Guia de Probabilidades

GUIA Nº 1– Probabilidades

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TEORIA DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES – MAT 043 Profesor: Sr. Patricio Videla Jiménez.

GUIA Nº1 – PROBABILIDADES 1. Una empresa fabricante de televisores elige a sus proveedores de pantallas de la siguiente manera: en cada empresa proveedora selecciona al azar cinco pantallas a las que somete a prueba para determinar si ellas cumplen con las especificaciones requeridas por la empresa para su producto. Se firma el contrato de compra si todas las pantallas p antallas examinadas superan la prueba. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea elegida como proveedor una empresa que dispone de 150 pantallas de las cuales sólo 30 no están en condiciones de pasar la prueba? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera pantalla sometida a prueba no supere el examen y, por tanto, se descarte de scarte a esta empresa como proveedor? 2. Suponga que se tienen 9 papeletas numeradas del 1 al 9. Si se seleccionan al azar tres de ellas, determine la probabilidad de extraerlas en orden alterno: par, impar y par o impar, par e impar; suponiendo que las papeletas se extraen a) Con reposición. b) Sin reposición. 3. La probabilidad de que cierto componente eléctrico funcione es de 0.9. Un aparato contiene dos de estos componentes. El aparato funcionará mientras lo haga, por lo menos, uno de los componentes. Suponiendo independencia en la operación entre los componentes, determine: a) La probabilidad de que ambas componentes funcionen. b) La probabilidad de que sólo una de las componentes funcione. c) La probabilidad de que el aparato funcione. 4. Un experimento consiste en lanzar primero un dado para después lanzar una moneda, siempre y cuando el número del dado sea par. Si el resultado del dado es impar, la moneda se lanza dos veces. a) Determine el espacio muestral de este experimento. b) ¿Este experimento es equiprobable? Justifique. c) Calcule la probabilidad de que el resultado del dado sea par.

Teoría de Probabilidad y Aplicaciones


5. Un sistema de alarma computarizado para plantas industriales, está diseñado de manera que avise la presencia de problemas de alto riesgo, cuando al menos dos de sus tres componentes C1, C 2 y C3 se activan. La probabilidad que se active la componente C1 es de 0.7, la de C 2 es de 0.85 y la de C 3 es de 0.9. Sabiendo además, que la activación de C3 es independiente de las otras dos, mientras que la probabilidad de que se active C2 dado que se ha activado C1 es de 0.95, ¿cuál es la probabilidad que el sistema avise de problemas de alto riesgo? 6. La caja A tiene 5 fichas negras y 4 fichas blancas, la caja B tiene 3 fichas negras y 5 blancas, y la caja C tiene 7 fichas negras y 2 blancas. Se trasladan dos fichas de la caja A a la caja B, luego se extraen dos fichas de la caja B y se ponen en la caja C, y finalmente se trasladan dos fichas de la caja C a la caja A. ¿Cuál es la probabilidad que la composición inicial de las cajas no haya cambiado, después del experimento? 7. Sean A1, A2, A3,..., An sucesos conjuntamente independientes. Muestre que la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos es: 1

−

n

∏ (1 − P ( A )) i

i = 1

8. La urna 1 contiene x esferas blancas e y rojas. La urna 2 contiene z esferas blancas y v rojas. Se escoge una esfera al azar de la urna 1 y se pone en la urna 2. Entonces se escoge una esfera al azar de la urna 2. ¿Cuál es la probabilidad que esta esfera sea blanca? 9. Supóngase que A y B son dos eventos independientes asociados con un experimento. Si la probabilidad que A o B ocurra es igual a 0.6, mientras que la probabilidad que A ocurra es igual a 0.4, determine la probabilidad de que B ocurra. 10.Supóngase que tenemos 2 urnas, 1 y 2, cada una con dos cajones. La urna 1 tiene una moneda de oro en un cajón. y una de plata en el otro, mientras que la urna 2 tiene una moneda de oro en cada uno de los cajones. Se escoge una urna al azar, y de ésta se escoge un cajón al azar. La moneda que encontró en este cajón es de oro, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda provenga de la urna 2? 11.Un bolso contiene tres monedas, una de las cuales está acuñada con dos caras, mientras que las otras dos monedas son normales y no son irregulares. Se escoge una moneda al azar y se lanza cuatro veces en forma sucesiva. Si cada vez sale cara, ¿cuál es la probabilidad de que ésta sea la moneda con dos caras?



12.Dos empresas V y W, están examinando la conveniencia de participar en la obra de construcción de una carretera, cuya concesión dependerá del monto de los ofrecimientos. La empresa V presenta una oferta, y la probabilidad es 0.75 de que obtenga la obra con tal de que la empresa W no presente su oferta. Las posibilidades están 3 a 1 a favor de que W sí la presente: y si lo hace, la probabilidad de que V obtenga la obra es solamente 0.30. a) ¿Cuál es la probabilidad de que V obtenga la obra? b) Si V obtiene la obra. ¿Cuál es la probabilidad que W no haya presentado su proposición? 13.Un estudio realizado muestra que el 30% de las infracciones de tránsito corresponden a "exceso de velocidad". Además el 40% de los conductores detenidos en estado de ebriedad conducían a velocidad exagerada, mientras que el 20% de los veloces conducían en estado de ebriedad. ¿Qué porcentaje de infractores de tránsito es detenido en estado de ebriedad? 14.Cierto artículo es facturado por 3 proveedores. Se sabe que el primero produce el doble de artículos que el segundo y que este, con el tercer proveedor producen la misma cantidad de artículos. Por referencias acumuladas se sabe que 2% de los artículos producidos por cada uno de los 2 primeros proveedores es defectuoso, mientras que el tercero produce un 4% de artículos defectuosos. Si se almacenan los artículos sin importar que proveedor lo elabora, y se escoge uno al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad que este artículo sea defectuoso? b) Si el artículo es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad que haya sido producido por el primer proveedor? c) Si el artículo no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad que haya sido producido por alguno de los dos primeros proveedores? 15.Un proceso se puede ejecutar con uno de tres algoritmos posibles, digamos A, B y C. En el 20% de los casos se emplea el algoritmo A, mientras que los algoritmos B y C son usados el mismo número de veces. En algunas ocasiones en que se realiza el proceso se producen atrasos. Esto ocurre el 10% de las ocasiones en que se usa el algoritmo A, siendo estos porcentajes del 15% en el caso en que se aplica el algoritmo B y el 5% en el caso en que se usa el algoritmo C. a) ¿En qué porcentaje de las ejecuciones del proceso no se producen atrasos? b) ¿Qué porcentaje de los atrasos de las ejecuciones del proceso son atribuibles al algoritmo B? c) Elegida, al azar, una ejecución ¿Qué probabilidad hay que no tenga retraso en su ejecución y corresponda al uso del algoritmo A o C? d) Entre las ejecuciones que no han sufrido retraso en su ejecución, ¿Cuál es el porcentaje de las que corresponden al uso de los algoritmos A o C?



16.Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios productos electrónicos. En el pasado, el 95% de los productos que con mayor éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 40% de los productos con éxito moderado recibieron malas evaluaciones, y el 10% de los productos con escaso éxito recibieron buenas evaluaciones. Además, el 40% de los productos ha tenido mucho éxito, el 35% un éxito moderado y la cuarta parte una baja aceptación. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación? b) Si un diseño obtiene una buena evaluación. ¿Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito? c) Si un nuevo diseño no obtiene una buena evaluación. ¿Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito o tenga éxito moderado? 17.Sean los sucesos: A1: Persona lee la revista M. A2: Persona no lee la revista M. B1: La persona es hombre. B2: La persona es mujer. P(A1) = 0.4 P(B2) = 0.55 P(B2/A2) = 0.60.

Calcular: a) P(A1∩B1), P(A1/B1) y P(A1∩B2) b) ¿Son independientes A yB c ? 1

2

18.Una persona lanza repetidas veces dos dados. Gana si saca un 8 antes de obtener un 7. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? 19. En un juego de dados un jugador lanza dos veces un par de dados. Gana si los números obtenidos no difieren en más de dos unidades, con las siguientes excepciones: si obtiene un tres en la primera tirada deferí obtener un cuatro en la segunda, si obtiene un once en la primera tirada deberá obtener un 10 en la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? 20.Un aficionado usa el siguiente sistema bastante simple para pronosticar el tiempo atmosférico. Clasifica cada día como “seco” o “mojado” y supone que la probabilidad de que cualquier día sea igual al precedente está dada por una constante p (0 < p < 1). Con base en anotaciones anteriores, se supone que el 1º de enero tiene una probabilidad β de ser “seco”. Suponiendo que β n= probabilidad (el i -ésimo día del año), obtener una expresión para β y p . Evaluar también lim n→ ∞ β n e interpretar su resultado. (Sugerencia: Expresar β n en función de β n-1).



21.En un experimento de laboratorio se intenta enseñar a un ratón a doblar hacia la derecha en un laberinto. Para ayudarlo en la enseñanza, el animal es premiado si dobla a la derecha en una prueba dada y castigado si dobla a la izquierda. En la primera prueba el ratón dobla a la derecha o izquierda con igual probabilidad. Si en una prueba dada el animal es premiado, la probabilidad de que doble a la derecha en la siguiente prueba es p 1>1/2, y si en una prueba dada el animal es castigado, la probabilidad de que doble a la derecha en la siguiente prueba es p 2> p 1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ratón doble a la derecha en la tercera prueba? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el ratón doble a la derecha en la tercera prueba, dado que dobló a la derecha en la primera prueba? 22.Un jugador lanza repetidas veces dos dados normales, iguales, de seis cartas, hasta que gana o pierde. El jugador gana en el primer lanzamiento si obtiene un total de 7 u 11 y pierde en el primer lanzamiento si obtiene un total de 2,3, ó 12. Si obtiene un total distinto a los anteriores en su primer lanzamiento, ese total es llamado su puntaje. Entonces, lanza los dados repetidas veces hasta que obtiene un total de 7 o su puntaje. El jugador gana si obtiene su puntaje y pierda si obtiene un total de 7. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador gane? n

23.Sean B 1, B 2 ,..., B n mutuamente excluyentes, y sea B = U B j . Suponga que j =1

P B j ) > 0 y P A B j ) = p para j = 1,2,...,n . Muestre que P (A B ) = p .

24.En una ciudad se publican los periódicos A, B y C. Una encuesta reciente de lectores indica lo siguiente: 20% lee A, 16% lee B, 14% lee C, 8% lee A y B, 5% lee A y C, 2% lee A, B y C, y 4% lee B y C. Para un adulto escogido al azar, calcular la probabilidad de que: a) No lea ninguno de los periódicos. b) Lea exactamente uno de los periódicos. c) Lea A y B si se sabe que lee al menos uno de los periódicos. 25.Suponga que la probabilidad condicional de que un bebé nacido a una pareja sea hombre es 1 2 + me 1 + fe 2 , donde e 1 y e 2 son ciertas constantes pequeñas, m es el número de hombres ya nacidos a la pareja y f es el número de niñas ya nacidas de la pareja. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer bebé nacido a la pareja sea un hombre si los dos primeros fueron mujeres? b) Encuentre la probabilidad de que los primeros tres bebés nacidos a la pareja sean hombres. c) Encuentre la probabilidad de que nazca por lo menos un hombre entre los tres primeros bebés nacidos a la pareja.



26.En un sistema computacional se dispone de dos líneas de comunicación conectadas a través de un MODEM; por la línea de entrada la probabilidad de que se haya enviado un bit igual a 1 es de 0.56. Por razones de interferencia el MODEM recibe con error esta señal, de tal manera que si se le envió un 1 la probabilidad que reciba un 1 es de 0.95; mientras que la probabilidad que reciba un 0 si se le envió un cero es de 0.91. Se sabe además que el MODEM envía por la línea de salida la información de manera que la probabilidad de enviar un 1 habiendo recibido un 1 es de 0.98 y la probabilidad de enviar un 0 habiendo recibido un 0 es de 0.94. a) Encuentre la probabilidad de que el MODEM envíe un 0. b) Dado que el MODEM envió un 1, encuentre la probabilidad de que por la línea de entrada se le haya enviado un 0. c) Si se envía una señal formada por 8 bits (1 byte), calcule la probabilidad de que 4 de sus 8 bits sean 0. 27.Suponga que se escriben 4 dígitos 1,2,3 y 4 en orden aleatorio ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 1 dígito ocupe su lugar correcto? a) Suponga ahora que se escriben n dígitos 1,2,3,..., n en orden aleatorio. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 1 dígito ocupe su lugar correcto? b) ¿Qué pasa cuando n → ∞ ?

Soluciones: 1. a) 0.3221.b) 0.1295.2. a) 5/18.b) 20/81.3. a) 0.81.b) 0.18.c) 0.99.4. a) Ω = {(1; c ; c ), (1; c ; s )(1; s ; c ), (1; s ; s ), (2; c ), (2; s ), K , (6; c ), (6, s )}. # Ω = 18 . b) No. c) 1/2.-



5. 0.863.6. 0.1782.7.

 x   z + 1   y   z   ⋅   ⋅  8.   +   .+ + + + + + x y z v 1 x y z v 1         9. 1/3.10.

2/3.-

11. 12.

8/9.-

a) 0.4125.b) 0.4545.13.

0.15.-

14. a) 0.025.b) 0.400.c) 0.754.15. a) b) c) d)

0.9.0.6.0.56.0.622.-

16. a) 0.615.b) 0.618.c) 0.416.17. a) 0.21; 0.467; 0.19. b) No. 18.

5/11.-

19.

1/2.-



20.

n −1

β n = (2 p − 1)

1 − (2 p − 1)n −1  β + (1 − p ) β n = 1 2 .  ; lim n →∞ − − 1 2 p 1 ( )  

21. 22. 23. 24.

244/495.-

a) 0.35.b) 0.22.c) 0.2287.25. a) 1 2 + 2e 2 .b) 1 2 ⋅ (1 2 + e 1 ) ⋅ (1 2 + 2e 1 ). c) 1 − 1 2 ⋅ (1 2 − e 2 ) ⋅ (1 2 − 2e 2 ) .26. a) b) c) 27.

15/24.n

(− 1) j

j =1

j !

a) − ∑

.-

b) 1 − 1 e .-

PVJ/pvj.


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