Ecuación exponencial Se denomina ecuación exponencial aquella exponencial aquella en la cual la incógnita aparece úniicame ún amente nte en los los ex expo pone nent ntes es de pote otenci ncias par para ciert iertas as bas bases 1 costantes. La incógnita se halla en un exponente de un o unos de los términos. Es decir, un número (u número (u otra ariable! est" eleada a la incógnita a despe#ar, comúnmente representada por x. $ara resoler dichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, radicación, de logaritmos % cambio de la incógnita por otra.
Formas de resolución &epende del tipo de ecuación exponencial del que se trate, ha% diersas 'ormas de resolerla, por su niel de comple#idad Igualación de bases E#emplo 1
Si el prim primer er miem miembr bro o sólo sólo tien tiene e un térm términ ino o % el térm términ ino o de dell segu segund ndo o miembro es potencia de la base del término del primer miembro, entonces el segundo miembro, se expresa como potencia de la base de la expresión que contiene la incógnita. En el e#emplo, 1) es potencia de la base dos de
Luego, por la siguiente propiedad , *enemos
E#emplo + +x-1 +x $uesto que ++ en la ecuación dada resulta ++(+x-1! +x /inamente, resoliendo +(+x-1! x, se obtiene x +0.
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Cambio de Variables: E#emplo
2amos a escribirla as3
4plicamos el cambio de ariable, % escribimos
4hora, al reemplaar, se tiene
&espe#amos
4hora, recordemos que
, luego
Pasando a una algebraica 6esoler la ecuación+ +78x - x91 -+ : $uesto que la ecuación propuesta puede ser escrita en la 'orma +7(x!+ - 7x - + : Luego con la sustitución % x, se tiene respecto a % la ecuación algebraica de segundo grado +%+ - % -+ :. 6esoliendo resulta % +; % -10+. La última solución es imposible, pues x < :. En tal caso x +; x log+ ln+ ln :.):8 ( logaritmos naturales!;
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Usando logaritmos Sea la ecuación =samos logaritmo a ambos lados de la ecuación
$or propiedades de los logaritmos, tenemos
Operando:
&e donde sale
Otra manera de resolver Sea la ecuación x917>x :8), $asando las bases de potencia % > a potencias de +, como también :8) +1+ Se tiene ++x9+7+x +1+ ?gualando los exponentes, resulta (+x 9+! 9 x 1+, 'inalmente 5x 1:; por tanto x +. Cómo resolver una ecuación exponencial $or simple inspección, es decir se descompone la parte numérica en sus 'actores primos. 4plicando logaritmo a ambos lados de la igualdad.
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Ecuaciones exponenciales más complejas @uando la incógnita se encuentra en el 3ndice de una ra3, también se la considera exponencial, %a que sólo basta escribirla como exponente 'raccionario. Sea la ecuación
2emos que la ariable se encuentra también en el exponente de una ra3. $or las propiedades de la radicación, amos a escribirla as3
4plicamos el método de igualación de bases
A sea
Aperando, obtenemos
Otras aplicaciones de las ecuaciones exponenciales 2eamos esta ecuación
2emos que se trata de una progresión geométrica. $ara resoler esta ecuación no ha% m"s que aplicar la 'órmula para calcular la suma de n términos de una progresión geométrica, sabiendo que dicha progresión tiene 5 términos. 4s3
Se conierte en
A sea
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?gualando las bases
&e donde sale
El mismo raonamiento es aplicable para cualquier progresión geométrica. Función exponencial Las ecuaciones exponenciales también surgen cuando se quieren calcular ra3ces o puntos particulares de las 'unciones exponenciales. En la 'unción exponencial , para saber en qué punto su gr"'ica corta al e#e de ordenadas, se debe plantear la ecuación
Si se quiere saber en qué punto del e#e de abscisas la gr"'ica interseca al e#e de ordenadas en el punto 1, se plantea
Atro e#emplo Ballar el alor de
si tal que
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si
