Eduardo Alarcón B.
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UL TAD D DE I NGENIERÍA F AC ULTA
PROBABILIDADES Y E STADÍSTICA Probabilidades Segundo Semestre, 2014
L ARCÓN B. Profesor: E DUARDO A LARCÓN U BÉN L EIVA EIVA R . Profesor ayudante: R UBÉN
Segundo semestre 2014
A, B y C son eventos arbitrarios asociados a Ω , demuestre que: Ejercicio 1. Si A, P(A ∪
B ∪ C ) = P (A) + P(B ) + P(C ) − P(A ∩ B ) − P(B ∩ C ) − P(A ∩ C ) + P(A ∩ B ∩ C )
A 1 , A 2 y A A 3 sucesos tales que A 1 ∪ A2 ∪ A3 = Ω y A1 ∩ A2 = A 1 ∩ A3 = A 2 ∩ A3 . Sabiendo que Ejercicio 2. Sean A P(A1 ) =
1/4 y P(A2 ) = 1/2, hallar P(A3 ) en función de P(A1 ∩ A2 )
Ejercicio 3. Suponga que se elige una carta de un grupo de veinte, que contiene diez cartas rojas y diez azules numeradas del 1 al 10. Se definen los siguientes sucesos:
A={Se elige una carta con número par}. B ={Se elige una carta azul}. ={Se elige una carta con número menor que 5}. Describa el espacio muestral ( S ) y cada uno de los siguientes C ={Se sucesos en términos de subconjuntos: a) A ∩ B ∩ C b) B ∩ C c c) A ∪ B ∪ C d) A ∩ (B ∪ C ) e) Ac ∩ B c ∩ C c
Ejercicio 4. Se sabe que 2/3 de los alumnos del M.B.A. son menores de 30 años. Se sabe además que 3/5 del total de alumnos son hombres. Por último, se sabe que 5/8 del total son mujeres o mayores de 30 años. Se desea seleccionar un delegado del curso para que represente los intereses de los alumnos ante la Dirección del Programa. ¿Cuál es la probabilidad que el delegado sea mujer y menor de 30 años?
Ejercicio 5. Cierto teléfono público(que usalmente falla) devuelve la moneda insertada con probabilidad 0,6; hace la conexión con el número que uno marca con probabilidad 0,2; se queda con la moneda y no da la conexión requerida con probabilidad 0,3. Encuentre la probabilidad que una persona haga la llamada gratis.
Ejercicio 6. Un sistema puede tener tres tipos de defectos: A i (i = 1, 2, 3) es cuando este sistema tiene un defecto del tipo i i . Suponga que:
P ( P (A1 ) = 0, 12 P ( P (A2 ) = 0, 07 P ( P (A3 ) = 0, 05 P ( P (A1 ∪ A2 ) = 0, 13 P ( P (A1 ∪ A3 ) = 0, 14 P ( P (A2 ∪ A3 ) = 0, 10 P ( P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0, 01
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a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema no tenga el defecto tipo 1? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga defectos tipo 1 y 2 al mismo tiempo? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga defectos tipo 1 y 2 al mismo tiempo, pero que no tenga defectos tipo 3?
Ejercicio 7. En el programa Sábado Gigante, el animador ofrece a un concursante la posibilidad de ganarse un automóvil nuevo. Tanto el animador como el concursante van a lanzar un par de dados; si el segundo obtiene una suma de puntos mayor al primero se lleva el auto, pero si es menor, sólo ganará 1000 dólares. Primero tiró los dados el animador; sumaron 9. ¿Qué probabilidad tenía el concursante de ganar el automóvil?. Justifique.
Ejercicio 8. ¿Cuántos números de 4 cifras menores de 2367 se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, si cada dígito se usa una sola vez? Además, describa todos los resultados posibles.
Ejercicio 9. El Consejo Directivo de Door Company está formado por 12 integrantes, 3 de los cuales son mujeres. Se va a redactar un nuevo manual de políticas y procedimientos para la empresa. Debe seleccionarse un comité de 3 personas en forma aleatoria entre el Consejo, para que escriban el manual. a) ¿De cuántas maneras pueden formar un comité en que todos sus integrantes sean hombres? b) ¿De cuántas maneras pueden formar un comité en que al menos un integrante sea mujer?
Ejercicio 10. A partir de 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas formas podrá hacerse si: a) todos son elegibles; b) un físico particular ha de estar en esa comisión;
Ejercicio 11. Se deben enviar cinco jueces federales a cierto estado. El jefe del senado estatal envía al presidente una lista que contiene los nombres de 10 hombres y 4 mujeres. Si el presidente decide que de los 5 jueces, tres deben ser hombres y dos deben ser mujeres ¿de cuántas maneras puede lograrse lo anterior?.
Ejercicio 12. En muchos estados de la unión americana, las placas de automóviles se identifican por 3 letras y 3 números. ¿Cuál es el número total si ninguna letra de placas puede usarse más de una ocasión en la misma placa?. ¿Cuál es el número total sin esta restricción?. (Considere que el alfabeto tiene 26 letras)
Ejercicio 13. El testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó, le indica a un policía que el número de matrícula del automóvil tenía las letras RLH seguidas por 3 dígitos, el primero de los cuales era un cinco. Si el testigo no puede recordar los otros dos dígitos, pero está seguro que era los tres distintos, encuentre el número máximo de registros de automóvil que debe verificar la policía.
Ejercicio 14. Cuatro matrimonios compraron ocho lugares para un concierto. ¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse? a) Sin restricciones b) Si se sientan por parejas c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las mujeres.
Ejercicio 15. Una mano de póker consiste en cinco cartas seleccionadas sin reemplazamiento de una baraja de 52 (sin comodines). Determinar la probabilidad de obtener las siguientes combinaciones: a) Escalera de color: las cinco cartas consecutivas y de la misma pinta. b) Escalera de color real: escalera de color con el As como carta mayor, detrás de la K.
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c) Póker: cuatro cartas con la misma numeración. d) Póker de ases.
Ejercicio 16. Un sobre contiene 10 estampillas de $20; 5 estampillas de $15 y 2 estampillas de $10. Se sacan 6 de ellas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus valores no exceda de $100?.
Ejercicio 17. En un examen, un estudiante aprobaría el examen si obtiene al menos una de las siguiente cali- ficaciones: A, B ó C. La probabilidad de que saque A ó B es de 0,6. Indique la probabilidad de que obtenga C, considerando que la certeza de que apruebe el examen es 0,9.
Ejercicio 18. En una industria de productos Químicos, las unidades son producidas por tres líneas en pro- porciones 25:35:40. Un 5 % un 4 % y un 2 % de las unidades producidas por cada línea, respectivamente, son defectuosos. Las unidades son mezcladas y enviadas a los compradores. a) Determine la probabilidad que una unidad escogida al azar sea defectuosa. b) Si un cliente encuentra una unidad defectuosa, determine la probabilidad que se haya producido en la primera línea.
Ejercicio 19. Se sabe que un Suero de Verdad aplicado a un sospechoso es 90 % confiable cuando la persona es culpable y 99 % confiable cuando la persona es inocente. Si se selecciona un individuo de un grupo de sospechosos, de los cuales se sabe que sólo un 5 % de ellos ha cometido un crimen, se le aplica el suero de verdad el cual implica que es culpable. ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo sea inocente?
Ejercicio 20. En una prueba de Métodos Estadísticos un alumno dispone de siete lápices para realizar esta prueba, de los cuales dos son de color rojo y cinco de color azul. El alumno selecciona un lápiz al azar y enseguida extrae el otro de los restantes. a) Defina los eventos involucrados b) ¿Cuál es la probabilidad que el primer lápiz extraído sea azul y el segundo sea de color rojo? c) ¿Cuál es la probabilidad que el segundo lápiz extraído sea rojo?
Ejercicio 21. El departamento de personal de una empresa ha descubierto que solo el 60 % de los candidatos entrevistados están realmente calificados para asumir un cargo en la compañía. Una revisión de los registros de la firma muestra que quienes estaban calificados, el 67 % tuvo un entrenamiento previo en estadística, mientras que el 20 % de quienes no estaban calificados habían recibido instrucción estadística. Se perdió mucho tiempo entrevistando a los candidatos que resultaron que resultaron no calificados; sin embargo el director está considerando conceder entrevistas sólo a aquellos candidatos que tengan capacitación en estadística, entonces ¿será más probable que ud. esté calificado dado que ha tenido capacitación estadística?.
Ejercicio 22. Una compañía estudia la comercialización de un nuevo producto. El presidente de la compañía desea que el producto sea superior al de su más cercano competidor. Con base a una evaluación preliminar que realizó el personal clave, decide asignar una posibilidad del 50 % de que el producto sea superior al ofrecido por el competidor, 30 % de que tenga la misma calidad y un 20 % de que sea inferior. Un estudio de mercado sobre el producto concluye que peste es superior al del competidor. Con base a la experiencia sobre los resultados de las encuestas, se determina que si el producto es realmente superior, la probabilidad de que la encuesta alcance la misma conclusión es 0,7. Si el producto tiene la misma calidad que el competidor, la probabilidad de que la encuesta de como resultado un producto superior es 0,4. Si el producto es inferior, la probabilidad de que la encuesta indique un producto superior es de 0,2. Dado el resultado de la encuesta, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un producto superior?
Ejercicio 23. Un inversionista está pensando en comprar un número muy grande de acciones de una compañía. La cotización de las acciones en la bolsa, durante los 6 meses anteriores, es de gran interés para el inversionista.
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Con base a esta información, se observa que la cotización se relaciona con el producto nacional bruto. Si el PNB aumenta, la probabilidad de que el valor de las acciones aumente es de 0,8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor de de 0,2. Si el PNB disminuye, la probabilidad es de sólo 0,1. Si para los siguientes 6 meses se asignan probabilidades 0,4; 0,3 y 0,3 a los eventos el PNB aumenta, es el mismo y disminuye, respectivamente, determine la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los próximos 6 meses.
Ejercicio 24. Con base en estudios anteriores una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad, de descubrir petróleo, las formaciones geológicas en tres tipos. La compañía pretende perforar un pozo en un de- terminado sitio, al que se le asignan las probabilidades de 0,35, 0,40 y 0,25 para los tres tipos de formaciones respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40 % en formaciones del tipo I, en un 20 % en formaciones del tipo II y en un 30 % en formaciones del tipo III. Si la compañía no descubre petróleo en ese lugar, determine la probabilidad de que exista una formación del tipo II.
Ejercicio 25. Una caja contiene 5 ampolletas de los cuales 2 son defectuosos. Se prueban las ampolletas una tras otra hasta que se descubren las dos defectuosas. Suponiendo independencia entre los estados de las ampolletas, calcule la probabilidad de que: a) Se suspenda el proceso en la segunda prueba. b) Se suspenda el proceso en la tercera prueba.
Ejercicio 26. Ud. decide comprar tres acciones diferentes. La probabilidad de que la primera aumente su valor es 1/3, la probabilidad de que la segunda aumente su valor es 3/4 y la probabilidad de que la tercera aumente su valor es 1/10. Suponiendo que el aumento de una es independiente del aumento de la otra acción, determine la probabilidad de que: a) Todas aumenten su valor b) Ninguna aumente su valor c) Una aumente su valor d) Dos aumenten su valor e) Por lo menos dos aumenten su valor f) Por lo menos una aumente su valor
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