EJERCICIOS DE PROBABILIDADES Pregunta 20 En una tienda que vende automóviles hay cinco rojos, tres negros y 4 blancos.Si una persona desea comprarse su aotomóvil, ¿Cúal es la probabilidad que escoja uno de color rojo o negro? Experimento: "Escoger un auto " Eventos: R= {Escoger un auto Rojo} N= {Escoger un auto Negro} C= {Escoger un auto Rojo o Negro}
Solución 5 autos Rojos 3 autos Negros 4 autos Blancos
12 autos disponibles
Entonces:
n( r)=
número de formas de escoger un auto rojo
n(N) =
número de formas de escoger un auto negro
C= R ∪ N P( C) = P (R) + P (N) - P (R ∩ N) +
Por ser R y N eventos mutuamente excluyentes
=
=
Pregunta 21 El señor Altamirano es miembro de un equipo de 10 hombres de servicio.Para cierto trabajo, se requieren 3 hombres.Si los 3 han de ser escogidos al azar. ¿Cúal es la probabilidad de que sea incluido el señor Altamirano?
Solución 10 personas Se requieren 3 Sea el evento A: { Incluido Altamirano}
Experimento: { Escoger 3 Personas} n( r) = número de formas de escoger 3 personas sin importar el orden
n( A)=
Altamirano
P( A)=
=
=
Pregunta 22 Hallar la probabilidad de obtener al menos un 4 en dos lanzamientos de un dado correcto.
P( A ∪ B) = P( A)+ P( B)- P(A ∩ B) =P( A)+P( B)- P(A) P(B)
Solución A: Obtener 4, primer lanzamiento B: Obtener 4 , segundo lanzamiento
Son eventos independientes
=
Pregunta 23 La probabilidad de que A dé en el blanco es 1/4 y la de B es 2/5.Si A y B disparan, ¿Cúal es la probabilidad de que pegue en el blanco? Solución A: Dar en el blanco B: B en el blanco
P( A)=1/4 P( B)=2/5
Son eventos independientes
P( A ∪ B) = P( A)+ P( B)- P(A ∩ B)=
Pregunta 24 Si tres de 20 neumáticos están defectuosos y 4 de ellos se escogen aleatoriamente, ¿Cúal es la probabilidad de que solamente uno de los defectuosos sea escogido? Solución Experimento: Escoger tres neumaticos A: Sólo 1 de las 4 escogidas sea defectuoso n( r)=
# Total disponible
n( A)=
4 escojo
Defectuoso
Buen estado P( A)=
=
Pregunta 25 Se lanzan 5 monedas, ¿Cúal es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras y 3 sellos? Solución E: lanzar 5 monedas A: { obtener 2 caras y 3 sellos} n( r)=
2
2
2
2
2
C,S
CCSSS
n(1)=
Pregunta 26 De los alumnos que estudian en una universidad se observó que la probabilidad que tiene un alumno para estudiar los cursos A,B,C son 8/25, 11/50 y 9/20 respectivamente.Además la probabilidad de que estudie los tres cursos es del 10%. ¿Cúal es la probabilidad de estudiar simultáneamente dos cursos?Si la probabilidad de estudiar por lo menos un curso es 0,55?
De los alumnos que estudian en una universidad se observó que la probabilidad que tiene un alumno para estudiar los cursos A,B,C son 8/25, 11/50 y 9/20 respectivamente.Además la probabilidad de que estudie los tres cursos es del 10%. ¿Cúal es la probabilidad de estudiar simultáneamente dos cursos?Si la probabilidad de estudiar por lo menos un curso es 0,55? Datos
Solución A: Estudiar curso "A" B: Estudiar curso "B" C: Estudiar curso "C"
P( A)=8/25 P( B)=11/50 P( B)=9/20
P(A ∩ B ∩ C)=10% = 0.1= P( A ∪ B ∪ C )=0,55= 55/100= 11/20
P( A ∪ B ∪ C )= P( A)+P( B)+ P( C)- P(A∩ B)- P(A∩ C) - P(B∩ C)+P(A ∩ B ∩ C)
Pregunta 27 Cierto tipo de motor eléctrico falla por obstrucción de los cojinetes, por combustión del embibinado o por desgaste de las escobillas.Súpóngase que la probabilidad de la obstrucción es el doble de la combustión, la cual es 4 veces más probable que la inutilización de las escobillas. ¿Cuál es la probabilidad de que el fallo sea por cada uno de esos 3 mecanismos?Asuma que los eventos son mutuamente excluyentes.
Solución A= {El motor falla,obstrucción B= { La combustión del embobinado} C= { Desgaste de la escobilla P( C)=X P( B)=4X P( A)=8X P( A ∪ B ∪ C )=1
Mutuamente excluyentes. A ∩ B= B ∩ C= A ∩ C= A ∩ B ∩ C=0 P( A ∪ B ∪ C)=1 1=8x + 4x +x x=1/13 P( A)=8/13 P( B)= 4/13 P( C)=1/13
Pregunta 28 Un cargamento de 1500 lavadoras contiene 40 defectuosas.Se elige al azar 200 lavadoras(sin sustitución) y se clasifica. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren al menos 2 lavadoras defectuosas? Solución Se tienen: 1500 lavadoras de las cuales son: 40 defectuosas 1460 no defectuosas E: Elegir al azar 200 lavadoras
Sea el evento: A: {Se escogen al menos 2 lavadoras defectuosas}
P( A)= 1- P( A ) =1 -[P(ninguna)+ P(1lavadoras defectuosa] =1 -
Pregunta 29 De 20 la Hallar personas probabilidad que contrajeron de obtener la al gripe menos AH1N1 un 4 en al mismo dos lanzamientos tiempo y que defueron un dado llevados correcto. a una misma sala de un hospital, 15 se recuperan completamente en 3 días; al cabo del cual,se escogen aleatoriamente 5 personas para un chequeo. ¿Cuál es la probabilidad que los 5 sean dados de alta?¿Cuál es la probabilidad que ninguno sea dado de alta? Solución A= { 5 personas son dadas de alta} B= {4 personas están dadas} C={ Ninguna persona está sana} n(A)=
n(B)=
n(C)=
P( A)=
P(B)=
P(C)=
Pregunta 30 Un experimento aleatorio consiste en disponer los digitos 2,3,4,5,6,7,8,9 uno a continuacion de otro.Calcular la probabilidad de: a)Que el 3 y el 4 aparezcan en ese orden. b)El número formado es par. c)El número formado sea multiplo de 3. Solución 8 Dígitos { 2,3,4,5,6,7,8,9}
se pueden ordenar de 8! Permutación el orden importa.
n( r)= A= { "3" y el "4" aparecen antes y en ese orden}
Por tanto son sólo un objeto 3
a)
n (A)=
4 Se tienen 7 espacios por distribuir
P (A)=
b) B={ El número sea Par} 7
6
5
4
3
2
1
7! *4
4 En la última casilla sólo pueden ir los números 2,4,6 y 8
n( B)=
c) C={ El número sea múltiplo de 3}
Como la suma de los dígitos es 44 y no es múltiplo de 3 cualquier suma de estos digitos no generaran un número múltiplo de "3" es un evento imposible
n( c)=0 P( C)=
=0
Pregunta 31 Se distribuye al azar 6 bolas diferentes entre 3 cajas,¿ Cuál es la probabilidad que la primera caja contenga 3 bolas?
Solución
Caja 1
Caja 2
1ra bola 2da bola ….. 6ta bola
Caja 3
3 3 3*3*3*3*3*3 3
A= { La 1ra caja contiene exactamente 3 bolas} n( r)= N° de formas del espacio muestral n(A)= Las 3 ocupan la 1ra caja 3 bolas se deben distribuir en 2 cajas
P( A)
=
Pregunta 32 Una muestra aleatoria de 10 fábricas que emplean un total de 10,000 personas,demostró que ocurrieron 500 accidentes de trabajo durante un periodo reciente de 12 meses. Hallar la probabilidad de un accidente de trabajo en una industria determinada. Solución N=10 000 personas( 10 fábricas x 1000 personas) n(A)=500 accidentes P(A)=
Pregunta 33 Del cuadro adjunto se tiene la distribución de los alumnos del curso de estadística por género y preferencia de su club. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un alumno aleatoriamente? a)Que sea Mujer b)Que sea de Industrial c)Que sea Hincha de Alianza Solución
Preferencia Alianza U Otros
Industrial H
M 9 6 2
1 1 1
Sistemas H M 4 7 2
Total 0 0 3
14 14 8
17
3 20
13
3 16
36
A: Sea Mujer P(A)=
B: Sea Industrial P(B)=
C: Sea Alianza P( C)=
Pregunta 34 En una carrera de caballos,el caballo "Kemmar" tiene las apuestas 4:1 en su contra,mientras el caballo "Loco Tex" tiene 9:1 en su contra. ¿Cuál es la probabilidad que cualquiera de estos caballos gane?
Solución A= { El caballo Kemmar gana} 4:1 contra 1:4 favor B= { El caballo loco tex gana} 9:1 contra 1:9 favor P(A)=1/5 P(B)=1/10
P(A ∪ B)=P(1) + P(B) - P(A ∩ B) =1/5+ 1/10 =3/10 = 0.3
"A", a:b favor P(A)= b:a contra P( A )=
Pregunta 35 La probabilidad que llueva en Huaraz el 15 de diciembre es 0,10 de que truene es 0,05 y que llueve y truene es 0,03. ¿Cuál es la probabilidad que llueve o truene ese día? Solución A: {Llueve en Huaraz el 15 Dic.} B: { Truene el 15 Dic.} C: { Llueve o truene ese día} P(A)=0.10
P(B)=0.05
P(A∩ B)=0.03
C= A U B
P( C)= P(A) + P(B) - P(A∩ B)= 0.10+0.05-0.03 = 0.12
Pregunta 36 Un alumno del curso de estadística en vista que tiene pocas probabilidades de aprobar el curso decide jugar la Tinka para no estudiar y vivir de sus rentas. ¿Cuál es la probabilidad de que una de las jugadas gane algo(más de 2 aciertos).Que gane el premio mayor(Nota se deben escoger 6 números del 1 al 45) Solución 1,2,3…45
6 aciertos 39 fallos = 8 145, 060
n( r)
A={ gana algo, tener más de 2 aciertos 3,4,5,6 ( A )={ 0,1,2} P(A)=
x=3
x=4
x=5
x=6
B= Gana la tinka ó acierta los 6 números P(B)=
=0.00000012
Propiedad:
Pregunta 37 El cuadro siguiente contiene la clasificación de 321 obreros de un sindicato respecto a 2 características: El número de años de pertenencia de cada uno al sindicato La respuesta "Desea ud.Ir al la huelga para obtener un aumento salarial"
Rpta a la pregunta Si No No sé
Número de años en el sindicato Menos de 1 De 1 a 3 De 4 a 1 Más de 10 Total 27 54 137 28 246 14 18 34 3 69 3 2 1 0 6
Total
44
74
172
31
321
Sean los eventos: S:"obreros que contestaron que sí" N: "obreros que contestaron que no" A: "obreros que pertenecen al sindicato menos de 1 año" B: "obreros con 1 a 3 años en el sindicato" C: "obreros con 4 a 10 años en el sindicato" D: "obreros con más de 10 años en el sindicato" - Hallar la probabilidad P(S u B) - Hallar la probabilidad de que los obreros contestaron Si y pertenecen por lo menos 4 años al sindicato. Solución <1 "S" "N"
Si No
27 14 3 44
No sé
[1,3 > [ 4,10 > [10,- > Total 54 137 28 246 18 34 3 69 2 1 0 74 172 31 321
a) P(S ∪ B)= P(S) + P(B) + P(S ∩ B) =
F={ Contestan "S" por lo menos 4} F= S ∩ (C ∪ D) F= (S ∩ C) ∪ (S ∩ D) P(F)= (S ∩ C) + P(S ∩ D) - P(S ∩ C) ∩ (S ∩ D) =137/321+ 28/321 =165/ 321
Pregunta 38 Se elige aleatoriamente un punto dentro del segmento determinado por el intervalo [2,10] Calcular la probabilidad que pertenezca al segmento [3,5]
Solución Espacio Muestral continuo Longitud Area Volúmen
P(A)= r={ x/x ε IR [ 2 ,10 ] } A={x/x ε IR [ 3 ,5 ] }
P(A)=
Pregunta 39 El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio es el conjunto:
Ω ={(x,y) ε Ω / X2 + Y2 < 100 }. Calcular la probabilidad del evento A= {(x,y) ε Ω / X2 + Y2 < 25} Solución < <
Pregunta 40 Se elige un punto del cuadrado con vértices opuestos (0,0) y (1,1); sea A el evento de la suma de las coordenadas del punto es menor que 3/4. Hallar la probabilidad de "A"
Solución r={ (x,y)ε /0 < x < 1 , 0 < y < 1} A: la suma de las coordenadas del punto es menor que 3/4 = r =1 A=(3/4)(3/4)/2 = 9/32 P(A)=
(0,1)
(1,1)
(0,3/4)
(0,0)
(3/4,0)
(1,0)
