UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS GUÍA 2 EJERCICIOS RESUELTOS: PROBABILIDADES PROF: PAOLA BARILE 1.
Una clase tiene 10 varones y 5 mujeres. Se escogen 3 estudiantes al azar, uno tras otro. Hallar la probabilidad: 1.1 Que los dos primeros sean varones y el tercero mujer. 1.2 El primero y el tercero varones y el segundo cualesquiera. 1.3 El primero y el tercero sean del mismo sexo y el segundo de sexo opuesto. SOLUCIÓN: Sean los sucesos Hi : {El i-ésimo alumno seleccionado es hombre} Mi : {El i-ésimo alumno seleccionado es mujer} 1.1
P(H1 ∩H2∩M3) = P(H1)⋅P(H2)⋅P(M3) P 10 ⋅ P19 ⋅ P15 = 1 P 15
con
Prn =
3
n!
(n − r ) !
= 0,165 1.2
P10 ⋅ P15 ⋅ P19 P110 ⋅ P19 ⋅ P18 + P(H1 ∩H2∩H3∪H1 ∩M2∩H3) = 1 15 = 0,43 15 P3
1.3
P3
P5 ⋅ P10 ⋅ P 4 P10 ⋅ P5 ⋅ P9 1 1 P(M1∩H2∩M3∪H1 ∩M2∩H3) = 1 115 1 + 1 15 P 3
2.
= 0,24
P 3
La probabilidad que en cierta ciudad llueva un día del año es 0,2. El pronóstico es correcto el 60% de las veces que llueve y el 70% de las veces que no llueve. 2.1 Calcule la probabilidad que el pronóstico sea correcto para un día cualquiera. 2.2 Calcule la probabilidad que un día se pronostique lluvia. 2.3 Calcule la probabilidad que llueva dado que se pronosticó lluvia. SOLUCIÓN: Sean los sucesos
LL: {Llueve};
A: {Se pronostica (avisa) lluvia} A AC LL 0,12 0,08 0,2
P(LL)= 0,2 ⇒ P(LLC)=0,8 P(A/LL)=0,6 ⇒ P(AC /LL)=0,4 P(AC/LLC)=0,7 ⇒ P(A/LLC )=0,3
2.1
2.2 2.3
LLC
0,24
0,36 Sea el suceso C: {El pronóstico es correcto} P(C) = P(A∩LL∪AC∩LLC) = P(A∩LL) +P(AC∩LLC) = 0,12+0,56=0,68. C P(A) = P(A∩LL∪A∩LL ) = P(A∩LL)+P(A∩LLC ) = 0,36. P(LL/A) = P(LL∩A)/P(A) = 0,12/0,36 = 1/3 = 0,3333 1
0,56
0,8
0,64
1,0
El problema se puede resolver usando partición, prob. Total y T. De Bayes. 3.
Jack Twain acaba de visitar a un amigo en el lugar A de la siguiente figura; desea llegar al lugar I. Viajará sólo a lo largo de las trayectorias rectas indicadas y sólo se moverá hacia el norte o al este. En cada intersección donde haya una elección, lanzará al aire una moneda para determinar en cuál de las dos posibles direcciones debe caminar. Un resultado del experimento de Jack consiste en especificar la esquinas visitadas en su viaje.
G
H
I
E D
F A A
B
C
3.1 3.2
Haga una lista de todos los resultados del espacio muestral. Haga una lista de todos los resultados para los que sean necesarios tres tiros de moneda. SOLUCIÓN: H
I
F
I
H
I
H
I
F
I
F
I
E* D* G
A* E* B* C
Las esquinas con * es donde hay elección y por lo tanto, lanzamiento de la moneda. 3.1
Ω = {(ADEHI), (ADEFI), (ADGHI), (ABEHI), (ABEFI), (ABCFI)} 2
3.2 4.
Suponga que se dispone de “m” cajas numeradas de 1 a m, donde debe distribuir “n” bolitas. Calcule el número de maneras en que puede distribuir las bolitas, si cada caja tiene capacidad máxima de 2 bolitas y no puede quedar ninguna vacía. Suponga que m ≤ n ≤ 2m. SOLUCIÓN: m cajas n bolitas con m ≤ n ≤ 2m Ninguna caja vacía, por tanto se coloca 1 bolita en cada caja. Cuando se tienen más bolitas que cajas es necesario dar una segunda vuelta, pero se sabe que el número de bolitas es menor al doble de las cajas, por lo tanto la segunda vuelta no será completa. Habrá (n – m) cajas con 2 bolitas, ya que m bolitas se pusieron en la primera vuelta. Habrá m – (n –m)= 2m – n cajas con 1 bolita, que corresponde al total de cajas menos las que tienen 2 bolitas. Por lo tanto, el número de maneras es la permutación de m cajas considerando que hay (n – m) cajas con dos bolitas y (2m – n) cajas con una bolita. P=
5.
{(ADEHI), (ADEFI), (ABEHI), (ABEFI)}
m!
(n − m )! ⋅ (2m − n )!
En un estado donde los automóviles se tienen que someter a revisiones en relación con la emisión de contaminantes, el 25% de todos los automóviles emiten cantidades de contaminantes excesivas. Cuando se revisan el 99% de todos los automóviles que emiten en forma excesiva serán rechazados, y el 17% de los automóviles que emiten en forma no excesiva también serán rechazados. Un automóvil entró a revisión y fue rechazado, ¿Cuál es la probabilidad que emita contaminantes en forma excesiva? SOLUCIÓN: Sean los sucesos C : { El automóvil emite contaminantes en forma excesiva} y R : { El automóvil es rechazado} R RC
C 0,2475 0,0025 0,25
CC 0,1275 0,6225 0,75
0,375 0,625
P(C/R) = P(C∩R) / P(R) = 0,2475 / 0,375 = 0,66
3
6.
Ciento veinte personas son encuestadas respecto a la preferencia que tienen sobre dos noticieros de T.V., A y B, obteniéndose: 40 ven sólo A 20 ven A y B 30 ven B 6.1 Calcular la probabilidad que: 6.1.1 Una persona vea A dado que ve B. 6.1.2 Al elegir dos personas sin reemplazo, ambas vean sólo A. 6.2 Se seleccionan personas hasta que una responda que ve solo A, o hasta seleccionar 4 personas. 6.2.1 Describa el espacio muestral. 6.2.2 Calcule la probabilidad que en el experimento se seleccionen 4 personas. SOLUCIÓN: 6.1 6.1.1 Sean los sucesos: A = {La persona ve noticiero A} y B = {La persona ve noticiero B} De los datos: P(A∩BC) = 40 / 120 = 0,3333 P(A∩B) = 20 / 120 = 0,1667 P(B) = 30 / 120 = 0,25 P(A/B) =
20 P(A ∩ B) 2 = 120 = = 0,6667 30 P(B) 3 120
6.1.2 Sea Ai = {La persona i ve sólo A} P(A1 ∩ A2) = P(A1) ⋅ P(A2 / A1) = 6.2
Sea el suceso Ai ={La persona i ve sólo A} Ω = {A1 , A1C A2 , A1C A2C A3 , A1C A2C A3C A4 , A1C A2C A3C A4C} 6.2.1 Sea el suceso C = {A1C A2C A3C A4 ∪ A1C A2C A3C A4C} P(C) = P (A1C ∩ A2C ∩ A3C ∩ A4 ) + P ( A1C ∩ A2C ∩ A3C ∩ A4 ) Con reposición: P(C) = 0,66673 ⋅ 0,3333 + 0,66674 = 0,2963 Sin reposición: P(C) =
7.
40 39 ⋅ = 0,1092 120 119
80 79 78 40 80 79 78 77 ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ 120 119 118 117 120 119 118 117
= 0,2926
En una caja hay 3 artículos defectuosos y 2 buenos. Se extraen sucesivamente, uno a uno estos artículos de la caja sin reposición. 7.1 ¿Cuál es la probabilidad de que los 2 primeros artículos extraídos sean buenos? 7.2 Si el segundo artículo extraído es bueno, ¿Cuál es la probabilidad de que el primero fuera bueno?
4
7.3
¿Cuál es la probabilidad de que el primer artículo bueno salga en la tercera extracción? SOLUCIÓN: Sean los sucesos Bi : {El artículo de la i-ésima extracción es bueno} Di: { El artículo de la i-ésima extracción es defectuoso} 7.1
P(B1 ∩ B2) = P(B1) ⋅P(B2 / B1) =
7.2
P(B1 / B2) =
2 1 ⋅ 5 4
= 0,1
P(B 2 /B1 ) ⋅ P(B1 ) P(B 2 )
P(B2) = P(B2 / B1)⋅P(B1)+P(B2/D1 )⋅P(D1) =
1 2 2 3 ⋅ + ⋅ =0,4 4 5 4 5
P(B1 / B2) =
8.
0,1 = 0,25 0,4
P(D1∩D2∩B3) =
7.3
⇒
3 2 2 ⋅ ⋅ = 0,2 5 4 3
En la figura siguiente, A, B y C representan ciudades unidas por carreteras y los círculos numerados representan puentes. B 1 3 A 2 C Como consecuencia de un ataque aéreo, cualquiera de los puentes tiene probabilidad “p” de ser destruido, siendo la destrucción de un puente independiente de otro. Calcule la probabilidad que después de un ataque: 8.1 No haya paso de A a B. 8.2 Dos puentes hayan sido destruidos dado que no hay paso de A a B. SOLUCIÓN: Sean los sucesos N : { No hay paso de A a B}; Di : {El puente i es destruido} 8.1 P(N) = P[D1 ∩ {(D2 ∪ D3) ∪( D2 ∩ D3)}] = P[( D1 ∩ D2) ∪ (D1 ∩D3)∪ (D1 ∩D2 ∩ D3)] =P(D1∩D2) + P(D1∩D3) - 3P(D1∩D2∩D3) + 2P(D1∩D2∩D3) = p2 + p2 – p 3 = 2 ⋅ p2 – p3 8.2 Sea el suceso F: { Dos puentes han sido destruidos} 5
∩ N ) P(D1 ∩ D 2 ) ∪ (D1 ∩ D3 ) ( N ) = P(FP(N) = P(N)
PF
9.
=1
A un grupo de 100 varones seleccionados al azar que laboran en el sector bancario se les preguntó por su edad y los días de ausentismo laboral en el último mes. Los resultados fueron los siguientes: Edad (años) 20 – 25 25 – 35 35 – 45
Días de ausentismo 1 36 53 91
2 123 182 305
3 41 65 104
Suponga que usted elige una persona al azar. Determine la probabilidad de que la persona: 9.1 Haya faltado 2 días a su trabajo. 9.2 Tenga una edad inferior a 35 años. 9.3 Tenga más de 35 años y 3 días de ausentismo a su trabajo. SOLUCIÓN: 9.1 Sea el suceso A: {La persona ha faltado 2 días a su trabajo} P(A) = 610 / 1000 = 0,61. 9.2 Sea el suceso B: {La persona tiene menos de 35 años} P(B) = 500 / 1000 = 0,50. 9.3 Sea el suceso C: {La persona tiene más de 35 años y 3 días de ausentismo a su trabajo} P(C) = 104 / 1000 = 0,104. 10.
Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios productos. En el pasado, el 95% de los productos que con mayor éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60% de los productos con éxito moderado recibieron buenas evaluaciones y el 10% de los productos de escaso éxito recibieron buenas evaluaciones. Además, el 40% de los productos ha tenido mucho éxito, el 35% un éxito moderado, y el 25% una baja aceptación. 10.1 ¿ Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación? 10.2 Si un nuevo diseño obtiene una buena evaluación, ¿ Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito? 10.3 Si un producto no obtiene una buena evaluación, ¿ Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito?. SOLUCIÓN: Sean: A = { El producto tiene mucho éxito} B = { El producto tiene éxito moderado} C = { El producto tiene una baja aceptación} D = { El producto recibe buenas evaluaciones} P ( A ) = 0,40;P ( D / A ) = 0,95 ⇒ P (D c/ A ) = 0,05 P ( B ) = 0,35; P ( D / B ) = 0,60 6
10.1
P ( C ) = 0,25; P ( D / C ) = 0,10 P(D)=P(D/A)⋅P(A)+P(D/B)⋅P(B)+P(D/C)⋅P(C) = 0,95 ⋅ 0,4 + 0,60 ⋅ 0,35 + 0,10 ⋅ 0,25 P ( D ) = 0,615 / A ) ⋅ P(A) 0,95 ⋅ 0,4 ( D ) = P(DP(D)∩ A) = P ( D P(D) = = 0,618 0,615
10.2
P A
10.3
P A D
c
c c = P(D ∩ A) = P ( D / A ) ⋅ P(A) = 0,05 ⋅ 0,4 = 0,052 1 − 0,615 P(D c ) P(D c )
7
