Matemática I Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira Função Exponencial – Exercícios Iniciais – Data: 25/4/2017 - GABARITO 1. Simplifique as potências. 1
3 2 125 125 16 2 343 343 3 2
a)
1
2 3 3 23 3 4 27 27 .16 16 4
1
b)
Solução. Escreve-se na forma de potências e aplicam-se as propriedades. 1
1
1 1 1 3 2 3 2 2 4 5 2 2 3 2 3 2 3 2 a) 125 5 2 7 5 2 7 343 125 16 343 2
1
1
25 4 7
36
6.
2 3 3 2 2 3 3 23 3 3 4 4 3 3 4 27 27 3 .16 4 16 4 3 3 . 2 2 4 32 32 .23 2 3 b) . 1 1 80 63 9 . 8 . 70 9 8 9 8
.ab a b.a b .a b 2
2. Simplifique a expressão
1
ab . a b 2
2
4
1 2
1 3
2
1
e calcule o seu valor para a = 10 -3 e b = – = – 10 10-2.
Solução. Aplicando as propriedades das potências e agrupando as bases iguais, temos: ab
2
a
.ab b.a b .a b 1
.a b
2
2
4
2
1
3
1
2
a.a
a
1
10 . 1 .10 12
5
4
2
2
.a .b 6
8
.b .b
1
.a .a .b.b
10
2
2
1 . 10
3
2
1
a .b
.b
3
a .b
4
1
1
4
a .b .a
3
1
.b
a
4
.b
5
10 . 3
4
10
2
5
10 100 0
. 3. Utilize as propriedades de potências e radicais e encontre o valor de x em cada caso.
1 81 3 x
2
x
a)
64
b)
c) 3
x
x 1
d) 2
729 729
2 x 1
.4
3 x 1
8
x 1
Solução. Usam-se as propriedades de potências procurando igualar as bases. a)
2
b)
1 4 4 1 81 3 3 3 3 x 4 x 4 . 3
c)
3
d)
2 2 x1.43 x1
x
1/ 2
64 2
x
2
6
2
x
/2
2
6
x
6
x 12
2
.
x
x
x
x
1
729 3 729
x
x 1
8
2
x
x
x 3 36 x 2 x 6 0 ( x 3)( x 2) 0 . x 2
2 2 x1.2 2
3 x 1
2 3
x 1
2 x 1 6 x 2 3 x 3 x
6 5
.
4) Marque um “x” nas funções que representam exponenciais.
( ) f ( x)
2
x
( ) f ( x)
2
Avenida Alberto Torres, 821, 2° e 3° andares, Alto –Teresópolis
(0xx21) 2642-62246
5
.x
5
( X )
2 f ( x) 5
2 x
( X ) f (v)
5
v
( X )
f (w)
8
w
1
Matemática I Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira 5) Considere as funções de IR em IR dadas por: a) f(-3)
b) h(3) + g(-1)
f ( x)
2.3 x ; g ( x) 5 x
c) 2.f(0) – 3.g(0)
2 e h( x)
5 x 2 . Calcule:
d) x tal que f(x) = 18
e) x tal que h(x) = 1
Solução. Substituindo os valores nas funções e realizando as operações, temos: a) f ( 3)
2.3
3
2
27
b) h(3) g (1)
.
3.5
53
2. f (0) 3.g (0) 2. 2.30
d)
f ( x) 2.3 x 2.3 x 18 3 x 9 3 x 32 x 2 . f ( x) 18
e)
h( x) 5 x2 5 x2 1 5 x2 50 x 2 0 x 2 . h( x) 1
2
2
5
1
2 5
1 5
2
c)
x
25 1 10 5
16 5
.
2.2 3. 1 4 3 7 .
c)
0
6) Resolva as equações exponenciais. x 1
x
a) 2
2
x1
2
x 2
2
2
x 3
1 25
3 x1
120
b) 5
2 x3 2
x
.3
2 x.3
x 1
a) Desmembrando os expoentes em produtos de mesma base, temos:
2
x
1
2 2 x
x
1
2
x
2
2
x
3
120 2 .2 1 2 2 .2 2 .2 2 2 .23 120 x
x
x
x
1 2 (2 1 1 2 4 8) 120 2 . 7 120 2 2 2 16 2 2 4 x 4 x
x
x
b) 5
c)
x
15 2 120 2 120. . S = {4}. 2 15
.
x
x
1 25
3 x 1
2
x
x
2 x 3
.3 2 x.3 x
x
1
2 x 3
53 x1 52
53 x1 54 x6 3 x 1 4 x 6 x
5 7
.S=
5 7
x 0 x 2 .3 2 x.3 .3 (3 0) x 2 6 x 0 x( x 6) 0 . S = {0, 6} x 6 x
x
x
7) Resolver as inequações exponenciais (em ):
1 243 9 x
x
a) 2
32
b)
c)
( 2)
x
1 3
t
d) 3 9
16
2 / t
Solução. Aplicando as propriedades das potências e utilizando alguns artifícios algébricos, temos: x
a) 2
32 2 x
25
(base 1) x 5 .
x
1 5 5 5 2 x 2 x b) 243 3 3 3 3 (base 1) 2 x 5 2 x 5 x . 2 9 c) ( 2 ) x
t
d) 3
9
2 / t
1 3
16
21/ 2
1
x
t
3
3
2 2 / t
3
2
4
2 x / 2 2 4 / 3 (base 1)
t
3 3
4 / t
Analisando os intervalos, temos:
Avenida Alberto Torres, 821, 2° e 3° andares, Alto –Teresópolis
(0xx21) 2642-62246
(base 1) t
4 t
x
2
4 8 x .
t
3
4 t
3
2
0
t 4 t
0.
, 2 0, 2 . 2
Matemática I Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira 8) (UFMT) A figura mostra um esboço do gráfico da função real de variável real reais, a > 0 e a ≠ 1. Calcule a
3
f ( x) a x
b , com a e b
3
b .
Solução. Observando os pontos marcados no gráfico, temos: (0, 2) e (1, 4). i)
f (0) 2 1 b 2 b 1 . 0 f ( 0 ) a b f (1) 4
ii)
1 f (1) a 1
a 1 4 a 3 . O valor pedido é
a
3
b
3
3
3
3
1
27 1 28 .
9) Se f(t) = 10.2 t é uma função que avalia a evolução de uma cultura de bactérias, em t horas, ao cabo de quantas horas teremos f(t) = 5120? Solução. O exercício resume-se em igualar as informações e resolver a equação exponencial.
f (t ) 5120 10.2t 5120 2t 512 2t 29 t 9 . Ao fim de 9 horas. t f (t ) 10.2
Avenida Alberto Torres, 821, 2° e 3° andares, Alto –Teresópolis
(0xx21) 2642-62246
3
