CAPÍTULO 9 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares En este capítulo se analizarán y se escribirán ecuaciones de cónicas usando sus propiedades. También se aprenderá cómo escribir y graficar ecuaciones paramétricas y polares, y se verá cómo se puede usar el cálculo para estudiar tales gráficas. Además de las ecuaciones rectangulares de cónicas, también se estudiarán ecuaciones polares de cónicas. En este capítulo, se aprenderá: ómo analizar y escribir ecuaciones de una parábola, una elipse y una !ipérbola. "10.1# paramétricas . "10.# ómo trazar una curva representada por ecuaciones paramétricas.
!e puede modelar la trayectoria de una pelota de "éis"ol "ateada a una altura espec#$ica a un %n&ulo %n&ulo con el 'ori(o 'ori(onta ntall utili( utili(ando ando ecuaci ecuaciones ones paramé paramétri tricas. cas. )Cómo )Cómo se puede puede usar usar un con*unto de ecuaciones paramétricas para encontrar el %n&ulo m#nimo al cual la pelota de"e salir del "ate para +ue el &olpe sea un *onrón -er la sección 10., e*ercicio /. ómo usar un con$unto de ecuaciones paramétricas para encontrar la pendiente de una línea tangente a una curva y la longitud de arco de una curva. "10.2# ómo dibu$ar la gráfica de una ecuación en forma polar, encontrar la pendiente de una línea tangente a una gráfica polar e identificar gráficas polares especiales. "10.3# ómo encontrar el área de una región acotada por una gráfica polar y encontrar la longitud de arco de una gráfica polar. "10.#
En el sistema sistema de coordenadas coordenadas polares, graficar una ecuación implica trazar una curva alrededor alrededor de un punto fi$o llamado el polo. onsiderar una región acotada por una curva y por los rayos %ue contienen los puntos e&tremos de un intervalo sobre la curva. 'ueden usarse sectores circulares para apro&imar el área de tal región. En la sección ().* se verá cómo es posible usar el proceso de límite para encontrar esta área.
ómo analizar y escribir una ecuación polar de una cónica. "10.4#
10.1 Cónicas y c%lculo 5ntender la de$inición de una sección cónica. Anali(ar y dar las ecuaciones de la par%"ola utili(ando las propiedades de la par%"ola. Anali(ar y dar las ecuaciones de la elipse utili(ando las propiedades de la elipse. Anal Anali( i(ar ar y dar dar la lass ec ecua uaci cion ones es de la 'ipé 'ipér" r"ol olaa util utili( i(an ando do las las prop propie ieda dade dess de la 'ipér"ola.
+os griegos descubrieron las secciones cónicas entre los aos -)) y )) a.. A principios del periodo ale$andrino ya se sabía lo suficiente acerca de las cónicas como para %ue Apolonio "/-01(0) a..# escribiera una obra de oc!o vol2menes sobre el tema. 3ás tarde, !acia finales del periodo Ale$andrino, 4ypatia escribió un te&to titulado Sobre las cónicas de Apolonio. 5u muerte marcó el final de los grandes descubrimientos matemáticos en Europa por varios siglos. +os primeros griegos se interesaron muc!o por las propiedades geométricas de las cónicas. 6o fue sino (0)) aos después, a principios del siglo 7899, cuando se !icieron evidentes las amplias posibilidades de aplicación de las cónicas, las cuales llegaron a $ugar un papel prominente en el desarrollo del cálculo.
!ecciones cónicas Toda sección cónica "o simplemente cónica# puede describirse como la intersección de un plano y un cono de dos !o$as. En la figura ().( se observa %ue en las cuatro cónicas básicas el plano de intersección no pasa por el vértice del cono. uando el plano pasa por el vértice, la figura %ue resulta es una cónica de&enerada, como se muestra en la figura ()./.
ómo analizar y escribir una ecuación polar de una cónica. "10.4#
10.1 Cónicas y c%lculo 5ntender la de$inición de una sección cónica. Anali(ar y dar las ecuaciones de la par%"ola utili(ando las propiedades de la par%"ola. Anali(ar y dar las ecuaciones de la elipse utili(ando las propiedades de la elipse. Anal Anali( i(ar ar y dar dar la lass ec ecua uaci cion ones es de la 'ipé 'ipér" r"ol olaa util utili( i(an ando do las las prop propie ieda dade dess de la 'ipér"ola.
+os griegos descubrieron las secciones cónicas entre los aos -)) y )) a.. A principios del periodo ale$andrino ya se sabía lo suficiente acerca de las cónicas como para %ue Apolonio "/-01(0) a..# escribiera una obra de oc!o vol2menes sobre el tema. 3ás tarde, !acia finales del periodo Ale$andrino, 4ypatia escribió un te&to titulado Sobre las cónicas de Apolonio. 5u muerte marcó el final de los grandes descubrimientos matemáticos en Europa por varios siglos. +os primeros griegos se interesaron muc!o por las propiedades geométricas de las cónicas. 6o fue sino (0)) aos después, a principios del siglo 7899, cuando se !icieron evidentes las amplias posibilidades de aplicación de las cónicas, las cuales llegaron a $ugar un papel prominente en el desarrollo del cálculo.
!ecciones cónicas Toda sección cónica "o simplemente cónica# puede describirse como la intersección de un plano y un cono de dos !o$as. En la figura ().( se observa %ue en las cuatro cónicas básicas el plano de intersección no pasa por el vértice del cono. uando el plano pasa por el vértice, la figura %ue resulta es una cónica de&enerada, como se muestra en la figura ()./.
E&isten varias formas de estudiar las cónicas. 5e puede empezar, como lo !icieron los griegos, definiendo las cónicas en términos de la intersección de planos y conos, o se pueden definir algebraicamente en términos de la ecuación general de segundo grado A x
2
+ Bxy + C y 2+ Dx + Ey + F = 0
Ecuación general de segundo grado.
5in embargo, embargo, un tercer método método en el %ue cada una de las cónicas cónicas está definid definida a como como el lu&ar satisfacen cierta propiedad geométrica, geométrica, funciona &eométrico "o colección# de todos los puntos %ue satisfacen me$or. me$or. 'or e$emplo, e$emplo, la circunferenci circunferencia a se define como el con$unto con$unto de todos los puntos " x x , y # %ue son e%uidistantes de un punto fi$o " h, k #. #. Esta definición en términos del lugar geométrico conduce fácilmente a la ecuación estándar o canónica de la circunferencia 2 2 2 ( x x −h ) + ( y− k ) =r
Ecuación estándar o canónica de la circunferencia.
'ara información acerca de la rotación de ecuaciones de segundo grado en dos variables, ver el apéndice .
Par%"olas ;na par%"ola es el con$unto de todos los puntos " x , y # e%uidistantes de una recta fi$a llamada directri( y de un punto fi$o, fuera de dic!a recta, llamado $oco. El punto medio entre el foco y la directriz es el 6értice, y la recta %ue pasa por el foco y el vértice es el e*e de la parábola.
T5O758A 10.1 5CUAC:; 5!T<;=A7 O CA;:;CA =5 U;A PA7<>OLA +a $orma est%ndar o canónica de la ecuación de una parábola con vértice "!, =# y directriz y = k − p es ( x −h )2= 4 p ( y −k ) E$e vertical. 'ara la directriz x =h − p , la ecuación es
( y − k )2=4 p ( x −h )
E$e !orizontal.
El foco se encuentra en el e$e a p unidades "distancia dirigida# del vértice. +as coordenadas del foco son las siguientes: ( h , k + p ) E$e vertical. ( h + p , k ) E$e !orizontal
EJEMPLO 1 ?allar el $oco de una par%"ola 4allar el foco de la parábola dada por 1 1 2 y = − x − x 2
2
!olución 'ara !allar el foco, se convierte a la forma canónica o estándar completando el cuadrado. 1 1 2 y = − x − x >eescribir la ecuación original. 2
2
1−2 x − x 1
2
#
y = ¿ 2
2 y = 1−2 x − x
5acar (?/ como factor.
2
2 y =1−( x
2
+ 2 x )
2 y =2−( x
2
+ 2 x + 1)
x
2
3ultiplicar cada lado por /. Agrupar términos. 5umar y restar ( en el lado derec!o.
+ 2 x + 1=−2 y +2
( x + 1)2=−2 ( y −1)
E&presar en la forma estándar o canónica.
2 5i se compara esta ecuación con ( x −h ) = 4 p ( y −k ) , se concluye %ue h =−1, k =1 y p=−1 / 2
omo p es negativo, la parábola se abre !acia aba$o, como se muestra en la figura ().@. 'or tanto, el foco de la parábola se encuentra a p unidades del vértice, o sea 1 2
( h , k + p )=(−1, )
oco.
A un segmento de la recta %ue pasa por el foco de una parábola y %ue tiene sus e&tremos en la parábola se le llama cuerda $ocal. +a cuerda focal perpendicular al e$e de la parábola es el lado recto "latus rectum#. El e$emplo siguiente muestra cómo determinar la longitud del lado recto y la longitud del correspondiente arco cortado.
EJEMPLO 2 Lon&itud de la cuerda $ocal y lon&itud de arco 2 =4 px espués, !allar la longitud x Encontrar la longitud del lado recto de la parábola dada por del arco parabólico cortado por el lado recto.
!olución ebido a %ue el lado recto pasa por el foco "), p# y es perpendicular al e$e y , las coordenadas de sus e&tremos son (− x , p ) y ( x , p ) . Al sustituir, en la ecuación de la parábola, y por p se obtiene 2 x =4 p ( p ) x =± 2 p ⇒
Entonces, los e&tremos del lado recto son (−2 p , p ) y (2 p , p ) y se concluye %ue su longitud es 4 p ,
como se muestra en la figura ().*. En cambio, la longitud del arco cortado es
2 p
S=
∫ √ 1 +( y ' ) dx 2
−2 p
2
omo, 2 p
S=
∫
−2 p
x x ' y = ⇒ y = 4 p 2 p
√ +( )
2
1
x dx 2 p
2 p
1 2 2 S= 4 p + x dx 2 p −2 p
∫ √
S=
[ √
|
|]
1 2 2 2 2 2 x 4 p + x + 4 p ln x + 4 p + x 2 p 2 p 0
| √
S=
[ √
1 2 2 2 2 2 p 8 p + 4 p ln 2 p + 8 p −4 p ln ( 2 p ) 2 p
|
√ |
]|
S =2 p [ √ 2 + ln ( 1 + √ 2 ) ] S ≈ 4,59 p
;na propiedad muy utilizada de la parábola es su propiedad de refle&ión. En física, se dice %ue una superficie es refle$ante o re$lectante si la tangente a cual%uier punto de la superficie produce ángulos iguales con un rayo incidente y con el rayo refle$ado resultante. El ángulo correspondiente al rayo incidente es el %n&ulo de incidencia, y el ángulo correspondiente al rayo %ue se refle$a es el %n&ulo de re$le@ión. ;n espe$o plano es un e$emplo de una superficie refle$ante o reflectante.
T5O758A 10. P7OP5=A= =5 75L5B:; =5 U;A PA7<>OLA 5ea P un punto de una parábola. +a tangente a la parábola en el punto P produce ángulos iguales con las dos rectas siguientes. 1. +a recta %ue pasa por P y por el foco . +a recta paralela al e$e de la parábola %ue pasa por P. 5lipses 3ás de mil aos después de terminar el periodo ale$andrino de la matemática griega, comienza un renacimiento de la matemática y del descubrimiento científico en la civilización occidental. 6icolás opérnico, astrónomo polaco, fue figura principal en este renacimiento. En su traba$o Sobre las revoluciones de las esferas celestes , opérnico sostenía %ue todos los planetas, incluyendo la Tierra, giraban, en órbitas circulares, alrededor del 5ol. Aun cuando algunas de las afirmaciones de opérnico no eran válidas, la controversia desatada por su teoría
!eliocéntrica motivó a %ue los astrónomos buscaran un modelo matemático para e&plicar los movimientos del 5ol y de los planetas %ue podían observar. El primero en encontrar un modelo correcto fue el astrónomo alemán Co!annes Depler "(*(1(-)#. Depler descubrió %ue los planetas se mueven alrededor del 5ol, en órbitas elípticas, teniendo al 5ol, no como centro, sino como uno de los puntos focales de la órbita.
Copérnico comen(ó el estudio del mo6imiento planetario cuando se le pidió +ue corri&iera el calendario. 5n a+uella época, el uso de la teor#a de +ue la Tierra era el centro del Uni6erso, no permit#a predecir con e@actitud la lon&itud de un ao. El uso de las elipses para e&plicar los movimientos de los planetas es sólo una de sus aplicaciones prácticas y estéticas. omo con la parábola, el estudio de este segundo tipo de cónica empieza definiéndola como lugar geométrico de puntos. 5in embargo, a!ora se tienen dos puntos focales en lugar de uno. ;na elipse es el con$unto de todos los puntos " x , y #, cuya suma de distancias a dos puntos fi$os llamados $ocos es constante. "8er la figura ()..# +a recta %ue une a los focos interseca o corta a la elipse en dos puntos, llamados 6értices. +a cuerda %ue une a los vértices es el e*e mayor , y su punto medio es el centro de la elipse. +a cuerda a través del centro, perpendicular al e$e mayor, es el e*e menor de la elipse. "8er la figura ().F.#
PARA MAYOR INFORMACIÓN 'ara saber más acerca de cómo G!acer e&plotarH una elipse para convertirla en una parábola, consultar al artículo GE&ploding t!e EllipseH de Arnold Iood en Mathematics Teacher . T5O758A 10.2 5CUAC:; 5!T<;=A7 O CA;:;CA =5 U;A 5LP!5 +a forma estándar o canónica de la ecuación de una elipse con centro (h , k ) y longitudes de los e$es mayor y menor / a y /b, respectivamente, donde a > b es
( x − h )2 ( y − k )2 + =1, El eje mayor es horizonal . 2 2 a
b
<
( x − h )2 ( y − k )2 + =1, El ejemayor es !eri"al. 2 2 b
a
2 2 2 +os focos se encuentran en el e$e mayor, a c unidades del centro, con " =a −b .
+a definición de una elipse se puede visualizar si se imaginan dos alfileres colocados en los focos, como se muestra en la figura ().0.
EJEMPLO 3 Completar cuadrados Encontrar el centro, los vértices y los focos de la elipse dada por 4 x
2
+ y 2−8 x + 4 y −8 =0
!oluciónD Al completar el cuadrado se puede e&presar la ecuación original en la forma estándar o canónica. 4 x
2
+ y 2−8 x + 4 y −8 =0 Es"ribir la e"#a"i$n ori%inal .
4 x
2
+ y 2−8 x + 4 y =8
4 ( x
2
−2 x + 1 ) + ( y 2 + 4 y + 4 )= 8 + 4 + 4 2
4 ( x −1 )
+( y + 2 )2=16
( x −1 )2 ( y + 2 )2 + =1 Es"ribir la &orma es'ndar o "an$ni"a . 4
16
Así, el e$e mayor es paralelo al e$e y , donde h =1, k =−2, a= 4, b =2 y " =√ 16− 4 =2 √ 3 . 'or tanto, se obtiene: (1,−2 )( h , k ) entro: 8értices: ( 1,−6 )
y ( 1, 2)( h , k ± a )
ocos: ( 1,−2 −2 √ 3 ) y ( 1,−2 + 2 √ 3 ) (h , k ± a " ) +a gráfica de la elipse se muestra en la figura ().().
6ota: 5i en la ecuación del e$emplo , el término constante F =−8 !ubiese sido mayor o igual a F, se !ubiera obtenido alguno de los siguientes casos degenerados. (.
F =8,
un solo punto, ( 1,−2 ) :
( x −1 )2 ( y + 2 )2 + =0 4
/. F > 8, no e&isten putos solución, ( 1,−2 ) :
16
( x −1 )2 ( y + 2 )2 + <0 4
16
EJEMPLO 4 La ór"ita de la Luna +a +una gira alrededor de la Tierra siguiendo una trayectoria elíptica en la %ue el centro de la Tierra está en uno de los focos, como se ilustra en la figura ().((. +as longitudes de los e$es mayor y menor de la órbita son -F F)) =ilómetros y - -@) =ilómetros, respectivamente. Encontrar las distancias mayor y menor "apogeo y perigeo# entre el centro de la Tierra y el centro de la +una.
!olución 'ara comenzar se encuentran a y b. 2 a= 768800 (on%i#ddel ejemayor . a =384400 Despejar a . 2 b= 767640 (on%i#ddel ejemenor .
b =384400 Despejar b .
A!ora, al emplear estos valores, se despe$a c como sigue. 2 2 " =√ a −b ≈ 21108 +a distancia mayor entre el centro de la Tierra y el centro de la +una es la distancia menor es a −" ≈ 363,292 =ilómetros.
a + " ≈ 405508 =ilómetros y
En el teorema ()./ se presentó la propiedad de refle&ión de la parábola. +a elipse tiene una propiedad seme$ante. En el e$ercicio ((/ se pide demostrar el siguiente teorema.
T5O758A 10.3 P7OP5=A= =5 75L5B:; =5 LA 5LP!5 5ea P un punto de una elipse. +a recta tangente a la elipse en el punto P forma ángulos iguales con las rectas %ue pasan por P y por los focos. ;no de los motivos por el cual los astrónomos tuvieron dificultad para descubrir %ue las órbitas de los planetas son elípticas es el !ec!o de %ue los focos de las órbitas planetarias están relativamente cerca del centro del 5ol, lo %ue !ace a las órbitas ser casi circulares. 'ara medir el ac!atamiento de una elipse, se puede usar el concepto de e@centricidad.
=5;C:; =5 LA 5BC5;T7C=A= =5 U;A 5LP!5 +a e@centricidad e de una elipse está dada por el cociente " e= a
'ara ver cómo se usa este cociente en la descripción de la forma de una elipse, obsérvese %ue como los focos de una elipse se localizan a lo largo del e$e mayor entre los vértices y el centro, se tiene %ue 0 < " < a. En una elipse casi circular, los focos se encuentran cerca del centro y el cociente c ?a es pe%ueo, mientras %ue en una elipse alargada, los focos se encuentran cerca de los vértices y el cociente c/a está cerca de (, como se ilustra en la figura ().(/.
+a e¢ricidad de la órbita de la +una es e =0.0549 y las e¢ricidades de las nueve órbitas planetarias son las siguientes. 3ercurio: e =0.2056
C2piter: e =0.0484
8enus:
e =0.2056
5aturno: e =0.0542
Tierra:
e =0.0167
;rano:
3arte:
e =0.0934
e =0.0472
6eptuno: e =0.0086
'or integración se puede mostrar %ue el área de una elipse es A = )ab 'or e$emplo, el área de la elipse
2
2
x y + 2 =1 2 a b
Está dada por a
A = 4
∫ ba √ a − x dx 2
2
0
A =
4b
a
) / 2
∫ a cos * d* S#si#"i$n ri%onom+ri"a x= asen*. 2
2
0
5in embargo, encontrar el perímetro de una elipse no es fácil. El siguiente e$emplo muestra cómo usar la e¢ricidad para establecer una Gintegral elípticaH para el perímetro de una elipse.
EJEMPLO 5 5ncontrar el per#metro de una elipse 3ostrar %ue el perímetro de una elipse
( )+( )= 2
y
2
b
x a
2
2
1
es
) / 2
4a
∫ √ 1 −e
2
2
sen * d * . e = " / a
0
!oluciónD omo la elipse dada es simétrica respecto al e$e x y al e$e y , se sabe %ue su perímetro es el b 2 2 y =( ) √ a − x cuádruplo de la longitud de arco de en el primer cuadrante. +a función y es a diferenciable "o derivable# para toda x en el intervalo e&cepto en x =a . Entonces, el perímetro está dado por la integral impropia d
C =lim 4 da
a
a
∫ √ 1+ ( y ' ) dx = 4 ∫ √ 1 + ( y ' ) dx =4 ∫ 2
2
0
0
0
√
2
1+
b x a (a 2
2
2
− x 2 )
dx
Al usar la sustitución trigonométrica x =asen* , se obtiene ) 2
C =4
∫ 0
√
2
2
b sen * ( a"os* ) d* 1+ 2 2 a cos *
) / 2
C =4
∫ √ a cos * + b sen * d* 2
2
2
2
0
) / 2
C =4
∫ √ a (1− sen * )+ b 2
0
2
2
2
sen * d*
( a −b ) " e = 2= , 2 a a 2
2
ebido a %ue
2
2
se puede escribir esta integral como
) / 2
C =4 a
∫ √ 1 −e
2
2
sen * d * .
0
5e !a dedicado muc!o tiempo al estudio de las integrales elípticas. En general dic!as integrales no tienen antiderivadas o primitivas elementales. 'ara encontrar el perímetro de una elipse, por lo general !ay %ue recurrir a una técnica de apro&imación.
EJEMPLO 6 Apro@imar el 6alor de una inte&ral el#ptica Emplear la integral elíptica del e$emplo * para apro&imar el perímetro de la elipse 2
x
25
+
y
2
16
=1
!oluciónD " ( a −b e = 2= 2 a a 2
omo
2
∫√ ) /2
C =( 4 )( 5 )
0
2
2
)
9 = , se tiene 25
2
9 sen * 1− d* 25
Aplicando la regla de 5impson con n =4 se obtiene C ≈ 20 (
) 1 6
)( ) [1 + 4 ( 0.9733 ) +2 ( 0.9055 ) + 4 ( 0.8323 ) + 0.8 ] ≈ 28.36 4
'or tanto, el perímetro de la elipse es apro&imadamente /F.- unidades, como se muestra en la figura ().(.
?ipér"olas +a definición de !ipérbola es similar a la de la elipse. En la elipse, la suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos es fi$a, mientras %ue en la !ipérbola, el valor absoluto de la diferencia entre estas distancias es fi$o. ;na 'ipér"ola es el con$unto de todos los puntos " x , y # para los %ue el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fi$os llamados $ocos es constante. "8er la figura ().(@.# +a recta
%ue pasa por los dos focos corta a la !ipérbola en dos puntos llamados 6értices. El segmento de recta %ue une a los vértices es el e*e trans6ersal, y el punto medio del e$e transversal es el centro de la !ipérbola. ;n rasgo distintivo de la !ipérbola es %ue su gráfica tiene dos ramas separadas.
T5O758A 10. 5CUAC:; 5!T<;=A7 O CA;:;CA =5 U;A ?PE7>OLA +a forma estándar o canónica de la ecuación de una elipse con centro (h , k ) es
( x − h )2 ( y −k )2 − 2 =1, El eje mayor es horizonal . 2 a
b
<
( y −k )2 ( x − h )2 + =1, El ejemayor es !eri"al. 2 2 a
b
+os vértices se encuentran a a unidades del centro y los focos se encuentran a c unidades del 2 2 2 centro, con " =a + b .
6ota: En la !ipérbola no e&iste la misma relación entre las constantes 2 2 2 En la !ipérbola, " =a + b ,
a,b
y " , %ue en la elipse.
2 2 2 mientras %ue en la elipse, " =a −b .
;na ayuda importante para trazar la gráfica de una !ipérbola es determinar sus as#ntotas, como se ilustra en la figura ().(*. Toda !ipérbola tiene dos asíntotas %ue se cortan en el centro de la !ipérbola. +as asíntotas pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones / a por /b, con
centro en "h, k #. Al segmento de la recta de longitud / b %ue une (h , k + b ) conoce como e*e con*u&ado de la !ipérbola.
y
(h , k −b )
se le
T5O758A 10.4 A!Í;TOTA! =5 U;A ?PE7>OLA 5i el e$e transversal es hori!ontal , las ecuaciones de las asíntotas son b b y = k + ( x −h ) y y =k − ( x −h ) a a
5i el e$e transversal es vertical , las ecuaciones de las asíntotas son a a y = k + ( x −h ) y y =k − ( x −h ) b
b
En la figura ().(* se puede ver %ue las asíntotas coinciden con las diagonales del rectángulo de dimensiones /a y /b, centrado en " h, k #. Esto proporciona una manera rápida de trazar las asíntotas, las %ue a su vez ayudan a trazar la !ipérbola.
EJEMPLO 7 Uso de las as#ntotas para tra(ar una 'ipér"ola Trazar la gráfica de la !ipérbola cuya ecuación es
4 x
2
− y 2=16
!olución 'ara empezar se escribe la ecuación en la forma estándar o canónica. x
2
4
−
y
2
16
=1
El e$e transversal es !orizontal y los vértices se encuentran en (−2,0 ) y (2, 0 ) y +os e&tremos del e$e con$ugado se encuentran en ( 0,− 4 ) y (0, 4 ) y on estos cuatro puntos, se puede trazar el rectángulo %ue se muestra en la figura ().(- a. Al dibu$ar las asíntotas a través de las es%uinas de este rectángulo, el trazo se termina como se muestra en la figura ().(- b.
=5;C:; =5 LA 5BC5;T7C=A= =5 U;A ?PE7>OLA +a e@centricidad e de una !ipérbola es dada por el cociente e=
" a
omo en la elipse, la e@centricidad de una !ipérbola es
" e= . a
ado %ue en la !ipérbola " > a
resulta %ue e > 1 . 5i la e¢ricidad es grande, las ramas de la !ipérbola son casi planas. 5i la e¢ricidad es cercana a (, las ramas de la !ipérbola son más puntiagudas, como se muestra en la figura ().(.
+a aplicación siguiente fue desarrollada durante la 5egunda Iuerra 3undial. 3uestra cómo los radares y otros sistemas de detección pueden usar las propiedades de la !ipérbola.
EJEMPLO 8 Un sistema 'iper"ólico de detección os micrófonos, a una milla de distancia entre sí, registran una e&plosión. El micrófono A recibe el sonido / segundos antes %ue el micrófono ". Jónde fue la e&plosiónK
!olución
5uponiendo %ue el sonido via$a a ( ()) pies por segundo, se sabe %ue la e&plosión tuvo lugar / /)) pies más le$os de " %ue de A, como se observa en la figura ().(F.
El lugar geométrico de todos los puntos %ue se encuentran / /)) pies más cercanos a A %ue a " es una rama de la !ipérbola donde
"=
( )−( )= 2
y
2
b
x a
2
2
1
, donde
1 milla 5280 pies = =2640 pies 2 2
L a=
2200 pies 2
omo 2
b
"
2
=1100 pies
=a 2+ b2 , se tiene %ue
= " 2−a2=5759600
y se puede concluir %ue la e&plosión ocurrió en alg2n lugar sobre la rama derec!a de la !ipérbola dada por 2
x
1210000
−
y
2
5759600
=1.
En el e$emplo F, sólo se pudo determinar la !ipérbola en la %ue ocurrió la e&plosión, pero no la localización e&acta de la e&plosión. 5in embargo, si se !ubiera recibido el sonido también en una
tercera posición , entonces se !abrían determinado otras dos !ipérbolas. +a localización e&acta de la e&plosión sería el punto en el %ue se cortan estas tres !ipérbolas. √ 2 - / p
En estas tres fórmulas, p es la distancia entre un vértice y un foco de la órbita del cometa "en metros#, !
30 es la velocidad del cometa en el vértice "en metros por segundo#, ≈ 1.989 / 10
−8
=ilogramos es la masa del 5ol y -≈ 6.67 / 10 cuadrado es la constante de gravedad.
metros c2bicos por =ilogramo por segundo
La primera mu*er a la +ue se atri"uyó 'a"er detectado un nue6o cometa $ue la astrónoma in&lesa Caroline ?ersc'el. =urante su 6ida, Caroline ?ersc'el descu"rió oc'o cometas.
10.1 5*ercicios 5n los e*ercicios 1 a F, relacionar la ecuación con su &r%$ica. GLas &r%$icas est%n marcadas a, ", c, d, e, $, &, y '.H
1. y
2
=4 x
5olución: Es una parábola con vértice en "), )#, se abre a la derec!a. Iráfica !#
2. ( x + 4 )
2
=2 ( y + 2)
5olución: Es una parábola con vértice en "1@, 1/#, se abre !acia arriba. Iráfica a# 3. ( x + 4 )
2
=−2 ( y −2)
5olución: Es una parábola con vértice en "1@, /#, se abre !acia aba$o. Iráfica e#
( x −2 )2 ( y+ 1 )2 4. + =1 16
4
5olución: Es una elipse con centro en "/, 1(# Iráfica b# x
5.
2
4
y
2
+ = 1 9
5olución: Es una elipse con centro en "), )# Iráfico f# x
6.
2
9
+
y
2
=1
9
5olución: Es una circunferencia de radio y centro en "),)# Iráfico g# 7.
y
2
16
x
2
− =1 1
5olución: Es una !ipérbola con centro en "), )#, con e$e transversal vertical Iráfico c#
( x −2 )2 y 2 8. − = 1 9
4
5olución: Es una !ipérbola con centro en "/, )#, e$e trasversal !orizontal Iráfico d# En los e$ercicios 0 a (-, !allar el vértice, el foco y la directriz de la parábola, y trazar su gráfica. 9. y
2
=−8 x
5olución: 8értice "), )#, e$e !orizontal istancia focal: −4 p=−8 p =2 oco: F ( p , 0 )=(−2, 0 ) irectriz: x =2
10. x
2
+ 6 y = 0
5olución:
11. ( x + 5 )+( y − 3)
2
5olución:
=0
12. ( x − 6 )
2
+ 8 ( y + 7 )= 0
5olución:
13. y
2
−4 y −4 x = 0
5olución:
14. y
2
+6 y + 8 x + 25 =0
5olución:
15. x
2
+ 4 x + 4 y − 4 =0
5olución:
16. y
2
+ 4 y + 8 x −12=0
5olución:
En los e$ercicios ( a /), !allar el vértice, el foco y la directriz de la parábola. +uego usar una !erramienta de graficación para representar la parábola 17. y
2
+ x + y = 0
5olución:
18. y =
−1 6
5olución:
( x2 −8 x + 6 )
19. y
2
−4 x − 4 =0
5olución:
20. x
2
−2 x + 8 y + 9 =0
5olución:
En los e$ercicios /( a /F, !allar una ecuación de la parábola. /(. 8értice: "*, @# 5olución:
oco: ",@#
//. 8értice: "1/, (# 5olución:
oco: "1/,1(#
/. 8értice: "), *# 5olución:
irectriz: y M 1
/@. oco: "/, /# 5olución:
5olución:
5olución:
irectriz: & M 1/
/. El e$e es paralelo al e$e y, la gráfica pasa por "),#, ",@# y "@, ((# 5olución: /F. irectriz: y M 1/N e&tremos del lado recto "lactus rectum# son "), /# y "F, /# 5olución: En los e$ercicios /0 a @, !allar el centro, foco, el vértice y la e¢ricidad de la elipse y trazar su gráfica. 29.16 x
2
+ y 2=16
5olución: 30.3 x
2
+ 7 y 2=63
5olución:
( x −3 )2 ( y −1 )2 31. + =1 16
25
5olución: 2
32. ( x + 4 )
+
( y+ 6 )2 25
=1
5olución: 33.9 x
2
+ 4 y 2+ 36 x −24 y + 36= 0
5olución:
34.16 x
2
+ 25 y 2−64 x + 150 y +279=0
5olución:
En los e$ercicios * a F, !allar el centro, el foco y el vértice de la elipse. on ayuda de una !erramienta de graficación representar la elipse.
35.12 x
2
+ 20 y 2 −12 x + 40 y − 37=0
5olución:
36.36 x
2
+ 9 y 2 + 48 x −36 y + 43=0
5olución:
37. x
2
+ 2 y 2−3 x + 4 y + 0.25 =0
5olución:
38.2 x
2
+ y 2+ 4.8 x −6.4 y + 3.12= 0
5olución:
En los e$ercicios 0 a @@, !allar una ecuación de la elipse. 0. entro: "), )# 5olución:
oco: "*, )#
@). 8értices: "), #, "F, # 5olución:
8értice: "-, )#
E¢ricidad: O
@(. 8értices: ", (#, ",0# 5olución:
@/. oco: "), ± 0# 5olución:
+ongitud del e$e menor: -
+ongitud del e$e mayor: //
@. entro: "), )# 5olución:
E$e mayor: !orizontal
'untos en la elipse: ", (#, "@, )#
@@. entro: "(, /# 5olución:
E$e mayor: vertical
'untos de la elipse: "(, -#, ", /#
En los e$ercicios @* a */, !allar el centro, el foco y el vértice de la !ipérbola, y trazar su gráfica usando las asíntotas como ayuda 45. y
2
x
2
− =1 9
5olución:
46.
x
2
25
−
5olución:
y
2
16
=1
y + 2
47.
¿ ¿ ¿2 ¿ ( x −1 )2 4
5olución:
−¿
x −5
48.
¿ ¿ ¿2 ¿ ( y + 3 )2 225
−¿
5olución:
49 . 9 x
2
− y 2−36 x −6 y + 18 =0
5olución:
50. y
2
−16 x 2 + 64 x − 208=0
5olución:
51. x
2
− 9 y 2 + 2 x −54 y − 80=0
5olución:
52.9 x
2
− 4 y 2 + 54 x + 8 y + 78=0
5olución:
En los e$ercicios * a *-, !allar el centro, el foco y el vértice de la !ipérbola. Trazar la !ipérbola y sus asíntotas con ayuda de una !erramienta de graficación. 53.9 y
2
− x2 + 2 x + 54 y + 62=0
5olución:
54.9 x
2
− y 2 + 54 x + 10 y + 55= 0
5olución:
55.3 x
2
−2 y 2−6 x −12 y −27 =0
5olución:
56.3 y
2
− x 2 + 6 x −12 y =0
5olución:
5n los e*ercicios / a 43, 'allar una ecuación de la 'ipér"ola. *. 8értice: " ± 1, )# 5olución:
Asíntota: y =± 5
*F. 8értice: "), ± 4 # 5olución:
Asíntota: y =± 2 x
*0. 8értice: "/, ± 3 # 5olución:
'unto de una gráfica: "), *#
-). 8értice: "/, ± 3 # 5olución:
oco: "/, ± 5 #
-(. entro: "), )# 5olución:
8értice: "),/#
oco: "), @#
-/. entro: "), )# 5olución:
8értice: "-, )#
oco: "(), )#
-. 8értices: "), /#, "-, /# 5olución:
-@. oco: "/), )# 5olución:
Asíntota: y =2 / 3 x
Asíntota:
y =±
3 x 4
y = 4 −2 / 3 x
5n los e*ercicios 4 y 44, 'allar ecuaciones de a las rectas tan&entes y b las rectas normales a la 'ipér"ola para el 6alor dado de x . 65.
x
2
9
− y 2=1, x =6
5olución:
66.
y
2
4
x
2
− = 1, x =4 2
5olución:
5n los e*ercicios 4/ a /4, clasi$icar la &r%$ica de la ecuación como circun$erencia, par%"ola, elipse o 'ipér"ola.
67. x
2
+ 4 y 2−6 x + 16 y + 21=0
5olución:
68.4 x
2
− y 2− 4 x −3 =0
5olución:
69. y
2
−8 y −8 x =0
5olución:
70.25 x
2
−10 x −200 y −119=0
5olución:
71.4 x
2
+ 4 y 2−16 y + 15 =0
5olución:
72. y
2
−4 y = x + 5
5olución:
73.9 x
2
+ 9 y 2−36 x + 6 y + 34 =0
5olución:
74.2 x ( x − y ) = y ( 3 − y −2 x )
5olución:
2
75.3 ( x −1)
=6 + 2 ( y + 1 )2
5olución:
2
76.9 ( x + 3)
=36−2 ( y −2 )2
5olución:
=esarrollo de conceptos //. a# ar la definición de parábola. b# ar las formas estándar o canónicas de una parábola con vértice en ( h , k ) c # E&presar, con sus propias palabras, la propiedad de refle&ión de una parábola. 5olución:
/F. a# ar la definición de elipse. b# ar las formas estándar o canónicas de una elipse con centro en 5olución:
(h , k )
/9. a# ar la definición de !ipérbola. b# ar las formas estándar o canónicas de una !ipérbola con centro en c # ar las ecuaciones de las asíntotas de una !ipérbola. 5olución:
(h , k )
F0. efinir la e¢ricidad de una elipse. escribir, con sus propias palabras, cómo afectan a la elipse las variaciones en la e¢ricidad. 5olución:
F1. Recolecto o !a"el #e e"e$%a &ola ;n recolector o panel de energía solar para calentar agua se construye con una !o$a de acero ino&idable en forma de parábola "ver la figura#. El agua fluye a través de un tubo situado en el foco de la parábola. JA %ué distancia del vértice se encuentra el tuboK
5olución:
F. 'e(o)ac*+" #e ,"a -*$a ;na viga de (- metros de longitud soporta una carga %ue se concentra en el centro "ver la figura#. +a viga se deforma en la parte central centímetros. 5uponer %ue, al deformarse, la viga ad%uiere la forma de una parábola. a# Encontrar una ecuación de la parábola. "5uponer %ue el origen está en el centro de la parábola.# b# JA %ué distancia del centro de la viga es de ( centímetro la deformación producidaK
5olución:
2 F2. 4allar una ecuación de la recta tangente a la parábola y = a x en x = x 0 . emostrar %ue la
x
0 intersección de esta recta tangente con el e$e x es ( 2 , 0 )
5olución:
F3. a# emostrar %ue dos rectas tangentes distintas cuales%uiera a una parábola se cortan o intersecan. b# 9lustrar el resultado del inciso a# !allando el punto de intersección de las rectas tangentes a la 2 parábola x −4 x −4 y =0 en los puntos "), )# y "-, #. 5olución:
F. a# emostrar %ue si dos rectas tangentes a una parábola se cortan o intersecan en ángulos rectos, su punto de intersección debe estar en la directriz. b# 9lustrar el resultado del inciso a# probando %ue las rectas tangentes a la parábola 2 x −4 x −4 y + 8 =0 en los puntos "1/, *# y ", *?@# se cortan en ángulo recto y %ue el punto de intersección se encuentra en la directriz. 5olución:
F-. 5obre la gráfica de 5olución:
2
x =8 y !allar el punto más cercano al foco de la parábola.
F. Rece!c*+" #e a#*o . tele-*&*+". En las áreas montaosas, la recepción de radio y televisión 2 suele ser deficiente. onsiderar el caso idealizado en el %ue la gráfica de la parábola y = x − x representa una colina, en el punto "1(, (# se localiza un transmisor, y al otro lado de la colina, en el punto ( x 0 , 0 ) , se encuentra un receptor. JPué tan cerca de la colina puede ubicarse el receptor para %ue la seal no se obstruyaK 5olución:
FF. 3odelo matemático. +a tabla siguiente muestra las cantidades promedio A de tiempo "en minutos# por día %ue las mu$eres dedicaron a ver televisión de (000 a /))*."uente: 6ielsen 3edia >esearc!#
a# Emplear las funciones de regresión de una !erramienta de graficación para !allar un modelo de la 2 forma A = a + b + " para los datos, donde t representa el ao y t M 0 corresponde a (000. b# Emplear una !erramienta de graficación para representar los datos y la gráfica del modelo. c# 4allar dA / d y dibu$ar su gráfica para 9 0 0 15. JPué información acerca de la cantidad promedio de tiempo %ue las mu$eres dedicaron a ver televisión proporciona la gráfica de la derivadaK 5olución:
F0. Ar%uitectura. El ventanal de una iglesia está limitado en la parte superior por una parábola, y en la parte inferior por el arco de una circunferencia "ver a figura#. 4allar el área de la superficie del ventanal.
5olución:
0). +ongitud de arco. 4allar la longitud de arco de la parábola 0 0 y 0 4.
5olución:
4 x − y
2
=0
en el intervalo
91. '*&e/o #e ," !,e"te El cable de un puente colgante está suspendido "formando una parábola# de dos torres a (/) metros una de la otra y a /) metros de altura sobre la autopista. +os cables tocan la autopista en el punto medio entre ambas torres. a# 4allar la ecuación para la forma parabólica de cada cable. b# 4allar la longitud del cable parabólico de suspensión 5olución:
9. 0ea #e ,"a &,!e(*c*e ;n receptor de una antena satelital se forma por revolución alrededor 2 del e$e y de la parábola x =20 y . El radio del plato es r pies. 8erificar %ue el área de la superficie del plato está dada por
r
∫
√ ( )
2 ) x 1 + 0
x
10
2
dx =
[ ( 100 +r ) 15 )
2 3 /2
−1000 ]
5olución:
92. I"-e&t*$ac*+" En el mismo e$e de coordenadas trazar las gráficas de 1 1 , 1 y 2 4 2
p= ,
2
x =4 py
. Analizar la variación %ue se presenta en las gráficas a medida %ue p aumenta.
5olución:
93. 0ea 4allar una fórmula para el área de la región sombread de la figura.
con
5olución:
9. Re#acc*+" En la página -00 se sealó %ue se puede trazar una elipse usando dos alfileres, una cuerda de longitud fi$a "mayor a la distancia entre los dos alfileres# y un lápiz. 5i los e&tremos de la cuerda se su$etan a los alfileres y se tensa la cuerda con el lápiz, la trayectoria %ue recorre el lápiz es una elipse. a# Juál es la longitud de la cuerda en términos de aK b# E&plicar por %ué la trayectoria trazada por el lápiz es una elipse. 5olución:
94. Co"&t,cc*+" #e ," aco &e)*el%!t*co 5e va a construir el arco de una c!imenea en forma de una semielipse. El claro debe tener / pies de altura en el centro y * pies de anc!o en la base "ver la figura#. El constructor bos%ue$a el perfil de la elipse siguiendo el método mostrado en el e$ercicio 0*. Jónde deben colocarse los alfileres y cuál debe ser la longitud del trozo de cuerdaK
5olución:
9/. Trazar la elipse %ue consta de todos los puntos " x , y # tales %ue la suma de las distancias entre " x , y # y dos puntos fi$os es (- unidades, y los focos se localizan en los centros de los dos con$untos de circunferencias concéntricas %ue se muestran en la figura.
5olución:
9F. Ób*ta #e la *ea +a Tierra se mueve en una órbita elíptica con el 5ol en uno de los focos. +a longitud de la mitad del e$e mayor es (@0 *0F ))) =ilómetros y la e¢ricidad es ).)(-. 4allar la distancia mínima " perihelio# y la distancia má&ima " afelio# entre la Tierra y el 5ol. 5olución:
99. Ób*ta #e ," &atl*te El apo#eo "el punto de la órbita más le$ano a la Tierra# y el peri#eo "el punto de la órbita más cercano a la Tierra# de la órbita elíptica de un satélite de la Tierra están dados por A y P . 3ostrar %ue la e¢ricidad de la órbita es A − 1 e= A + 1
5olución:
100. Ex!loe 18 El / de noviembre de (0-, Estados ;nidos lanzó el E&plorer (F. 5us puntos ba$o y alto sobre la superficie de la Tierra fueron ((0 millas y (/ ))) millas, respectivamente. 4allar la e¢ricidad de su órbita elíptica. 5olución:
101. Ex!loe 55 El /) de noviembre de (0*, Estados ;nidos lanzó el satélite de investigación E&plorer **. 5us puntos ba$o y alto sobre la superficie de la Tierra fueron de 0- millas y ( F-* millas. Encontrar la e¢ricidad de su órbita elíptica. 5olución:
'ara discusión
10. onsiderar la ecuación 2 2 9 x + 4 y −36 x −24 y −36 =0 a# lasificar la gráfica de la ecuación como un círculo, una parábola, una elipse o una !ipérbola. b# ambiar el término @ y / en la ecuación por 1@ y /. lasificar la gráfica de la nueva ecuación. c # ambiar el término 0 x / en la ecuación original por @ x /. lasificar la gráfica de la nueva ecuación. d # escribir una manera en %ue se podría cambiar la ecuación original para %ue su gráfica fuera una
parábola. 5olución:
102. El co)eta alle. Puizás el más conocido de todos los cometas, el cometa 4alley, tiene una órbita elíptica con el 5ol en uno de sus focos. 5e estima %ue su distancia má&ima al 5ol es de *./0 6 ;A "unidad astronómica ≈ 92.956 / 10 millas# y %ue su distancia mínima es de ).*0 ;A. 4allar la e¢ricidad de la órbita 5olución:
()@. +a ecuación de una elipse con centro en el origen puede e&presarse x
2
+
2
a
y 2
2
a ( 1−e
2
)
=1
3ostrar %ue cuando e 0, y a permanece constante, la elipse se apro&ima a una circunferencia. 5olución:
10. onsiderar una partícula %ue se mueve en el sentido de las manecillas del relo$ siguiendo la trayectoria elíptica 2
x
100
+
y
2
25
=1
+a partícula abandona la órbita en el punto "1F, # y via$a a lo largo de una recta tangente a la elipse. JEn %ué punto cruzará la partícula el e$e y K 5olución:
104. ol,)e" El tan%ue de agua de un carro de bomberos mide (- pies de largo, y sus secciones transversales son elipses. 4allar el volumen de agua %ue !ay en el tan%ue cuando está parcialmente lleno como se muestra en la figura.
5olución:
5n los e*ercicios 10/ y 10F, determinar los puntos en los +ue dy / dx para locali(ar los e@tremos de los e*es mayor y menor de la elipse. 107.16 x
2
es cero, o no e@iste,
+ 9 y 2+ 96 x + 36 y + 36=0
5olución:
108.9 x
2
+ 4 y 2+ 36 x − 24 y + 36= 0
5olución:
0ea . -ol,)e" 5n los e*ercicios 109 y 110, 'allar a el %rea de la re&ión limitada por la elipse, b el 6olumen y el %rea de la super$icie del sólido &enerado por re6olución de la re&ión alrededor de su e*e mayor -es$eroide prolato, y c el 6olumen y el %rea de la super$icie del sólido &enerado por re6olución de la re&ión alrededor de su e*e menor -es$eroide o"lato.
x
109.
2
4
y
2
+ = 1 1
5olución:
110.
x
2
16
+
5olución:
y
2
9
=1
111. Lo"$*t,# #e aco ;sar las funciones de integración de una !erramienta de graficación para apro&imar, con una precisión de dos cifras decimales, la integral elíptica %ue representa el perímetro de la elipse 2
x
25
+
y
2
49
=1
5olución:
11. 'robar el teorema ().@ mostrando %ue la recta tangente a una elipse en un punto P forma ángulos iguales con las rectas a través de P y de los focos "ver la figura#. Q Su#erencia$ (# encontrar la pendiente de la recta tangente en P , /# encontrar las tangentes de las rectas a través de P y cada uno de los focos y # usar la fórmula de la tangente del ángulo entre dos rectas.R
5olución:
112. eo)et%a El área de la elipse presentada en la figura es el doble del área del círculo. JPué longitud tiene el e$e mayorK
5olución:
113. Co"et,a a# 3ostrar %ue la ecuación de una elipse puede e&presarse como
( x − h )2 a2
( y −k )2 + 2 =1 a ( 1 − e 2)
b# 3ediante una !erramienta de graficación, representar la elipse ( x − 2 )2 ( y −3 )2 4
+
4 ( 1−e
2
)
=1
'ara e =0.95, e =0.75, e =0.5, e =0.25, e =0 c # ;sar los resultados del inciso b# para !acer una con$etura acerca de la variación en la forma de la elipse a medida %ue e se apro&ima a ). 5olución:
11. 4allar una ecuación de la !ipérbola tal %ue, para todo punto, la diferencia entre sus distancias a los puntos "/, /# y "(), /# sea -. 5olución:
114. 4allar una ecuación de la !ipérbola tal %ue, para todo punto, la diferencia entre sus distancias a los puntos "1, )# y "1, # sea /. 5olución:
11/. ibu$ar la !ipérbola %ue consta de todos los puntos " x , y # tales %ue la diferencia de las distancias entre " x , y # y dos puntos fi$os sea () unidades, y los focos se localicen en los centros de los dos con$untos de circunferencias concéntricas de la figura.
5olución:
11F. onsiderar una !ipérbola centrada en el origen y con e$e transversal !orizontal. Emplear la definición de !ipérbola para obtener su forma canónica o estándar: x
2 2
a
−
y
2
b
2
=1
5olución:
119. Local*ac*+" #el &o"*#o on un rifle posicionado en el punto (−" , 0 ) se dispara al blanco %ue se encuentra en el punto (" , 0) ;na persona escuc!a al mismo tiempo el disparo del rifle y el impacto de la bala en el blanco. emostrar %ue la persona se encuentra en una de las ramas de la !ipérbola dada por x 2
2
2 2
−
" ! s / !m
y 2
2
2 2
2
=1
" ( ! m− ! s )/ ! m
donde ! m es la velocidad inicial de la bala y apro&imadamente ( ()) pies por segundo. 5olución:
!s
es la velocidad del sonido, la cual es
10. Na-e$ac*+" El sistema +<>A6 " lon# distance radio navi#ation # para aviones y barcos usa pulsos sincronizados emitidos por estaciones de transmisión muy ale$adas una de la otra. Estos pulsos via$an a la velocidad de la luz "(F- ))) millas por segundo#. +a diferencia en los tiempos de llegada de estos pulsos a un avión o a un barco es constante en una !ipérbola %ue tiene como focos las estaciones transmisoras. 5uponer %ue las dos estaciones, separadas a )) millas una de la otra, están situadas en el sistema de coordenadas rectangulares en (−150,0 ) y (150,0) y %ue un barco sigue la trayectoria %ue describen las coordenadas ( x , 75 ) . "8er la figura.# 4allar la coordenada x de la posición del barco si la diferencia de tiempo entre los pulsos de las estaciones transmisoras es ())) microsegundos ").))( segundo#.
5olución:
11. E&!eo *!eb+l*co ;n espe$o !iperbólico "como los %ue usan algunos telescopios# tiene la propiedad de %ue un rayo de luz dirigido a uno de los focos se refle$a al otro foco. El espe$o %ue muestra la figura se describe mediante la ecuación
( )−( )= x
2
36
y
2
64
1
JEn %ué punto del espe$o se
1
en el punto es ( x 0 , y 0 ) es
refle$ará la luz procedente del punto (0,10) al otro focoK 5olución:
( )−( )= 2
1. 3ostrar %ue la ecuación de la recta tangente a
( x
2 0 / a ) x −
5olución:
( )= y 0 b
2
y
1.
x 2 a
2
y 2 b
12. 3ostrar %ue las gráficas de las ecuaciones se cortan en ángulos rectos: 2
2
2
2
2 x 2 y + 2 =1 y 2 x 2 − y2 = 1 2 a b a −b b
5olución:
13. emostrar %ue la gráfica de la ecuación 2 2 A x + C y + Dx + Ey + F =0 es una de las siguientes cónicas "e&cepto en los casos degenerados
5olución:
9e#a#eo o (al&o: 5n los e*ercicios 1 a 120, determinar si la a$irmación es 6erdadera o $alsa. !i es $alsa, e@plicar por +ué o dar un e*emplo +ue demuestre +ue es $alsa. 1. Es posible %ue una parábola corte a su directriz. 5olución: 14. En una parábola, el punto más cercano al foco es el vértice. 5olución: 1/. 5i es el perímetro de la elipse 2
2
x y + 2 =1, b < a 2 a b
Entonces 5olución:
2 ) b 0 C 0 2 )a
1F. 5i D2 0 o E 2 0 entonces la gráfica de 5olución:
2
2
y − x + Dx + Ey =0
es una !ipérbola.
