LICEO Nº1 JA JAVIERA VIERA CARRERA MATEMÁTICA PROBABILIDADES 1º medio
Profesor: Benjamín Rojas F.
Introducción La probabilidad se ha usado en nuestros quehaceres diarios para mostrar la ocurrencia o no ocurrencia de alunos hechos que llamaremos sucesos o e!entos. "l c#lculo de las probabilidades es el estudio de estos sucesos o e!entos $ las le$es que los rien.
E!erimento "#e"torio: "%perimento cu$o resultado no puede saberse con certe&a de antemano. Ejemplos : Ejemplos : ') "l lan&amient lan&amiento o de una moneda al aire. ) "l lan&amiento de un dado. ) *acar una carta de un naipe inl+s. saberse de antemano. antemano. E!erimento determin$%tico: "%perimento cu$o resultado puede saberse conjunto formado formado por todos los los resultados resultados posible posibless de un e%perimento e%perimento aleatorio, aleatorio, se E%!"cio mue%tr"#: "s un conjunto simboli&a con la letra E& Ejemplos :
')
"n el lan& lan&am amie ient nto o de una una mone moneda da,, el espa espaci cio o mues muestr tral al est# est# defi defini nido do como como::
" cara, sello ) "n el lan&amient lan&amiento o de un dado, el espacio espacio muestr muestral al est# definido definido como: como: " ', , , /, ., - ) "n el lan&amiento lan&amiento de dos monedas que es lo mismo mismo que lan&ar una moneda seuida seuida de otra moneda, el espacio muestral est# definido como: " cara cara, cara sello, sello cara, sello sello
Di"'r"m" de (r)o# * 'r(+ico de un e%!"cio mue%tr"# Ejemplo : ') "n el lan&amiento lan&amiento de dos monedas, monedas, encontrar encontrar el espacio espacio muestral0 muestral0 hacer un diarama diarama de #rbol $ un r#fico para encontrar los posibles resultados. '1 lan&amiento
moneda
1 lan&amiento cara
cara
sello
(cara,sello)
(sello,sello)
(cara, cara)
(sello,cara)
sello
cara
cara sello sello
cara
sello
moneda
Ejercicio: Ejercicio: "ncuentra el espacio muestral0 hacer un diarama de #rbol $ un r#fico r#fico para encontrar los posibles resultados. ') ) ) /)
"l lan&a lan&amie miento nto de de tres tres moned monedas. as. "l lan&am lan&amien iento to de de dos dos dados. dados. 2l e%traer e%traer dos bolitas bolitas de una caja que contiene contiene cuatro cuatro bolitas bolitas !erdes $ tres tres rojas. rojas. *acar una una ficha ficha de una caja caja que contien contienee nue!e fichas fichas numeradas numeradas del ' al 3. 3. '
) Lan&ar dos dados $ anotar la suma de los puntos obtenidos. -) Responder al a&ar dos preuntas cu$as respuestas posibles son !erdadero o falso.
E,ui!ro)")i#id"d: Los resultados de un e%perimento aleatorio que se repite bajo las mismas condiciones se pueden reistrar en una tabla de distribuci4n de frecuencias. La equiprobabilidad se re5 fiere a que las frecuencias relati!as tienden a estabili&arse en !alores parecidos para los diferentes resultados posibles de obtener, se conclu$e entonces que los resultados son e5 equiprobables.
Suce%o o e-ento: "s un subconjunto de un espacio muestral asociado a un e%perimento aleatorio. Ejemplo: ') 2l lan&ar dos dados escribir el suceso 2: 6que la suma de ambos dados sea menor que 7. entonces 2
(',') 0 (,) 0 (',) 0 (,') 0 (',) 0 (,')
) 2l lan&ar monedas al aire escribir el suceso B: 6que salan como m#%imo dos sellos7 entonces: B (c, s, s) 0 (s, c, s) 0 (c, c, s)
Pro)")i#id"d c#(%ic" 8os da la idea de que es posible calcular la ocurrencia de un determinado resultado bajo ciertas condi5 ciones antes de reali&ar el e%perimento. La forma de obtener la probabilidad cl#sica es aplicando la 6rela de Laplace7
Re'#" de L"!#"ce: *i en un e%perimento aleatorio el espacio muestral " tiene n resultados equiprobables, entonces: '
La probabilidad de la ocurrencia de uno de ellos es: P
La probabilidad de la ocurrencia de un suceso que consta de . de dichos resultados
n
es: P
9
n
e lo anterior la rela de Laplace define la probabilidad de la ocurrencia de un suceso, como: P
n;mero de casos fa!orables
n;mero de casos posibles
Ejemplos: ')
P
'
) = "!ento: B: que sala un n;mero menor que
', , , /, ., - ', , , /, .
P
'
Suce%o cierto o %e'uro: "s el suceso que siempre ocurre $ la probabilidad de que ocurra es '. Ejemplo: 2l lan&ar un dado, considerar el e!ento 20 que sala un n;mero menor que '?.
Suce%o im!o%i)#e: "s el suceso que nunca ocurre $ la probabilidad de que ocurra es ?. Ejemplo: 2l lan&ar un dado, considerar el e!ento B0 que sala el n;mero '@.
not":*i P(2) es la probabilidad de que ocurra el suceso 2, entonces la probabilidad de que no ocurra 2 es P( 2 )
$ se cumple que:
P( 2 )
' A P(2)
PROBABILIDADES 1º medio ') ispones de tarjetas numeradas del ' al $ de una moneda. *i e%traes al a&ar una tarjeta $ lan&as al aire la moneda : a) "scribe los elementos del espacio muestral ". b) ibuja un diarama del espacio muestral ". c) "n el diarama anterior destaca los elementos del suceso 2, que consiste en que sala un n;mero par en la tarjeta $ sello en la moneda. ) e un conjunto de / tarjetas numeradas del ? al , respecti!amente, se e%traen dos de ellas al a&ar. a) = b) 2nota el conjunto " con todos sus elementos. c) "scribe detalladamente el e!ento B : que la suma de los n;meros de las dos tarjetas e%traídas sea me5 nor que . ) *e lan&an al aire / monedas. a) "scribe una lista ordenada de los resultados posibles. b) 2nota en detalle el e!ento < : que salan tres o m#s caras. c) "scribe los elementos del suceso : que salan como m#%imo dos sellos. d) = /) "n el lan&amiento de tres dados. a) = b) "scribe en detalle el e!ento 2 : que en los tres dados sala el mismo n;mero. c) b) = c) e todas las parejas de fichas, =cu#ntas de ellas est#n formadas por dos fichas rojas si se de!uel!e la que $a se e%trajo>
conce!to c#(%ico de !ro)")i#id"d ') "n el lan&amiento de tres monedas, calcula la probabilidad de que ocurra : a) "!ento 2 : que salan al menos dos caras. b) "!ento B : que salan menos de dos sellos. ) "n el e%perimento aleatorio del lan&amiento de dos dados, calcula la probabilidad de que ocurra : a) u+ salan dos n;meros pares. b) ue la diferencia en !alor absoluto sea . c) ue la suma sea menor o iual que /. c) ue la suma de los n;meros sea .
) "n el lan&amiento de dados calcula la probabilidad de que ocurra : a) "!ento 2 : que salan ases. b) "!ento B : que en los tres dados sala el mismo n;mero. /) e un naipe de cartas se e%traen dos. a) ue sea a&ul. b) ue sea blanca o roja. c) ue no sea blanca. d) ue no sea a&ul. @) Las cartas del al 3 de cora&ones $ del al 3 de tr+boles se barajan $ se colocan al a&ar, una al lado de la otra. 3) La probabilidad de que un e!ento 2 ocurra es % $ la de que no ocurra es %.
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