ejercicios probabilidades y estadistica

UNIVERS IDAD CA TÓLICA TÓLICA DE L A SA NTÍSIMA CONC EPCIÓN EPCIÓN

Departamento de Matemática y Física Aplicadas

PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA IN1062C

Hugo Alvarado Martínez María Lidia Retamal Pérez

Periodo académico 2015

Probabilidades y Estadística

H. Alvarado – L. L. Retamal

ACTIVIDADES DE PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA

Temario: U1. Estadística descriptiva en una y dos variables v ariables U2. Fundamentos del cálculo de probabilidades p robabilidades de eventos U3. Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad U4. Variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad U5. Distribuciones muestrales U6. Inferencia estadística

Se presenta un listado de actividades de acuerdo a los contenidos de un curso clásico de Probabilidades y Estadística a nivel universitario. Esperamos que este cuadernillo de actividades situados a la ingeniería permita a los estudiantes apreciar las posibilidades de aplicaciones en diversos contextos y sea un complemento de guía de estudios en las sesiones de práctica y talleres tanto en el aula como en el laboratorio de computación. Las actividades a desarrollar, por ejemplo en la Unidad 1, se denotan para las prácticas por P1.1, P1.2,… y para los Talleres por T1.1, T1.2,… Al final, se plantean ejercicios complementarios de las unidades.

U1. Estadística Descriptiva en una y dos Variables P1.1 Debido a las mediciones efectuadas en las estaciones climatológicas e hidrométricas, se cuenta con observaciones de variables hidrológicas, tales como caudales durante cierto periodo de tiempo. A continuación, se muestra un resumen r esumen de los caudales medios de un río r ío de Francia en un periodo de 30 años (los datos han sido ordenados), expresados en metros cúbicos por segundo (m3/s): 5.1 6.8 7.9

5.3 6.8 8.0

5.4 6.9 8.0

5.4 7.0 8.1

5.7 7.2 8.5

6.1 7.2 8.6

6.1 7.3 8.7

6.2 7.4 9.1

6.4 7.5 9.2

6.6 7.6 9.2

Las siguientes preguntas tienen por objeto formarse una idea sobre la magnitud de los caudales sintetizando la información mediante estadística descriptiva en cinco intervalo de clases. a) Defina la variable de estudio y su clasificación. Escriba la unidad de observación. b) ¿Qué porcentaje de los datos presentan un caudal a lo más de 77 m3/s? c) ¿Se pueden clasificar los datos como homogéneos? Fundamente. d) Justifique si se pueden considerar simétricos la muestra de los caudales. e) Calcular e interpretar el tercer cuartil. f) Presentar el gráfico de un histograma y comentar.

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P1.2 La siguiente información corresponde al número de piezas que los empleados de una fábrica logran armar en un tiempo de 12 horas de trabajo. 4 4 9 9 9 4 6 8 8 8 8 4 4 5 5 6 4 4 9 7 7 7 7 7 7 9 9 4 4 5 5 6 9 4 9 4 7 6 6 6 6 6 7 6 6 4 4 5 a) b) c) d)

Identifique y Clasifique la variable de estudio. Construya una tabla de frecuencias que represente la información. Calcule la media, moda y mediana del conjunto de datos La fábrica considera que el empleado es de alto valor si la cantidad de piezas armadas supera las 5 piezas. ¿Qué % de empleados de la fábrica tiene alto valor?

P.1.3 En 1000 operaciones de venta, un concesionario de Renault observa los siguientes datos relativos al color del coche y a la forma de pago. COLOR Blanco Azul Verde Negro Total

FORMA DE PAGO Contado Financiado 181 119 240 160 144 96 36 24 601 399

a) Elabore un gráfico circular para la variable color de auto, considerando solamente los que compraron al contado. b) Construya un grafico de barras para la variable forma de pago. c) Construya un gráfico de barras para los pagos dado que los autos son de color Azul. d) Construya un gráfico circular para las formas de pago, considerando los autos de color azul y verde.

P1.4 Según la Asociación de lucha contra la Bulimia y la Anorexia, las pautas culturales han determinado que la delgadez sea sinónimo de éxito social. Muchos jóvenes luchan para conseguir el físico ideal motivados por modelos, artistas o por la publicidad comercial. Durante el mes de marzo de un determinado año 2006, en un colegio, después de las vacaciones de verano, se observó con precaución a 27 alumnos con síntomas de anorexia, registrándose los siguientes signos visibles: Dieta Severa, Miedo a Engordar, Hiperactividad, Uso de Ropa Holgada, Dieta Severa, Uso de Laxantes, Miedo a Engordar, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada, Dieta Severa, Dieta Severa, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada, Hiperactividad, Uso de Laxantes, Miedo a Engordar, Uso de Laxantes, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada, Uso de Laxantes, Hiperactividad, Uso de Laxantes, Uso de Ropa Holgada, Hiperactividad, Dieta Severa. a) Determine y clasifique la variable de interés. Indique la unidad observable. b) Resuma la información en una tabla de distribución de frecuencias. fr ecuencias. Comente. 3



c) Construya un gráfico adecuado para resumir la información anterior.

P1.5 Se realiza en 94 microempresas un estudio sobre la situación laboral de los trabajadores. Sea X la la variable que designa el número de trabajadores por micro empresa e Y número número de ellos con contrato temporal. La siguiente tabla recoge la distribución conjunta de estas variables, y se obtuvo los siguientes valores de las varianzas de X e Y respectivamente 2,50595 y 0,7204. 1

2

3

25 4 0

0 25 0

0 5 35

X/Y 1 – 3 3 – 5 5 – 7

a) Calcular el número medio de trabajadores por microempresa dado que tienen más de un contrato temporal. b) Determinar e interpretar el coeficiente de correlación de Pearson. Pea rson. c) ¿Cuál de las dos distribuciones de frecuencias de X e e Y presentan presentan mayor variabilidad?

P.1.6 En una empresa de limpieza, que cuenta con 100 trabajadores, se ha realizado un estudio sobre la relación entre el salario en miles de dólares y el ausentismo laboral, obteniéndose, entre otros, los resultados que aparecen en la tabla bidimensional . a) Calcular el número medio mensual de días de ausentismo por trabajador, de los trabajadores con salario comprendidos entre 1200 y 1800 dólares. b) Obtenga la varianza de la distribución del salario mensual de d e los trabajadores trabajad ores que se han ausentado del trabajo entre 4 y 8 días. c) ¿Qué puede opinar sobre la relación entre el salario y el ausentismo laboral?. Justifique estadísticamente. ausentismo 0 - 4 salario 0,6 – 1,2 1,2 – 1,8 1,8 – 2,4

5 15 50

4 -8 20 10 0

T1.1 Una muestra de camiones ligeros que utilizan combustible diesel reveló las siguientes millas recorridas por galón de combustible consumido: a) Reconozca y clasifique la variable en estudio. b) Construya la distribución de frecuencia asociada al gráfico. c) Calcular e interpretar la media. d) ¿Son los datos heterogéneos? Justifique estadísticamente. e) Analice la simetría de la distribución de frecuencias. f) Determine un intervalo que contenga el 95% de los datos e interpretar. 4



T1.2 En un estudio se midieron la emisión de partículas contaminantes (p.p.m.) de 40 vehículos city car. La información de este estudio se muestra en la siguiente Tabla de frecuencia Fronteras Frecuencia [0,08-0,13[ 16 [0,13-0,18[ 12 [0,18-0,23[ 6 [0,23-0,28[ 4 [0,28-0,33[ 2 a) Defina y clasifique la variable de estudio. Nombrar la unidad de observación. b) ¿Es el número de clases mostrado adecuado para p ara el conjunto de datos? Fundamente c) ¿Qué porcentaje de los autos contaminan a lo más 0,18 p.p.m? d) ¿Qué cantidad de partículas hace que el 15% de los vehículos contamine a lo menos dicha cantidad? e) Un vehículo se considera que no contamina si la emisión de partículas es inferior + 0,07 p.p.m. ¿Qué porcentaje de los vehículos se consideran contaminante? f) ¿Son los datos homogéneos? ¿Simétrico? g) Elabore un box plot y comente.

T1.3 Las diferencias de temperatura entre la superficie caliente del océano y las aguas profundas, más frías, pueden utilizarse para convertir la energía térmica en energía mecánica. Sea X la diferencia de temperatura entre el agua superficial y la situada a profundidad de d e 1 km. Se realizan mediciones en 15 sitios seleccionados aleatoriamente del Golfo de México. Resultan los siguientes datos: 22.5 24.2

23.8 24.3

23.2 23.3

22.8 23.4

10.1 23.0

23.5 23.5

24.0 22.8

23.2

a) Elabore un diagrama de Tallo y Hoja de los datos. 5



b) Calcule la media, mediana, moda y desviación estándar de los datos. Comente. Come nte. c) Si se elimina el posible valor atípico 10.1 de los datos. Calcule nuevamente la media, mediana, moda y desviación estándar. ¿Cuál medida se ve menos afectada por la presencia del valor atípico? Fundamente su respuesta. d) Compruebe sus resultados a través del uso de calculadora y la planilla Excel.

T1.4 Una empresa estudia las relaciones entre el número de licitadores para un proyecto de carretera, y la propuesta ganadora (la más baja en millones de dólares) para el el proyecto. A: Proyecto, B: Nº de licitaciones, C: Licitación ganadora A B C

1 5 4,0

2 8 6,9

3 5 4,8

4 4 3,9

5 4 4,2

6 3 2,7

7 9 7,8

8 4 4,1

9 7 6,1

10 4 4,4

11 5 4,8

12 5 5,9

a) ¿Más licitaciones tienden a aumentar o disminuir el importe de la licitación ganadora? b) Estime el monto de licitación ganadora si hubiese siete licitadores.

T1.5 En un estudio preliminar a la fijación de velocidad límite en un tramo específico de cierta carretera, se colocó un dispositivo para registrar la velocidad de los vehículos durante varios días, entre las 8 y 9 de la mañana. Las velocidades (en km/h) registradas en uno de tales días es la siguiente: 60 70 50 80 40 85 55 45 90 60 65 55 70 35 80 65 55 75 85 55 Automóviles 65 60 70 85 80 60 65 80 70 65 85 60 65 70 85 70 60 65 60 40 100 75 60 50 65 95 60 65 Buses 50 60 55 70 35 40 80 85 60 55 55 60 40 35 50 65 90 40 Camiones 40 50 45 60 30 40 35 35 65 50 40 55 Otros 55 70 85 60 65 60 90 30 Analice la información mediante los elementos de la estadística descriptiva en una variable y con apoyo de recursos informáticos.

T1.6 Se cree que la cantidad de libras de vapor usadas en una planta por mes está relacionada con la temperatura ambiente promedio. A continuación se presentan los consumos (libras) y las temperaturas (ºC) del último año. Mes Temperatura Ene. 21 Feb. 24 Mar. 32 Abr. 47 Mayo 50 Jun. 59

Uso/1000 185,79 214,47 288,03 424,84 454,68 539,03

Mes Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Temperatura 68 74 62 50 41 30

Uso/1000 621,55 675,06 562,03 452,93 369,95 273,98

a) ¿Cree Ud. que sea posible determinar un modelo de predicción? Justifique. b) Si su respuesta en (a) es afirmativa, ajuste un modelo de regresión lineal. c) De ser posible, interprete la pendiente y el coeficiente de posición. 6



T1.7 El gerente de ventas de una compañía se está preparando para una reunión de ventas, y le gustaría mostrar al grupo de vendedores la forma como se relaciona el número de llamadas a clientes con el valor anual de pedidos que se reciben. De sus registros recolectó la siguiente información para el último año. Número de llamadas 5 4 5 7 7 2 3 4 2 3

Pedidos (miles de dólares) 4,8 6,1 12,3 13,7 15,7 2,2 7,3 5,8 1,9 6,7

Número de llamadas 2 4 4 5 2 3 7 3 4 5

Pedidos (miles de dólares) 2,2 7,1 8,7 13,7 2,3 4,6 10,6 6,1 7,5 15,1

a) A partir de estos datos, ¿puede llegarse a la conclusión que conforme se incrementa el número de llamadas, también aumenta el monto anual de pedidos? Para interpretar sus resultados obtenga los resultados con calculadora y compare con los valores entregados por la planilla Excel. b) Uno de d e los gerentes elaboró la siguiente tabla tabl a de doble entrada, considerando la variable valor anual de pedidos agrupadas en cuatro intervalos de clases. X/Y 1.9 - 5.3 2 4 3 1 4 5 1 7 n. j j 6

5.4 – 8.8 8.9 – 12.3 12.4 – 15.8 15.8 3 5 8

1 1 2

2 2 4

ni..

4 4 5 4 3 n = 20

b1) Interprete los valores de n 32 , f 2 y N 3 b2) ¿Son los montos anuales de pedidos heterogéneos? hetero géneos? Justifique estadísticamente. b3) Calcular e interpretar la mediana de los montos anuales de pedidos. p edidos. b4) Realizar un polígono de frecuencias para los montos anuales de pedidos. Comente. b5) Construya un gráfico adecuado para par a la variable número de llamadas. Comente. b6) Determine el número de llamadas más frecuente entre los montos anuales anua les de pedidos. b7) Obtener e interpretar la media de los números de llamadas a clientes cuyo monto anual de pedidos está entre 5400 y 12300 dólares. b8) Calcular el setenta y cinco por ciento de los montos anuales a nuales de pedidos. b9) ¿Qué puede opinar sobre la conclusión del gerente de ventas? Justifique estadísticamente.

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T1.8 Los siguientes datos relacionan la densidad del tráfico, descrita en términos de número de automóviles por milla, con la velocidad media de tráfico en una ciudad de tamaño moderado. Los datos se recogieron en un mismo lugar y en 10 instantes distintos dentro de un periodo de 3 meses. Densidad Velocidad

69 25.4

56 32.5

62 28.6

119 11.3

84 21.3

74 73 73 22.1 22.3

90 38 18.5 37.2

22 44.6

a) Enuncie la variable de entrada (independiente o predictora) y variable respuesta (dependiente). b) Dibuje un diagrama de dispersión. Comente si observa obser va algún tipo de relación. c) ¿Puede ajustarse a los datos un modelo de regresión lineal simple? En caso afirmativo, presente el modelo. Además, realice alguna predicción. d) Para el desarrollo del ejercicio utilice la calculadora y Excel.

U2. Fundamentos del Cálculo de Probabilidades de Eventos P2.1 Una empresa produce memory stick para cámaras fotográficas, en un proceso automatizado. La calidad de la maquinaria garantiza que sólo el 4% de las memorias producidas son s on defectuosos. d efectuosos. Los envíos de la empresa se hacen en cajas de 200 memorias. Un inspector de esta empresa elige una caja al azar y revisa tres memory stick. Si ninguno es defectuoso, acepta la caja. ¿Cuál es la probabilidad que rechace una caja que tiene un 4% de memorias defectuosas? P2.2 Cuando una computadora se bloquea, existe una probabilidad de 75% de que se deba a una sobrecarga, y de 15% de que sea por un problema de software. La probabilidad de que se origine en una sobrecarga o un problema de software es de 85%. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a ambos problemas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya un solo tipo de problema? c) En un laboratorio hay 6 PC con problemas de sobrecarga y 4 PC con problemas de software. Si se quiere seleccionar 4 PC, determine la probabilidad de seleccionar 3 PC con problemas de sobrecarga y 1 con problemas pr oblemas de software.

P2.3 Un ingeniero está a cargo de un proceso específico en una refinería. La experiencia indica que 10% de los paros de la planta se deben únicamente a fallas de equipo, 5% a fallas de equipo y errores de los operadores, y 40% a errores de los operadores. Ocurre un paro de la refinería. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se deba sólo a errores de los operadores? b) ¿Cuál es la probabilidad de que: no se deba a fallas de equipo ni errores de los operadores? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a errores de los operadores, dado que no ocurrió una falla de equipo?

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P2.4 Una jugadora de baloncesto debe realizar dos lanzamientos. Por estudios se sabe que la probabilidad que enceste en su primer lanzamiento es de 0,8. Sin embargo, suponga que su segundo lanzamiento depende de si ha tenido éxito en el primero. Concretamente: si tuvo éxito en el primer lanzamiento, su segundo lanzamiento también lo tiene con una probabilidad de 0,85; 0 ,85; mientras que qu e si el primer lanzamiento es malogrado, el segundo tiene éxito con una probabilidad de 0,7. Encuentre la probabilidad de que la jugadora: a) Enceste el primero pero falle en el segundo. b) Falle en los dos lanzamientos P2.5 En cierta bodega, una caja contiene cinco focos de 60W, seis de 80W y siete de 100W. Suponga que se seleccionan al azar cuatro focos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro focos seleccionados tengan la misma potencia? b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dos focos foc os con la misma potencia? c) Ahora suponga que se deben seleccionar los focos, uno por uno, hasta encontrar uno de 100W. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en la octava extracción el primer foco de 100W?

P2.6 Un conjunto electrónico consta de dos subsistemas, digamos A y B. A partir de una serie de pruebas previas, se proponen las siguientes probabilidades: Falle A es de un 20%, Falle sólo B es de un 15%, Fallen A y B es de un 15% a) Calcular la probabilidad de que al menos uno de los dos subsistemas fallen. b) Determine la probabilidad de que falle sólo A. c) Encuentre la probabilidad de que no falle el subsistema A ni el subsistema B. B.

P2.7 Suponga que A y B son eventos independientes, tal que la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es a y la probabilidad de que ocurra B es b Verifique la siguiente probabilidad P(A) = 1 1 b b a . P2.8 Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pinturas de látex y semiesmaltada. Con base en las ventas de largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre látex es de 0,75. De los que compran pintura de látex, 60% también compran rodillos. Pero 30% de los compradores de pintura semiesmaltada compran rodillos. Un comprador que se selecciona al azar compra un rodillo y una lata de pintura. ¿Cuál es la probabilidad de que la pintura sea de látex? evento de alta cocina, se han presentado los más selectos cheff para concursar. P2.9 En un evento La comisión está formada por tres exigentes expertos en el tema y cada uno de ellos evalúa colocando su nota en un sobre cerrado sin emitir juicio alguno. Se sabe que el experto 1 tiene una probabilidad de colocar una calificación aceptable de un 65%, el experto dos y tres tienen una probabilidad de un 45% y un 70% respectivamente. a) ¿Cuál es la probabilidad que a un concursante uno de ellos coloque una nota aceptable? b) ¿Cuál es la probabilidad que ninguno de los tres coloque una nota not a aceptable?

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P2.10 Suponga que los sucesos A y B son independientes. Pruebe que los eventos AC y BC son independientes. P2.11 A tres chóferes para un examen de conducir, Pedro, Juan y Diego se les entrega un mismo problema de tránsito para resolverlo. Ellos trabajan el problema independientemente y tiene la probabilidad de 0.8, 0.7 y 0.6 de resolverlo respectivamente. a) ¿Cuál es la probabilidad que ninguno resuelva el problema? b) Dado que el problema fue resuelto, ¿Cuál es la probabilidad que la solución sea dada sólo por Diego?

T2.1 Considere el experimento en que se lanzan dos dados, diferenciado por el color blanco y negro. Si estamos interesados en observar el producto del puntaje obtenido en los dados: a) Elabore una tabla de doble entrada de posibles valores. b) ¿A qué valor apostaría usted? Justifique probabilísticamente. pr obabilísticamente. T2.2 Un diagrama de árbol corresponde a una representación gráfica de un experimento que tiene varias etapas con un número finito de posibilidades y representada mediante ramas. EL número total de posibilidades del experimento se obtienen contando las ramas finales del árbol. Una máquina ha producido 4 dispositivos defectuosos y 3 buenos. Mediante un diagrama de árbol calcular la probabilidad de obtener 2 dispositivos defectuosos y 1 bueno en tres extracciones sucesivas sin reemplazo. Obtener 3 dispositivos defectuosos o 3 dispositivos buenos. T2.3 Hay n hojas de fotocopiadoras en una central de apuntes, de los que 3 están con algún tipo de defecto. Supongamos que, si se eligen dos hojas aleatoriamente, la probabilidad de que ambas sean defectuosas es ½. Encuentre n. T2.4 Considere tres cajas C1, C2, y C3 con la siguiente composición: C1 = {3 fichas verdes y 2 amarillas}, C2 = {4 verdes y 2 amarillas}, C3 = {1 verde y 4 amarillas} Suponga que seleccionamos aleatoriamente una ficha de una de las cajas: a) Defina los sucesos de interés y sus correspondientes asignaciones de probabilidades. b) ¿Cuál es la probabilidad que la ficha extraída sea verde? v erde? c) Habiendo extraído una ficha amarilla ¿Cuál es la probabilidad que proceda de la caja 2? d) Si juntamos todas las fichas en una sola caja y seleccionamos tres fichas secuencialmente, una tras otra, ¿Cuál es la probabilidad que las dos primeras sean verdes y la última sea amarilla?

T2.5 Una urna contiene inicialmente a bolas blancas y b negras. Cada vez que se extrae una bola se apunta el color y se devuelve a la urna junto con co n otra bola del mismo color. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras extracciones se obtengan bolas negras? T2.6 El Triángulo de Pascal es un triángulo formado por números enteros positivos. Se puede utilizar para calcular la probabilidad de ocurrencia de un cierto suceso en un cierto experimento. Características:

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a) Todas las filas del triángulo comienzan y terminan por la unidad, y son simétricas respecto al valor central. b) Cada número del triángulo corresponde corr esponde a la suma de los dos números núme ros ubicados arriba de él. Estos coeficientes representan la cantidad de casos favorables de un determinado suceso. c) La suma de todos los elementos de cada fila corresponde al valor 2n, siendo n el orden de la fila. Este valor indica la cantidad de casos posibles de un determinado suceso. d) Se puede seguir su construcción de manera infinita. Determinar la probabilidad de obtener igual número de dispositivos defectuosos y buenos al extraer seis dispositivos.

T2.7 Sean A y B dos eventos cualesquiera asociados a un experimento, tales que = 1 y P B = 3 . Determine P A c B si: P A 8

4

a) A y B son mutuamente excluyentes. b) A y B son independientes; c) A es subconjunto de B.

T2.8 Supongamos que se lanzan dos dados bien construidos, de modo que cada uno de los 36 resultados posibles son igualmente probables. A denotará el suceso consistente en que resulten un 3 en el primer lanzamiento, B denotará el suceso consistente en que la suma de los dos lanzamientos sea 8, y C denotará el suceso que la suma de los lanzamientos sea 7. a) ¿A y B son eventos independientes? b) ¿A y C son eventos independientes?

T2.9 Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Seleccionamos una pieza al azar y resulta ser defectuosa, ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? Fundamente su respuesta. T2.10 Se sabe que el 30% de los créditos otorgados por un banco son para compra de viviendas, el 50% para compra de vehículos y el 20% de libre disposición. Se sabe además que el 5% de los créditos para compra de vivienda, y 2% de libre disposición no son ocupados para el fin de lo solicitado. También se sabe que el 93.6% de los créditos se ocupan de acuerdo a lo indicado en la solicitud. a) Determine la probabilidad que un cliente que solicita crédito para compra de vehículo lo ocupe para el fin solicitado. b) Si un cliente no ocupa ocu pa el crédito de acuerdo a su solicitud. ¿Cuál es la probabilidad que el crédito se solicitó para la compra de vivienda? c) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente solicite un crédito para libre disposición y lo ocupe para este fin?

T2.11 Un análisis para detectar escapes en una planta de energía nuclear descarta un escape en el 95% de los casos cuando la planta está funcionando correctamente, y señala la falla en un 99% de los casos cuando realmente hay un escape. Si de todas las plantas existentes en determinado país se sabe que el 1% de las plantas tienen fallas de escape, responder: 11



a) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya cometido un error, si se analiza una planta cualquiera y el resultado del análisis indica que hay un escape? b) ¿Cuál es la probabilidad que en una planta elegida al azar no n o se detecte un escape?

U3. Variables Aleatorias Discretas y Distribuciones de Probabilidad P3.1 Un fabricante tiene cinco terminales de computadores aparentemente idénticos listos para ser enviados a su destino. El no sabe que dos terminales son defectuosos. Recibe un pedido especial de dos terminales y lo surte seleccionando al azar dos de los cinco disponibles. Considere la variable aleatoria que mide el número de terminales defectuosos del lote. a) Determine la función de probabilidad f( x x) de la v.a.d. X . b) Determine la función de distribución acumulada de X . c) Determine la probabilidad de que al menos un terminal sea defectuoso. d) Obtenga el valor esperado del número de terminales defectuosos en el lote.

P3.2 ¿Cuál es el canal más visto en la t.v chilena, por la noche? Una encuesta en internet estima que, cuando se consulta por la preferencia entre los programas estelares de Canal 13 y Chilevisión, un 52% de los consultados prefiere ver el estelar de Chilevisión. Si se seleccionan al azar 3 televidentes nocturnos y se le consulta cuál de las dos estaciones televisivas prefiere para ver un estelar. a) Obtenga la distribución de probabilidades para X, el número de personas de la muestra que prefiere ver Chilevisión. b) Construya un histograma para p(x). p(x) . c) ¿Cuál es la probabilidad de que una de las tres personas consultadas prefiera a Chilevisión? d) ¿Cuál es la media y la desviación estándar para X? como el número de computadores P3.3 En una Empresa se definió la variable aleatoria X como con defecto de partidas de dos computadores de este tipo. Su función de probabilidad está dada por: 1 k x p ( x )

5 x! 0

Determinar la constante k y calcular P( X de X .

si x

0,12

e.o.c

1) . Además, encuentre la función distribución

P3.4 Una firma de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de diferente número de años. Dada la distribución acumulada de T , el número de años para el vencimiento de un bono seleccionado aleatoriamente es:

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F T (t )

0 1 4 1 2 3 4 1

t 1 1 t 3 3 t 5 5 t 7

t 7

a) Usando la función de distribución de T , encuentre P( 3 t 6) . b) Determine el número esperado de años para par a el vencimiento de un bono.

P3.5 Se selecciona al azar a un individuo que tiene un seguro automotriz de cierta compañía. Sea Y la cantidad de infracciones de tránsito por las que el individuo ha sido citado en los últimos 3 años. La distribución de probabilidad de Y es: es: Y 0 1 2 3 P(y) 0,60 0,25 0,10 0,05 a) Calcule la esperanza y la varianza de Y. b) Suponga que el individuo con Y multas obtiene un recargo de $10008 ×Y². Calcule la cantidad esperada del recargo.

P3.6 El 10% de los discos de computador producidos por un nuevo proceso salen defectuosos. Si hay 20 discos en una caja: a) ¿Cuántos esperaría usted que salieran defectuosos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de discos defectuosos sea igual al número esperado que usted determinó en su respuesta a la parte a). c) ¿Cuál variación se encontraría en los discos defectuosos de una caja a otra? con f. g. m. P3.7. Considere la v. a. X con

1

4

5

5

e t Determine P(X = = 0), E(X), V(X) .

con la siguiente f. g. m. M X ( t ) P3.8 Considere la v. a. X con Si se define Y

X2 3

1

5

3

8

8

e

t

5

Calcular la probabilidad del evento Y 0

P3.9 Se embarcan motores eléctricos pequeños en lotes de 50. Antes de que tal cargamento sea aceptado, un inspector elige cinco motores y los inspecciona. Si ninguno de los motores probados es defectuoso, defectuoso , el lote es aceptado. Si se encuentra que uno o más son s on defectuosos, se inspecciona el cargamento completo. Suponga que en realidad, hay tres motores defectuosos en el lote. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario una inspección de 100 por ciento? b) Determine e interprete la esperanza de X .

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P3.10 Las fallas en un determinado tipo de grúa que se emplea en la construcción de edificios ocurren a razón de 1 cada 24 horas de operación. El sistema de mantenimiento contempla una inspección cada 8 horas. a) Determinar la probabilidad de que en 48 horas de operación ocurran por lo menos dos fallas. b) ¿Cuál es el número esperado de fallas en 72 horas? h oras?

T3.1 Cada día un ingeniero utiliza la máquina C o la máquina D. Si se registra 4 días consecutivos la máquina utilizada, a) Determine el espacio muestral. b) Suponiendo que cada día se elige la máquina D con probabilidad 2/3 e independiente de la decisión de los otros días, obtenga las probabilidades de todos los resultados elementales. c) Considere la variable aletoria X como el número de días consecutivos que utiliza la máquina C. Determine el valor de X para para cada resultado elemental y el recorrido de X . d) Calcule el número esperado de días consecutivos que utiliza la máquina C. e) Calcular la desviación estándar de la v.a. X . f) Obtener la función de distribución acumulada FX( x x) de la v.a. X . Grafique la función.

T3.2 Un animal muere (M) o sobrevive (S) en el curso de un experimento qurúrgico. El experimento será ejecutado con dos animales, si ambos sobreviven, no se realizará ningún otro ensayo; si exactamente un animal sobrevive, a uno más se le aplicará el experimento. Finalmente, si ambos mueren, serán tratados dos adicionales. a) Listar el espacio muestral asociado al experimento. b) Suponga que los ensayos son independientes y que qu e la probabilidad de sobrevivencia en cada ensayo es 2/3. Asigne probabilidades a los resultados elementales. c) Denotemos la v.a. X como el número de sobrevivientes. Obtenga la distribución de probabilidades {o función de cuantía ( x x, P( X X = x)} de la v.a.d. X . d) Determine el número de sobrevivientes esperados en este experimento. e) Obtener la varianza y la función de distribución acumulada.

T3.3 En un hospital, durante un año específico, se registraron las siguientes masas en los recién nacidos. Calcular la masa esperada al nacer para el año específico en el mismo hospital. Masa al nacer (gramos) 2300 3150 2900 3420 3215

Cantidad de niños 48 22 30 15 20

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T.3.4 En una industria manufacturera se registraron los artículos defectuosos, tal que la variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2 y 3 con sus respectivas probabilidades (2k 3)/10, (k +1)/10, +1)/10, (k -1)/10, -1)/10, (k -2)/10. -2)/10. a) Determine la función de cuantía y calcule las probabilidades P( X X > 1) y P( X X < 3) b) Obtenga la esperanza matemática E( X X ) y la varianza V( X X ). ). c) Determine y grafique la función de distribución acumulada de la v.a.d. X . Elaborar preguntas donde tenga que calcular probabilidades prob abilidades usando la función distribución FX( x x).

T3.5 Un ingeniero ha comprobado que 45 de los 150 accidentes industriales en su planta hidrológica, en los últimos cinco años, se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Determine la probabilidad de que de 84 nuevos posibles accidentes, entre 20 y 30 se deban a negligencias de los empleados. T3.6 Representar gráficamente la distribución B (n,p) para distintos valores de sus parámetros n y p. Por ejemplo, para los valores p = 0,3 con n = 4, 8, 24 y para p = 0,1 con n = 4, 8 y 50. ¿Qué observa de las gráficas para los distintos valores de los parámetros? T3.7 Experimento con dados. Suponga que gana si obtiene un número impar al lanzar un dado normal. Usted gana si obtiene más del 70% de números impares del total de lanzamientos. Considere los ensayos para n = 10, 30, 60 y 100. a) Calcular la probabilidad de ganar en los cuatro casos. Para el número de lanzamientos grandes utilice el applet de la distribución de probabilidad binomial. b) Mediante la generación de números aleatorios en Excel y la condición de p = P(E) de variables aleatorias Bernoulli, determine las posibilidades de ganar en los casos anteriores, a través de la probabilidad como frecuencia relativa.

T.3.8 Un sistema está formado por 100 componentes cada una de las cuales tiene una confiabilidad igual a 0,95. (Es decir, la probabilidad de que la componente funcione correctamente durante un tiempo específico es igual a 0,95). Si esas componentes funcionan independientemente una de otra, y si el sistema completo funciona correctamente cuando al menos funcionan 80 componentes, ¿Cuál es la confiabilidad del sistema? T.3.9 Un fabricante de dispositivos semiconductores toma muestras de chips y los prueba; cada chip es clasificado como defectuoso o no defectuoso. Sea X i =0 si el chip no es defectuoso y X i =1 si el chip es defectuoso. Suponga que ambos sucesos tienen igual probabilidad. a) Si el fabricante prueba 5 chips, determine la probabilidad de obtener a lo más un chip defectuoso, a lo más dos chips defectuosos. b) Si el fabricante toma una muestra de 60 chips, calcule la probabilidad de obtener entre 5 y 15 chips defectuosos; entre 25 y 35; entre 50 y 60; de obtener a lo más un chip defectuoso; a lo más dos chips defectuosos. ¿Qué observas? c) Calcule la probabilidad de obtener un total superior a 105 chips defectuosos; si se analizan 20 cajas de 6 chips cada uno.

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T.3.10 Un lote de 30 tubos de TV a color se somete a inspección. El procedimiento consiste en extraer 5 al azar, sin reemplazo y someterlos a prueba. Si menos de 3 tubos fallan, el lote es aceptado. De otra manera el lote es rechazado. Suponga que el lote contiene 4 defectuosos. a) ¿Cuál es la probabilidad que el lote sea rechazado? b) ¿Cuál es el número esperado de tubos defectuosos d efectuosos en la muestra? c) ¿Cuál es el número esperado de tubos no defectuosos en la muestra?

U4. Variables Aleatorias Continuas y Distribuciones de Probabilidad P4.1 Ciertas barras de metal se generan mediante una aleación en que se combinan dos metales. Las barras contiene cierto porcentaje (%) de plomo que puede ser considerado como una variable aleatoria X y y función de densidad x f X ( x)

5000 0

si 0

100

x e.o.c.

El costo de producir una barra, depende fuertemente del porcentaje de plomo, además de 2 los costos fijos y está dado por: W ( X ) 3 X 4 a) Calcular la función de distribución acumulada de X b) Determine la probabilidad que el porcentaje porc entaje de plomo contenido en una un a barra cualquiera varíe de 20% a 80% c) A partir de la función distribución de X , determine la función densidad de probabilidad para los costos. d) Calcule la esperanza del costo de producir una barra.

P4.2 Para ciertas muestras de minerales la proporción de impurezas por muestras, X, es una variable aleatoria con una función densidad de probabilidad dada por: 2

f ( X )

5

x 0

4 5

si 0

x 1

e.o.c.

a) Obtener la función de distribución acumulada de X . b) Usando sólo la función de distribución, calcular la probabilidad que la proporción de impurezas por muestras es más de 0.8. c) Determine el primer cuartil de la distribución. d) El valor en dólares de cada muestra es Y = 5 - 0.5 X . Determine e interpretar el valor esperado de Y .

P4.3 Suponga que el tiempo de respuesta en cierta terminal de computadoras en línea (tiempo transcurrido entre el fin de la consulta del usuario y principio de la respuesta del sistema a esa consulta) es una variable aleatoria exponencial con tiempo esperado de respuesta igual a 5 segundos. 16



a) Obtener la probabilidad que el tiempo de respuesta a una consulta sea menos de 10 segundos. b) ¿Cuál es la probabilidad de que se realicen por lo menos dos respuesta en un periodo de 10 segundos?

P4.4 Considere la v.a. X peso en bolsa de un fertilizante inorgánico para césped con distribución uniforme de peso medio 25 libras y un recorrido de 2.4 libras. a) Calcule la probabilidad de comprar una bolsa con más de 25.5 libras. b) Escriba la función de distribución de X y úsela para resolver nuevamente la parte a). c) Sea P = 500 +100 X , la variable aleatoria correspondiente al precio, en pesos, de una bolsa. ¿Cuál es la f.g.m. de P ? d) ¿Cuál es el precio esperado de una bolsa de fertilizante? (Utilice dos formas distintas).

P4.5 Los camiones llegan al puerto de carga a una tasa de 2 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 30 minutos transcurran entre llegadas? llegad as? P4.6 En los días de verano el tiempo de retraso de un tren de enlace suburbano se puede modelar como distribuida uniformemente entre 0 y 20 minutos. a) Encuentre la probabilidad de que el tren llegue por lo menos con 8 minutos de retraso. b) Encuentre la desviación estándar del tiempo de retraso r etraso del tren.

P4.7 Si el volumen de una máquina automática en latas de una bebida gaseosa tiene una distribución normal con media de 12.4 onzas de líquido y desviación estándar de 0.1 onzas de líquido. Se pide: a) Defina la variable en estudio, y escriba su f.d.p. b) Interprete la E[X]. c) Si se desechan todas las latas que tienen menos de 12.2 o más de 12.8 onzas de líquido. ¿Cuál es el % de latas desechadas? d) Si la media de la operación de llenado puede ajustarse con facilidad, pero la desviación estándar sigue teniendo el mismo valor, 0.1 onzas de líquido, ¿Qué valor debe darse a la media para que el 99.85% de todas las latas contengan más de 12.2 onzas de líquido? 2

variable aleatoria con función generadora de momentos M X (t ) e 78t 18t y sea Y P4.8 Se X variable 50t variable aleatoria con función generadora de momentos M Y (t ) e

22t 2

a) Calcular x0 tal que P( X X x0)= 0.8943 b) Calcular P(Y < < 65.46) c) Calcular P(121.9 < X + + Y < < 139.0)

P4.9 La experiencia de una empresa química al aplicar una prueba a universitarios recién egresados que han solicitado trabajo, reveló que la puntuación media fue de 500, y la desviación estándar, 50. La distribución de las calificaciones fue normal.

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a) Con base en esta experiencia, la dirección está considerando aceptar una persona cuya puntuación esté en el 6% superior de la distribución, y contratarla directamente para un puesto de responsabilidad. ¿Cuál es la puntuación más baja que debe tener un egresado universitario para calificar para un puesto de responsabilidad? b) También, con base en el desempeño d esempeño pasado, el director de personal planea no tomar en cuenta a las personas que tengan puntuaciones de 400 o menos en la prueba. ¿Aproximadamente qué porcentaje de los solicitantes no se tomarán en cuenta? c) Debido al número limitado de vacantes este año, los solicitantes con puntuaciones entre 400 y 485 se pondrán en “espera” o “reserva”. ¿Qué porcentaje de los solicitantes quedará en “espera”?

d) Debido al número limitado de vacantes este año, los solicitantes con puntuaciones entre 400 y 485 se pondrán en “espera” o “reserva”. Si solicitaron trabajo en la empresa un total de 1000, ¿Cuántos quedarán en la clasificación de “espera”?

electrónico de una copiadora T4.1 La fdp. del tiempo de falla (en horas) de un componente electrónico es: 1 f ( y )

1000

y

e

1000

0

y

0

e.o.c.

a) Calcular la función de distribución de Y . b) Usando la respuesta de la parte a), determine la probabilidad que el componente tarde más de 3000 horas en fallar. c) Usando la parte a), calcular el número de horas en que fallará el 10% de todos los componentes. d) Determine la f.g.m. de Y y a partir de ella obtenga el tiempo medio de falla y su desviación estándar.

T4.2 Dada la siguiente fdp. del tiempo de falla (en horas) de un componente electrónico de una copiadora es: f ( y )

0.001e 0

0.001 y

y

0

e.o.c.

a) Determine la probabilidad que el componente tarde en fallar entre 2800 y 3100 horas. b) Calcular la confiabilidad que tarde más de 106 horas en fallar f allar todos los componentes.

T4.3 Un laboratorio produce fertilizante inorgánico para césped. Uno de los tipos de fertilizante se vende en bolsas de peso uniformemente distribuido con un peso medio de 25 libras y un recorrido de 2.4 libras. a) Calcule la probabilidad de comprar una bolsa con más de 25.5 libras. b) Escriba la función de distribución de X y úsela para resolver nuevamente la parte a). c) Sea P = 500 +100 X , la variable aleatoria correspondiente al precio, en pesos, de una bolsa. ¿Cuál es la f.g.m. de P ? d) ¿Cuál es el precio esperado de una bolsa de fertilizante? (Utilice dos formas distintas).

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T4.4 Suponga que durante la ejecución de un concierto, una persona tiene accesos esporádicos de tos fuerte de manera prácticamente aleatoria, a un ritmo de 6 accesos de tos por hora. Si sus accesos de tos son s on acontecimientos de Poisson. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tosa a lo más una vez durante 15 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un acceso de tos to s demore más de media hora? T4.5 Suponga que el diámetro de un cable eléctrico está normalmente distribuido con un

promedio de 0.8 pulgadas y una varianza de 0.004 pulgadas. a) Si se elige un cable al azar, ¿cuál es la probabilidad que su diámetro sea menor que 0.85 pulgadas? b) ¿Qué diámetro deberían tener los cables de modo que el 87.7% de ellos no excedan de este valor?

T4.6 En el bar de los buenos muchachos, se ha instalado una máquina para la venta de cervezas. La máquina puede regularse de modo que la cantidad media de cerveza por vaso sea la que se desee; sin embargo, en cualquier caso esta cantidad es una variable aleatoria con una distribución normal con una desviación estándar de 5.9 cc. a) Si el nivel se ajusta a 501 cc, ¿Qué porcentaje de los vasos contendrá menos de 487 cc? b) ¿A qué nivel medio debe ajustarse la máquina para que el 83.15% de los vasos contenga más de 490 cc?

T4.7 Si Z ~ N (0, 1), entonces compruebe que: a) P ( Z 1.96) = 0.975 b) P ( -1.96 Z 1.96) = 0.95 c) P (( Z >1.96) = 0.025 ~ N (10, 100), entonces compruebe que: T4.8 Si X ~ a) P ( X X < < 9.5) = 0.4801 b) P ( X X 11) = 0.4602 c) P( 0 X 20) = 0.6826

T4.9 Determine la varianza de la variable aleatoria X mediante la función generadora de momentos de X con con función densidad dada por: f ( x)

0,25 x exp( 0,5x) , x > 0

distribución de Weibull se utiliza ampliamente en problemas de Estadística T4.10 La distribución relacionados con el envejecimiento de materiales aislantes sólidos sujetos a esfuerzo y envejecimiento. Considere la variable aleatoria del tiempo (en horas) para la falta de especimenes de aislante sólidos sometidos a un voltaje de CA. Los valores de los parámetros dependen del voltaje y temperatura; suponga = 2,5 y = 200. 19



a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un espécimen esté entre 100 y 200? b) ¿Qué valor es tal que exactamente 50% de todos los especimenes tengan duración que exceda ese valor?

T4.11 Suponga que la proporción X de área superficial de un cuadrante seleccionado al azar, cubierto por cierta planta, tiene una distribución beta con = 5 y =2. a) Determine esperanza y varianza. b) Calcule P(0,2 X 0 ,4 ).

U5. Distribuciones Muestrales P5.1 Considere dos variables aleatorias X 1 y X 2 con respectivas medias de 15 y 10, desviaciones estándar de 5 y 10 y coeficiente de correlación de - 0.6. Calcular la media y desviación estándar de la variable W = 2 X 1 - 3 X 2. el número de paquetes que envía por correo un cliente seleccionado al azar, en P5.2 Sea X el cierta oficina de envíos. Suponga que la distribución de X es es como sigue: x 1 2 3 4 P( X X = x) 0,4 0,3 0,2 0,1 a) Considere una muestra aleatoria de tamaño n = 2 (dos clientes) y sea S 2 X 1 X 2 el total de paquetes enviados. Obtenga la distribución muestral de S 2. Compare la gráficas de X 1 y de S 2 (se sugiere hacer la representación en papel y con Excel) b) Calcule para n = 2, la probabilidad P (S 2 > 4) c) Si se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n = 3, ¿cuál es la probabilidad de que el total de paquetes enviado por los tres clientes sea exactamente de 4 paquetes.

P5.3 Una máquina produce artículos con cierto tipo de defecto, identificados como 0, 1 y 2. Suponiendo que en una partida hay 20 artículos sin defecto, 30 con un defecto y 50 con dos defectos. Se saca un artículo al azar y se anota su valor X 1 . La distribución de X 1 será: P ( X 1

x)

0,2 x

0

0,3 x

1

0,5 x

2

Suponga que el artículo escogido primero se sustituye y luego se escoge un segundo artículo y se anota su valor, X 2 . Obtenga la distribución de la suma S 2 X 1 X 2 . Además, calcular la esperanza de S 2 y comentar en relación a la media de la población.

P5.4 Considere la siguiente población {1,3,5,7,9} a) Listar los números de tamaño 2 b) Determine la distribución de frecuencias de los rangos r angos muestrales de tamaño 2, donde X i = X max X min max – X min ¿Qué observas? 20



c) Elabore un gráfico adecuado y comente. d) Obtenga el promedio de los rangos muestrales y compare con la media de la población. ¿Qué observas? e) Obtenga la varianza de los rangos muestrales y compare con la varianza de la población. ¿Qué observas?

P5.5 Un ingeniero ha comprobado que 45 de los 150 accidentes industriales en su planta hidrológica, en los últimos cinco años, se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Determine la probabilidad aproximada de que de 84 nuevos posibles accidentes, entre 20 y 30 se deban a negligencias de los empleados. P5.6 Los conductores profesionales que acuden al Departamento de Tránsito de una Municipalidad, deben rendir su examen que tiene puntaje de 1 a 100 puntos. Si un conductor obtiene menos 80 puntos reprueba el examen, y no se le renueva la licencia. La experiencia ha mostrado que los puntajes obtenidos por estos conductores siguen una distribución normal con media 75 y varianza 100. a) ¿Cuál es la probabilidad que un conductor cualquiera renueve su licencia? b) Suponga que los conductores que se encuentran en el 10% de la parte superior de la distribución se le asigna una licencia tipo A. ¿Cuál es el puntaje mínimo que debe obtener un conductor para obtener una licencia tipo A? c) Suponga que 10 conductores rinden este examen simultáneamente y que el puntaje x1 , , , , , , , , x10 que obtengan se consideran variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de esta población de los posibles puntajes. ¡Cuál es la probabilidad que el puntaje total de estos exámenes supere los 800 puntos?

P5.7 La señora Andrea es Ingeniero de una gran compañía de tarjetas de crédito y sabe que en promedio, el saldo mensual de determinado cliente es de U$110 y la desviación estándar es U$10. Si el saldo está distribuido normal. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el saldo de este cliente sea mayor que U$112? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el saldo promedio de una muestra de tamaño 25 sea mayor que U$112? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral de 25 saldos sea a lo más 57,7? d) Si la desviación estándar poblacional es desconocida y el valor calculado a partir de una muestra de tamaño 25 es 14.6 ¿Cuál sería su respuesta para b) en este caso?

P5.8 Se toma una muestra aleatoria de tamaño 16 de una población normal que tiene una media de 75 y una desviación estándar de 8. De otra población normal de media 70 y desviación estándar de 12, se toma una muestra aleatoria de tamaño 9. Sean X 1 y X 2 las medias respectivas de cada muestra. a) Encuentre la probabilidad de que X 1 - X 2 sea mayor que cuatro. b) De las muestras aleatorias se obtuvo las siguientes varianzas muestrales S 12 = 49 y

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S 22 = 121. Suponga que las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales. Calcular

ahora la probabilidad dada en a). c) Enuncie preguntas sobre obtener tamaños de muestra y cálculo de error de estimación.

P5.9 El peso medio del equipaje registrado por un pasajero de la clase turista, seleccionado al azar, que vuela entre dos ciudades en cierta aerolínea, es de 40 libras y la desviación estándar es 10 lb. La media y desviación estándar para un pasajero de clase ejecutiva son 30 lb y 6 lb, respectivamente. Suponga que los pesos individuales de equipaje son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas. a) Si hay 50 pasajeros de clase turista y 12 pasajeros de clase ejecutiva en un vuelo particular ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total del equipaje sea a lo sumo s umo 2500 lb? b) Si en el próximo vuelo la reserva indica que hay igual cantidad de pasajeros de clase turista y ejecutiva, determine el número de pasajeros de clase turista y ejecutiva tales que la diferencia de los pesos promedios muestrales de los equipajes se aleje a lo más en tres libras de la diferencia de los pesos de las medias poblacionales, con una probabilidad de 0.95. (en horas) con función de P5.10 Cierto tipo de componente electrónico tiene una duración X (en densidad de probabilidad gamma de parámetros parámetros α = 2, β, dada por: f ( x)

1 2

x e

x/

para x > 0;

y f ( x x) = 0 en cualquier otro punto.

Considere los siguientes estimadores para β :

ˆ

1 =

y

ˆ

2 =

a) ¿Qué estimador recomienda Usted y por qué? Fundamente. b) Determine el estimador máximo verosímil para β.

P5.11 La vida útil de un tipo de batería está normalmente distribuida con valor medio de 10 horas y desviación estándar de 1 hora. Hay cuatro baterías en un paquete. ¿Qué valor de vida útil es tal que la vida útil total de todas las baterías contenidas en un paquete exceda ese valor en sólo 5% de todos los paquetes. P5.12 Represente por X 1, X 2, …., X n una muestra aleatoria con la siguiente función densidad de probabilidad: , x > 0 a) Determine el estimador de máxima verosimilitud de y después calcule la estimación para los datos de esfuerzo esfuer zo vibratorio. Las 10 observaciones sobre esfuerzo vibratorio de una paleta de turbina bajo condiciones específicas son: 16.88 10.23 4.59 6.66 13.68 14.23 19.87 9.40 6.51 10.95 b) Utilice el hecho que E( X X 2) = 2 , para determinar determinar si el estimador estimador de máxima verosimilitud es insesgado de .

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T5.1 Una empresa tiene 20 representantes de ventas que venden su producto. A continuación se listan los números de unidades vendidas durante un mes por cada representante. Supóngase que tales cifras son una población de valores: 2 3 2 3 3 4 2 4 3 2 2 7 3 4 5 3 3 3 3 5 a) Elabore un gráfico de la población b) Calcule la media poblacional c) Seleccione al azar cinco muestras de 5 elementos cada una, y calcule la media de cada muestra. Determinar los integrantes de cada muestra. d) Compare la media de la distribución de medias muestrales, con la media de la población. ¿Se esperaría que fueran iguales? e) Trace un histograma de las medias muestrales. ¿Observa alguna diferencia entre la forma de la distribución de dichas medias y la distribución de la población?

T5.2 Una máquina produce artículos con cierto tipo de defecto, identificados como 0, 1 y 2. Suponiendo que en una partida hay 20 artículos sin defecto, 30 con un defecto y 50 con dos defectos. Se saca un artículo al azar y se anota su valor X 1 . La distribución de X 1 será:

P ( X 1

x)

0,2 x

0

0,3 x

1

0,5 x

2

a) Suponga que el artículo escogido primero se sustituye y luego se escoge un segundo artículo y se anota su valor, X 2 . Elabore la distribución de la media muestral Z 2

( X 1

X 2 ) 2

b) Nuevamente, supongamos que después de que el segundo artículo ha sido también reemplazado, se escoge un tercer artículo y se anota su valor X 3 . Verifique que la v.a. Z 3 ( X 1 X 2 X 3 ) 3 tiene la siguiente distribución muestral para la media muestral: z 3 P ( Z 3

z 3 )

0 1/3 2/3 1 4/3 5/3 2 0,008 0,036 0,114 0,207 0,285 0,225 0,125

T5.3 Una fábrica realizó numerosos estudios acerca de la duración en días de sus láminas al sumergirla en el agua de cierta ciudad. a) La probabilidad aproximada, en una muestra aleatoria de 121 láminas, de que la diferencia entre la duración esperada m y la duración media sea mayor o igual a 180 días es de 0,1. Si la duración de dichas láminas está distribuida exponencial ¿Cuál es el valor de la media µ ? b) Suponga que la duración de las láminas se distribuye normal con media 2160 días y varianza desconocida. Si se toma una muestra de 18 láminas y nos da una desviación estándar de 592 días ¿Cuál es la probabilidad que la media muestral dure más de 2346 días?

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T5.4 Una empresa de servicios financieros tiene 40 sucursales de similar tamaño a través del país. Cada sucursal tiene ventas anuales que constituyen una variable aleatoria con distribución normal con desviación estándar de 4 UF (miles). Determine la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea mayor que 3,115177 UF (miles). T5.5 A una hora determinada, sea Z el número de viajeros que llegan a una estación en un vagón del metro de la ciudad de Santiago de Chile. Se cuenta el número X de de pasajeros que ingresan; el número Y de viajeros que salen. El metro se va con U personas. Las variables X , Y, Z son variables aleatorias independientes cuya distribución es normal: X ~N(40; 9), Y ~ N(30; 12), Z ~ N(100; 20). a) Generar 200 valores para cada una de las variables X; Y; Z. b) Obtener 10 muestras de tamaños: 100 y 150 de cada una de las variables X; Y;Z y calcular su esperanza y varianza. ¿Qué comportamiento observa de dichos valores? c) Obtener la distribución de probabilidades de la variable aleatoria U.

T5.6 Suponga una población formada por 300 tiendas, donde el número de horas que diariamente permanecen abiertas esas tiendas tiene distribución Uniforme de parámetros 0 y 50. a) Genere una población de 300 tiendas correspondientes al número de horas que permanecen abiertas las tiendas. Calcule el tiempo promedio y la varianza del d el número de horas que están abiertas las tiendas de la población. b) Tome 5 muestras de tamaño: 50, 80, 100, 200 y 250 correspondiente al número de horas que permanecen abiertas las tiendas. Obtenga la media y la varianza de cada una de las muestras. ¿Qué comportamiento tienen estos valores? c) Realizar un histograma para cada una de las muestras obtenidas en b).

T5.7 Se ha extraído una muestra de tamaño 3 de una población normal de media y varianza desconocidas y 2 respectivamente. Considere los estimadores para : =

y

=

¿Qué estimador recomienda recomienda Usted y por qué? Fundamente.

T5.8 Suponga que la resistencia a la tensión esperada de acero tipo A es de 105 kg/pulg2 y que la desviación estándar de la resistencia a la tensión es de 8 kg/pulg2. Para acero tipo B, suponga que la resistencia a la tensión esperada y la desviación estándar de la resistencia a la tensión son de 100 kg/pulg2 y 6 kg/pulg2, respectivamente. Considere la resistencia a la tensión promedio de una m.a. de 40 especímenes tipo A, y la resistencia a la tensión promedio de una m.a. de 35 especímenes tipo B. Ambas muestras son independientes provenientes de poblaciones normales. a) ¿Cuál es la distribución de . Justifique su respuesta. b) Calcular la siguiente probabilidad P ( -1 1) c) Calcular la siguiente probabilidad, para la muestra de tipo A, P ( S2 > 95.377 ) 24



U6. Inferencia Estadística P6.1 Pepe planea comprar una flota de nuevos taxis para sus operaciones en una ciudad. La decisión depende de si el rendimiento del auto en consideración es por lo menos 27.5 millas por galón de gasolina. Los 36 autos que comprueba la compañía de Pepe reportan una media de 25.6 millas por galón (MPG), con una desviación estándar de 3.5 MPG. A un coeficiente de confianza del 99%, ¿Qué aconsejaría a Pepe que hiciera? Suponga normalidad. P6.2 Un departamento municipal está interesado en estimar el ingreso medio anual de 700 familias que viven en una sección de 4 manzanas de su distrito, para ello toma una muestra aleatoria de 50 familias encontrando un ingreso medio de 11800 M$ con una desviación estándar de 950 M$. Se sabe que el ingreso anual de familias tiene distribución normal con desviación estándar de 900M$. P6.3 Determine un intervalo de confianza del 90%, 95% y 99% para el ingreso medio verdadero de las familias de la sección 4. b) Compare dichos intervalos, ¿Qué puede deducir de su comparación? c) ¿Qué ocurre con sus intervalos si la desviación estándar se puede reducir a la mitad? d) ¿Qué ocurre con sus intervalos anteriores si aumenta su tamaño muestral a 100 familias pero manteniendo la desviación estándar de 950 M$? P6.4 Se realiza un estudio para determinar el efecto de la lluvia ácida y otros contaminantes industriales en el agua de lagos. Se obtienen muestras aleatorias, provenientes de poblaciones normales, de diez lagos en un área muy industrializada y de otros ocho en un área boscosa virgen. Los datos del pH del agua son los siguientes: Área Industrial 6.9 7.0 6.2 6.5 6.3 6.6 5.9 5.5 6.0 7.3

Área Virgen 7.0 6.8 6.9 7.0 6.7 7.0 7.1 7.2

a) Mediante un intervalo de confianza del 95% verifique la hipótesis de igualdad de varianzas poblacionales. b) Determine un intervalo interv alo de confianza del 95% para las diferencias de medias. ¿Es posible afirmar que el pH del agua promedio en el área industrializada tiende a ser más bajo que en el área virgen? c) Determine un intervalo de 99% de confianza para la desviación estándar del área industrial. d) Determine un intervalo de confianza del 90% para el PH promedio del agua en el área virgen.

25



P6.5 La longitud de las barras producidas por una cadena de producción es una v.a. con distribución normal y desviación típica 1.8 mm. Se extrae una m.a.s. de 9 observaciones y se obtiene el siguiente intervalo de confianza al nivel del 99% para la longitud media poblacional: [194.65, 197.75]. El director cree cre e que el intervalo es demasiado amplio y exige uno con el mismo nivel de confianza pero cuya longitud no sea superior a 1mm. ¿Cuántas observaciones debe tener la muestra para construir dicho intervalo? P6.6 En una encuesta de opinión pública, 320 de un total de 400 personas entrevistadas se pronunciaron en contra de la ley de Impuesto. a) Establezca un intervalo de confianza del 95% para estimar la proporción de personas que están en contra de esta ley. b) Se S e desea des ea estimar la proporción p roporción p, de d e error máximo de 3% con un nivel de confianza conf ianza de 99%. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para asegurar esta precisión? c) ¿Con qué nivel de confianza puede afirmarse que la proporción de personas que están en contra de esta ley está entre 77% y 83%?

P6.7 Un artículo reportó que para una muestra de 50 cocinas con estufas de gas monitoreadas durante una semana, el nivel de CO2 medio muestral (ppm) fue de 654.16 y la desviación estándar muestral fue de 164.43. a) Calcular e interpretar un intervalo de confianza de 95% para un nivel de CO2 promedio verdadero en la población de todas las casas de la cual se seleccionó la muestra. b) Suponga que el investigador había hecho una suposición preliminar de 175 para el valor de S antes antes de recopilar los datos. ¿Qué tamaño de muestra sería necesario para obtener un ancho de intervalo de 50 ppm para un nivel de confianza de 95%? c) Calcular nuevamente el apartado a) pero considerando ahora sólo el nuevo valor del tamaño de muestra encontrado en el inciso b). Comente sus resultados.

P6.8 Para n grande la distribución muestral de la desviación estándar S es a veces 2

aproximada con una distribución normal que tiene media

y varianza

Determine un intervalo aproximado del 95% de confianza para

2n

.

.

P6.9 Se realizan pruebas de un nuevo lector láser manual para uso en inventarios y el lector utilizado actualmente, con el fin de decidir si se adquiere el primero. Se obtienen los datos siguientes sobre el número de códigos de barras de 7 pulg que pueden leerse por segundo: Nuevo Antiguo

Tamaño muestra 35 35

media 40 29

varianza 24.9 22.7

a) Determine un intervalo de confianza del 90% para el cociente de varianzas poblacionales. Comente. b) Determine un intervalo del 90% 90 % de confianza para la diferencia de medias poblacionales. po blacionales. Comente en relación a la eficiencia del nuevo lector. 26



P6.10 Un fabricante de fibras textiles está investigando una nueva fibra para tapicería, la cual tiene una elongación media por hilo de 12 kg. Con una desviación estándar de 0.5 kg. La compañía desea probar la hipótesis H 0 : 12 vs H 1 : 12 , utilizando para ello una muestra aleatoria de cuatro especímenes. Suponga normalidad a) Encuentre la frontera de la región crítica si la probabilidad del error tipo I se fija en 0.01. b) Determine la probabilidad p robabilidad de cometer error tipo II si la verdadera elongación promedio es 11.25 kg.

P6.11 Un gerente técnico debe decidir si puede o no utilizar una mezcla de ceniza pulverizada de combustible y cemento Pórtland para techar. La decisión depende si la resistencia a la compresión es más de 1300 KN/m2. Para esto, él obtiene una muestra aleatoria de n probetas a los que mide la resistencia a la compresión. Supongamos que la resistencia a la compresión para especímenes de esta mezcla está distribuido normal con desviación estándar de 60 KN/m2. a) Si el utiliza como método estadístico la prueba de hipótesis, ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa adecuadas? b) Si n = 20 probetas fueron seleccionados al azar y, si se define la región de rechazo x 1331.26, ¿Cuál será su decisión? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la mezcla sea utilizada cuando = 1350?

P6.12 Los sueldos base diarios de los ingenieros de una industria, presentan una distribución normal con media de $38.200 y una desviación estándar de $15.500. Si en esta industria un contratista, que emplea a 10 trabajadores, les paga en promedio $32.200 base diario, ¿puede denunciarse a este contratista de pagar sueldos menores a los de la industria? Utilice α=0.1

P6.13 En una planta de armado se diseña una operación específica, la cual toma un tiempo promedio de 5 minutos. El gerente de d e la planta sospecha so specha que para p ara un operador opera dor en particular el tiempo promedio es diferente. El gerente toma una muestra de 11 tiempos de operación para este empleado y obtiene los siguientes resultados (en minutos): minutos ): 4.8, 5.6, 5.3, 5.2, 4.9, 5.7, 4.9, 5.6, 5.1, 4.8, 5.2, 4.5 ¿Hay evidencia en la muestra que apoyan la sospecha del gerente? Utilice un nivel de significación de 0.01?

P6.14 La producción de envases plásticos mediante una máquina, es periódicamente vigilada por posibles fluctuaciones en el grosor. Incontrolable heterogeneidad en la viscosidad del líquido provocan que algunas variaciones en la medición del grosor sean inevitables. Sin embargo, si la verdadera desviación estándar del grosor excede los 0.015 milímetros, hay evidencias suficientes para dudar de la calidad del producto. Mediciones en milímetros del grosor de 10 envases producidos en un cierto turno, arrojan los siguientes resultados: 0.22; 0.28, 0.26, 0.25, 0.23, 0.22, 0.27, 0.29, 0.25, 0.26. ¿Respaldan los datos la sospecha que la variabilidad del proceso excede significativamente del nivel establecido en este turno? Utilice valor – p. 27



P6.15 La pintura para autopista se surte en dos colores: blanco y amarillo. El interés se centra en el tiempo de secado de la pintura; se sospecha que la pintura de color amarillo se seca más rápidamente que la blanca. Se obtienen mediciones de ambos tipos de pintura. Los tiempos de secado (en minutos) son los siguientes: Blanca: Amarilla:

120, 132, 123, 122, 140, 110, 120, 107 126, 124, 116, 125, 109, 130, 125, 117, 129, 120

a) Se sospecha que el tiempo de secado de la pintura de color amarillo tiene la misma variación que la pintura de color blanca. ¿Qué opina Usted al respecto? Justifique usando 0.01 . b) Mediante una prueba de hipótesis h ipótesis con un nivel de significación signif icación del d el 1% verifique que el promedio de tiempo de secado de la pintura de color amarillo se seca s eca más rápidamente que la blanca. Enuncie bajo qué supuestos está trabajando. c) Obtenga el valor p de la parte a) y b)

P6.16 El ruido en las líneas de transmisión eléctricas, variaciones de voltaje y cortes de energía (apagones) pueden afectar el funcionamiento de las computadoras. Cuando entra ruido en u televisor, el resultado consiste en estática y nieve; si entra en una computadora, son posibles los errores y daño de circuitos. Se piensa que más de 80% de las alteraciones de las líneas de transmisión eléctrica en un sitio de cómputo específico corresponde a ruido. a) Especifique la hipótesis alternativa y nula apropiada. b) De 150 alteraciones en la línea de transmisión ocurridas durante el tiempo de estudio, 133 se deben a ruido. ¿Puede rechazarse H 0 ? Interprete los resultados en el contexto del problema usando el valor-p.

P6.17 Diez hombres adultos, cuyas edades fluctúan entre 35 y 50 años, participan en un estudio para evaluar el efecto de la dieta y el ejercicio sobre los niveles de colesterol en la sangre. El colesterol total fue medido al inicio en cada sujeto, y tres meses después de participar en un programa de ejercicio aeróbico y de haber cambiado a una dieta baja en grasas. Los datos son dados en la tabla siguiente: Antes Después

265 229

240 231

258 227

295 240

251 238

245 241

287 234

314 256

260 247

279 239

¿Estos datos apoyan la afirmación de que la dieta baja en grasas y el ejercicio aeróbico son de gran valor en la disminución de los niveles de colesterol? Enuncie los supuestos que se requieren, y utilice un nivel de significación del 5%.

P6.18 Se observó durante algún tiempo el número de accidentes sufridos por operadores de máquinas en cierta industria, con los resultados que se muestran en la tabla siguiente. Pruebe, a un nivel de significancia del 5%, la hipótesis de que los datos proceden de una distribución Poisson.

28



Accidente por Operario Número de Operarios 0 296 1 74 2 26 3 12 4 o más 2

P6.19 Para un estudio acerca de los volúmenes, en cc, que contienen ciertos envases de un producto de limpieza, se tomo una muestra aleatoria de 30 envases encontrando los siguientes datos: 739.79 741.29 743.17 744.58 744.72 744.90 746.13 746.24 746.78 748.63 749.24 749.78 749.90 750.46 751.27 751.67 751.84 752.41 753.21 753.57 753.89 754.02 754.10 754.99 755.61 755.77 757.26

748.01 752.98 760.11.

a) ¿Cree Ud. que los datos provienen de una población distribuida normal? Realice su prueba con seis intervalos. b) Si el estándar es un contenido medio de 750 cc. ¿Cree Ud. que los datos confirman dicho estándar? Fundamente.

P6.20 Un generador de números aleatorios fue usado para generar 1000 números en el intervalo (0,1). Los números generados están resumidos en la tabla siguiente: Intervalo (0.0 , 0.1] (0.1 , 0.2] (0.2 , 0.3] (0.3 , 0.4] (0.4 , 0.5] (0.5 , 0.6] (0.6 , 0.7] (0.7 , 0.8] (0.8 , 0.9] (0.9 , 1)

Nº Generados 114 100 99 98 111 104 106 95 92 81

¿Aceptaría usted la hipótesis que este generador está trabajando como debe; esto es, podemos pensar que los números generados constituyen una muestra aleatoria de una 0.01 ). distribución uniforme en (0,1)? (Use

P6.21 En un estudio de la relación entre el uso de colores y la efectividad de material gráfico, se seleccionaron aleatoriamente 100 gráficas de revistas científicas actuales. Cada una se clasifica en cuanto al uso o ausencia de colores respecto de su efectividad. ¿Se tiene evidencia de que la efectividad del despliegue gráfico no es independiente del uso de colores? Explique su respuesta con base en el valor-p de la prueba.

29


Efectividad Excelente Buena Normal Deficiente


Uso de Si 7 10 9 4

colores No 4 19 26 21

T6.1 El artículo HL analiza el uso de fotografía infrarroja en color para la identificación de árboles normales en bosques de pino de Oregon. Entre los datos reportados había resúmenes de estadísticos para medidas en muestras de árboles sanos y enfermos. Para una muestra de 70 árboles sanos, el promedio muestral de densidad de capa de tinte fue 1.028 y la desviación estándar de 1,63. a) Calcule un intervalo de confianza de 95% para el verdadero promedio de densidad de capa tinte para todos estos árboles. b) ¿Qué ocurre con sus intervalos si la desviación estándar es tándar se puede reducir a la mitad? c) ¿Qué ocurre con sus intervalos anteriores si aumenta su tamaño muestral al doble pero manteniendo la desviación estándar de 1.63? d) Suponga de los investigadores habían hecho una estimación de 0,16 para el valor de S antes de reunir los datos. ¿Qué tamaño de muestra sería necesario obtener un ancho del intervalo de 0,05 con un nivel de confianza de 95%?

T6.2 Una línea eléctrica se avería cuando la tensión sobrepasa la capacidad de la línea. Se sabe que la tensión tiene distribución normal con media 100 y varianza 20. Se desea estimar la tensión promedio de la capacidad de la línea mediante la construcción de intervalos de confianza. a) Obtenga 200 valores correspondientes a la tensión de la capacidad de la línea. b) A partir de los valores generados en a), obtenga obten ga 50 muestras de tamaño 100 y calcule un intervalo de confianza del 95%, para estimar la tensión promedio de la capacidad de la línea.

T6.3 Una comisión que estudia las relaciones entre empresarios y empleados propuso que se adopte un sistema de calificación. Cada empleado debe calificar a su supervisor inmediato; a su vez éste debe calificar a cada empleado. Para determinar si hay diferencia entre las reacciones del personal de oficina y el personal de la fábrica acerca de la propuesta, se seleccionaron aleatoriamente a 120 personas del personal de oficina y a 160 del personal de la la planta; 78 de las personas del personal de oficina y 90 del personal de planta estuvieron a favor de la propuesta. ¿Hay evidencia suficiente para fundamentar la consideración de que la proporción del personal de oficina a favor de la propuesta es mayor que la del personal de fábrica o planta? Resuelva a través de un intervalo de confianza del 98%.

30



T6.4 Un fabricante de componentes de direcciones hidráulicas compra sellos hidráulicos a dos proveedores. Se seleccionan muestras de los sellos de esos dos proveedores y cada una se prueba para determinar la presión que soporta. Los datos resultantes son los que siguen: = 1350 lb/pulg2 = 1338 lb/pulg2

Proveedor I n1 = 10 Proveedor II n2 = 10

= 100 = 29

Suponiendo distribución normal: a) Concluya si la variabilidad en la presión que soporta los sellos del proveedor I es menor que 98, Utilizando un intervalo de Confianza del 95%. b) ¿Hay evidencia basada en una prueba de que los sellos del proveedor I soportan en promedio presiones presione s más altas que los del proveedor II? Resuelva Resue lva mediante un Intervalo de Confianza del 95%.

T6.5 Un estudiante de la Universidad desea conocer el coeficiente intelectual de un grupo de reclusos de un centro penitenciario. Sabiendo que la desviación estándar poblacional es de 15 puntos, ¿de qué tamaño hay que tomar la muestra para que, con un confianza del 98%, la media muestral y la poblacional no difieran en más de tres puntos? T6.6 a) Determínese el tamaño de muestra para estimar la proporción poblacional p, con probabilidad de 96% de que el error cometido en la estimación sea a lo más 2%. ¿Qué sucede con el tamaño de muestra si no se tiene idea acerca de la proporción muestral? b) A partir de los valores generados en a), obtenga obten ga 50 muestras de tamaño 100 y calcule un intervalo de confianza del 95%, para estimar la tensión promedio de la capacidad de la línea.

T6.7 Dos empresas distintas desean establecerse en cierta región y brindar servicios de televisión por cable. Denote por p la proporción de suscriptores potenciales registrados que prefieren la primera empresa sobre la segunda. Considere C onsidere probar prob ar H 0 : p = 0,5 contra H 1 : p 0,5, con base en una muestra de 25 individuos. Represente con X , el número de suscriptores en la muestra que está a favor de la primera empresa. a) ¿Cuál de las siguientes regiones de rechazo es la más adecuada y por qué? R1

x / x

7

x

18

R2

x / x

8

R3

x / x

17

b) En el contexto de la situación de este problema, calcular el error tipo I. c) Mediante el uso de la región seleccionada, ¿qué concluye si 6 de los 25 individuos favoreció a la primera empresa?

31



T6.8 Un ingeniero que trabaja para un fabricante de llantas investiga la duración promedio de un compuesto nuevo de caucho. Para ello, construye 16 llantas y las prueba en una carretera hasta alcanzar el fin de la vida útil de éstas. Los datos, en km., obtenidos son los siguientes: 60613 59836 59554 60252 59784 60221 60311 50040 60545 60257 60000 59997 69947 60135 60220 60523 Considere que la muestra es obtenida de una distribución normal. a) Calcule un I de C del 98% para la desviación estándar de la vida útil de las llantas. b) ¿Qué tan grande deberá ser el tamaño de la muestra si la longitud de un intervalo de confianza de 95% para la vida útil promedio de la llanta es de 2000 km.? c) Al ingeniero le gustaría demostrar que la vida útil promedio de la nueva llanta excede los 60 mil km. Proponga y pruebe las hipótesis apropiadas. Obtenga una conclusión. α = 0.05.

T6.9 La duración de las ampolletas de 100W que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación estándar de 120 horas de duración. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Un comerciante debe decidir si comercializa dichas ampolletas puesto que la duración haría atractiva la venta de estas. El comerciante antes de tomar una decisión, escoge al azar una muestra de 50 bombillas antes que estas sean puestas en cajas obteniendo una vida media de 750 horas. a) Con un nivel de significación de 0.01, ¿cuál fue la decisión del fabricante? b) Si la probabilidad de cometer error tipo II no debe ser más de 0,09. Determine la probabilidad de cometer error tipo I. Use para sus cálculos H1: μ = 760.

T6.10 En un estudio sobre contaminación ambiental se tomaron muestras de aire en dos ciudades A y B, en un mismo día y a la misma hora. El análisis de estas muestras dieron el siguiente resultado, para el número de partículas de materia presente en el aire, en mgr/m 3 . Suponga que la contaminación tienen distribución normal. Ciudad A: Ciudad B:

51 81

70 96

42 67

37 74

55 77

60 82

68 76

61 75

74 83

a) ¿Existe evidencia suficiente para concluir que la varianza de la contaminación ambiental en mgr/m 3 es diferente para las dos ciudades? Utilice = 0.05 para llegar a una conclusión. b) ¿Los datos apoyan la afirmación que la contaminación promedio en la ciudad B es mayor que el de la ciudad A? (Use = 0.05). c) La empresa usará la información obtenida de los datos de la ciudad B, si se convence que la cantidad promedio de partículas en el aire sobrepasa los 76 mgr/m3 . Con la información proporcionada por la muestra, y si la varianza poblacional es 90 ( mgr/m 3 ) 2 , ¿Qué decisión tomará la empresa ?.(Use = 0.01). d) ¿Qué supuestos son necesarios para realizar la dócima en parte b)?

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T6.11 Los oponentes de la construcción de una presa en un río afirman que menos de la mitad de los ribereños están a favor de la construcción. Se emprende una encuesta para sustentar ese punto de vista. a) Especifique las hipótesis alternativa y nula apropiadas. b) De 500 personas interrogadas, 230 están a favor de la construcción. Es esa evidencia suficiente para justificar la afirmación de los oponentes de la presa? Use α = 0.1 y valor p.

T6.12 Recientemente se ha incrementado el interés de evaluar el efecto del ruido sobre la de las personas en llevar a cabo una determinada tarea. Un investigador diseña un experimento en el que pedirá a un determinado número de sujetos que lleven a cabo una tarea específica en un medio controlado y bajo dos diferentes niveles de ruido de fondo. El investigador selecciona 66 personas que son capaces de realizar la misma tarea y de manera práctica en el mismo tiempo. Del total de personas, 33 3 3 seleccionadas al azar realizarán esta tarea bajo un nivel modesto de ruido de fondo. Las restantes 33 llevarán a cabo la misma tarea bajo un ruido de nivel 2, el cual es más severo que el ruido de nivel 1. Los siguientes datos representan los tiempos observados (en minutos) que fueron necesarios para completar la tarea para cada una de las 33 personas de cada nivel Nivel 1 14 12 12 15 12 16 16 11 17 12 13

Nivel 2 21 17 14 17 16 19 16 13 15 20 24

Nivel 1 15 15 16 19 19 16 14 19 16 14 15

Nivel 2 16 18 18 15 10 18 11 17 13 19 15

Nivel 1 16 17 15 19 14 16 19 12 11 17 12

Nivel 2 15 14 14 18 16 14 10 12 16 19 10

Asumiendo que los datos corresponden a muestras aleatorias de dos distribuciones normales e independientes y utilizando un nivel de significación de 0.01 a) Determine si la variabilidad de los tiempos de ejecución de ambos niveles son iguales. b) De acuerdo acu erdo a lo concluido en a) ¿Existe ¿Ex iste alguna razón raz ón para creer que el tiempo promedio para el nivel 2 es mayor por más de dos minutos que para el nivel 1?

33


H. Alvarado – L. L. Retamal EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

C1. La cantidad diaria en litros de café, despachado por una máquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria X que que tiene distribución Uniforme [5,9]. a) Encuentre la probabilidad de que en un determinado día la cantidad de litros de café despachado por esta máquina sea de al menos 8,5 litros. b) Si revisamos a 9 máquinas en un día determinado que operan en forma similar e independiente en distintas partes del aeropuerto: obtenga la probabilidad de que el número de estas máquinas que haya despachado más de 8,5 litros de café sea a lo más 7 y mayor que 5. c) Una máquina de este tipo puede atender a 6 personas en una hora. ¿Cuál es la la probabilidad de que la máquina tome a lo más un minuto en proporcionar el café a un cliente?

C2. Una compañía de electrónica fabrica resistores que tienen una distribución normal con media 100 ohms y la varianza poblacional es 81 ohms2. Si se toma una muestra aleatoria de 25 resistores de la población a) Encuentre la probabilidad que la resistencia promedio de éstos sea menor que 105 ohms. b) Calcule la probabilidad que la varianza muestral sea inferior a 52,85. 52 ,85. c) ¿Qué opina del tamaño de muestra utilizado si no se admite una diferencia entre x y más allá de 3 ohms con probabilidad 0.95?

C3. Sea

X1,..., X n

una muestra aleatoria de una población X con con f.d.p.:

Si observa una muestra de tamaño 7 con valores observados 0.75 0.12 0.74 0.62 0.64 0.36 0.85, encuentre la estimación de mediante el estimador máximo verosímil.

C4. En un estudio sobre contaminación ambiental se tomaron muestras de aire en dos localidades A y B. El análisis de estas muestras dieron los siguientes resultados, para el número de partículas de materia presente en el aire, en mgr/m 3 . Suponga que la contaminación tiene distribución normal en ambas localidades. Localidad A: Localidad B:

81 51

96 70

67 42

74 37

77 55

92 72

75 58

a) Determine un intervalo de confianza del 99% para la verdadera media de la contaminación de la localidad A. b) ¿Es posible suponer sup oner que en las dos localidades tienen la misma variación en cuanto a la contaminación en mgr/m 3 ? (Use = 0.01).

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c) Decida, a través del valor-p, si los datos apoyan que la contaminación promedio de la localidad A excede en 2 mgr/m 3 partículas de materia a la localidad B. d) La empresa usará la información información obtenida de los datos de la localidad B, si se convence que la cantidad promedio de partículas en el aire es inferior a 62 mgr/m3 . Con la información proporcionada por la muestra, y si la varianza poblacional es 100 (mgr/m3 ) 2 , ¿Qué decisión tomará la empresa? Justifique mediante el valor-p. e) Mediante la información dada en c) y si la verdadera cantidad promedio de materia en ese día era de 60 mgr/m 3 , ¿Cuál es la probabilidad de cometer error tipo II? Considere la siguiente región crítica, RC =

C5. El flujo de calor a través del suelo en solares cubiertos sólo con césped tiene distribución aproximadamente normal con media de 29.0. Un artículo reporta los siguientes valores de flujo de calor, a través del suelo de ocho solares cubiertos con polvo de hulla: 34.7 35.4 34.7 37.7 32.5 28.0 18.4 24.9 a) Dada la siguiente región de aceptación , determine la probabilidad de error tipo I. b) ¿Sugieren los datos que el polvo de hulla es eficaz para incrementar el flujo medio de calor sobre el del césped? Resuelva mediante la forma clásica. Use α obtenido en a).

c) Concluya mediante el valor-p para el inciso b).

C6. Suponga que una línea de buses en Concepción llega a la terminal a una tasa de 8 buses por hora. a) Determine la probabilidad la probabilidad de que lleguen entre 11 y 13 buses a la terminal en una hora y media. Comente acerca del valor obtenido. b) Determine la probabilidad prob abilidad de que el primer bus en llegar a la terminal suceda después de cuatro minutos. Comente acerca del valor obtenido.

C7. Un gerente de crédito ha descubierto que 28 de los 80 usuarios de tarjeta no paga el monto completo de la deuda durante un mes dado. a) Determine la probabilidad aproximada de que al seleccionar 30 cuentas de manera aleatoria, se obtengan entre 6 y 14 cuentas no pagadas. Comente sobre el cálculo de probabilidad obtenida. b) Compare con el valor exacto de la probabilidad anterior, determinada mediante la probabilidad binomial, que es 0,9115. c) Calcule el tamaño de muestra necesario para que la estimación difiera de la verdadera probabilidad en menos de 4,5% con probabilidad al menos 0,96. 0,9 6.

C8. El tiempo en segundos necesario para conectarse con Internet mediante un servicio en el que debe marcarse un número recibe influencia de diversos factores, como el número de líneas telefónicas disponible en el área de llamadas locales, hora del día, de la semana, número de usuarios en el área, y así sucesivamente. Se obtienen los datos siguientes en un área dada a dos horas distintas del día, siempre en el mismo día de la semana:

35


Mañana Tarde


31 44 35 45 21 52 35 60 55 61 11 31 40 20 38 22 39 33 35 42 52 43

Suponga que los tiempos de conectarse a Internet en los dos períodos son muestras aleatorias independientes provenientes de poblaciones normales. a) ¿Es apropiada la agrupación? Explique su respuesta a través de un intervalo de 95% de confianza del cociente de las varianzas entre los dos períodos. b) Se afirma que en el período de la tarde hay un acceso promedio a Internet más rápido. Elabore las pruebas de hipótesis adecuadas y concluya mediante el valor-p. c) Contraste la hipótesis de que la varianza del tiempo de acceso a Internet por la mañana es superior a 194 seg2. Responda a través de una prueba de hipótesis de la forma clásica considerando un nivel de significación del 5%.

C9. El Ingeniero de control de calidad de una empresa dedicada a la fabricación de ampolletas afirma que los tiempos de fallas en horas de las ampolletas que fabrican tiene una distribución exponencial con un tiempo promedio de falla de 200 horas. Por medio de los siguientes resultados de una muestra de 283 ampolletas, qué puede concluir. Utilice un test de bondad de ajuste Chi Cuadrado, con α = 0,05.

Duración en horas 0 ≤ T ≤ 100 100 ≤ T ≤ 200 200 ≤ T ≤ 300

T > 300

Número 82 71 68 62

C10. Se espera que dos operarios produzcan, en promedio, el mismo número de unidades

terminadas en el mismo tiempo. Los siguientes datos son los números de unidades terminadas para ambos trabajadores en una semana de trabajo: Operador 1: 12 Operador 2: 14

11 18

18 18

16 17

13 16

Suponga que el número de unidades terminadas diariamente por los dos trabajadores son variables aleatorias independientes. Fundamente, con apoyo de recursos informáticos, las siguientes aseveraciones: a) Se admite la igualdad de varianzas poblacionales cuyo valor-p fue de 0,30. b) Hay diferencias entre las medias del número de unidades producidas por los dos operarios, cuyo valor-p fue de 0,06. c) El número de unidades terminada por el operario 1 se distribuye normal d) El número de unidades terminada por el operario 2 no se distribuye normal

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C11. Suponga que para un estudio acerca del volumen de llenado de un cierto producto en envases de plástico se tomo una muestra aleatoria de 20 envases y se midió el contenido en centímetros cúbicos encontrando los siguientes valores: 1,83 1,99 1,90 1,92 1,94 1,96 1,97 1,98 2,00 2,01 2,03 2,03 2,04 2,05 2,06 2,08 2,08 2,11 2,12 2,15 a) De acuerdo a los antecedentes, ¿Cree Ud. que la población generadora de los datos es Normal? Use test de bondad de ajuste. b) Analice la siguiente información dada en una salida del programa G-Numeric Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) Test Alpha 0,05 p-Value 0,95664832054834 Statistic 0,08708121159937 N 20 Conclusion Possibly normal Gráfico probabilístico Normal

37

ejercicios probabilidades y estadistica

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