Aplic Derivada Tema 5

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica

FACULTAD DE CIENCIAS U N I C A

ESCUELA DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO TEMA 5

Aplicaciones de la Derivada PRÁCTICAS

Alberto Gutiérrez Borda

Ica, Perú Abril de 2014

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TEMA 5

Aplicaciones de la Derivada

PRÁCTICA 5.1: Derivada de Orden Superior ==============================================================

Alberto Gutiérrez Borda Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” Departamento de Matemáticas Matemáticas

e-mail: [email protected]

                                                                                           

1. Calcule las derivadas segundas y terceras de cada una de las siguientes funciones: 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2. Calcule la derivada séptima y octava de . 3. Calcule las derivadas de orden n y n +1 de un polinomio de grado n. 4. Calcule la derivada de orden n de . 5. Sea

hallar

.

6. En cada una de las funciones halla la derivada de orden n 6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

7. Sea

. Determinar a, b y c de modo que la función

tenga segunda derivada en x = 1.

8. Sea f una función cuatro veces derivable que cumple y

. Demuestre que f tiene tiene un mínimo relativo en

9. Dado la función 10. Sea

con

halle

11. Sea

halle

.

.

, halle

12. Sea

, halle

.

.

.

RÁCTICA 5.2: Derivada Implícita ==============================================================



              

1. Hallar en en el punto (-1, 1) si . 2. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la normal a la curva en el punto (1, 2). 3. Dada la ecuación

. Halla

.

4. Hallar la derivada de y con respecto de x mediante derivación implícita en las











TEMA 5


                                                           

4.5 5. Suponiendo que y es dos veces derivables hallar ecuaciones: 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 7.7 5.9

5.11

5.15 5.17 5.19 5.21

en cada una de las siguientes

5.10

donde a y b son números reales fijos distinto de cero.

5.12 5.13

5.8

                           

siendo a y b números fijos distinto de cero.

5.14

5.16 5.18 5.20

5.22

5.23 5.24 NOTA: Aquí a, b, c, h, k , m son constantes reales.

PRÁCTICA 5.3: Derivada Paramétrica ==============================================================

                   

                                    

1. En cada una de las ecuaciones paramétricas siguientes, halla 1.1 1.3 1.5 1.7

1.2

1.4

1.6. 1.8

2. Dalas ecuaciones en forma paramétrica, halla. Halla 2.1 2.3 2.4 3.5

2.2

3. Dada las ecuaciones paramétricas el punto (0, 1). 4. Sea tangente en el punto (0, b).

.

.

,

, hallar

en

muestre la curva y halle la ecuación de la recta

5. La ecuación paramétrica de curva de Agnesi es en el punto donde la curva alcanza su máximo.

, halle











TEMA 5


     

                                 

7. La ecuación de hipocicloide de cuatro cúspide está dado por , halle

y responda si existe esta derivada en el punto x = 0.

8. La ecuación paramétrica de la compañera de la cicloide . Halle

,

en el punto

.

,

9. Para r una una constante positiva, la ecuación paramétrica de la involuta es ,

. Halle

en el punto x = r.

10. La ecuación paramétrica de la hipocicloide está dado por: . Hallar

en el punto x = 0.

11. Parametrizar la ecuación

y halla

constante. Nota: La ecuación dada es una cardioide, muestra la figura.

 

con a

PRÁCTICA 5.4: Razón de Cambio ==============================================================

                                                               

1. En una experiencia cuantitativa, la medición realizada después de t horas está expresada por , donde . Si evaluamos esta magnitud cerca de

para

, determinar

y el cociente incremental

.

Luego calcula la velocidad instantánea de crecimiento de y en . 2. En cierta reacción química la cantidad de moles de moléculas de cierto compuesto (en función del tiempo) está dado por , donde t es el tiempo transcurrido desde que se inició la reacción y . Encuentre la velocidad instantánea instantánea de cambio de y respecto de t en en . 3. Un tanque cilíndrico de 2 m de radio se está llenando a razón de cada dos minutos. ¿Cuál es la velocidad con la que aumenta la altura del líquido en el tanque, si dicha altura se mide en metros y el tiempo en minutos? 4. Una bola de radio Demuestre que

tiene volumen

y superficie

.

.

5. Dos móviles se desplazan con trayectoria rectilínea con las siguientes leyes del movimiento (donde t representa el tiempo):

y

5.1 Determine el instante en el cual ambos móviles tienen la misma velocidad. 5.2 Calcule la aceleración de cada uno de los móviles en función del tiempo. 6. Una piedra lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 32.6 m/s se desplaza siguiendo la ley de movimiento . 6.1 Calcule la velocidad y la aceleración en los instantes y











TEMA 5


7. Un balón esférico está siendo inflado en tal forma que su volumen aumenta a razón de 5 pies cúbico por minuto. ¡A qué razón aumenta el diámetro, cuando el diámetro es de 12 pies? 8. Una cometa que está a 24 metros de altura sobre el nivel del suelo, se aleja



horizontalmente a una velocidad de metros por segundo del niño que lo sostiene. ¿A qué velocidad el niño está soltando la cuerda, cuando la cuerda mi 30 metros? 9. La temperatura (en grados centígrados) de un pequeño animal sometido a un proceso infeccioso varía de un lapso de 4 horas de acuerdo con la siguiente ley: donde T es la temperatura y t el el tiempo medido en horas. Sin usar la derivada de T, mostrar en algún instante del lapso la velocidad de variación de T fue nula. 10. Una lámpara está colgada a 4 metros sobre el piso horizontal. Un hombre de 1,55 metros de altura camina alejándose de la luz a razón de 20 metros por minuto. (i) ¿Con qué rapidez se aleja la sombra?. (ii) ¿Con qué rapidez se mueve la punta de la sombra del hombre?

  

11. La función



   

(definida para



) expresa la concentración en

sangre de una droga t horas después de haber inyectado una determinada dosis. Analizar las variaciones de dicha concentración con el paso del tiempo, indicando los intervalos de tiempo en los cuales la concentración aumenta y aquellos en los cuales disminuye. 12. La calidad del agua a 0ºC es de 1g/cm3 pero varía levemente al variar la temperatura de acuerdo con la expresión: donde que mide la temperatura en grados centígrados, y S(t) es la densidad o peso específico del agua a la temperatura t. Sobre la base de dicha expresión, analizar el crecimiento y decrecimiento de la densidad en función de la temperatura del agua. 13. Una escalera de 4 m que se apoya en el suelo y en una pared vertical, se desliza de modo que el extremo del suelo recorre 20 cm por minuto. 13.1 Calcule la velocidad con que se desliza el extremo de la pared cuando el extremo que está en el suelo dista de la pared 3 m. 13.2 Calcule la posición del extremo del suelo en el instante en que la velocidad con que se deslizan los dos extremos es la misma. 14. Una mujer pasea por un puente que está a 20 pies de altura sobre un río, por el que pasa una barca bajo el centro exacto del puente, según una trayectoria tra yectoria perpendicular perpe ndicular al mismo y a una velocidad de 10 pies por segundo. En ese momento la mujer está a 50 pies del centro del puente y camina hacia el centro a una velocidad de 5 pies/s. Determine la variación, en ese instante, de la distancia entre la mujer y la barca. 15. Una cámara de televisión, situada en el suelo filma el despegue de un cohete que asciende con una aceleración constante de 100 pies por segundo cuadrado. Si la cámara dista 2000 pies de la plataforma de despegue, hallar la variación instantánea del ángulo de inclinación de la cámara 10 segundos después del despegue. 16. La intensidad de corriente por una bobina de resistencia R y coeficiente de autoinducción L, conectada a una fuerza electromotriz constante E viene dada, en



función del tiempo, por

  

      

. Obtener una fórmula que explique el











TEMA 5


¿Con qué velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad del agua es de 5 m, si: (a) El vértice del cono está hacia arriba. (b) El vértice del cono está hacia abajo. 18. Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular recto con su vértice hacia abajo. Su altura es de 10 m y el radio de la base de 15 m. El agua sale por el fondo de modo constante a razón de 1 m3/s. Se vierte agua en el depósito a razón de c m3/s. Calcule c de modo que el nivel del agua ascienda a razón de 4 m/s en el instante en que el agua alcance la altura de 8 metros. 19. Una partícula está obligada a moverse a lo largo de una parábola cuya ecuación es . (a) ¿En qué punto de la curva varían la abscisa y la ordenada con el mismo coeficiente de variación? (b) Encuentre este coeficiente de variación en el caso de que el movimiento sea tal que en el instante t se tenga que .

  

20.

  

 ¿A qué velocidad el niño está soltando la cuerda, cuando la cuerda mide 35 metros?    

Una cometa que está volando a 28 metros de altura sobre el nivel del suelo, se

aleja horizontalmente a una velocidad de

metros por segundo del niño que la

sostiene.

21. Un caño vierte agua en un cono recto circular invertido a razón de 15

. La

altura del cono es su diámetro ¿A qué rapidez sube el nivel del agua cuando tiene una profundidad de 10 cm el cono?

PRÁCTICA 5.5: Diferenciales ==============================================================

                 √ √  √  √         √               

1. Calcula la diferencial de la función punto para . 2. Hallar el valor aproximado de: 2.1 2.3

definida como

2.2 2.4

3. Halla la diferencial de la función 4. Si

en el

en el punto x = 1.

hallar

.

5. Halla el incremento de cuando x pasa de 5 a 5,05. 6. Una bola de hielo de 10 cm de radio, e derrite hasta que su radio sea 9,8 cm. Halle la disminución que experimenta su volumen. 7. La precisión con que se puede medir el radio de un círculo es de 0,001 cm. Sabiendo que se quiere obtener su área con un aproximación de 0,1 . Halle el máximo















TEMA 5

Aplicaciones de la Derivada 8.



Un hombre realiza el contrato de pintar 1000 señales circulares de metal de 1 pie de diámetro cada una, pero cuando se las entrega descubre que tienen pulgada más de

diámetro. ¿Qué porcentaje de pintura adicional se necesitará? 9. La fórmula para el periodo (tiempo en segundo para una oscilación completa) de un péndulo simple es es

 

don l es la longitud del péndulo y

   

.

Se quiere que el péndulo de un cierto reloj haga una oscilación completa cada 2 segundos, peo el reloj gana dos minutos por día. Hallar el cambio aproximado en la longitud del péndulo, para corregir la inexactitud. 10. Un tanque de la forma cónica con el vértice hacia abajo tiene dos pies de diámetro y 4 pies de altura. S i se llena con agua hasta una profundidad de 2 pies, aproximadamente, ¿Cuánto agua más se necesitará para elevar 1 pulgada el nivel del agua? 11. Un tubo de hierro de 8 pies de largo, tiene un diámetro exterior de 2 pulgadas y un grueso de pared de de pulgada. Halle el peso aproximado del tubo, si el hierro pesa

 

350 libras por . 12. ¿Con qué exactitud debe medirse el diámetro de un círculo, pero que el área resulte con un error menor del 1%? 13. La altura de un cono recto circular es el doble del radio de la base. Al medir se encontró que la altura es de 16 pulgadas con un posible error de 0,006 pulgadas. Encuentre el error aproximado al calcular el volumen del cono. 14. Al medir el radio de una esfera se obtiene 2 metros. ¿Cuáles son los errores máximos aproximados al calcular el área y el volumen, si las medidas son seguras hasta 0,001 metros? 15. Sea ha de construir una caja en forma de un cubo de 2 de capacidad. ¿Con qué exactitud debe medirse la arista interior para que el error en el volumen no sea mayor de 2 ?





PRÁCTICA 5.6: Máximos y Mínimos ============================================================= 1. Para qué valor de



   

la función

(máximo o mínimo) en el punto

presenta un extremo

. Determinar la naturaleza de este extremo.











TEMA 5


(b) Los puntos de inflexión (c) La gráfica. 7. Verifique que los punto de inflexión de la curva dada por las ecuaciones paramétricas y son (1, 4) y (1, -4). 8. Determine los coeficientes a y b del trinomio cuadrado de forma que sea un mínimo de este trinomio cuando x = 1. Dar la explicación geométrica del resultado obtenido. 9. Determine a, b y c en la curva de ecuación de modo que sea tangente al eje X en (2, 0) y tenga un punto de inflexión en (0, 4).



    

10. Dada la función

  | | |

con

           

, halle (a) Los puntos críticos,

intervalos donde f es es creciente y decreciente. (b) Máximos y mínimos. 11. En cada una de las funciones, halle los valores de x en los cuales la función es cóncava hacia abajo: 11.1

  ||                            ||              | |                 √ √ √      √    √     √    | |      | |                ||       √  

11.2

12. Sea . Demuestre que, (a) Si , f no tiene extremos relativos. (b) Si , f tiene un valor máximo máximo relativo y un valor mínimo relativo. 13. Determinar los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones, en el intervalo indicado: 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9

13.10

con

con

donde donde con donde donde donde

donde

donde

donde

donde

13.11 13.12 13.13

, con

donde

.











TEMA 5


 |  |      ||                                                                }               }                    }}                                                       

14.3 en en 15. Decidir si es un extremo local de f en cada caso: 15.1 , 15.2 , , 15.3 , 15.4 , 16. Determinar los extremos relativos de cada una de las siguientes funciones: 16.1

16.2

16.3

16.5

con

16.7

16.9

con

16.4

con

16.6

16.8

con

,

16.10

17. Sea una función derivable en todo punto y que además cumple las siguientes condiciones: 17.1 17.2

.

.

17.3

A partir de estos datos determinar todos los puntos máximos y mínimos locales de la función f . Justifique sus afirmaciones. Graficar la función que cumple con estas condiciones. 18. (a) Mostrar que una función cúbica puede puede tener a lo sumo dos extremos relativos. (b) Dar un ejemplo de una tal función con dos extremos relativos. (c) Dar un ejemplo de una tal función sin extremos relativos. (d) ¿Puede una tal función tener un único extremo relativo? ¿Por qué? 19. Pruebe que si f es es derivable en , se cumple: 19.1 Si entonces entonces Si entonces entonces . 19.2 Si , entonces debe existir un en donde . 19.3 Si , entonces debe existir un en donde . Nota 1: Es la propiedad de Darboux de las funciones derivadas. Nota 2: La propiedad indica que si f es derivable en , aunque no sea continua en cumple la propiedad de los valores intermedios. (El caso











TEMA 5


2. Analizar si las siguientes funciones satisfacen las hipótesis del teorema de Rolle en los intervalos indicados en cada caso: 2.1 en . 2.2 en en 2.3 en . 2.4 2.5

              | |                                                     en

.

en

3. Verificar el teorema de Rolle para en . 4. Demostrar que la ecuación polinómica no puede tener más de una raíz real. 5. El recíproco del teorema de Rolle no es cierto. Construir un ejemplo de una función que satisfaga la conclusión del teorema de Rolle y para la cual la condición de continuidad no se satisfaga, pero si las condiciones de derivabilidad y la igualdad de imágenes. 6. Demostrar que la ecuación cualquiera que sea m, no pude tener dos raíces en el intervalo (usar el teorema de Rolle). 7. Usar el teorema de Rolle para probar que la ecuación , tiene exactamente una raíz entre 0 y 1. 8. La ecuación tiene la raíz x = 0. Demostrar que esta ecuación no puede tener otra raíz real. 9. Sea , donde , sea un punto que satisface el teorema de Rolle. Encontrar las longitudes de las dos partes en el punto c divide al intervalo . 10. Mediante el teorema de Rolle pruebe que la ecuación tiene al menos una raíz real en el intervalo . 11. Usando el Teorema de Rolle demuestre que la ecuación no tiene más de dos raíces reales distintas. 12. Mediante el Teorema de Rolle y la propiedad de valores intermedios demuestre que la ecuación tiene exactamente una raíz real. 13. Determinar mediante el teorema de Rolle una condición suficiente a satisfacer por los coeficientes de la ecuación para que posea al menos una raíz real. 14. Demuestre que la ecuación tiene solamente una raíz real positiva. Enuncie los teoremas en los que se basa para hacer la demostración y encuentre un intervalo de longitud unidad en el que se encuentre la raíz.

                                                   











TEMA 5




determinar c perteneciente al correspondiente intervalo abierto tal que

           | | | |                 √                                       19.1 19.2

y graficar.

 

en en

19.3 en 19.4 en 20. Mostrar que valen las siguientes desigualdades aplicando el teorema de Lagrange: 20.1 , 20.2 , . 20.3 , . 21. Estudie si la función cumple las hipótesis del Teorema del Valor medio de Lagrange en el intervalo . En caso de que sea así, encuentre los valores de c que verifican el teorema. 22. Verificar que la fórmula de Cauchy es aplicable a las funciones y

  √              √                        |    ||  |            en el intervalo

.

23. Utilizar el teorema del valor medio para probar que

está comprendido entre

24. Usando el teorema del valor medio, demuestre que

25. Mediante el teorema del valor medio, demuestre que

26. Aplicando el teorema de valor medio, pruebe que donde . 27. Aplicando el teorema de valor medio, pruebe que donde . 28. Halla el valor de c de modo que se cumpla el teorema de valor medio 28.1 28.2

en

.

,

29. ¿Para qué valores de a, m y b la función

satisface las hipótesis del Teorema del valor medio? 30. Utilice el teorema de valor medio para probar: 29.1 para todo par de números reales x e y. para 29.2 si , para

si

.

.

,

,













TEMA 5


                                                               ||   ||||||            ( ) (        √                                 

37. Verificar que la función intervalo

cumple las hipótesis del T.V.M. en el

y y hallar los valores

tales que

y

. 38. Pruebe que cualquiera sea k, la función polinómica dada por no tiene dos raíces en . 39. Si f es es continua en don don y y si f es es derivable en existe un número

tal que

. Pruebe que

.

40. Dada la función mostrar que la ecuación exactamente tres soluciones reales distintas. 41. Demostrar las desigualdades (i) (ii) 42. Demostrar la identidad

tiene

.

43. Pruebe que se verifican las siguientes desigualdades entre las funciones dadas: 43.1 43.2 43.3

43.4

43.5

44. Pruebe que

donde

x en la igualdad anterior, pruebe que

45. Se dice que polinomio

. Haciendo a = 0 y b =

.

es una raíz del polinomio de grado n cuando existe un de grado n – 2 tal que y . Pruebe que tiene una raíz doble en si y sólo si y .











TEMA 5


2.5

 √                √                               √ √     

                        

3. Usando la Regla de L´Hopital, calcula los siguientes límites: 3.1 3.3 3.5

3.2

3.4


4.2

4.4


5.2 5.4

6. Aplique el Teorema L´Hopital para resolver limites siguientes: 6.1 6.3 6.5 6.7

6.2

6.4

6.6

6.8











TEMA 5


7.5

    

8. Dado el siguiente límite

, ¿Se puede aplicar la regla de L´Hospital?

Justifica tu respuesta. 9. Calcular los siguientes límites aplicando la Regle de L´Hospital, siempre que ello sea posible: 9.1 9.3 9.5 9.7 9.9

                                   

9.11

9.13

9.15

9.17

9.2 9.4 9.6 9.8

                               

9.10

9.12

9.14

9.16 9.18

9.19

9.20

9.21

9.22

9.23 9.24 ¿Es aplicable la regla de L´Hospital para calcular el siguiente límite?

  

. Si la respuesta es afirmativa, aplicar la regla y calcular el límite de

otra manera.











TEMA 5


3. Estudia los máximos y mínimos de las siguientes funciones en el intervalo que se indica en cada caso:

                            ( (√  )       √  √                               3.1

en

3.3

en

3.5

en

3.2

en

3.4

en

4. Demuestra que es positiva y decreciente en el intervalo abierto definida como 5. Estudiar el crecimiento de la función

la función

.

.

6. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función .

7. Sea f una una función definida para , que verifica: (i) es es continua para x > 0. (ii) existe para . (iii) (iv) es monótona creciente Demostrar que

para

es monótona creciente.

8. Determine los intervalos en las cuales la función decreciente, halla los extremos relativos de y. 9. Pruebe que. 9.1 es estrictamente decreciente en 9.2



para todo



.

es creciente y

.











TEMA 5

Aplicaciones de la Derivada 2.5 2.7

                               √             |||      √   

2.6

3. Analizar el gráfico de la función

4. Para cada una de las funciones, halle las asíntotas, punto de inflexión, extremos relativos e intervalos donde f es estrictamente creciente o decreciente y halle su gráfica. 4.1

4.2

4.3

5. Construir la curva . Halla la ecuación de la recta tangente y normal en cada punto de inflexión. 6. Para cada una de las funciones estudiar el dominio natural, las posibles asíntotas. Determinar los máximos y mínimos locales, los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Analizar el sentido de la curvatura y los puntos de inflexión. Sobre la base de todos estos esto s datos, hacer un gráfico aproximado aprox imado de f . 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.7 6.9

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6.11

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6.6 6.8

6.10 6.12














TEMA 5

PRÁCTICA 5.11: Optimización ==============================================================

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1. Se considera la reacción en la que dos reactivos moleculares, A y B, dan lugar a otro producto molecular, AB. La velocidad de esta reacción, R, se puede expresar como la función , donde x es la concentración del producto AB, a y b son las concentraciones iniciales de A y B respectivamente y k es una constante de proporcionalidad. Obsérvese que x varía en , ya que cuando se termina uno de los reactivos se detiene la reacción. Supongamos que . 1.1 ¿Para qué valores de la concentración, x, la velocidad es creciente? ¿y decreciente? 1.2 ¿Para qué valores de la concentración; x, alcanza la velocidad el máximo? ¿Cuánto vale ese máximo? 2. La virulencia de cierta bacteria se puede medir en una escala de 0a 50 y viene dada por la siguiente función , donde t es es el tiempo, medido en horas, transcurrido desde el comienzo del estudio. Analizar los periodos de tiempo en los que la virulencia crece o decrece. Calcular los instantes, en las 6

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TEMA 5

tendrá el campo de estudio de área máxima que puede vallar? (No es necesario cercar el lado que forma la orilla del río). 10. Si el mismo biólogo del ejercicio anterior quisiera cercar una superficie de 8000 , ¿qué dimensiones debería tener el campo para utilizar la mínima cantidad posible de cerca? 11. Las latas de refresco se modelan en forma de un cilindro circular recto y tienen una capacidad de 335 . La producción de aluminio requiere mucha energía, por lo que es deseable diseñar las latas de manera que se utilice la mínima cantidad posible de material. 11.1 ¿Qué dimensiones debería tener la lata de refresco óptima? 11.2 En realidad, el material con que fabrican las tapas de refresco es más espeso, y por lo tanto más caro, que el resto. Suponiendo que su precio es el doble, calcular las dimensiones que debería tener la lata de 355 para el costo del material sea el mínimo. 12. Un productor dispone de 600 hectáreas para sembrar y sabe que la ganancia total G(en euros) que obtendrá de su producción depende del número x de hectáreas sembradas, viniendo dada por la siguiente expresión: . Calcula cuántas hectáreas debería sembrar para obtener la máxima ganancia posible. ¿Cuánto ganaría si sembrara las 600 hectáreas de las dispone?

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TEMA 5


20. Una isla está a 10 km del punto B más cercano sobre una playa recta. Una tienda está en el punto C, a 26 km de B sobre la playa. Si un hombre rema a razón de 5 km/h y camina a razón de 13km/k. ¿En qué punto debería desembarcar para ir de la isla a la tienda en el menor tiempo posible? 21. Un recipiente cilíndrico de lámina (cerrado en ambos extremos) ha de tener V como volumen. Hallar las dimensiones de modo que se requieran la mínima cantidad de material. 22. Halle las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en un cono circular recto de radio 10 cm y altura 24 cm. 23. Un jardinero construye un jardín en forma de sector circular e perímetro igual a 30 cm. ¿Cuál es el jardín de mayor superficie cubierta? 24. Un fabricante desea construir cajas cerradas de 128 de capacidad, las bases deben ser un rectángulo cuyo largo es el doble del ancho. El precio del material para la base y la tapa es de s/. 6.00 por y para los lados es s/. 4.00 por . Hallar las dimensiones de la caja que minimizan su costo. 25. Se desea hacer un embudo cónico que tenga la generatriz . ¿Cuál debe ser la altura de dicho cono, para que su volumen sea el mayor posible? 26. Hallar el área del mayor rectángulo que tenga un perímetro de 50 centímetros. 27. Expresa el número 16 como suma de dos números cuyo producto sea máximo.

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TEMA 5


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37. En la producción y comercialización de un producto la función demanda y la función costo dependen de la cantidad x (con ) respectivamente

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. Si la función de ganancia de la

operación está por determinar el valor de x para el cual se obtiene la mayor ganancia. 38. Se sabe que el precio de cierta piedra semipreciosa es proporcional a su peso

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elevado a y que una piedra de este tipo de 25 gramos de peso vale 40000 pesetas. Si una de estas piedras se rompe en dos trozos, a la diferencia entre el precio de la piedra entera y la suma de los precios de los trozos resultantes se llama “depreciación por fractura”. Si una piedra de p gramos de peso se fractura en dos trozos ¿Cuál debe ser el peso de los dos trozos para que la depreciación sea máxima? Hallar esa depreciación máxima en el caso de la piedra de 25 gramos. 39. Construir un transformador de corriente alterna es importante insertar en la bobina un núcleo de hierro en forma de cruz de brazos iguales con sección máxima. La figura 1 adjunta muestra la sección recta del núcleo con dimensiones aproximadas. Halle los valores más adecuados de x e y si el radio de la bobina es a.












TEMA 5

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euros/m3, el volumen de madera que se venderá será igual a m3. Calcular el precio al que debe vender la madera para obtener un beneficio máximo. 44. Calcule la longitud máxima que puede tener una barra de hierro para que se pueda girar, manteniendo paralela al suelo, en un pasillo de 2 metros de ancho que tiene un ángulo recto. 45. Para la producción de determinado bien en una fábrica se necesita invertir dinero en contratar empleados y en comprar ciertas máquinas. El empresario dueño de la fábrica ha estimado que si compra x máquinas y contrata y obreros, el número de unidades del producto que se podrán fabricar viene dado por la función . Cada máquina le supone una inversión de 5500 euros y cada contrato de un nuevo obrero otra de 1500 euros. Sabiendo que el empresario sólo dispone de 500000 euros, determine el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maximizar su producción. 46. Determine las dimensiones de la caja sin tapa y de volumen máximo que se puede construir recortando un cuadrado (figura 1) en cada esquina de un panel cuadrado de 120 m de lado.

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TEMA 5


Figura 3 50. Se desea fabricar cajas abiertas de piezas de cartón cuadrados de 42 cm de lado,












TEMA 5

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3. Reconstruir un polinomio de grado 3 del que sabemos que P(0) = 2, P´(0) = 3, de P´´(0) = 6 y P´´´(0) = -4. 4. Sea Q(x) un polinomio de grado grado 2 tal que Q(2) = -1, Q´(2) = 3 y Q´´(2) = 4. Expresar dicho polinomio en potencias de (x – 2). 2). Expresar el polinomio Q(x) en la forma habitual, es decir en potencias de x. 5. Para cada una de las siguientes funciones calcular el polinomio de Taylor de grado pedido, en punto punt o indicado. 5.1 , grado 4, 5.2 , grado 4, 5.3 , grado 6, 5.4 grado 4, 5.5 , grado 7, 5.6 , grado 4,

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Aplic Derivada Tema 5

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