Ejercicios de Teoría de Probabilidades

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO MAESTRÍA EN DISEÑO MECÁNICO

DISEÑO DE EXPERIMENTOS

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y MECÁNICA

MAESTRÍA EN DISEÑO MECÁNICO SEGUNDA VERSIÓN MÓDULO: “DISEÑO DE EXPERIMENTOS” PROFESOR: ING. MsC. PABLO VALLE

ENER ENERO O 25, 25, 2014 2014 Amba Am bato to - Ecua cuador dor

1


DISEÑO DE EXPERIMENTOS DEBER No. 1

EJERCICIOS SECCIÓN SECCIÓN 1.2.6 –VOCABULARIO PROBABILÍSTICO 1. Considere Considere la experiencia experiencia aleator aleatoria ia de lanzar dos dos dados y sumar sumar sus resultado resultados. s. Sea A el evento evento “el resultado es par” y sea B el evento el “se obtuvo por lo menos un 6 en los dos lanzamientos”. lanzamientos”. a) Exprese Exprese con una frase frase cada uno de de los siguien siguientes tes evento eventos. s. i. ii. iii. iv. v.

AUB: Ocurre que el resultado resultado es par “o” se obtuvo por lo menos un 6 en los dos lanzamientos. lanzamientos. A∩B: Ocurre que el resultado resultado es par “y” se obtuvo por lo menos un 6 en en los dos lanzamientos. lanzamientos. c A∩B : Ocurre que el resultado resultado es par “y” no se obtuvo obtuvo por lo menos un 6 en los dos lanzamientos. c A ∩B: Ocurre que el resultado resultado no es par “y” se obtuvo por lo menos un 6 en los dos lanzamientos. c c A ∩B : Ocurre que el el resultad resultado o no es par “y” no se obtuvo obtuvo por lo lo menos menos un 6 en en los dos lanzamientos. AcUBc: Ocurre que el el resultado resultado es no par “o” no se obtuvo obtuvo por lo menos un 6 en los dos dos lanzamientos.

vi.

b) Calcule la probabilid probabilidad ad de cada uno uno de los los eventos eventos anteriores anteriores.. Evento Evento A: A: el resul resultad tado o es par. par. Ω = {2, 4, 6, 4, 6, 8, 4, 6, 6, 8, 6, 8, 8, 10, 6, 6, 8, 10, 10, 8, 10, 12} Evento Evento B: se obtuvo obtuvo por por lo lo menos menos un 6 en los dos lanzamient lanzamientos. os. Ω = {(6,1); {(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (1,6); (2,6) (2,6);; (3,6); (3,6); (4,6); (4,6); (5,6 (5,6); ); (6,6) (6,6)}}

18 1 = 36 2 11 P[B] = 36

P[A] =

i.

AUB: Ocurre que el resultado es par o se obtuvo por lo menos un 6 en los dos lanzamientos.

ii.

A∩B: Ocurre que el resultado es par y se obtuvo por lo menos un 6 en los dos lanzamientos.

1 11 5 2 P[AUB] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] = + − = 2 36 36 3 P[A ∩ B] = P[A] . P[B] =

5 36

iii.

A∩Bc: Ocurre que el resultado es par y no se obtuvo por lo menos un 6 en los dos lanzamientos.

iv.

Ac∩B: Ocurre que el resultado no es par y se obtuvo por lo menos un 6 en los dos lanzamientos.

v.

Ac∩Bc: Ocurre que el resultado no es par y no se obtuvo por lo menos un 6 en los dos lanzamientos.

1 11 1 25 25 P[A ∩ B ] = P[ P[A] . P[B ] = x 1 − = x = 2 36 2 36 72 1 11 1 11 11 P[A ∩ B] = P [A ] . P[B] = (1 (1 − )x = x = 2 36 2 36 72 2 1 P[A ∩ B ] = P[A ∪ B] = 1 − P[A ∪ B] = 1 − = 3 3

vi.

AcUBc: Ocurre que el resultado es no par o no se obtuvo por lo menos un 6 en los dos lanzamientos.

P[A ∪ B ] = P[ P[A ∩ B] = 1 − P[A ∩ B] = 1 − 2

5 31 = 36 36



2. Un colegio que cuenta con las especialidades: Físico-Matemático y Ciencias Sociales decide estudiar el éxito de sus egresados 15 años después de la graduación. Se interrogó a 100 egresados (55 FM y 45 CS) y se encontró que solo 60 de ellos podían catalogarse como “triunfadores”, 30 de los cuales eran Físico-Matemáticos. a) Designe con F al conjunto de Físico-Matemáticos y con T al conjunto de triunfadores, utilizando las notaciones de: unión, intersección y complementación de conjuntos, escriba los siguientes eventos en función de F y T. i. ii. iii. iv.

Triunfador y Físico-Matemático. : T∩F Triunfador o Físico-Matemático.: TUF Triunfador y egresado de Ciencias Sociales.: T∩Fc Ni triunfador ni Físico-Matemático: Tc∩Fc

b) Determine el número de individuos en cada uno de los subconjuntos anteriores.

Triunfadores No triunfadores Total por especialidad

Físico-Matemáticos 30 25 55

i.

Triunfador y Físico-Matemático. : T∩F

ii.

Triunfador o Físico-Matemático.: TUF

iii.

Triunfador y egresado de Ciencias Sociales.: T∩Fc

Ciencias Sociales 30 15 45

Total por éxito 60 40 100

T ∩ F = 30

TUF = 60 + 25 = 85 T ∩ F = 30

iv.

Ni triunfador ni Físico-Matemático: Tc∩Fc

T ∩ F = 15 3. Sea Ω un espacio muestral y sean A, B, C tres de sus eventos. Exprese en términos de operaciones con conjuntos los eventos siguientes: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

Si ocurre A, no ocurre B: A ∩ Bc Ninguno de los tres ocurre: Ac ∩ Bc ∩ Cc Ocurren los tres: A ∩ B ∩ C Tan solo ocurre A: A ∩ Bc ∩ Cc Ocurre por lo menos uno de los tres: A U B U C (ocurre A, ocurre B u ocurre C) Ocurre uno y solo uno: ( A ∩ Bc ∩ Cc ) U ( AC ∩ B ∩ Cc ) U ( Ac ∩ Bc ∩ C ) No ocurre más de uno: ( Ac ∩ Bc ) U ( Bc ∩ Cc ) U ( Ac ∩ Cc ) Ocurren dos y solo dos: ( A ∩ B ∩ Cc )  ( A ∩ Bc ∩ C )  ( Ac ∩ B ∩ C ) Ocurren no más de dos: (A ∩ B ∩ C)c Ocurren no más de tres: (A ∩ B ∩ C)

4. Una instalación consta de dos calderas y un motor. Sea A el evento el motor está en buenas condiciones, B1 y B 2 los eventos: las calderas 1, 2 (respectivamente) están en buenas condiciones. Sea C el evento la instalación puede funcionar. 3



Si la instalación puede funcionar cada vez que el motor y por lo menos una de las calderas funciona, exprese C y C c en función de A, B 1 y B2. A: el motor está en buenas condiciones. B1: caldera 1 en buenas condiciones. B2: caldera 2 en buenas condiciones. C: la instalación puede funcionar. Ω(C) = {(motor bueno y caldera 1 buena) o (motor bueno y caldera 2 buena) o (motor bueno, caldera 1 buena y caldera 2 buena)} C = [(A ∩ B1) U (A ∩ B2)] C = A ∩ (B1 U B2) Cc = 1- C = 1-[A ∩ (B1 U B2)] EJERCICIOS SECCIÓN 1.3.1 – ESPACIOS PROBABILIZADOS DISCRETOS 1. Se mezclan cinco monedas falsas con nueve auténticas. Si se selecciona al azar una moneda, calcule: (a) La probabilidad de que la moneda sea falsa. (b) La probabilidad de que la moneda sea auténtica. Monedas Falsas F: 5 Monedas Auténticas A: 9 a) P[F] =

=

=

b) P[A] =

=

=

2. Se dispone de dos urnas con bolas blancas y bolas negras: la primera contiene a bolas blancas y b bolas negras, la segunda contiene c bolas blancas y d bolas negras. Se saca al azar una bola de la primera urna y se echa en la segunda, seguidamente, se extrae al azar una bola de la segunda urna. Calcular la probabilidad de: a. La primera bola es blanca. URNA 1 URNA 2 # de bolas blancas: a # de bolas blancas: c # de bolas negras: b # de bolas negras: d Eventos: A: La primera bola es blanca. Ac: La primera bola es negra. B: La segunda bola es blanca.

P[A] =

a a+b

b. La segunda bola es blanca, habiendo sido blanca la bola transferida.

P B│A =

c+1 c+d+1

c. La segunda bola es blanca, habiendo sido negra la bola transferida.

4



P B│A =

c c + (d + 1)

3. De 10 fichas numeradas del 1 al 10 se eligen al azar dos fichas de números (x, y). (a) Cuál es el espacio probabilizado? (b) Cuál es la probabilidad de que x + y = 10? a) Ω = {(x,y)/x,y ϵ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)}

P[x] =

1 = P[1] ….P[10] 10 1 P[y] = 9

b) Ω = {(x,y)/S=x+y=10 } Ω = {(1,9); (2,8); (3,7); (4,6)} (x,y) → S (x,y) = x + y S(x,y) = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19] Número de combinaciones:

Fichas numeradas

Combinaciones (x,y)

1 -

n! 10! = = 45 k! (n − k)! 2! (1 0 − 2)! 1 P[X] = 45 2 1,2 -

3 1,3 2,3 -

4 1,4 2,4 3,4 -

5 1,5 2,5 3,5 4,5 -

6 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 -

7 1,7 2,7 3,7 4,7 5,7 6,7 -

8 1,8 2,8 3,8 4,8 5,8 6,8 7,8 -

9 1,9 2,9 3,9 4,9 5,9 6,9 7,9 8,9 -

10 1,10 2,10 3,10 4,10 5,10 6,10 7,10 8,10 9,10

S1: x + y = 10 S1(x,y) = {(1,9); (2,8); (3,7); (4,6)]

P[S = 10] =

4 45

4. Si se arrojan 6 dados. Exprese el espacio muestral como un producto cartesiano y calcule la probabilidad de: a) Obtener un seis. b) Obtener dos veces el seis. c) Obtener por lo menos un seis. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6 a) P[a] = 1/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 = 3.125/46.656 b) P[b] = (1/6 x 1/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6) = 625/46.656 c) P[c] = 1-P[c]c = 1- (5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6) = 1 – 15.625/46.656 = 31.031/46.656

5



5. Supóngase A, B, C son eventos tales que: Pr(A) = Pr(B) = Pr(C) = 1/4 Pr(A ∩ B) = Pr(C ∩ B) = 0, Pr(A ∩ C) = 1/8 Calcular la probabilidad de que por lo menos uno de los eventos A, B o C ocurra. Evento X: Por lo menos uno de los eventos A, B o C ocurra = A U B U C

P[X] = P[A U B U C] = P[A] + P[B] + P[C] − P[A ∩ B] − P[A ∩ C] − P[B ∩ C] + P[A ∩ B ∩ C] 1 1 1 1 P[X] = P[A U B U C] = + + − 0 − − 0 + 0 4 4 4 8 5 P[X] = P[A U B U C] = 8 6. Un juego consiste en tirar una moneda dos veces y lanzar luego un dado. a) Expresar el conjunto de todos los resultados posibles como un producto cartesiano y determinar el número de resultados posibles. b) ¿Cuál es la probabilidad de los eventos unitarios? c) Tabule los elementos del evento: “se obtuvo 2 cruces y el seis”. ¿Cuál es la probabilidad de este evento? Moneda: {c, s}2 = 4 Dado: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 a) #Ω = 4 x 6 = 24 Ω: {(c,s)2; (1, 2, 3, 4, 5, 6)} Ω: {(c, c, 1); (c, s,1); (s, s, 1); (s, c, 1); (c, c, 2); (c, s,2); (s, s, 2); (s, c, 2); (c, c, 3); (c, s,3); (s, s, 3); (s, c, 3); (c, c, 4); (c, s,4); (s, s, 4); (s, c, 4); (c, c, 5); (c, s,5); (s, s, 5); (s, c, 5); (c, c, 6); (c, s, 6); (s, s, 6); (s, c, 6)} b) Pr[wi] = 1/4 * 1/6 = 1/24 c) X= {c, c, 6} P[X] = 1/24 7. Suponga que: A y B representan dos eventos; a = Pr(A), b = Pr(B), c = Pr(A ∩ B). Calcule, en función de a, b, c; las probabilidades de los eventos siguientes: a) Ac b) Bc c) AUB d) AcUBc

Pr[A ] = 1 − Pr[A] = 1 − a Pr[B ] = 1 − Pr[B] = 1 − b Pr[AUB] = Pr[A] + Pr[B] − Pr[A ∩ B] = a + b − c Pr[A UB ] = Pr[A ∩ B] = 1 − Pr[A ∩ B] = 1 − c

e) AcUB

6



Pr[A UB] = Pr[A] + Pr[B] − Pr[A ∩ B] = Pr[A] + Pr[B] − Pr[A ]. P[B] Pr[A UB] = (1 − a) + b − (1 − a). (b) = 1 − a + b − b + ab = 1 − a + ab f) A∩Bc

Pr[A ∩ B ] = Pr[A U B] = 1 − Pr[A U B] Pr[A ∩ B ] = 1 − 1 + a − ab = a − ab

8. Sean: A, B, C tres eventos. Exprese Pr(A U B U C) en función de Pr(A), Pr(B), Pr(C). Pr(AUBUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)-P(A∩B)- P(B∩C)- P(A∩C)+P(A∩A∩B∩C) Pr(AUBUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)-P(A∩B)- P(B∩C)- P(A∩C)+P(A)*P(B)*P(C) 9. Sean A, B dos eventos. Demostrar que: Pr(A ∩ B) ≤ Pr(A) ≤ Pr(A U B) ≤ Pr(A) + Pr(B)

Pr[A ∩ B] = Pr[A] + Pr[B] − Pr[A ∪ B] Despejando Pr[A]:

Pr[A] = Pr[A ∩ B] − Pr[B] + Pr[A ∪ B]

Reemplazando en: Pr(A ∩ B) ≤ Pr(A)

Despejando Pr[A ∩ B]:

Pr[A ∩ B] ≤ Pr[A ∩ B] − Pr[B] + Pr[A ∪ B] Pr[B] ≤ Pr[A ∪ B] Pr[B] ≤ Pr[A] + Pr[B] − Pr[A ∩ B] Pr[A ∩ B] ≤ Pr[A]

Considerando: Pr(A U B) ≤ Pr(A) + Pr(B)

Pr[A ∪ B] = Pr[A] + Pr[B] − Pr[A ∩ B] Pr[A] + Pr[B] = Pr [A ∪ B] + Pr[A ∩ B]

Por lo tanto; Entonces: Y

Pr[A] + Pr[B] ≥ Pr [A ∪ B] Pr(A U B) ≤ Pr(A) + Pr(B)

Pr[A] ≤ Pr [A] + Pr[B]

10. Un jugador francés, el caballero de Méré, que era aficionado a las Matemáticas, entró en la historia del cálculo de las probabilidades gracias a un problema de juego que fue solucionado por Pascal. Al jugador le llamó la atención que en la suma de los resultados de lanzar tres dados sea más frecuente el 11 que el 12, a pesar que el 11 es el resultado de las combinaciones (6,4,1), (6,3,2), (5,5,1), (5,4,2), (5,3,3), (4,4,3) y el 12 es el resultado de igual número de combinaciones, ¿cuáles? ¿La observación del Sr. de Meré es debida al azar, o cometió un error de razonamiento? Ω = {1,2,3,4,5,6}3 Ω(12) = {(6,4,2); (6,3,3); (5,5,2); (5,4,3); (4,4,4); (6,5,1)}3 La observación del Sr. Meré es al azar, puesto que: Una de las combinaciones para el 12 es 4-4-4. Al ser los tres dados iguales, sólo hay una forma para que esas combinaciones ocurran. Cada dado debe tener el 4 y no hay otra opción. En cambio, una combinación como 3-3-6 puede ocurrir de 3 maneras diferentes ya que el 6 puede aparecer en 7



cualquiera de los 3 dados. Es decir existen mayor número de combinaciones para formar el número 11 y por ende mayor posibilidades. Nosotros la veremos siempre igual pero, al poder cambiar de lugar el 6, existen más posibilidades físicas de que aparezca esa combinación que aquella que tiene una única forma de hacerlo EJERCICIOS SECCIÓN 1.5.3 – PROBABILIDAD CONDICIONAL 1. Una urna contiene a bolas blancas y b bolas negras. Una segunda urna contiene c bolas blancas y d bolas negras. Se saca al azar una bola de la primera urna y se pone en la segunda urna. Seguidamente se extrae una bola de la segunda urna. Calcular la probabilidad de los eventos siguientes: a) Las dos bolas son blancas. b) La segunda bola es blanca. c) ¿Cuál es el espacio probabilizado que describe esta experiencia? URNA 1 # de bolas blancas: a # de bolas negras: b

URNA 2 # de bolas blancas: c # de bolas negras: d

Eventos: A: La primera bola es blanca. Ac: La primera bola es negra. B: La segunda bola es blanca. a) Las dos bolas son blancas.

P[A ∩ B] = P[A]. P[B|A] a a+b c+1 P[B|A] = c+d+1 a(c+1) P[A ∩ B] = (a + b)(c + d + 1) P[A] =

b) La segunda bola es blanca.

B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) P[B] = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) P[B] = P[A]. P[B|A] + P[A ] .P[B│A ] b P[A ] = a+b

P[B] =

a c +1 b c . + . a + b c + d + 1 a + b c +d +1 a(c + 1) + bc P[B] = (a + b)(c + d + 1)

c) ¿Cuál es el espacio probabilizado que describe esta experiencia? Ω = {(a+c) bolas blancas; (b+d) bolas negras} X(Ω) = {(blanca, blanca); (blanca, negra); (negra, blanca); (negra, negra)} A1: blanca, blanca 8



A2: blanca, negra A3: negra, blanca A4: negra, negra 2. Se extraen dos bolas de una urna devolviendo la bola después de la primera extracción. Suponiendo que la urna contiene cuatro bolas rojas y dos blancas, calcule la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes: a) Ambas bolas son del mismo color. Eventos: R1: La primera bola es roja. R1C: La primera bola es blanca. R2: la segunda bola es roja. A: Ambas bolas del mismo color P[R1] = 4/6 = 2/3 P[R1C] = 2/6 = 1/3 A = (R1∩R2) U (R1c∩R2c) P[A] = P(R1∩R2) + P(R1c∩R2c) P[A] = P(R1)P(R2│R1) + P(R1c∩R2c) b) Por lo menos una bola es roja.

2 2 1 1 5 P[A] = . + . = 3 3 3 3 9

P[B] = P (R1∩R2c) + ( R 1c∩R2) (R1∩R2)

2 1 1 2 2 2 8 P[R ∪ B] = . + . + . = 3 3 3 3 3 3 9

3. Dos tubos defectuosos se confunden con dos buenos. Los tubos se prueban, uno a uno, hasta encontrar los defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el último tubo defectuoso en: a) La primera prueba? b) La segunda prueba? c) La tercera prueba? d) La cuarta prueba? e) Sume los resultados obtenidos en los literales anteriores. ¿Es sorprendente el resultado? Si se hace un diagrama de árbol con cada prueba (B: bueno, D: defectuoso), si se encuentran 2 buenos o dos defectuosos la prueba termina. Los eventos posibles en total son:

C=

4! = 6 2!.2!

Ω = {(BB-DD), (BDB-D), (BDD-B), (DBB-D), (DBD-B), (DD-BB)} a) La primera prueba?

No se puede encontrar el último tubo defectuoso en la primera prueba, ya que al menos se requiere de dos extracciones. P[A1] = 0 b) La segunda prueba? Para encontrar el último tubo defectuoso en la segunda prueba, los posibles eventos son: (DD-BB).

9



A1: primer D sale en la primera prueba. A2: segundo D sale en la segunda prueba.

c) La tercera prueba?

P[A1 ∩ A2] = P[A1]. P[A2|A1] 2 1 1 P[A1∩A2] = . = 4 3 6

Para encontrar el último tubo defectuoso en la tercera prueba, los posibles eventos son: (BDDB), (DBDB). A1: primer D sale en la primera prueba. A2: primer B sale en la segunda prueba. A3: primer B sale en la primera prueba. A4: primer D sale en la segunda prueba. A5: segundo D sale en la tercera prueba.

P[A5] = P[A4∩A5] + P[A2 ∩ A5] P[A5] = P[A4]. P[A5|A4] + P[A2]. P[A5|A2] P[A5] = P [A3∩A4]. P[A5|A4] + P[A1 ∩ A2]. P[A5|A2] P[A5] = P[A3].P[A4│A3].P[A5|A4] + P A1]. P[A2│A1] . P[A5|A2] 2 2 1 2 2 1 1 P[A5] = . . + . . = 4 3 2 4 3 2 3 d) La cuarta prueba? Para encontrar el último tubo defectuoso en la cuarta prueba, los posibles eventos son: (DBBD), (BDBD), (BBDD). Como se tienen 6 posibles eventos, entonces la posibilidad es 3/6 = 1/2:

2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 P[(DBBD), (BDBD), (BBDD)] = . . + . . + . . = 4 3 21 4 3 21 4 3 21 2 e) Sume los resultados obtenidos en los literales anteriores. ¿Es sorprendente el resultado?

1 1 1 P[Ω] = 0 + + + = 1 6 3 2

La respuesta es la probabilidad del espacio muestral.

4. Suponga que tenemos dos urnas, 1 y 2, cada una con dos cajones. La urna 1 tiene una moneda de oro en un cajón y una de plata en el otro, mientras que la urna 2 tiene una moneda de oro en cada uno de los cajones. Se escoge una urna al azar; y de ésta se escoge un cajón al azar, si la moneda encontrada resulta ser de oro, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda provenga de la urna 2? Eventos: U1: La moneda proviene de la urna 1. U2: La moneda proviene de la urna 2. O: L moneda es de oro. Ω = {(U1, O), (U1, P), (U2, O), (U2, O)}

P(U ) = 1/2 P(U ) = 1/2

P(O) = P(U1 ∩ O) + P(U2 ∩ O) 10



P(0) = P(0│U ). P(U )+ P(0│U ).P(U ) P(0) = (1/2).(1/2)+(2/2).(1/2) P(0) = 3/4

P U │0 =

P(U2).P(0│U2) [P(U1). P(0│U1)] + [P(U2).P(0│U2)]

1.1 P U │0 = 1 1 2 1 = 2/3 [2 . 2] + [ 2 . 1] 5. Un bolso contiene tres monedas, una de las cuales está acuñada con dos caras mientras que las otras dos monedas son normales y no son sesgadas. Se escoge una moneda al azar del bolso y se lanza cuatro veces en forma sucesiva. Si cada vez sale cara, ¿cuál es la probabilidad de que ésta sea la moneda con dos caras? Ω = {moneda truncada, moneda normal, moneda normal} Eventos: A: Sacar la moneda trucada. B: Sacar una moneda normal. C: sacar cuatro caras en forma sucesiva.

1 3 2 P[B] = 3

P[A] = La pregunta se refiera a P[A│C]

P[A ∩ C] P[A|C] = P[C] P[C] = P[A ∩ C] + P[B ∩ C] = P[C|A]. P[A] + P[C|B].P[B] 1 1. 13 P[A ∩ C] P[C|A].P[A] 8 P[A|C] = = [ ] [ ] [ ] = 1 1 2 = 33 = P[C] P C|A . P A + P C|B .P[B] 1. + . 9 3 16 3 8

6. En una crianza de borregos se ha comprobado que la probabilidad de que un animal contraiga una enfermedad E es 0.3. la probabilidad de que la reacción a una prueba sea negativa, para un borrego sano es 0.9, y la probabilidad de que la reacción sea positiva para un animal enfermo es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que un borrego elegido al azar esté realmente enfermo, si el resultado del examen fue positivo? Eventos: E: Un animal contraiga una enfermedad. B: Reacción negativa a una prueba, para un borrego sano. C: Reacción sea positiva para un animal enfermo. P(E│C)

P[E ∩ C] P[E|C] = P[C] P[E].P[C] 0,3x0,8 0,24 P[E|C] = = = P[E].P[B ] + P[E]. P[C] 0,3x0,1 + 0,3x0,8 0,27

11



P[E|C] =

8 9

EJERCICIOS SECCIÓN 1.6.3 – INDEPENDENCIA DE EVENTOS 1. Suponga que A y B son dos eventos independientes asociados a un experimento. Si la probabilidad de que A o B ocurra es 0.6, y la probabilidad de que A ocurra es 0.4, determine la probabilidad de que B ocurra. Cuál es la probabilidad del contrario del evento A y B?

P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A]. P[B] P[A ∪ B] − P[A] 0.6 − 0.4 P[B] = = ( 1 − P[A]) 1−0.4 1 P[B] = 3 2 1 2 P[A ∩ B] = P [A]. P[B] = . = 5 3 15 P[A ∩ B] = 1 − P[A ∩ B] 13 P[A∩B] = 15 2. Sean A, B dos eventos asociados con un experimento. Supóngase que: P(A ) = 0.4, Pr( AU B) = 0.7. Sea P( B) = p. ¿Para qué valores de p son A y B independientes?

P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A]. P[B] 0,7 = 0,4 + p − 0,4.p 0,3 = 0,6p p = 0,5 3. Pruebe que si A, B son eventos independientes, entonces los eventos AC y BC también son independientes.

A ∩B = A \ A ∩B P(A ∩ B ) = P(A \ A ∩ B ) P(A ∩ B ) = P(A ) − P A ∩ B P(A ∩ B ) = P(A ) − P(A ). P(B) P(A ∩ B ) = P(A ) (1 − P(B)) P(A ∩ B ) = P(A )P(B ) Como, P(A ∩B ) = P(A )P(B ) , entonces se cumple el teorema de dos eventos independientes. 4. Suponga que A, B, C, D son eventos, ¿cuántas igualdades son necesarias para probar la independencia de los cuatro eventos?, ¿cuáles son dichas igualdades? P(Ai1∩ Ai2∩….. Ain) = P(Ai1)P( Ai2)….. P(Ain) “n” son los eventos independientes 2 n-n-1 n = A, B, C, D = (4) 2n-n-1 = 24-4-1 = 11 igualdades P(A ∩ B∩ C ∩ D) = P(A)P(B)P(C)P(D) P(A ∩ B) = P(A)P(B) P(A ∩ C) = P(A)P(C) P(A ∩ D) = P(A)P(D) 12



P(B ∩ C) = P(B)P(C) P(B ∩ D) = P(B)P(D) P(C ∩ D) = P(C)P(D) P(C ∩ B) = P(C)P(B) P(C ∩ A) = P(C)P(A) P(B ∩ A) = P(B)P(A) SECCIÓN 1.7 – EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN 1. Suponga que se dispone de un cajón que contiene 8 pernos buenos y 2 malos, del cual se extraen dos pernos sin reposición. a) Calcule la probabilidad de que el primer perno sea malo.  = 10 {8 pernos buenos, 2 pernos malos} # pernos buenos B = 8 # pernos malos M = 2 Evento A1: el primer perno sea malo.

P[A1] =

2 1 = = 0,20 8+2 5

b) Calcule la probabilidad condicional de que el segundo perno sea malo sabiendo que el primero fue malo. A2: el segundo perno sea malo. A1: el primer perno fue malo.

P[A2|A1] =

P[A2 ∩ A1] 1 1 = = P[A1] 8+1 9

c) Calcule la probabilidad de que los dos pernos extraídos sean malos. A1: el primer perno sea malo. A2: el segundo perno sea malo.

1 1 1 P[A1∩A2] = P [A1]. P[A2] = . = 5 9 45

d) Suponga que se hacen 6 extracciones sin reposición, calcule la probabilidad de que los dos pernos restantes sean malos. A3: los dos pernos restantes sean malos Este evento equivale a que los 8 primeros pernos sean buenos, entonces tenemos los siguientes subeventos: Bi: un perno bueno es extraído en el ensayo i, i = 1,2,3,4,5,6,7,8.

P[A3] = P[B1 ∩ B2 ∩ B3 ∩ B4 ∩ B5 ∩ B6 ∩ B7 ∩ B8] P[A3] = P [B1]P[B2|B1]P[B3|(B1∩B2)] ……P[B8│(B 1 ∩ B 2 ∩ B 3 ∩ B 4 ∩ B 5 ∩ B 6 ∩ B 7)] 8 7 6 5 4 3 2 1 1 P[A3] = . . . . . . . = 10 9 8 7 6 5 4 3 45 2. De 20 artículos 12 son defectuosos y 8 son no defectuosos, se inspeccionan uno a uno. Si dos artículos se escogen al azar, calcule la probabilidad de que: a) Los dos primeros artículos examinados sean defectuosos. 13



b) Uno sea defectuoso y otro sea no defectuoso. # de artículos: 20 # defectuosos: 12 # no defectuosos: 8 Eventos: A: El primer artículo seleccionado es defectuoso. Ac: El primer artículo seleccionado es no defectuoso. B: El segundo artículo seleccionado es defectuoso. C: Uno de los artículos sea defectuoso. Para la primera extracción hay 12 artículos defectuosos y 8 artículos no defectuosos.

P[A] = Pr[A ] =

12 3 = 20 5

8 2 = 20 5

a) Dos primeros artículos defectuosos, se refiere a la probabilidad de A y B.

→ P[A ∩ B] = P[A] . P[B|A] P[B|A] =

Reemplazando en (1) se tiene:

(1)

12 − 1 11 = 2 0 − 1 19

P[A ∩ B] =

12 11 132 x = 20 19 380

P[A ∩ B] =

33 95

b) Un artículo defectuoso y otro no defectuoso, se refiere a la probabilidad de A y Ac o Ac y A.

→ P[C] = P([A ∩ A ] U [ A ∩ A])

(2)

→ P[C] = P[A ] . P[A|A ] + P[A]. P[A │A] 12 12 P[A|A ] = = 2 0 − 1 19 8 8 P[A |A] = = 2 0 − 1 19 2 12 3 8 48 P[A ∩ A ] = . + . = 5 19 5 19 95 48 P[A ∩ A ] = 95 3. Suponiendo que P(B │ C) = 1 demostrar que P (A ∩ B │ C) = P(A │ C). Primera condición: P[B │ C] = 1

P[B | C] =

P [B ∩ C] =1 P[C]

P [B ∩ C] = P[C ] Ec.(1) 14



Segunda condición:

P (A ∩ B | C) = P (A ∩ B |C) =

P[(A ∩ B) ∩ C] P[C]

P[(A ∩ B) ∩ C] P[A] . P[B ∩ C] = P[C] P[C]

Reemplazando la Ec. (1)

P (A ∩ B |C) =

P[A] .P[C] P[A ∩ C] = P[C] P[C]

P (A ∩ B | C) = P [A | C] Segunda forma, desarrollando los dos términos de la igualdad: Primera condición: P[B │ C] = 1

P[B | C] = P[B | C] =

P [B ∩ C] =1 P[C]

P [B].P[C] =1 P[C]

P[B | C] = P [B ] = 1 Segunda condición:

P (A ∩ B | C) = P[C] =

Ec. (1)

P[(A ∩ B) ∩ C] P[C]

P[(A ∩ B) ∩ C] Ec.(2) P(A ∩ B | C) _____________

P[A | C] = P[C] = Igualando 2 y 3:

P[C] =

P [A ∩ C] P[C]

P [A ∩ C] Ec.(3) P[A | C]

P[(A ∩ B) ∩ C] P [A ∩ C] = P(A ∩ B | C) P[A | C]

Despejamos P(A ∩ B | C):

P(A ∩ B | C) =

P[(A ∩ B) ∩ C]. P[A | C] P [A ∩ C]

P(A ∩ B | C) =

P[A]. P[B]. P[C]. P[A | C] P [A].P[C] 15



P(A ∩ B | C) = P[A | C]. P[B] Reemplazando la Ec. (1)

P(A ∩ B | C) = P[A | C]

4. Una mano de póker contiene cinco naipes repartidos de una baraja de 52. Cuántas manos distintas, pueden repartirse, que contengan: a) Dos parejas (por ejemplo: 2 reyes, 2 ases y un 3) pero no contenga ni tríos ni cuádruples? # de palos: 4 # de cartas del mismo palo: 13 # de cartas: 52 Primer par: Con las primeras dos cartas, por cada número podemos tener 4C2 pares. En total son 13 x 4C2 pares diferentes. Segundo par: Podemos elegir un número de entre 12 disponibles (4 cartas menos correspondientes al palo ya escogido). El segundo par se puede formar igualmente de 4C2 formas. Quinta carta: La quinta carta puede ser una cualquiera de las 44 restantes, que equivale a seleccionar una carta de entre 11 números posibles, es decir: 13 x 4C1. De manera que en total, dos pares cualesquiera se pueden hacer de:

P[2P] = 13 x 4C2 + 12 x 4C2 + 11 x 4C1 P[2P] = 13 x

4! 4! 4! +12x +11x = 247104 2!.2! 2!.2! 1!.3!

Se divide para dos para quitar las repeticiones que se forman con los dos pares cualquiera, entonces el número de manos distintas es 123.552. b) Cinco cartas de un mismo palo? Se puede hacer escogiendo cinco cartas de entre las trece de la misma figura, sin importar que sean corridas o no. Se multiplica por los 4 palos, así:

P[5P] = 4 x 13C5 13! P[5P] = 4 x = 5148 5!.8! 5. Diferencia simétrica: sean A, B dos eventos, la diferencia simétrica de A y B se define por: A∆B = (AUB)\(A∩B) demuestre que: IP(A)- P(B)I ≤ P(A ∆ B) = P(A) + P(B)- 2P(A ∩ B)

A∆B = A ∩ B ∪ B ∩ A P(A∆B) = P A ∩ B + P B ∩ A P(A∆B) = P(A). P B + P(B). P A P(A∆B) = P(A). 1 − P(B) + P(B). 1 − P(A)

Si: entonces:

16



P(A∆B) = P(A) − P(A)P(B) + P(B) − P(A). P(B) P(A∆B) = P(A) + P(B) − 2P(A). P(B) P(A∆B) = P(A) + P(B) − 2P(A ∩ B) A∆B = (A − B) ∪ (B − A) P(A∆B) = P(A − B) + P(B − A) P(A∆B) = P(A)−P(B) + P(B − A) |P(A) − P(B)| ≤ P(A∆B) entonces: Si:

|P(A) − P(B)| ≤ P(A∆B) = P(A) + P(B) − 2P(A ∩ B)

Por tanto:

6. En una habitación se encuentra el siguiente grupo de personas: 5 hombres mayores de 21 años, 4 hombres menores de 21 años, 6 mujeres mayores de 21 años y 3 mujeres menores de 21 años. Se elige una persona al azar. Se definen los eventos siguientes: A “la persona es mayor de 21 años” B “la persona es menor de 21 años”  C “la persona es hombre”  D “la persona es mujer”.  Evaluar las siguientes probabilidades: P(B U D ) y P (B C UC C ) 

P(A) = (5+6)/(5+4+6+3) = 11/18 P(B) = (4+3)/(5+4+6+3) = 7/18 P(C) = (5+4)/(5+4+6+3) = 1/2 P(D) = (6+3)/(5.4+6+3) = 1/2 P(B D) = P(B)+P(D)-P(BD) P(B D)=(7/18)+(1/2)-[(7/18)(1/2)]=25/36 P(B c Cc ) = P(B c )+P(C c )-P(B c ).P(C c ) P(B c Cc )=[1-P(B])+[1-P(C)]-[1-P(B)].[1-P(C)] P(B c Cc ) = 2 - P r( B ) -P r ( C) - P r( A ) . Pr ( D ) P(B c Cc ) = 2 - 7 / 8- 1 / 2 -( 1 1 /1 8 ) ( 1/ 2 ) P(B c Cc ) = 29/36 7. Una caja contiene 4 tubos malos y 6 buenos. Se sacan dos a la vez, si se prueba uno de ellos y se encuentra que es bueno, ¿cuál es la probabilidad de que el otro tambi én sea bueno?. 

= 10 tubos {6 tubos buenos, 4 tubos malos}

Evento A1: el primer tubo sea bueno. Evento A2: el segundo tubo sea bueno.

P A2│A1 =

b −1 b +m −1

P A2│A1 =

5 9

Si los tubos se extraen y prueban uno a uno, ¿cuál es la probabilidad de que el quinto tubo extraído sea el cuarto tubo malo?

17



Evento A3: el quinto tubo extraído sea el cuarto tubo malo. Si se hace un diagrama de árbol con cada prueba (B: bueno, M: malo), se pueden encontrar las siguientes combinaciones posibles para encontrar el cuarto tubo malo en la quinta extracción: Ω = {(BMMMM), (MBMMM), (MMBMM), (MMMBM)}

P[A3] = P [(BMMMM), (MBMMM), (MMBMM), (MMMBM)] P[A3] = P(BMMMM) + P(MBMMM) + P(MMBMM) + P(MMMBM) P[A3] =

6 4 3 2 1 4 6 3 2 1 4 3 6 2 1 4 3 2 6 1 . . . . + . . . . + . . . . + . . . . 10 9 8 7 6 10 9 8 7 6 10 9 8 7 6 10 9 8 7 6 2 P[A3] = 105

8. Tres componentes de un mecanismo, digamos C1, C2 y C3 están colocados en serie (en una línea recta). Suponga que esos mecanismos están agrupados en orden aleatorio. Sea R el evento: “C2 está a la derecha de C1”, y sea S el evento: “C3 está a la derecha de C1”; ¿son independientes los eventos R y S? R: C2 está a la derecha de C1 S: C3 está a la derecha de C1 Ω(R): {C1, C2, C3; C1, C3, C2; C3, C1, C2] Ω(S): {C1, C2, C3; C1, C3, C2; C2, C1, C3} No son eventos independientes, son mutuamente excluyentes. Las posibles combinaciones son: N = 3! = 6 Los eventos R y S tienen igual cardinal: 3 y su probabilidad es: P(R) = 3/6 = 1/2 P(S) = 3/6 = 1/2 R ∩ S = { C1, C2, C3; C1, C3, C2} P(R ∩ S) = 2/6 = 1/3 El resultado anterior es diferente de P(R).P(S) = 1/4, lo cual comprueba que los eventos no son independientes. 9. En la fabricación de cierto artículo se presentan dos tipos de defectos: el de tipo 1 se presenta con probabilidad 0.1 y el de tipo 2 con probabilidad 0.05. Si los defectos son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo no tenga ambas clases de defectos? P(T1) = 0.1 P(T2) = 0.05

P T1 ∪ T2 = P T1 + P T2 − P T1 . P T2 P T1 ∪ T2 = (1 − 0.1) + (1−0.05) − (1 − 0.1). (1−0.05) = 0.995

18



b) ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso?

P[T1∪T2] = P [T1] + P[T2] − P[T1]. P[T2] P[T1∪T2] = 0.1 + 0.05 − 0.1.0.05 = 0.145

c) Sabiendo que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una sola clase de defecto?

P[T1∩T2 ] + P[T1 ∩T2] = P(T1)P(T2 ) + P(T1 )P(T2) P[T1∩T2 ] + P[T1 ∩T2] = 0.1(0.95) + (0.9)0.05 = 0.14

10. En una planta electrónica se sabe que:  

La probabilidad de que un trabajador que asistió a un curso de capacitación cumpla con la cuota de producción es 0.84. La probabilidad de que un trabajador que no asistió a un curso de capacitación cumpla con la cuota de producción es 0.49

Si el 70% de nuevos trabajadores asistieron al curso de capacitación, ¿cuál es la probabilidad de que un trabajador, tomado al azar, cumpla con la cuota de producción? Eventos: C : haber asistido al curso de capacitación P : cumplir la cuota de producción Datos: P[P|C] = 0.84 P[P| CC] = 0.49 P[C] = 0.70 Se pregunta por la probabilidad de P[P]: P[P] = P[P ∩ C] +P[P ∩ C C] P[P] = P[P|C]*P[C] + P[P|Cc] . P [ Cc] P[ Cc] = 1-P[C] = 1 - 0.70 = 0.30 P[P] = 0.84*0.70 + 0.49*0.30 = 0.735 11. Los miembros de una firma dc consultoría rentan automóviles en 3 agencias: el 60% de sus automóviles los alquilan en la agencia 1, el 30% en la agencia 2 y el 10% restante en la agencia 3. De los autos rentados: el 9%, 20% y el 6%; respectivamente, necesitan afinación. Ai = automóvil alquilado en la agencia i, i: 1, 2, 3. B = necesita afinación. P[A1] = 0.6 P[A2] = 0.3 P[A3] = 0.1

P[B│A1] = 0.09 P[B│A2] = 0.2 P[B│A3] = 0.06

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil rentado por la firma de consultoría necesite afinación? Evento A: un automóvil rentado necesite afinación.

P[A] = P A1 ∩ (B│A1) + P A2 ∩ (B│A2) + P A3 ∩ (B│A3) 19



P[A] = P A1]. P[B│A1 + P A2].P[B│A2 + P A3]. P[B│A3 P[A] = 0.6x0.09 + 0.3x0.2 + 0.1x0.06 = 0.12 (b) Si uno de los autos necesita afinación, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la agencia 2?

P[A2] =

P A2]. P[B│A2 P A1]. P[B│A1 + P A2]. P[B│A2 + P A3]. P[B│A3 P[A2] =

0.3x0.2 = 0.5 0.12

12. Suponga que se dispone de dos urnas, la primera contiene una bola blanca y dos rojas, la segunda contiene dos bolas blancas y una roja. Se escoge una urna al azar y se hacen dos extracciones con reposición, si se obtienen dos bolas blancas, ¿cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas pertenezcan a la primera urna? U1 = {b,r,r} U2 = {b,b,r} P[U1] = 1/2 P[U2] = 1/2 U1: Los bolas pertenecen a la urna 1. U2: Los bolas pertenecen a la urna 2. B1: La primera bola es blanca. B2: La segunda bola es blanca.

1 1 1 P[B1∩B2|U1] = . = 3 3 9 2 2 4 P[B1∩B2|U2] = . = 3 3 9

1.1 P[U1]P[B1∩B2|U1] P[U1|B1∩B2] = = 1 12 91 4 P[U1]P[B1∩B2|U1] + P[U2]P[B1∩B2|U2] 2.9+ 2.9 1 P[U1|B1∩B2] = 5 13. Suponga que se dispone de 3 cajones que contienen pernos malos y pernos buenos. El cajón a contiene 8 buenos y dos malos, el cajón b contiene 9 buenos y 1 malo, el cajón c contiene 6 buenos y 4 malos. Se extraen: 5 pernos de a, 3 de b y 2 de c; se toma al azar un perno de entre los 10 extraídos, si se encuentra que es malo, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del cajón c? Pernos en a: 10 (8B, 2 M) Pernos en b: 10 (9B, 1 M) Pernos en c: 10 (6B, 4 M) Total pernos: 30 Probabilidades que los pernos pertenezcan al cajón a, b o c:

5 1 = 10 2 3 P[b] = 10

P[a] =

20



P[c] =

2 1 = 10 5

Probabilidades que sean pernos malos en su respectivo cajón:

1 5 1 P[Mb] = P [M|b] = 10 4 P[Mc] = P[M|c] = 5 P[Ma] = P[M|a] =

Probabilidad que el perno malo pertenezca al cajón c:

P[c]. P[Mc] P[a]. P[Ma] + P[b]. P[Mb] + P[c]. P[Mc] 1.4 2 P[c|Mc] = 1 1 35 51 1 4 = 7 2 . 5 + 10 . 10 + 5 . 5

P[c|Mc] =

21



Sección 1.8 Práctica: simulación de un dado Objetivos: 1. Comparar la distribución empírica del lanzamiento de un dado con la distribución teórica. 2. Comparar la distribución empírica de la suma de resultados de lanzar dos dados con la distribución teórica. 3. Comparar la media empírica de la suma de los dados con su esperanza. Ayuda computacional: una hoja electrónica. Pasos 1. En la primera columna, generar 100 observaciones de la ley uniforme entre 0 y 1 (función RAND). Llamaremos U a estas observaciones. 2. En la siguiente columna se colocan los enteros del 1 al 6 según el valor de U. Si 0 ≤ U ≤ 1/6 se escribirá 1, si 1/6 < U ≤ 2/6 se escribirá 2 y así sucesivamente. 3. Calcular las frecuencias relativas de la columna anterior y comparar con las frecuencias teóricas. 4. Repetir los pasos uno y dos para obtener observaciones de un nuevo dado. 5. Sumar las observaciones correspondientes a los dos dados (es la suma de las respectivas columnas). Comparar la media y la varianza y comparar con los resultados teóricos. 6. Calcular las frecuencias relativas de la columna anterior y comparar con las probabilidades teóricas. 7. Con los resultados empíricos, calcule la probabilidad condicional de que la suma sea 8 sabiendo que el primer dado marcó 6.

22



1.2: 1(iii, iv, v); 3 (i) 1.5: 6 1.6: 4 1.7: 1 (d); 7

23

Ejercicios de Teoría de Probabilidades

Recommend Documents