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FUNCION EXPONENCIAL: APLICACION SOBRE CAMBIO ARITMÉTICO EN LA VARIABLE INDEPENDIENTE Sastre Vázquez, Patricia 1; Cañibano, Alejandra. 2, Boubeé, Carolina 3; Rey, Graciela.4 ,Suhurt, Valeria 5, Scempio, Viviana 6. 1
Dra. en Matemática – Prof. Adjunto -
[email protected] Mg. Sc.- Prof. Adjunto –
[email protected] 3 Prof. de Matemática y Física – Ayud. Graduado
[email protected] 4 Ing. Agrónoma- JTP – Fac. de Agronomía – UNCPBA –
[email protected] 5 Prof. de Matemática y Física – Ayud. Alumno 6 Alumna del Prof. Cs. Biológicas - Ayud. Alumno –
[email protected] 2
RESUMEN En este trabajo se presentan en forma general las propiedades mas comunes de la función exponencial. Se presta mayor atención a una propiedad de esta función que en general no es introducida en los cursos elementales de matemática : “ Cambios aritméticos iguales en la variable x conducen a cambios proporcionales iguales en la variable y. Si llamamos c al cambio aritmético en x, entonces (bc-1) es el cambio proporcional en y” Además se dan algunos conceptos elementales del estudio de series de tiempo, y finalmente se presenta una aplicación.
INTRODUCCION La función exponencial es muy importante en matemáticas. Es la función con más presencia en los fenómenos observables. Así presentan comportamiento exponencial: la reproducción de una colonia de bacterias, la desintegración de una sustancia radiactiva, algunos crecimientos demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero colocado a interés compuesto, etc. Se define la función exponencial expone ncial del siguiente modo: y = ab x
con a ≠ 0
y
b>1
Por ejemplo algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", dividiéndose la célula en dos cada espacios de tiempo muy pequeños, en algunos casos cada 15 minutos. ¿Observando la Tabla 1, cuántas bacterias se producen, a partir de una, en un día?
Minutos Bacterias
Tabla 1 : Número de bacterias cada 15 minutos 15 30 45 60 ......... ..... .... 2 4 8 16 .......... ..... .....
x 2x
Siendo x los intervalos de 15 minutos: en una hora tendremos : 2 4 = 16, en 2 horas habrá 28 = 256, y en día : 2 24 ·4 = 296 = 7,9·1028. Esto nos da idea del llamado crecimiento exponencial.
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PROPIEDADES GENERALES Algunas de las propiedades que generalmente se explicitan cuando se introduce al estudio de la función exponencial son las siguientes: 1) La función existe para cualquier valor de x , es decir el dominio de la función es todo R. 2) En todos los casos la función pasa por un punto fijo: el (0,1), o sea que siempre: corta al eje de ordenadas en el punto (0,1). 3) Los valores de y son siempre positivos, por tanto: la función siempre toma valores positivos para cualquier valor de x, es decir el codominio son los reales positivos. 4) Siempre creciente o siempre decreciente (para cualquier valor de x), dependiendo de los valores de la base "a". 5) Se acerca al eje X tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia la derecha en el caso en que a<1 y hacia la izquierda en caso de a>1, se dice por ello que el eje x es una asíntota horizontal (hacía la izquierda si a>1 y hacía la derecha si a<1)
CAMBIO ARITMÉTICO EN LA VARIABLE INDEPENDIENTE En la función exponencial existe una propiedad muy útil que relaciona los cambios que producen en la variable x respecto a la variable y, la cual en general no se enuncia: Ø
Cambios aritméticos iguales en la variable x conducen a cambios proporcionales iguales en la variable y. c Ø Si llamamos c al cambio aritmético en x, entonces (b -1) es el cambio proporcional en y.
Se probará esta propiedad y luego se verá una aplicación práctica de la misma. Sean x1 , x 2 , x3 y x4 ∈ Df ( x ) = ab x tales que x 2 − x1 = x 4 − x3 = c , entonces queremos probar que: f ( x 2 ) − f ( x1 ) f ( x1 )
=
f ( x 4 ) − f ( x3 ) f ( x 3 )
o lo que es lo mismo: y 2 − y1 y1
Para
ello,
teniendo
en
=
cuenta
y 4 − y 3 y 3
que
(1)
y = ab x con a ≠ 0 y b > 1 ,
y
que
x 2 − x1 = x4 − x3 = c , se calculan los valores de función que corresponde a los x1 , x 2 , x3 y x4 ∈ Df ( x ) , luego se los reemplaza en ambas miembros de la expresión (1) ,
con lo cual se obtiene:
3
y 2 − y1 y1
y 4 − y 3 y 3
x 4
=
ab
x2
ab
=
x1
− ab x1
ab x 3
− ab x 3
ab
=
b x4 x3
b
=
b x2 x1
b
−1 = b
−1 = b
( x4 − x3 )
( x2 − x1 )
c
− 1 = b − 1 (2)
c
−1= b −1
(3)
De las expresiones (2) y (3) surge que efectivamente la expresión (1) es verdadera, con lo cual queda probada la propiedad.
APLICACION SOBRE INDEPENDIENTE
CAMBIO
ARITMÉTICO
EN
LA
VARIABLE
Al momento de planificar actividades fut uras surgirán, entre otras, algunas de estas preguntas: ¿Han aumentado las ventas, (o las producciones)?; ¿Cuál ha sido el cambio proporcional mensual en las ventas?; ¿Existe un superávit de la cantidad de agua caída en la zona en los últimos días?; ¿ Cual ha sido el cambio proporcional en las lluvias anuales?; Es decir, en muchas situaciones, tomando como base lo ocurrido en el pasado se requiere conocer el comportamiento futuro de ciertos fenómenos con el fin de planificar, prever o prevenir. Una técnica muy importante para hacer inferencias sobre el futuro, con base en lo ocurrido en el pasado, es el análisis de series de tiempo. Son innumerables las aplicaciones que se pueden citar, en distintas áreas del conocimiento, tales como, en economía, física, geofísica, química, electricidad, en demografía, en marketing, en telecomunicaciones, en transporte, etc. Arellano, M., (2001), define Serie de Tiempo a un conjunto de mediciones de cierto fenómeno o experimento registradas secuencialmente en el tiempo. Estas observaciones serán denotadas por { x(t 1), x(t 2), ..., x(t n)} = { x(t) : t ∈ T ⊆ R} con x(t i) el valor de la variable x en el instante t i. Si T = Z se dice que la serie de tiempo es discreta, y si T = R se dice que la serie de tiempo es continua. Cuando t i+1 - t i = k para todo i = 1,...,n-1 , se dice que la serie es equiespaciada, en caso contrario será no equiespaciada. Un modelo clásico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: 1) Tendencia: representa el comportamiento predominante de la serie, puede interpretarse vagamente como el cambio de la media a lo largo de un periodo 2) Estacionalidad : representa un movimiento periódico de la serie de tiempo, siendo la duración de la unidad del periodo generalmente menor que un año 3) Error aleatorio: representa movimientos irregulares (al azar) y todos los tipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cíclicas.
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Esta autora establece tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados. Estos son: 1) Aditivo: x( t ) = T ( t ) + E ( t ) + A( t ) 2) Multiplicativo: x( t ) = T ( t ) ⋅ E ( t ) ⋅ A( t ) 3) Mixto: x( t ) = T ( t ) ⋅ E ( t ) + A( t ) Donde: x(t ) T(t) E(t) A(t)
serie observada en instante t componente de tendencia componente estacional componente aleatoria (accidental)
Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo (2) puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie. En las siguientes figuras (extraídas de Arellano, M., 2001) se ilustran posibles patrones que podrían seguir series representadas por los modelos (1), (2) y (3).
Si la componente estacional E(t) no está presente, y el modelo aditivo es adecuado, esto es: X(t) = T(t) + A(t) Un método para estimar la tendencia T(t ), consiste en ajustar una función del tiempo, como un polinomio, una exponencial u otra función suave de t . Entre las funciones adecuadas para esta tarea se encuentran las presentadas en la Tabla 2:
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Tabla 2: Funciones útiles para estimar la tendencia en el modelo X(t) = T(t) + A(t) T(t) = a + bt T(t) = a ebt T(t) = a + b e bt T(t) = β0 + β1t ,...,+ βmt m T(t) = e(a + b(rt)) 1 , 0 < r < 1 t a b r + ( ) T(t) =
Lineal Exponencial Exponencial modificada Polinomial Gompertz 0 < r < 1 Logística
Se debe tener en cuenta que la curva de tendencia debe cubrir un periodo relativamente largo para ser una buena representación de la tendencia a largo plazo. Sin embargo, la tendencia rectilínea y exponencial son aplicables a corto plazo, puesto que una curva con forma de S a largo plazo, puede parecer una recta en un período restringido de tiempo. Al analizar una serie de tiempo, lo primero que se debe hacer es graficar la serie. Esto nos permite detectar las componentes esenciales de la serie. El gráfico de la serie permitirá: tendencias, variación estacional y variaciones irregulares (o componente aleatoria). Para obtener un modelo, es necesario estimar la tendencia y la estacionalidad. Para estimar la tendencia, se supone que la componente estacional no está presente. La estimación se logra al ajustar a una función de tiempo a un polinomio o suavizamiento de la serie a través de los promedios móviles. Para estimar la estacionalidad se requiere haber decidido el modelo a utilizar (mixto o aditivo). Una vez estimada la tendencia y la estacionalidad se esta en condiciones de predecir.
EJEMPLO En la Tabla 3, (extraída de U.S. Department of Comerse, Survey of Current Bussines), se muestran los datos correspondientes a las nuevas unidades habitacionales comenzadas en los Estados Unidos del tercer trimestre de 1964 al segundo trimestre de 1972 (en miles de unidades). Tabla 3: Unidades habitacionales, (en miles), en EEUU (1964-1972.
Año 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972
I 283 274 218 298 336 264 389 510
II 454 392 382 452 468 399 604 661
III
IV
398 392 290 382 423 387 408 579
352 345 210 340 372 309 396 513
6 Sea t cada uno de los 32 trimestres que van de 1964 a 1972, o sea que t = 1 para el tercer trimestre de 1964, t = 2 para el cuarto trimestre, y así sucesivamente. Así que el dominio de definición de t es el conjunto de los enteros de 1 a 32 inclusive, y sea T(t) las iniciaciones de viviendas trimestralmente. Con estos datos se desea estimar la tendencia. Suponiendo que la componente estacional E(t) no está presente, y el modelo aditivo es adecuado, entonces el modelo es: x(t) = T(t) + A(t) En este caso podemos estimar la tendencia T(t ), lo cual significa ajustar una función del tiempo, utilizando alguna de las funciones presentadas en la Tabla 2. En este ejemplo se hace uso de los modelos: 1) lineal y 2) exponencial. Modelo lineal : T(t) = a + bt . En este caso se tienen 2 parámetros a y b, los cuales se pueden estimar utilizando el método de mínimos cuadrados, tarea que es posible ejecutar sin dificultades mediante una simple planilla de cálculo. Con los datos de este problema se obtiene :
Intercepción Variable t
Coeficientes 285,308468 6,34494135
Error típico 31,5191652 1,66700416
Estadístico t 9,05190433 3,80619408
Probabilidad 4,4145E-10 0,00064855
Con lo cual: T(t) = 285,31 + 6,34 ⋅ t Modelo exponencial : T(t) = a ebt . En este caso también existen 2 parámetros para estimar, sin embargo el modelo no es lineal, con lo cual, para poder aplicar el método de mínimos cuadrados, es necesario primero realizar una transformación en los datos. Es posible obtener un modelo lineal, a partir del exponencial, simplemente aplicando logaritmos : Ln T(t) =Ln a + b t
(4)
Entonces, reemplazado en la expresión (4), Ln T(t) por T’(t) y Ln a por a’, se puede reescribir el modelo exponencial de la siguiente forma : T’(t) = a’+ bt
(5)
La expresión (5) permite, mediante el ajuste por el método de mínimos cuadrados, estimar los parámetros del modelo exponencial. Para los datos presentados, se obtuvo para expresión (5):
Intercepción Variable t
Coeficientes 5,68266033 0,01510954
Error típico 0,08323752 0,00440231
Estadístico t 68,2704223 3,43218151
Con lo cual en (5) es: T’(t) = 5,68+ 0,015t
(6)
Probabilidad 1,7746E-34 0,00176721
7 De (6) surge que b = 0,01 y teniendo en cuenta que e(5,68) = exponencial quedaría escrito como :
293,73, el modelo
T(t) = 293,73 e0,015 t
RESULTADOS Y CONCLUSIONES En el ejemplo presentado, para los modelos considerados, se obtuvieron las siguientes estimaciones: Modelo lineal: Modelo exponencial:
T(t) = 285,31 + 6,34 ⋅ t T(t) = 293,73 e0,015 t
Obtenidos los modelos matemáticos que permitirán realizar estimaciones del número (en miles) de las nuevas unidades habitacionales comenzadas en los Estados Unidos, es necesario también realizar una interpretación de los parámetros. En el modelo lineal, cuya representación gráfica es una recta, (ver gráfico al pie), el coeficiente de la variable independiente, el tiempo en trimestres, indica la relación entre la variación de la Tendencia T(t) con respecto a la variación temporal , entre dos trimestres, Dicho de otro modo, el coeficiente de la variable tiempo , t, (pendiente de la recta), es el incremento en la Tendencia T(t), cuando el tiempo se incrementa en 1 trimestre. El nombre de pendiente de una recta esta justificado. Cua ndo se dice que un camino tiene la pendiente 5% , significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5 unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es 5/100. Nótese que el valor de la pendiente de una recta no depende de la elección particular de los puntos elegidos. En el modelo lineal del caso que se está estudiando, el coeficiente de la variable independiente es 6,34 por lo cual se puede afirmar: Si se considera un modelo lineal, la Tendencia del número de nuevas habitaciones en EEUU aumenta uniformemente en 6,34 por trimestre, o que es lo mismo, que la tendencia aumenta en un 0,063 % trimestralmente.
Nótese que en el modelo lineal este aumento en la Tendencia no depende de los trimestres que se estudien. Sin embargo de la observación de la Tabla 4 surge claramente que dicha afirmación no es cierta cuando se considera el modelo exponencial. En este último caso las variaciones en la Tendencia, en cada trimestre, dependen del punto considerado, y se pueden calcular encontrando las derivadas de la función en los puntos en cuestión. La pregunta que como docente uno se haría, al plantear el estudio de la función exponencial, en un curso introductorio de matemática, en el cual aún no se ha introducido el concepto de derivada es: ¿ Qué se podría decir de la variación de la Tendencia en el caso exponencial?.Teniendo en cuenta la relación encontrada en (3)
8 y4 − y3 y3
c
== b − 1
y que el modelo exponencial T(t) = 293,73 e0,015 ,t es bc-1= e1-1=2,7 –1 = 1,7
es posible afirmar: Si se considera un modelo exponencial, la Tendencia del número de nuevas habitaciones en EEUU aumenta uniformemente en una proporción de 1,7 en cada trimestre. O sea que al pasar de un trimestre a otro, el cambio proporcional en la Tendencia es del 0,17 %.
Tabla 4: Trimestres y ajuste de la Tendencia para los 2 modelos y cambios en la misma considerando c = 1 trimestre t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
T(t) (observado) T(t) = 285,30 + 6,34 t ∆T ( t ) = T i +1( t ) − T i ( t )
15
16
398 352 283 454 392 345 274 392 290 210 218 382 382 340 298 452 292 298 304 311 317 323 330 336 342 349 355 361 368 374 380 387 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 0.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.017
T i +1( t ) − T i ( t ) T i ( t )
0.017
T(t) = 293,72 e0,015 t 298 303 307 312 317 322 326 331 337 342 347 352 357 363 368 374 ∆T ( t ) = T i +1( t ) − T i ( t ) T i +1( t ) − T i ( t ) T i ( t )
4,54 4,61 4,68 4,75 4,82 4,90 4,97 5,05 5,12 5,20 5,28 5,36 5,44 5,53 5,61 5,69 0.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.017 0.017
t T(t) (observado) T(t) = 285,30 + 6,34 t ∆T ( t ) = T i +1( t ) − T i ( t )
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
423 372 336 468 387 309 264 399 408 396 389 604 579 513 510 661 393 400 406 412 419 425 431 438 444 450 457 463 469 476 482 488 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 6.34 0.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.017
T i +1( t ) − T i ( t ) T i ( t )
0,015 t
0.017
T(t) = 293,72 e 380 386 391 397 403 410 416 422 429 435 442 448 455 462 469 476 ∆T ( t ) = T i +1( t ) − T i ( t ) T i +1( t ) − T i ( t ) T i ( t )
5,78 5,87 5,96 6,05 6,14 6,24 6,33 6, 43 6,52 6,62 6,72 6,83 6,93 7,04 7,14 0.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.0170.017 0.017
9
Tendencias de las viviendas en ajuste lineal y exponencial
700
) s e l i 600 m ( a500 d n e400 i v i v 300 e d o r 200 e m100 ú N
0
1
4
7
0 1
3 1
6 1
9 1
2 2
5 2
8 2
1 3
Trimestres T(t)
T(t) = 285,30 + 6,34 t
T(t) = 293,72 e0,015 t
BIBLIOGRAFÍA Arellano, M. (2001): "Introducción al Análisis Clásico de Series de Tiempo", [en línea] 5campus.com, Estadística http://www.5campus.com/leccion/seriest Makridakis, S; Wheelright, S.C.; McGee, V.E. (1983). Forecasting: Methods and Applications. Wiley, New York. Peña, Daniel. (1989). Estadística, Modelos y Métodos 2. Modelos Lineales y Series Temporales. Alianza Universidad, Madrid.
