APLICACIONES DE LA DERIVADA
Ejercicio Nº 1: Se debe hacer una caja con tapa, cuyo volumen sea 72 cm 3. Los lados de la base han de estar en relación 1:2. ¿Cuáles deben ser las medidas de todos los lados para que la superficie total sea la menor posible? Solución:
Sea S la magnitud a optimizar y sean x y 2x los lados de la base e y
la altura de la caja. S(x,y)= 2(2x)(x)+2(x)(y)+2( 2(2x)(x)+2(x)(y)+2(2x)(y) 2x)(y) S(x,y)=4x2+6xy
2x y
x
Debemos buscar una nueva relación relación entre x e y, que nos permita expresar S como función de una sola variable. Esta relación la obtenemos del volumen de la caja, esto es V=B*h. Por lo tanto: 72=(2x)(x)(y) de donde:
; esto se sustituye en la ecuación S, obtenemos:
Luego derivamos e igualamos a cero:
.
De donde obtenemos x=3, e y=4. Por lo tanto las
dimensiones de la caja son: 3cm, 6cm y 4cm. Ejercicio Nº 2: De una hoja de cartón, de 18*18 cm 2deben ser recortados cuadrados iguales de modo que que doblando la hoja, siguiendo las líneas punteadas, resulte una caja que tenga la mayor cantidad posible. ¿Cuánto debe medir cada lado del cuadrado? Solución:
Sea V la magnitud a optimizar y sea 18-2x
X el lado del cuadrado que se debe cortar, tal que: 0
x
<0,9>. Por lo tanto el lado del cuadrado debe
medir: x=3xm. Ejercicio Nº 3:
Una
tina abierta tiene la forma de cilindro. Siendo su volumen
igual a V. ¿Cuál debe ser el radio de la base para que su superficie total sea la menor posible? Solución:
Sea S la magnitud a optimizar, y sean x el radio e y la altura del
cilindro. Siendo la tina abierta, su superficie total es:
Y
S=Sl+B. Por lo tanto: Pero sabemos que
B
x
Luego lo reemplazamos en la ecuación de la superficie total, de la cual obtenemos:
. Derivando obtenemos:
Sustituyendo en y obtenemos:
Por lo tanto, la superficie total de la tina s optima cuando el radio de la base es igual a la altura de la tina. Ejercicio Nº 4: Se debe hacer un embudo cónico que tenga la generatriz igual a 20 cm. ¿Cuál debe ser la altura del cilindro para que su volumen sea el mayor posible? Solución:
Si
Sea V la magnitud a optimizar y sean x el radio, e y la altura del cono.
Pero también sabemos que:
X
Si y
, reemplazando en la
Ecuación V, obtenemos:
Derivando e igualando a cero obtenemos:
20
Ejercicio Nº 5: Hallar la relación entre el radio R y la altura
H
de un cilindro que
tiene la menor superficie total posible, conociendo su volumen. Solución:
Sea S la magnitud a optimizar
Pero el volumen del cilindro es:
H
Reemplazando en S, obtenemos:
Derivando e igualando a cero obtenemos:
Reemplazando en
H,
tenemos
Ejercicio Nº 6: El perímetro de un triangulo isósceles es 2p. ¿Cuánto deben medir sus lados para que el volumen del cono engendrado por la rotación del triangulo en torno a su altura bajada sobre la base sea el mayor posible? Solución:
Sea V el volumen optimo del cuerpo engendrado.
Sean b=2x e l=y los lados del triangulo generador . Si
Pero
H
. Reemplazando
y
En la ecuación del volumen obtenemos:
x
Derivando e igualando a cero obtenemos lo siguiente:
Luego x lo reemplazamos en y obteniendo: triangulo isósceles deben medir:
b
Por lo tanto los lados del
y
Ejercicio Nº 7: Demostrar que la cantidad de tela necesaria para hacer una tienda de campaña de forma cónica y de capacidad dada será la menor posible en el caso de que su altura sea Solución:
veces mayor que el radio de la base.
En efecto, sea S la cantidad óptima de tela (superficie
Lateral del cono). Sean x el radio e y la altura del cono. Por lo tanto:
y
g
Y
, reemplazando en S obtenemos: Derivando e igualando a cero obtenemos:
x
Ejercicio Nº 8: El volumen de un prisma triangular regular es igual a V. ¿Cuánto debe medir el lado de la base para que su superficie total sea la menor posible? Solución :
Sea S la magnitud a optimizar y sea x el lado
De la base del prisma. Si
La superficie total del prisma es:
x
Derivando e igualando a cero obtenemos:
y
Ejercicio Nº 9:
Hallar
la altura del cilindro que tenga el volumen máximo
posible y que sea susceptible de ser inscrito en una esfera de radio R. Solución:
Sea V el volumen optimo, sean x el radio e y la altura del cilindro
inscrito. Si Pero:
Y
Reemplazando en V, obtenemos:
2x
. Derivando e igualando a cero:
Ejercicio Nº 10: El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm por minuto. Calcula la rapidez de variación de la longitud de sus lados cuando el área es de 200 cm 2. Se supone que el triángulo se mantiene equilátero en todo instante. Solución:
Si llamamos L al lado del triangulo equilátero, siendo
Su altura
. Su área será:
«.(1)
Con: A=A(t) y L=L(t)
L
H
Como se pide la rapidez de la variación de la longitud De los lados se debe calcular la derivada de L respecto a t para A=200 cm2 Derivando respecto de t la igualdad (1) obtenemos:
De la expresión (2) debemos despejar
correspondientes al instante en que A=200 cm 2
De (1):
y L por sus valores
y sustituir
y teniendo en cuenta que
Por lo tanto los lados están disminuyendo sus longitudes a la velocidad calculada.