UNIVERSIDAD DE LIMA ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERIA ASIGNATURA : ESTADISTICA Y PROBABILIDAD I
II GUIA DE PRACTICAS
CONSTRUCCION DE ESPACIOS MUESTRALES EVENTOS 1.
En cada uno de los siguientes casos describe el espacio muestral a) Cada una de las 3 partes de una máquina es clasificada como sobre o por debajo de la especificación fijada. b) Al solicitar un sistema de cómputo se puede especificar memoria de 4, 8, o 12 gigabytes, y disco duro de 200, 300, o 400 gigabytes.
c) Considere el experimento de extraer dos cartas de una bolsa que contiene 4 cartas marcadas con los enteros del 1 al 4 si: i) La primera carta se repone antes de sacar la segunda. ii) La primera carta no se repone. d) Un distribuidor ofreceautomóviles ofreceautomóviles con las siguientes opciones: y Con o sin transmisión automática y Con o sin aire acondicionado y Con o sin equipo de sonido y Tres colores: rojo, azul y negro 2.
Consideremos el experimento aleatorio de lanzar un dado. a) Sean los eventosA = {el resultado es par}, B = {el resultado es superior a 2} . Describir los siguientes eventos: A U B, A B, Ac, Bc, A B , B A b) Si definimos los eventos: C = {el resultado es 1 o 5}, D = {el resultado es 1} i) ¿es C incompatible con alguno de los eventos A, B o D?; ii) ¿son exhaustivos los eventos A y B? iii) ¿y los eventos A, B y C? iv) ¿forman una partición los eventos A, B y D?
3.
En el siguiente diagrama de Venn se muestran 3 eventos: Reproduce la figura y sombrea la parte que corresponde a cada uno de los l os siguientes eventos: a) A U B b) (A U C) B A B c) (B U C) d) (A C) B e) (A B) U C C
4.
Un aparato con escala digital es usado para pesar productos y redondea las mediciones al gramo más próximo. a) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? experimento? b) Sea A: un peso es mayor a 11 gramos, sea B: un peso es menor o igual a 15 gramos y sea C un peso es mayor o igual a 8 gramos y menor de 12 gramos Describe los siguientes eventos: i) A U B ii) A B iii) A U B U C
TECNICAS DE CONTEO 5.
Una computadora contiene tres conmutadores, cada uno de los cuáles puede instalarse de tres maneras diferentes. ¿De cuantas maneras diferentes puede instalarse el banco de conmutadores de la computadora?
6.
Un sistema de alarma de seguridad se activa y desactiva introduciendo el código numérico de tres dígitos apropiado en el orden correcto en un tablero digital. a) Calcule el número total de posibles códigos si ningún dígito se puede utilizar dos veces. R. 720 b) Calcule el número total de posibles códigos si los dígitos se pueden utilizar más de una vez . R. 1000
7.
Seis personas esperan la llegada del autobús de una línea de transporte urbano a) ¿De cuantas maneras pueden formarse 6 personas para subir al autobús? R. 720 b) si tres de ellas insisten en seguirse una a la otra, ¿en cuantas formas es esto posible? R. 144 c) Si dos personas se rehúsan a seguirse una a la otra?R. 480
8.
¿Cuántos números de 4 cifran pueden formarse con dígitos
9.
En la asignatura de Marketing el profesor pide a los alumnos que realicen una serie de trabajos por grupos que a final de curso deberán exponer en clase . Los alumnos se dividen en 7 grupos y el profesor propone 10 trabajos distintos. a) ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir los trabajos entre los grupos, sabiendo que es posible que dos grupos realicen el mismo trabajo? R . 10´000,000 b) ¿Y si se quieren repartir trabajos distintos a los 7 grupos? R. 604800
10.
Existen 8 alumnos postulantes a u na práctica remunerada. a) ¿De cuántas formas pueden asignarse 8 puestos distintos para ellos? R. 40320 b) Suponga que solo existen seis puestos distintos para los 8 alumnos, ¿de cuántas formas puede asignarse los puestos para ellos? R. 20160 c) Suponga que los 6 puestos tienen similares características en cuanto a asignación de trabajo, responsabilidad y remuneraciones, ¿de cuántas formas pueden asignarse los puestos para ellos? R. 28
11.
Unas lavadoras automáticas pueden tener 5 tipos de defectos mayores y 5 de defectos menores, ¿de cuántas maneras pueden ocurrir: a) Un defecto mayor y un defecto menor? R. 25 b) Dos defectos mayores y dos defectos menores? R. 100
12.
El gerente de una fábrica desea determinar el numero de maneras en que puede asignar trabajadores al primer turno. Cuenta con 12 hombres que pueden servir como operadores, 8 que pueden desempeñarse en mantenimiento y 4 que pueden ser supervisores . Si el turno requiere 6 operadores, 2 trabajadores de mantenimiento y 1 supervisor, ¿de cuántas maneras puede integrarse el primer turno?. R. 103488
13.
Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen . a) ¿De cuántas formas puede escogerlas? R. 45 b) ¿De cuántas formas puede escogerlas si las tres primeras son obligatorias? R. 21 c) ¿De cuántas formas puede escogerlas si tiene que contestar 4 de las 5 primeras? R. 25
14.
La Escuela de Ingeniería participará en unas próximas olimpiadas internas y debe formar una posta que consta de tres alumnos, tres alumnas y dos profesores. El encargado de formarla debe elegir entre cinco alumnos, seis alumnas y cuatro profesores. Si el orden en que se corre es importante: a) ¿De cuántas maneras puede hacerlo? R. 48384000 b) R. 1728000
0,1,.,9 si: a) Se permite las repeticiones. R. 9000b) No se permite las repeticiones. R. 4536 c) El último dígito debe ser cero y no se permite las repeticiones. R. 504 d) El número formado debe incluir el 5 y se permite las repeticiones. R. 3168
b)
Si los profesores deciden correr en los dos primeros lugares, ¿de cuántas formas se puede formar la posta?
PROBABILIDADES BÁSICAS
Calcule las siguientes probabilidades: P(A), P(B),
15.
Sean A y B dos sucesos tales que:
16.
Un lote de producción tiene 100 unidades, de las cuales se sabe que 20 están defectuosas . Una muestra aleatoria de 4 unidades se selecciona sin reemplazo . ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga a lo más dos unidades defectuosas? R. 0.9755
17.
Se sabe que 6 alumnos están haciendo cola en una ventanilla. Determine la probabilidad de que: a) El más alto y el más bajo estén en los extremos de la cola R. 0.0667 b) El más alto y el más bajo estén juntos R. 0.3333 c) El más alto esté delante del más bajo R. 0.5
18.
Una empresa recibe semanalmente pedidos de uno de sus clientes. Se dispone de la siguienteinformación acerca del tipo de productos que solicita: el 25% de las ocasiones incluye en supedido el producto A, el 40% de las veces, el B y en el 15% de los pedidos se solicitan losdos. Calcular la probabilidad de que la semana próxima este cliente solicite: a) Alguno de los dos productos. R. 0.5 b) El producto A y no el B . R. 0.10 c) El A o no solicite el B . R. 0.75
19.
Un alumno tiene que estudiar 5 cursos . Si decide estudiarlos en orden aleatorio, ¿cuál es la probabilidad de que Matemáticas lo estudie antes que Historia? R. 0.5
20. En una zona de Lima hay cuatro lugares en los que reparan computadoras . Si cuatro computadoras de igual número de personas se descomponen, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente llamen a dos de estos lugares? R. 0.328125 21. Disponemos de 3 textos de Estadística, 2 de Física y 4 de Visual Basic . Se colocan aleatoriamente. ¿Cual es la probabilidad de que aparezcan juntos los de cada materia? R. 0.0044762 22. Una agencia de renta de automóviles cuenta con 18 autos compactos y 12 autos de tamaño mediano. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro de los automóviles para una inspección de seguridad, ¿que probabilidad hay de obtener dos de cada tipo? R. 0.368473 23. Suponga que usted rinde un examen de 10 preguntas de selección múltiple sobre una materia de la cual usted no sabe absolutamente nada. 5 de las 10 preguntas tienen 4 respuestas posibles (a, b, c y d), de las cuales sólo una es la correcta. Las restantes 5 preguntas son del tipo verdadero - falso, por lo que tienen solo dos alternativas. Si usted contesta el examen completamente al azar, y cada pregunta bien contestada tiene un valor de 2 puntos, ¿cuál es la probabilidad de obtener la nota 18? R. 0.00061035 24. Para evaluar a un grupo de participantes en un curso de extensión un profesor ha decidido aprobar a aquellos que superen con éxito, al menos, una de las 2 partes del examen; con este procedimiento aprobaron el 80% . Se sabe además que superaron con éxito cada una de las dos partes del examen el 60% y 50% respectivamente . ¿Q ue porcentaje superó con éxito ambas pruebas? R. 30% 25. Con el propósito de determinar algunos indicadores laborales, los 170 trabajadores de una empresa fueron sometidos a 3 tipos de evaluación. Los resultados fueron: 110 aprobaron la evaluación I. 100 la evaluación II y 90 la evaluación III. Los que aprobaron sólo las evaluaciones I y II fueron 10, sólo las evaluaciones I y III fueron 20, los trabajadores que aprobaron sólo las evaluaciones II y III fueron 15. Además, se conoce que 155 aprobaron al menos una de las tres evaluaciones. Si se elige un trabajador al azar, calcule: a) La probabilidad de que haya aprobado las tres evaluaciones R. b) probabilidad de haya aprobado lo dos evaluaciones
c) La probabilidad de que haya aprobado la IIóla III evaluación, pero no la I.
R.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y PRODUCTO 26. Sean dos sucesos A y B que cumplen P(B|A) = 0 .3, P(B|AC) = 0 .7, y P(B) = 0 .6. Indicarsi es verdadera o falsa cada una de las afirmaciones siguientes, razonando la respuesta, a) A y B son independientes. b) P(A) = 0 .25. c) A y AC son independientes d) A y B son incompatibles. 27. Las probabilidad a priori de los eventos A y A son P(A )=0,40 y P(A )=0,60. También se sabe que 1
2
1
2
Suponga que P(B/A )=0,20 y que P(B/A 2)=0,50. Con esa información, calcule: a) . R. 1 R. 0.08 , 0.30 1
c) P(B) R. 0.38 d) P(A /B) y P(A /B) R. 0.211, 0.789 1
2
28. El 70% de los estudiantes aprueba una asignatura A y un 60% aprueba otra asignatura B.Sabemos, además, que un 35% del total aprueba ambas . Elegido un estudiante al azar, calcula lasprobabilidades de que se produzcan las siguientes situaciones: a) Q ue haya aprobado la asignatura B, sabiendo que ha aprobado la A. R. 0.5 b) Q ue haya aprobado la asignatura B, sabiendo que no ha aprobado la A. R. 0.8333 c) Q ue no haya aprobado la asignatura B, sabiendo que ha aprobado la A. R. 0.5 d) Q ue no haya aprobado la asignatura B, sabiendo que no ha aprobado la A. R. 0.1667 29. Una compañía se encuentra dividida en tres sectores: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división, clasificados por sexo: Sector Administración Operación de planta Ventas
Mujer 40 100 60
Hombre 90 130 80
Se elige aleatoriamente un empleado . a) Calcule la probabilidad de que trabaje en ventas sabiendo que es hombre. R. 0.267 b) Calcule la probabilidad de que sea hombre sabiendo que trabaja en ventas. R. 0.571 30. Un inversor elige entre dos tipos de valores, A y B, con probabilidades 1/3 , 2/3 respectivamente .Si elige los valores A, la probabilidad de obtener beneficios es 1/4, mientras que sielige B, es 2/5 . Calcular la probabilidad de que: a) Haya obtenido beneficios. R. 0.35 b) Haya invertido en los valores A y no haya obtenido beneficios. R. 0.25 c) Haya invertido en los valores A si no ha tenido beneficios.R. 0.3846 d) Si ha obtenido beneficios, haya sido con los valores B. R. 0.41025 31. El proceso de producción de una fábrica depende del funcionamiento de dos máquinas, A yB. La experiencia indica que en un mes dado la probabilidad de que falle la máquina A esde 1/3, la de que falle la B es de 1/4 y la de que fallen las dos es 1/10. Considerando los eventos: A = Falla la máquina A B = Falla la máquina B Escribir los siguientes eventos en función de A y B y calcular sus respectivas probabilidades: a) Habiendo fallado B, también falle A . b) Habiendo fallado A, falle también la B. c) Falle A sabiendo que las dos han fallado.
32. En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca una situación de peligro es 0.1. Si ´este se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es 0.95 y la de que funcione la alarma sin haber peligro es 0 .03. Hallar: a) Probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no haya habido peligro. R. 0.2213 b) Probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione. R. 0.005 c) Probabilidad de que, no habiendo funcionado la alarma, haya peligro. R. 0.00569 33. Un actuario está estudiando la prevalencia de 3 factores de riesgo en la salud, denotados por A, B, y C en una población de mujeres. Para cada uno de los 3 factores la probabilidad es 0.1 de que una mujer en esta población tenga sólo este factor de riesgo (pero no los otros) . Para cualquiera de dos factores, la probabilidad es 0 .12 de que ella tenga exactamente estos dos factores de riesgo (pero no el otro) . La probabilidad de que una mujer tenga los tres factores de riesgo dado que ella tiene A y B es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer no tenga ninguno de los tres factores de riesgo dado que no tiene el factor A?R. 0.467 34. Si la tabla siguiente muestra la distribución del muestreo de camisas vendidas en una tienda de departamentos en el periodo Marzo - Abril del presente año
Manga corta M1
Marca
Manga larga M2
S
M
L
S
M
L
A
20
32
12
35
56
14
B
50
28
8
42
34
19
C
16
12
15
15
22
20
Total S : SMALL
a) b) c) d) e)
M : MEDIUM
L : LARGE
Del total de camisas vendidas, ¿qué porcentaje son de talla M? De entre las camisas de manga larga, ¿qué porcentaje corresponden a la marca C? Calcule P(M / B) Calcule P ?(S U L) / CA Calcule P ?M1 / (S U L) A
PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES 35. Supongamos que hay dos tipos de conductores. Los buenos conductores que representan el 70% de la población, tienen una probabilidad de causar un accidente de 0.1 durante un año. El resto de la población tiene una probabilidad de 0.4 de originar un accidente durante un año . La prima del seguro es de $800 multiplicados por la probabilidad de causar un accidente durante el año siguiente . Un nuevo asegurado tuvo un accidente durante el primer año, ¿cuál tendría que ser su prima de seguro para el próximo año? 36. Dos máquinas A y B producen el mismo tipo de artículo, que pasa a una cinta transportadora. El rendimiento de la máquina A es el doble que el de la máquina B . De la producción de A, el 60% de las piezas son de calidad óptima, y de la de B lo son el 84% . Se selecciona una pieza al azar de la cinta transportadora y resulta ser de calidad óptima. Halle la probabilidad de que la pieza haya sido producida por la máquina A. R. 0.588 37. Las previsiones sobre la inflación de un determinado país para el próximo año la sitúan por debajo del 2% con probabilidad 0,65, entre el 2% y el 3% con probabilidad 0,25 y por encima del 3% con probabilidad 0, 1. Si la probabilidad de crear más de 100.000 empleos es de 0,7 con inflación baja, de 0,4 cuando ésta se sitúa entre el 2% y el 3% y nula en otro caso, calcule: a) La probabilidad de que se creen más de 100.000 empleos. R. 0.555 b) Si antes de conocer el dato de inflación anual, se sabe que se han creado más de 100.000 empleos, ¿cuál es la probabilidad de cada uno de los tres niveles de inflación considerados? R 0 82 , 0.18 , 0 00
38. Un taller artesano tiene 3 empleados, A, B y C, los cuales elaboran vasijas de forma independiente, de manera que la producción total del taller se reparte de la siguiente forma: A produce la mitad de las vasijas, B la quinta parte y C el resto. Se sabe además que el empleado A viene produciendo un 3% de vasijas defectuosas, el empleado B un 2% y el C un 4%. Se pide: a) ¿Q ué porcentaje de vasijas defectuosas se producen en el taller? R. 0.031 b) Si en un día se han producido veinte vasijas defectuosas, ¿cuántas se pueden atribuir a cada empleado? R. 10 , 2 y 8 39. Un supermercado compra quesos elaborados en las fábricas Q y R, comprando a Q , 5 veces lo que le compra a R. Además el 6% de los quesos de la fábrica Q y el 12% de los de R llegan al supermercado en mal estado. a) Halle el porcentaje de quesos que el supermercado compra en mal estado. Resp. 7% b) Decida qué cantidad debe comprar a cada fábrica, si quiere tener en total 2790 quesos en buen estado . R.3000 40. Al llegar a la sala de emergencia de un hospital, los pacientes son clasificados, según su condición, como críticos, graves y estables, el año pasado: el 10% de los pacientes de la sala de emergencia fueron críticos; 30% graves y el resto estables. 40% de los pacientes críticos murieron, lo mismo que el 10% de los pacientes graves y el 1% de los estables. Dado que un paciente sobrevivió, ¿cuál es la probabilidad de que al llegar al hospital haya sido clasificado como grave?. R. 0.29
PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES 41. La probabilidad de que un posible cliente haga una compra cuando unvendedor se comunique con él es de 0,40. Si un vendedor seleccionaaleatoriamente de su base de datos 3 posibles clientes y se comunica conellos: a) ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 posibles clientes efectúen una compra? R. 0.064 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el vendedor haga por lo menos 2 ventas? R. 0.352 c) ¿Cuál es la probabilidad que el vendedor haga por lo menos una venta? R. 0.784 42. Una empresa que vende autos nuevos, tiene en exposición dos, un Fiat de color rojo y un Subaru de color plomo plata. Se estima que el Fiat tiene una probabilidad de 0 .7 de ser vendido en el transcurso del próximo mes, mientras que el Subaru, tiene una probabilidad de 0.9 de ser vendido en el transcurso del próximo mes. Si la venta de un carro no influye en la venta del otro, ¿cuál es la probabilidad que: a) Se vendan los dos autos el próximo mes . R. 0.63 b) Se venda al menos uno de los dos autos el próximo mes. R. 0.97 c) No se venda ninguno de los dos autos el próximo mes. R. 0.03 d) Se venda solamente el Fiat el próximo mes. R. 0.07 43. La probabilidad de que el pedido de un cliente no se despache a tiempo es 0.06. Un cliente realiza 3 pedidos, se considera que el tiempo que hay entre pedidos es independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Todos los pedidos se envíen a tiempo b) Exactamente uno de ellos se envíe a tiempo? c) Dos o más pedidos no se envíen a tiempo?. 44. En un sistema de producción en serie, una máquina automática produce un artículo no defectuoso con una probabilidad de 0.9. Si la producción de cada artículo se efectúa en forma independiente de los demás, hallar la probabilidad de que : a) Hasta el 10moartículo producido ninguno sea defectuoso b) El primer defectuoso el noveno producido. 45. En una fábrica de zapatos se producen por separado, las partes superiores, las suelas y los tacos; las cuales se ensamblan aleatoriamente hasta obtener un zapato. El 5% de las partes superiores, el 3% de las suelas y el 2% de los tacos tienen fallas. Si se elige al azar un par de zapatos, ¿Cuál es la probabilidad de que resulte fallado?
MISCELANEA 46. Una compañía de seguros examina al grupo de clientes que compraron seguros para automóvil y recaba la siguiente información: y Todos los clientes aseguraron por lo menos un automóvil y 70% de los clientes aseguraron más de un automóvil y 20% de clientes aseguraron autos deportivos y DE aquellos que aseguraron más de un auto, 15% aseguraron un auto deportivo Calcule la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar asegure exactamente un auto y que dicho auto no sea deportivo. R. 0.205 47. De dos máquinas A y B se sabe que A fabrica doble número de piezas que B . La máquina A fabrica el 5% de piezas defectuosas y la B el 10%. La fabricación es independiente. Si de una de las máquinas se eligen dos piezas a) Hallar la probabilidad de que ambas sean correctas. R. 0.87167 b) Si las dos piezas elegidas son correctas, ¿cuál es la probabilidad de que sean de la máquina B? R. 0.30975 48. A altas horas de la madrugada, un individuo regresa a su casa . Sólo puede abrir la puerta con una determinada llave de entre las cinco que tiene en su llavero . El portal de la casa está oscuro y no puede distinguir las llaves entre si. El mejor método para abrir la puerta sería ir probando las llaves de una en una, eliminando las que no abran. Pero esta feliz idea se le ocurre sólo con probabilidad 0 .1 debido al lamentable estado en que regresa. El otro método consiste en probar llaves al azar hasta abrir la puerta, sin eliminarlas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que abra la puerta al tercer intento? R. 0.1352 b) Si abre la puerta al tercer intento, ¿qué método es el más probable que haya utilizado? R. el método 2 ( 0.852) 49. Una empresa fabrica chips con un porcentaje de defectuosos del 5%, poniéndolos a la ventaen paquetes de 5 unidades. Una empresa ilegal vende imitaciones indistinguibles del mismo chipcon un porcentaje de defectuosos del 50% y los comercializa en el mismo envase de 5 unidades . a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete legal contenga exactamente dos chips defectuosos? ¿Y si el paquete es ilegal? Teniendo en cuenta que el 10% de los paquetes vendidos en el mercado son ilegales, respondera las siguientes cuestiones: b) Si adquirimos un paquete de chips, ¿cuál es la probabilidad de que contenga exactamentedos chips defectuosos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete que contiene dos defectuosos sea ilegal? 50. En la construcción de unas determinadas obras pueden aparecer anomalías debidas a doscausas que son independientes: fallos de cimentación y mala calidad de los materiales .La primera ocurre con probabilidad del 4% y la segunda con probabilidad del 3%. a) Calcular la probabilidad de que en una determinada obra no aparezca ninguna anomalía. b) Calcular la probabilidad de que aparezcan fallos de cimentación y no mala calidad de los materiales. c) Si se detecta la presencia de anomalías, la construcción puede verse afectada con un desplome en un plazo de tiempo determinado con las siguientes probabilidades: y 0.1, cuando no aparece ninguna de las anomalías. y 0.8, cuando aparece alguna de las anomalías. i ) Calcularla probabilidad de que el edificio se desplome. ii) Si el edificio se ha desplomado,¿cuál es la probabilidad de que se haya producido alguna de las anomalías?
