PROBABILIDADES 1.- a).- Se elige al azar un número entre los 200 rimeros números enteros ositi!os " #ual es la ro$a$ili%a% %e &ue el numero elegi%o sea %i!isi$le or ' o or (
Desarrollo Datos n*1+ 2+ ,+ .....200 A*%i!isi$le or '+ PA)*,,200 B*%i!isi$le or ( PB)*2/200
Luego PAnB)*(200 m#m'()*2 e i%en3 PA4B)*PA)5PB)-PA6B) * ,, 5 2/ 200
200
( 200
* 02/
: Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a
EJEMPLO 2
cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 4% el tercero. !e sa"e que los aparatos tienen pro"a"ilidades de error de #%, 2% y 3% respecti$amente. Un paciente "usca el resultado de una ecogra&a y o"ser$a que tiene un error. Determine la pro"a"ilidad de que se 'a usado el primer aparato. SOLUCIÓN:
!e deinen los sucesos: !uceso P : seleccionar el primer aparato
!uceso S : seleccionar el segundo aparato !uceso T : seleccionar el tercer aparato !uceso E : seleccionar un resultado con error !e puede o"ser$ar que la pregunta es so"re determinar la pro"a"ilidad de que un e(amen errado sea del primer aparato, es decir, ya 'a ocurrido el error. )or lo tanto, de"emos recurrir al teorema de *ayes. +laro est, que es necesario de igual orma o"tener la pro"a"ilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:
EJEMPLO 3
Un m-dico ciruano se especializa en cirug&as est-ticas. Entre sus pacientes, el 2% se realizan correcciones aciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirug&as correcti$as. !e sa"e adems, que son de g-nero masculino el 25% de los que se realizan correcciones aciales, #5% implantes mamarios y 4% otras cirug&as correcti$as. !i se selecciona un paciente al azar, determine: a./ Determine la pro"a"ilidad de que sea de g-nero masculino 0 "/. !i resulta que es de g-nero masculino, determine la pro"a"ilidad que se 'aya realizado una cirug&a de implantes mamarios. !1U+: !e deinen los sucesos: !uceso 6: pacientes que se realizan cirug&as aciales. !uceso 7: pacientes que se realizan implantes mamarios !uceso O: pacientes que se realizan otras cirug&as correcti$as !uceso H : pacientes de g-nero masculino a. a pro"a"ilidad de que sea de g-nero masculino se reiere a un pro"lema de pro"a"ilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirug&as los condicionantes. Dic'o $alor ser:
". +omo el suceso condicionado 'a ocurrido entonces se aplica el teorema de *ayes, luego, el $alor de la pro"a"ilidad ser:
: !e estima que el #5% de la po"lación adulta padece de 'ipertensión, pero que el 85% de todos
EJEMPLO 4
los adultos creen no tener este pro"lema. !e estima tam"i-n que el 9% de la po"lación tiene 'ipertensión aunque no es consciente de padecerla. !i un paciente adulto opina que no tiene 'ipertensión, cul es la pro"a"ilidad de que realmente sea 'ipertenso; ?el paciente tiene 'ipertensión@, =2 > ?el paciente no tiene 'ipertensión@, os cuales orman un sistema completo de suecesos o Apartición del espacio muestralB. )or 'ipótesis ) C=#/ > .#5, luego ) C=2/ > .5. )or otra parte, consideramos los sucesos: *# > ?el paciente es consciente de padecer 'ipertensión@, *2 > ?el paciente no es consciente de padecer 'ipertensión@. +onugando los datos del pro"lema con el 'ec'o de que *# y *2 son complementarios encontramos que )C*#/ > .25 y )C*2/ > .85. )or 'ipótesis se tiene que ) C*2=#/ > .9. a pro"a"ilidad de que un paciente adulto sea realmente 'ipertenso cuando opina que no tiene 'ipertensión Cesto es, no es consciente de padecerla/ $iene dada por )C=#*2/. En $irtud del Feorema de *ayes, esta pro"a"ilidad a posteriori puede ser calculada como: ) C=#*2/ > ) C=#/ G) C*2=#/ ) C*2/ > .#5G.9 .85 > .#2. )odemos concluir entonces que un #.2% de los pacientes que opinan que no padecen de 'ipertensión son realmente 'ipertensos
EJEMPLO 5
. En qu&mica cl&nica son particularmente interesantes los llamados coeHcientes alsoIpositi$o y
alsoInegati$o de un test. Fales coeHcientes son pro"a"ilidades condicionadas. El coeHciente alsoIpositi$o es la pro"a"ilidad de que el contraste resulte positi$o cuando de 'ec'o el sueto no padece la dolencia. El coeHciente alsoInegati$o se deHne de manera anloga. Es decir:
J > coeHciente alsoIpositi$o > )Cel test da Kel sueto
es en realidad L/ 0 M > coeHciente alsoInegati$o > )Cel test da Lel sueto es en realidad K/. +ada una de estas pro"a"ilidades es una pro"a"ilidad de error0 por tanto, ca"e esperar que los $alores o"tenidos en la prctica sean pró(imos a cero. os resultados siguientes se o"tu$ieron en un estudio diseNado con el Hn de a$eriguar la capacidad de un ciruano patólogo para clasiicar correctamente las "iopsias quirOrgicas como malignas o "enignas )ositi$o C7=P1/
negati$o C*EP1/
+E
8Q
#Q
+E
8
3Q5
Determinar J y M a partir de estos datos. 1"ser$e que de acuerdo con la ta"la anterior un diagnostico positi$o corresponde a una clasiicación de la "iopsia como maligno. os datos de dic'a ta"la arroan los siguientes resultados Omero de casos estudiados:
8QK#QK8K3Q5 > 5.
Omero de casos malignos:
8QK#Q > Q.
Omero de casos "enignos:
8K3Q5 > 42.
Omero de casos con diagnóstico positi$o: 8Q K8 > 9. Omero de casos con diagnóstico negati$o: #QK3Q5 > 4#4. Estamos interesados en calcular los coeicientes alsoIpositi$os J y also Rnegati$os M para casos estudiados, para tal in deinimos los sucesos: FK > ?el diagnóstico es positi$o@, F L > ?el diagnóstico es negati$o@. =l ser equipro"a"le cada caso estudiado, segOn los datos ineridos de la ta"la encontramos que ) CF K/ > 9 5 y )CF L/ > 4#4 5. =simismo, sean: < K > ?la "iopsia es en realidad maligna@, ?la "iopsia es en realidad "enigna@. De modo similar se tiene que )C Q 5 y )C< L/ > 42 5. 0F K > ?el diagnóstico es positi$o@, F L > ?el diagnóstico es negati$o@. =l ser equipro"a"le cada caso estudiado, segOn los datos ineridos de la ta"la encontramos que )or deinición, J > )CF K< L/ > )CF K ∩< L/ )C )CF L )CF L ∩< K/ )C ?la muestra contiene "acterias tipo F@, =2 > ?la muestra no contiene "acterias tipo F@. ótese que am"os sucesos =# y =2 orman un sistema completo, es decir, son complementarios en el espacio muestral del e(perimento que estamos considerando. )or 'ipótesis ) C=#/ > .2, o"ligando a que )C=2/ > )C=#/T > #L.2 > . )or otra parte, sean los sucesos: F K > ?el test detecta la presenci a de "acterias@, F L > ?el test no detecta la presencia de "acterias@. De acuerdo con los datos disponi"les, sa"emos que )CF K=#/ > .Q y )CF L=2/ > . de modo que las siguientes pro"a"ilidades, correspondientes a los sucesos condicionados complementarios, $ienen dadas por: )CF L=#/ > .# y )CF K=2/ > .2. En $irtud del Feorema de *ayes, la pro"a"ilidad )C=#F K/ de que realmente 'aya presencia de "acterias cuando el resultado del test 'a sido positi$o $iene dada por )C=#F K/ >C )C=#/G)CF K=#// )CF K/ > C)C=#/G)CF K=#// )C=#/G)CF K=#/ K)C=2/G)CFK=2/ > .2G.Q .2G.QK.G.2 > .# .34 > .53. "/ De igual manera, la pro"a"ilidad de que realmente 'aya presencia de "acterias cuando el test 'a resultado negati$o es )C=#F L/ > C)C=#/G)CF L=#// )C=#/G)CF L=#/ K)C=2/G)CF L=2/ > .2G.# .2G.#K.G. > .2 .99 > .3. c/ a pro"a"ilidad de que 'ayan "acterias y adems el test d- positi$o es: )C=# ∩F K/ > )C=#/G)CF K=#/ > .2G.Q > .#. ótese que, como )CF K/ > .34, tam"i-n tenemos )C=# ∩F K/ > )CF K/G)C=#F K/ > .34G.53 .#.
d/ 6inalmente, la pro"a"ilidad de que o "ien 'ayan "acterias en el agua o el test d- positi$o $iene dada por: )C=# ∪F K/ > )C=#/ K)CF K/L)C=# ∩F K/ > .2K.34L.# > .39.
