FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA
Como en el caso real, la función exponencial puede ser definida como una función holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras. Algunas de ellas son simples extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente, la forma más usual de definirla para el dominio de los números complejos es mediante la serie de potencias, donde el valor real x se se sustituye por la variable compleja z:
Para valores imaginarios puros se cumple la identidad , En el que un caso particular es la identidad de Euler, Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo.
Usando la identidad anterior, donde ahora z= x +y i, i, con x e e y números números reales, se obtiene una definición equivalente a la primera,
relación que demuestra que esta función, además de ser holomorfa, es periódica, con un periodo para la parte imaginaria de
.
Para poder trabajar la función exponencial, tenemos que recordarla. En los reales nosotros la función vamos a trabajar usando su serie de Tylor.
∑
∑
∑
Ahora evaluaremos:
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Ahora debemos definirla como una función: f= z w = f(z) = Si, nosotros hacemos: z = x + iy
[ ] = EJEMPLO: 1) Encontrar todas las z, tales que:
= 1 + 2i Z = 1 + 2i , podemos decir que
cosy + i seny = 1 + 2i . Para que dos complejos sean iguales, debemos decir que la parte real debe ser igual a la otra real, lo mismo con la imaginaria.
cosy = 1 seny = 2
(I) (II)
Lo que vamos a hacer primero, es eliminar el coseno y seno de y, para ello debemos elevar al cuadrado las dos ecuaciones.
=1
=4
+ [ + ] = 5
=5
=5
X = ln (5) Ahora para encontrar y, debe salir de esas dos ecuaciones. Dividimos las ecuaciones. (II I)
tany = 2
-> y = (2)
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
2) Hallar en C las soluciones soluciones de la ecuación ecuación z4 + 16 = 0. Solución: En primer lugar, podemos expresar la ecuación en la forma: 4
z = -16
con lo que la solución son las cuatro raíces cuartas del número complejo -16 + 0 i. Representamos gráficamente este complejo, y podemos observar que su módulo y argumento son: r = 16
q=p por lo tanto el número complejo -16+0 i puede ser expresado como soluciones son sus raíces cuartas:
. Entonces las
3) Hallar en C los valores valores de a que verifican la relación cosa = 3. Solución: Tomamos la relación que en 2.10 hemos obtenido para el coseno:
la igualamos al número 3, y resolvemos la ecuación en a:
multiplicamos por
:
que es una ecuación de segundo grado, haciendo
= t:
t ² - 6 t + 1 = 0
cuyas soluciones son:
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO
Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º. Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que n
n
Ra = (R' a' ) = ((R' ) )n
Esto equivale a que
a'
= R, o lo que es lo mismo, que
, y que
Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se se le suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los los valores 1, 2, 3, ..., n - 1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = = 0 da un total de n raíces.
La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la n raíz enésima del módulo.
Su argumento es:
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
E j em e m p lo lo :
1-
Titles you can't find anywhere else
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
2-Calcular todas las raíces de l a ecuación:
