) x + 9 y = 15 ( k − 1) x + ( k + 1) y = 10 no admita soluciones.
C) 5/11 E) 1/11
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).
A) FVF D) FFF
B) 10
B) 2
C) – 1 E) 0
Luego de resolver el sistema
1 0 0
1 2 0
x 6 3 y = 8 1 z 2 4
determine el producto de las componentes de la terna solución. A) 6 D) – 6
B) 12
C) 24 E) 8
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 8
Álgebra
Academia CÉSAR VALLEJO
9.
Luego de resolver el sistema
NIVEL AVANZADO
x − 2 y + z + 3 w = 18 y + 3 z − w = 10 5 z + 3 w = 43 5 w = 30
13.
se obtiene como conjunto solución CS={( x1, x2, x3, x4)} Halle el valor de x1+ x2+ x3+ x4. A) 9 D) 6
B) 8
C) 12 E) 10
b
3
d
1
b
1
d
a m ∧
y =
c n a 2 c
1
Calcule x+y. A) 4 D) 1
cuya solución es (3; – 1). Calcule el valor de 3a – b.
14.
15.
6 x − ay = y 2 x + 3 y = ax tenga infinitas soluciones A) 1 D) 2
B) – 1
C) 0 E) – 2
1
a+2
B)
a +1 a+2
D) a+2
2 x − 6 y = 5 6 x − 18 y = 15
16.
se obtiene como conjunto solución
t ∈ R
2
C) 1/2 E) – 1
C) E)
( a + 1)2
a+2 a+2 a +1
Halle la suma de todos los valores reales que puede tomar λ en la siguiente expresión.
1 2
2 t − 5 2a
B) – 1/2
Dado el sistema lineal de incónitas x, y, z ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a2 Determine el valor de z si a ≠ 1 ∧ a ≠ – 2. A)
Al resolver el sistema
C) 2 E) 0
Determine el valor de p, de manera que al resolver el sistema lineal
A) 2 D) – 2
Determine la suma de todos los valores reales de a, de modo que el sistema homogéneo
CS = t;
B) 3
(3 p + 1) x + (3 p − 1) y = 2 ( p + 6 ) x + ( p + 3) y = 11 se cumple que x+y=1.
A) – 23/14 B) – 23/7 C) 11 D) 31/7 E) 1
12.
5
Sea da el sistema de ecuaciones
( a + b) x + ( a − b) y = 10 (2a − b) x + (2a + 3 b) y = 12
11.
Al resolver el sistema ax + by = m cx + dy = m por la regla de Cramer, se obtiene que
x =
10.
Material Didáctico N. o 7
x1 x1 = λ x 1 x2 2 2
donde x1 ≠ 0 y x2 ≠ 0.
Halle el valor de a +a+1. A) – 1 D) 2
B) 0
A) 17 B) 18 C) 10 D) 20 E) 13 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 9
C) 1 E) 3 UNI 2012 - I
20
Anual UNI 17.
Álgebra
Resuelva el sistema no lineal
18.
x + y + z = 2 2 2 xy − z = 4 Determine el valor de x2+ y2+ z2, donde { x; y; z} ⊂ R. A) 3 B) 12 C) 27 D) 64 E) 14
Álgebra Determine el número de pares ordenados ( x0; y0) ∈ R×R que verifican el siguiente sistema de ecuaciones.
x 2 + y 2 − 8 x − 2 y = −8 y + x − 4 = 4 2 3 y + ( x − 4) = 12 A) 0 D) 3
21
B) 1
C) 2 E) 4
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 10
Álgebra PRÁCTICA POR NIVELES Programación lineal 2.
NIVEL BÁSICO
1.
Resuelva el sistema de inecuaciones lineales
2 y + x ≤ 6 x + y ≤ 4 x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
Determine la región factible del siguiente problema de programación lineal. Mín. f ( x; y)=7 x+ y sujeto a las restricciones.
y − 4 x ≤ 0 y + x ≥ 10 4 y ≥ x x ≥ 0; y ≥ 0
luego indique la región que forma su C.S. A)
A)
Y
(0; 3) (2; 2)
(4; 0)
X
B)
Y
B) 8 (0; 3) 2 2
(4; 0)
C) C)
8
X
Y
(0; 3)
(4; 0) X
D)
D)
Y
(0; 3) 4
(3; 2)
1
(4; 0)
1
E)
E)
(0; 3)
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 11
X
Y
(4; 0)
25
4
X
Academia CÉSAR VALLEJO
3.
Álgebra
Material Didáctico N.o 7
Determine el sistema de inecuaciones lineales que presenta la siguiente región sombreada admisible de un programa lineal.
D) el valor óptimo es 15. E) (5; 5) es el punto óptimo. 5.
(0; 5)
(6; 5)
Sea f : R2 → R una función definida por f ( x; y)= – 3 x+ y. Determine el punto de la región convexa mostrada en la figura, donde f alcanza su mínimo. Y
(0; 2) 4
(2; 0)
(6; 0)
x ≤ 6 y ≤ 5 B) x + y ≥ 2 x ≥ 0; y ≥ 0
x ≤ 6 A) y ≤ 6 x ≥ 0; y ≥ 0
0
1
A) (2; 3) D) (6; 4)
x ≤ 6 y ≤ 5 C) x + y ≤ 2 x ≥ 0; y ≥ 0
6
B) (2; 0)
X
C) (0; 3) E) (4; 6) UNI 2008 - II
6.
x ≤ 5 y ≤ 6 E) x + y ≥ 2 x ≥ 0; y ≥ 0
x ≤ 6 y ≤ 5 D) x + y ≥ 4 x ≥ 0; y ≥ 0 4.
3
Calcule el área de la región que se forma al determinar todos los ( x; y) que cumplen las siguientes restricciones.
x + y ≤ 4 2 x + y ≤ 6 x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
Se da la función f ( x; y)= 6 x – 3 y sujeta a la región factible
A) 4 u 2 D) 7 u2
B) 5 u2
C) 6 u2 E) 8 u2
(6; 11)
Y
NIVEL INTERMEDIO
(8; 10) (4; 7)
7.
(6; 6) (5; 5) X
Respecto de la función objetivo Mín. f ( x; y) podemos afirmar que A) tiene una solución. B) no tiene solución. C) tiene infinitas soluciones.
Halle los puntos extremos del siguiente problema Máx. f ( x; y)= x+ y sujeto a
3 y ≤ − 4 x + 41 y ≤ − x + 12 x ≥ 2; y ≥ 3
A) (2; 3), (2; 10), (6; 7), (8; 3) B) (2; 3), (5; 7), (8; 3) C) (3; 2), (10; 2), (7; 5), (3; 8) D) (2; 3), (2; 10), (5; 7), (8; 3) E) (1; 3), (1; 10), (5; 7), (8; 3) Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 26 12
Álgebra
Anual UNI 8.
Identifique la gráfica de las restricciones
A) VVV B) VVF C) FVV D) VFV E) FFF
x + 3 y ≥ 6 x + y ≥ 4 − 2 y ≤ 5 x + 4 x ≥ 0; y ≥ 0 10.
A)
B) 4
4
2
2 4
6
4
4
A) solo I B) solo II C) I y II D) II y III E) todas
2 6
D)
E) 11. 4
4
2
2 4
9.
Se da el siguiente conjunto de restricciones de un problema de programación lineal en dos variables y ≥ x + 4 y ≤ − x + 8 0 ≤ x ≤ 6; y ≥ 0 Indique cuáles son las proposiciones falsas. I. Existen 10 puntos factibles de componentes enteros. II. (6; 2) no es punto factible. III. (3; 8) es un punto factible.
6
C)
4
Álgebra
6
4
6
Resuelva el sistema en Z×Z
y + 2 x ≤ 6 2 y + x ≤ 6 x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 Luego indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).
Una empresa con sede en Lima fabrica diversos modelos de radiotransistores. Todos los componentes de estos radios se fabrican en Lima, excepto los transistores que son importantes. Existen 1000 transistores del tipo T 1 y 1200 del tipo T 2. Cada modelo de radio R – A requiere un transistor T 1 y 4 transistores T 2; los modelos R – B requieren 2 transistores de T 1 y uno de T 2. Si se sabe que los beneficios o utilidades de cada radio son 50 y 30 dólares por R – A y R – B, respectivamente, halle la cantidad de unidades a fabricar de cada modelo para que las utilidades totales sean máximas.
I. El cardinal del CS es 11. A) 200 A y 400 B II. La mayor suma de x+y ocurre en el punto B) 100 A y 500 B más alejado del eje X y del eje Y . C) 500 A y 400 B III. Si x > 0 ∧ y >0, entonces el cardinal de CS D) 200 A y 300 B E) 300 A y 400 B es 4. Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 27 13
Academia CÉSAR VALLEJO
12.
Álgebra
Wilson Cachay se dedica a la compra y venta de papaya y naranja. Todas las mañanas visita a su proveedor de frutas en el mercado mayorista Túpac Amaru II y hace las compras del día. El día anterior recibe los pedidos de sus clientes y estos suman 600 kilos de papaya y 1200 kilos de naranja. Wilson transporta las frutas en su camioneta que tiene capacidad de cargo de 1600 kg. Si compra el kg de papaya a S/.1,30 y lo vende a S/.1,60 y el kg de naranja lo compra a S/.1,00 y lo vende a S/.1,20, determine cuántos kilos de cada fruta debe comprar para maximizar sus ganancias.
Material Didáctico N.o 7
14.
A) solo 1200 kilos de naranja B) 600 kilos de papaya y 1000 kilos de naranja C) solo 1600 kilos de papaya D) 400 kilos de papaya y 1200 kilos de naranja E) 1000 kilos de papaya y 400 kilos de naranja
A) 6 millones de soles en acciones tipo A y 4 millones en acciones de tipo B. B) 2 millones de soles en acciones tipo A y 2 millones en acciones tipo B. C) 5 millones de soles en acciones tipo A y 5 millones en acciones tipo B. D) 3 millones de soles en acciones tipo A y 7 millones en acciones tipo B. E) 1 millón de soles en acciones tipo A y 9 millones en acciones tipo B.
NIVEL AVANZADO
13.
Una estación de TV afronta el siguiente problema: se ha comprobado que el programa A con 20 minutos de música y 2 minutos de comerciales interesa a 30 000 televidentes, mientras que el programa B con 10 minutos de música y 1 minuto de comerciales interesa a 10 000 televidentes. El auspiciador de los programas insistió en que por lo menos se dediquen 6 minutos de propaganda por semana, mientras que la estación de TV no puede dedicar más de 80 minutos semanales para música. ¿Cuántas veces por semana deberá ser presentado cada programa a fin de lograr el mayor número de televidentes? A) 3 A; 2 B B) 4 A; 0 B C) 2 A; 3 B D) 5 A; 1 B E) 5 A, 3 B
La doctora Sara Díaz ganó 10 millones de soles en una lotería y le aconsejan que lo invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo, pero producen un beneficio anual del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen como beneficio solo el 7 % anual. Después de varias deliberaciones, decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir los 10 millones para que el beneficio anual de Sara sea el máximo posible?
15.
En relación a un programa lineal, indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de decisión deben ser positivas. II. El número de puntos extremos de la región admisible es finito. III. En un programa lineal, pueden variarse los coeficientes de la función objetiva y aún mantenerse la solución óptima. A) VFV B) FFF C) FFV D) FVV E) VFF UNI 2010 - I
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Álgebra
Anual UNI 16.
Se tiene la siguiente representación de un conjunto de restricciones de un problema de programación lineal.
I. (a; b) es solución del nuevo problema. II. No existe solución para el nuevo problema. III. El nuevo problema tiene infinitas soluciones.
Y
A) solo I D) solo II
16
18.
5
3
4
B) VVF
B) I y III
C) solo III E) I, II y III
La región admisible S y el crecimiento de la función objetivo del problema, maximizar f ( x, y) s.a. ( x, y) ∈ S se muestra en la siguiente figura:
10
Dado z= y – x+14, indique la secuencia correcta luego de determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones. I. Máx( z)=30 II. Mín( z)=11 III. La función z no tiene máximo ni mínimo. A) VVV D) VFV
17.
6
Álgebra
2 y − x ≥ 8 5 y + 3 x ≤ 75 x; y ≥ 0 si se añade la restricción 5 y+x ≤ 40, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son correctas?
3 2 1 –1
C) FFV E) FVV
Se sabe que (a; b) es solución del problema de Máx f ( x; y)=2 x+10 y
(3; 4)
4
crecimiento
2
3 4
8
–2
Si ( x; y) es la solución del problema, determine f ( x, y).
A) D)
10 3
25 3
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B)
14 3
C) E)
20 3 28 3 UNI 2013 - I
Anual UNI
MATRICES
DETERMINANTES Y MATRIZ
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y
INVERSA
NO LINEALES
PROGRAMACIÓN LINEAL