EDITORIAL
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P. A. STIOPI N
RESISTENCIA DE
MATERIALES
TRADUCIDO DEL RUSO POR
PEDRO GUTlERRU MORA
Cullld.U a "uta, 111 el'llel.. Ihnlc..
EDITORIAL MIR . MOSCU
1961
CDU 620.IO.GOj.21_GtI
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I')EnE(;lfOS
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RU~k.V""on~
PREfACID
En muchos centro.!! soviéticos de enseñao:r.a suporior, incluso en los tecnológicos, de ingenieros y economistas, qulmlco-tecnoI6glco!, electrot(Ícnico~ y otros, la Resistencia de Moteriale!l se est\ldi'" por un progrnma reducido, calculado pnra 80-120 IIorlls e, incluso, mellos. En estas condicioMll resulla conveniente disponer de un texto rtlducido, que contenga el material fundamental de 111. asignatul'R que se estudio.. El presente texto está ellCrito de acuerdo wn el programa p.ra las especillllidadas indicadas y tiellC el fin de proponer a los estudiantes nD curso abn"iado de Resistencia de Matt'riales. LIlS cnestiones fundam(';nules del curso VIIII ilustradas con e}emplos.. que no !lOo oumeroS03 y de caráct.er complicado. Se parte de que el estudiante, paralelamente al estudio del material teórico, asisle a las c:lII.SeS de ejercicios, donde adquiere hábitos en la solución de probleml.! mís complicados y realita las tareas que se le eneamlt'ndau para casa, sirviéndose de manuales especiales. Tenieudo t'n cuenta que el paso al Si!tema htlernac:ional de unldildes (SI), por toda una serie de causas, requerirá UD tiempo prolongado, en este texto, al rellOlver les ejemplos numéricos. se admitió el sistemu de unidades r..IKS. Sin embargo, en el primer capítulo, se dan las nocionel:! fundamentales sobre el Sistema InternllCional de unidades (SI) y lu relaciones ent.ro las unidades del sistema actual y las del SI. Al mislTlo tiempo, algunos ejemplos se r~uelven en dos v{lrianles, empleando los dos sistemas de Imidades de medio ciÓn. En la lercen\ edici6n fueroll iutroducldt)ll en el LC.xto algunos canlblos de redacción, ~ volvieron a resolver los ¡>jemplos de acuerdo con !lIS nue,·as tIIb1as del surtido de perfiles tlpiros (con asterillCO, es dec.ir, sc¡:-ún la redacción del año t963), y se oliminaron las erratas y errores que fueron observados en la segunda edición rusa. Al eonfcechmu el tuto se tuvieron en consideración los de!lC05 de las citedrall de HI's.i5Lenc:ia de Materiales de un", Sil'rie de centros
,
de enselianu superior. así como lo!! CUIISCjV:l' y las observaciones del miembro numer
~.
M., ,_\lIH., HIG;j.
CAPITULO 1
CONSIDERACIONES FUNDAMENTALES
§ 1. Prop6llbs del texto. cResistencla de materlale..
Las diversas eslructuras y maquinas, de cuyo diaeiío y construocion se ocupa el ingeniero en su actividad práctica, deben tener, entre otras, la propicdad de resisleneia mecánica, os docir, deben oponerse a la rotura al SN ~omelidas a la acción do fuerzas exteriores (cargas). Con esto propósito, los elenlünlos (piezas) de las estrllcturllS y lO'¡quina~ deiJer,in >!el' diseiiados del material correspondiente y tlJJler las deiJidas dilll('n~iolles. El primer propósito del lulo _Resistencia de Materialen cO/lsisle, pues. en la exposici6n de los mélorlos de cálcul() de la resistencia de las c()nslrm:ciones. Además de e~to, en lOuchos casos, es necesario determinar las variaciones de la formn y de [liS dimensiones (deformaciones), que slIr¡.:ell ('n los elementos tk la~ construcciones sollletidlls a cllrga.~.
Los {',IIC'!)OS ahsolnl,Llllente rígidos. inrlcformllble~, Que ,;c cslllrlilHI en 111 Meciinicu 'l'eóricll, eJl realidad uo exi~lell, Cluro está, l~s deforlllllcioues deL sólido que llCOmpaiian fI Ills cHrg>ls hllhiLuales de e;\: plolllcioil son pequeñlls y pueden ser detcctlldas solnll1enle con instrumentos eS}:lecill.los (e:.:tensómolros). LI\~ dcíormaciones pec¡u('Íias no influyen SlllLsihlemeute sobre tns leyes de C(luilibrio y de movimiento del sólido, por lo que la i\leciollica '1'eoriCll prescinde de ellas. Sin el esludio do estlls deforIllnciOlleS es imllos¡lIle resolver el problema de SUnH\ importllll('ill pMIl ('1 ingeniero, (lile consiste en hallar las comlicionC's el\ las ~,u;lle.~ puedc tenor lugar el fallo de la pieza, o aquell:ls eH lilS qnc In lliel" pII('IIf, servir sin taL Ilcligro. Al mismo liempo, en llIucho~ C:lSOS, rosulLa l1eces¡lrio l¡mil~r 1" magnitud de las doformilciones, a pe~lor .11' Sf'r esLf's pequeñll.~ rll comp¡'racion COII l,\s dimellsiono.~ do la propia piela, lmusLo '1110 011 C,LSO contrllrio, el funcionamiento normlll de In construcción lllll'dfl sor imposible. Pur ejemplo, durante In mecnni7.nciÚn de la llirz,L pn el 10rllO, como t:UIl!'t'CllClICill de la rleforrnación de aquóll"
y de é!lte, puede ller afcet.da la precisiún de l. mecanizacioll, lo que es inadmisible. Ll'l propiedad del elemento de 111 conslrucción de oponer!IC a IlIs deformaciones se denominl' rlgidu. De 4quí tl .egundo prop6ato dt:l ta:to: la tzporil:wn de lor miltXior tU t:6.leulo dl: 14 rigldn tU 1M tltmtntor dt lar conrtrw::cioner. El pl"Oblema siguienle de la Resistencia de Materiales está relacionado con el estudio de la estabilidad de la.s formas de equilibrio de los cuerpos reales (derormabIC.'l). Se entiende por elftublUd"d, lo l:apo.cidod de un t:le1n('filo d.. o1HJnerlt a grondtS ~rlurbtuioms dtl tquUtbrio ifl4lttrado, como remltDdo de accioms de ptrtur!Jación pt>qut,ia,. Como acción de perturbación puede ser cOIl1!iderada, claro eSl:·'. una vnriación poqueiin de la corga extcrior. Por eso el concC'lllU de e.'llllbilidad se define tnmbién de la manerA siguiente. El equilibrio de un demento es cflt"lJf e, si a una variat:ión peqll;',ill ck lo corga corresponde una variación peque,io. de los deformac/on",. En casos pilrliculares do solicitación. como criterio de estahilidad, se puede considerar la capacidad de I1n elemenlo de IIHHlh'ner una IIOla lorma de equilibrio. Como ejemplo. vl'amos el casI.> de un elemento fino. !'Omt·tido a la acción de ulla luerzlt de compresión que actútl a lo largo de Sil cjt'. Este elemento mantiene su lorma rectilínea mientras la carga .lI(!a inferior a cierto vtlJor (v.lor crílico) que depende del material. oe la!! dimensiones y de las condiciones de apoyo del elementu. Allllcanur la carga su valor c:.rítico. :dmultáneamente a la forrnll rectilínea de equilibrio, resulta posible olrll, curvilínea, de ma)'nr peligro para el elemeulo. Ln IJérdida de estabilidad puede ocurrir partl "alores de la ('arga. no peligrosos desde el llunlo de visla de la resistencia o rigidf'7; del elemento. El krctr propó~llo del kxto consiste en ezpo~r lo~ mitodas de cálculo lW la ertabilidad de los tlement06 de las construceienes. Al realizar los tipo.s indicados de cálculo, se debe tender a Ullll eeonomSa máxima del material, es decir, que las dimen.siOIll,lll de las piezas de las máquinas y de las elltructuraa no deben ser superiores a las nece!l8rias. Claro está. para eso es indispensable un estudio lo m" amplio y profuudo po!.ible de las propiedades de los materia· les empleados, así como de la.s característlca.s de llLS c.srga!. que actúan sobre la pieza que se calcula. EslO se consigue por medio de investigaciones experimentales rletalIadas y UD estudio minucioso de la experiencia acumulada en el di.seño y mantenimiento de las construcciones. Por otra parle, la Resistencia de Materiales se ve obligada, 111 deducir las fórmulas e.senciale!l para el calculo, a introducir loda una .serie de hipótesis y supollicionu para simplificar el prohlemA. Le valide:r. de e.stas hipótesis y .supo!1iciones. as¡ como el error II qua 8
ellas conducen en los cálculos, se comprueba, comparando los rcsult_ados:del cálculo con 10."1 resultados del cxperimeo~o. , Las construcciOllell que el ingeniero encuentra en su práctica tienen, en la ma:roría de Jos caaos, configuraci6n bastante complej1\. Eos diversos elementos de éstas se reducen a los siguientes tipos si¡nples: 1. Barra es UD cuerpo que tiene dos dimensiones pequeñas en comparaci6n ·con la tercera (Hg. 1.1, al. Como caso particular. puedo ser dA !lección transversal constante y de eje rectilíneo.
.)
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Fil. 1.2
La Iílle.'l que une lol'! cehtros de gravedad de sus secciones trllllSvllrsalcs se denomina ejo de la barra. 2. Placa es un cuel'JlO limitado por dos planos, a distnllda ¡>equeiía en compoT:lciólI con las otras dimensiones (fig. 1.1, b). 3. Bóveda es un cuerpo limitado por dos superficies. a dislancia pequeiía en comparación con las otras dimensionel! (rig. 1.1. el. 4. Bloque es un cuerpo cuyas lres dimenloSiones son de! mismo ordell. En la Resistallcia de Materiales se estudinn princip¡\lrnellte Jos cu{>rpos que Henen forma de barra de sección constante y los sistenHIS mftll simple~, constituidos par 6stns. Las bllrtllS se consideran suficientemente rigidtls, es dl
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El de.'larrollo de la Ruislencia de Materialu y de las otras dCII("ia.\l IIfioes, esLá estrechllmente relacionado al de la técnica, El ~u'll'imie"to do l. dende que t ..t. de l. r.iate"ei. de 1... metKielN emonl. e' ~illlo XVII)' Mtá tiaedo e 1... uobej... de Celfleo. EII gre" IIIl!1dide (", tribu)"er...", .. 1 dClle.,.ollo da le re
, n. llnoke, J. Berlloolli, Il. Salnl.Venllnt, A. Clltlch)'. G. J.llnu' )' oIrOll. 'IUO formulllrOll lu hipólOlli" ellenciall.'ll y obtuviero" IIlgll"M OClleciOllO'l. Mer"""" ''JlI'ocilll mellci6n la .. mag"ilica$ inv""tilj"aciooflll (.. iglo XVIII) ,1 ..1 fllmOllo ti.,III!lico. 'lIiomb.o da la A«ldeulia de CienCl18 de San l'8terllbur¡o. l..."nhartl .;nl.... Su trabajo aob.e el cáleul" de le ...,Iebilldad d .. b.r.es Comprimidll$ se Clnpl... amplielllenle looevi. hoy. Eo elll,(lo XIX ••dqnieren fl.ID. nlundiel 1... Irebe].. de 1"" denlilicOl! .u_ D.1. Zhul'lIvski,J. S. Gafovi .. )'ulrOll. I..a.'Ileneiones h ..getlci.lell. oririnedu etl le flexión. se .,.Ieuleo actu.lmente por le f6l"1II .... 1. de Zbu.....ki. A fin,,", del siglo X IX. 1'. S. "ul""ki r""Jiuí imponautes e inl..rsenl .... in.·""lig.ci(1/"~, q"e .ú.... o III.n .-.tido "" imporlll..cfe, ftObre el clilculo 01 .. le IlII.b;lided d.. balTll!l oornl"imidall. Delille c..rnle.u.... del ..iglo X X, el papel do 1... cie"tíficos r..... OIl e" el de...,rollo do l. It~~¡"t'll1cia ,le .\Ial....¡.I.". cr~o .úu "'''s. "ln11te«>n las ",alluHicall ohr•.• del {)rUr".or l. G. IlÍlbno"', Acade",ic... 1\. N. I\rilo... ~. olrOli. 'lue tiende" 111 ,tO«lIrro lo y "'..joumi.... to do 1"" m~tUlI'1mplojO!! l'rohlolllllS do la lleooisteneill ,lo Malerial , prollUO"lIto por núbnov, gl)Z. d.. ame n"'lIldlar. l IIdml.ebl... le.ttOll "m.......... treblljOll cienlíficOll .obre el Clitclllo de l. rOl$i~",,,cie, ..."Iebilidlll )' vibracion"" .Ie les "'lnI(lur.... d .. S. 1'. Timo~hen.ko c"'L_lilllyen "na frII" c(l"uibuci6" el dllSllrrol!o de le ReoÍlllencie d .. Melerl.I"". Dur.nt.. f'1 pode. 1IQ'·iikico uhi c....d •• en le UItSS, "". rl!ld d .. hu,lil"t .... de ;"'·estil(llci6n dentifice que lr.bajen :wbre el c:iilculo di lu .lruduru. l..... cienlificOll de MiOS Indilulal de i""flSligeci6" y de 1... NCuelu de ,'lI5fliollnu o".-;or, rt0501v¡ernn mucho:< .,..OOle",... d .. gren import."cie par. el d""l"'oll" de le lee"i.e. c.ee'on ""ov,.. y efeclivOll m6tooOll de "'Iculo d .. pieleS de configuración comple]e lJOInetidu a la al:<:i6" d.. di ... efH. ClI'll'lI.ll. E.. Ill'Cl'1.r!O menciono. aqui llls o"ns
¡...
n.
§ 2. S"(II•• lclone. Introducid .. • n le n.l.t.nelt de meterle l••
En la Resistencia de Materiales se introducen ciertas suposiciones (hipótesis) respecto a las propiedades del material. a las cargas y al carácter de su interaccion coo las pietas, para simplificar el compliudo problema que representa el dlculo de los elementos de las
..
<,::opstrucciones. La comprobación experimélltal de las [(¡rmlllas que ,Se,bl!san ell las hipótesis que se enunciarán más adelallltl, denluestra que el error, a qne éstas conducen en los cálculos, es ill~ignificante y se puede pl'tlscindir dl.' él, ctu'lndo se trntn de fines pUrllmonte prá.cticos. l-ra suposición. El materIal se consickra macizo (continuo). F~s dedr, no se tiene on consideración In estruoLura IItomistica,_ .Jiscon· tinlla de IR materia. Desde el punto de vista 'práctico, estll hipótesis tiene plena justificación, puesto que los granos de la mayoría dI' los mntedllles de construcción son tan peque/los, que sin error 'Ipreciable se puede/) cOllsiderar continuos, Incluso en el caso de mlltcriaies como la madera, el hormigón y la piedra, 105 coí1culos que se basan en la suposici61l de continllidlld del material dan resultados prácticos satisfactorios. Esto ~ explioa por el hecho de, que las dirnensione5 de las piezas reales son muy superiores a las dislancias entre los átomos. Esta suposicióll nos permitid. en ndel~le aplicar el Ui)arato malemático Ile las funciones cotlLillnas. 2-8 suposición. El m(lt~rial dI.' /1/, pieza es homogeneo, eJ. decir, time pr&pit:dades idéluicas "1< lodos los puMos. Los illllLl'llt's son altl\mente homogéllNls, es dooir. sus prt)piedades son. prlÍcticamente, iguilles en todos los punlos. ~Ienos homog6ne01s son 1<1 madera, el hormigón, 111 piedra, los phisticos con relleno. El horrniglÍn, {lar ejemplo, está rellenado pOI' piedras peque/las, grava, gravilhl, cuyos propiedades son disUnlas de las del cemento. Ln lIJ~lllol'i1 tienll lindos. de propiedadl;ls muy diferl;lntes de las del rest.o de Ilt madel'u. En los matori>lles plásticos las propiedades de In re;¡illa S\lII distintas dc las dcl relll;lrlo, Sin emhargo, como dCn!uesLnlll los c~perimelllus, los c;íkulos bUl'illdos en la ,~llposición de llOrnogeneidau dellllal.efinl 110 111 piew, dan rosllltndos satislaelorios para los maLeriales fundall1lJutall'S tlt' COJlSI,t1,cción. 3-a suposición. El malatal dc la pteza es is6tropo, es decir, ,~llS pr(lpiedadM en todas las direcciQ/l.es :ron igl.rtlel>. La.'! iJlye~tigaciones dl'mncslran que lo~ cristilles que formato mlll:hos materiales tienen propiedades muy disLintas segíln las diferentes direccione... que se c.onsidercn. l'or ejemplo, la re.'li.'ltencia tic los cristales de cohre en lns di.'l!inLas orielll:.cionl's se dHcroncia en más de tres vece~, SilJ ernhllrí{o, en el caso de materiales COlllr[\e~to5 por granos Hnos, las propiedades en las digtjntns direcciolles St' igualtlll, debido il 111 inmemsidad de cri.'ltale.'l orielltad"g ca"ticamllnte, re.'luiLanuo posible interpreLar, práctic.IIJl1cnle, "stos 'lIoleriales COOlO isoLropos. En los materiales como 111 madera, el !tormig(,n )' lo~ pl(isticQS c,~lll interprct.ll.ci6n I'!s lícita con ciel'lfl apt'oximación. Estos motoriales (<:UYI\5 p('opiedllucs en diferentos direr,cioues son diferentl's) se denominan anisótrol)().'I.
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Esle principIO permile en muchos casos sustituir un sislema de fuer~as por otro. estáticamente equivalente. lo que puede conducir a la simplificación del c"culo. Por ejemplo. al calcular un carril (ng. 1.3) como una "iga de apoyos múlliples (traviesas). la earga real que se lransmile de la rueda y que se distribuye en el lirea de contacto según cierta ley (dificil de obtener), 9ll puede sustiluir por una (uer~a concentrada. Investigaciones teóricas y experimentales demuestran que, al t;alcular las fuer~u interiores en los puntos snuados del lugar de
FIl. 1.1
IlplicAción de la carga a una dis~allcia superior en t.5 ó 2 veces a la lIl¡t.~imll dimensión del área de conlnclo. ell posible sustituir unA cMga por olrll estáticamente equivlllenlll. En ndolllnte, en los corr¡>8pontlientes lugMes dol to.... lo, se lratarún olrllll supo~iciones e hipúl('~ill.
§ 3. Sistemas de unidades de medición
de las magnItudes mednlcas Al estudillr la llesislencia de Materiales 1101 encontraremos con fuena. masa, trabajo, potencia. etc. L"tllS rnfl¡;"oitUlles se miden en diversos sistemas de unidades. En in~nieria. hasta hace poco, el sistema de unidades m:i... dihmdido era el MKS en el cual las unidades rundamentalps son: unidad de longitud. nutro; unidad de luena, kUogrtlmo-lu~r~ (kgl): u"idad do liempo. 8lefundo. E:ste sistema tiene ciertos incon,'enientes. Primero, la unidad básica. el kilograllll)o.luerta. es una magnitud wlriable que depende de la latitud del lugar. de la altura sobre el ui\'el c1el mar y varía aproximadl\menle altC!dedOT del O.2~~. Segundo. el sistema MK5 I't'.'!ultó Jl1l':r inacoptable par:l b!! unid:ldC'!! elé<:tricas )' mllgnéticas y, por lo lanto, no puede ser uni"er~l1. LIl XI Conferencia General de peSO!! y medidas. que lu\'o IUg3r en oclllbre de 1960. llego al acuerdo de eslllblec:er un sislema uni\'erAAI práClico de unidades de medición, basado en seis unidades funtlamentales que son: unidad de lonl(illld, melro: unidad tle masa, kUogromo; unidad de tiempo. 8legunda; unidad de temperatura, grado b.~ m~'lrnitudes:
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Kelvin·; unidad de inlcllsidad de la curtiente, am~¡o: uuido.d de la intensidad de la luz, c"NUla. Este sistema de unidades se denomina Silltonm intenlaciO'lol de Unidades, SI. En lo que se refiere 8 la Resistencia de ;\laletia!es. la diferencia esencial entre el sistemll SI )' el sistema MKS consiste en que ell el primern se considera básica !P. unilllld do masa, kg, y la unidall de fut'ru. derivad •. En tl 8Últma SI por unldad di! /ucna R tDma la /lUIr;Q qu~camll"ita IIna nttln-f1cwn dl:- t m/ttgl A una mQSll d~ I /"g. E1to UIl!dad le dellomina n~UJlflll y ~ drstglltl por N. E:u I'\Ilarión COII cslo, clIInhian tambien la:! uoidr,des de mediciól1 de ot.ras magnitudes como d mumento, III lensi6n. la piltllueia, Ne.
:El pliSO del ~¡stll¡nll ;\IKS 01 ~istelna Si y viener&\ se re¡ditll medillllle In:! relaciones siguientes:
ruer7.11,
1 kgl .. 9,80ü6;;
!'í;~:dU
N,
JN = U, lOi~17 l.gf ~ 0,1 kgf:
1
1'I~f.~gl/m .~:dI,~1 '=="
I kg::::::O,1
IOkg,
J¡gf'~/m:
prcsi(,n kgff"wt~
I
10
~/eml::::: t~
N/em'~O,t
N/m t .
kgf/cm t •
Para la medicil,n de hI prc!ióu e" muy oómOltu l'1 IJar, unidatl no pnlvistll por el si..liUlmll de " .. idades)' que es iguRI ;1 I~ N/m u ., Empl~lIndo estll unidad JNlr& la mediciim de las lell:iliofleS, C5 1;¡'·;1 el PIS(> del sisterna MKS al sistema SI, puesto que 1 kgflcm~ ~ 1 úar: trabaJu (energla) 1 kgf.m:::;; 10 N.m;::::; 10 J, t N.m~1 J<':::"O,1 kgf.rn.
La unidad de trabalo en el sIstema SI es el trabajo realizado por 1 f1eWlon en 1 metro. Esta unidad lit dtnomina /flu/e y ~ denota por J; potencia j kgf.m/seg_IO N.m/seg~IO J/st'j_IO W, i CV_75 k¡:f.m/seg=736 W=O,736 KW. KW=IOOO J/sog_1000 N.m/scg-iOO kgf.míse¡. Al cero de b. _la Keh'in eorrllllpood. _273° e (uutlmflllt
"
En el ápendice IU se dan mas detalles sobre las dimension~s de (Itras magnitudes mecániCAs. Eo el suplemento rT están dadas In ntItaelonlM de los valores múttipl~s y divisores de la unidad. que se obtIenen uni~ndo a la unidad rundam~ntal los prefijos micro, mili, hecto, m~ga. etc:.
I 4. FUerzal nhrlores (cargll) Las <:acgn que at:uian sobre las estructures y sus elam~ntos astAn constituidas por fuenas y pilres (momentos). Estas cargas pueden ser concentradas o distllbuldas. En la naturale:t8 no existen hienas concent.radll.S. lodas Ills fuerus reales son fuerzas dis\.ribuidas sobre cierta área o "olumo». Por ejemplo. la presión ele la rueda sobre el enrril se ejcrco sobre \ID lirea muy reducida. origiull.dn por lll. deformaeión de III rlieda y del carril (véase fi~. 1.3). Si" embargo. "1 dotcrminar lal! fllllr1.as interiores que surgen en el carril y en In rueflll. en IngllJ"C's ~lIncil.'n. Icmente nlejndos del árell de contnct,o, e~ posible gejt'íln el principiv ¡tu SlIinl.-Vtmanl exvuosto ant(lriormente, sus~itulr 1" cllrga distribuida por 9U resultante. lo qua simplifica el e'leltlo. En los lugares pwximo.s al área de contllcto do los (Io~ cuerpo!'. las (U('!'U5 intA!riores, que en csle caso se denoolinan fner:r;lll! dc contacto, no pueden ser ulf.uladas por los procedimientos de In ne.-isteneia de Mllteriale.". resultando llecl!!lJlriU rt!f.urrir ;¡ la Toorilt lie lA Elasticjdad. L,,~ fuerzas COIle4lntuda.s !el miden tu k.i1ogntmn~ o ton"'lltln,¡ (o eu newtone!. "€!g'Ún el,li$temll SI). L1l5 cargas distribuidAS pueden ser de IllJMIrfirie (pM'Sión d('l "iento o del agua sobre una pared) o de vohllnen (pe.'OQ prupio lle Un cuerpo). ~I pesn dc una bllrrlt se interpreta, g..uerlllmentc, 110 con", UWl fnerzll de voluDlp.n. lIino como una carga dislribuida a lo Iltr¡f" flc hl burrA (carga lineal), ya que las dimen~iolles trnns"6rs/llf!~ SOIl Jllo'IJlll;lfial! en comparación con la longitud. La9 cargas dislrihuidllll se midoll ell ullidll\lo.~ de fllcna rdcrlflll!l 11 ltt unhllld de Joul{ilud, d(l área o de voLumen. '¡'nulo la.~ cllrgas concentradas como ln.s di!!lribuidas pueden Sllr estÁtica!! o din,ímiC/ls. Las cargas cuya magntlud o punlo dt aplicación (o dir«ei6n) varia muy Imla1nCn/.(:. dI! tal manera '1Ut $It puede prncirniir de la~ actluacir)/lt$ qUt surftA, R' llaman. cargas estática•. Cua'ldo actúilIl cargas de ..me tipo, las vibrac\ul\('!1 dll las e,¡lrw:.. tUlas y SWl elementos 8011 \r1!'¡gnificanlcs. lAu (tJrgtJll que ~'(Irian. con el ttempa con unll ),.~lucidad C01Illidt'ra1Jft' (ttJl'gas de pocwi.6n, por t/tmplll) ~ IltJman cargas dinumictU. 1,,, acción de este tipo de fuenas ,'a a.compañada de vibracionC!l de !lI¡o. estructuras, durante IlIs (11;l.les. /11 varillr ht \'..loeidlul de Ilts masas
que vibraD, aparecen fue",as de inercia proporcionales (!lE'gún la .segund. ley de Newton) a las m'sas que o!leilan ya las aceleracione.,. La magnitud de estas fuertA!! de inereia puede superar en muchaa ,'C('C5 ti la de las cargllS estélleas. Lu le)"eS de variación de In cargas en Cunclón del tiempo pueden ser muy complejas. En ciertos caso:!.. la vuiación de la carga puode ser de caricUr periódico, es decir, qu.e los valores maJCimos de la carga se repiton cada determinado intervalo de tiempo. Estas cargas .5lI deDOlnin:tD cargas de r';gimen estable o cargos de repetición periódica (lig. 1.4). El calelllo de la resistencia en el cllSO de este tipo de cargas se nnaliza en el capitulo XII. En mudlOs otros casos la vlIriación do la carga en función del tiempo no tiene cllráctcf estable (rig. 1.5). Estas son, por ejemplo. la! que actúan sobre lu pieus de los automóviles, tractores, torno!!. así como lns que actúan sobre las estructurns (edificios, mástiles. ole) por elocto del viento, la nieve. ele. Estas son cargAS repetldM corrf!spondientes a reghnenes no e!!table.¡. Un e~tudio más profundo do estas clUll'aS se hace posible SOlarnllllte recurriendo ti los melodos esladisticos y 11 métodos de la Teoría de Probllbilidades. qUIl se emplean para el Ilstudio de magnitudes ocau!ionales. Como ejemplo. veamos la earga d~1 viento. que se considera ('n el c.álculo de las grúas ele torre, puenles. t'dificios y otras f1.1truetllras. La velocidad del ,,¡enlo, de la qUIl depende la presi6n de éste. "aria continuamente en un mismo Jugar geográfico. Por ejemplo, t'1I la región de Moscu, seg6n las observaciones llevadas a cabo duranle un prolongado periodo de tiempo, la ,·elocl· di\d del viento varfa en un mar¡en muy amplio (lig. 1.6) Lll velocidad más frecuenle (33% de lodos los CMO"l) es de 3.... rolseg. Pero se observaron veloeidades de 12 m/seg (2% de todos los cnsos) y mayores aun. Por otro parle. hubo CIl.lOS de velocidades m,uy inferiores, incluso n\ll81 (poco frecuentes). Las curvas. como la analizada, se denominan curvas de dislrlblJcl611, Ellas nos dan una Idea clara de la dispersi6n (variabilidad) de esta magnitud, l Qué velucidade! del "jento se deben de considerar para el cálculo? PIlC('.cria lógico considerar en el cálculo la veloeidnd máx,illlll registTada. Pero, primero, no existe ninguna garanda de que. durnnle el periodo de .serviClio de la estructura. ésta nO!lerÁ sometida a viento~ más fuertes que los registrados anteriormente y segundo, no es económico calcular una estructura de corlo período de duración (por ejemplo, una estruclura de m/ldera) parll velocidades del viento que.se repiten UDa vez cad. 100 6 200 ailo5. Por le tanto, la magnitud de la carga que se cOMiderll en el cálculo, está estrecha.mente rela-
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cionada 111 período de servicio de la t'strnctora y a Sil ,.'rafio de importancia. Todo lo UpuOSlO l'ellpecto a la eat¡a del viento, so refiero igllal~ ".ente n la mayoría de otros tipos de cargn. Al Cillcubr los estructuras, las magnitudell de lu cnrgas pilrli. el cíikulo se reglamentan por las condiciones técnicas }' las l\t)rmMI de di:sciio. En la cunstl"Ucelón de lnlir¡uiuas, ('~tas Cargll!' so del~rlllinlln ell función de la! colldieionl'S eoncreta!! de trabajo do la m:ír¡lI¡ntl; ...alor nominal de la polencia. ilúmero de revohu;iones de sus piezas. p~ propio. {'lerUS de inercia, etc. Por ejemplo, pnro. calcn1:lr In pie:r..as de un automóvil de 3 toneladlU de capacidad, se considE'ra el peso út il nominal, tres tonel,das. La posibilidad de una sobrerlltga del ll.u\oltu'lvif se tiene en cuenta fijando las dimensiones d~' 10;0 piC13s COIl cierta reserva en su resistencia. Sobre In lUagnitll,¡ de esta reserva tll' seguridad !SC hnblnl'¡' con 1ll6s detnlle en el § 12. § 5. Deformaoiones y dupla.umlantos
Como se illllicó anleriormente, todo~ los sólidos, bajo la >I.·civIl
Cuando bs dilncnl!ioDcs aumentan se dic\! alargamienlol. (muLllo disminuyen, l'lCCH'tamlellto. Si 11111 r1cformacionés son distintas l'n los divcrsos lu,,¡llt.~ .Id llÓlldo. enlonces ~ iotroduce el concepLo de deformación en un punto y direeei~n dados. Si en la superficie del s6lido, alredl'dor del punto que SoIl cOllsid...ra. tratamos un p..queño recttinguJol, 2,3,4 (fig. 1.7, a), al defol'mflr~ se el sólido, este rectángulo !lO tran!!.fornll\ en el caso ¡-eni!rnl CIl pllralo1óJ;l'IlIllO 1 , 2 • :1 , 4 (Hg. 1. 7, b). Las longitudes de los lados del reel/illgulo vilríllll (auult'lIl.an o (IlsmillU)·en), y los propios tallo:! giran respecto a su posici
"
La deformación lineal completa se"designa por t:. (dz), I:J. (dy), lil, etc, según 56 designe la longitud del segmento que se analiza. Para. liber¡¡rse de la influencia de las dimensiones de 108 lados del rectangulo se introdUl:e el concepto do deformación unitaria Bneal;
.,
8=l L¡¡ deformación lille~1 f; es Ulla m:lgnitud adimensional. Se congi· del'/>. positiva cuando se N'fiere a un aumento de la IOllgitud' del ~gml'nto.
b) fil.
1.1
Lu~ ensayos demuestrutI que las deforml\cioll(!s tllllto lineales, (O(>nlO f\llgulares, UllO vez retirada 18 carga, pueden desapllr6cer completa o pllrci:lllllPnte (segun sea el mMMial y 111. magnitud de 11'1 ("lOrga). Lu.~ dejorm! deformactllnes Que qr.edan después de relirar la r,nrpo. S't! denomInan "'CtJ'hluule1'l o pU~,,¡ticafl. La propiedad del material de admitir dt/ormac/otU!$ utidualcs se denomina plasUci<7u.tl. ConOCiendo las deformadone5 del cuerpo en todo! ~.1Il; Ifuntús y las eúndiciones dI! apoyo. se pueden calcular los desplazamielltrnl de tonos los plintos del wJidú, es decir, re pued('ll indicnr lu pOljidón qUI::l ellos ocupan (sus nneya'! coúrden~dIM) de~plles de ser deformado el c,'erpo. Para la explotación normal de una estrucl.llra, las deformaciones de SIlS elementos deber,\n ser, como regla gellCral, OUSliC8S e inferiores 11 ciertos VAlores admisibles. Estas condiciones que se expresan mediante ciertas ecuaciones, w denominan cOllrllclolles de rigidez. En algunos cnsos se PIJc,]pu loJerar P
19
i 6. MUodo d. las sllcciona, Consid"'rll~mos que las fuen.as j¡lteriores (fuer~as de elasticidad), que se eug"!IIdran en el sólido 111 Aplicar la carga, se distribuyen de una manerll cOlllillUll., según III suposiciún de continuidad del material Ilel i"ólido. Más adclnnlc l!CJíal~rL!mOll cómo.re obilllll~n estall fUerl,8S en cllfin punto dd sólido. HBllemo~ tlbora las resultantes de los e:s[uerl,Qs (incluyendo tllmbién Jos momenl(lS) Il las ql1e se reduce... Ills fnenas elA3tiCi\s que lIporc<'en 1'11 una sen:iÓIl dodll.
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fll. 1.1
Pnm ello ~ ('mple8 el método de las llCCCiones que rOI1::tiillU: ell lo siguiellle. En el sólido. que ~ cllcueMra en llquilibrio (lig. 1.8), en el 'ligar que intllrel!n, Sí' trw~H mí'llllllmenle un8 Sl:lClfueuos interiore~ que equilibr9n llls [u6nn~ exteriores, que actúan sobre la parte séparada. Si las fuerzas e"terio~ se encuentran en un mismo plano, parA equilibra.r1as es ncee5l'rin, eo el ca:lO ¡relteral, aplicar 11. 1" sec:c:iún tre!! fuenas interiores: [uenll uial N, dirigida según el eje de 111 barra drnominalb fuerza axial. otra fuerza transverS81 o cortaote Q que IIclúa en el fllano ue la lllK:Clón trensvetsal, Y- UI1 momento ,\f «., uhica.do en el plano ¡ter,plindicula.r al de ,ill.,/lE!cción,. ESle momento surge como conseCllt'nciu de la ilexi(¡n de l'n bar.ral'-Y.lle~denol1linll momento f1ector. ", Después, se plint.enn las eeultcioncs de equilibrio de la. parle separad. del sólido, de las cu.le.s se obtienen N. Q y ;tfJI~e" EIl efeeto,~pro)'ec:tlllldo las [uenas que actúllll sobre la liarte lICparadll. sobreoel eje de la barra, o igualando II cero la suma de )a~proyeceiones, obtendremos N: proyectando las fucn:u !Obro 01 eje perpendicular al· de la barra, obtendremosQ e iguolanuo II cero la suma de los momentOl! respecto a un punto a.rbitrario, encontraremo.!l ¡lIflec . Si las fuerzas e.üeriores, Incluyendo las reacciones de npoyos, no se ellcuontran en un mismo planu (prohlema tridimensional). entonces, on la sección trllnll\·orsal. en el i:1I90 IlOllernl, pueden aparecer G rllerz8s interiores, que son las c01l1pnnollles del vector
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y momonto principales de lll!> fuern.s illteriores (fig. 1.9). ESlllS tuertas interiores !
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En la figurO 1.9 y en adelante se cOllside"nr6 el sil\U:mn dextróglru de eoordenadas. El eje z, generAlmente. lo hiwcmos coinci,lir COl) el de la bArrll. Así, pues, pnra el cálculo Ile les f\lon;'lI ¡"lerion's es "('cesario: 1) lIuccion¡¡r la burta o el sistoma oe hl\rrll.~; 2) relirnr uno lle lag flarleg; 3) nplicMr en In seooión Ial! rueuillI qlle equililll'en las cllrgulI exteriores que actúan sobre 111 parte sepllnlda; 4) calcular los vlllores de las fuenas iu\.<'riorl.'lI por ll\s (l(:uaCiOlOell de oquilibrio que !le plantean paro la pllrle ~pllra,llI. En casos particlLlllrell pueuc ocurrir que en 1115 1lE:(:dolles lr.,nsversales lurjll: t) Sólo UDa fUl'rza axid N. Este clSO dI' :IOlieiu.ción se denominll lncel6n, si la fuerza N actúa hacia aFuC!rll. }' compre!li6n. si 111 fllena estd lIiri¡¡:ida hacia la secciono 2) Sólo una fuena corlnnte O" 6 Q,. l~lItc 1'1I el caso de lIt'S1i.",,· miento puro, 3) Sólo 1m momE'nlo lorllOr M,.. ~. Aqui lenem0:5 tOrsiÓ'l. 4) Sólo un momento fleclor 11/" ú M,. ElIw t'S el caso de nes:iÓQ. 5. V.. rias fucl"lu interiores que Il.tlúun llimu1liHleomenw, por ejemplo, tllI momellto Hector y otTO torsar. Telldremos aquí una delorUlacl6n cOlUpuesta (o rtl!lilllencill eOllllluesta) tille nnalilllremos al fjullt del te"t". ~l
§ 7. Tlnaionu
Anteriormente indic'bamos, y convicllt! N!peliflo. que tn ItI seccIón trans\'ersaJ de la barra actúan fUl.'n.lllJ dislribuidal!l y no lb concentradas N. Q. AI I •• _ ete. La intensidad de aqut!lIu puede vari.r de puolo .. punto de la 8eeCióa y tener diferente direcci6.... ¿ Cómo 8e mida l. inlenllidlld de Ills fuen.es interiores on un punto dado de ulla secei6n d.da. por ejemplo. en el punlo A (fil:. 1.10)1 Elij.mo.s un áre.a pequeña I1F alrededor dal punto A. Sea I1R 1 resultante de las fuen.a! interiores que actúan sobf(' este área
Entof'Ct'S.1II. magnilud ml!dia dc In fuerus i"leriorcll. correllpon· diente 11 la ullidad di! auperficic del área 61' eu cuestiono es
.n
p,. ""'V ,
(1.1)
L. magnitud P.. se denomina tensión medl. y earacteriu 1. intensidad medie de lu fuerzu interiores. Disminuyendo las dimen· siona del lÍrea y pasando .1 límite obtenemos: ti
AH
p- ~,.~~ TF'
(t.2)
!Al Ilwgnitud p se denomina tenlliou real u, slmplemenl.e, tensión en el punto dado de la sección. Simplificando la cuestión se puede ~It(¡mlllar
tnuiólI
r fuI' En al sistema f\lKS la tensión se mide en k1Jf/m' , En la prlicUcll !Ml emplean generalmente lu unidades kgj/cm ó kgt/mm ' que no en'n previ!Ul.s en el COfTC!lpondiente siSlem"' En el sistema SI la tensi6n se mide en N/m' "'" "'.k~f'-' = m-'kg.g-' . Puesto que en este sistem. las tenSionell reales se represent.n VOl' números muy grandes se deben emplear múltiplO!! de estas unidades, por ejemplo. mq::~. o abreviadamente ~:.=o lD- N/m'. en
_
Fuesl.o que la modición del área en metros cuadrados no está de acuerdo con la esencia de la tensión, mnchos autores proponen emplear para medir las tensiones la unidad Nlmm\ que no está provista por los sistemas de unidades. La tensión completa p se puede sustituir por dos componentes (fig. 1.11, a). 1. LII normal al plano de la sección. Esta componente se anota por a y se denomina lenst6n normal. 2. La situada en· el plano de la sMci6n. Eala componente se denota por t y se denomIna tel~(ón tengenclal.
, fil. 1.11
La orientación de la tCll~ióo tangencio.l en e\ plUll0 di.' 111 !lección uelleude de h. cllrga 9"I:lorior y puede ser arbitraria. Parn mayor comollidad, 't' se sustituye n. su vez por sus cOmponen Les dirigidns según los ejes de coordenadas (rig. 1.0. b). L¡}~ notaciones comunes de las tonsiones están indielldas en la lig. 1.11. b. La tensión normal va provista de un suMndice que señala el eje de coordenadas paralelo a ellll. La tensión normal de trar,ción se considera positiva y la da compresión, negativa. L¡¡ notación de las tensionell tangenciales tiene dos subíndices. El primero !lCJ'iala el eje paralelo a la normal al plano en que actúa la tensión dada y el segundo. el eje paralelo 11 la propia tensión. La descomposición de la tensión completa en normal y tangencial til'ile UD sentido físico bien definido. La tensión normal surge cuanrlo las pnrwcullls del material, que ~stán en contacto en el plano dado. tienden a separarse o, al rev¡!s, a acercarse. Las tcnsione=" tangenciales están ligadas al deslhamienlo de las partícul;]s del material, en el plllno de la sección en cueslj{)n. Si alrededor de un pUnto se escoge un elornlloto oc formil cúbica infinitamente pequeño. entonces en sus CRras actuarán tlo el cuo general las tensiones indicadas en la fig. 1.12. El conjunto de renslones que actlÚln en totks los planos elementales. que se PUelhl1 trazar a través de un punto tkl sólido, forman el esta(lo te"liionul d~ estro pun{¡j. Si en las cara.~ del cubo ae/úan solamenü
II'IIÚ"",·., /wrl/UI/(',>', esl(/~ IOl/la/l e/llom"re di' f"II";OIl cll JI ";u,,¡ 1"11,.", !I los sol,,,, los 'file ellas netlir/ll, Illfll/f1K 111'11/1"1/1"1,,..,. El, fa 1\}\\ri;\ dI' 1:\ l':l;\l\ticid~,l ~, dl'lll\\l'':;\fa, que en C;l
'''''11M
entre sí, 1.;1':; \l'II,:;i"nl',~ prillcipall'!' sc ,\csigHan g"lIer,lh",mhl por n" 0, y cr,. 1.;\ ,wíxillla ue ellas (considernllllo el signo) se dtlsi¡':ll
y
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Ó, Fi~,
1.12
Fi~,
1.13
Si ulla de l;\,:; tellsiolles ¡¡ri"cip"I,'.' l'':; igllal ;' r"r" y la" "\,.,,., n". .. 1 ""1;1<10 (e""iollal SI' fI"llIa l.tillxi~t1 o plall", Si SOl) nulas ,lu" len~i[)lles IU'incipnlt>s, 01 estado ten"iuunl SI} <1enomillll lIlonuuxial o Iinoo!. CU¡)lIdo se conoco el estaúo Lensiollal du to.los los pUlIlo.' ,le t.l pieza. so pueúe apreciar su reSfslellda. En muchos CllSOS, la I'Csistencia do los elcmento.'> de las consttllC' dones, IjUO tienen forma do barra. se aprocia ¡lor el valor m¡,ximo de las tensiones que surgen en su.s secciones transversales. E.n el c,"so ro';s simple, cuando el eslado tllnsioua] Ilel ]JlInto peligroso del sólido es Iinoal, la condición de resistencin se escribe asi: cr< [01. donde
(1.3)
os la teusiún rual que surge ell el punto en cuestión r 1(1], admisible, cuya magnitud dtll)Pllde de llls propiedadc", del ml1terial. que se determinan experinwlILalrntllllo, )' do las {'olldiciones de Ir¡¡bajo del elemento de la COJlslrtH;ción que se <::lIl'lIla, Algun(~~ dntos sohre cómo se establecen lus l,ollsiones admi~ibles serán e.xjllleslos en el § 12.
la
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(1
I,en~i¿'n
Se, dan Cll50S, cuando ge jutga sobre la resi,;tenó
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n"$()luciúll. Cll\culuftlOS lo~ esruerlO.~ en las !.tarras AH y Be IlOr el móLodo dll las secciolle~. Para ello, trazamos la sección a-a ¡mr
las barras, ignoramos In pllrle i1.:quierJa del sistema y anll1i1.amos el cquilibrio de la parte dCrllcha, Primeramente, sllponomo~ qlle los eSrUerl,O~ Oll ambas hflrraS son de ~n'ccióJl (los eSrn'-lr20S ,lo trUc.¡;ióll esl;Íll dirigi
~Y=O; -P-N~se!la=O. De aquí o!.tteuernos 11'2-- !su1~(:t . El signo ncgll~jvo indica que 01 esfuerzo ,t1"2 I'S lie comprl'SiÓ'h y nu lie tracción, como se supusu. I,a sp.gundo ecullción do ('(jui1ibriu es;
!:X=O; -N,-/I'2C08"''''0. lntroouciendo aquí /1'2=
p -~,
ol>tcndremos NI=Pctga.
Ejemplo 1.2. Determinor los estllcnos en las barras AB y el) del sistema reprl'sentado en la ligo 1.1::;.
Rutllutl6n. Veamos el equilibrio de la parte de la estructura situada debajo de la sección. Igualando a CIlro lasuml de las proyeoeiones sohre el eje horizontal. Sé demuestra que el esfuet'1.o en h ligadura horilontnl que sirve de apoyo (en el punto Al, es igual "
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Iguala.ndo a cero la suma de los momentos de todas las luenu que actúan sobre la pacte sepaUlla, respecto al punto A. bailamos !MA_O: -j.2+NcD ·3+6""O. De IIquí resulta NCD=-O. Puesto que la suma de las proy~¡ones de ¡IlS mismas ruenas -sobre el eje verticul es nula, obtenemO!l: !Y_O; N,w-3=O; de donde N ...»_3 t. El si¡:no positivo del csfuer"w N ... [1 illdien que su dirección coin-dde eon ht que está representada en la figuTa, es decir, el esfueno es de tracción. St se emplease el Sistema Internacional de Medidas (SI) tendríamoslaa variaciones siguientes. Lo carga de 3t, en newtones(N) seria ignala 3·tO' N Y el momento seria M -= 6·tOl N·m, en lugar de jlf ... Otm. El eaiueno N A B result8ría (de lu mismas ecuaciones de equilibl'il'l) Igual a N A B =o 3 ·tO' N.
CAPITUlll JI
TRACCION y COMPRESION
§ 8. Cálculc de lIS fuerrllt Interlcrea
Veamos el caso de tracción o compresión axial (central), en el que las fuerzas exteriores actúan 11 lo largo del eje de la barra (fig. 2.1). Para obtener I~s fuerzllS interloreS (fuerzas axiales), recurrimos III mt;todo de las s~ciones. N'*Qgri7mrJ
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Fil. 2.1
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Tracemos tlnll sección, In s6GCión a-a por ejemplo, y analicemos el equilibrio de Id parte separ(lda inrerior. Sustituyamos la Ilcción de la parte superior sobre la inferior por una fuerza axial que inicialmente dirigimos hacia afuera de la sección; es decir, suponemos que esta fuerza es do tracción. Plallteemos ahora la ecuación de equilibrio. Para eHo, proyectamos las fuerzas que actúan sobre la parte inferior. sobre el eje paralelo al de la barra, e igllalamos a cero la SUJnIl de las proyecciones. Así, obtenemos: N,""¡'" 8 - 5 = ll, es dedr, N, = -3t.
"~I sigl'lO menus indica que la direeeiuu qoe originalmente!C dio lO la fuerta inltrior /VI debe u.mlliar!Ml POr "-u OpUMlll.. lo que tll!lDUe5lra que en este ~.so la fueaa al:ial N, es de eompre~iól\ y no de Irll(,}< ció" como hll.biD.mos supuesto. De manera .'jll(llejllute, se calcula la fuena luinl e" 1(1 sección ~b: N~ = St (tracción). Eo lIdclallte. wl1llidt!n1rt'mos tille la fuer"a axial correspOlllthmte II la trllCl"iím es positi"". La ley 00 ~'aritlción de las fuer1.lI~ axial"s a lo largo dll la barra ~ Ilu8lru. de una manera muy clara, medi&ute ~u grlÍfico. El cjt! d", la~ ahci~llS do ¡\.~lo se orienla pnr(llelnmente al de In barra ~. el de las ordenlldns. Illl direcd6n per¡xmdicular. Lo~ ~'nlorcs do 11'" fuorzits Il.'c:iale;¡ un ltls seecionc~ transversaLes rle la barra se lUtl1/l (tcniendo en euenla el signo) a \Ina e8Cala determinada, sobre el tit' de las ordcnadu. El diagrama de N, eOrre5p(Jndientl;l al enso IInali:rado lInteriurmnnte. est.3 represclllado en la figura 2.1.
f 9. C6h:ula de la. tenian.. Si trnumos sollre la ~lIperlitle de una harra. pri!mátictl Ulla re,1 ole lílletl~ recias,. 1lOas paulelu y otras petpP.ndiculares ni ejll (fig. 2.2, 11) Y si sometemos 1ft ba.rra a una rUl!rza de tracción, ol•.'lt.'r-
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fll' 2.2
varemos que, después deJa deformación, las rectas permanecen Orlogonale3 entre ~i en toda la superlicie, eJ:eepto Ima pequeñll, 10m, pro.r.ima al punto de aplicación de la fuet%ft. y de la que por ahora prescindiremos·. mientras que laa diatllJtcias enlre las rectas ~·.,íall (Hg. 2,2. b). Todas las rectas horhontales, la recta r:d, por einmplo• • En la flftU'i 2.2 esl. 1000a no . t i reprM<'Dtatla.
"
rlespbum hada abajo. permaneciendo, ~in cmLargo, rectas r horizontales Es de suponer que en el InLerior de lB barril tiene Jugar el mismo fenómeno. es ue¡:;ir, que las seccllmes Iramwerso.le$ de la barra, que eran planas y perpendiculan:s a su eje antes de la dejorrruu:lón, permanece,. planas y normales a ésle desp/l~s de ocurrir la dejorrruu:i.én. Esta ,hipótesis, que tiene gran imponancia, llC conoce como hipó· lesl!! de las secciones planas o hipótesis do Bernoulli. Los en~ayn~ confirman ll:\s fórmulas que se haSlll\ en esta hipótesis, Lo e:
+
p
a-y
(2.1)
En 1'1 caso general, cuando sobre la parte separailo. actíum varias flil'I·Z"." en .,[ numerador de la {"rroula (2.1) figur¡,ra la ~\lma 1l1gebraicil de 11ls proyecciones de e~tils fuerzas, sobre el ~je de la barra. _Esl.il suma ('5 igual ti la fuena IIxia! N, es decir, N a=-,-.
(2.2)
E.~lIl5
fórmulas son tambilÍu válidas en el ca:í'v do comprc~iÓ'" que las tensiones de co,"prlJ~¡ón o;e consideran negat.ivas. Eu esle C.IISO !ie calcula no solamente la resistencia nc la barra {'Ulllprimidu, sino tamhién, Sil !'estabilidad (vli"se Nlp. X). :~wlyo,
§ 10. Cálnulo de 18S deformaciones y de loa desplazamientos
Lo." OOllll}'OS demuestran que al trllcc;onar \lila ¡'¡¡HU. Sil IOLJgitnr:l _11,11mcnta, misntl'llS que IlIs dimensinucs transvcrsales disminuyen (fi¡.:. ~.2, b). Cuando se trata tle compresilio, el fcnómclltl se in\'itll'll;'. Para muchos materiales .'Se cstablece experiml!\lla[mcnte q"l', ClJllIllJU las cargas se Cllcllüutran entre ciertos límites, entro la defor~ mnci,íll unltnón ¡¡noal R y la tensión (J existe 11I corr",l,1riún siguicnl,e:
•
t=y'
(lUto
.~I! tlenomiIlil ley tic U ...oke. Su t!nutll;i,1do o,~: lM def(lrmaciQr¡e~' II.nilarias /tll('oles .wn pr(lp'wclrmules (l la'l It'nsiant's riVrmu{tt.,.
J..:n la fórmuJ~ (2.3) E ('s un CO.,fic(Cllt\;l cuyo vnlor depcnd., d" las pl'opiedades del mal,erial y $e oenominll módulu de elasth:ldad lollgiludinal o m..oul0 d(' e[;lslicidad de primer f,iénero, [;:sl., ('ol)i;2ij
ueuu Mlidulo de elutlcldod IDngltudlul E,
l,,"~rUI.l
2,10"..,. 2.2 10" 1·10°
ACllrQ
CoLr"
1·1~
M...Ocru
Alunl;ni'!
O,li7:¡, 1O~ u, 7:,. 10'l -7- 1,6. 10" u.JI!. 10' -:- 0,40·10'
Hierro 11lnJido l'l;i~t;r.o
1
de fibra ,1..,
vi,lrl"
1" rigidel. del mllterial, es decir. ~I.l cil¡JuddlUI do 01'(,OerllC n lns dl,formaciones. Pl.lesLo '1ue & es Uf'" magnitud adi,nCllsiOlllll, VC la fórlllula (2.3) ~e deduce qlln E ,01) mide en las mismas unida.des que (J, !) 5ea, (,,, kgffcm·. En lit tnbla 2.1 Ile dlln los velores medio! de E pnra alp;UIlO>l maLeriales. 8n viversos 11l8nueles ge puede encoutrar el módu10 de tllnsticitlud JOllgiLudiJlo1 de otros mnLerialos que puedan interl.'S'I,l·. 'fenicndo en cuenta que 1: = ~ y 0= ~ , dE' (2.3) se obticn.' la fórmula que determina el alargami(lnto (acortamiento) absoluto, cient" n',.,'cl..... i"'a
~l = ;~ ,
(2.1.)
E;¡pe!'imentDlmente ~e establece qoe tllltr6 bs dolor lIla clQnt's unitarias longitudinal e y Ir~llSVerSJlI e' c:'(i~lc la correl:lcUm siguiente: (2.5) &'=-11& En esta fórmula 11 es el coeficientc de deformación trans\'crsal (coeficiente de Polssoo), que CllrActeriza la cApacid-ad dol material oe admitir delornlacjones transversales. En la fórmula (2.5) el a1argamiento se considera positivo y el acort~miento. negativo. El valor do 11 para todos los material!:':::; oscila entre O"" 0,5. El coeficiente p. de deformnción trlHlS\'ersal para l;l mnyoría de lo~ materiales varia entre 0,25 y 0,35 (tabla 2.2). En el caso de deformaciones elhLic!\!", se pucdll considerar que 01 coeficiente de Poi!J,~on del acero es I-l. Z 0.3. Glnociendo el valOT de e', per la fórmula
IJ.""
&'
=
a; .
(2.6)-
se calcula la deformación transversal absoluta 66. En esta fórmula 6 es 1/1 dimensión trllnsverso,l original. 30
TlILI U
" AOO10
0,25-0,33
PI(>mo
Cobr&
O.3t-O,3~
LIlt6n
Br:once
0,32-0,:15 0,23-0.21
Aluminio Zinc l'¡edrll
HIerro fundido VidriQ Hormigón COl.. h"
Celul"i
0,2;, O,tl!l_O,l8 0,00
O.~5
0,32.0,42 0,32·0,36 0.21
0,16-0,31,
liAr
Cau&bQ
M..deru
co"lr8chap~(la
0,07
0,39
Cuando las barras son de Sllcdón variablll, (si el angulo de conici~ 12") (lig. 2(3), s>: puede admitir que Ills t¡msjonas en la'!!'
dad a
1 11
11 11
2«{ \
li I ', ir, >
1
,
I
i
~
-
: ¡
,,
Fil. 2.3
secciones transversales se distribuyen
uniformemente,
eg
decir,
se pueden Clllculur pOr la misma fórmula. (2.2) que se obtuvo para el caso ele barras de secci6n r.Ollstante.
"
Para obtelll'1' las defOl'fflllclOIlCIS do Illlll oan'l\ de sección vul·ial,l". 'Cn cuyas seccionell transversllles l\pllrn~.e una fucrza axial N, Clt\c,,lamos primeramente el
Nd'='
1>; .
(2.7)
Integrando la expr<'sión (2.7) enlre z=O y ;;=
,
r N', M= J ¡"'P'
(2.8)
"
Si N Y E son magnitudes constantes, entonces
,
M=.!!...r~ E
J
(2.9)
P'
" Pura roder aplicar csta fórmula, es necesario conocer pre~'iamente 'Cómo varia F ell función de z. Cuando se trata do haTras escalonados (lig. 2·.....), la illt",gwción se sustituye por [tna suma y entonces 01 incremento ab1lo1uj", ,le lu longitud de la barra se ootiene como la suma alglJuraicu de 1,1s ut"1ormaciollcs de sus parl,lls, en los limitos de 1M cua.le.
Por ejemplo, el1 el caso de la barra rcprc3011la,lu en /f, 1igul'" 2.4 tendremos, '¡
'¡ ,+'-' "
'-' ='-'
,= ~ E¡F, -.
J...
N~j'3 ' 3
E 3P
donde N,=N 2 =P. Calculemos ahora el alargllmiento de una IJal'rl'. de st:CCtOu 1.:0118~ante, sometida a la acci6n' de IIU propio peso, qUf~ tlqllivale II "na carga d¡s~ribuida ulliformem9n~e a lo largo de la barra (fig. 2.5). El peSO especííico del ml:l.terial de la barra lo dlolsigllaremo;l pur '¡. VeUDiOS la deformución del elemento dz, que so enC.\lentra a U!la distancia z del extr~mo inferior. Este elellle1l1o estli I,racciollado por la fuerza yF~, iguol al peso de la poJ'le de la barril llor dehuj" de 111 sección 7;. El «lllrgarniellto de este clemonto <.'5; Ó(dz)=d(Ól)=
'r~:/"=
Y3i".
(2.11)
El ala~gami&lIto absoluto de la ba~~a se halla integrando esta cll"presión entra :=0 y z=l es decir,
,
I1l=
~
zdz=~,
;
(2.12)
Esta expreslOlI se puedo escribir de otra forma, si tanamos en cuenLlI Que III peso propio de la barra G=-rFl, o sea, G
'll=p'
De III Jórmula (2,12), ohtenllmos,
111=':~
•
(2.13)
Asl, ¡Iues, el alargamiento ortginado por tI peso proploiUuna,barra.de slI'Cci6n constantt es dOIf v/Jces menor que tt alargamiento debido a una fuerza de magnitud igual al peso de la barra y apllcfUUJ. al ex/remo de ésta.
, ,
-
F,
1
,
~
,
"
'¡JI
I
~¡
r F,
i tp Flg. 2.4
I ,
I
,
-
I Fil. 2.S
La fórmula para el clilculo de las deformaciones de barras de variable, 80metldns a la acción de su propio peso, Stl obtiene :lhora sin dificlllead. Recomendamos al estudiante que la obtenga 61 mismo. Ejemplo 2.1. Üllculnr la fuerza axial N y las tensiones O" en las ser.ciones transversales de In harra de acero de la fill'ura 2.6. Determinar también los dcsplazamielltos verlicales /) de las secciones transversales de la batra. Representar gráficamente los rosultados obtenidos, cOllsttllycndo los diagramas de N, C1 Y 6. ReSfJhu::U;n. Pnr1l. obtener N. seccionamos imaginariamente la harra por J-I y l/-l/. De la ecuación de equilibrio de la parto de la harra por dehajo de 1-1, obteuemos: N, = P, _ lt (tracción). De la l;ollllición de equilibrio de la parte inferior a ¡f-Il 56 obtiene: -NlI PI - P, = O. es decir, -N u + t, - 1 = 0, o soa, 1'1 11 z= 3t (compresión), ~ción
+
COl1struimus, n \lIla escala adecuada, el diagrama de las fllenas axiales, considerAndo que la fuerza adal de tracción N es po!!itivn y la de compresión, 1lI~¡::3liva.
,
•
••
~ Jf.
• r.
~,
r
b
g
<
<
r-
¡:;-ltJ1I'
,
Ji." ~·II
1
,
J."7'" .JI
JI
..
~-+f
,1#,-" p'-It
FilI. 2.1 En lal! :teCcioncs trans\"crsnlcs dd tramo inferior de In lo"rra 1M U!IISiOl\1!1I son:
lOOO ., _ -,-_1 000 kgUcm' (tracción)
y en las del tramo lluperior.
011 __ 3~
=
-1500 kgflem' (comprt:Si6u).
Con!>lruJmos ahora a la e.sc::ala corre8pondiente el diagrama de las tensiones, Par. cOll.sLruir el diagrama de 6, hallamOl! los desplu...· '"licntos de las secciones características S-S )' c..C (el desplal.ll.iUicnlO de 1... sección A4A es i¡:u81 11. cero). Puesto que el tl"3mo superior estA comprimido, la sección 8·S se deplaurá bacill .rriba, es decir. 6.= - 32~~~~ _ -0,075 cm (h&eia arriba).
El desplazamiento hacia abajo será considerado positivo y el despluamiento hllcia BlTillll" negativo. -El despllll/;8miento de la sección se ohticne como 18 !luma algebrlliee del desplulmienlo de la llt'cción B·B (6 8 ) y el alarga. miento del lramo de la bUTa, de longitud l" decir:
e-e
6c""~.+M, ... -O.075~ ;~,l
+
_-0,075+ 000·201) 2.10f.t
t
e.,
0025 =.
cm (bacla abe,io).
Trillando los valore! de 6c y 6 8 obtenidos a cierta escala y uniendo los puntos obtellidO!l con lineas. rectas. puesto que los desp'latamientos !IOll (unciones lineales de las abelsas. de las reooiones¡ se obtiene el gráfico (diagrama) de IÓII,·desplazamienlo:l. De este grá~ lico se desprende qua cierta soeclón.D-D' no se~desplaz8. Laa secdonas que se encuentran IIObre ésta, se despluan hacia arriba y las que se eneUtlntrall por debajo, h.acia abajo. Ejemplo 2.2. Calcular el alargamiento de una barra cónica do sección cire11lar, .~i su dlámetru menor es 2r, y el lJlllyor, 21'1 (véase fig. 2.3). JleM:Jhuiún. El radio de la .secc:i6n situad" /1, \lila distancill % de" extremo izquierdo es ie-ua1 a
't-', r&"",r,+--,-" y por tlllll... el bea de esta sección 8 la distancia:; sera: • ( F &"",11:',=11
'1-") . rl+-,-'
El atargamiellto de la uarra se obtiene por la furmulll (2.9),
es docir,
,
61 -
~vE ¡ -"",-~'~'::"':-;T ," .. J1I ( '1 T.~ )1 -"t"'I' ¡ •
Cuando r, = r. = r !iC obtil'ne el alargamiento de una horra de secci6n (circular) conlltllnte. § 11. estudio expellmenhl de las prop:l.dades de tu meterlal.. A. Pn,bttn J tlpo. d. . . . ., "
Para el 8lltudio de lu propiedllde.s de 1011 mlllerillle.!i y para obt
Según el tipo de deformación
t
J
los alargamientos unitarios, 1 • donde '. es la longitud primitiva de la probeta, Este dlazroma se denom.ina diagrama convencional de trAcción (o diagrama de la.!; tensiones convencionales), pue5to que las tenslo36
Fil. 2.7
s
~O
~''-
--1R
•
nes y los alargamientos unitarios se refierell. respectivamente. al lirea lnicilll de la seGción y (1 la longitud Inicial de la probeta. En ]a figura 2.8 está representado, en 01 sistema de cnorrlcnsdils E, 0, el diagrama de tracción de unil probeta de acero de hajo contenido de carbono. Clima se puede observar, en el tramo OA del diagrama (domiuio elástko), las ddormaciones crer.Cll proporcionalmente a la~ tensiones, cnllndo éstas S<)D inferiores a cierta tensiÚD, 0P' llamada límite de proporcionalidad. Así, pues, hastl\ e( limite de proporcionalidad Q'l vilida la lllY de Hooke. En el caso del acero CT-3, el limite de proporcionalidau es Op ~ 2000 kgjlcm"(se le suele designar también por (11,,). Alllumentar la carga, el~diagrama reSl1lta ya curvilíneo. Sin embargo, si las tensiones no son superior(!!I a cierto vnlor, (J" denominado límite de el~ticidlld, el material conservo. su.<¡ propiedades elásticas, es decir, que al descargar JI!. probeta, é~ta r«upera Sil dimensión y su forma inicial. El límite
qUI< forman con el eje de la probeta un ¡{n¡ulo de alrededor de 45° (fi". 2.9. o).
ve!pués de que la probeta recibe cierto alargamiento bajo UDa urea constante, es decir, después de pasar el ealldo de fIuencia, el materiAl de nuevo adquiere la capacidad de oponerse al alargamiento (elllluerlal se endurece) yel diagrama, una vel reblJlado el punto D, Il!lCiende. aunque con menos intensidad que linte.! (fig. 2.8). En el punto E la tensión alcanD. su valor máximo. Eda ~f la. m6~¡l1UJ ktui6n (onlJl!ndonol que PI~ ra/sUr el moterifll y que le cknomitw Umi/,e de ',-elf"¡j/enC'ia. En el caso dd acero Cr-a el limile
i-~'qF~----+ a)
IJ) Fil. !.g
da resistencia es o~ "" <. 000 + f, (Xl() kgj/cml (se emplea también la I1ntncioll Ol~)' Ellloll aceros (Ja llha resistencia el limite de resistouela UegM 11 !er 17000 kgj/cm: (Mcero tipo 40XHMA (J -MA) Y otrol). El límite uc resislencin a In t..acciÓn se designa por G" y el
c'I=~100%,
(2.M)
dondo lo es 11\ lool{itllri ¡oichll de la proheln: II es la longitud de la probeta después de .su rotura. PatA el acero <;,...3 6 24%. En el casó do /leeros de alta t'Csislencia, esta ~racteristica disminuye y llega 1I llCr igual al i-IO~. La magnituu de 6 depende de la relación entre la longitud de la probeta y S\lll dimensiones trIlDsv.rsales. Pur eso. en los rnllll1l/lles. se indicll la probeta para la que se ha delermlnado 6. Por ejemplo. 6, iodiea que el alargamiento file obtenido en .mo probeta de longitud efectiva. cinco veces ma}'Or que el di'metro. El alargamiento asl hallado es un alsrgamienlo medio. puesto que las defermllciones nn !'(l dislriLuyolI IIniformpmentl! 11 lo IlIrg••
>
3!/
de la probeta. El alargamiento mayor correspoode allugal" de rotura. GenerAlmente se le denomina alargamiento real de rotura. La segunda. característic~ de la plasticidad dol material es la reducción unitaria residual de la s.ección, en el momento d(l la rotura: I(l= Fo-F'100%
(2.15)
F, donde F o es el 6rc(I inicial de la sección transver.~al; P, es el árelf, después del fllllo, de la sección tranllVersal en 01 lugar mós Cino dol cuello. La magnitud Iy cMactcriza la plasticid(ld del malerial de una manera mlÍs precistl que 6, puesto que riepende menos que ésta
•
de la forma de la probo La. Para el neero C'I'-y3 la magnitud '1' es del orden dol 50·60 %. Como so dijo anteriormente. los diagramas do tracción de muchas marcas do acero, y da las aleaciones de metales no farrosos, no tienen eS~'4lstí\~e)fluericiá~ La" formá t~pica do los,diagr~m.as de tracción de estos matei'1~1(lgel!ltá·ropre.rentada en la f.igura 2.10. 'Para el estudio de las, deformaciones. plásticas. grandes, es necesario disponer del alagrama real de tracción, que establece le relación qüe ·existe entre las dcformacloi'les y tensiones efectivas. Este diagrama se obtieno. divldiondflla fuena de tracción por el área efectiva de la sección transv.er¡;,ul de la.prpbeta (teniendo en CUBnta la reduccIón de la sección). .. : Puesto que el á¡;ea efectiva de la sección transversal es menor ql,le el área Inicial, el dia~~ma de las tensiones efectivas.se encon~ trará por c.ncima det diagrama de las tonsiones convencionales, sobre too o, desJ?:ues de formarse el cuello, cuando 1a sección transversal de la probeta disminuyo bruscamente (curva oes do la figura 2.8). El diagrama de la.s tensiones efectivas se conatru}·e generalmente por métodos aprúximadOI!l que se exponen en los textos completos de Resistencia de Materiales.
,,O
El diAgrama de tracción (Hg. 2.8) analizado es caracteristico para los materiales plásticos. es decir, para aquellos materiale.9 que admiten grandes dcformnciones residuales (6) sin destruirse. Cuanto más plástico sea el material, tanto mayor será 6. Son muy plásticos el cobre, el aluminio, el latón. el acero de bajo contenido de carbono y otros materiales. Menos plástIcos son el duralllminio y el bronce. La mayoria de Jos aceros de liga son materiales de poca plasticidad. FraglBdad es el antónimo de plasticidad. Se entiende por Iragilidad. la ,propiedad del 'material de destruirse al recibir deformaciones residuales insignificantes. En estos materiales. el alargamiento
A
i
< fig. 2.11
I!J M.JOS(} flJ();W S(J(J Q' mm
Fil. 2.12
residual en el momento de la rotura, no es superior al 2-5%. A "eees es, incluso, inferior. llegando a ser dácimas de uno pordcnLo. El hierro fundido. el acero instrumental de- alto contenido de carLono. la piedrll, el hormigón, el vidrio, los plástic05 de fihr¡l de vidrio, llLc., son ejemplos de materiales frágiles, es decir, quebradizos. La cbsificnciún de los materiales en plásticos y frágiles es convencional. puesto que los materiales frágiles pueden comportarse como plásticos y viceversa, según sean las condiciones en qlle se realhlln los ensayos (velocidad de In carga, temperatura) y las caractcrísticas del cstado tensional. Por ejemplo, una probeta do bierro funelido, sometida II compn.. sión en todas las direcciones, 50 comporta como un material plástico, es decir, no se destruye. incluso, al recibir deformaciones considcrt'lbies. Al mismo tiompo, una probeta de acero, con mm ranura, se rompe 1\1 rccillir uo1ormaciones relativamente pequeñas. Es más correcto, pues, hablar de estados Illlisticos y fr{¡giles del malerinl. Al trar.cionar prohetas de materiales frágiles, se observan ciertas peculinridades. En la (igura 2.11 cstá reprcscntn(]o el diagrama de tracci<Í1I de una probeta de hierro fundido. Se puede notar, que el diagrama de tracción COmiClll':1l muy temprAno a rlesviar,'lt) de hl ley de Hooke. 41
Lll ro~unl de la probeta oc:urre inespcradalllollw. &in que se forme 01 cuello. para deformaciones pequeña.!!. Esto es caracteristico para tod~ 10ll materiale$ frágiles. Oel diagrama se olJlionell las dos caraclerlstícas si¡uientes: el limite rie resistencia 11 la tra«ión o. y la ddormación unitaria residual en el momento de la rotu",. En los eilculos pricticos, 88 presdode. generalmente. de III flesviaci6n de l. ley de Hooke que ticml lugar en los mllteriales frákiles. Es decir. el diagrama curvilineo lIIll $1lstitu~·e por otro rectillnoo convendonal (VéUCl la linea pu.nteada de 11I lig. 2.11). El Ihnitc de re.llistcocia del hicrro fundido y de otros mllterialell rr6gilcs depende coosidcrablemellte de las dimonaiooes de la probeta. Este bllCho se IIpreeia mediante el coeficienln de o!lCda, (2.10) rlnmlo, n,oI "'10
e~ el limite d~ T'llMslt'ncia ole lino prnbl'lll dtl dlámotro d; es el limite de resistencia de unll probeta de dilamelru
d=IOmm. ~n
la tigur" 2.i2 Osi'" represcntado.!:! los gMHicos de ero en luoeion del dilÓl.Oetro ,le la prObelll, para los materiales siguientes: 1) acero de al\.6 cllrbono y Itero al n'lInga~~, 2) acero de liga. 3) hierro fundido lIlodificado, 4) hierro fundido gris. El Ilumento de las oIimensiolll:'s absohltlls de la proloE'ta, especialIIlcnte de hierro rUlldido. Innuye sobre la mllgnitlld do e.. de una mancrll conl'illerable /véaro curyllS 3 y 4 (fii. 2. t2)1. ¡.;", necesario sciílllllr que en los uhimO!! liios se han obteoido 6:dtos ell la creaci6n de mllteriales de alt. rosistencia. El "lIlor teórico del limite de resistencia. que se halla a partir de hl aec:i6n recíproca entre los fitomos del criSlal. es, aproxlmlldamente, igulIl a la décima parte de E. es decir, 'lile para el licero. es del orden de 200 000 kgllcm'. E1I\
"
C. AlIlIlGlltO •• 1 IIl1llte ~onun~lalllll de fl.. n~l. p.r ~UIIU r'l'.thl.. (.. dllre~""I'flt. por dGfarlna~lh efl 1rlo)
Si, al cargar la probeta, no fue rebasado el límite d'¡stico. al
do~argarla, todas las deformaciones desaparecerán completamente y, al cArgarla de nuevo, ln prolJetn se comportará igual que cuando
se cargó por primera vez. Pt!ro. si se rebasa el límite elástico y se llega. por ejemplo, a la tensión correspondiente al punto K del diagrama de la figura 2.8, entonce!' la descarga ocurTirá según la recta KL, paralela a OA. La componenle elástica de la deformación (segmento LM) del\Dparece, mientras que la componcnle plfística (segmento OL) ql,lodil. Si cMgamos de Dllevo el material. el diagrama coincidirá con la recla LK h81lla el propio punto K* El lllll.rgamiento residual o llermanente correspondiente al momento de rotura. qne es igllal al segmento LR, ser,í menor que t'cl q\Hl ~ observa CnflOrlO el materiQ} se cnSllya por primera Vf!Z, y se Hev.. hast,a la rotura. ¡'sí. pue.~, al cargar de nuevo 111 probeta, que fue eslir,1I111 illiciil\m~'nloJ l.mstn tensionM supcrioros al Umite de fiucncill, el límilc de proporcionalidad &.' eleva y SIl hace igullI a la tensión qUI< SIl lllclln:/:.1 dOlrnnte la solicitación 1.I1llerior. Si entre la dese.llrga }' la llueva wlicil,nc,¡Óll pasa c.icrto tiomllo, entonces el ¡¡mUe dc proporcionulidad aumentará aúu más. Es noocsario ob~rvar qUlJ el diagrama LKEN, que so hn de un [lumullto del limite de fhwnci .. , nI repetír de nue\'o la cnrga. Este fCllúmon(" que consiste on un aurneuto riel Iílllite do proporcionalidad y en una disminución de la plasl.icidad del motcrial por CllrgaS repetidas. se der,omina clldurechulento por ddorlllllelón en frfo. El endurecimionto por dclormaci6n en frío. ell ffluchos cusos, es uu fenómeno illdesenble. puesto que el malerial endureci,lo se hace más frágil. Sin embargo, en muchos otros casos, el cnduL"t!cililicn¡u ¡JOr doforllulciún en frlo es útil y se crea artificialmonte. como I">r' ejemplo, 0\\ el caso de piezlIs :5QfficlidlJS a cargAS aILernadas (V;;llSC el Cllopítlllo XH). • L,ji' lílll.'lS corre!Jponrlientes" 1u carga y II la rlescMlffl 11" coincid"" exucl~ difertlJlcia ..", fnsill"iric.."te, por lo que "0 r"",lo l'rescimlir
tao,elllí>. pero
de <:oIln.
O. Influ.. tl. d.1 ti'IIl~' IIbr. l. d.t........eI6n• ....ell.l.... fluntl. ,Ibtll" RIIIJ.clh
Los ensayos demuestran que las deformaciones origilladu por la eargll no aparecen instantáneamento, sino que necesitan cierto tiempo pllta desarrollarse. Si interrumpimos el proceso de cngl. al alcanzar \a tensión el v.. lor correspondiente al punto S (tig. 2.13) y mantenemos la probelll cargad:'! durante cierto tleOl})o, entonces la deformación Sflguirú creciclldo (gegmento ST), rlÍpidamente al
s
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oL,is-~-i--------fil. 2.11
principo y, lenlamellte, después. Dura.nte la descarg., la parte de la deform'ción correspondiente .1 8egmenlo GI desaparece tui inmediatamente, mientras que la otra parte, represent.da por el !legmenlo OG, nec1'5itll. cierto tiem¡'lO para desap.re«t·. Este feoómono, quc consistc er\ la vllriación de los delonnllCiono!! el1islicas en función del tiempo, sc denomina tlempo de electo o rcaetivldad. Cuanto má1l homogéneo es el materIal. menor os su reoctividarJ. En el caso de mll.teriales refrll.cterio!!, I temperatuus normalcs, la reacUvidad es tan insignificante que se puede prescindir de e\l8. lJo eon-ltllfio ocurre en los materiales de procedencia orginlca. En listos, el tiempo de efecto es tan grande, quc no !le puede pre/lCindir de él. EB muchos materiales, .solicitados por cargas a altas tempeUtllra5, 50 oLserva otro fenómeno que c:onsiste en un aument.o COn.!itante de las deformaciones l"tslduales que, cn ciertas condicione!, tC'rmina con le deslfllce{ón del material. Por ejemplo, el tubo de Rccro que sirve de conductor dlll \'apOr y que trllbl'ljo. a cierlas presiones y lemperaturas, est¡j ~metido 11 un continuo al1mcnto de su dltimetro . • En l. 11,. z,t3. el 1e¡¡naDlo sr en' T('pr~ntado, parl lllatrlf mljar al len6m...o, I uoa Mella mayar que al res-to del diagrama.
La variación, en función del tiempo, de las deformaciones do una. pieta. sometida a carga, RO denomina lIuenc:la pláetica. Eu los metales que tienen bajllo temperllotuNl de fusión (el cinc y tll plomo, por ajeruplo), y en el hormigón, la fluencia plbtica ljl,! observa incluso a temperaturas normales. En al aCllt'o una fluencla. ..preeiablll aparece a temperaturas superiores a 3CJOO C. La tensión, para la que lo. vcloddad con que se desarrollan las deformaciones plásticas, a una temperatura determinada y para una carga constante, adquiere ciorta magnitud determinada previamente dada, pOr ejemplo 0,0001 % pOr hOra, se denomina llmite de fiuencillo plbtica afp y cODstituye una catacteristica mecánica muy importante. A la fluencia plástica está estrechamente relacionado otro fen6mello, que consiste el! que las uerormacioues elásticas del sólido, con el tiempo, se convierten en plásticas y, como resultado, varian las tensiones, sin alterar la magnitud iotal de la defOrmación. Este ienómeno se denomino- relajación. Como resultado de este fenómeno las juntas pretensadas :se debilitan con el tiempo. si trabajan a altas lemperaturas. E.
f~lh"ncle
de le ttmp.,et"ra.
Como dem~str(ln los en~ayos, las propiedede¡¡ del nUlterial depenncn cons1derablemente de la tomperatura, En ta figura 2.14 estál1 representauos algunos diagrl'mal'l do (racción de aceros do pocv cllrbono (0,t5%C), correspondientes !l
fiQ:. 2.14
&usayos renli~ados 8 diversal'l temper8turas. En 1811 figuras 2.15 y 2.16 se dan los grtlficos de las constantes de elasticidad (E y ¡.¡.) 1 las caracterlstica.s mecánicas (O"p, 01 Yo,). ¡¡SL como 1Jl y /) en fUll_ clón de la temperatura. pera un mismo tipo de o.cero.
De eslos grii.fi«n se desprendo que la temperatura influ)''¡ eon,!,dernblcmente sob", las propiedades del acero. Hasta la temperatura de :ro' C. el límite de resistencia a aumenta (en 20-30'19). mientras que ulterior lIumenLo de ía lemperatura d~lIlinll)"e bru:JGPnlollto este límite.
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''''''O , '" ·fII. 2 15 Lo~ Ilmltes de fJuencia y tic propordonuHdad a, y op dillmilluycn pI crecer 1/\ lempuraturlI. A temlll.'rnlurll ,18400" C. el\lmit!' de r!l'\Jncia repl't'senta el 60-70% del correspondiente a Ullll lernJl'l!rllLura habitual. Al aumenUr la temperatura. disminuye 01 :irep do fluencia y. a utla temperatura de 400" C. desap3rece completamente. Lu propiedades plisticu del materiAl (deformación unihlri:ll residual en el momento de 111 rotura 6 y 111. disminulcióu del Aro... de la secei6n transversal V) disminu)"en cuando la temperatura crece basta los 30(1" e y ll.Umelltlln con el crecimiento postt"riur úe la lemperiLura (véase ng. 2.16). Las propiedades mecánicas de los ml\teriales dependon con sidorablemente del tiempo que duren los ensayos. A ciert8.!l temperaturas (por ejemplo, superiores a 800" e en el caso de aceros de bajo ClJ'DOno). la probeta que se ensa)'a puede ralJar, incluso cuando la tensión es inft"rior al límite de proporcionalidad. obtenido 11 Ulla temperatura habitual. si esta ten,món lIctua un prolongado (M!riooo de tiempo. Por eso. la resistencia de los metales sometidos a altas tem(M!raturt15 no se l"llrt.cle,izlI poI' el límite habi· tual de resistencia. que se obtiene en ensayos de poca duración, ¡;illO por el. Mi llamado. limite de r811latellcla prolongada (0".,). Este limite es igual a la tensión que. actuando a una tomperatura constante duranto ci~rt(l intervalo de l;emllo, cunduce s la destrllcción de la probt'tll .
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Las pleza.s destinadas 11 trabajar a altas temperaturas, se hlléen de aceros especiales termorres¡stell~es y de aceros resistentes a la oxidación a altas temperaturas, que contienen elementos de liga ospeciales. Se entiende por termorreslstenelll del acero la capacidad de conservar alta resistencia a g['anrles temperatllras y, eh particular, su alta resistencia a la fluencia plastica. Para aumentar la termorresistenc!a del acero, éste se liga con wolfram, molibdefl.Q 'Y vlI.lladio. Se entiende por resistencia Il la Qxll;laci6n a altas leÓlperaturaa, la capacidad del material de oponerse a la destrucción química de su superficie bajo la acción del aire o gas caliente (corrosi6n gaseosa). Para alimentar la resistencia a la oxidación a altas tempo['atnras, el acero se liga con cromo, silicio y aluminio. F. AlgulI"
partlcurarld"~1
da IGI IIIIII'GI
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Para los ensayos a compre~ión se escogen probetas cúbicas o cilínriricfls de poca altura h '" 3d, puesto quo en "el caso de p['obetas más nltas puede ocurrir la flexión. El empleo de probetas muy bajas tampoco es deseable, puesto que las fuert.as que origina In fl'icci6n, que se desarrollan en lo!! estromus de la probeta, obstaculizan su libre ensanche y, como consecuencia, la probeta adquiere lo. rorma de un bllrd/ (fig. 2.17, a. ú). p
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Lo>; resultados de 10.~ ellsuyo~ ,l COlllpl'eSlOn d('PClIl1l'lI wnsiblemente dd valor de las fuerzas de fricción. En e.~le sentido, los pro-bela.';! cilindricas ~"II más corwe,'¡olltes quo las cúbiclls. J~a influencia de las fllorzas de fr¡cdón se puerlc eliminar PMcialmellte, engrasando (COI' parafina, IJor ejemplu) los Ilxtrcmus de la prolJcta.
• En la figura 2. t 7, b se puede apreciar el carácter del faUo de una probeta de piedra cúbica cuando DO se engrua. yen la figura 2.17, c. cuando :se engrasa. UHimamente ae comieouo a empleu probetas huecas de extremos de superficie c6nica (lig. 2.17, d). Escogiendo del,¡idamenle <>1 áa¡ulo del cono. se puede dllbihtllr, en grao medida, la innuencia de 11IIs fuerzas de (ricci61l. Esta irnporlante cuestión, que trata de la influencia de las fuenas de fricci6n sobre la resislencia de lo. probeta, requiere lluevos inveg~igaciones, tanto teóricas. cama experimentales.
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1::1 diagrama de compresión de un material frágil es nnUogo 1lI de l"acción (véll.!tC la Hg. 2.1t). L~ rotura ocurre cuando las dúforma· dOlles son insignificantes. El diagrama perrolee determinar el límite de resist.encia aro y la deformación unitaria residual correspondionte II In rotura 6. En el caao de matorlales (ragiles, el límite de resistencia a comprtosian a,e es muy superior al de resistencia a tracclóo a,f. En la figura 2.18, Cl, esui representado el diagrama tipico de comprea.i.ón de materialea plhticos (acero de bajo carbono). Al principio el diagrama es an/ilogo al de tracción. Despues la curv. sube brusc.amente, cemo consecuencia del aumento del área de la ~i6n traosversal y- del 8IIdurecimiento del material. Lo. prObeta no se deslruye, si_no que simplemente. aplana (2.18, b), y en eslas condiciones se interrumpe el ensayo. De los ensayos !SO obtiene el limite de fluancia a compresión que, en este caso, cuando se trala de maur riales plásticos, coincide prácticamente con el de lracción. Pero en 11) compresión el escf\lón de flueucía es consldernblemente menor (Iun en la tracción. e. 'roplld.... tuablc.. 111 1. . f111'" (,lbtlcOl)
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En los último! alios en las construcciones se emplean cada ve~ con mayer amplitud nuevos materiales basado! en 105 polimeros IIlturalea y ~ntéticos que se lIaloan masa! plbticu o pli.stico5.
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Lo~ plásticos 50n resina:" pur;!s o el conjul1to de rcsinllll y loda una IIerie oc componente!!, lales como el rullclIo, el plaslificantll, ..,1 estabilizador, el color! lalJla~ 2.;:\ y 2,4 c_orrespolltlcll a cnrl!as oll.' poca d,u·llcióll.
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L,,~ 1Jl'l'picdf(,lc~ de los plátilicCJ~ como maltJriales de ClJn>ltrudC"m son ];IS siguientc!!: 1. Lo!! diagrama!! de las deíormaciones de los pláSLicos son lineales (.,,¡1 rolura tle b mnyoria de los pliistir.o!' de construcción no es snperior tI 2-3 %. En la figura. 2.1!.l est;ill rcpreSf'Jltados los diagramas de tracción di' "l.'l"IlOS plii!;ticM.
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2. Las carllclerí~ticlUS meciiniclIs Ii tracción y compresión de los plásticos generalmente son distintas. 3. Los phjsticos resisten considerablemente ]lOOr que los metales ha torgas alternadas y dol largA duración. 4. Los valores de las cnracterlsticas elásticas y las de resistencia tic los plásticos se d istinguon por su dispersión mayor- on compaJ:'8ción con los de los malatas. Esto so oxplica por el envejecimiento de los materiales, por la higroseopicidlld. po~ la influencia de la tempera" tura, por la anisotropia 00 las propiedades, por la heterogeneidad
de la estructura y por In infulencill de In tecnología de fabricación. 5. El efecto de .escllla.t en los plásticos es mucho mh ncentu.ado que en los metales. El límite do resistencia do las pie,zas de plástico disminuye considerablemente al aumentltr las dimensiones de la sección trau!\versal. Ell la figura 2.20 est,án dAdos los valores del coeficiente de cescalat para el caso .-le tracción de plásticos do fibra rle vidrio, en función del área de \p, sección transversal de la probetA.. 6. Las propiedades de los pl:ísticos dependen cOllsider¡¡blemellte de lu temperaLu~ll. En la figUrll 2.21 están representados lo!! gráfico"" del limite de resistencia en función de la temperatura. L(}..~ principAles grupos de plásticos pueden trahll.)nr a temperaLuras de -200~ Ca +200" C. Con la aparieión de las SiliCOllAS y los plásticos fluoroellrbúricos el limite .superior de la temperAtura se eleva a +500" C. 7. Los plásticos son muy propensos a la llneno,;i
En el § 2 se introdujo la !lUposiei6n'de que el material, dent_rQ de los Hm[tes de una pieza dnda, es homogéneo (l isótropo. Sin embargo. h1s propiedades meclinica.~ y plásticas del mnlerial de piel:Rs diferentes, obtenid8~ de nn mismo material, pueden diferenciarse considerablemente entre si (dispersión).
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En efecto. si fabricamos de un mismo acero -varill5 probetas iguates, las ensayamos a tracción y obtenemos el limite de fluellcia, observllrem05 que. como regla, los re.~ult.oilos 110 coinciden. Por ejemplo, en la fignra 2.22 esta represcntllrin la curva"de distrih\lció" nel limite do fhleneia del acerO !le blljo clmtenido de carbono CT-a. que fue construida con los resultad'os de los ensayos de 600ú probctas. La línea pllnteada representa el diagrama expedmentlll de distribnción de frecuencias y la lInea oontinua d diagrama teórico (curva gaua.'liana). a la ql1l! tiende la curva experimental. al aumentar el númcTo de cllsayos.
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AJ. t.22
De esta curva se desprcnde que el valor má~ frccllel>tc IIc\lin'lte de fluencia de esle acero es Clf = 3 000 kg¡¡('.III~ (el 15% de t.oilo:! los casos). tJ:1 valor minimo dt'1 ¡¡mitl! ."El acerca a los 2 200 kJ{f/cm 1 y el m,iximo, 11 3800 kgf/c.m 1 • El carácter de la curv:' indica que no cstn tle~r.llrt~da la po~ibilidlld de q'U! se ulJtengfllJ (l"'ra un IlÍlIlICl"O mayor de ells.... yo~). por \Ina parte. valol"!!s mayul"u!J Y. por otra. valores menores que el IímiuJ ele fluencia. Curvas análogng han sido COllsLrllidus para {)[ros mll1.ed .... le". Para materiales menos llOmogél\eOS, por ejemplo, el bormigón. [a Jnl\tlerll. ctc.• estll~ curvas son m¡ís suaves. puesto que. en estos cagos. 1(} dispersión ele los valores de la mllgnitud corrstiín representados 10f! diagramas de las fre. cnencias del límite de resistencia de los aceros eT-1, ür-2, CT-3. (;!-/, y Or-5. De estos diagramas so desprpnde que los aceros CT-4 y C-r-5 son menos homogétleos que los dellilÍ.~. Las curvas de dist·ribución constituyen uno sólitln carM;terística del grado de botnogeneilJAd del mattlrilll y permiten calcular la.'l pie7.as de una mMera mús i1iferoneiada. cs !ledr, llooplar. en i¡::uales
condi~iOllt!~, lell~lon~1 má~ homogéneos.
Illmi!iblE!lI Ineyoret\ eo el caso de msleria.ies
Las ClIrVlIS dll distribuciim sirven de base para el nM"o método estlldistico du cMlclllo de las corl$truccioDell (vease el § 114).
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t.n
§ 12. COIliclsnt. de
Eleccl6n de ,.. t.nalo
urldad. adml.lbles
Hemos vi~1.o que tanto I.s cargas reales que ¡u.túan :¡.(lurt· la piel.a, eorno 1IIs propiedlldel ¡le 1011 ma.teriales de e;¡ta. plleden diferencinrse con~idef;lblemcntQ, ell un :\elltido dOlfllvorable. de lAs quo !
101- .!2.
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(2. '17)
donde 11, el! el coeficiente de s.egnrldaU, u reserva rle resblencia, 01 ltR l. tensi6J1 Ihuile del material. Se entiende Ilor lon~i6n Iímtte. el limite de rc¡¡istencia, en el CilIO de matcrial(l!: fr¡ígilcs, y el limite de financia, en el caso de materiales pllislicOll, puesto que cmwdo laa tensiones son i¡;nnles al tlmite -de flnencia, !le desarrollan deformacione.s plástical cOJlsiderablell que son Inndmisibles. Alí, P~I. Tl coejfdenu de St!guriJad se introduce para cOnMgu.¡r un fllnewnamienUJ 1Ó1Ido y «gu.ro de /(l ewuctura 11 de IIU partn, 4 pTSlJr de ku posiblrl dell.'focim/.es dufovorablu ¡h lal cQfUlldolUl reaul de ,trllbojo, na compara.cl6n con lD.1 qcu se <:o'Uidualt rn el cálculo.
La magnitud norroativa del coefichmt.4l' do seguridad "., el dl'lcir, ('1 valor que establecen las normu de diseco de construcciones, se eli~e teniendo en cuenta la experiencia adquirida en el manlenimiellto de las fl:ltructura.' y máquinllS. Ultimamente, el coeficiente unitario de ~guridad 11 .se dellCOm· PO'IO en una serie de «)eficientes de seguridad parci.lcs. Cada uno de estos coeficientes considera III ¡nUuenda de un determinado factor o grupo de factores sobre la reaistencia del elemento de la construC(;.IÓn. Por ejemplo, uno de los coeficleotel reneja .Ias desvia· ciones posibles de IR! caracterísUeu mecánicu, en compara.cl6n COIl las que !Il! admiteo en el cálculo; otro, el desacuerdo entre la magnitud de los cargtls reales y la qUfl " toma para el c.iilculo, ete. ESLa. divisl6n del coeficiente genera.l de ~rid.d permite considerar mejor la. diversidad de wndiciones concretas de traba·Jo de 1115 pie¡a.s de bs máquinas y construcciones)' dlsenatlas COD mayor solidu )' de W)a manera m/is eeonómiu. ~I coeOciente de .!!cguridad .se repre~nll en forma de p~ucto. n-n,n~l·
...
(2. t8)
No hay lodavla unanimidad el} lo que 1I6 reliere al númere de coeficientes parciflles y SIUl D\flgnltudes. Los valores de los coefieientes de llC¡urlilad se esubleeen. generalmonte, bos/indese en la experiencia lIcumulada en el di:!ollilo y m:mteoimicnto do máquinas de un tipo doterminado. Actualmeute, cn la construcción de ml1quinas, se emplean uno, tres, cinco y nasta dic:t coefkieotcs de segUridlld parciales. I~n el .Manuol del conStructOr de mAquinas. ao recomier,da em· picar tres coeficientes parcieles do Ilegul'lnnd, ell decir, (2.t':l)
dondc n, es el coeücientc que considera el error posible al determinar lns cargas y las tensiones. Cuando las tellsione!l se ulculall con gran precisión, este coefieiente se puede señalar ¡(ual a 1,2 -:- 1.,5. En el uso de menor c38ctitud, tic 2 11 tros. ea el coeficiente que tiene en cueolll la Iletero~neidad del material, su sensibilidad • 10Il posibles defcel.a!l en la meeunilaci6n de la pien. El valer .Ie 11., euande los cálculo! .se hacen parLiendo del limite de fluencill y lu cllrgas son estálicas, está dadu en la tabla 2.5, eD función de la. rrlaciún entre el límite de Ouencill yel de resisteneia. Elltos valeres no reflejaD la influencilll de las dimensiones absoluLos de la piela.
n.
lIBU U (J,~+0,7
-,
1,2+1,5
0,7-:-0.9
1,4+1,8
Si 10B cálculos se refieren nI limite dc rosi.t('l'eio, cuando!!lt Irata de mat.erialeli frágilclS y de OlaterillJe.. poc;o ¡l/bUco", n~ se conllidertl igultl a: 1') 11, = 2...,.. 3, JllI.ra materiales poc... IJlhticoli (llU'rQs de 1I1l" ro~i.~hlncin ligeramcl1l~ revenIdo>! ti bajas lemperalufll.'l); h) n,'" 3...,.. lo, pllrlt mAteriales lragilc.'l: c) 11 . . . . 4 ...,.. 6, ]lnr~ Illlllerialoli muy fr"gilc!!. ¡:;tl lo~ I'okulo!! por r~[jgll (véase <'..ap. XII), el rocficielllC' /1 1 se cml.!!idcra ¡glllll ti 1,5 -+- 2,U. Este coeficiente SI;) 1Illmcnta. cn el C""" de ntuh:rinlt"S de JI'ICI' 1l0mot:'Cllt'illad (!Iobre ludo eu 01 eolIO de flludid Oll) Y ,:n d de piezas dtl ~tll" lllmaño, hasta ltM y más. n J el! 01 co"neicIIlc rhl las coudir..iol\c!I de tral'8jo que tiolltl el! cuenta d grudo de responsabilidad de 111. picu. Su vnlnr 80 "dmilc CII¡re 1 y 1,&. HIU U .lhtC'1.leo
It¡~tro
Tta«i6a 1", J
fUI"ljd" IIti... en liof(OlU C'J t2-28
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Ar..¡r(l CT_fl. y C'·2 ACQru CT-3
ACllro e,,3. JlIIU pUUIllell )\curO de construcción al c.rbono. Pllra Ifl coM~tuccióll de mllqu(n.~ Acero ele.,k de COO!lrllcd6n d. m'quln.~ OuralulDinlc.
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J::n el ctilculo de las construccion",g se eropl",an t.res coeficiente~: el coeficiente de sobrecarga, el c.oeficiente de homugeneidad y 01 cotlficl",n~ de IR!! I,;ondlclonell de trabajo·. Estos coeficientes se dan en las normas Téenicll.s y de DiS(lJio (lo las Estructuras. En la tabla 2.6 figuran 1n1l magnitudes nproximadns de laa llHlsiones admisibles de alg\l[JOs rnl\teriales, para el caso de cargas estáticas. § 13. Principales tipos de prOlllemas sobre
el c.6lculo de la reslshncla de barril
tracclonadas (comprimida.) Una vel, obtenidl\, por la fórmula (2.2), la lllusión en 1ft sección peligrosa de \IDa barra traccionllda (comprirnidll) y estllblec,ida la len~iÓII admisible, según lo expueslo~anteriormente. ea IIosiblo evaluar la resislellcia de la harra. P;lro ",110. J!<:l c.urnpllrall hUI t()n~iones reales en la sección p",li¡.:rosa 1,;011 I¡}s t.eH~iooes a
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(2.20)
0"=7'[0].
En c~h. fórmula l;8 tielle en cut'ntll. la tensión admisi}¡lo a tracción I
LH desigualdad (2.20) ~e denomina condiciólI rl", re.~i."tlllll,i(\ lrllcción (comprlJsión). Con e~lil fórmula ~ puellell re~ol\"er lo~ prolJlemns !lignitmtt's: 1. Comprobar la resistencia de una barra. es decir, dada la car~1I y las dimensiones de la sección lronsver~al de una harrll, clIlculnr ¡Illj l"'08io1lOS reallls y compllrar\1I1l con las admisihles, Los tellsio"es fllllles no deben di(erencillr:¡e de las admisihles m[j.~ ,le ±5%. Desde el punt.o de vista de la rnsisteJJcia, es inadmisible l,na sohrctensibn superior 11 ésta. Si la tensión t's inlerior a la ntlmisihlo Eln "na nwg"itud suptlriorllla indicada, quiere decir que se tielle "n gasl.o exce~i\"o de mal,erial. 2. Calcular (coIlod",ndo lus valores de Jo c>lrgjl y de la tonsiún admisible) 11l.'! llimenslones de la sección transversal de la lnIrra 'I"e so requieren ~egÍJo la condición de ~u re"istcncia, l'
N
F>lOT.
(2.21)
3. Calcular la Ulagnitud de la fuerza 8xlll/ admIsIble, conociendo las dimensiones de !l. sección tr"n~Yl.Jrsal de la barra y J;l t~,,~iún Sogún NurmK3 do CUII.lrllc<:;';n y Oise;;o de 1..., Estructura. (SN ,conPl'•lclonns no ea obllgatorlo cOIl5(derar como rnd(\lxmdlcntn el d. 1M do trabaj<>. l.~
coeficiell~e
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(2.22)
lleSjJutÍs de obltmer la fuer~a axial admi!\it.le y estnLlceer la relación que existll entre la fuerza axial y la carga (por el método de lus secciono~ o por otro mtltodo), el! posible hallar también la car~a admisible. ::;e llehe tener en cuenta., que on el caSll de harras comprimidas, aparte de la resistencia en la sección más debilitada, se calcula tamhién 1/1 establlid/ld de la barra; puesto que, cuando la fuorzo. da COmIJre.~i6n recibe cierto valor, puede ocurrir el pJl.ndeo (C1exión longitudinal) tia la barra comp6mida (véase el ca". X). p
Ejemplo 2.3. Calcular la carga admisible para una liÍmina traceionada de acero debililaua pur Orificios de diámetro d-20 mm (fig. 2.24.). La tCIlsió" admisil.>lu es {o,l = 1 (lOO kgffcm~. El expCSOf de la lámiJla "" = 10 mm y su anchura b = 200 mm. Ruo{udólI. CalcuJamos la carga admisible de la condición de resistencia de 111 sección debilitada por los orificio.!', puesto que lo máa probable e8 quo la rotura ocurrirá precisamente en este lugar. El área completa de la sección de la lámina (Fbrul ,,),
F br"I,,-2Q.1=20 cm l • El debllitamicuto por 90S agujeros es, tlF = 2 ·1· 2 = 4 cm!. El <Írea efl:Ctivll de la ¡;af,ción (F"'I")'
FM/Q=Fbrul.-6.F=20-4=16
cm~.
La carga admisible es igual 11: [PI_ F.",,, [o"¡( _16·1 600 = 25 600 kgf.
Ejemplo 2,4, Calcular la sección de los elementos del sisLema representado on la figura 2.2;; y hallar el desplazamiento del nudo
"
B. El material empleado es acero Cr-3. par. el cual [0'1,.,. - t 600 qfJcm~. Raol¡.u,:Mn. Por el método de las seuionet caleulamos los emuer:r.(.lS
en
l..u
balTa.!!.
:EX =-0; -N,sen3O"+N.sen4S·_0.
de donde se obtiene, NI """N1 V2; l:Y_O, N,c053O"+Nt ws4S"-5_0.
e
,
Rt'Solvieodo
~las
dos eeuciones con dos iucógnitas, hllllamoe,
N,_3,1l9 t ). N z -2,62 l. Los dos esfuenos resultll.ron ser de tracción. Calculamos las scccioTlIlll de los elementos:
N, 3680 231 cm, • F '_[Oj_T6iJj=' N
21)00
z 1600 ,.,,1,64 Clll" F.-lifHallamos ahora el desplanmiento del nudo lJ, paN lo cual, dell'rlOiuomos los alllrgllmienlo!l de la.! barras: L\ I
N,I, _ ]fillO·H6
'--gp; -
2'IQI.2.3
28ClO.UI
AI.-l!.Hií.I,62 =
0092 ' cm. O ti? •
- om.
Por el método ¡riliCO, el despla:r.amiento del nudo B se obtieno de 111. mIU~rll. siguiente.
"
Por lO!! puntos A y e traJ.amos dos IlfeOS de rJldios iguales 11. las IODll'itudes de las barru AO y Be respectivamente (teolendo en cuen!" los alallt'amientos). Eslo,¡ llrcOS .'te eortan en el punto B', que coincide eou la m,evlI ptIsición d~ la articulación B. Puesto que las c!erormaciones SOll peqneñas. JO! areos indicados puede!1 ~r sU::Ilit"idos por l;os rectas B,B' y BIB', perpendiculAres 11 Be y AB. Pllr¡l que la SQluciúll sea 'mi.s eXllcta, el dlagraUln de los despl8zamlentu! se conslrllYll
llCll Y
= Sliñ1llP oa
(11)
.cn~-'
y)
¡¡;'ll('f
•
, __ ,
~I¡
'Jolldo 1j1_18O"_a_~_105G. Igulllllndu los primerOll miembros do las ecuaciones (1) y (11), Y hmi('ntlo en cuentn la relación trigonométrica son (lil-1') _sen '4!C
aen
t
tl:1'- ~/t:~l,eo.~ InI rooucienoo aquí loa val"res numérico.s correllpondient... haIlarl.'mos: t o.o!r¿ ....n lOSO {\ .()'J¿. O, 9GG 008 g1'= u.t1Í+o,OOÚl"«to50 O.tlll O.ú92.0,~::''J - J, , 1'-'5·tG'; sen'l_O,71. De las igualdades (1) y (11) obtenemos lI=~-_ ~n 'f
~lz
k/lo (tóS~
0.092
y)
0.112
O !')9
"'" "'"ü,1I" "'" 0.864 -= • -
cm.
§ 1" Probllmu ....tlum.nh Ind.termiudu
(hlp.restlUlcu) .n 18 tr.ccl6n y compre'i6n En muchos aistemas corn'pucstos por buras aislnc.lll8, los esfuertos no ,'le pueden nbtcner, sirviéndose solamente de 1118 ecuaciones del equilibrio. Estos sistemas se denominan sistemll8 estáticamente lndetermlnadoe o si.;¡iemlS hiperestáticos. En calidad de ejemplo. examinemos el SiStema representado en la figura 2.26. Aplicando el método de las Mlcciont'.S. vemos qUII, 00
en este caso, apnrecen lres incógnitas: NI' N. Y N;. ffiLenLra!; que
podemos plnntetlr solamente dos ecuaciones,]o la estática, que son:
la suma de las proyecciones de las fuerzas que actúall sobre la p'al:~e separada llObrc el eje verlh:al, es igual a cer:o, Y In suma de lo.~ momen"
tos de estas fuerzas, respeeto a lJll punto arbitrario es también..nula. I)e esta.s dos ecuaciones no se plled.en obtener tclls incógnitas. Es necesario pues, plantear una ecuflción':O'llis, que deberlt de ellpr:esar )a condición de compatibilidad (continuidad) de las .deformaciones de los elementos. Para pln/dear la condición. de compatibilidad de
, a
,
l.
\1'_
::_-~---
,"
~
U L'!\.~-<·
-' f p
'--- p
fil¡.2. 16
[u>; dc/ormaciunes, 1:6 1It'C~sarlo figurarse el .•¿8l<'ma ell el estado defurmado y estableccr. directamcnte del dlbujo'-(geométrl<:lUnttnt.:). la relación QU/1 extste entre las deformaciones de las diferentes barra.~ (PlJrl~s) del siswma. Así, en el caso dado, desp'lés de IIpliear la "argll. la ,"igll AC, qllC !'ll "om~idcnl absolutamente rigido, ocupar,; In posivj,',n A'C', repfescnl.uda con lineas plUlteadas. Del dibnjo ~c Ilednee que BR' = 1'l12 = M,t~l, (línl'll mcdia del trllpccio). Expresnndo ¡1 l.ravós de los ('sfuerl
ue
P
el sistero/!. después de ocurrir les deformaciones. Pllesto quo el sistema es s;,né~rico, 111 viRa AC se desJlluara hllciu "bajo, pormanc<:iCt\do paralela
l\
su pllsiciorl ¡nicilll. Así,
1111O~,
los
"
atargamíeutoll de todflS las barras son iguales, es decir:
6.1, = di, = .1l,. Esta e,s la esullción de IlIs deronnacioll~. De la ley de Hooke M_ liamos:
de donde obte'leJ]lllS,
N2=~'
.
Introduciendo loo valores de N z }' N, en la primera ecuación tendremOS: N,=N,=O,liP; N,=O,2P. De la primera igualdad sO;) obtione P'=2,5N¡ .... 2,5N a• De la segunda. P=5N,.
F ,
e
3
,
8
e
p
Fil. U7
Introduciendo 011 estas expresiollllS los valores de las fuerzaS' admisibles hallaremos los valores admisibles de P,
fN,I= [N,I -IN,I =F [ajo Así, obtenemos P'=2.5[aIF; P=5[alF.
Está claro que de. los dos valores de P obtenidos, se considerA admisible el menor, es dedr, [pr=2.5[aIF. Asl, pues, en este ejemplo, la carga admisible está limitada por la resistencia de las harraseJttremas. En muchos caSOs, para el cálculo dI! sistemaS hiperestHicos resulta más cómodo aplicar otro método, cuya esencia puede ser ilustrada en un ejemplo concreto. 62
Supungll.mos que es nccesorio det.erminllT los esfuenos interiores que 5urgen en la barra, solicitada pOf·carga, de la figura 2.28. La carga P Be transmite parcialmente 01 empotramiento superiQr y parcialm~mte, al ·inferior. Las dos reacciones que surgen en los empotramientos no pueden ser calculadas de la única ecuación de j!quilibrio, que es la siguiente: la SUma de la!! proyecdones de todas la!! fUerzas sobre el eje vertical es igllal a cero. Para obtener la .ecuación de las deformaciones, obramos. de la rnllnern siguiente. Separamos un empotramiento, el inferior "por ejemplo, y lo Sustituimos por la reacción incógnita que actúa sobre la barra R B' En 01 sistema así obtenido (est.e Sistema se denomina, generalmenLe, elstema ba!lC), iguRlamos a cero el despho~amiento dé In sección inferior, puesLo que, en el sistema dado, esta sección está
,
\'" « 11'1 N¡
p
1
A
p fiI¡. 2.29
Fig. 2.28
empotrada y no se desplaza. Uajo la acción de III i1.l!'I·zn R ¡" In sección B se desplaza hada arriba, como consecuencia del acorlamient.o de toda la barra, y bajo la acción de la fuerza P, hac;a oblljo. debido al alargamiento del tramo superior de la bnrrll., de longitud l, ya que. cuando el empotramiento inferior eslli ~eparado. 1<1 fuer2ll. P se lrllflsmite solamente ni empotramiento superior, a través de esta parlo de la barra. Pura calcular 109 alargamieoto.~ recurrimos a 111 ley ole Hookc. Puesto que el área de 10 sección de la barra es dilerente \ln los distintos tramos, calculamos la deformación por partes: _
8al, _
-u¡-
Ralz _
7¡;;:
Ral, EPI
+~=O
EPI
•
De esta ecuación obtenemos R tI. El cálculo de las fuerzas axiales en las diversas secciones se realiu.. abora, sin dilicullnd, por el método ur 11'19 seccioues, como l'O ¡h,stró el' párrafos anteriores.
Ejemplo 2,(j. Calcular IOl:! t.'sluo.!nos en Ill.s barras del sislema ropresentado en lit nguro. 2.29. El módulo de eJnstiddad y la8 ilreas de Il\s secciones son iguales en todu 1118 barrllS. Rt$(Jluci6l1, CortamOfl mentAlmente el nudo A. Pll.ra cll.lcuh,r 10fI lres esfuerlOfl tle!lConocidOll que, en este ClltO. forman UD lIislema de rUCna8 qllC concurren en VII pUlIln, 11\ e8Uític..'1 facilita solamente dos eCUllciones de eqllilibrio, Por lo UnID, 01 erado de hipere¡;.b.licidad del si,¡tema es igualo IllOO. f',.rIl calcular los e.5fUenOll, Vell.llHIS el equilibrio del nudo A. Iguaitllllio • c.H·O l. suma de In~ pl'\)yeceio~s de las fuerza.., que aclu ... $Obrtl el eje Itori~ontal. obtenemos, t.!X_O; -N,soua-T-N~sena_O. es decir. N,_N~.
E:>te mismo re'itlltado 5C ubtiene. llllllhiún. de la condición siRlelri. dlll sistlllDa. Igualandu 11 cero la SUII'III, de las pl'O}"~
2. I:Y_O; N,o;osa_P+N~_N3COfla.=0.
Telli.'udo ('11 C'IE"lllll quo II'I=N3• so (>lJti"!lI plllllh:mf l~ t..'CIIl!II por A yes I'crpelldiclllllr (1 HE, I)... l Lri1iHgolo ABe se deduce Ipll'.
tJ.J3 "" óh e08 a. l::"'l'ft'lll\lIdo hl.8 deformaciones por 10li esfuerzO$, segl.ín b. ley de H(J(Ike, se obtiene,
lt~hj
•
~=l._~,
por lo Illtto, Introduciendo esla exprl."lión Iibrio (tY -O), obtendremoS,
.,
p
N t "", 2C06~ ..+t
01'
la selnDda 1lC1l11ción do equi-
Asi. pues, el esfueno máximo llurge en la barra cen~ra1. La rl.'sistencia de esta barra limita la carga admisible sobre el sistema. Ejemplo 2.7. Calcular h, reacción en el empotramiento inferior de la barra de la figura 2:30, a. RC$Oluci6n. Entre el extremo inferior de la barra y el empotrRmiento inferior hay, antes de aplicar la carga, una pequeiia, ranura de magnitud 6.. Como resultado de la acción de la fuerza, la ranura se cierra y surge la reacción R ..... Para calcularla, separamos de la barra el empotramicnl.o inferior y sUI>t.ituimos ~ll acción sobre 1ft barril. por la flleru,
,p
I
"
~
A
K<.oL.g)
b}
-~ _~
"'A
fil· t,aO
ne lag d",formlleionlls, El repr01;Cnt>l, el nlargamiellto quo recibirla In harra. do la fuerza P, si no existiese el empolramiento. El representa el Mortamiento de la barra dehido n la
11 .... (rig. ;!.3lJ, ú). Planteamos la ecuación
OlI:lgmento AD bajo ItI acción segmento KD reaecíim R ..... Del dibujo
se deduce. qne
AD=-KD+i.\, pero:IiD ...
,"p",;
KD_ 11.... 1~ -j- 11,,1, F.J'~
EF,'
Por tanlo. PI, _
~;Fl
11",1:
_.!1i!J..=
EFz
EF¡
A
u.
De la ecuación obtenida M h.alla R ..... Si la reacciún n.. . rC!jul~a positiva, enl_unclls 1:1 (!irecciún fijada de R,¡ es COI'rcctll, CfI dedr, actúa de nh,ljo arribll. Si resulta negativll. entonces In fuor:l>ll Pes insuficieute para c{'-rrolr la rlll1ura y se necesita llplkar al extremo inferior da la barru otra rUCnA, R", urielltrHlo. da ardua nbajo. Por lo tanto, si la reacción HA es ncgaliva, el problema consiste eH calcular 108 esfuerzos en las secciones transversal!!s do la barra ori¡;:inados por ItI hlerzn P ~lnmcnte (problema eslúticnmcnl,c deter-
""nao...
o
i~:ll.:ítil:<)}.
"
§ 15. Tonsionos originadas por los cambios
de temperatura y durante el montaje. Regulación artificial de los osfuerzos en les construcciones V~amos
dos barrlls, d~ las cuales la primer:! (fig. 2.:~t, a) fornla sistema isosláLico y la segunda (Hg. 2.31, bj, un sistema hiperestlitico. Lu bnrrll nmpotrada ell UJI extremo, al ser ClI1(lIltada At gradus lIumcnln sns dimo:lnsiolles longitudinales y transversales (fil{. 2.:11.a). El alnrgllnlieJlto tJ.1¡:
donde cr. e!l d coeficiente de dilatación lineal. PUl" ejemplo. CiS cr. = 125 ·10-'.
~II
el Cll80 del flcero,
)-------
Puesto que rmda obstaculiza el libu, ulnr¡rarnie"to. 1'" ap"l"cl'er,ín en hl !Jon'a esJuonos illlt;dúros. Al calentar tit grados la hllrNI empotrada en Sll~ dos extremos (rig, 2.31, b), surge '111 oS{llerzo interior dll compresión,pupsto qllo el" segundo ernpotrllrniento impide Sil alargam¡('uto, De aquí se deduce la regla. general siguiente: en los sistemaS estátIcamente determinados, al variar la temperatu.ra, aparecen Je{orma.c/OW!8 sin que surjan e"sfuerz08 in/eriores; en lQs slstemm; estáticamente 11IdetermlMdos el cambio de la temperatura l/a acompañado Je esfuerZ08 i.nteriores, Para calcular estos e'lluerzos se empica el método común de cálculo de sistemas hiperestólicos. Separamos mentaLmente uno de los empo'tramient(ls, por ejemplo, el' dcrecho. Entonces la harra recihe la poSibilidad de alargarse en 111, = aMI, A 'IU vez, la fuerza rCllctiVll X comprime la barra en til", = ::'
"
Puesto que el desplanmienlu real de la sución extrema derecha ele la barra es nulo, obtendremos,
xr
~tl=u
)' definlUnmente, X _ EFa.!U (, o, = ; "'" Eui1t.
(2.23)
Lu lensíones originadas por la temperatura o, pueden uner una magnitud couiderable. Para disminuirlas, en 18s construcciones se pl'(>ven juegos GUDtas) de temperatura. Aparte de las tenlliones originadas por l. temperatura, en \<0" sistema, hiperestátieos pueden aparecer LcllAÍllrIeS al montar la wMtrucción, I:omo consel:uencia de qne lu dimensiones de algunu de tu Latras de 111. construr.ción pueden difercneiaMle de las pre"¡:lln~ en el cúlo.;lllo, pu, errorl!:I de rllhricM'iún. Vl'OmO!l, por ejemplo, el sistema repre-
::I~~~r:: ~t~i~ll!:b;j::da~u:n~anm:iS~~ A' t~- e: mlllerill.1 y que la1l' M'tciou~ tienen úrea~ e' ¡ j!A!iz"t;¡¡iJli~-~-~-~-~cfu igulIlcs. Las distancias entre llls barras ~ r-
tnrlllJiclI son il:!UaleJl, cs dceir, AB - Bt:. Supongamo.'l que la lon~itutl de la barn cenlral e5 una OIegnilud 6 menor que 1. qllt .w deduce del esquema "eom.élrico de la conslruuiÓn. Al monlllr este aistemll . .!'era nCCCSllrio estirar, do UOA u olra manera, la b"f1I r.entral panl poder fijarla ;1 la viga ABe (pllra sold~rla, por ejemplo). Como con~Ullncia, dllSPUÓM dI!! monlaje. en el sillLem8 aplll't't.t!ran cit!rt08 ClIfuerr.os. Una "01. II10nllldo l!l si!terna, In viga AHC oeupllrá In posicilÍn A'S'C'. Parll determinar los e,fU6J7.0S en IlIs hnrrns. emplc/lDJos el mhof1o. quo ya cOllucemoe, dl! cúleulo de sistcm/ls hipl!rcstlÍl.ico.~. Por el Im'\odo de las secciones, ollUmcml)s de 11111 ('CUllclOJl('S Ile eqilil,rio, 1. !.i\/,,=U. de donde, N,~ N~. 2. ~Y=O, de donde, N:_2N 1•
De 18 condicióo de compal illilidnd o1>lellE'!fll18, Al!' -= IJ'" = = O /J _15Jr. Pero comO
AA' "",di" DIJ=O.
VIJ' = 1.\1:. .'lo
f,1
entoncm; Es docir.
Inlrfloduciendo flquí N 1 =2N" obtenemos, 2 óEF
,lJEF
i\,=~ Y N 2 ='5-'-.
El ~igJlo positIvo de N, y N. indica que las direcciones que se dieron a estas fuerzas resllLUl'on!ler correctas. es decir, que las barras lateraLe~ están comprlmidas y la central, trllCc[onada. Si 01 ~istema se (o aplica ahora, por ejemplo, una fuerza P en cl IJunto B. entonces los esfuerzos nn tud,.,s las barras serán de tracción (Vé[l,5C el ejemplo 2,5 y Iig. 2.27), es d",dr, 2 1 N P'N z""s P . ,=N ~=fi'
Sumundo estos CSrUcr!os a 10Il originados duranto 01 mOnl¡lje, obtemlrcll\()s,
Variando la nu,gnilud de la ranura 6. resulta posil.ole regular artificialmente los esfuerzos y lU3 tensiones en los sistemas estáticamente lndetermillados. Se pnede e~oger la magnitud 6 de lal manera que. por ejemplo. las tensioncs en lodas barras del si.~temll .~clln iguales.
7'
De la igualdad (JI = = 0". = ~z se ohtlene 6 = t~p' Las tensiones cn lodas lus l.oarrlls resultan ser idénticas e igulIle!. a . .~
(J, =(J!"" (J!
1 P
p
=t:S7=:r7 .
En el sistema sin regulaci6n de los esfueuos (fig. 2.27), ten· drlllmos. para les barras IlIterales, ,(J,
=
, p 0'3=-g' F
p
=O,4 r
'
para la h.ura central, p
p
(J:=W=O,2 y ' Analh.ando estos resultados. vemos qU(!, al regular arliUcilllmente las U)Osione~ dala barra eenlral se reduce la tensi6n efectiva de p p 0.4 a 0,33 p .
7
68
La idea de re¡ular artificialmente los esCuarlOs se emplea cada \'e.. con más ampHtud en 105 distintos tipos de estructuras y. particularmente. en las de hormigón (hormigón pretenaado). La armadur•. que fue estirada artificial,meole antes de colocar el hormigón, se libra de los dispositivos de pretensar, UDa vel coloeado y habiendo fraguado el hormigón, creando en el elemento de hormigón um_do UD estado tansiaoal opuesto .1 que surge bajo la lI,IlCi6n de 1. carga. Es part1cularmente importante disminuir las ~en5iones de tncción en el hormigón, puesto que é3te resiste mal estn tensiones. Actualmente, en la URSS (yen otros paiscs) el hormigón preten~ .~do se fabrica en masa, tanto pllr. las e:ltructurall como (en meDor eseala) para la Conlltrocción de m'quinas (bastidores de miquln/l.S pe8adlS, el.<:.). Ejewplo 2.8. Calcular las tensiones oue surren en los carriles (do rerrocarrll o de traDvía) en el verano, cUlIJ\do t = 300 e, ,i
+
J~ l~ll
ricles se colocaron ,in juntall en in"jemo cU8n.lo t = el acero, a = 125 ·10-' Y E - 2 ·IO' kgf/cm l .
-ao' c.
Ob_dh. SI M emplN el Sil!tcml. Inlll!Ol.ci... a1 de u"idad"" (Sil. l. t"",per.tuu H mid. JIU' la ecill. I.bsolu.ta de KflyLn. Entonces. en lu¡u d. 1_+30"C. $Odebe escribir 1_273+30_303")(, y en lu¡ar(lal _ _ ~·C. 1-273 - 3O_W" K.
Rnolud6n. Por la rórmula (2.23) se obtiene ptlra 6t = 60".
125.10- 1 .2.10'.60 = 1 500 kgtlcm'. Este v.lor está lJul.ntol próximo al de llls tensiones admisible, para el acero de Lajocontenido do carbono. Paro. disminuir las tensiones originadas por los Cll.mbio5 de temperlltllfll, en los rieles se prevén juntas, situadas entre si a nna distancia determinada. En otros Mpeelo, estas juntas SOu halltallte fndeseaLles. Ejemplo 2.8, (l. Colcular las tenlliones en el carril lIi cada 10 m están previstas juntas 6 = 6 mm (Hg. 2.33). Si los carriles contiguos a éste no presentasen ningún obstjeulo, el alargamiento ori~inado por f'1 calenu.micnto del carril seria. 6J, = alAt. (J/""
..
La rllerz~ reaCliva X, que apal'acelllcorrtlrlle Itl jUllta {cuMldo la A, es decir, a la di.~Laflcill entre lonKitud del carril eS igual 11 j In!! Jínell3 1 y I [j, comprime el carril en,
+
Xl
0',1
AI"=EF = 7 '
+
De In figura !;lO ddpreluleque 6.!, = 6.!" A. IntrodUettmdo IIQuí los valores de Al" 61" Y 6., obll!lUlmOS al =o 300 kgUcm·. As!, pues, una pel(uciia holgui"Q !JoS capal'. de disminuir considerablemeute las tensiones originadas por el cambio de la temperatura. Se comprueba fácilmente, que cUlIndo la holgura es de 7,5 mm, las tensiones 0, deStl parecen. Ejemplo 2.9. En el si.slema de borras de áreas iguales de la S('Cci6n I.ramsversal y del mismo material (fig. 2.34, a), la barra central se calienta 61. Calcular los esfUerzos en los barral!. a)
Flg.2.I4
ReS
2. 1:Y=O;
2NICOS~-Nz=O.
Para plantear las ecuaciones de las deformaciones, ropresentllmu.~ el sistema deforÚlado. El punto A, después de la deformación, pasarú a ocupar la posición A'. El segmento AA' representa el alargamiento de la barra central. Para calcular el alargamiento de la barra i1.quier~ da, trazamos por el punto, A una perpendicular a la Iinell A'C, obteniendo así el punto B. El segmento A'E corresponde al a1arll"ami~ntoll.l, de la barra inclinada. En vtsta de que las deformaciones son p<'queñas, el ángulo del vértice A' del trlángul
oOtenemos .... 1,""'ól:l;OS~. Esta \l!! la I!CUllClOn de las deformaciolle!!. NO:! queda exprelll'r en ella las Ilelormacione§ por lO! OIIfue~ ). lener en cuenta La deformación originada por la t¡"mpe!'llllura en lit, barra central, N,l, ( A Hzl i ) • :'"" = CJ.t~ ... t-"T:'F" cos.,_ Ile~ol\'ien¡]o el sistema do tres ecullcioncg COIl tres incógnitas, hallamos N.. N, y N~.
f 11. Jaulone. en pi..." Inelln.du en .1 elle de tneel61t (eomprelld") en una dlncel'n Para poder juzglU" plenamente sobre la resistencia del material. es neee!lario saber calcular lu tension" que lllirgell en cualquier
')
<)
:"1:". ..,
Fil. U, rllann illclinado del demento tracc.ioml.do (comprimido) (fli_ 2.35). Llls tensiones normales e,l 111. Jel;:c!ón tram"versal o, do l. InlTtI: (0 1 = ~ eonsiderllll conocidas. Cll\culemos las teMiones que aparecen en la seeción iociinlld• •4-B, cuya normtll formtl llrl 5.ftgul0 CJ. con la dirección de o,. La rllreccion dlll ángulo a, opllesla a la do las IIIllueeillas del reloj,
-j)
1;1 e"n~iderllmos
POSili\'Il.
J)e~¡gl!umoll
por, Ji, el lirea de la sección perpendiculllt al lije ¡]c la harra: F"" el lirell Ile la secr.iúll ind¡tllda, F .. = '-. ~.
(2.24)
"
En el tllSO generlll, tlll la &!ceión illc!illa,]u pueden actuar tal,to tensiones normales u", como tangenciales T". Sus magnitudes las obtonernos de la condición de equilibrio de la porte separada, de !H inferior, por ejemplo (fjg. 2.35, 11). Proyectando l"s fUtlrZll!l solll'O Itl dirección de u,. tendremos, 'l'ClIilllldo CIl
cllt~l\ta
u",F.. -U,FCtlSa = O. In eCuación (2.2/.), se obtiene, u", "'" 0,
ProytlctanuH
IllS:
cos r a.
fuer",as sobre la direccióJI de T",F" - ClIP seu a_O,
(2.2!i) T.. ,
hallamos,
de donde T,.
= ~'
5011 :kl;..
(2,26)
CUllllll" o, es posiliva (tril.cdoll) y O"';;:;a",,- 90', la tcn~i"lI T,.
ruslll~H
tlllllhióll posi~ivll, lo quu q'uiore rlocir que la tensión tnllgeu' cial e,.ta urien~lIda como en la figura 2.35, b_ ~~sla difllccióu de In tensión langencilll se caracleriza por el hecho de que para hacer coincidir la n(mntll 11 al tirea, con la .lirecció,l de la tensión tangencial, es nccesariu girar 1:1 norlll:11 segÍln las mlmecillas del reloj. Lag tcnsiones lllngenciales que SI) orientnn dll esta forma S(! lIcuomJa considerlt1 positivas·. Si, para hacer coinf.idir la normal al área con (a lenJl;ión Lnng",,cial, es necC':I8rio girllria en dirección contraria a Ja de I¡¡.~ nUl.lll'cill¡o'" del reloj, entonces la tensión tRngencial SlJ considernra Jl('gativn (lig. 2.3:}, c). De In fórmula (2.25) 56 Ilcducc que IU3 tellsiol\t's normnle!i rccibeu la magnitud maxima. Guando a=O, es d¡>(:Ír, ell In SlJ(:ción perpclldicular al eje dtl la barrn. La tórmulll (2.26) demuestra que cuando a ~ 0, 'f = O, por lo tanto, la tensión normal en la sección transversal de la barra es una tensión pril\cipd (vense el § 7). De las fórmulas (2.25) y (2.26) se deduce quo para a = [10°, u = O y T = O. M, pues, eJl las secciones longitudinales no el:islen tensiones normales ni tangenciales. De la fórmula (2.26) se_ desprende que las temiiones tangenciales máxima!! surgen en la sección inclinada a 45° y 800 iguales a la mitad de las tensiones principales:
.,
TIllh=Z'
• En la Teotid de la Elastieidarl 111. 72
tension~
h"Renclllell.
~e
.oma" otro tpgla p8rll 1....
~j8n".
de
§ 17. Ley de reciprocidad de IS8 tensionas tanllenolales
Calculemos las tensiones norml:l!es y tangonciales on dos planos ortogonales entre sí. PBrIl el plano inclinado un >i.nguloct, según las fórmulas (2.25) y (2.26) obtenemos, 0-.. =01 cos1a, T ..
= ~! sen 20:.
Parll el pl/lno perpcndiclJlar al primero e iuclinado un ángulo (Hg. 2.3.'), e), las tensiones normalel:! y tangencillles se pueden obtener (lirectllmCnte de .la condlci6n de equUibrio de la parte superior o inferior, (ng. 2.35, e), o por las f6rmulas (2.25)" y (2.26), sll~lituyelluo ct por a-j' /\plirallrlú las fórmulas (2.25) y (2.26) hall~lremos,
ct+i
T-
,
O"a..¡2!.. = 't"
0',
C(f~~ (a !- ~ ) ... 0'1 slm' a.,
a.,t..:2 = ~I sen 2 (a
,
!...
~)
... -
~I
sel[ 2a..
(2.27) (2.2R)
Anllli7.ll11do los resultados oblenidos, vomos que: Ilrimero
o,,-\-'"
"=0,,
"1 :r
es decir, '1ue la suma de las tensiones normales en dos plullo.~ ort/}gonales ~ntrc si /'s constante e igual a la teluíon principal: y sogundu.
(2.25)
doci r. en dM planos ortogonaÚ's entre sí actúan tensiones langencialps de igual valor y de slgno (ont,-o'¡o (ley de reciprocidad de Las tensiones tangenciales). Las lens¡one!\ taugellciuJes CII dos pl
(>s
clllare~ enlre sí. o "an simulláncamente dirigidas hacia la arisLa donde se cortan los plallo.~ o on (lereeción 0PUést¡l, como 10 indica III ngura 2.35, a. Por ejemplo, ~i se cambia el signo de (J" entonces lns LllusioneS 1:" y 1; .. cambiar¡\n su direecióo por!ll opnesta y ¡¡mIJos so ori[)lI'>t"'§
tanía hacia la arisla A, formada por la intersección de \0:'1 plauo:s. La ley do reciprocidad de las lensiones tangenciales no l:!Olamentc l:'~ vil.lida para el caso de tUI estado tellsionallinoal, sino tamuién para ('Il>llqui,}f lI~lado l.msional, plllnu y de volum",.... 73
§ 18. Calculo di 111I ten.ion.. In pllnDl inellnldo., In l' n.o d. trlcellin (comprlal6n) en dDl di'e~clcn .. Vc~ ..U):< el esllldl,l ten;;.ional plaho (rig. 2.36. a), cll.and.. lBs dos len: a1 ,
a)
•
, "'--+-',c
A
LJ"a'r--'c
a;
Coullideraremus pll.!!itivo el lÍng-ulu a. elllrl'
(J, y 111 norlllal ni plAno arbilrario, que.!le mide en el sentido contrario.1 de la! m¡¡ueciHas del reloj. El hgulo formado por la tensión a1 yel plano es igual a a Lu tensiones am y 'f m en un plano indinado cmliquiera se pueden obtener del equilibrio del Grisma triangular ABe o por las fórmulu (2.25) y (2.26), sumando la.!! tensiones origina.das por al COIl lu
+ -i- .
producida! por o, (soslitllyendo el ánaulo At!i se obUI'ne. Om =01 COI'
a + az
CO$1
a por a+-1-)'
(.¡-- T)
de donde hallan\03,
('.30)
Dado que,
- 2L T,,_ :) sen 2u _:!l. 1- :) sen (-1--"-) u 2 lelldreltlos,
-
TA
,
= "I-"~ 5l!n 2u.
(2.3t)
Dr. 11\ fórmula (2.31) 5l! desprende que llls lensione5 tangenciales mliximM ~Ol1 iguRies R la sernidifcrencia de llls leJl~ionl."S princi. p;lle~,
(2.32) y surgen en los plano.q de igual inclinltci6n respecto Il (J. Y (J" es decir. ctH\ndo"u_= 45°. Esto:le deduce de q-ue para 't'na"" sen 2a = 1. Después de culcullU las tensiones tangenci1l1es en el plano perpendiculllr 111 plano AB, nos convencemos, dé qne lambién en el caso dllll.'st>ldo tCllsiOlllll bi:uill1. es "Mida la ley de reciprocidad do las teJlsioncs h.ngcncialcs. E:
ll:lllsión tangencial't", es igu>l,1 a cero, micntra~ que lo tensión nntrnlll tiene nn ""lor constante o", = (J \ véanse las fórmulas (2_30) y (2.31)1 gSll' t'~t.ado tensiOllll1 se denomina tracción (comprc~ión) lInifutme lJil\xh.1. 2·do caso. VOIIUlOS el csu"lo tensional representado en In ¡¡gu· nl 2.30, 11, qU(! se car¡lcteriu por las tcnsiuncs pl"illcipl1lcs (JI = o "i
o~
=
-(J.
Calculemos laR t.ensiones eu 105 plan(ls dll ignal indinadull rcsfl't'cl.o a (JI y (J:, es dcr:ir, cllllntlo u = 45' y u = 13;1". Por llls fórmulas (2.30) y (2.31), obtenemos, 11" =0 4) y 'f,. ... ±11. Eslc esiat!{1 leMional se ,ll'nomina de_~lizamiento puro. § 19. ClIlculo di 181 tensiones p1'lnclp&11I 'J orientación de los planos prlnclpalll VClllllOS el problema recíprocn; dndas llls tCnSiOM.~ normales y (un¡:enciales qUto aclúau ton las curas dd elemento (fig. 2.37, a), calcular la orientación de los plallos principales y la ma~llit[l(1 (le las tensiones prillcipales. Analicemos el equilibrio del prisma triangular de h¡.sc AlJC (fig. 2.37. b). SUl'ougamos que IJ" > IJ~. 1~1 ;'uglllo '"
se mido desde la direeción de la mayor de las tousiones hasta la norlIlal 01 plallo. Se l;onsid"ra positiva la dirección del ángulo \p opuesta 1I la lit! las manecillas del reloj. Designemos por dF el áren de In car" inc.!ill(lda. g'ltollces el ¡¡rea de la CIlU vertleal soni dF sen 'i'. 'i 1!1 do la hori~oll1.lIl. dF cos l/'. d. T
r
<;;
g:,
8
r
g:, A
T
A
e
"o)
D)
FJ¡¡. U7
ProyoctnllUO todns las {uenas sobre la dirección rie mos,
w+ (t dF ces.p) sen '!'+ {as di' sen IJ>>' sen.p = O.
001' dI" - (<1.. dF r.os l/') cos ~
Proyectando ahora ball
todAS
0">1'
ohlenrire-
el: dFsen ",) cos.p-
las fuerU'ls llObre lu dirección do ''j>,
't- dF- «('lo. di'" ces.p) sen.p- (, dI" cos
lP) cos '1'+
+ (T dF seu..p) sen l/'+ (as dF¡,;cn "')oos'~ = O.
Silllplifir.ando esl.lls expresiones por dF e introduciendo las {unciones de los ¡,ngulos dobles, obtendremos, 0ol!
= O" cosl a. + as senl 0 .. -0.11
' / ' - '[
sen 2""
"~--2-sen2"P+Tcos21P.
0"
(2.33) (2.34)
La magnitud varín continuamente. al variar 1'1 ¡¡ngulo de inclinación", del plano. Para bailar la posición de los planos prineipallls, es decir, la posición de aquellos planos ¡,;obre los cuales actúan las tensiones normales extremas, os necesario igufllar a cero la derivada ~ o igualar a caro lns tensiones tangenciales T y, puesto que en los planos principales no existen tales tensiones.
"
En alObos casos, se obtiene, para el ángulo 'J'o de Inclinaci6n de IlIS planol principales, la relaci6n sIguiente:
o sen. (2.35)
Para obtener los valort's extremos de las tensiones normales, es decir, las magnitude! de las tensiones principales, introducimos en 111 f6rmula (2.33) el valor del ángulo de la f6rmula (2.3;). Previa· mente, expresamos las funcione! trigonométricas que figuran en la f6rmula (2.33), por la tanlfl!nte del ángulQ doble. Para ello se emplean In! eonoeirlas fórmulas trigonométricas, 2 sen 2'I/JQ= ± li 'f(l , V1+lgi2~
C0Jl2lf: =± 'O
.
t
Vl-:!-Igt:¡'f't
costto_j-(l+cos 2~1, !>cnt
1Po "'"
t (1 -coa 2*-.).
Oespuéll de !l'llnsfOrtnaciones elementales, que el lJ'51udiAUle debe él misn"'. obtendremos para el cúlculo de las lIl/lgniludu de lu tensiones princip31es 111. fórmula !iguiente: l1~aliUlr
alÑ~
-'"
Cé::!
=-,-.- ± 2"(V (a.. cr.-l-
~
(8)~'" 4"t'.
(2.36)
Si una de las lenaiones nOrmales dadas 08 il:ual a cero, en lon~ la f('rmula (2.36) se simplifica,
a I (J~-2±l n,ln
V o'+'n.•
(2.37)
Esta fórlDula la emplenremos más adelante Al estudiar la flexión l' lit resistencia. compuesta. Anali~ando la segunda deri va.l" ~'ot ' nos • con\'enCCffifl!lde que la tensi6n principal mhima actlÍa en el plaQo principalinclinado UII ángulo. o, enlascondiciolll!$ Ailmilidl\s (0..>0,). y la ten!iúD principal minimll aclúa en el plano dI'! indinaci6n + 90". Ejemplo 2-.10. Calculftr la magnitud y 1" dirección dI! la~ lenlliQnc5 principale-q en el CASO del eSlado tension31 representAdo en lA
•
*0
fi¡lIr1
2.M. 71
RC.JOlurilin. l'or lfl rr.rmllln (t.3';;), cak"lnmos la posición dc perpendiculares al plano "'1"1 dibujo,
I~
pliu,,~~ prilldpllle~, 'J li -
2· UI)
t.- 2I.íI
:lIllI
El ~igllo utgllli\"o illdic:I qlle ..... se mide deo;de 1:1 din.'(:('i,"n de 0...... :UIO kgl/cm', 5l'J:'''n lll!! man~ill;Js lIel ,,'Ioj. 1'e.r In U,ro\u.la (~.3tj) Ol,¡\ClllllllOll,
0a.aJ=
~-i~
~
1 . +"2V(300
:¿()(J>!+4.tlXJl=250 ¡-112= "'" 362 kgf/cm',
0"IIÚn_t:'"IO_1I2= 138 k¡r/cllI 1 • Fil'l{tlll lo dicbll anleriorrtlllnle. O"mH IIclua ell el pJano ce inelinncilin t-o y 0mln. cn <"1 de illclin~cibll '1'0 + 90".
6, r.Dt1k;t/~3
;.-31·M'
Y::l8'
.
fiI. UI Ejemplo 2.t l. ¿Qmí ClIml.lios OCllrrir;ín olll el proble."" /Interior, !!i In! lt:n~iollell lallgcnciale!l ,;c orienlan en .lirt'CCiun cnulrnri.e llC!lI'Ul'stn. Pueslo que 111 tells¡"'" hwql."neial T ser,í, CIl10lln·". 1lt'.¡¡:lIti'·II. vnrillrií el !Ii~110 dol állgU\<1 de incHoroción rlc los ¡¡llOno" priJlcipo.les, r"lllllUlldu ig1U1l 4'1' = ;:)1°/,5' (.m direeeivn 0puclil,1I ll; la d6 lus manecilJa!l dl'l reloj). La magnitud do 11\.'1 lensionO!l prJncipa:les no "lIriará.
§ 20. Ralac"n entre 181 deformaciones y lea hnslones In los calol de estallo. "",Ionale. planol y te volumen (ley d. Hooh generelinda) Calculemos )¡.! derorm.eiool!5 lULilati8.ll '-1 Y 1, 00 d¡reco.;ión. J.s tellsion6!l principale8. 011 el caso tle uu el!Uldo tell!lional plallO (fij¡:, 2,39), Parll ello. fCCllrrimo:l " la ley de Huuke correspondiente 01 e:iltillo
"
tensional monoaxial (véase la fórmula 2.3), a la relación (2.5) enlre las deformaciones longi~udinul y transvetsal y al principio de superpo~ición de las fuerzas (principio de superposición de las doforma· ciones). El al:Hgamicnto lIuiturio l.'n (\ire(;ción '·ertieal. originodo por la tcnslon 0", so\¡unenle. es
Esta tensión orlgma tnmbién, en dirl'CCÍón horizontal, un eslrangulimJiento unitario igual n f Z1
= - f1
", 7·
En el ras" de que aclúe solamente
i
-~-1t,}
. o. al E2=f;,!·.-eZl .... i-fll!"' Esla~
fórmulas constituyen la IllY de Hooke genlll"lJ\i7;ndn ]J:1ra
el caso ;Iell estado lensiollal plano. l.l!!
(2.38)
Si se eOlloecn [as derOrJllllcÍOIICS El ecuac,ionus (2.38) se ohl-it'llctl p~rll (11
Y"'., ~.
Clll0IlWS, ro.~oll·it·llIlo
(1: IIl~ rórlllulllS signit'lIll:'S:
"
(11"~ 1_",,(1:1,1-'8:), }
(2 ..'3~)
E
a!=
1_¡,l(tz+J.lf¡).
De 111111 mlllll.'l'l1 ~nól(,g¡l. 'luando l,O¡JiI~ llts lre~ l,t'IISiOll()S Ilrinciludes a" 0. yo., son rlilurentes de cero, se ohli('rIt' pllra ,~I <;1I1;fI dt'l csl,.do ¡(>tI.~j(lIIH I de VOIUlII(l1l (lridil\1cllsionlllj J~l! [,jI'O¡ Lllus siguiclIl¡·...:
:::1:::=::::::::::
1JI
(:!.I,O)
~,= ~.I03-1·(0,+
Conoci~\ldo
1',.
es y
EJ
se puede calcular la variación del volu-
men, originada por la deformación. Vellmos un cubo'de 1 x 1 x t cm. S1l volumen que antes de la deformación era Vg = 1 cm J , después de 1<1 deformactÓIl, ¡;¡¡d
V=(l j-El)(l+c~)(l+gJ)'::':1+1'1+~+l\3 (pr(Js~,illdj¡n"s de IIlUY
los productos de e, por ser
pcqueiios en comparación
La variación unitaria EV
Cv
CUll
~tos
de magnitudes
Jos propios ej.
dtll volumen, eH
V'_VQ = -'-',=
,
,
1'1-:- 1'2 ,-
(2 /t'1)
eJ.
Jlllroducicndo aquí los vlllorl"S de e,. 1\1 y ",ula (2.40), ohtendremos,
1':J'
de In fór·
t -2¡. ( 0, + 0t--<1a. I ) e,.=--,-.-=
(2.',2)
nI' t.l fórmula (2.42) se deduce que el coeflcicnte de PoiS.'lon /' UII pUNte ser mayor de 0,5. En efecto, en el caso de tracción triaxiu , c13ro esta, no puede disminuir el volumen, es decir, que ev será IHI.~ilivo, lo que puede ocurrir !:'Olamenle cuanrlo 1-21-4 O, puesto quo la,¡ tensiones principl:lles son, l;lll este cast), po¡;itivllS (o,.> o, >0). Las lúrmulns (2.3B)-(2.11:!) 110 cxprosan SOlulllenl.l;l la relacillll qU(! ¡'xi,¡to entre 1a,¡ tl111siunes [lriJll:ipales y las deformacioncs principales, sino que, tsmbién, la que exisle entre valores cualesquiera (no principsles) de estos magnitudes; es decir, estas fórmulas si~uen .~ienclo v:ílicla,¡ incluso on el ~IIS0 c:uando en IOll plnnos actúaD, l;lmbión, tewüones laugellciales. Esto ¡;ll deduce de que In.~ deformaciones lineales no dtlpellllen de las tensi
>
> 02>
§ 21. Trabajo de 188 fllenas exteriores e inhrlores en el caso de tracel6" (compresI6n), enargla potenolal de la deformacldn
En el caso de trscción (compresilin) las fUerIns exteriores realiztlll cierto tralJajo, debido al desplazamiento de los punlos l.ción (fig. 2.40, a). Calculemos cl tr{lbajo de una hIena exterior aplicada estalicamente, es decir, el trabajo de una fuerta que crece, nI deSllrrollarse hs defonnaciones, de cero hMla ~u valor final, con una velocidad muy pequeña. El trabajo elemental dA de la fUerza exterior P el} el desplazamiento d6 es, dA-Pd?>. (2.43)
Pero entre O y P existe la relac:ión (ley de Hooke), 6
KO<
"
el' '
p __,_o
por lo IJlnto.
ut¡
Inlr<>duciendo esb. expresión en la. fórmula (2.43), obtendremos, BF dA=¡OaO. esta
El lublljo total reaüUlldo por \11. fuena se obliene integrando ~presiGn entre cero y el valor definitivo del ~plllta.miento o: ~
t _ I!F \ &lO
J_
Asi. puC!,
1
,
,)
Ubf P,6, -zr
A-,."¡P,6,.
(2..i4)
e!! dt'l:ir, tl trabajo de una /lU'rza e:z;lerlnr, apliCllda estáticamente, ts iKuu/ a. lo. mitad del f/NJdl,do dI' 8 .. magnitud de/lnitiva par la mago ni/mi ¡/p/llIitivll dtl dlls/Jlo.zamiel1ü, cl!rresptlndlente. p
, ,I !' I' I I I I I I
'
I I II
I '
L_
-11p
o)
Gr.5.f1camente. el trabaju de In fllerzn JI se repre!!l'nLn (leniendo en cUilllta las CllCalV!) por r.I arca OAS dcl rti(llfl1lma, conSLruido en ,·1 "¡~lf'mil de (.()(>rdenl\dlll! 6 - 1J (fig. 2.40. b). lJuranle lall dl.'formllcione!l, no sollmenle reali1.:an Lralinjn las ruenas eXLeriole!l, sino l¡¡mbien lu inleriol'C5
En Ju tiRur" 2.'',i1 ostá ntprel!ontado el elemento d~ oJe lUIR b:lrr... sobre el cualactuan tenl:l[onell normales (J, qUIJ.son paca cste elemenlo fOCf"lDS exteriores. Las fuenól::l interiores. claro está. esUiran dirigidas ,"" direcciólI conlrllrill. I
ril·204l
E[ lrubajo ('I"/\Junlal de las fUIIf"Ltl.>S h,lel'iures (pa"¡' el Cll;'llh~'lLo> dz) se calcilla por 18 rórmulu. análoga a (2.44), es
dU ...z -{NA (dz).
(2A5)
dondo N C>I el e.sCucrzo ¡ntorior (CuCUII uial) y A(d;) es el IIllIrgamiento del elelncnto. PertJ Rgún la I.,y de Hookc. ,v dz
.:.\ (d.:) "'" 1,:1' •
por lo tanlll. 1 "'Sdz
dU - - 2 Rf" •
(ZA6)
El lrllhaju tolal de llls fuerzllS iuleriores so obtiene, integrando 1011 d"ll mlcmbrns de (2.4G) R lo largo de lo(h, In barra l. I
U-- 2
SJ!JT""' " enlonces, N~d.
SI N, E Y F son constan les. U = _.!.. N"l __ I:F~I~ 2
e,., -
---;u-
(2.1.7)
(2.108)
donde Al _ 6 = : : es el ob.r¡amieuto do l. barra. lA. mllgnU"d ig~l ",1 tr"'baJo de ltu jUVJiU illlerioru. pero de sll'lf contrario. y denomina lI'ln.ery1a potencial. {le la
$.les, la energla .potendal de tracción (compresión) 5ll determina por la fórmula siguiente: l N~l
h,'I'M"
2 ,"
O=-U""'zP.J·=----;rr-·
(:"1
La ooergia potencial, referida a la unidlld de volumen, se denomina energía potencial unihuill, u.,,-.o
n 11 N-¡ ,,: i I = FT = tEf'l -- u:
(2.50)
ó (pue:'ltn que
ó
(I
= He).
•
1L=~l1e.
(2.51)
En el Cl\g() de UII estado ten~ional de \'olumen la energía potencial unitaria se ()},J,iene G(l¡no 1,\ :'lUllla ~l! tres sumandos, rt _ -} (a''"1
--+- (J~e1 + l1;s8J)'
(2.52)
ApliCllndo la ley de Hookc gcncraJizadn. se ol.Liouu.
u _ 2~~ lo~ -1- a: + (J~ -
21-'- (O,,,!
+ {lZ03+ 0JOt)l·
(2.53)
De esta f6rnlula se deduce, \:omo ClISO particular, cuando un" de llls tensioflN~ princípaJcg es igual A cero, J:l f(¡rmllla correspoJl" diente al estado tensional ]llano. '.os ensayos demll!lstrlln que, cUllndo !fe trala de vlllocidade.'l cie corga hllhituale.~, el trabajo de las fuerzas cxterioros se COI1SU~ prár,ticlllntlnltl en la creación do UlIO reset\'¡\ de energ-ip potenciol de la deforwaciÓn. Las pequtlñas pérdido.~ de clIergíll, debidas prindpalmenle al caJentamient
(t,
+ /!~z) ...~ 1~~~!
E
2·1~
(0,001 - 0,3.0,110(8) •
,",e
03=t_f" (e. + Ilt,)= I_O,3i (-O,OOOg+O.3.n.OOI)
Ejemplo 2.13. pero sin holgurn, opuest~s quedan parte superior, II
1 670 kgrlcm ' • 11UOkgflcn\'.
El cubo do goma ABen ~ introduce libremenle, en un molde de acero de lal m~nera que dos ca;¡H; libres (fi~. 2.4.2). El cubo esl(¡ 5Omotidb. en su la presión p kgflcm~. Calellbr 111 lellsicín o." 16S 6·
IlJ
deformllCiotle~ &~ 'j' ' . y la varilte!ón unitaria del volumen. t:l m6dulo de eJ..,ticidild de la goma es Jo; y el coeficiente de Poisson .... PresdnnaS(! rlel roc::e enlr4! el cubo y las paredes. Considerese qua el molde c.s absohltllmenle rigido (indeformabI4!).
z
UI'6(tllldóll.
Por 1:1 ley de Hooke generalizarllll. obleroemu.'J.
,
I!.r
=7 [oa'-f.I (ul/+ u,J].
rN =
,
E 10", -tJ. (o. +0',,)[.
,
r,"" ¡,; 10:-11(0",,+0",)1. SegÍl11 la cOlldidim del 1'",bleul3. 0"._0, 0,= Tenitmdo estu CIl cuellt..'\. hll\larelllOll•
11,,= -PPi
',-
.. (1' ....... 1)
E
t,,=I,,+r,+I: __ (1
~p
)' 1,,-,-0.
•
p.
2¡.oiY +1') p.
22. Cnncentrecl6n de tensiones. Tenslon .. de contacto Lll distribución nnirormc de las tensiones en 11 .!!tCClon trllm.versal de un.ll barril traceionada (comprimidl) tleno lugar solamente a derla di.'Jtlncill del punto de aplicación de la fUena. si, .111 mismo tiempo, las dimelUionl!.5 trloJlversall!\§ de l1 berra no varlan JI lo
largo de ella, o varían muy Suavemenle. Pero si el conl,orl1o de la sección longitudinal de la barra varía bruscomcutc, e1lto¡Jces, en los lugares donde cambia brusca"men~~ la. forma prismAlic~ o cilíndrica de la barra, la distribución de las tensiones en la :;ecc,ión transversal ya no será uniforme. Este fenómeno qU\! consistll en un aumento súbito de las tensioIles en los lugares donde la {orma geomtÍtrica de la barra camhia
..EF
a-'!!' F
b)
a)
FIlI. %.43
súhitamente, se denornilJll concenlración de tensiOllCII. La dcterminacióu de las tell~iones en los lugares de concentración se reali7.a o por los métodos e¡¡perimcntallls o por los lJl6lodos de Jil Tt:orb de III Elasticidad. En la Hgura 2.43, a, en calidad de ejemplo, estÚJI dados los rClIllltados de la resolución de este probloma l)llra f'l C
=; .
(2.511) Por tensión nominal se entiende la tensión que se obticno por !al! fórmulas de la Resistencia oe Materiales, "in tener en Cl11.mta el efecto de conccntraciún. Por ejemplo, ('JI el coso dc la banda COl) uo agujero, {J= :. ' dOndo F es d úN'a de la secdún deUilitada. 85
El coofi('.i.mle le6rh;0 de conecnlru(".ióll de In lension'!"!Ie uhUt!l\e, .'lUponiellllo que el 1I1"tcrial, /11 ddormnrse, ~iglle la ley de Hooke. En mucho, cal103 esle coefielente no da "'m idea correctll d... 1" in(Juencill de in o:oncenlración de len-Sioll8:'l llOhre la re!'lj~tencia tic 1;. riCia. Si 01 material !!.iguil!lle la ley de Hooke hasta la rotura, l·ntt)llce~. I~ relli~tenda dela pieza, cuando existe coocentración de t ...lsiolle", seria (l... (cooncicntll teo.rico dll concentración de t","siones) Vcee! mellor lj,1l0 la resistencia do otra pieza l!emejante. JlCro !Iin roco~ de o:oucl!utración. Lo.s ensayos demuestran que para la m;¡yoríll de los materiales la l1illmlnuclón de la resisl.encia. como &flll:lCO:Ut..'fU,;in de 111 concentración de tensiooes. resulta meoor que « .. \.t!("C!J,.
t::sta rL-dllc&ión MI ~tahlece experimentalmente como la r"u'n del Iími16 de rosistencia Ca,) de la piOla siu 'Concentración de ten!!iune-. :'11 IÍlnile de resistenc:i.· (o,e) de la mismll rie~a con un concenlrodor rle ll'llI!iunes .Ictc.rminado.
(2.55) ,,:1 clJC-fidclltc Ir. !s pllí"l.ieo.\l y de ~ltrg¡U t,st;'lticu, el cOOriCit'llLo pr.1cUcamenle Cll k,= 1, l'~ docir, quo cUArJlto se trata de esto tipo de r..nrgas, h: OOIl&enlro.ciún de l~nsio"es deucrii cOllsidcrltrJO solumilnte en el ('.¡¡Iculo de ¡Jie~llS tie IOllterilllos fr¡¡giles o do rOCR plasUchllttl. ClHJlIdo actíullI clOrgas alternudllS (cálculo pOI' faliga) 1" CIIOcentrllcióll do tous¡one.~ se tiene en cuenln paNI todos los materiales. Las tensionc.!t lacaü¡¡ ~ronde' flparecen lam},¡en ~n IIIS lllgares de /ralumlsl6n Ile la l'usM" de un cuerpo a l.trO, Estas li'nsiones u dent~ mfntUl t~mion'" ¡'le .;outll~t() o tmslones Ile {/1Jla,ijttl.)Il'tel1to. Su mo¡¡:nitlld disminuye r;\pidameute 11 medlda que nos alejll.m.,,, riel lirtia de contacto de las pi... ~",.. Si antes 00 ¡Wlrar en cootBcLo l.-.s (;uf!rpos llmi'n supedieie.'l planas ([ig, 2,44), entonces se puedo! con~ider;tr que la distribucl6n d8 In tenl\iones en el plano de contacto es DlllfoflDe, y éstas pueden ller calculadas por la fórmula:
a.,r = : .
(2.56)
Pero si la eonligufllición de los cuerpos, ante" de eutrar lln contllcto, era l;llrvlllllell, como, por ejemplo. en los cojineles, entonces JI¡, determinación do la, tensiones de contacto 58 co.npliea, !ielldQ lll'Cesarlo para dIo recurrir II los m6todos de la Teoría de la Elaslicidad. Este Ilfoblema se resuelve basAndose 8111ll..'lliuposicionell siguientes: a) los materiales de los cuerpos en conbcLo se sujetan a la ley de Hooke,
.
b) 11\.' dimensiones lineales del área de contacto en conlparación con los radios de curvatura de las ("ontado, el la {uon.tI de compresión es normal al lirea de d) en la superficie d~ COntacto surgen solllmente
son peqlle¡ias superficies en contacto. tensiones nor·
mllle~
Cerno se demuestra en la Teoría de la Elaslicidad, ~i se cumplen estas condiciones. las tensiones normales que aparecen en el área de contacto. se distribuyen 9ólgún una superficie elipsoidal
y el ¡¡rea de contacto adquiere la configuraci6n de una elipge. La I,~nsión mixlma surge en el cenLrO del 'rea do contacto. A conti· nuación, dam~. sin demG5\raci6n, algunas fórmulas de cálculo liMA "Iertos casos particulares de deformaciones de contacto. 1. Cuando dos esferas elásticas de diámetros di y d~ (fic:. 2./¡S) presionan IDutuamente, lSll forma un lirea do contacto cirenlar, ruyo rndio a puel1e calculal'!e por la. Jórmulo, 0. ... SI:
0, 88
V ~(dl
¡'dld¡ +<12)
(2.!í7)
La tensión de :lplastll1Ylil'otu lD.llx.ima, en el centro dol área, determina por la fórmula,
(f1ll,..... O,62 VPE' (d~~díaz
t
(2.58)
Al deducir estas JÓtlUUlllS, el coeficiente de l)oiJlSOn se considero igual a ~ = 0,3. La f6rmula (2.58) es válida también en el etlM l:unndo una esferA de dillJJletro dI se encuentra sobre una !lUperfic.ie \'liferic.a cóncava de diametro d; (Hg. 2,46); sa"'o que en la fórmula st! debe ~mbiar el !igno de d~. Así. olotenemo:s.
a,.,,,,,-O,62
ti PE' (dild: 1)2.
(~'9)
"
En c~to caso In!! t"'llsioncs reSultall m(morl'~ que en 111 caso "IlIN·io~.
Cmwdo una {'srera prellíOJHI sobre un plauo, las teil:lioncs
~e
calculan por la millllla rórmllla (2.5!J), .!mponionrlo que d. ~,~ iufilIiLllmcnlc ~rlll\d,',
(2.f:iO) EII los wxlos mllS complelns du Resi!Shmcia de i\laLerinl..,s y (:n los IJJ"llualc~ se pueden encontrar las fórmulas, que currcloIpomlell Q
,'U'O!';
l;ll'-;(>~.
Lo>! ens'lYos demllllslran que los 11IulCrirdes son capaces (lo rcsi~
tic g"Jlldns lllnsiunes de contacto. Esto !Su IlxpHcn por el IH:,c11O do 'l"C csL"s to,,~iOllC!:l di:sminuy"n rúpidamente al alejarse del 1I11o:,\r de contacto, as[ como por que e1,tlllterial, en la ~ona coutigull lllll1'8 tensiu!los. EII 1" huIn 2.7 figurllll lo.~ valort!" de las l"nsiOllclI de conlaclo lldUlisilJle.~ [0'00"11 pura olgllno.s mnterillle~. Si el 1,1ImailO del aren do conlncto es COmp"table con lu magnitud .Ie los radios de curvllt·urll de las superficies ell (:()ut\icLo, enlonrAJs las ¡.írmulllS nnleriores no so pueden llplicar. ('"on ttlllc prohlcI/la nO.'> cnconlramOll al calcul"r. por ej,'mplo, 111 presión eJ\lro la superficie "el perllO (o remaolle) y la superficie clliud"icll dtj[ agujoro. En estolj cosos, la soluciólI teúri("l l'es"IUl I/lUY complic·adu y para comprobur la rClIistencif\ del m
LlmJ",
~.
el. e,.
r"'15""_
k~fI"'m'
de e,¡n_ 'Mlo a<1ml'lbl"
·r"~.lUM'
["ooot!. k..-I/c",·
Acero 90 4V
"'"'"
90X
'.s-GO 57-70
8500-10500 1Ofll,1(l-135UO
~.,
1O~14000
6>-8,
1100u·g~
70..¡¡s
12000-14 500
Hiérro fund¡do
C" 21-40 C" 22-44
"
OS
8000-9000
"'"
9000_10000
las lellllion(!!l se distribuyen uniformemente en el area de aplastamiento. t u lensiollell admisibles de aplutamiento. SCbrUn los dllt09cxperlmeDlales, son 2-2,5 veces lOayores que 11\.'1 tensiones admisibles " tracción (compresión), es dlle!r. IU.#il = 2 -:- 2,5Iu), CUllndo en el árell. de cun1.acto 8Ur¡llll tensiolleJl tangenciales (transmisión por engrllnajes o COIl tornillos llin'ín. ete,) y cuando se traht do carga, alternlldltS. las tensiones de cuntacto, asi como. las !.t'llsiones admisibles, 5C determinan por fórmullls que se dal\ ell 10lS tcxlv, de fPie'las do Msquiuast.
CAPITULO 111
DESLIZAMIENTO
t 23. Cálculo de lal tensiones El estado tensloDlll que Sil urigina cua"do en 1M ~cciollC!l troll!l"trsalos dtl la barra aparece solamtll11e la Iu.ena cortante, mien\r:ls que el resto de Ilts fuerzas interiores es iglla! a cero, se denomina deslizamientu. EIt lollte caso, en la ~ción actúan únicomento tensiones tangenciales, que tienen como resu.ltante la fUerza cort"lIlo. En 1::1 mayorl. de los problemas prácticos, la fuena corlar,t.e "S acompañada del momllnto f1eetor y la fUenJI axial, de tal manerll, quo !;lO las secciones actlian, gtlnerahnente, tanto temlione.$ lIormlllc,s, eomo tangenciales. Sin embill'ij;o, si lnl! lensioncs lan~nciales ~on mncho l11ayores qUtl las normales. entonces resulta posible limitarse al cálculo por <1tlslh:alllienLo. Un ejomplo tipico dl:l esto clilculo si mplifieado pero. como demucstrn la práctica, suficientemenle seguro lo constituye el cilculo de laa juntas remachadas, lJoldadas, o II ba~ de pernos. En In figUJ'a 3..1, a está repre~ntlldo un lllllpa1mo de dos planch.as cun rcmnches (ull.iún sulapada). La :se¡¡:l,Inda caheu. (estampada o de cierre) del roblóu se forma tiurllnle el remachado. Bn la figura 3.'1, b llStá representado el aspecto del pllsiblo fallo de ean junta que ocurl'1l como COlI.'eCuencia del ciJ.allamieoto de Jos remAChes por la línea de contacto de las planchas. Por esta eausa, el dlculo por dllsliumienlo ~ denomina talllbien cálculo por cortadurA. Si la destrucción de cnda uno de Jos remaches tiene lugar por un solo plano, !le dice que la junta remachada es tle un hilo (fig. 3.1), si se destruye por dos planos, de dos hilos (fig. 3.6), ote. 8n 01 plano de cizllllamieuto de lu~ remaChtl9 aclúan tom¡iollcs tangenciales. Para obttlner 50 magnitud os necesario, ante todo. saber cómo 56 distribuye la (uena P entre los distintos remaches. Con esto propósito, la junta remnchada deberá cslcula~ cumo un silltema hiperestático. Se pueden considerar como incó""itDs ID:f elduen.os (!It Ulla de las planchas (fig. 3.2), entro Iw remaches. (Son posibles, también,
...
otros variantes de sistema base). 19nalfllldo a cero los desplazll.mientos en lo.~ lugares rlonde 50 cOTtan las phmohas, se ohtienen las ecuaciones de las deformaciones neeesfuias para t'.l cálculo €le las incllgnita:'l que se btl~An.
p
p aj
p
•
m
J.
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WZ:IIJYZWJ4Z<1
- 'TI"\\\'>Q4ii'
.f
,
p
fll. ¡.1
Una V~:¡; obtenido~ Iml e~rUeI'7.<)s en los plllnchas. hallamos las fuerzas cortanl(lS en los remaches como la diferencia de los esfuer:¡;os contiguos al remncha. Por ejemplo. el l!sfuerzo enrtanl't' en ('1 tercer remache (fig. 3.2) seflí: QJ X J - X~. elc.
x,
p
,
p 2
Fig. U
J<;n la tabla 3.-1 estan dado!! los resultados do la resoluciólI de este prohlem~ en el caso do una junta solll.pada, cuando las IlretlS de las secciones trallsvcrsnles oc las planchas ensambladlls son iguales. UBL.1 3.1 !'lOme'"
"
rem3r.h ••
"
Q,
Q,
Q,
Q,
Q. (J",""¡!n
(e"
porte. 4.
,,"
0.:153
0.2\14
0,::153
0,2!l
().~l
O,~1l
(j.21 0,17
6
0,24
().I~
0, lit O,JI
PI
0,333 O,:::ll 0, j7 0,11
0.2;' U.l\I
n,2(j
0, Ir,
0,24
0,168
'1
Como se VlIl!de olJservnr, al nUOlcuLllr 01 Húmero de remaches
el trahlljo do ,-,stOS!le hace monos uniforme. En el caso rlc ¡¡ l'l'macho~, la fUllrza cortante en lo" r<'moc1oes y !«Jxtn) e:l c",.i 2,5 veces mayor que el esfuerzb en lus remaches ceutrlllc.'l (tlJn;oro y cnarto). e~t'"C"'(JS (¡lI"ill1Ol'O
Cuando se clL<;umblulL elementos de distllltl\ aroll de 1" ~cci6n H1llnelltn 11\ divel·.'IÍ(IEld ti" el ll'Hblljn dll 10¡¡ ["ubIOl'''!;. Los lmí",; rt'ClIrgallos resultof' los rC'flllc!les que .!!e encuentran del Indo de La Illuncha de meno"c" IÍrel\. Sin emha~", los ollsayos dcmuosLl'an, quo cuando adúnn o;;arl,:a>; esthkas. los r('moches !;(l destl'uyon simultúneame"te. Esto se explica por qlle en el momentu del fallo 10>:1 esfuenos 011 los robtotl('$ se igualan, (;OfllO consecuencia de la plasticidad del mlll,erial y las hol¡.¡un.s lHlll'e ¡,)~ relOlI('.he~ y la1:l plll11chas, Cuanflo M.tÚilll cargas de percusión y vibrntorin.s, resuItn. indispoIIsable cun~o.r con la di\'crsidud del tl'abajo de los remuchcs. A~i, pllCS, ell el cnso de cargas estáticas, se puede con¡¡ldefl,ll." ljlll' d esfuerzo corl:lI1l.e en cada remache es ¡.!rltal a, trl\ns\'N~lIl,
".
Q~.!...
(3.1)
Silltldo ¡> 111 ruerta 'lUt' Ilctun sHhre la junla Y/l. 01 número de re~ maches. En el crulo de "1111. juu\.a de d,}s hilos (VfUSll tI! tig. 3.u) por It SIl rlclw cutrlldcr el núnwro de remllche:il que ~ enCUentran a un{) de los lados ele la jUllLa rle \;'5 plallchlll; ousambladM. nesl1ué~, &J '¡l1POlllJ ({'le las tensiones tllngeno;ialm:¡ en ('1 plnn() de c¡~."l1l1mienLo liC rlistri}¡uyon uniformemente, aunque, en rcaliliad, N]nciún teórica rigllros/l. de 'J~W problema prcl;llnta dificuhadcs. SUI'I'" todo si liC t¡(llle en (',lienta ln exi.stl!llcia do cie¡'tos jucgus entm ln.q rCnJllchcs y las Jllllncha~, las fu... r~as de roclJ enlrtl elJas, etl:. Al mismo tiempo, para fabricar los remaches se emplean lil.s marCllSmas plásticas de aC(lros. por lo qua la diversitlad en la distdbución de las tensiones tangenciales desaparece, debido a II:lS deformacionQS; pllÍ..'I,ti¡;aS que acompañan al fallo. Admitiondo que las tensiones tangenciales se distribuyen ul>¡formemento en la seccióu del re~ache, es f!Í.cil ya calcular su magnitud. Planleando la ecuación de equilibrio do la !>arte separada dela junta, la parte superior (tig, 3.1, /1) por ejemplo, obtenem05, 1:X_O, -P-t-nrF=U, de dondo se baila, (3.2)
n"
donde F=""4" es 01 área do la sección transversal del l'('mach8 de diáDletro d.
"
Teniendo en cucnta la Ulrmula (3.t), de (3.2) obtenemos, T_
~
•
(3.3)
La condición de resistencia de los remach€!! al cizalJllwiento se escribe en la forma siguiente: 'f=f,=
~
«'fol.)'
(3.4)
.donde ['fel.1 es la terulión tangencial admisible (teJCIión admisible .al ehanamieuto). De Ja fÓrmula (3.4) facilmente se ohtiene el número necesario .de N;lmaches de un hilo: (3,51
En el uso de juctas de do» o más hilos, en Ju¡;ar de /l en la fórUllIls (3.4,) se debe introducir el número total de cortes rle los r.,maehu ~itundos a UD lado de la junta. El volor ,11;,' lo!! ten~ionl'S tanicndaln .arlmisibles se cSL>tblecc, ~Ill'ralmente, medillnlc ensnyo."pllra rcvelar I~ influencia 8 :llobrc 111 rCllbtcneia de la jUIlLa, de lit (livetsill'ld en In dL,tribllr,i6u d~ In~ LcnsioIWS 1;lnRl:lncinlcs. de las fuerzas de fricción, luhes se COOllidera quo [Te,,1 ... (0,0 -+Q O,~)lo,J, donde 10,1 es la lenJIión lldmillihlll ti trllct;lún. Lo~ mlll.,rillles fibro!!Os (la lI'1adcr/l. Fil. U por ujemplo) qUl' son muy I1cteroll'éucos y nllisolrópicoll, presentan, según lo demuc!tran los en~ayos. muy pOCII re.,lsteucin nI r,i~l\ll;lI11iclI"o Ccor. ladura) en el sentido de ItIS fibra§.. Por ejemplo. pano. el piuo so COI\.sidel·lllTurll - 0,11011. cuando ~ corta en la diroeeión de l'UI nbru. Las tenslolle.ll tllDlt'?neiales actúan (ng. 3.3) no l!Q1:unentc /!n tos planos de ciza\l:amienlo Be y AD, .'lino, como se dednce rle la Itly de rc.;lprocidad de las tensiol\E'S tangencial"", también l>u los ¡liaDOS CD 'i AS, orlog(lnoJes a los primeros. En 10l! planos indinado.'l Actúan tCll.'!.iones lanl.ll normales como langcllo;;illles. L"'1I ten.'liones norm.l€!! In:i:dmall llparecl'l\ en 10.'1 ]lItinas principales. Sus magnitodes y direcciones se caleldan Ilor lall formnlas (2.35) y (2.36). Puulo que en nuelltro <:aso 0 .. :<:< 0"8 "'" 0, do (2.35) se doduce que tg ~t ~ oo. Por lo ta1lto, los plallO$ Jlrincipale.'! tienen fina ;nclinaci6n (le ~~ ... M='O con re"pct.lo n los de eiullnmiento (véase la Ii¡;. 3.3J.
"
La.5 lensiOllt'! principales, [lor la fón;oulll (2.36), son:
.a.-±'f.
O ...
(3.6)
!iiIii es decir. licIOe" lu mi!ma IIlllgllltud que hlS lellsiones tan~nciall'"," que Uo,;lúll.ll en los plaüos de desliUlmiento. Una de la!! tellsiones principales es do lracción y 111. olra, do compresión (véase In fig. 3.3). Puesll¡ qUl:: las dos lCllSioncs principales 8011 diferentell de cero. ",1 dl;llli:unnicllto, como se dijo untcriormente, .~s UII caso purtlculll.del estarlo tensinuo.l plano (biaxla.l) (véase lA fig. 2.36, d). Aparte l.Il'l cólculo por ciznllamienlo, las jUlItllS remacbllda~ SI" calcullln ~ambh¡1l IIOr presión contrll las pared!'! del agujero (aplasLlImiento). es ,lech., se compruebAn las tensiones de aplas18mi*,nlol40ure el área do C\lrllaclo do lo.!! ll[anchas unida! y los remachl'l!. I~s proyecciones de las áreas de aplft!ltamiento sobre el plllllO de~ dibujo están representada.! en 11\ figura 3. t. ti con lineas gnl@lIllSEl ür..1l. de aplllSlal1liento de un remache se considera iguo.l a F. P1 "" -= /l·ó *. f..u tensiones do aplastamiento !f! consideran 1,U)ifort/'lt"mente distribuidas sobre el área de aplastamiento y, por lo tanto. 111. eOlldicioll do l'CsisLenda al aplastamiento ~ exp",sa por la f6rmub. l'
a.pl=::;.........-
(3.7)0
llonde IO~PII es la tensión admi!!iblc alll.phstomlellto y fr', el númerodll remaches. En 01 caS<.> ¡le lilO:'ujerOll taladrados o 11lIl1z(lnndo~ con UIl posterior rolitladrado, ~e admite lou,¡J - 2!crJ. Do In fórmula (3.7) !'<' puedt: ohlener }o Clnlidlld Ilece~ria de remaches, .5egún 111 coudición de resistencill 01 aplastamiento,
n' >
J~ [:.. ptl
(3.8)
De lu dos magnitudes ohtellid",~, n y n'. se II.dmite la nlayo... Por la fórmula T - ~ se ulcullln. también, lu juntas soldadas. que ulUmamente. cada vet con mayor intensidad, sustituyen a tal'< remachadas. En la figura 3.4. a está representada una junta solapade de dos planchas, unidas por cosluras frontales y de flanco. Al calcular las costuras frontalos y las de nanco, se considera que la St)(;eión peligrosa de la costura coinetde con el plano que pasa 'por la bIsectriz mn del ángulo recto ABe (fig. 3.4, b). Asi, pues• • Cumdo ao _mbl.n. por Junta ""olapada, d... pl.nth.,. de dlSlin~o> espelOt', en el cálculo d. F.pl lOe debft e",,,ldera. ~ l,,' En el e&liO de enaamble al "ope. con dO!l eub<'eJuntas (VÚ!le (¡¡r. 3.61. se dob nt der )lOI" & el "'lll!SGr del.. himinu .".n.bld ..., .si no"" auperlor a 26 c (d d.. &c es .,) .P"""'" de \In eubr.lunt.). En 111 eNO eonlr.... io {eua"d.. 20l c < &l .. debe CQa!i.d ...... F.pl - 24&".
..
el área de la sección peli¡rosa de ulla costura frontal es 0.7 bk. y el de uml eo~tufn de flanco. 0.7 1.;l. lIiendok 01 cateto de la eos~ura. En el caso representado en h. figura 3.4., el ea~eto es igual al el!pe!or 6 de h. planeha superior. L8lI ~ensione5 tangeneiaJoa 8& eolllidertllt dilllribuidu uniformemente on el lirell de la seccl6n
, o)
6) fl~.
1.4
pcligro~. Tenh,ndtl un cuenlll esW suposiciOI1C!l. Ii'l. t;8rga sibil:, eorre!ponrlient! n la cQ~hml; rmnlo). e!', [I'/..... ,j= bO. 7k IT.I.
arlm¡~
(3.9)
doude trI! es la tensión IIdmillil>/e, por c;()rtadutn. poara la costura. l:::1 esruen:o :u!mislhle para una C;üStUt9 de rlalllCO. es,
lP/ll=lO.7kIT.!.
(3.tO).
obvio. que para eon!lE'guit unll jllnla rlllli~t('IlI('. scrá roecelI-Rrio que 111 re::'islcnc;i/l totlll lIdmisible de 1M cvstlll'llll no sea inferior M la {nor·f.;) que adi,,, sollre lu juntll. P.S dedr, E~
12P¡d I 2 (p¡."..d>P.
(::J.II}
Do 1J!ltn ecuación l!tI pll&d'l aillenor In /(ll,¡;ritl,d IltlC\J!H\ri" d" la Cos~\lrn. si !\l:: fija prc"inmenlc t:l valor dc k. Los tipos de jlllllllS rOlllocharlall y lloldaUl\S !k)1I muy ilh'l:rllOlI.
ESlO$ se estudian dctnllnl1S1l1en~e en el CUNO (le nll9 y en olrns curs(>!l ellpeeillie!!.
«PiCl.a~
rió' M,iquj.
§ 24. D.formacllin por dllUum/nto
t::l elemento ARCD. que anles
redanguJ~r
(filt. 3.!".), después dI" la deformación, lIdqllirir:i la forma AB'C'D lA D :se COll!!ideu fijo).
I~a m ..¡(nitud CC' = f.S !
•
B'~
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,, , ,
I
t~/I ,
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I
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A
dSj
€.___ cr
Fir.
D
a.s
C"IIlO demu,'strllu Jos ,msaYO!t, para muohos materiales, cuando no l;'xclllle cierto valor, t'ntrc 1M tcnl'liones y las dl'forulocione:~ en tll deslizamiento, se verifica la siguiente dependencia line/d, 1:1
CUrj;1••
,
(3.12)
1'=71' '
'¡IIt' expreSA la ley de Hooke liara el d
a In deformación por d~lizam¡eolo, Conociendo 'r'. se puede obtener 11\ distorsión absoluta, • <'
.....
Q-
u.>=ya-""7; .... c¡.
(3.13)
dondt! Q es la fuccttl que actúa en la car. BC; f es el tlirea de ma caca (aqui. como anteriormente, se admite que las tenJliones tangenciales !IC distrihuyen uniformemente sobre el área en que actúan). La depelldellcla lineal en\re 1: y Y resulta vAUda mientras lu tensiones tangenciales no superen el IImile de proporcionalidad 111 ciulJamiento. Oc (2.42) se va, que en el C8~ del deslbamienlo puro la deformacl6n
90
_1:;
0:_0.
§ 25. Energfa potencial dll deslizamiento.
Rltschin entre las b.s oonstante. dI elasticidad. E, G J ~ Calculemos la energia potencial del deslbamiento. Fara simpÜücar el problema. suponemos (JUII la cara AD del elemento no se mueve (véase la fig. 3.5). Entonces la llllllrgia potellcial será igual al Irnuajo de la fuerza Q. que actúa S4)bro la cara Be, Qf!,.S
(,11"
n=--;r""'1GFo La energía potencial unit.aria será: n Q'" ~t u=Y-=WFla =W
(3.14)
(3.15)
J. ;
(puesto que '1:_ V=Fa) . La ellergía potencial se puede ealctQar también, como el lrabaj(l de I¡\s tensiones normlllcl! principales (fig. 3.3). Cuando el estado tensiollal es plano, como en el caso del deslizamiento puro, de la fórmula (2.53), suponieJldo a. = O, 1I8 obtiene,
u='l~(a:+o:-2~0"11J~).
(3.16)
Como las tllustones principales son a,=T y al= -T, pur lo Lanlo, u_ T~(lt"l (3.17) Puesto que la magnitud de la energía no debe depender de la de IlIs caras del elemento, igualando los seguudos n'¡eml.oros de (3.1,') y (3.t7), l¡allaremos,
uriental~ión
T~
W=
TI(l+l'l
E
De esta expresión se ohtiene la dependenda enlre el módulo de rlcsli7.amiento G y el múduto de elasticidad de primer género e.
G= Para el
E 2{1+",)
(3.18)
¡¡ .... ere,
G ..
:q~:~3) ::::::8.10akgflcm~.
Ejemplo 3.1. Calcular la juntA remAchad,a de dos planchas ,le igual sección y espesor 6 = 16 mm, si están uniJas por dos cubre· juntas (Og. 3.6) Y la {uafta es P = 60 t. Las tensiones admisibles son, [a,,1 = lo,] = 1600 kgf/cm', l'tel,\ ="1 000 kgflcnl~ y IO~pd "" 3 200 kgflcm".
ro
Resolución. En este caso los rem~ches son rle dos hilos, puesto que pal'l\ quo ocurra el fallo, es necesario que cada remache se Gorto por dos planos. Supongamos que el dilimetro de los remaGhes es d = 20 mm. Calculamos el número necesario de cortes por la fórmula (3.5), 60 000-4
P
=3.t4.21.1{l(J() '"
tt=lld2
T
17 ,
cortes
,J
[TeI.J
Por lo tauto, es necesario udmitir 9 rcmaches. L-~ euntidad indispensable de remaches, por aplastamiento, se obti~!Il~ de la [órmuta (3.8). ,
!)
~ 8-
60000
p
6
h
1,6.~.3:''OO-''';¡:::::
n =bd[oaPII
ramac es.
Rl'..sultó ~or decisivo el cMculo por c¡~8JJamiel¡to. f\dltlitimos rCIlL(\chcs a cada Indo de la junta y los disponemos en tres fUus,
~l Im~mITI: ~e::=;g!!
!!*
con tres remaches en cada una (VéflSlJ In Cig sección F de la plancha, a tracción, LO
P
60000
r = ¡oll =-"'T"'iiOQ -
37
e
3.G).
Calclller.l(l.~
la
•
", cm .
De aqui 86 deduce que, sL 6= 1,6 cm, el ancho de la plancha
será,
F 37,r, 235 b1-¡r=U"" , cm. A la anchura neta obtenida se la Sllmll la nnchura de loS aguje· ros, 3d = 6 cm, y hallamos de esta forma la anchura complelll de la plaocltn, b = 23,5 6 = 29.5 cm. Esta anchura es suficiente para colocar tres remaches. (La distancia entro los centros de los Nmaches se toma igual a 3d). El eSlJCsor 6~ de cada cubrejUlltli no debe ser meoor que la mitad del espesor de la plancha. Así, pues, aceptamos 6~ = 0,8 cm. E)emplo 3.2. CalcuJar la variante de una junta soldada segilU los dato.~ del ojemplo anterior (Cig. 3.7). La tensitÍn admisible de
+
98
cortlldur4 de
IA,~
costuras os, fT~) = I tOO kgl/em'.
RuoJ~16n. Para poder ubicar las cOSh)r., de flanco. 6-"Co¡emol la 8,"Chllrll del cubrejunta. be. un poco menor que la de la plancha l/". es decir. b. '"" b,. - 26 ... 235 - 32 .. 203 mm. l';lrll que l.
p
•
~...~
: : : : : ,: : ':':::::' :11:::':::::"::::4
p • .,/
resistencia de 101 eubrejuntM,ft 8f:ll 110 lUt'nar que Ir, de la plancha. el área de la secoión Un los primeros lltl r1eberú ser inferior 11. la de la plancha. es dedr, 26.,.!'. PI'" Oe aquí so obUlJlle que el (',~pesor del cubreJullla, c'I t,G·2a,5 002 e:> l.¡(O,3 - . cm.
>
Admitimos ti.... 10 1111». LIl JOrlgilllll efectiva indlspetlllabt, de llUl eOlllura~ de flanco 111 lI(I obtiene de la condición [vbge 11 fórmula (3.tO)I, 1100.4.0,71 11 >60000. De aqui se obtieue 1,1 = 1!:l,5 cm.
,.
CAPITULO IV
CARACTERISTICAS BEOMETRICAS DE LAS SECCIONES
§ 28. Momento estático de la $acci6n
Para el estudio posterior de los problemas de rl)sistencia, dgide7: y estabilidad, ser:!: necesario introducir algunas caractcristieas geométrica~ de las seeciones, COUlO son: los momentos l'státicos, los momentos de inercia y los módulos de la sección. y
Fil. (.1
Se lIamll momento estático Sx de Ufia sección (Iigura), rospecto 11 cierto eje x (lig. 4.1.), la caracterlstica geométrica determinada por la integral, S._¡YdF. (4.1) F
donde 11 es la distancia del área elemelltal dF RI nje x. El momento est:!:tico se mide en unidades de longitud elevadas a la tercera potencia, generalmente en cm". Este momento puede ser positivo, negativo o, como caso particular, igual a cero. Si identificamos el área con una fuerza, entonces la integral (4.1) se puede
tOO
interpretar como la suma de lO!! momentos de las fuerzas dF, respecto al eje x. Del conocido, en la Mocltnica Racional, teorema sobre el momento de la resultante, se deduce,
F%~ ~ ydF= Fyc,
(4.2)
,
siendo F l:ll é.rea total de la figura (rcsultllnte); Yc, 111 distancia del cenno de gravedad de la figura al eje x. De (4.2) se obtiene la fórmula que determina las ordenadas del centro de gravedad. :1 Yc=~:". (4.3) i km : De una manera análoga, se tiene para el momento estático respecto al eje y, (4.4) Sil = ~ xdF=Fxc. le
de donde, S
xc .... ; .
(4.5)
,
,
,
De estas j6rmulas se deduce que, silos e;es x e y palian por el centro de gravedad I ' de la figura, entonces el momento estático, respecto a estos ejes, es igual a ctro. FIg. 4.2 Estos ejes se denominan ejes centrales. Si la figura esté. compuesta por figuras elementales (cuadrados, triángulos, etc), p
%$FLVI+¡"~1
tO.I·5+4.t.O,~
372
F,-I-F1 '" 10+4 -, cm. Estas coordenlldas determinan la posición del jlunto del centro de gravedad. YC=Y=
e,
es decir, lOl
§ 27. Momentos de In erala de 18 sIccl6n Se denomina momento talal (1'CIlalorlal) de inercia de unQ $tcc1ún. la caracfertstic'l grom!trica de la slfCci6n, numéricamente igual a la
integTIIl J,,=
S , y~dF.
(4.6)
Por analogía, tenemos rffipech) al eje y,
J~=SxtdF, F
s;p.ndo y la distancia del ,'trCo.'I el\lmen~aJ dJo' 11,1 eje;¡; (véase hl fig. 4.1) y;r. la distancia del área elemental dF al eje y. y Se denomina momento p·nlor de incrda de la socciólJ la carac~erística geométrica, -~ .. determinada por la integral, (4.7)
siendo p la distancia del úrea dF al punto (pofo) (véase la Cig. 4.1). ",¡¡pecto al cunl se calcula 01 momento polar rle inercia. Los momentos de inercia ll.:l:illl y polar son siempre m¡lgnitudes positivRs. En eCocto, independientemente ,Jel signo FiJ. U do la coordenada del lirea elemental arhi~ tracia. el sumando cOrrespondiente es positivo, pue.sto que contiene 01 cuadrado do esta coordenada. Se deuomina producto de inercia de la sección la earacf~ríttiea geom!lrlca, determinada por la iutegral, J",g_
SzydF,
(4.8)
F
donde z e 11 $on las distancia~ del área dF a lo¡; ejes z e y. Todos 10.'1 momento.'! de inercia se miden en uuidade.
102
es decir. calculando la integral (4.8), obtenemos como resultado, cero. Es /ácLI demostrar, que el mo1Mnto polar de Inercia, respecto a un punto arbltrarío, es tgual a Ül suma de /,I)s momentos /l$tales de muela rrtlp«w a dos eies ortogonales que pasQn du:ho punto. En ef~to. de la figura 4.1 se deduce que pi=z'+y'. Introduciendo este valor pi e[l la expresión (4.7) hal1art'Dlos,
1 p""
Spi dF= ~ (Z' +yl) dP= ~ z'dF+ ~ y'dF. l'
l'
l'
F
Y por 10 Unto,
(4.9)
§ 28. Releoi6n entre 10B momentoa de Inercia
u.pecta e e)eB paralela. Calculemos el momento de inercia de una figura rellpix,to a un eje cllalquiera z, (fig. 1,.1.). Sea Ze un eje central y 1"0' 01 momento de inercia. que I!C C01l¡:;idern conocido. De la figura se deduce directamente que Yl = a Y. por Iv tanto.
+
1",=
S(a+y)'dF=a" SdF+2a SydF+ SyldP. p
,..,..
F
I.a primera integral nos da el área de la sección. La segunda,
" e
~
~
, • "
Fil. 4.4
que rcprcseuta el momento estático respeeLo al eje c{)nlral x •• es igu
rupec10 al eje :f., AsI, pues, J"._J,..+Fa~.
(4.10)
EJ momtnto de inercia, rnp«to a un. eje arbitrario, e' igual al mo~nlo de inercia rnpecto aJ eje central, paraJelo al pri,""O, mcí, el prodUclo del úrea de Ja ¡i,!UD. por el cuadrad,. de Ja di3tancia .!fltre
lo, eju. De 10 fórmu) .. (4.10) se deduce, que respec:lo 1I UII eje eeolral, os meDor que respecto a cualquier otro eje. 00 Cf'ntnJ, El ruumenlo d~ inercia, respecto a un QlOmento central de loerel•.
el IlIomeolo de iOt'rclll, el momento de inercia. paralelo ¡al eje central. eje centnl, se denonlin;'l
§ 29. Momentos de Inercia
de la••ecclonea .Imple. 1. Rectángulo (fig. !'.;j, a). Hallemos al momento ue inercia de 111 soeeion, respecto 111 eje :fa, que pua. por el centro de Wa""dall. a)
J"
t: <)
')
• ,
'. Mr
á)
e ~
-,~
í '" u
,
"
E!Cogemos dF igual .1 área de una (,anda infinitamente delglld:l dE _ Mv. obteniendo así
.
,
Así, PUIS,
'"
1~'-12 .
(4.11)
1"=lT .
(4.t2)
...
Está claro que,
2. Cheulo «(¡g. 4.5. b). Caleulemos primeramente el momento polar de inercill. respecto al centro del eírculo, J,,""-Sp'dF.
,
Entenderemos por dF el 3!'N. del anillo innnitamel'lte fino de ancbura dp. dF=2:tpdp. Entonees,
y por lo tanlo. (4.t3)
Ahor/l ca tbcil )'a bailar J "'0- I~n efecto. parll el círculo se obliene, por /a fórmula (4.9). J p =2Jr .=2JIIt, de dondo Jp "rO lid· O. Jr.--/~'=T=T-64:::::;O,5d.
(4.14)
3. Anillo (Ug. 4.5. e). El momento axial de inercia, en este caso, es igual a la diferencia en~re los momentos de inercia de los círculos exterior e interior, 1%0-1•• = = O.05Di (1 _e i ), (4.15)
11:_":-:
siendo
De una manera análoga 88 obtiene para el "wmento polar de inercis, "DI 141 1" =""J2 -"M" =0.1D" (1- e"). (4.16) 4. TriánflUlo (4.5, el). CaJculenlOs el momento de inercia, res· pecto al eje %. que pasa por el \"értice del trhín¡ulo yes parll.lelo • la hase.
J~.... ~ JI'dF. ~
'"
Entendemos pOf dF el área del trnp<'cill inflni(¡¡menLe Hilo It.BDE, cuya tire,' puede con,o¡iderlln;J6 iguAl a la de un reetúnglllo. dP=bl/d¡¡,
!!iendo b, lit longitod del rectángulo. De 111 condición de semejt,nu de I~ triangulos se deduce: bll
J.,,~t Hlllleml'~
I'Arll ello,
=:
b.
• •
S yldy=~'.
(4.17)
ah'JJI1 el I\lemento de inerciA, respecto al la fórmula (4.10): 3 J''''t = J I'fj l = b: _~ 2 "",, b3h6~ •
Ojo.l
centl1ll.
empl~aIIlO¡¡
(¿ Ir)
:t:,-
(4.18)
El IU0111ClltO de inllfCill, respeclo al eje que ¡10M por la bnSll. es
J.lrO = J.Ir,+ Fa' ""'
b;'1 ~ ~ (-} h)t - ":21.
(4.19)
'30. Momento. de Inercia da 'iguras complejn El mom~uto de Inn-cw. de 10$ mom~ntos d~ tn"cfo
d~ una /if(W"a compkja u d~ sus plIrtes int~grotltu.
JJr=J~+J~r+J~lI+...
igual a la ;tUmll
(10.20)
Elite resullado se deduce directamente de las prlJpiCl.llldcs de la integral dofinida
~ ¡¡'JF_ ~ y" dF+ F
1',
Sy'dP+ ... F.
Ilende }'""",P,+Ftl- ...
Asi, pues, para obtener el momento de inercia de UDll ri~ura compuesta es newsario descomponerla en una serie de figuras :limpIes, e.alcular sus momentos de inercia y sumarlos dupués. E!le leorema es vUido tambien para el calcuJo del produclo de illercia. Los moment~ de inercia de los ¡>ediles laminados (doble te, de canal, hierro angular. etc.) figuran en les tablas del surtido de perfiles.
>O.
§ 31. Verlacl(in de 108 momanloe da Inercia al girar 10$ ajas
Hallemos la ¡-elación entre los momentos dtl ¡nexcla, respecto los ejes z e Y. por UDa partf;l, y los momentos de inercia, respe<::lo a los ejes XI e y, girados un ángulo a. por otra (lig. 4.6). Sea J % > J v' Supongamos que el ángulo positivo a se mide del oje x en direcciOIl opuesta a In de las manecillas del reloj. II
y y,
6
"
,
,,
_/ A
"
"
HQ'.U Pllr3 relSOlver tll prololemll planteado, VCIIDlOS la relatioo euLre las coordenadas rlel órea dF cn el sistema de ejtlll inicial y en el ¡{irada. De la figura se deduce que,
.x, _U(,:=OE+ U=Olf:+AF=UAcosa+ AHscna= ~x~os'J;': Y~l'lIa.
y, =l'fC"'" HF - AE_ Y cos a_x sen a. Xl
(1,.21)
(li.22)
Hallenl(ls ahora los momentos de illercill respcctQ a los ejes e YI
J%.=~
, y::dF= ,~ (y.;o.,sa-:¡;sena}'JF= - Sy~cos~a dF-;: ~ xy senO-cosadF+ Sx'sen!11.dP Jo"
~.
P
ó J r. = 1" coso a+J v sen'a- 2J"v S"" a cus a. 1117
De una mallera llnliloga se obtiene,
J~,,,,,S (.l:Co.~(".(--;-ysena)2dF=
,
= J", sen" (1 -!- J y cos~ a
+ 2J
"lI
sen a. ctIS a,
(/.,24)
I "'lI, = ~ (xcos 11.+ ysen a) (ycosa-x sen IX) dP =
"
J~sen2a
J,,!!
~
2
+J"v cos2a .
(4.25)
Sumando las expresiones (4.23) y (4.24), hallaIJIOS, ~+Jft-~+4=J~
~.~
Restanto ahora la expresión (':.24) de la (4.25), olJtendrcmvs, J", -J v• = (1 ,,-J,,) tOS 20:- 2J•." sen 20:. (1j.27) La f(,rmula (':.26) demueslra que lo sumo de los mommlos de inercia., respecto a ejes perpendicldares arbitrarios, no $l! O,Uera al girar estos ejes. Lu f,',rmnla (4.21) puede servir para calC\llllr el producto dI: inerci;\, rcspeclo 11 IQS ejes :t e y, cualllio se conocen los momeiltOI:l axiales dI: jn\~rch\ rl:specto a .:1:, y, :tI e y,. § 32. Ejes principales de inercia momentos principales de inerel.
y
Al vnriar d ángulo a, las mall;nitudes Ix" Iv. Y 1"'11, \"arían también. Veamos el valor del ángulo, correspondiente a los valores extremos de J ,,' Y J 1/" Para ello. hllllemos ll! primern derivada tic l., o oe 1 11 ., respecl,o Il a e igua,lámoslH. a cero, dI",
""'ii(l =
-
6
2J" COS 11.0sen ao + 2J 11 sen ex,. cos ex,. - 2l"11 cos 2ex,. (1 y-J x) sen
°
Zao- 2J"v cos2«o=O,
de donde, 2J"1I
.
tg2ao=;---y.
,-
(4.28)
Esta fórmula determina la posición de dos ejes. Respecto a uno de ellos, el momento R.dal de increia es máximo y respecto al otro, miniroo, Eltos tjc: se denomman ejes p'l'incipales. Los momentos dt lnercia respecro a nlos ejes se llaman 'IUQlnentoH
l)rincipales {le
inel-eia. Los valores de los momentos princ.ipales de inercia se obt.ienon por las fórmulas (4.23) y (4.24), introduciendo en ellas ao de la 108
fórmula (4.28). P.r. ello, llpliumG8 In eooocidu fórmulas trigonométrica. para In funciones de ángulos dobles (i 19)-, Después de (;lerta. traIlllformaciones, obtendremO! la fónnul. siguiente, pan el cilculo de los mOmentos princ:lp.lcs de inercia. 111.+/.
t
V
J .... 2 ±T (/" Jr)t+4J~r (4.29) ...1.. Por su estructura, esta fórmula es análoga a l. fórmula (2.36) para la.':! tensiones principales. An.li~aDdo la segunda derlv8da ~~í!, se puede demostrar que, en este ca!lO (J~, > Ir), el moroeolo de inercia mli.xlmo /",,1t. corresponde al eje principal, girado un ángulo a.o respecto al ej. ~, y el momento de ioerda minJmo, al otro eje, perpendleular .1 primero. En la mayoría de los ea$Oll no hay necesidad de recurrir a este _náli,l!!. puesto que, por la configuración de las seceiollell, se ve cuAl de lO!! ejes principales corresponde al momento de lnereia mblmo. Aparte de la fórmula (4.29), para calcular los UlOlJlenl.OS do inercia principal~, se pueden emplear también lu fórmula;; (4.23) y (4.24). De esta manera se telll>elve por si $01. l. pregunta: ¿qué eje principal corresponde al momento de inercia In!:rimo y eUlil de ellos, al minimo? Dcrnostremo.s ellOra que el producto de iT1l'rcia. respecto a los eje:!! principales, es igual a cero. En efecto, ig\lnlanrln (l cero J ~U',' por 111. fórmula (4.25), ohU'Ildremos, JIt-J~
2 sen 2UQ+J ~~ cas 2 Qo ... 0, de rlonde se obtieno la fórmula (4.28) pera el valor de tg 20:,. Asf. pues, R dtnoml1ll).n t¡u prlnclpalts de lntrcfa los qll' tltntn la" propitdaths "lglli~ntu:: 1. El prodU(:ta dt blUcia, rnpteto a estO" ein, el 1Ut14. 2. Lo.s mommtol th 1JWN:U1, rnp«UJ a los tia prinápakr, tuntn valen, utTtmN (""11«to a un" de dl/U el mújmq " "'1111«'0 4i otro, ti minil1l6). lAS eje''' prindpakr, que pa.m por el cent,,, de grt,Wn/ad de 14 ~WII. Re den()l1l11ll).PI eJn principal" «n1raks de flltr'Cio. En muchos casos resulUl muy fácil determinar la posiciÓn do loa ejas principales centrales. Si la figura tiene un eje de simetrla, entonces este eje es Ilno de los ejes principales cenlrale.,; el otro pasa por el centro de grllvedlld y es perpendicular al primero. Esto 3e deduce de que. respecto (l,1 eje de simetrla y a otro cualqulern, perpendicular a él, el producto do inllreia e! Igql a cero. Por las fórmulas (4.23)-(4.2{J), so puedll uewoslrar que si los dos momllntos principales centrales de inercl. de la sección .son igllales, entonces tud/) eje ct'ntnll de esta secci6n será eje Ilrlaeip.l )' todos los momentos priacipa.lel centrales de ilMlrcill ~ran Iguales (circulo, cuadrado, u¡Ígono, tri'n¡ulo eqnilátero. He.).
,.,
En cf{'cto, supongamo.'! que para cierta seCl;i6n los ejes :r e y son principales y centrale, y que, al mi¡;lUO tiempo, J;c = J~. Elltonccs, do lns rúrJlluJa~ (4.23) y (4.24), 5e obtiene que J" = J 11 = = J"" = JI/.! Y de la fórmula (4.25), que 1""/1 = O. es decir, que lo!! ejes r,ualesquicce Xl e YI son ejes ccntralell principales de inercia de esta figura.
§ 33. Relación entre los productos de Inercia respecto a dos sistemas peralelos de ejes Supollgamos dados los ejes centrales Xo e Yo (Hg. 4.7) Y el momento de inercia /"0110' Hallemos el producto de inercio. respecto ¡¡ los ejes Xl o VI" De la figura se deduce que, x¡"'"Xo+b.
y¡=y.+a. PUl' lo Lanto,
J,'u" .....
~
,..
XIY' dF=
S(xo+b)(Yo+a)dF_ lo'
SxoYodF+ F
+bS YorlF+a S xodF+ Sabdf'. o
F
~a.
J "nI =- J :<0\1.+ Fab.
F
F
(4.30)
La sell:unda Y tercera illtegral del seguudo miembro tle la igualdod (4.3U), que representau Jos momentos esU.licos respecto 11 IOI! ejes centrales, son iguales a cero.
~.U
Asi, pues, el producfo de inercia, respecto a un sistt!m4 de eje~ ortogonales paraklos a /os t!jt!S celltraus, es flual al producto de tnercia
uo
respecto /l los ~j~g central~s más el producto del área fU la figura por las coordenadas de su centro de gravedlJ.d, respecto /l los nuevos ejes. Si los ejes XQ e Vo son ejes principales centrales, entonces. respecto a estos ejes. J ".~O = O, lo que simplifica la fórmula (4.30), y, J"lIIl=Fab. (4.31.) 1. '. En el caso de tU13 figura compleja, compuesta por n figuras simples.
"
J "Wl = ~ F¡a¡b¡
,
(4.32)
(siempte que ~O1! ejes centrales propios de cada íigur.a sean eje~ prineipale:!l). Ejemplo 4.2. Calclilar el producto de Fil. U inercia del perfil angular tOO X 100 X tO, respecto a los ejes centrales X, e VI (Iig. 4.8). ResoluclfÍn. Recurrimos a la fórmula (4.25) y baUando de la tabla del Ilurtido de perfiJe:¡¡ los 1Il0ml!ntOll de iIÍercl~. respecto 11 lOs y,,
\"
y
Io,··k
N20·
",- 5. ~
,•,
~I
, "
x ~'.JI'Jp'
,
1-
S
"."
'
~
"
y,-¿83 -!f0.
z,.-?,M
<8J
ejes prineipall!s centrales. X o o Yo. Jxu calculamos el producto de inercio, (J ,"'o -
J"'ln'"
,
J ~o)!;<>n 2~
_~
:l84
cm~, J~"
_74,1
crn~,
+ J "MIO cos 2(1. <1,
El producto de inercia·J"." es igual il cero, puesto que los ejes e VO $00 ejes Cflntules principales (=o es el eje de sim9lrh, de la figura). En ángulo a. - -45\ ya que los ej83 XI e NI' respecto a 1M que se calcula el producto de inercia, cstin girados en el senlido de las maneeillall del relo; rel!peelo a los ejes Zo e ",. Por lo tl\nlo,
x,
J,.u..
:!8-f.274.,1 (-t)= _104,95cm4•
Ejemplo 4.3. Calcular los momentos principales centrales de inercia de la sección de la figura 4.9. RtlOluá6n: t. Calculamos lascoordenadss del centro de gravedad. Para ello tranmoslos ejes auIiliaresx. e VI y descomponemos 14 sección IlD dos: el canal (1) yol angular (JI). Todos los datos: nece!ario~ rerewntes 1\ estos perIlles están dados en la tabla del surtido de permes (labia "'.1). Calculamos 111.8 COOrdeMdss del centro de gravedad do la sección por las fórmulas,
.,-
F'''I+Fl ,,! F1+F!
siendo F. el area de la primera figura (da Cllllal); z" la rUmanci:l del ej", V, al centro de ifnedlld del canal
-.,
Ar . . . . l.
PIp ••
p, .....
U.U 4.1 PO.(~IOn
ci
~o:=.:i':e ~~r.:"f~: ~;y::" om'
......
~enl'" ~ ..od.d ~.,
cm
lI~rhool.r
Canal 111 W· An811la~ 100x
".'
2,28
, 670
XIOOXIO
19,2
2,93
".
.1.
V.rUen]
". ".
Aquí. XI - 8,0 - 2.28 _ 5,72 cm, siendo 8,0 cm la anchura del del canal Y:lo - 2,28 cm, la diStlJ:lcia del centro de gravedad del cantil. su alma; F, es el 'rea del a~lar; zt, la di!tancia del centro de gruedad del ang\1.lar al eje "1: :l"t -- 8,0 2,83 '"'" tO,83 cm.
+
ll2
La distancil'l del cje x, fll centro de gravedad del canal es y, = 10 r,m, pUl'sto qll6 la Il.llura riel canal es 20 cm, La distancia d",1 eje x, ni crmtro dcgravednd del l'lngulllr es y. = 2,83 cm. Introdnd.:mdo estos "alores numérico", obtendremos, _ 2~,2·5, 72+ 1(1,2,10,8.1 _ 7 93 :1;0l,~,2-1 l(l,~ ., cm,
Yo=
25,2, 10+ 19,2·2,8-1 25,2 T I9,l
6,D cm,
Cou los resultados obtellidos hallamos el punto O, es decir, el cenlo de gravedad de la sección, y trR7.amOS IJür ésto los ejcs CtlnLrll.les au:--i1ill.res x e y. El punto O dl'herfl encolllrar,~o en la recta qlle urUl lo~ centros de gravedad del cuna! y del angulllr. 2. Colclllamos los momlJntos ,le iUNcia rtl51'(lclo n los ejes x e 11, Jx"",J~ +J~I,
J!I,..-J~+J;!· Pnr:. "htl~ller d IIlOlllUn\u de [uercia <1111 I~Hu\1 J.~ rlJspecto ni t'j(x, rl,(;lIrrirnlts a la fórmula (1.. 10), J~=llj70-12!",,2(-.·3,10)·_1V12cm"
,Iondc
a,
J~.
l'.~ el monl(",to Otl incrcia del <:nnal rcl'pecto a Sil llje central ;&'; }' = 2;;,2 Cll).~, III ii~A ,lo la sección tI('1 cnn~l; 10 -1;,!JJ=3,H! cm, la rlistnnc,in dol eje x al centro de gravooad del canal, que 1lC rUIl~idera PQ~ili"a pueslo qllo d Cllllt.ro '¡o ll','/,vl'dad dol c!U11l1 i!'C encuelltra por oJU,;imn dl.'l
1 Ij70 cm'
[>je x, DI.' "na mancr,' Hll:ílogn 110 o[,licno ul JlHllnl°nlo ,10 ¡'¡uroin del ;\I,,~ .. 1al"o rc~p<:clO al C'Íl' ~'. J~I ~i{'"do
_, I i!:i ,_ J9,2 (-4,07)~ = ,\\,17 cw',
J r _ 17\1 rm' el IIlOnlento 00 i"crcia dol u"!!,,lar rll~pIlC!O a su de Cl,ulnd x", o, ..." 1,83 - r.,W)= - ",ni cm, In diSlnncia dd uje To al
centru 'IL' !!I'Hv('dúl lid p,-'rfil nng"l ar. E-I ~igl1" nlcn".~ i",I;_ ca lllll' d cr¡tl!1'O ,11) Wilvc'¡ad (Iel Ill1io{nl:'r ~c IllH'Ul'III.I'!1 por .lelJlljo ,lel cjl' ;1:. ~:¡ mnlllculn lolal (le ¡'1l'rcill do 1" sccdv/1, rl;~lll"'fo ni ejc To, cs .J,.'_ I 012 .;-1.97 ~:1. "OH cm·. De la mi,,;ma manera se <:nkula 1'1 mUrIl..,lLlo de illl:rcilt dlJ lA 'IOCci,·'" reSpr,;to id t'ju 11_
Para el canal tenemOS, J~ ....,
donde b, = 5,72 -
139
+ 25,2 (_ 2,21)" _
262,5 cnl",
-2,21 ero, es 111. distancia del eje 11 01 centro de gravedad del C¡¡ll~l. Se "ogo ésto con signo lwgativo puesto que el cenlro do gravedlld del cllnalsc encuentra a i:l izquierda dl'l eje y. P"ra el purfil angular hallamos, J~I_179_~ H),2(Z,9)"-3/¡0,5cm",
7,93
=
donde b-..=8-1-2,83-7,93=2,9cm, es la clilllancia del eje yal ceutro de gra\'edlld del angul;,r, El mornclllo total dc ioercia de la sección. respiecto al eje y e~, J v = 262,5+ 340,,"; = 603 cm',
Calculamos ahora el producto de inercia de la sección, respecto .x e y, Parn ello rocurriml>s l) ln fMmula (4.30). Puesto quo el Cllnal tiene uu eje horizoutal de simetría x', sus ejes centrales x' e y' serán ejes principales y, por lo tanto, el primer sumando do la rúrmilla (4.30), en el C/l.'KI del cllllal, será igual II cero. Los ejes centrales propios del angular.. paralelos a x e y, es dE'Cir, los ejes x' e .1/, no son principales y. por lo tanto, el primer ~llm&Tltlo de la fórmllla. (4.30), para el cuso del angular, no desaparecerH, sino que deberá ser ca.lculado por (ll mismo procedimiento que !«-' empleó en (ll ejemplo 4.2. Enlonces S(l olotuvo el produclo de inerdn
J;r;~'" 25,2
(+ 3,10) (-2,21) - HM,95
+ 19,2 (-4,07) (2,90) =
= 172,0-104,95- 225,." - 501 ,9 cm". 3. Hal!amos la oriUIltació,n de los ojes principalos por la fórmula, (4.28), 2/>;v
2{-501,%)
r:-
tg 2a,,= '11_ 1" -- 003_2 0109= 0,.),)5,
2Clo = 29"03'; Cto = 14°31'30",
Colocamos este ángulo (en dirección contraria a la de las mlln..... cilla s del reloj) y trnzalUOlI los ejell centrales principales X e Y. Si tg 2a. o y ct o hubiesen resultado negativos, entonces los ejes eCIItralell principales estarían girados respecto a :;¡; ti y, en el sentido de \a.'l manecillas del reloj.
'"
4. C.kulamO!! los momentos de inen:ill ceolrllles prineipn1cs por 111 formula (4.29).
J ...I
"",
+
2409 :: 603 ±z I V 2409
30 603)'+4·501,95'_ t 506 ±iU.
m'"
Pur lo tnnto.
J 0161'" 2 536 cm 4 ; J Olla _ t. 76 cm~. Puesto que, J~ > JI/' J_, tl!ndrJllugar respeclo al ('je prineip"i X y J "'1'" Il:lSpeelO al eje Y. Para comprobar los cálculos reeurri· 9,!I mos 111 las f6rmulu (4.23) y (4.24). "
J x - 2409·0.937+60S·0,062:J+ 501,95-0,48,') ~ 2.';3U COI', lT _ 2':'09·0,0(;25+603·0,937-
+
-501,95·0,485= 476 cm',
...,
~iendo,
«(HI' a = COl:l' (14"31'30") = 0.968' _ 0.937: sen" a = sen' (14"31 '30") = 0.25'_ 0.0625: lK'n
2a = 5en 29"03' _ 0,'185.
~ 8
fll. 4.10 Ejemplo ".4. CldClllar el producto de inerciü del triáJll;'uJo rectiln:;:ulo do la n¡:urII 4.10 respecto '1 lo~ eJe", (IUl' coin<:idcn con SlIS clltetos. RrSfJlllt/(¡n. CIIkOllamos I,lL producto Ol' inJ'rcla por 1n fórmula
J Z 'II,-Sz,y,dF.
,
Esc'ogeol03 como lÍrea elemental 111 de la moda .4B. dF_cdg l •
1--iI abseisn
;r,
del centro de gra"edlld de cslll blinda AH
e.l •
•• .%'-"7" CoO\o do la 5CJllejall'l.
c._ ..• • ··S(' 2Ii". -
J "'~' =
¡,tJo~ . g,) t l/, dy, ""-,;¡-
•
Por la fórmula (4.30) Cll!culRmos el producto de inercln respecto 11 los cjl':S ccntrlllcs. "
b
b'n O
J«Jr-J"'~I-FTT= -¡¡¡-.
CAPITULO
V
TOftSION
§ 34. Conshuccl6n do lu dlagramoa de lu momentos toreares IJ,,~ Imrra (úruQI) está sometida 11 tOrlll6n, si en S1l~ ~lJ\1\'iúnes Irn1l~,'(·rSl\I('.~ surgen mOOltllltos IOrSOflJs, e:l dlJl'ir, ruomlJn\o~ q1l0 :;(,
e¡,,,t1tJulrllll en el I,Jullo do la ll'occión. Generalmente eslos momuntos tor:
-+ p
rlg. 5.1
flt. U
Sin cmhllrgo. la cnf¡¡:1l. ~ra",ver!:lal, cll~no.lu 1J:I~á apli,,~dlj, con cierta desviación resptl\\to 81 uju de 1... barril. tambión origino. mnmentos torsores Interiores (Iig. 5.2): pero ell llsle c8!!O. 1J1I las seccionell transversales do la barra. siuHllláneamente Il. los momelltos tor!Wre8. surgen también otrG!l t'lIrUenUS illlerioT('S. como las fu(:M.ll.!'\ COr\Il11I,('!1 y los momentos f1t'Ctores. En este Cl'pítulo !l e:stulicas. El cálculo de los lirboles e03ndo aetílan Inumcnl.o5 IUr!lOrc~ que varlan en fllnción dt'1 tiempu (cálculo por raligll), se an¡¡Jiu on el capitulo XII. ~~n adelante, recurriremos principalmenle a los reprc!!ontaciollc!I plnnlls en lllgnr dn Ins llxononll'itrir.os, por ser 1M primerall mús shnplos. Los momento~ tOr:;0I'65 exteriores y los momollln!'( tursoTClI inll'riores. los repl'C.~ntaremo!l por llna línea con dos e[rculN. En
",
uno de ello~ pondremos un punto, que indkll el comienzo de la saeta (hacia el lector), y en el otro, una cruz, qne representa"á III final de la ::iltetll que !lale del lector tfig. 5.3}. Pon c~lclllar los momentos tor!lores Jlf,o' que surgen e1l las se,¡'\l0!!('! de In barra, bnjo la acción (le momelltos torsores exteriores () de una carga trlln.wefllal, empleamos el método de las I'CCCiOlltlS, Tracemos mentalmente una sección por la barra (ligo_ 5.3), por a - a, por ejemplo. y apartemos \1na de las partes, 1;<11 este caso la izquierdo, y "eamos el eqoilibrio de la parte rlerechll. Ll\ interacción entre lus partes de la barra la SUl:ltiluimo.s por un momento tonjOr Af,o, que equilibra al momento llxterlor !Dl. PlIra el equilibrio de la parte Sllpflrada es neceSllrio que la suma algtr brllica de todos los momeJ\les que I1clúan sobre elJa, .~ea Igual a cero. De aqui, en este Cl'lSO, se obtiene ,\1 10 > = m. Si sobre In parle ,,;eparadl'l actúan vllrio!! momentos oxler¡ore~, entollcc.5 por el mismo prOl:cdimiCl,to. no~ convellCllmo~ de que d momento torsor e" la .~r.ccióll es lIuméricamente iguol a la SUI/W a/gtl/raica flg. U de los nwmclltOlf torsores exterior!!s qlt.e act,ian JI una de Ia.~ parles de la secci6n. I:'llra ilustrar el carácter de la distribución Y la Dlaglliturl ti" Ivs momeJllo~ tOrl"OnlS a lu 1:lrgo de la barra. SI:' con~truye el lljngrama (grMit:o) de m.Lo~ momentos. Sil const,'ucción os análogoH 11 In ,le los grálicos de la.'! fUerzai:! axialei:! eo el caso de trMción o t:ompresiún. Pura construir los gráficos, es nllcesario ponerse de acuerdo rcsp,'c(o a los signos. Pl'lra los momentos torsores, no c;.:isLo un a<;lH.'rdo "obre lo.~ signos, r¡IlC SCIl. admiLldo por todos. Puedo ser admitirla clllll'luicr l'('gla. Lo único que impo\"la, cs atencn\e a la ¡nismll regla en lr.rlo lOl g-r;Hico. NO.'lotl"o!l llCI,;llir6ffios la rl!gla Siguiente (rig. ;">.4). El moml.!nlo torsor en la sC«'.ión a _ alle considerará positivo, cuando el Olome'llo utl:'rior gira la parte separada. en dirección cOUlraria a In de llls manecillas del reloj, si se obse"va l:'sla parte desde 1.. S/.1cdú". I~l momento lOfllor en la 5I,lcci6n se considcrará negnü,'o. si el momcnlo eJ¡terior g-ira 1l'l parte separada en la dirección de las manecilla!! del reloj (si se la observa dcsde la sección). Ilustremos con el ejemplo que sigue 1:1 construcción del gráfico JI! 10$ momentos torsores '(fili. 5.;'). VNlmos el 6rhol (;D, "l>oy.. do en los cojinetes A y B, que se eDCllentrl'l Ilfi equilibrio bajo la Ilttión de lo~ momentos aplicados en las secciones E, K y L. Tracemos la sección a _ a ell un lugar arbitrario del tramo Dr.,. Annlizalldo el equilibrio de la pflrte separada dercch.. , se demuestra (IUC 111"0' "'-. O.
•
,
e:
Si lrllzamos liosplIés la secciólI b - b en cualquier IlIgar di!! lramo LK y anaJhamos el equilibrio de la parle que se ellcuenlra a la dCfl'cha de 1.1 ~cciun, cntonc6>I resulta qlle, '\/;0'''' 2 tm DI! acuerdo con 111 cOll"ención anteriOl' solJre ¡"S signos tle lQ!; momentos torsores, este momento !;(' considera positivo. Trazando m
m
•
r---
------
--
Flg, 5,t
111 scc(\ión e ~
e en 01 lumo KE. del equilibrio dE' la part<· rlorec!ln
obtendrá, 2_3_M;o.~O,
de donde se deduce que, Mio.... -1 tm. El gráfico oulenido tieue In forma de doa rectángulos. Es importanta subrayar, que en los lugares donde se aplican los momento~ Itm
~1: ¡~ I I I
I
.JI,."
L :ré
e: té r l/m
b
:I I
I I I ,,"nn.fll-LilllWnJ1lilllill-'---~H..
rTl'rTnrTnlJITTTrmmy"m
exteriorM, las ordenadas del grafieo varían súbitamente en una magnitud igual a la del momento exterior aplieado.
'"
Si están liadas las cargas travsversales que originan la t.orsl6n de la bArra (lig. 5.2), entonces 50 calculan pre\'Jamente1os moment05 torsores uteriores. originados por estas cargas. En el caso repro~·Ill.ado ~II la figura 5.2. el momento torsor exterior debido a la fuet'tII P es 111 '"'" Pro Una vez calculados 105 momentos exteriores, se determinan los moment.o!l to~res interiores y se construyen s"s !I'rAfic05. como se indicó lllIUdonnente. § 35. Cjlculll d. l•• teRllllne. en lal barral de .. ccl6n circular
Los momentos torsorea. lIe que se hab16 en el parágrafo anterior. no lIOJI mÍlS que los as(ueM.os result.ntes interiores. En real1d.d. en la sección tran5vernl de una ba,rra ,torsion.da, actuan fuerzas tllngentes. distribuidas de ulla manera continua. Pasemos ahorA 111 cálculo de estas fuerzas.
flQ. U
flg. 5.1
Veamos. ante todo. lo.' resultados de 105 en~ayos. Si .$Ohro lA superficie de uon harra de sección eireulnr lJ'AZ(\I1101l ulla reo! reclilll' ~lllnr, entonces, después de ocurrir la deformacIón, se obsllr\'ará lo slgulento (flg. 5.6): t) la re,l recta...gular se transforma en una red compuesta por par:llelogramo5. E~to indica que en 145 se<:cione.s trans"er5llles do la bllrrll e-xlsten tensiones taugencillles y, como consecuencia de la ley de n.ciprocidad de las tensioneS t ....gt:ncla.III,. IIpafffitln talubi{in en Itas tN!CCiones longitudinales; 2) las dilltaneias entre las circunferencias. entre las circllnrerencias J y JI, por ejemplo. no varian. Tampoco varfll.n la longitud de la b1lrra y su diametro. F.sto demuestra la olll1Cnda de te...siol\E's normales en b!ll!OCciones tl1lllSve~les y 10llgillld¡nnll's de h bura .
."
Así. l'\le~, dU~lInle lo torsión. t.'n las s<:cciQoes L~allsV(!Io;¡"Jf'''' y longitudinales ftChJlln únicamont.e tonsiones tangenciales, es deeir. el est[ldo tensional de los punlos de una lJarra tQrsiollada es dllsliznmionlQ puro; 3) el dilÍlJletrQ AR do la 'Secci611 extrema (ng. 5.7) girará ci{'rto ángulo '1' N.'Spcct,o n sn po.~idóJl inicial, permaneciendo redo. Es lúgico supOllt·r. qne le>8 "ndios (]!'I restQ dI:! las s<:cciones lrlln~W('rsal(\" tamhién ~¡rar,in. permaneciI!Jld(. reclos. Las fÓ"mulas que mJ ohliellen
fig. 5.8 ~ohre
lil lIusll de l'sta 5UpO."lclÓn •.~l)n conlirmarlas por lns ero~ayo.<;. El pUlLlo A so
e,
'd.
'Ymu.-~
(5.1 )
SCPllrllndo meutalllleIltc dt! esta parte d.. la b~rra un cilindro rle rlld¡o p arbitrllrio y rcpi,tienclo los mis.mos razonamientos. obtcndremosel ángulo de distorsión corr(~spondiento al elomento sitmulo a unll di;¡t.ancia p del eje de la bllrrfl. f'd
V=d:'
(5.2)
Según 111 ley de Hooke parll el deslizamiento, obtenemos.
T""Gy=Gp~
,',
'20
(~1.3)
Como vemos, en la torslún, la deJorrrnu:i61l por deslizamlenl{¡ y las tensiones langenciales son proporcional~s a la dlslllncla al centro de gravedwl.
El gnjfieo de las tensiones tangencialos 011 J:¡ sección trans\'tlrs
.'" " fig. 5.9
COllo<;ielldo la loy de (]islribllcióll de las tensiones tangcnl;ialos, es fácil ya delerminnr su magnitud. partiendo do la cOllrlición de equilihl"io. AIJalicemos el eqnilihrio de la parte rle la barril n In derech,\ de 111 sece.i(,n a - a (fi,l::. 5.9). Lll suma a.igelJraie" di) lns JJlom",,,tos respeclo al eje de la barra, que acluall sobre la parle !\(ll'nr;lIln. I1S ;~u"l " cero, es decir,
\3Jt- ~ 1pdF=O,
(S.li)
"
sien,lo 11)dF d ffi(lmenl,o tor.'!{}r clemcnLlll de 1".'1 r¡ ne 1\(:lú"lI sohre el ¡Írea dF.
[1I1"",.:ls
iuleriortls
,
~ TrdF, el mumcnlo t..,r~or en lo sección cn cl\l'sliú".
hllroducicndo un cslll fórmula el valor du lit tensilin d", (;''1.3). oltte"drcmo!l,
,m-G~ ~ r2dF=(J. Tl'lliendu en cuenta que.
(j.5)
"
,~ p'dF=J
(5.6)
p,
dunde J p es el momento polar de inercia
d,~
In Sf'<;ción. hollori)mos.
(S.7)
Inlroduciendo {On 11'1 fórmula (r,.3) d ,-alor de ~~ • dNlucilllU!'
(:"t.fi)
, p.
T_
-:
Si "obre la barra separada tlctulUICn varios l.Qo¡nenla:s ~.'
),f'o, T=--¡;-p.
I)a
('SLlI
fMmula se dodueo que en los puntos cquidislunleS dl'l
el'JlLro de la sección llls l.mslouCcs T son ill'tlllles. La" tt'II.5iones m~"imns en los puntos sit.uados en el bonlt, ti!: la SlX:ri6n sun
P·1fIl siendo J,
~Vp=~,~
(¡¡.JI)
l..a c.ararteri"ticn geométricll W,. Stl dello/fliful. tI/(fflu/•• lJOlar eh 1.4 IUdon o rndduw lh fa ~ccifln tn 14 tarsi6ll.
En el caso de una lICCCión circular mltciu, IV y en el de
Ullll
2J,
'--,-= 'Ei72 - -¡¡¡ ::::0:0, 2as. J,
rW'
"",
(:•. 12)
sección anular, ,,(D.
di)
nO'
lV"'=Lr-· - lijD-""""1'6(1-c')l':l:IO,2D~(1-c'), donde,
,
(!i.t3)
c'""D· La eondición de reslstenela estática de un lÍrbol someUtlu a sión se escribe así, M.o< "'..u:--W-'" , 11"'.
tOl"·
(5.14)
Aqui l"'} es 111 tensión lengencial admislbh... CUllndo se trata de ca~u estáticas, se considera J"') - (0,5 -¡-0.6) 10.\.
Aparte do comprobar l. resistencia, esta rórmula permile tllmhién calcllbr I!I diimetro del árbol, 11 obtener el momento torsor admisible. cUllndo es conocido el resto de las mlgniludes.
Teniendo en cuenta que. PIU'Il. 111111 sec:eiólI eiN:u1ar, ,V :::::: 0,2 d~. obtendremos, d= .¡/M;;;; "",172 (5.15) V 6,2IT)' N'
v..,¡""
Por esta f6rmu13 se calcula el dhímelro del irbol, p.rUendo de la condición de ml;isteneia. El momento admhibJe. pur la toodicióll de resistencia. ~ ohlicllC por la fórmula, IM,.... J- WJI(TJ, (5.tU) Lu l(·n!!.ionell ungencialcs no sólo adúan en las sccciofl~ lflln,s. \'orS"nlcs, sino que, como se desprende de la ley de rec::iprocldlld de hls tcnslano!! tangenciales, tambilln 00 1ft.!! s6«iones loogij,udinales (tig. 5.10).
b)
lit. 5.11 En la! secciones inclinadas surgen hlnlo h'insiolJt!s norm/llc:o. cllmo tfln(lenciale~. que se pueden obtener pOI' Ins rÓnlllli:l~ del capítulo 11. LO! IChllioncs prindpalcli son las que pn,sclllan el múximo h'l..,.. rás. E:H1I9 Sil obtieneu por ln fórmula (2.36), llupouiendo O"~ ... 08 _ O. Do e~tn llJanera se demucsLra. que a, "'" a""" - 'f Y 03 = o ",In .,. = _"(o La. primera. de estu t.ensiones es de lraeclón y 10 segunda de coolpresióf). De la fórmula (2.35) .'te obtlenll el lÍngulo t.l1l inclinA" ció.\ do los planos principales, que es o:~- 450 y 1350 (fig. 5.11, al. Los cDMyos demuestrllfl que los mllt.tlriales frágiJ~ como el hiel'To fundido. por ejemplo, $O dest.ruyen. durlU1t.e 111 torsión. por un pItiDO (más prec.i5llmente, por ulla superficie belicoit.ld) inclilUlllo respectu ll1 eje del irbol 450 (fig. 5.t1, b), es decir, por lus planos denrle actúan las tenmones de traceiúl1 máximas. Así. pues, en la torsión, en todos los puntes de la barra, e:rcepto los ubicados en su eje. (donde las tensiones !lon iguale!' il cero) surgo
o:: _
,,.
el estarlo lensionol lJinxial de desliumiento p...ro. La parte do la harra, próxima, a III superficie, resulta mn:¡ tensadll qnfl In que se 01lcuCllLrn ccrcll 'lo su eje. Es dooir, el estado tansionol corrospollrlio,,!.... 11 la torsión no es homogl'ineo. SlllO torsiouu HU tubo do pareues delglld
36. RelacIón entre el momento que se transmite a un árbol, la potencia J la velocidad angular
GIHll"·;1lml.'nle, en los prohlcmag técn.icos S(' dl'n por cOJ'oci{\us 1;1 putlmcia que \.rllllsmiLe el árhol y su velocidad lIngular, exp,·/:s.aOH en revolucionel' por minuto. Con C!'tOll datos $6 caleu!" 01 m,)mCllto torsor llJl trAllSimitido por e1lírboJ. Como se Silbe, Jil ¡lotencia (
75·60
;J.
siendo l' el eSrUHZO r.ircnnfereneial que SI' lIpliell nI ilrb"l: !.', 1;1 \"elucill11d de un PU!l1.o $illHulo en 1'1 f
ID1--7H:;'J
N,.
k""rm. .. Un caballo de vllol)Qr e!\ igual a 0,736 kilo\'(Itin, luego, In 716.2K ,~¡, 2 K k r -
.- n
ro\"!mi"
=~-
¡I,
n
gm,
(á.16)
(5.HI)
siendu K la potencia en kílOVlllíos. § 37. Datormaolones J deaplaZ8miontos que acompañan la torshJn de barras da selloidn circular
Para calcular las deformaciones qu", aCompll.ñHII In torsión de una barra, aplicamos la fórmula (5.7), considerando en ella !lJ1 = /rl,o" de acuerdo con lo expuesto 8nLel'iormellle, d
'24
M'Qrd~
(P~~'
F.J fingulo de torsión oompleto lp eorrespolldicnt.c 11 la longitud ;, medida dellde la sección de OOlportamento, se o"tie.ne inlegrando la expresión Ilnterior tmtre. O y : •
.
'" ~
,vIo. d.
----cr;;-. S • •
({..20)
Si el mOiDenl.o torsor )' la mllgnltud CJ,.. deoumioada rigidez tle lo !leCción a la tOr$16n, !lOn constantes en todu el ioten'lIlo de inll!fgraeión. cntoDe6't,
(5.21)
Cornu se ve de estll lvrmula, a medida que nos fllejalJ10s del (·mpotrlllllicnto (~occión inmú"íl) III ángulo
°
Por 1'1I eSlr,,,,;I,,r;., e.!lla f6rmOlhl ('S análoga la fórmula ohlenida IIor:1 el ...i1h·"lú de la:! dr("rlll"rione:! en el C3Sf) .le lraccion-eon'I,re~ión.
1::1 ¡;ugulo de torsión. corrosp"ll'lienLe II 111 uni,hul do I.. ngiluñ. lingulo de torsión unitario. J~l'IC ~ .. ¡tlunl !l. B ., M'~r
~ d ... nnTn\I111
""'T"'"
GJ,.
I>:'rll ('on~ir lo riAide: n."'lllCrido d", 11" ;;rOOI. l?'S nec::~~rin flue el ;;/11.... 111, de tonllú.. lIni tnrio mii;fimo nO.!lM .!Iupcrinr:>.1 admi.<;ihlo. O.." .::~; -<"\0\.
(:i,:!-i)
&ln rórnl11lo ""pr... ~n In condición de rlgide? uc mil' hart" tlt circular 11 11\ lt)r~lóll. I~II eil¡" 101 C':< el ¡'1Ij.!uln el..' l"r~iü" III.illll"i" l,dDlisi\)lc. h.~pre.qlldo en r(o(lia1lc~ pur 1I01ifll't! do 1(lI'¡::iLml del ¡'l'l",l. E.l la moyoria de lus ClI.!'O!, la JIIagnilud ¡Iel ;;l1g"lu de lurJii,ín unilnrio admisihle ~e d/\ CIO grudos por 11ltolro de longitud. Si"1I.10 ;IJií, <-11 lugar dI.! 111 filrmul .. (5.24), ttmdrcmu.'c!. ~cr,ción
O,.!.!l!!
"
,,,,~.IOO <101.
el
l'
La mll\tllilud 101 !l(' elll"<>f;:e en runóon 'Itol dc!'Lillo del lirbol y de !'OI!' dhncnJ',jOJ1CS. PllrA "rbol~ de tlimon~i()ncs mc,ljn", I'n el .)1/11\110\ lid Cnllslruel.or <.le ;\18quin:\u !'e n~omit"lOtl. un lÍngulu
'"
De 111 condicion (5.25) se puede obtener el diámetro del lIrhol. .~i ~stá
,Jada!'\l rigi(lm:. '}'lmicndo en cuenta que J" "'" O,1ti4, hallamO!!,
ti ~
11
-t
¡1l0M/ o "100
"CO,IIOl
= B _OíA!" y 1M
(5.26)
6
siendo, .IV la potencia que transmite ellírbol, eXpre~adll en caballos de Y'l[lor; n. In velocidll/I angu1ar del árbol, en revoludone~ por minuto. Lo.~ coeFicienteg A y B se det{'rmimm en función do ral por la 1.llblll :J.i (paril G = 8 ·tO~ kgr/crn'). [al es el 6n~t\.I1o de torsi6n unirario aum¡"jblc en grados/m. El diámetro d se oblico!! ('1\ cm. rUlA 5.1
Va!ores h ID$ eoeflelenlu
.,
"
,f
y
B
en In fllrmuru (5.261 r [5.27)
o. :~
o .~,
12 Ú,73
0,132
10
L'
2. ~,
L'
8,:;
7 .,
O,c;2
0,11,
§ 38. Construcción ce 108 gráficos de los ángulos de toni(in Para ilustrar el cará,;ter de la variación de lo~ úngulos do torsión a Jo largo de la barra, a veces l>(! construyen los gráficos de los ángulos de torsión (gráficos de los ángulos de giro de las secciones ~ran3vel'sale.'l).
El método de construcción dc estos gráficos lo explicaremos en el ejemplo analizado en el § 34 (lig. 5.12, a). Construimos previamente el gráfico de los momentos lON!ores (Hg. 5.12, b). Puesto que el :irbol gira, no hay en este caso !'Iecr.iones inmóviles. A nosotros nos ill~eresan solameute lo.~ ángulos de giro de las secc1on()s quo son consecuen~ia de las deformaciones de la barra. Para con,Strl,lir el [lrMico de los ángulos de torsión. cualquier sección puede ser considerada convencionalmente como inmóvil, pOl' ejemplo. la sección A. Hallemos el ánl1'ulo de giro de la sección B respecto fI In sección A. Parn elill. rer,nrrimos a la fÓrmlU(l (5.22). El ángulo de torsión se detcrminn por el moment.o tOl'Sor interior M ... D = 1 tI:n que actúa 121;
en l:ls secdolles trllnsverMles de la barra en el tram(l A/i . ." ",aIAs ----cr;.
'f'a,\ -
siendo 1". la longltud del lramo AB. Admitimos la regla siguiente para lo:'l si¡no.s de l~ ángulos de lorjión: el angulo lp se considerará po~livo. si, mirando de izquierda a derecha, el Riro de la &eCcióo re.sulta orientado eu l. direeeióo de las maneciIJas del reloj. En nuestro eno lll... será positivo. A uno. f'lSCala determinada colocaulos la ordenad. "JM. (fig. 5.t2. e). El
f _tyo
~:~ ·J
i
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.
H
'!lllIllllIaplllllllliÍlllIll
~ .
~'d''':''~ .I . I I
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I
.
.
JI]IllI"",,!:.-j"
d
v.
Fil. 5.1l
PUllto K obtenido Jo unimos pOl' una recta con el plinto E, J'ucst(l t'1l el tramo AR los ~ngulos de giro vllrílln Iinenlmente. Cnlllt1_ lemo~ nhoTll el ángulo de giro do la .sección respcelo 11 1>1 5e{'('.Ii1n B. Tenicuilo en cuenta lit rf.e;la Qllrnitida paro. los !lignlY.< de lo.. {¡":l\'loll
que
e
de lorsión, oblellemos, q
"/1"'" -
M m:J"r C/ p ,
P\l@'!l:Lo ljlle b seeei6n n no es inmó,\,¡I, el Mn¡rolo de girn de 111 9tCe16n t: respecto a 111 5ee<"ÍÓIl A St'"I'lÍ, !fCA
M"c'lIc -lfc.+q;e.. '"" - -GJ,
r'l'o.\-
El 1Ínglllo de torsión 'POA puede rtlsultar positivo, ncgall\'o o, como (:RSO particular, l!(!r igual a cero. Sflpongnm"~ qUl:I.1n este cuso el ángulo (PeA resultó ser I'Qsit.ivu. ElltOOlCCS, sil'lando esta magnitud, 11 lu escala admitida, desde el eje dd gr ell 111 tramo BC. En el tramo CD no hay torsión (AfcL! = O), puesto que en él todlls las seccjoll.es giran un ángulo ignal ni que gira la se~,dóll C. El traow J1N riel grlifico dI;! q¡ es IIqll¡ horizontal. Se dejo al teelor la posibilidad de convencerse dl! que si so considera innr(¡vil la Sllfción B. entonccs el grárico de los úngnlos de giro 0,1'1l1irir" el IIspecto representado en la ¡¡gura !l.!2, d. Ejemplo 5.1. Calculnr el diámetro de un 6rbol dll acuro (1111' gira con \l!lll vclocid'ld al'lguh.r de ~OO r~v/m¡n y transmite una V"Wuciu d~' 5no ~,.\'. La t,lHlsión admisiblo es ['tI = 800 kl(f/cm ' y el á"zulo d\' g-i,·o admisihle. 101 = 0,5 b'r.~d!m. G= 8·l(}f kgf!cm~. l(e$l)/u.r:itÍ/l. E:I mUlOl!llto tl'~llKmiLido por ni urJ..",1 20 C,ulrUlll por la f(¡rmuta (:'.Hl),
m J~J 1l)(OIllünW
.il liZO ': 71fi20;:-=1HI.10'kgr.cm.
torsor es cOlOstuuLCl en l.od,]s las 8Ccciones del árbol. ,'11,,,,""'" m _119· 'lOa kgf .•'01.
por
El diúmet'·" .ld {,l'1)ol ~o ob~¡ellc dt, In ~'ondición de l·e.~ist\!rlcill I;r fÜnnlJla (5.1:;),
-') .1;¡;;;;' 1 _.) ."/~ fl 1 d = 1,1V -l~= ,I_V ~=;,},
Clfl.
Al ,íllguJo de tM.c:.¡ón ndn,isillll' le ("~lrre.spundtl, pOr la tllhla 5.J, et tu
';¡'
obtiCllre el djámel.r" del ál'hol, d_
0,62';" 119.lQ3 = 11 ,5 cm.
Hl diámetro def¡uiLivo del úrb,,1 ~ rietp.rminn ,je lo condición de rigidez y dobesl!r admitido igual a d = 11,5 cm. Ejemplo 5.2. Calcular Jos dimensiones
128
§ 39. Enerllle potenclel de le tor.ldn
Durante la tMs¡'-,n los momentos exteriores realizan nn trohojo 100m" Cún5eeUl;lllc111 del giro de las ececlones (l la~ que están aplicados. Elite tMlbajo se guttl en crear una J'1!5erva de energía potenci:ll de la deJormocl6n, que numlÍricamente es 18'U:l1 al trabajo de 1M Juenas interiores. Se pll~e demostrar de una manero II.nlil~a 11 como se hiso en el caso de Iracción, que d trabajo die un mom~lI'o tiJrl/Or t!:duior, aplicado eJ16tl('anu:nu, t i igual Q. la mtllJd del producto dd lJa'ur ckflnitJvo dd mOIflIen(a por ~f dIeZ ángulo eh (orll6n tkflnitú;o, 1
A "'"-7'lllfl'
(5.28) 1:;1 trabajo de In fuenas interiores, que es de signo ne¡ativo y la energía potencial de la torsión, que e! numériearnellte l¡uII 11 I!sle. se calculan de la misma manO~1 que se calculaba el trabajo de las Cuerzas i.,teriores eu el caso de tracción (compresi6n). El trllbl'ljo elell1f!ntlll de las 'llenas interioru es,
,
dU". -7J1JrordlJl,
."il.'lld" ¡\1 lo. el IllOillento lor·llOr interior;
M,~,d.
~=--u;;-'
lo tautu.
"'1",.'1.
I
. " trabajo completo de los fuen.a! Interiores dU .... --:;--CJ •
El se obtiene inlegrando la tlXJlrosión del traoojo elemental en tod8 la longitlld l dI:' la l:orrn.
,
_..L
U=
2
~ Mlo. d •
¡
G7;"" .
Pal'" ea1o::ub.r la energía potencial. que es de magnitud Í1rlllll ,,1 IrlllXljo de las fueru.!; interiorC!l pero de ligno cOlltl1lrio. t("fldremus,
n
=-
U
,
I
1\
MI_J.
- T V--el;""'
(5.29)
Si el momento torsor y la rigidu. de la harrll no ,,'lIdan 11 lo largo del cje. t'cntollCC:S _ 1 Ml..1 UTGT . P
J::S¡" C"rmulll, IlUr SU estructura, eJl 1I1l1ologa a In fórmula n
póltll el
r.~i1clllo
, .~"')
(J........
NI'
UF
do la energía polencial de la (r¡¡,Odón (CORlI.n:si.... n).
".
§ 40. Keaultados principales de la teorla de le tar.idn de barres de seccl6n no circular
Eu esto tipo de borras, durante la torsión, Ins secciones 110 p~rroll necen planas, sino que se eurvan (Illa~a,,) (iig. 5.13, a). Si el alabeo no es restringido, entonces en las sewioJle$ traOS\'ersales no aparecen tensiones normales. Esta torsión se dt'nomina torsi6n pura 11 libre.
al Al. 5.13
La tor!:lión libre es posible !!O]¡llnenll! si el momento toI'80r y~l .. sección transversal son constantu y los extremos de la barra no están empotrados. El cálculo da las tensiones tangenciales en las barras de sección no circular ",presenta un problema bastante complicado, que se J;esllclva por los mlitodos de la ,!:coria de la Elasticidad. Exponemos aquí los resultados f'Ul.damentales para barras ele sección rectangular, cuando o. > 1> ({ig. 5.13, b). Las tensionl's tangencialeg máxima!! slIrgan en los puntos 1 y 2, es decir, en el centro de 103 lados lnrgos. y son igua\1"8 a "tm~"
El língul(' de torsión
".
MIo, '""
Cl
Mlo,l
=
lof lo , lVI." •
(5.31)
Mlo..1
q¡- G'1k'" = G'Jj;; . (5.32) Las ,nagnitudes LVlo ' = ao.b' y l/o, = ~ab' son caractcristica~
geométricas de la resistencia y de la rigidez, a la torsión, respeclivamente, de una horra de sección rcctan¡¡-ular. l~O
Aqui a; y 1" son coefiGÍentes que depenut!Il tlo la rclttci6n entre los lodos. Sus valores esl.án dados en la tabla 5.2. TULJU
Valor .. de 101 cOlflcientes a y ~ para el calculo dI l. rulltencla a l. tonlOn de barril de Ieccl6n rectan,ul.r
, •
•
O,U
0,25
0,14
0,23
•
'"
0,27 0,26
0.28
0,29
0.28
O,2~
0,:>2 0,32
0,3l 0,31
0.33 0.33
Gomo se ve de la tabla, par.. lus secciones rectangulares estrechas
i-.
de relación -'5-::;;... 10, :le pucoe admitir a = ~ ~ La distribución de lit!! tt'n~ion('s tangenciales en el pcrlmetro de III seeci6n de una barra, 11 lo Illrgo de I
(i
:> 10) , lA característica ¡;¡oométrica /10' la fórmula
,'le
pueoc cakular por
,"
/'0,-1\"3..::.J ab~,
(;',.33)
UIl coeficiente que dependl! de la forma dl:! la sección; a, la longihld del lado mllyor tlel rootállgulo: IJ, la longitud del Indo numor del rectángulo.
siendoT¡
T1r"
leccl~n
\'.,In<
'lo,'
~o~fI~le"~e
III1~lJlllr
IJl(1
doblo U te .,
t.:ro
de canal
1,12
11
1,15
La tcnsió" tangcnei¡d mii,,¡ma tiene lugllr en el rL'dángulo de mayor anchuro y .~e halla por In fórmlJI:l, 1"111""
=-
,llto,bm,h
J,,,.
(;;.34)
siendo bmH el \'nlor mtlJ(imn del lado menor del rl'CI;'II~ulo. El iingulo dll lo¡'sióll ~e dot(!rluina por 1:J. llÍnnula, M""l 'r = -GJ;;;;
" .."") (,l ~"
f1'
131
Paru los porfilos lamil\ud,>.~, tll \'al'lr de J lo' se da elt tlllJl1I.'I Sl'Ü¡'¡cmos que el v"h,,' de J '~T para los perfiles de (1l;tEl tipo (rediles d., puro,h·s d"'~(tdn~ de Illlc"ióu nbiertn) es IU")I" peqll"iío en C(Jlnpural'ión cou 01 ,Ic J /<" (le barra'" do sección circular marizil da igual área, :sin hablar ya de 1<, sección llIlUIIll'. Es por esto, que se dllloe evi1ar que Ins barras de sección abierta trabajen a torsUm. En 01 caso, cuando la tors¡ún 110 es libre (restringida), es dedr, cuando el alabeo de los secciones e.~ dificultoso, las fórmulas anteriores ya no 5()1I válidas. La teoría general de la torsión rllstringiuo de barras de pllre,les delgudns de Se<'.ciÓn abierta fue elaborada. )lOr V. S. Vlf\so\,. El demostró que en el caso ue la torsión re,.:;t1·ingido, ,'])II1'te de las t",nfllones tallg(lIlch.l....'" ,10biolas a la torsión pura, quo se determinan por las fórmulas anLNior()s, en las seccione,.:; tunsversale.'l nparocell tlill\lJién tcnsio/lu.~ adicionllleg cnnsid~rf\bles tllnt.v tangencillles como normnleg. L/l ('-"posición de la teorla de la t.ors'''n re~tringid3 de barras tic p"redlls del¡.cadll,s está fucra de los mflrr.og de este brove te;
§ 41. Torallin do barras de darodes pellladas de seccl6n cerrada Los pl:'dilc.5 de p/lredes delgada", de sección cerrada son Inuc\/Q rígidos a In torsi(m y, por lo tanto, más convenientes. Veamos III barra ci1(rHlrica CUY" »ccci,;n tranS"erSll,1 tlstá r"JlI'esenlll,da en lo ligura 5.16.. El {'spesor de la pared c'I se considern suavemente vuriable n lo lllrgo de la Iill<'a ,Iet contorno de tal muner" que se puede prllsdndir de la conet,mlral:ión de las lensioflt's. Puesto que l:ll esvesor de la po.rlj,l eg insignifico.nte, .'IC pUl.'de admitir que las tensiones tangenciales originadas por la torsj(jn se r1istribuyen unHormcment,~ en el CSpt'sor de 1(1 pared. Admilimo~ tll rn l'i<Ín 111 hipótesis, >!,,¡::ún la eUl\l el prod'lcto de la tensión tllugencial por el espesor
'52
11 cero,
9Jl-
S't6pdt_O.
La integración se rcali>:a OIJ toda la lon¡¡Hud del contorno s. Puesto que el producto p d¡; es igual al área dohle del triángulo Ollb, pds .... 2dw, entonces, 9J}= TO 2(]w =0.
S •
El producto ..6, corno ma¡::niLud conallluto. se saca lucra do la integral, quedando la expresión dm que representa el 6rea de la sección
S
•
•
:l <'m
-
Z 4ff
i ~
~
Flg. 5.1'
Flg. 5,15
maciza limitad" flOr hl, Hlloa olladia ¡Je tI! ]lllred.
A~í, pUl:'~,
\)J~-'t"62w=O.
(5.36)
CUlllldu llelúun varios momeulos exteriores, esla f{¡rmuJa '[oherá incluir la sumn de los momentos exteriores quo "c!Úflll sobre la ¡lllrle separadll, de maglliLuu igual al momonto torsOl' inlr'rior MIo' ell J'I seccivfI. '1'euierrdo esto CII cuenLa. obtencmos d,) (5.36) ,111". .37
.=
""l",
('=l.
•
La ten"iún máxima surge en el lngar eJe menor
c~I.oesor
)
de la
P'lred. (5.38)
"3
El ángulo de torsión 'P de Iln¡¡ barra de longituil 1
,'\tl
calcula
de la eOlldicilin rle qlle el trablljo del momento tor80r exterior e.'!! igual al de la!' fucrzas interiores, Ellrllbajo nel momento tlxteríor!lJ1, aplicado llstálicllmcnte, en el desplazamiento angular q¡ es, A= 9l1'p
,
Clllculú1ll011 nhorn la (IJ'erg'ía potencial do la rldotmación, qnc es lJumérícamcllt.e il{unl /11 tt>l!Jnjo de las fuerzas interiores, La energía potencial lInilal'ia en el caso de tensiones tangenciales se obtíene por la fÚl'mula (3.15),
"
u= 2C •
La ('uergía pot.cllcillJ cOl'rcSI'omlicnte ni elem(,llto de vohtmeo tJl ds es,
.'
. dJl = :u; tJf ds,
siendo 1 In Ilmgi1.lId de la h..' lrr", r.. '.I enc\'gíl\ 11(¡(.cncial total IJaru •.nda la barra ser,;,
J1=y= ~,•
T"{¡ds,
Lu inle¡:rnción se realizll n lu largo del contorno de In sooción de longitud s' Sustítu)'endo '1 ]JOI' su expresión de Ui.31.i), oblenelllOi<, I
•
~
~Jlt
11 = :!.c .} 6t1",t b ds.
"
SllClllldo las constantes Íllerll de III intrgr"l. JUl.l¡nlllOS,
n_
m~¡
8G{~1
•
~.!f.::..
.) il .
"
Teniendo ahora en euenta que la entJrgia polencial n es numéricamente igual al trabajo A (Iel momento exterior, obtendremos, '!iR!
q¡= 4GI
•
(' .)
d~
T'
• tensión
(5.39)
Ejeml,lo 5,3. Calcular la miiximfl y el úngulo de torsión de la bum!' tubulur (fig. 5,15), si ~n=150 kgf.m, G=-8,10 s kgf·cm', Resvlució/t, Por In fórmula (5.38) tl:Jnernos (M/<>T=Wt), \7,0,\02
,
-¡;m&~= 2-3,5",0.;; =fH2 kgr/crn 3,
Por la [ónnulll (5.39) bailamos el ángulo de torsi6n correspondiente 1. metto de longitud, _ 1.'íO·IG-.tOO (~+2.,) 0027 d 1¡I-'.3,!)1.flí.g.l()I 1 ir,'! -'=, ro.
11
EjelUplo 5.1.. Ca.leular la lellliión máxima y el ángulo de torsión de la Dli~mll barra. si el perfil está abierto (es decir. si su contorno se corta en un 1uga r). Rfl~luciún. Ca.lculamos la tensión por la fórmula (5.34). El vlllor de Tl lo eonsidenamos igual a t,15, como en el caso del perfil de canal. Entonces, 'fma~-
N •••I1...... I
"l:r}}¡,.lI
I
IS·tOl·'
15·10·
"60. U • g cm.
-~- ....
1,151i"(2.3,5.t~+2.7'O,~)
•
OlJ.'lérV6-'le, que 9,.'Ile resultado tiene sentido solamente en el euo barr~ de acero de Iigu, cuyo limite de proporeionalldlld on el deslizamieuto puro "tI' na es menor que el valClr de T"'h obtenido, ya que lodes 139 fórmulas de este capítulo son válidas sólo clJllndo lo es la ley de Hoo)(e. El ánglllo ,le torsióu 8e determina por la fónnula (5.::\5).
t~·t()l·IOO
CP-ij.jijl.:s.:í6=
O"
,.1U rad.
La comPllrAeión de los J"Csullados obtenidos en eslo5 dos ejemplos confirma la!! yenlo-.ja.'1 de IlIS bilrra..! de ~ción eUTada, 00 compara· cilin coo las de !!eC&ilin abierta, cllll.Ildo trabajan :\ l.orsiÓD. § 42. ProbllmBS hiplre.Utlcas
En le torsIón, nI igual que en la tracción. se encuentran prohlc-mas que /lO pueden sor resueltos solamen1e por las eculI<"oiones de equilibrio. En estos Iltoblemll.ll el número de incógnitas es superior al do lu ocuaciones de equlliIJrio. El orden 11 !Klguir parll 111 solu. ción de es10ll problemas coincide con el que se empleaba al resolver Jos problemns biperes1óticos de la tracción (comprosiÓlI). Veamos, en ealidlld de ejemplo, una barra empotrada eu sus dos extremos (fig. 5.16, a). Estll barra es estáticamente illdelermLl1ada. pU8!lO que para calcular lo.• dos momentos reaetlvOll 011 105 empotra· mientas, la Est.átice nos proporciona solamente una ecuación de equilihrio. Retirom08 un empolrarnicnlo. sustituyéndolo por el momento de!lConocido X (lig. 5.t6. b). La ecuaciÓn !Uplemol'Uria (que, como sabemos. se denomilla ecuaci6u de la deformación o ecuación de los d8!lpluamientos) se obtiene de la condición de qU~ el ángulo de giro de la sección correspondiente al empotramiento eliminado, que
'"
es igual to~ jffi
01
ángulo oe torsión de la barril. originarlo por
y X, M igu81 a cero: 'Pn _ O.
lo~ rnOIllCII-
l~n el sistema estáticamonte determimdo (isostúLico) oL!cnido, el giro de la sección B es consecuencia de la acdúu del mument." exterior y dcl momento X. El ángulo de giro de la '5Cccióu 8, ori.ll'inado por el momento X, IilS,
't3~ ~
. 'Pn
lO" --'~:, .lF' .----,, . , , I,, . ,, , ,, ''
I
Xb
+ Gr p '
siendo,
6)1
.,-~
X'"
-= GJ~
J~~O,ld:; J;~O,ta:,
El iíngnl0 de gi1'o de la misma sección, correspondiente al momento !m será, • ID1o. 'P=GJ;"
I
c)mflllllliiillll~:
Introduciendo estas expl1'sionC's en la ecuación de las d('formn· ciones se obtiene,
' 6)~¡
X,,
""lJT: r>
_I_~_ '.))la
'Gr
l'
_
c:r:f' -
0,
do donde so calcula X. De~pu\Ís de esto, se puede co.lculllr el mOIllento torsor en cunlquier IlCcdón y construir el grHico de M '0' y el de los ángulvs d~ giro. Pllra Co!l~lruir el gráfico de (fi es suficiente hallor el :ln¡;:1IIo de giro de la sección e, que es igual a Fi,. 5.16
_ E..._
,
(fic- aJ' -
(rol-X) .. a.F .
,
Los ángulos de giro de las secciones A y 8 son ¡guales a cero r, como dependen linealmente do la distancia, entonces los plllltos del gráfico obtenidos se pueden unir con Ilncas rectas. Los ¡;:riHjcos de M",. y
El problema tiene un ¡rado de hipere$tatiddad. Planteamos 1" eeullción de las deformacioltes. igualando los :!.ogulos de giro de 19s secciones del exlremo derecho de los tubos (Igualcs a los IÍngulO!f conlpletos de loníón de los lubos) •
• 1",
M'"nl
G"il;i" ....
;U'M "l G;¡¡;J Pi:
•
(11)
El momento polar de Inercia de la sección del tubo interior e.'l y el del exterior. J¡;r;. Estos momentos se determinan por la.'l
f".
5.11
fórmulas del § 29, para las l!eCCiones anuh.te!l. CUlondo el espc.sor de la pnred es pequeño. los Angulg,s de torsión :le pueden obtener por la fónnu]¡¡ (5.39). que. cuand... el ospe!lOr 6 es cunstllllle. ~ escribe de la forma siglJienle. 4M,,,,1
M'Mh
lJl-~=G"?tdJO'
siendo d el diámetro mediu ócl tub<-,.
,
a= de---'--d, ;
nd, In longilud do la circllnfflrellcífl. mcdill doll mismo. De l'lll ecuaciono., (1) y (11) s<' ohlieuulI lo~ mO(IJ('utoll torsurol::l en las secciones lransversale~ de 10.'1 tubo.'l y rlUjllllís, por la forrnulll (5.37), h.s ten!!jone!C. Cu~oJo (·1 cspellor de j¡IS paredes es considerable, plIrll calclll:lr 11'.'1 tensiones!!!! debe ernplenr Ins rórmultl" del § 35. t _
§ 43. Concentnll:i6n de tenllanea Cmonolo la configura<:i6n ole !ti. sección trnollvetsRl o longitudinal del irbol varía bruSCllmellle tiene lugllr la con<:enlraelón do [ensio!Jea. La inJJuencia de estJl eonceulraelOn se considera medianle el
coeficit'lIlll da concentración, que se detennina o teóricallleuLe, por 10lI métodO$ de la Teoria de 111 EIIl.uieidlld, o experimeutlllmente. En la Hgurll ~.18 e!lU dado el grá.lieo para hllllar el valor del coenciente teórieo de concentraci6n de lu tensiones Gt. ell el caso de torsi6n de un Arbol formado por dos parles 110idu con un cbaflin cóncavo cin;uilu de radio p. Como se puede ol»ervar, en el C.IlSO de
';.~11
~.a:
'.'
,. ,.,t:ft;E '.' ",
3,01
O,a.
l),Oi
o¡J4
0,1<1
l\11
¡
I1g. 5.1'
eambio~ bruscos. es decir, lIara valorellvequeiiusde-t, el \"lllor de Gt. crec., cOllsidllrllbJemenle. Conociendo el coeficiente de concenlraclón de las telllsioue:5, la tell:5i6n mAxima langencial corresptlndiente 11 nOIl barra de sección circuhlr !O oblicuo! por 111 f6rmull1, "t,.b.
M,o.
=«,'1,. -¡V;-'
donde T,._~ es la tensión nOlllinal, calculada para la lle&ci6n
meno!".
•
El efecto de lit com~enlrllción J,
§
«.
formal convenlentn de 1011 8ecclone8 en la torsión
De dos secciones de un mismo módulo polar de la sección (o en el cll~O de una sección no clrcuh.r de la misma característica W 10.) Y. por lo tanto, de un mismo momento torsor admisible, será con"vcllientc la sección de menor área, es decir, la que origina un gasto "'.lll.:1I0r de n,ateria!. Puesto que la relación f~p( <) W;a r ) es lma magniI(ld dimensional, para compllrar las diversns seccione¡¡ es muy cómouo emplear la magnitud Ildimellsional siguiente, IV, w p = 1/n
(en el caso de sección no cireular, wro.-~~;'), qUtllOlI puede dElnGmiour módulo unitario de la sección en la torsión. En la tabla 5.3 están ,ludos los valore>J de IO'M par;l algunas ,;(leciones. Se puede ver que I(ls menos coovenientes en la 1.orsiún son: el canal, el perril doble t.c, los reetúngulos finos y la.~ más COll\'enicntes, las secciones anulares, sobre lodo las ue parcde~ oelglldas, es .Iccir, Cllando e ... ~ se aproxima 8. la unidad. Comparl'mos (,1 pNW de una barra de ~('.ció]) tllhlllar IJl¡ con el ,le lmll harTa do sección mllciza 91", para. distintos vlllores de r. = ~ , pllrlifmd" de la cOl,dieión Utl igualda.d de re~istencill. Igunhlllflo los m,)(ln\os polares de IlIs scccioncs, maciZIl }" nUlllnr, outeud'-emos
n
o ~ --,-,'",'~ ,"1 ,. Lu rdación do la:l 1'1':"Qs) serl;
áTl'llS
de la secci6n (y, po,. 1" lanto, de los
Intruduciendo aquí el ~'alor de D, ,,1.lcni,lo dI' In conuición ¡11' igualdad de resistencia, hflllaremo5
-n,; IJt
= ,A
1-,·'
f{t
,')1
139
TULA 5,3
Mó¡;luln
~nltarln
da 18 88ccl6n en 18 tarllón de ballal de dlnuaI .Icclan..
'1'11'"
Canal Dohl..
0.04"0,05 0,05-0,07
I,~
~ecc¡(", "~cl.""g\lln
"
O. ,
pHa í,= 10
La '" i~ma ~ect:;ó", cuall'\o
1: -:.:
0,18
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0.21
S~ccivn ~ir~."l"r
0.28
macha
.,,<,,;110 d<""I,,<. p;l<"
0,37
,\",11" ,;in'liI;l<, p,,
J ,In
gil 1" luhla 5.1i están dados 10$ vidores de IR! : IJl,,,, ohllwjt.los por esla rót'lllola prll'f\ distiotos vnlores!le e = ~ 1)0011:15(1 \'0 r¡lIe el tllllpleo tic barras tublllllrcs de pared deLJ:ll.dll conduce
." "
,
l&BU s.4
Relación entre tn pun de barra. d. .eccl6n mactu d. anular In el caen de Igual rulshn .. ta a la tnuI6n
,
"
91",
se..ci6n
o,
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O.'
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o. ,
•••
o.'
•••
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O,U!)
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O,!)'!
u,8;;
0.79
0.70
O,IH
O..~t
0,39
CUlllltlO l"i< !'!eccionll" se calculan do La condición dtl l'igi
=
¡¡r-
(o },or = J;.~" ~n el caso de S(lcciolltJs no circulares) que so puede denominar momento unitario polar de inercia o clIractcristicn geométrica unitaria de la l'igidez 11 la torsiüu. En la ~ablll. 5.5 están dados los valores de ;lor para algun¡¡s de las secciones de mayor uso, 040
Tltu S.S
u.t»0-0.(l11 O. ()($..(¡,0I5
Ca".1
IJf¡ble le 5Kciw rt'f;tllnlul.r. pano
'¡=tIJ
O.O'JI
lA ,nlslNI sec:dúD. para i-2
O.U:>
Cuadrado
O. t4 O.IG
S«eión circular mU¡I. Anillo dreul.r. par... Anillo cireular.
~-
,
0,26<
l) ... O,5
1,~
~r. c~O,9
CAmo lIC puorle ,·er. a¡calculo. por rigidolz, se revelan mas aún 1"" venllljns (le las seer;ione~ ,Ululares de pl'lredes filll'l~ en compll.rllr;j{m cnn lo., otros tipos de ~OCciOll. La compllracivn de los ¡leSOll de borr~s de ~l'(.ei"n de aniUo circl1lar con las de Sl;lCcillll lllllCiz>l de iguAL rigidez. esta dalla en In t,aMlI. 5.6. En €ISla tn1Jla :JI, O~ el J11'~O Q~ una bnrra ..de sección tubulllr y lJI,~, el pe~o oc \Inn burra dI,! serd....,', clrculal' maciza. TUl4 S,,
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ComlJAflliLllu esta Uhla eoll la 5.4. ,'emos q.te ell el cálculo por rigirln. las barra.! tubulares de p"rcdes finas permite.. obtener unft CGonOIllÍlt ma)'ur 111m del mllterjnl.
CAPITULO VI
FlEXION. CALCULO DE LAS TENSIONES
§ 45. Nocionel lIenerelll labre
la defarmacl6n en la flul6n Muy :l mt'llutlo 1:1 utlrra !le somele tl la 3t".ciún de lma cnrgll lr:lIllr \'e"",,1 rcs qut! nclílnll en un plano perpendicular al de In sección (1'1l11SVel'snl de la I,urru.
(":'Indo aclU1l. esle tipo de ClIrgll., el eje de la b1l.rra so enCOrva. El tipfl indicad() dI" trofjcitacit5n 3C denomina flexión. La.s barrall que tra,Qflja/l principalmente a /le:¡;/Ó/l se denomlna1! comú/lmcnte 1'iYI/l" La/lexlrin.re de1lomina 1)1m'll, 6i elmomullo /lector "1; /0 lÍnico jut'r:.a IIIterif//' t/l la. secc!ón.
Con mayor freeuencltl, ell las secciones lranS\'ersales de 13. barra, simultáneamenl.8 al momonto (lector, apllree.en lambÍlln IUtlrr.a!" corlaIlte5. Este tipo de [Iexión se denomina lIe):160 transversal, Si el plano do llui6n del momento Deoctor pll.S!l por uno de los oíes centrales principales de inercia de la seeción lran.!Ve.rsal. entono ces esta flexión se denomina plana. En euso contrario, desviada. En IR r1t'xión plllna el eje de la bRrra permanoce, illclu!lO después de la defofDulción, en el plano de Illll (ucnll.s extt:rioJ'O!, plano de !l()licit(lción, En el eMO de fle:-:ióll desviada, 01 plano do lo de(ormoción no coincioo con (JI de solicitación. Lo flexión plan>!. de barril s de ptlre
'"
El estudio de la deformeción en le f1ell:i6n lo comenn.remos por el ceso de la f1exi6n plana pura. En 8delante allaliz.aremos al CfISO mas gelleral de la flexión, la f1exiún trans\·ef'Sll,l. La f1uión desviada perteooea a la t1ll'!istencla compuesLa de barras y será analiud. en el capitulo IX.
§ 41. Tlpu d, 'poJOs
d. lIS ,l.,.
Los apoyO! de las vigas, que !18 consideran como sistemas planos, de los tres tipo! princlpalell siguientes. 1. Apo)'o arliculallo m6vi.l (ng. 6.2, a). Este apoyo no i1npide el viro del extremo de la barra, ni su desplatllmiento en eJ plano de r'Jdll.durn. En él puede surgir solamente UDA rell.cl6n, que es perpendicular al plano de rodadura y pasa por el centro del rodillo. Esquem6.ticameJl~e. este apoyo ¡;e representa como una borra arUclllndo lln los extrcmo~ (rig. 6.2. h).
!OD
~.;-~ ¡;¡¡;-~+ d)
f)
e)
r...
U
Los apoyo!! móviles permHen que lo viva varíe libremente su longitud al variar lo tempflfaturll Y. por 10 lanto, eliminan 10 postbilhlad do oparición de tensiones originados por la lemperatura. 2. Apoyo artlculado inmóvil (6.2, e). Elite opoyo permite el giro del extromo de la vigll., pllro impide su dcspIS7.lImient.o de traslaci6u en cIIRlq\lier dirección. La reacción (1110 surge en este apoyo Re puedo deseompooer en du.!! componentes: la horiJ;onllll y la verUcal. E5quemliticamenlc, el apoyo nrticulado inmóvil se representa como en la figura 6.2. d Y ~. teniendo en Cllentil. que la articulación dobera e.~l¡¡r .'litUlldll ni nivel del ejo de la ~·i.lfn. Si cst:J condición no se eumple. entonces los cálculo!'- pued~" COlldllCir a grandl'S errores. E$lo estA rclacion",do al alargamiento o acor\.lImil"nlo da las libras (le la viga durante la flexión. a lo quc se opon.! el :ipoyo :Jrliclll:ldo inmó,"i1. 3. Apoyo rígido o empotramiento (fig. 6.2. /). Eslc .puyo no ]'leflnite del!pla%amienlos line.,Ic:l'. ni angulares de la !!ccción de apoyo.
'"
BII él. tU el ClI:>o general, puede "plITl'cer una r~cción que 8e ,luso cumpone en dos componente'! (vertical )- burIIO'lt.l) y 1m momento de cmJ'C)lramienll) (momento rellctivo). LPI ,'Ix. empotr>i.l:l en un exlromo l!(l denomina viga volada o si mplePlutllu, voladizo,
Si 1.." reaccioDe.!; de apoyo pu..o.dell !!Cf obtenidas solamenlc de la!! l:!Cunelolles de la est'¡tka, enlonccos ""ta~ viln se Jlam~1l e511itiuo· 1hf'lllc determinadas (isoslAticu). Si el número de reacGione5 ¡IICU¡nita.' es mayor que el de tu ecuaciones de 111 ",,!.¡jtiea que se puedell plantt'lIr 6n el pmblcmil dado, enlonces 50 dlCfl que estlls ... ifu 1lOn e;
algulloS eJ",nplos.
Ejemplo n.l. C;lkular las l'~netiolles d~ apoyo en el voladho !le 1,. fi¡:\lra 6.3. lltso/llctán. Rc¡'re5enl.tlmo... b. l\)llooion en el empolrllmit!lllo como la 1I1llTlll de dos fuen.tls: A. Y A~. nirigidllS como se indica en la {iburn. y Ult mumenlo reactivo Al",.
,
"
,"
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•
"
I:'Inllle3mQS 13:; 1lC1'llcionos do equilibrio de la viga. 1. Igualamo5 a cero la .!I1Ima de las proyeccione1! sobre el eje :. dE! todas las fuenlls que actúan /!Obre In ,'iga: IZ ... O. ObtellenlOll que JI. _ O. Cuando no existe carga bori:wntlll la componente borhontal de la rellcci6n es Igual a cero. 2. Realizamos lo mismo respecto ni eje y: IY= O. Sustituimos la cergll. uniformemente dlatribuidl\ q. por su resulllll1te q(l, aplicada en el ~ntro del tramo al:
A.-p,-qa,,,,,O, de dende se deduce.
A."",P,+qCl I • La cOPlponente ~'ertieal de la readón en la viga eu voladito es Igual a l. suma dI! las f\.lenas aplicalla.a !IObl'1l la viga.
H'
3. Planteamos la tercera ecuación de equilibrio. Igualamos a cero la suma de los momentos de todas las fuerzas, respeeto a cualquier punto. por ejemplo. respecto al punto A,
-AC,-P1Q,-qa,(a,+a2+
I'lIf,,=O:
a;)=O.
de donde,
El siguo menos indica que la dirección original, admitida para el mOll1pnto reoctivo. debe cambiarse por :su opuesta. As!, PUes, el
l'
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, P·~f
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,. ---l Fil·
•••
•
" ,,
, , "
"
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fll. U
momento reactivo en el empotramiento es igual a la suma de los momentos de las fuerzas ext.eriores, respecto al empotramiento. Ejemplo 6.2. Calcular las reacciollC5 de apoyo en la viga de dos apoyos de 111 figuro 6.4. Estas vigas se denominan, generalmente. \'igas simplemente apoyadas. Resoluci6n. Puesto que no existe Cllrga bori7.0ntol, A. z: O.
1. !Ma=O;
-A.~·4+4.2+4.1-2_0;A~=2,51.
2. :¿M... =O;
B~.4-4·3-4.2-2=O; B~
... 5.5t.
En lugar de la segunda ecuación padia haoorse Ilprovecbado la condición: :¿y = O que, en este caso, debe emplearse para comprobar el resultaUo. Ejemplo 6.3. Calcular las reaoc[ones de llpnyU en la viga quebrada de la figura 6.5.
'"
Resoluci6n 1. ~MAr:O; -Pa I-By(L=O; By=P.
2.
~Z=O;
3.
~Y",~O; A~+By=-O:
_A.+l'_U; A,=P.
A,,= -B,,= -P,
es decir, la rclleci6n A". estll dirigida hacia abajo y DO hnci
§ 48. Calculo de las fuerzas interiores en la fiexión C.Hile 8tl tI!>servó anleritlrmente, ... n la flc.-:iun IrllllsH·rs.'l1 plóllll\. en I~s secci(>ne~ tr"n~versules de la viga surgen dos csfuel"'los illt,... riorcs (.1(>5 rHeLoros inlcriOres) que son: el momento neclor 1l1f/~< ~' 1'1 rUertll corlante Q. Pllra c,licl1Judos, emplC; de la viga, la derecha, (lQf cjeloplo. y (ln,,· .) litlllllOS 01 e'l\1ilihrio de 11\ itquierda. La inLeraceióu entn: e~lllS do~ ;l.ituimo>; por los es[nenos i'Jttlrjores: momento rl{lctor !"IJI~" y fUena cortllnte Q ((ilt. ¡;.ü. b). Paru (·¡,lculll.rM1/t'c rQ pl"lltcuTrl(>~ do!\ I'cl1aeinnc>; u(' eq'Jilibri,,: b) 1. ~Y-=O; A-P¡-\-Q=O; flg.6.B Q=P,-A; Q--~(P¡)u'
,
•
2. I::Mo=O;
Al:-P,(2-a,)-MII~c_O;
Mfl.c~"" A2- PI (l:-a,); M!I~c~ Dnn
AJli, Plles. t) la juerza cortante Q en la mc16/1 trUIl.$llt!r$al di: Ü,l vlga es nwnérica~nte igual a la ¡mma algebraica de las proyecciones sobre el plano de la. seccl6n de (aMs las jueruls exteriores que a.ctúan a una. pa.r/e de la seccion; 2) i!l momento jlector en la seccÍiÍn trullSversal de la viga es 1I1Ut!l;rlca/lumte igllal a la suma algebraica de los l1I()mentas (respecto al centro de gra¡;edad de la sección) de las luerz.a.~ exteriores que acf«all a l,na parte de la seceMn dada.
14'
§ ~9. Convención sobre las signa, ele las momentos flectores J de les fueruI cortantes La (llena cortante en una !leC<;j(m do la ,·ilt.., por ejemplo, en la seCf.i.... mn (rig, 0.1, a). se considera polIitin, ~i la resultante de las {Ulltlll::l exteriores a la hquierda de la seCciÚII, co!Lá dirigida hadll Itrihll y IR de lils fuenall a la derecha, hacia ab.. jo. En caso cOlltt1lrio. la ruenll eortante se con~idcra nt'glltlva (fig. 6.7, b),
¿-
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fil¡, 5.1
El momenlo fteelflr en la ~eeciórl de la viga, por ojemplo, en la secr.i611 mn (ni' 6.8. a), !le considera po!ltivu, si el R1om~lllo resul· taute de 1119 rucrutS cxleriOl'('9 11 lit h.quiurde de 1" sccdón Ilslá o,iel1tlld(l i"flrllll 111i:l mll.llecillll<; del reloj y 01 de las {nenas 11 la Itcn..,<"hn, 11..,<0
r-L::::i~ C~)
.
"
.)
fÍII. U
en cnAUa de 1.9 UlllUCCi!I...... E .. callO eontrllrio 01 mome..lo ~ con· sidera I~g.tivo (ftlr. li.8, b). l~os momonlO1l rollreSt:ntad~ cn la ligul'A fUI. a eDforvali 111 viga cnn II! flute wn\'C,1I:ll hafia ahajo y los ",umenl.t! de la fi¡::uTII 6.8. !J. {'.()n 1" ¡>arle {'.()IlV*'XII 11I1(~i" llrrilro. 1::Slo el> f¡lr.i1 de comprobar, encoT'iando mlR Tt'gla csl.oelta.
De llql1j!El dcduce otra rt"e'IR. mlls r'¡ci! de rec;ordat. p30l el J!igno de lo!'! monlclIln.' lI~tores.. El mtlm".to Ikcror SIt cOIuidera pO.'flti~'IJ, ri tri lo. M!rd6n I!n C/ltlliDn 14Vigfl se rllcorV4con la parU ~ll1Wf"ra hada ..bajo. r-4 obvio que las fibr'olil de la \'iI,!A. l!ilUlldliO! CfI 1.. parle cóncava c.!táll {'.()mprimidas y las sHlllldll.s en IR parte COIl\"C.~", trae· cionad"s. Asl. Jlues, si nos plinemos de acnerdo eu colocar la" ord.,. nlld"s positi\'llS del gr;irico de los InOIllt!nlus MIIN, b;u:ia IIrrib¡¡ del cje, rcll\llt.a ('ntonces. que tI gra(ico Sé construye sobre las {ibr1l5 comprimldu, llJO
147
§ 50. Relecl6n entre el memlnto fl.eter,
l. fU8rta c.,tlnte J la IntUlldad di la car.a dlltrlbulda
Entre el momento f1~lor, la fllerUl cortante y la intensidAd c1e la earga distribuida fácilmente !le esubleee Cierla relación. VeaIDO!! una vigo3., :JOlicilada por una earga arbitraria (fig. 6.9). Calculemos la (uerza cortante en la ~-cioC\ que dista z del apoyo
FIl. &.9
b,quierdo. Pruyectllndo sobre el eje vertical las fuerzas ,it'I",I/lS la izquierda de la $leCif)l1, obtenemos,. Q.-A-Pl+qz. (a) Igualmente c:llculnmos 'a fuC'rz3 cortante en \loa sección contigua a la primern. 'iluada a una d.istancia z:+dz del apoyo izquierdo. Q.+dQ._.1_P¡+q(z:+d:). (b) Resundo (a) de (b), obl.t!ncmos dQ.=-qdJ. de doode hallamos, ti
q= ~. ,
(n.1)
es decir, la derivada dr la fuerza ctJrtallle rtsptcto a la ab.tclSl.l de la ,ecclón de la viga es igual a la tnlen.•idad de la carga distrlbu.ida. Hallemos ahora el momento flecLor 011 la sección de IIb.'!Cisa z, escrlhlendo la suma de los momentos de las fuenas aplicadas Il la izquierda. de 18 sección. p¡¡ra ello. sustituirnos h\ carga di!Jtrlbuida en el tramo de lougitud z por su resultante gz, aplicada en el centro del tramo, a una dislsncl8 de la sección:
i
M._Az_P(z_b)+g:f.
(o)
De UDa manera ADálora !le calcula el momento f1eetor en la aeeeión COlltigU8. di&tante l+d: del apo)'o izquierdo. M.+dM._A(I+dz:)_Pl(Z+ds_b)+q(I~.u):.
(d)
--;·"'. :.-:.=otacioSa da Q. qua .. emptlla aqllí (y Un poto mú .delante Ia.m.hl'n la da M.) iad>u qua ~.nlo l. [o...... cort.nt., como el mnmcnlo f1eclor 100
fuaciuoeil d. l••blelsa • tia l. lecei6n transv...,al d. l...1.... ''8
Restanilo (c) de (d). obtenemos el incremento del momento !lector, dM.=A d;,_Pd;,+q;, d::= d: (A-P1 +q::). La expresión entre paréntesis es la fuerza cortaule Q" por lo tanto, d.W.".,Q.d;,. de donde se obtiene dM,
Q• =-;ro-.
(6.2)
decir, la tkrivada del momento, /lector rcspecto a la abscisa de la ~ccl611 de la viga e$ Igual a la tuerza cortan.te (teorema de Zhuravskl). Derivando los dos miembros de la igualdad (6.2) se ohtieno, dO. """ diAl, "= -. <6.3) dz """'dT q~
eS
lo que significo que la segunda derivada del rtI(lmento ¡lutor resputo a la abscisa de la $f'cci6n. de la viga, es igual a la Intensidad de /a carga distribuida. LAS correlaciones obtenidas serán aprovcchudlls en adelante prill~ cipalmO:!llle para la cansl,rOlccióll de los -gráficos do los momentos ilectorús y dI) las fllerzas COrhJJll·es. § 61. CDn.hueDiÓn de IDa gráfieDS de los momantos neetares y de In fuerzas eortante8
Por" ilustrar el carácter ue la variación del momentO flect.or y la fllerzil cortnllle a lo hlrgo de la viga y paro hallar las seecion~s peligmsas se construyen los grHicos de "'f tlc • Y Q. La técnica de la cOIl~tr\lcciun de estos gráficos la explicaremos en los ejemplos si¡::lIielltl!S. Ejemplo 6.4. Con.~trllir Jos gráfico.~ dl! Mt~. y Q pnrn l, viga representada cn la figura 6.10. R~$()lllCi611. Tríl1.amos una sección a la derecha de la rucrzn a una d¡s~ancia ¡;l del extremo derecbo de la viga (secciull 1 _1). El momento flcctor en esta sección se obtiene con la m.íximu fucilidad. escriblenuo la sllma de los momeulos de las fuerzas c);,tO:!riorC$, ¡;itu3dns a la derecha de la ,~ección. Obtenemos osi: A!fl•• = O. Este resultado es v"'lido parlO. tOtlll 8 las l:!Ccciones del tramo Be. El momento Jlector en Ilna secdón cualquiera 11-// del tramo AB. también lo ubtenemos como la suma
.
,
El signo _lTlenos. fue eSl.:ogido porqne In l.fllrrn SI;! ~nc,orVll con l~ convoxiflarl h~dn Hrriua. Hemos ohtenido la ecuación de una recla inclinada. Para construir el R'ráfico \~alcuI8mO~ dO!l \'Alore~ de /lf ,: M,.~".=o; /l1,.... ,,'+a.= -Pa,o A Itl eI;Cula cSI':ogirla colocamos el vdor de Paj hacia abajo del ejo del lír:ífico. El grHico de M (1. 0 esl6 representado en 1ll figura (l. tU. /1. l~l OlomonLQ fleclor máximo surge COl la sección de em JlQtramien1.o: .H,"~~ - - Pa,o
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Calculemos ahora la fUerza l,orlalll,c en la se,;t;i6n T-l. Proy"el.lIl1do sobre el t'je vertical las fllel·~ll.~ que se encuentran a In dert'cha de la scr,ción, obtellemos que Q" = O. Parll In sección 1/-/1. riel mismo moolo se obLicuo Q.. = /'. El signo .mas. Sll justifica ponplC la carga exterior, a la derecha do la sección, está dirigirla hllcia abajo. El grHico de Q est.:.l represenlado en la figura B.tO, c. Para balJar el signo de le fuerzu corlante, simulláneaOlente a ll'l t'l!gla. anlerior, se pUl'de recumendar olra: la fuerza corlan/e Q ni positiva en aqu~1I08 tram08 de la viga, cknde el gráfico de M)lo" se el"va (movilndonos d" izquIerda a derecha) y negativa, en aquel/os tramo8 cknde el erófko de M(",< baja. Ejemplo 6.S. Conlll,ruir el gráfico de M(l,.c Y Q para el volailh.o de 111 Cigura 6.tt, (l. Relf(lluci6n, Aqui I,enemos dos tramos (AB y BC) con distinto carácter de !!OHcitación y, por 10 tanto. eOIl leye~ di.~tintas de vllriueión de MJloo y Q. El momelll,o lleotor en el trllroo AB. en la sección ubicada II IlllU dislanci .. =\ del punto A, se halla como el momento de lu fuer~a)\
'SO
i!qllierdu. Para ollo, sustituimos la CIIl'¡1I distribuida, situada a la ¡lquierdll de la sección, por su reaul~nte q::l aplicada en el centro del trllmO de longitud %,. Asl. 51! obtiene: 'f .,-=-q¡, ..!L.fi. J' 2. - - 2 •
El signo cnumOSl indica que la vlg. se encorva con la convexid.d hacia arriLa.
,
~;-"----l-~'
Q'),
t I
,
,
I
1 q4: Ir
l
l
,)1 I
I I
"¡;¡¡;~lllla']"[¡¡milI[]I"r'~( i'~'a'I'á')mm
:L
r)
Q
Esta es 111 (-<:ulleióu de l1l11l parilllola, qlle trillamos, :l.proxi1lladllmenle, l)Or in's puntos, .. = _ "., . 11I ...... ,------:¡--. ,,·1 Af,,_ ~ O,' Al "_-:ti'
Tr..u.mos I.n.. sección ell el trllmo Re, 1\ Ulhl disUucill :::, del cxtrenlO libre oc lo viga. SustituimO!! la carga distribuida en la longillld a. por su rt'_'mJtllnte qa,. Ilplieada en el l;l'lItrn del tramo AB. t1.1 mOlTlf'nlo ('n la se<:ciÓn::. es.
101,._ -1J4¡ (:.:Eahl. es la ecuación de
..alol'Cll de
~; %2'" a,
y
UIIIl
~).
"-'CIa. ClIIlculamos
~=
M,.
(llU1I
do.'1
al -;-I!:!. EntonctlS obtendremos: .11 -- _.1!1. . ,,2'
JUc = -q
'"
Lil, fuerza cortante en la 8eCClllfl ~t se obtieno como la SUllla d... las proyecciones, sobre el eje vertical, de las fuerzas sitlladall a la i~quierda de 111 sección, es decir,
Q'L = -qz,. Esta fuerza se puede obtener, también, por la fórmula (6.2),
Qz,=
dllf• d. l
"=-q:,·
LH, fuerza cortnllt(~ en Ir, Stlcdón z. es Q,. = - qr1,. F:t ¡¡rtifico rlo Q está .representado en la figltrn tUi, c. En Jos dos CllllOS la fuer:ta cort:mtc resulta de sigilo negAtivo, pnesto que d gráfico de -'l1f¡~. baja (moviéndonos de i1:qnierdll a derecha). Se debe prestar atención 11 la siguiente relaciún (Iue se desprende de 111 fórmula (6.2). En los tramos de la viga, dOlLda el momento f1nctor varía según una parábola (curva de segul\do orden). la fUer1.a corLante vl\ria IinoalmCltle, es decir, su gráfico es una rllda inclinada (línea de primer orden). Allí, donde Jlf¡llw:ttin. Debido a la simetría de la cMj;la, Ins rC(lt(',iones son igllalos:
A=B= ~. E:l momento Heclor en la secciÓn de abscisa : es, ql
q.'
M·""'T z --,-. El primer término represen la el momento nector t10 la reacc~on, l'0sith·o" puesto que al,fijar mentalmente la viga en la SllCción en cuestión, resulta qua la parte a la izq,uierdll de la socción se encorVa con la parle convelt/t hacia abajo. El seg\lDdo término es el momento Uector originado por la carga uníforlnemonte distribuida situada Il la izquierda ~e la sección. La resultante de esta carga es qz y está aplicada 1m al centro del tramo, es decir, a una distancia de la
f
sección. Por lo tanto, el momento de esta carga es q~t , de signo negativo, puesto que estll carga encorva la viga (fijando mentalmllLltlf la sección) con la parte convexa hacia arriba. La ecnación obtonida para el momei!to t1ector 8S la de una parábola. Calculamos
,O'
o)
,
A
!"
e) IJJ.
z
fa FlI> ¡.12
21m
o)
),
oC
D
3""
"m
6)
.' Hntcl
21m
al Q-O
FIl. &.13
lres
ord"'Ill(lll~
del grúnco de j\lf fl~o:
.1.1'_0=0; M
,--;-; " 11.1'_1=0.
'-T
Con los dolos obtenidos construimos el grafico dl;! M fl~o' El momeulo fleclor máximo (en la sección mocHa no In viga), es
.,.
¡lfm '¡1""'ij'
Convicnc aprell.tor.'ll! e.~te fllsultnd,}, ya que se llmplea con frt'cllencía en lo~ c;\kulo.~. Derivandu la expresión de /I{, o igualando >l cero (1 primera deriY
.'
Q'=7-'1 z , lll¡~mo
Esto lIlOS do~
w.lores
resultildo se uuLiene pUf la fórmula (G.2). Calcule_ Q,
«l'
y construynmos el gráfico de Q. l)reMemos lltención (1 que Q = O NI el centl'o o1el "llIJO de lil "iRo, donde el momcllLo flecl.or toS máximo, lo que se d.,r1l1c¡> de In relaciún (H.2). Ejemplo (,.7. Construir los grarico~ de Al/loe Y Q lIara el \'0111!li1.0 do In figura 6.13. Jk'l(Jlw:l,ín. 1~;1 momell~o f1eclor en d tramo DC (out/)[1;o10 com... la ~"ma
+
es
AI. 1 = -2z j
,,' --t-.
Estll es 111 cCllllci6n de una parábola. Calculamos tres VII/ores de Al,,:
Al,,_o=O; Af,,_'m-- -3 lm: flf,,_h,= -8 '54
tIll.
Con esto!; datos construimos el gráfico de "'f!l« ell el tramo AE. Calculamos el momeuto f1octor en la sección do aUsciso. J:~: M•• = -2,,-4 (~-1)T8.
El segundo término de esta expresión es el momento floctor originl:l.do por la resultantc de la carga distribuida q11e actúa ·sobre cl trllmo AE. Esta resultante 6S igu,,1 a 4t~' su disLancia n la seeeioD en cuestión es z. - 1m.
"J
,
,
e
14-21
b)
MII'1-",,:~~rijllJ]llJImJ!I!J~;'
'1 , 2< rrnnmTTT1m-rmTTT1TTl1,,¡J.lWlllWJJIlI
]"Jnmos n
;:~
lus "alores: z~ = 2m y z. = 4m. obtcni('mlo, M ..~2~O; .'f1,.-0 = -12 tUI.
Cun [08 valorcs bllllad\l>l :>c ha conslrltido el gráfico de .If!l~e cn traillO BE. HaH"mof¡ ¡,I momeuto fledor en In &lcciún que dista:. del ex ¡,romo dcrer.ho de In viga. Puesto que en la p'lrtc a h derecha de la ~cción hny memos fuerza!; e¡¡:teriuros qnc;l la j~.qllic,rda, n:sulta mas fácil calcular Ar" como la Sllma ue los mOmt'nto\< ¡ltl las fllCrzllS a IR dcrt'cha, /11,,= -4:,-2 ~J .
.,J
El prirntlr termino es el momento flector de lo. hwrz'l.'CtiÓll que se analiza. Lo!! d(l.'l términos ligur"" con el sigilO '"lenos., ya qne la viga, 10 huscn el momento M Iloe' :se enCOrVIl, bajo la (Icción de lAS fUerlllS ,1 1>\ derecha, COll la -pllrtl: convexa huda nrril'>l.
'"
EYaluando ~sta expresi6n pa.ra z, _ o y z. ~ 2m, obteuemos el grMico de MI/oc para el tramo BC. lAl fuen)), cor\.(ullO!ltl deternúna o medinnte la relación Q,""~ o proyectando 50bre el eje vertical las fuerzas qlle actúan l:\(lhre la parte separatla. Para cootrolar los cálculo<¡, se recomienda aplicar nmbos métodos.
,
~ ~ 1.+1 II
d)
r'll. 6.15 linDamos In d,,"¡vada de Al ", obteniendo,
Q'l""~ ' ( - 2 z'---:;r"') = - 2 - 2z,. EsLa e8 la eC\la,~lón de la lInen recta. El mismo resultado se ol,Lietlc proyeetlludo whre el eje vertical 1113 ¡"",rzfls situadas a la izquierda o a la dcrecha de la l;occi6n de fl.bsciSll z,. Ln fnena l'ortllllte tm una secció" nrhitraria del tramo EB es: dM,. Q•• =_,_= - 6t .
...
~
El gráfico de Q, en el segundo tramo, es"á constituido por una recta ilOrizontal. Al calcular Q". como la derivada del momento M ,~, se debe t ..""r en cuentA qUtl z.• se mide de derecha a izquierda y, por lo tanto, como se demlle~ra en las matemátkas, para obtener el signo correcto deQes necesario, después de la derivación, cambiar el signo,
Q.. =4+2z,. Por la ecuación de esl.a recta se ha construido el gl'tlfieo de Q en el trllmo Be. Los saltos bruscos en el gráfico de Q son de ma'tnitud igual a las fuenas concentradas aplicadas en las correspondientes seccionell de la. viga, es deoir, a las reacciones A y B, Y a la fUena P (en el extremo derecho). Ejemplo 6.9. Construir los gráficos de M,I~" Q y N, fuerza axial, para la b¡ura quebrada representada en la fIgura 6.15, a.
'"
R~solu.c:i6rl.
El método general de determinllei6u de !tI,le<> Q
y N en una sección cualquiera permanece ~¡n v!lriar. Sin embargo, en este CII90, es necesario ponerse de acuerdo en cuanto a 18 regla de con~ltuceión de los grálic09 en In! barras il1dinadas y verticales. Exisle el acuerdo de construir en todas las barras el gráfico de MI/
J,1.¡ =P.¡, Si nos imaginamos que la partll inferior separada de la barra está empotrada en la set:ción /-1 entonces se verii claramente que la {Iexión ocurre con la paJ"te convexa a la derecha, es decir, la fibra comprimida se encuentra ti la ir.q\lierda. Por lo tanto, coostruimos el gráfico de M .. ea la plH1e izquierda (lig. 0.15, b). Cuando z, .= 0, J11fj~c ",. O Y cuando z, = 2m, Mfloe = 4tm. El momento nector en la secci60 [/-1 J es igual a la suma de lo~ momf!nlos de 11lSfucl"Za~ situadas a laderccha de la !;'ccción, es decir. nI prouucto rie la fuenll por la distancia a la l;ección, o sen. por la longiLud del se¡:mento DE, A1'2=2·2=4 tm.
La fibra compri,nida resuHa estar abajo (Hg. ü.15, /1). La ruenn ,;ortante se pued.. obtcner por la fórmula (G.2), .~,
Q• =- -¡¡;-,
" SM, determinar Q, como le tangente del Ílngulo de 1I1clinnClón de la taugente al griifico de los momentoS. Para In bHrra. eD. el Illomento !lector el; M=coust., por lo tanto, Q=O. En la hmrll DE,
,
Q='2=2t. Se plUHle, claro está, obtener la fuen.a COI·tante como la SUTTla de las proyecciones de las fuerus que actúan a uno ,le los lados ,le la sección sobre la dirección perpendicular al eje (le la barra. El signo de la Juerza cortante se establece por h, regla anterior. Si. al ob;¡crvar la barra DE desde la itq\llerda o desde In derecha el gráfico de lIt asdend¡), entonces Q es positiva. I~l ¡:ritfico de los valore!! positivos de Q lo construimos en el lado derl!cbo (fig. 6.15, e). Determinamos la fuena a:dal N por el mlÍtodo de las scccione~ (fig. 6.t5. d). En el caso de la barra DE (Hg. 6.15, el, proyectamos las fnenas aplicada a {lor debajo de la secci6n /.J. sobre [a dirección de sn eje, obteniendo asi N llB = O.
'"
Para la barra CD llroyec.tand(> las rllcr'la~ que !le Il"Cllentl'l.n a la dCf'e{;ha de lu sección JI-U sobre lA dirección del eje de esta barrA, obtenemos ,VeD "', -21. (compresion). Lo,~ va10rlls nel\'ativos de N 108 colocamos hucla ablljo dul eje de la b
"En h< fle-,i6n plonu ['UI'U, en hu! secciones lrollsVCrsalf's de Jl, viga, ~tlrg'-'ll Ml11nlcntll momentos flectores, qUll lIe.t(mn en el plano que 1)¡IS
, , ,
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,
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Flg, 6.16
El momlllllo flector cs el momeJlto resultante do las fuenas nor· males interiores, distribuidllS en la sección. Parn establecer la ley de distribución y la lI1agllilud de las fuerZIIS interior('s, que surgen en la sección trallsve,",,~1 de 1/\ vigll, son
'"
Insuficientes las ecuatlio~ de la estállclI. Hace fall. rec:urrir Um~ lJién a lu cOlldlcionu de deformaci6n de la viga. Si una ,'igo. (probeta), sobre COYIl superficie se h. mll~ado UIIII. red, !le !lOmete a f1eIi6n pl'AA pura, podremos oh8olrval' lo siguienle (lig, 6.t6): t) las líneas 1-1 y 2-2 de la superficie de la viga giran eierl0. ángulo dfl, después de la dl!formacióo, permalleeielldo reclas. Ea de Sllponer que las seccione, tra,"venales de la viga, que eran pktnas ante8 dr. ocurrir /4 deformaci¡in, permalla:eráll pIcJIla3 también dllpaill de la ckformru:16n (h.ip6leli~ de !tu lecclcnelf plafUlJl), Los dilc\llos que se basan en tal snpo!.icióll, con_ cuerdan lIien COII los rtI!Jultltdos de los ellSli)'OS; 2) III fibra ab, situada en la pllrle COll"exa de la viga, .se .I.... rga. lo qUIl urtifiea que esta fibra se Iri'lccionl, mientra, que la fibl'"ll. ,,/ !le Reorlll, lo que demues~r:l 5\1 compresJÓfI. LII 100'Iitnd de ll! fibrn cd 110 "ollllero. y, por lo tallto. cstll fibra 00 sufre trarónn, ni cornp~~;ón. La <:apa d(l la \'jgu (ulllil·cl du la fibrll cd) que 110 sufro en In flexión trllceiÓln ni compresión, "" llenomina capa neutra. La Huell por la que ~ cortll Il-~tfl cllpa t.un el plRno de 111 >leCCión tral13"II~1 de la vi~ (ng. 6.17) se ¡leuo,"iJlIl eje (lint'a) oeutro. La intel'SllCeión llcl phlllu do SIllicitlleiÜ" (00 el de la Sl,lCCióo tunsversal ~ dcnom;lIJ1 Iíuea de lollenaeión. De lo~ resultados de los ensayos aoalindos lIII dcductl que 11I!! IiImls de b. viga se deforman de mallora distil"lta: las deformlOciollcS rnflyores lu sufren las fibras quc!\ll enc\lcnLran m611 lejos de 111. ClIlHI neulra. DomoMremos que IlIs deformocionllS vl\rlan IinoalOlllllle, $e¡:¡ún In IIllurll de la llCccilÍn de la ,'Iga. En electo, t'l !
"'''"
t=-;¡-=---u¡-""
, 1116
pdB
=,,' ,
(6A)
siendo JI el rlldio de curvlltura de la capa neulm de la vigA; 1n mai"\li(¡.d de JI es, por ahora. de!lConoeida: !J, la distancia de lo fihra Iln cuestión a 111 Iinca nelltrll. Anles de plISar al clÍlculo do lall tensiom's, in~l·oducjmos \lllll 11¡1l6Icsi~ mlÍ~: H\IIl"nemOIl 'lue lal' librlls de la Vigll no presionllllllll"S sobre ol.rlls, p_~ decir, que 1/18 ~cJllliolleS e .. direnclún l,cqrendicnlllr al ejo de la viKa, son illUll1es a cero. Asl, plles, clldll. fibra rellultll lIometid" a tracción o compresión monoaxilll. w fórmula que !!e obtiene, bto.!liindo50 en 8!'Ita hiVó'etI;:<, dll resultado!' ql\l! están bien
".
de eC'lerdo con 10.'1 datos de 10.'1 elllJayos. Entonces, segun la ley de Houkll pera el calM> del ellLudo teosional monoa;1.:ial.
,
o_Ee=E..!..,
(0.5)
85 decir. 'IUO las tt:rul.Orte$ fWrtrnl!u 1JtU';411. Ngl1.ll 14 altura rU la ««Ión t1"4nwt!nci. propot'ctoll(l.lrruntt 4 la dUtand4 dtrl t/t ~u.tro. Las ten!io~ mill:imu tendrán lugar en I~ bordes• .5upelior e inJerior, de la !!CCción,
-_o
m
r
filo i.lI
El ¡rifico de O' esta ",presentado en u.. Jigura 6.17. ConllideramD! qll(l In telllllooes de t",cci6n !!(ID jM).!Iiü ... as. S(l debe subrayar qll9 los ,·ectores de lIS tensiones normales son, cll1ro eslli, perpendiculares el plano de 1& sección transver.!31 de la viga y los segmentos, que repre.senlan estas tef13I01't's en el grUlco. convellcionalmente. se hecen coincidil' con el plano de la sección, Um\ ve:t det8rm{nll.da la ley de uistrilrución de las ten"ionu ¡;e puede calcular su m&gnitud de las oouaciones de equilibrio. E:xami· Ilomos el equilibrio de 18 pRrtll de la viga q\Il:l se encuentra 5
...
3. Igualamos a cero la SlIma lle las proyeccioncs sobn! el eje :,
rz=o,
o
SadF=O.
SOll,
"
Teniendo en cuenta (6.5), hallumos,
; SydF=O. Pero,
E p* O,
:rll. que p+
00,
pues
~c
llnalirA el CllSO cU
"iga está encorvadu. Lucgo. y dF = O.
S
,-
Esta integral represcnta el momento cstótico del árM do la secci6n lrunsvofl!al de la viga re~pel;lo al eje neutro. Puesto que la integral es ignal IJ cero, la línea neutra en la flexión. pamfcí por el centra dtr ¡;ralJedad de la $iXi:drin. tí. La ecuación !.¡lE, = O ~ convierte en idolltid¡¡d, id ser Jos ('shwrzos interiore.'! <1dF paralelos nl eje :;. ;:,. Ln ccu¡¡c[ón '::;¡lfy - O nos da adFx = O. TCIlicn
S ,.
f SxyJF=O. ¿-* O,
. E I'ero
" luego, .1¡ xydF=O. p
La integral J,,~ =
S xy dF represenlll. el ,los cj6.'l x e y.
producl,o
oc
inercia do la
sección, rcspecto a Puesto quo este producto es igual a cero, los ejes x e y deberán ser ejes principales de inercia de la sección y el momento m~ deher... encontrllr~e 011 el plano que pasa por uno de los ejcs prillcipaJes, condición qUll se cumple en el caso de la. í1ol'ión p\;\na. Do nqui 00 deduce también, quo la linea de solicttacion. y la línr:a neutra (efe neutro) son perpendiculares tntre sí ti. 19uallllllos a cero ll'l suma de 105 momentos Ull las fUt'l"Zas respecto nI eje z,
l:ft!",:zO; -IDH-
SyodF=O. "
'reDiendo en cuenta (6.5), hallamos, lJn --~ \' y' dF. p ¡
,.
tl-JU
tlit
1.:1
il\te~r¡\1 J ~ =
~I"Ít\" l'e;>¡)N:tO
,SI/ dFreprel;
nI ejc Illmtro %. S.. hre In purte ~p-.lradn de In viga pueden nctU3'1" varios paros OJ[lcriorcs. en IU~1r de uno, así como cusJquier otra carga. En l.'5ttl caso, f!II In ecnaci,'in de equilibrio Xii!" _ O figurará la suma algebl1llCA rlt ¡os lUomcntOll dI'! tOO/l5 88U1! luenas, que mi numéricamente i¡rlllll al lIlomNllo f1eetor eu la sección trllll~\"el'SllJ. Teniendo esto cn cuenta, I.ociemos escribir la correlación nnteriur on 1" {omla !
A'1 llu =- f'J~,
(0.0)
....!..._N".r. p 1::/,,'
(ti.7)
de d"mle so de'lill(:e,
*
La magnitud [( .... os la curvatura de 10 copn neutra de la viga. AnLeriormente so demostró que lo. HnaD ncvtra de In secl,;i(,n Lr;lIlS\'Ot'S.11 pnsa por 01 centro de gravedad. Pur lo tanto, el oje (cj~ IOllgitudinal) .Ie la vigo, quo e~ el lugar geomótrico de 10$ centros de grnvodall de SIL" !leCciones trao5versales. so encuentra en In Clllla neuLra. Así, ¡lUelI. obtenemos que la eXtJl1ll'lión (G.7) delerminll la CUf\'ntura del eje de la viga. Es decir. la curvatura rkl tIc de lfl.uiga en Ú1 {/t;twn el propurclcmll si mlltlulfto ¡lutor t: in,wrMlnltn./t propord"lI/ a x• que r denomina uiglda. de ln. a:cc16n a l4. {talón.. [ntreduciendo el valor ,k un (6.5), IIt.-gnmo!' a la impor~ante fórmnlll,
eJ
a '" M,l., y, J.
*
(¡¡.S)
ql10 permite caklllnr la ~cnsion nurmal Clt cnnll¡uier [Junto 00 lu Nleclúll LrullSvcl'ffi1 lit! 111 villa, !i !le cunOCQ cl momento Hectof Jlffl.~ y el monllmlo de incrc.in de la !lCe,;iún" Como domucstran IlIs illvc$t¡gll.done~ mb detalladas, ]1\ rúrlllula (G.8l e.~ :válida,"tamblén para calcular los t61lJ>ionc~ normales 00 el ca$/;) sroneral do UelCióu plana (en II! flexión transversal plana), cuando en 111.8 secciones transver!llles de la viga actúan un momento [IecLor y uua {uena cortante.
§ 53. Condlcl6n de re.lst."cia por ten.lones lIormale. Para garantizar la resistencia de una vigA. es ~rio que durante la ne~ion. las tonsiones máximas dr tracción y compresión en la sección peJigro!a, es dooir, en la llOCCi6n donde Mllu- tiene el "'/llor mn.ximo, 110 robll.~1l IlIS correspondienles tensiones lIdmisihlos
"
(se lUlalizan solllméllte las "ig:as dé sec;ción con~l."18 en lod. la longitud). DesignémOll por 11, (y'¡ue la fig, 6.18) la disl.lld. de la ribr. tracciolladn m:h alejada del eje neutro y por h~ la distanciA de la fibra más comprimida al mismo eje. Entonces, la l.ellJlión máxima 00 tracci6n en la floxiólI sed, mlÍl
o, "" MJ~'~
h,
(6,9)
Y la tensión mlÍxima. (en n.lor ab5oluto) de compresión, (6. to)
Para los mlteriale.. fní¡iles (hieult [undido, por ejemplo) laa tensiones .dmisibles 11 tracción y a compresión !Gil distilltas: (
MJ'"
hl
(l1.1i)
máxo.=
MJ:" 11.<10.1.
(6.U')
•
En las fórmulas (6.t\) y (6.t1') se debe introducir el vnlor robimo (en su \'olor obsolnto) del momento M II• e •
SI 1/\ seeei6n do la viga es simétrica respectn al eje neulro (estll tipo ue secciOIlCS es o)nvcnienle empl8llr pare la~ ,'Iga:! de m/ltcriales pI511tico~), es d~r.ir, si h, .. !lo = ~. entonces ell lugar de dos fórmulas (0,9) y (6.10) ohL.mell1oll \In~, (0.12)
Anoblndo W",= ~"', obtenemos, pnra igualC'll lt'nllioncs odmi!liMes a la tracción )' • /11 eompretlión la), la condiri6n de mis_ teoda sig'uienle: nuíxO"_ ,1:6'00
•
La magnitud IV" sB dellomina módulo Illda! de la 8l.'('c!ún o módulo de 111. sección en la flexión. El móo.lul0 de la sección es IIlla carllclerlslicn geométrica do la sección transveNlllI do la \'ill"a, que dclcnninll Sil resistencia a la (JeJ[i611. Los Vil 10m de IV", parll IlIs NlCCiones mas simp1t'/l son: 11*
1S3
ll) p1l.r. el rectángulo _2J" ¡'¡'S ¡'¡'S. W "--r=-::-T--' 12-
2
II
b) para el circulo IV'--'-=MT¡i"=-ar,::;: ?.1" "d' :Id' O,Id; ' e) I'Ma el _¡dilo ...-aJ" ,,/P (1_ e ')-010'(1I V" r = I\D'(I-"') 6oU)/2 =""32 ~ , e ')"•
d) pAra los ~rJile:llllmillad05 (doMe te, de canal, elc.) lo~ valores de n';>" c~l:;n dados eo las t1l.blns del surtido de perfiles. Para clllclll.r la. sea:i,"1 de '10' viga, de la fórmula (6.13) l!6 obtiene la. relación ~¡ltllionle,
IV,.> ~~i
.
(6.14)
El mOmento rJtlCtor admisible se c81eu1ll por la fótmula, 1M ',CC\ "" w ,.10). (6. t5) UIIII V\!~ obl\!hido pOf esla fórmula 01 momonLo f1cclOt lIdmislMo y cOllorleul10 111 relnción que cxi~lc entre MOer Y In car~a (flor el ¡¡:ráflc
4.36
mbM/I_""T=T=18 tm_t8·tO· kg[cm. El módulo de la secciÓn necesario ea, W rJlúM,t~ 18·to- 112.5 em'. ,.'"
((JI
-""lliXí-
De la tabla del surtido de perfiles escoJfemos el perfil doble te N- 45, pua el cual IV,. = 1 220 cm' (segUn el GOST 5239-56-). En este e~plo y en 106 aiguionlltl empleamos las tablas del nuevo surtido de perfiles (según el GOST 8239-56-). Si se emplease el Sistema Internacional de Unidadll5 (51), la resolución seria l. siguiente. • GO$T ea lo abr... ¡aelón da lu Nocm.. Estatalea SOV"liCH (N. del R.l.
lO'
La corgA distribuida que adúo. sobl'il la viga seria, q - I.i tJm ... _ 4·10' N/m. La tenllión admillible. 101 = t6· t07 N/m" = fOO.a;.: ' donde JI N significa 1M(falltwtOl1. El momento flector 11l1iximo es,
Dl'xM/I.c .... 18. tOJ kgfew _ tB·1()& Nem - 18· tO' Nm y el módulo de la secci6n que se requiere, t8.\O'Nm OOO"'S 'V"'''''Ui.liV.R/m'-' '-
•
nI -
"2" • • iJent.
Ejemplo 6.ft. ClllCl,llor la carga admisible pan, una viga de
socei6n rectangu/8f (fii_ 6.t9), si 10'1=100 kgr/em' y a ... 1
ffi.
R, .L 5 p p
Ak--_...l.
,8
/tucluci6n. Calculamos el ":llar admisible del momento flecttlt, bj¡1
12.24'
Imá:l: M,I... I= W.lal""T!ul=--r 100= =1t5,2·tOl kglcm=I,15 tm. l'nrll hulll.lr In cargl! admisible, ell 118CCSOriO COIlOljllr la ftJJociÓlI
*
entro el momento [lector máximo y la carga. Para olio es necesario construir el gráfico de los momp.ntos flectores. lJl'tllrminnndo Illll reoccionllS, bailamos que HA _ p)' R 11 -
- }P.
El morncnLo rJE'CLor m:i:dmo ocurre en b sección que se
encucmtrll
deb~jo
de la
C.llrgll,
mÁlI:
y es,
M/l u = R,,2a = i-Pd.
Abora podemos ulcul.r 111 carga admisible,
lPl = :.. {mill: M11_.1 = 6~t 1.1&::::: 0,96
L.
lO'
§ 54, Determlnacl6n de las tensiones tBngenaiales
Bn 01 CIISO gellcful úe lo f1e,.-¡Óu (flexión transversal) en l"I:I.~cccio lJes trallsv\lrs:des de la 'liga surgon momontos nl!Ctorl'~ y fuer1.lls e,orlunlHS. LlI existencia del momento nector e.~tá relllcion¡ld" con la Ilparidón ell IIJS secciones t.ra1l8versales de tcnsiones l\Qrmales, llUO ~e cnkulall ¡Jor la f<'irmula (fU:!). La existencia de la foer7.ll cortllnte está relacionad .. con el lIllr~i miellto. en las set:ciones trlutsversülcs de la viga, de t.llnsiolll's tUlIgcndalcs. Seglín la le}' de reciprocidad de !Jstas tellsiones, tensiones awí\ogll~ surgen eH las secciones longitudinales (Hg. 0.20). Pan, hallnr llls tensiones tangenciales, veamos primeramellhl el M50 ue nnn viJtll ,le seccióu rectangular de poca anchura (lig. 6.21), SeparoJDQS de la viga un elemento de lungitud d~ y de anchura igual a la de In vig(, lJ. Sobre este tllemento lIIctÚlll) las fUerzas ~iguienl.l!s. SOlJl'C la cura 3-11 4'-3' acllillH tensiones normales qllll, ~CglÍll la rlÍrmuJn (O.S), soJn iguales a M, o, = --:J;" y, (a)
siendo l\l, el mlOlIIclll.., elector eu la scccióll 3-4 4'-3'. Al mismo ticm¡10, sobre la sección actúan tamlJién lllfl.~iones I.angellcialcs, por ahora úeseollocidas, T, que pueden ser eousideradns unifúrmcmentc distribuidllS u lo aucLo ,le la viga, debido II que l:¡ anchura de la seccíon do la viga es pequeila*. Sobre I~ cara 1·2 2'-1' actúan tensiones normales, 0"2 =
y taJlgelleialcs
M~ --¡-; y
(O)
T.
SoLre la cara 1/-2 2'·3' actúnll solamente teusiollcs tangCl\cilllos que, por la ll!y de red procidad de las tensiones tangenciales, :>un iguales 11 las que actlÍan sobre las caras verticales. Planteemos 1Il oouac'ión de equilibrio del elemento separado de la viga, Proyectemos las fuerzas que actúan sobre el elemento, sobre el eje horizontaL Es obvio que los esfuerzo!! tangenciales, aplicados a lu caras verticales, no entran en eata ecuación. El esfuerzo tAngencial sobre la cara 2-3 3 -2 se proyecta sin varillr, -eb dz. Los esfuel7.os normales, sohre la cara 9-4 4 -3 , tienen una resultante igual a
• Ena sup03lelóo !e
'"
ftt. 1.21.
Fil. &.21
'"
1..<.oS esrucuO!l normulC5 sohro la tAnlo A,
N~_
'
..S
C:lr.l
1-22'-1' lieneo por tClIlll-
°t dF .
Ült(l~ iD~elCfnlO!l deben calcular.se :sobro el lÍrea do la pArto sepnrod". es decir, llOLre el área do las caras 1·2 2'_1' Y 3-/ 4'-3'. De In ccuaclón de equilibrio IZ_O, &e ohtiene,
-N~+N,-Tbd==O,
lur.go,
~ 0tdF+ ~ o,uF_tbd::_O.
-
F"..,
F ••"
Mediante (a) y (b) obtenemos.
-!f; S ydF+ ~l S VdF-tbd=_O. p ..~
..
S
Lti I'Iprc~i61l y dF
'
,~~
=
S':" repre!entA el momeolo e.!Iütieo del
áre" .Ie la p:lrle !cpllrllda de la scc.ción, rl!5pcclo 111 eje neutro. Por ID UlulO,
s:'"
-¡;(M,-Mt>_Tbdz.
Pero /'1,-Mz=d/lf~ es el illcremento del momento rJector en el trAmo de lougituJ d::, Por lo tanto, la fórmulA Buterior se pU(lrle ~('tibir do la formll siRuiente• .f':PdM~
J"
=tbd=.
de donde se bailA. ~
.
s:,,"" 4,11,
T __
Teniendo en cuenta (6.2) di." Q,. -.r.-....
se obtiene definitivamente, QS~'P
't -
""J';r"' .
(O. 10)
E~lll rurmula fUIl obtenida por primcra vez por D.I.Zh\lfll",ski y por eso lleva su nombre, Analicemos 1Il. ley de distribución de las tensiones ttlngentiales en la StlCCión de una viga rectangular (fig. 6,22). Esta ley se determina por la de vlllriad6n de S:'P, l'a que las otru magnitudes po.ra la
.68
·'!llceión dada, permanecen constantes. El
".
mQOlCn~O
de inercia cs,
J,,=~. EI~momento
estático del área rayada, respecto al eje z,
S:"~b(:-y): (:+Y)~:
e~,
(.;e-y.)
Esta es la ecuación de una parábola. La tensión LlwgenciaJ. 't=
-y-) 12 !!L'" c "" bh' (T-l/ )
Qb ( h4' bV.Zb
Tracemos ahora el gráfico de 1:
~"",O;
•-"2
T .....
1"
por 105 tres puntos siguientes,
O=~ ~;
T
~=O .
.... --¡-
El gráficO de "{ está representado en la figura 6.22. La tensión tangencial málÚma, para una viga de sección rectangular, surge al nivel de la línea neutra y es ,
Q
't"""~=TT'
6I ( . 7)
es decir, es 1,5 veces mayor que la tensión que resllltaría, si las tensiones l!lngenciales se supusiesen distribuidas uniform(!mCT,te en la secciún. r
-)"'" '"
-'
Con cierta aproximación, la fórmula de Zhun,lvski pueda emplearse tambitin para calcular las tensiones tangenciales (ln \'iglls de secciones transversales de olra configuraciún. De manera IlntiJogn para Ulla sección circular, se obtiene el grUico do 't do 111 figllra 6.23. El valor máúmo, ",1 nivel del eje neutro, os •
Q
'Cm!>="'Jp.
(G.18)
'"
Pnra
"11"
~~j(m
nlluhtr,
'"
"t,,>Al = F
.
(H. i!l)
El< llocC":orio Subra}'ar, que \1OOr 1.. fórmula tic Zhuro-"".Id:!t.' eu1t:lllll ItlD:\iúlI 1.u1l~IICilll que {lS ¡l3r... lulll <1 hl fUerza corLallte. };n Ir-; plUltus ,le las sec::dvUI'!¡ circula~g, trhlngulllte!S, tlt.e., ~iluado!l cerca tlu In "Ill'crfh;i"" llUf'gClI IcnJlhH1L'OI 1"'''gt'l\dntcs Oricnt.. dns Sl.'A"ÜIl 1.. tlln::Clltc al COlltOMlV de la 5«:Ciún. VeamOlC, por ejcmlJlo. el plll.to A ,¡il1Lado ell la pl"Oximidarl ,Iel c¡,,,lorno ,le 111 !lt!CCióul.'irc.. l.. r (fiJ.:. H.23). Si suponemos que 1.. fórmu111. de Zhuray"k¡ "o~ da la tensión completa ,.. el\ton~. nl dcscomponerln, .. hwIl'\",mos 110!! compone"tes: N!¡:Íin la normal al cOlltorno. b
,." )' l'f'gúll la Lll.ugellte, '[l' 5e"(11I 11l!f cOlltliciollOS do SOlieitllCilon, la superficie oJc la barTa ellt:l Iihre dc teosiollt!!!. Por lo tanlo. la tell",lón tangencial en el l"lIllo A. :,1 igu,,1 que en olros puntOll del conlorno. no puede olilllr t)tienltlllll según 1" '\'erlical, "illD que pucde .!Iolamellttl ~",Lar dirigid" segun la t(logtlOLtl 0.1 contorno. Por eso, 111 emplllar el mlÍtodo expuesto allteriorlllentl', 11<) se obLiene 1" m;¡l{nitud completa do la ten~iñn l'lIlll:tlncifll, sIno .solnUll)lllo ~" cOllllloncnto vcrl.ical. P'lrll I';lllar la eomponl'nlo hori:r;out:.I, restllla nccesario recurrir 11 IlIlÍltIdol\ más cfllIIplcjos (I\lO los nlllllJtlldo~. El esluoJio rltl Jos SQlucioJ1uS ri~\IrOllns'(¡o la 'feoria 11u la Elasticidad domuestrn que, ell la 'n.~yuri:\ tlo los ClL~o.~, las CUIllf'0IlClltuS de"t sobre 01 eje x juegan 1111 PAlIO] HCIlSihlomcJ1lc mtmQr qll(! I;lS ~omfJononles sobre 01 ejo y. Eu el callO tlo vigns ,le !\Ocdo" .le d..bltl to, el gráfico de T resultl'l sur oS\;~domlllo, debido tl la v¡¡¡'i¡lc¡¡'n brolK:tl' du la l'Illchllra de ]:. viga'" (lig. /i.2!', a). Ln Lcllsi611 Lnllgeaci;ll m;i.xima t!111l1l1l ;oecciún doble le surge Clt los puulos del e)c neutro y se cn lcuJa I,or la fórmula de Zhunlvski. Aquí liIJ dobe coll.!liderlr ('1 momento ..slático del lÍrea rayarlo (oJe la ll'Iitad de 1/1 .!I6C.Cj"Il), En laa tablas del surtl,lo de los pcrf¡le.~ 6lil dlllL lo!! valores tlel mOlll(¡nlo estitico de la mitnd de 111 sección de los perfl1Cl' doble te y caru.leg. En 11130 figuras 6.24. b y6.24, e .:.sta repn!l!eula.la la configuraci6n del ¡r.ifico de "'( para l\lgu/lll.5 otJ1lS scc<;iones. La condición de t'e!istenc¡', por tt'Dslonrll tangenciales se e!CrH.ll de la forma 9i¡ruiente: T,..¡~~r'tl,
tiendo Id la lensiull tange.ncial admi"ihle. 1'lIra Ial! vigas de acero,
ITl1'l:: U,6 10'1.
• S. deba kller eU6II'a. qllO l.• p.rt. del ¡r¡¡Jieo, qUI 54J reJiere • las .Ias de la ... f¡l, ti un ellnieler buUnUl eoov"",<:iootll. ¡ru... to que l• .IUpo.IleiÓII rol di.lulblltl6n uniform. do lu 'lnllones unlfradal~ .. lo aotho d. l. letCi6o, no _ aplieabla 8Il """1 GA3o. Teniendo _to Irn cuenta. el grMieo d.. ,. en 1M lecclo..... tran.svuulea ele .. Jlfu de Hecl6u de tiOOI. te. COlIJO ler1. ¡ ...er.I, •• COMIn.>~ ,..Jamen'e denlro del", liIDi'., del 01,0.1 de la ";II:a.
.obr.
>7,
A1ICU1l0S materiales. como la madeu. por ejemplo. (en la dircodü.. de las fibras), resisten muy mal el cir.allamienlo. Por eso en las ,-igll5 de estos materillles es obligatoria \a comprob:lción de III re."i~tellci. por tensiones tangenciales. La t!'orla eJ:.pnestll de cálculo de las tensiones tangenc.i.les, es ,'álida !!Olamento en el cll!lo de 5CCCiones macbas. ":n lo!! barras de paredes delgadas, como EC dijo anteriorrnento. incluso cuando el plano de solicitación coincide 1':011 UlIO de los ejes
'Jt---~ -=~ ----
~
'1
J -~==-t - - - • __ :.
, ,
lA.oír
, ,
.
r"",.,
-----
---'T====) '-
,
'1 S_",,_-'i-.. 6
Fil. 1.14
l:tlntroles principales do inercia de 111 ~ecc¡üll. [lul'de oclll"l'ir (IUO 111 bnrro so IOfsione. Para comp~nder m6jor 6stc fl,lnómeno, "e3mo~ una YiR'A en voladizo de p6rfil cle Clljón (fig. 6.25. al. La sección trnllSYcrsal ¡lo '"stA "iga está rt'prescntAda, a gran escala. en 111 figura 6.25, b. Sllpongam05 que la cargo. P nctúa en \111 plll.110 que plisa pOt eje y central principal de inercia de la SCl':ci6n. que no es eje de simetrla (fj{:'. 6.25, b). Mediante la !leCCión 1-2, parlllcla 1\1 pllluo y::., lSepllranlOS UOII parte del ata superior de longitud d:s y PlI¡l,IUllmOS su equilibrio (lig. 6.25. rl. Supongamos que la Cllra 1-2 3-¡ se refiere a 1'1 ~ci6n R. Sobre 11105 I':uas lJ..tj 5-7 y 1-2 !J-¡ de este elemento act{ian IlIs ten"'¡Oll~ l'Iormale3 a, ya,. La fuena normal sobre el ¡\~ 1-2 3-4. que se encUlmtra en la seccl6n B, es mayor que la fuen.a normal sobre el lÍff.a 8·6 5-7, puesto que el momento flector en la secr.ilm B es m¡.y...r '. ue en la IiCCción A. 17I
Por e$O. el equilibrio del elemento $Opaudo resulta posiMo solamellle Cllalldo sobre la cara 1-2 6-5 aetúan t.elL!lioncs tangencial" T~. Pero, según la ley de reciprocidad le In tensioJlu langencialflll, a ~ta5 tensiones tangenciales. qua aclúau sobre 1.. cara 1-2 6-;'). corresponden otras tensiones tangencial~ de igual magnitud pero de signo tOutruio. que aclu.n en los puntos ,le la arista 1-2, sobre el plano I-Z 4-3. Ruonlln.lo de unllmanera !lImejante, nos tOllVCnCe¡IlUS
,O
r;
"" f--' 11--
r, fil. UI
p
r,
,
•
O Fil. &.27
de quo en el ala inferior do llucslra viga dI! clljó" también aparecen tensionC!l tangenciales horitontale.... orientlulll.! en dirección opnesta a Ins que :'Jpa.recen en las seeeionos delllla superior. L8s resultantes de estos c.'!fuenos T, forman 1In pat interior 1,11 (fíg. 1>'26). ~momeolo torsor ¡olerían. A,j". pues. la flexión de la barn. va aeompaiiada de torsión. Las lonsionllS normalC!J en la lle'Ceión se distribu~'en entOllCes seglín una ley más compleja que e.n el caso de lle1ión plan•. Para obtener la flexión plana de ej.e nelltro %, el plano vertic...l, en el que actúa la ruena P. debera pliSo" p(lr cierto punto O «(iC'. 11.27). denominado cenlro de f1ell:ilín (a \'eee$ se le denomil1ll tllmhiéo centro de torsi6n. centro de rill'idol. untro de cizallamienlo). La tooría del e"'lculo de barras de p8f'l:ldes delgadas, por !Ie.'(ióo y torsión. ¡nu elnborada por V. S. Vl;Jsov. § 55. Tenslnl\lI' In liS saeclcon Inclin.dllS de la villa. Tensinoll prlnolp.les Hemos demostrado que en las secciollCs trallll\'crMles de una viga actÚ.n lensiones normales y ullgtlnciales, mientras que en las secci~ nes longitudinales, solamente tensiones ta.ngoncialu·. En los pItillOS inclinados de la vira, en el pla.no be, por ejemplo. (fig. 6.ZS), apareeen tanto tensiones normales como tangenciales. Pata calcubrllt8. aplieamos las fórmulas del § 19. • La ..useacia d. \lIIl.SiOllM normales f:II 101 p1'''0I ¡.,.,gi\udinaIM d. l• .. ra••• deduce d. l. ,hip6\.¡s admltrda 5Gbr. la ._eia de p....l6n ¡¡¡Ulua en..... las libras (".,. ti I 52). l72
Por la fórmula (2.31) bailamos las tensiones principales,
'-'V~+' o ...., -2"-7 o ~. ",l.
El ángulo de inclin.ción de los pl.nos principales, (2.35), t¡2~-o .
'"
"
Las len&iones un¡enciale:s mh:imas. que .ctúan en los plan" que forman con los principales UD án~ulo de ± 45G• según (2.32), son: "I".!!!:!!.._o"",,-;a"'l" ",,±+Vol+4T'.
'''1'' De estas fórmull\s se deducc que le! tensiones principales )' 1: m,.
0"'"
"'"
serlÍn máximas en flqullllos puntos de III secci(,n trl\nsverllal do
;;;r¡¡
r
~-a-4-".~-, r
d-iK a
,
"
e
la viga, donde c:¡¡isten simultáneamente t.cnsiones normales y t.angen. clales considerables. Pera el ¡>(lrril doLle te, por ejemplo, un punto de cslas cllracterlstieas es A, punto suporior (Inleriar) del alma (Hg, 6.29).
Pero esto no siempre os ui. Cuando )(11 hmsiones ta.ngenclales: son cOl1.'liderables, las tensiones principales puede" adquirir SU 173
mtlximo valor en un punto IleI alma qUIl su encuentre debajo de
A.
Lu po~¡dóll lle este pu.nto, nsí como el málimo valor de la tensión principal, 00 V"ode obteller annlixando el valor C:Hremo do lB l('u~i61l prloápal 0má~ (fórmula 2.37), ya que lfl te1l5ióll normal (J lTl'C.., al nlejnrnos riel cjl;\ neutro, ndenlrMI que la tensión tangencial d(·cl'ece (1-(o"SO la Hg, ü.29)_ Se recomienda ni estudinnte qlle inycstigue por su cMnta cHe inlerl'slllIto }lrob1ema. l~stá claro tamhi6n q\lC, Il lo Iflrgo de la barra, ae ileben compro\mr las tell.~ionll.'> princi{l8lca en la5 1.
§ 56. Concentracl6n de tensiones on la flexl6n
En los lugnre.'1 dOlido la cOllfjgurucióJI "eL conlorno do la ~l'cc",n longHudio¡)l de la viga vnria bru!lCamente. la distribución do Ins len~iol")S cambia sÚl.oit'lmellle ~. surge lA coneentrllCi6n 00 ll'llSionCil (rig. 11.30, 0:). rarn disminuir In concenlrllción de len!!¡oncs. es necesario eliminllr esto~ caml.oios iJrus<:os del cOlltorno de la .';;ccción lougiludinnl d~ la "igll, sustituyéndolos por CUrVll!! de acucrdo SUlIVCS (ligo 6.30. b). p Lu ¡nIhlencia de In 1:(IlIC('1l1radún de wllsiolles sobre 111 res¡~tollcio. cshi\:;;.--l¡CIl, 1'11 el caso de mnler¡nles poco
l
"4-----
4l-I-l----
Illástic.os y fl'';gilc~. so eVl\\úa, o bien merl ianLe ('1 coefich:mle I,eórico de COllcolttrflci"n de tOllsiones ao, obl.onido por lo!! m~torios rlt! la Tcorí¡¡ de la Elostici,1l111. o hien mediante rol coeficielllll efec~j,-o (le concelltT[\l)ió'l k •. determinlldo esporimeotalmente. Para ello, se determina el Iímito de rCllislencill 11 In flexión de llD1\. proheln sin conceutración de teosione.'1 O,j y, simoJ',;neaTtll'_lIle, el mismo limite p:lr:l ulla probeta con C01\cenlrac¡ón O,j<.
LIl re11lción k. = .!!D- determilla el <1, fe "alor del coeficiente efectivo de coucentración para la probeta. Los dato!! sobre el valor de k. se FJl, &.3B
pueden encontrar en los mon\lale~. Por ejemplo), en la figura 6.31 se den los VAlores de (k.)o, correspondientes a un.. plancha rectangnlar con una ralll1ra nguda en uno de los bordes, para dHerentes muteriales:
-
t) 11'1 cun'a 1 16 kgr/mm',
eurro:!pondo 11 la aleación do aluminio, IT,_
2) la CUrVA 2, al hierro fundirlo Il:ris y 111 hierro coladQ 111 níquel, 3) la curva 3, al hierro lunrlido ni lllngsteno.
..
,. "t' t<
"iH
I
Z
3
t I
rIJ·
U1
El cooficll!llle rle concentrl'lci.ín para pieus de otras dimensiones
se obtiene multiplicando (k.)o por los coefieientes de corrección, cuyO!! valo~5 Be puedl! encontrar en los Dlanuales.
En el CSI.'KI de cargas repetidas (calculo pOr [aliga), la concentración de las ~llnsiolleS se t.icne en cuentra para ~odoll 105 materílllos. § 57. Energle potencial d. la defarmlclOn
en l. flll16n En la flexión, al igunl que en I"JO dcm~s deformar.iones, el trabaju ffilllludo por lnll fuerUls e.llcriore.'l Ee g:nstll en alterar la cnerll"\n poleneinl de In bllrra deformAdll. Calculemos la energlll potencinl P:IrR el cnlJO de 111 tlexióll pllrn, El trtlbajo del lIIomento elrlcrior Be puede obtener como la mitad del producto del momento por elliulfulo de giro de la 5eeCión ('I'éll5e In fig. 6.t6):
,
dA =TlJJl:dlfl· El trabajo de 103 lDomentos flectore! Interiores setá de igual magnitud, pero de signo n~ativo,
,
dU= -TI1f/I-erilf'. De la figllU .se deduce que, dff
,.
=.!!!.. no
Allteriormenle siguiellle:
¡ue
clln'~lura
obtenida para la
la fórmula
luego, M"
dU =--~d· ~. '2 J!J x
J~n
la flexion lJura, M/I.~=const. y, por lo lanto, el trabajo Lotlll de las fuerzas intcriurllS do una viga de longitud 1 será, t
AJ'«¡;1
(6.20)
U= -TE"J-;-'
L;\ en~rgía polt'!l\cia! es igual al trabajo de las fU(lrzas interiores, pero d~ signo opuesto, /11'
¡
l1=-U'""...!....-~ :l J::J~
.
(6.2'1)
Esta fOl"umb eS, por su estructura, anáLoga a la d", la energía potenciill de la tracción y torsión. En d caso g~n~ral de la ile:dón (Ilexión transversal), c\mndo cn Ins seeeioues tran::;y¡m;olcs de la viga aparecen momüntus fledores y ¡nenas cortantes, la energía pOlencial de Ja deformación se compo/le de do.s partus: UIH\ 110 t:llus cOm.lsponde 111 trabajo do los 11loroentos flectores y la otra. al de las fUerzas cortantes. El trabajo dd momento Hedor, q varia 11 lo largo de la viga, so ",:
u'"
1fMf¡o¡;d U =-TJ ¡".J" z.
,
(6.22)
El trabajo de la fuerza cortante, como lo demuestran los cálculos comparativos, 6S ganeralmentB muy pequefio en comparación con 01 trabajo del momento flector y, como rogla genoral, se presciendll de él.
ClPITUlO YIl
FLEXIDN. CALCUlD DE LOS DES,UZAMIEIITOS
§ 68. Eouación diferencIal da le l1ae• • rhtlca de la ,lg8 13Hjo 111 aCClon dc In carga la "igo SI! encorva. SUlI seeciones se desplazan ~n ltirec:cion perpendicular· 01 eje inicial recto Y••1 mismo lio'npo. j;t'iran (lig. 7.1). 1·;1 deopluamicnlo 11101 ee"lrh de llTa"edlld IOn direeeió" perpondi.."lar al eje de la viga se donomina f1eGli. de la ...igll en el pllulo l_.ción) en <:lIo>sliólI Y.'lI) dl'signa por JI. El üngllJu 11 que girll III 51l'Cei{lII rIlSllt'Cto P :1 JIU posición illidal, lOe denominll.lingulo de ¡;!lro de la se<:d611. Tm'ien,)u en ClIenta r¡lIe 111 ...ecc[óll girada e~ perpendicular ~
'I---'>"<':rf¡,t...---'
u lu líOl,l1l cl'llIl,ica de 111 vi¡:tl. res,,[lll qUE:! on lugar de calcular el ángulo de i(iro de la lIe\;ción ~l! puetle cll.1culllr el lillgulo entre la Lllngenle n 111 eh\slil'.lI. en 61 punto dado y el eje inicid de la \·;'I'a. ya qlle los dos ~n de ij,l'lI.al maglIitud ("'¡IlS6 la fig: 7.1, donde l. nueha '1 el aUlfllJo de giro de 111 l'K'CCión CI'rrcll}>Urllll'll 11.1 punto Al. Fil. 1.1 PIllil ealcular las deformlldurll:l; de l. \'il;~ll, 1'\.'<:"l'rimO$ 11 l. ecuaeión que une la CUf"lItura del eju de la viKII cou el OI01l1ento fiCf:Lor '1 1" rlgidu dI! 111. ~C('.,-," 1"lill!!C 1"1 i 52);
(i.I) Dl.'I curso ¡JI! Ill"Lc"uíticll~ /11 curVaLllT'll de 1"\" tíllCH: K-
!lO
- ± 1(1
eQnoce la siguiente rórlOuln pHtll ,.
(,'fl"j •
(72) '
• llllM..n
m
Introduciendo este valor de K en (7.t). obtendremos,
±
"
[1+(1/')11'/1
M II • o
=-U-'
(7.3)
La ecuación (7.3) representa la ecuación diferencial exacta de la línea elástica de la viga. La integración de esta ecuación no lineal presenta grandes diJicultades. Sin embargo, en la mayoría de los ,)
'1 ,.
e
,
,
Fil. 7.2
problemas práoticos. se puede prescindir de la magnitud (y')l = ""' tg" e:::::; e', por ser muy pequeílas lag deformaciones en comparación con In unidad. De esta nlanera se obtiene la ecuación diferencial aproximada de la linea elástica de la viga: ±EJ¡/=MII~o'
(7.4)
Su ¡lltegrncióu 110 presenta diHcultndes. El signo del primer miembro se determina en función del sistema de coordinadas admitido. PAra el sistema de coordenadas considerado en la figura 7.2, a. tenemos que ,la curvatura K ~ y; y el momento lIl"," son del mismo signo. - Por lo tanto. en 85te aistema. de coordenada!!, se debe escribir la ecuación (7.4) do la forma siguiente: Ely" = M '1<0' (7.5) En 01 ctUlo del sistema de coordenadas representado en la figura 7.2, b, t,enemos signos distintoS para y" y M j1oc ; luego aquí, la ecuación (7.4) se eScribirá así, EII/= -JI1 luo '
(7.(;)
En anelnnle, emplearemos el sistema de coo~denlJ.dlUS de la figura 7.2, a y, po~ lo tanto, escribiremos la ecuación difereucial de la elástíea en 1J.l. lormll (7.5).
'"
e :::::
Para calcular Jos ánlUIM de giro ¡( y las f1eehu /l. elI,neú!arlo integrar la ecuación (7.;'). lo que:le puede tealiur de lreS·mncerU dlstinhs: por el metodo anelltieo, por el método grafo-anll.litleo (melodo de la Yiga conjng.da) y por el método ¡tifico. VeamO! el métodCl aBaUtico. Integrando la ecuación (7.5) 1I.Oa vel. obtenemos la de los ¡¡ngulo! de giro. (7.7) siendo C la constanle de Integración. Integrando por segunda vez, ball8ln06 la ecuad6n de las !lechas.
EJy_ ~ d: ~ M/I•• d¡+C¡+D.
(7,8)
donde D es la segunde constante de integración. Las conslantes de integración. e y D, se obtienen de las condl· cione~ de apoyo dc la vlg#!' (condfcione5 oe contorno). AsI, p~ra le yiga empotrada en lIn extrtmo (véa1!8 la Ug. 7.1.), en cllugar de su aJlO)'O, tanto la flecha coroo el angulo de giro de la sección tienen que ser iglUoles ti ct'to. Si la \'i¡a estJ, apoyada en sus eJllremO.!'. eolonce.a llenen que ser nulas lu flechas en Jos dos extremos. izquierdo y derecho. Una vu obtenidas lascon!t&nlcsdeintegración, se pueden calculer, medilDte In flCWleiones (7.7) y (7.8), 1.. !lecha y el angulo de giro en cualquier !leC(;ión. En muchM earos, por motiv()S ,.eladonados C'1n el mantenimiento. la8 f1eehn rnhimu de lu \'igas !le limlllln por cierta magnitud denominada flecha. admisible (,,]•. El valor de esti flecha depende del deslino de 11\ esLnlctlltll. o de la mliquinl\. Por ejemplo, en el cno de Ins vigas de un plleute-gnIa se con~idera
1,1- ( ,:. ~icndo
I !.ti lu1.
ue
ó- , : " )
l.
In vlgll.
En la construcr.ión de oláquioas, la flecha admisiblll \'arla en un diapuón bastante Ilmplio. según sea el deslino (le In pie>.a.
(/ll=(~+ ~)l. Los ángulos máximos de inclinación de In seccione!! de IO!lllpoyOS deber'n rer in{eriores a 0,001 radiaR. EJeOlplo 7.1. Calcular 11""2 y lJ"'h pAr. el voltldizo solicitado por \lna fuena concentrada en 1I11 extremo (fig. 7.3). RuolmWn. Uhictlmos el origen del lli5tema de coordenadas en el e;¡:lremo izquierdo de In 'liga. El momento fledor en la !!eGCión • En la llte... tu.a téef\lca eapeelal y ~, 1... muvalflli b nec.ha adm;slble {nedla mÜ;I1lI¡ le denOUl, fN.cralmmte, pOI' IIL U'
119
de
~1J5CL'5..~:::
silllada~
se determina como
~l
"'o.nellto de
la~
fuerzas QJ(teriUl"'!8
eld re III !l(!cción dad'l y el orige,n de coordenarlas, ,11,= -1':::.
Por 1.. tan\o, HJ!/,~-Pz.
h"II"1l\"~,
EJy'=:,
lutogrando ;lhol''' pur segunda E.lII"'-
_J:..::...._,. 2 . . ~'CL,
se oLtieno,
1'.3
-++Cz+D,
Djspollolllo.~ tlo las ,<;i¡;:lIiellte..~ cOlltliein"cs.-le boroe
e
y FJ:
la
pri-
para hllll,lr
1) C1IlUl.-l.. ::: •. /, y.,.O; :¿) cll""d.. :::-'"1, U=y'.-O. y p
,
-----
___
z
Fil. 1,1
r.. lIll'ra,
ue ellll~ se deduce PI' __,_,_+_,_+D. luegu,
la "l!gun..Ill.
0--
qUll,
y d",
I'P
Do=- _
I'~' •
Ahora pOOOlfiQ.S calcutaT -ya los ,"alores de Yrn:.. y Um.'~' Es obyio que YIl";. Y &tIIns' ocurren c\lll.ndo z = O. Evaluando estas fórmulas parll z=O, se obl·jene ,
P¡z
Ym.¡. = O'n"~ = TFT • r 1'1> Ym~~
= -
:11:J •
a
(7.9)
El signo positivo del ángulo de giro indica que h, secciún gira en sentido contnlTio Il. las manecillas del reloj. El signo negativo de y de01UeslrJil que el centro de gruvedad de In ~ión!le de.splaul. hacia abajo, es decir, en la direeeión de los valores negativos de las o'rdcnad.8s y.
'"0
Prestemos atelición a que,
e=
EJfJ o
(7.10)
D=EJyo
(7.11)
~ieodo
Yo la flecha en el origen del sistema de coordetoadas y 90' el ángulo de ~iro en el mismo origen. Las relaciones (7.10) y ~7"11) Sip.mpre son ,,;ilidas pnra vigas con uo solo tramo de solicitadoll, si los mOrnflTll
§ 59. Determlnac:i6n de loa deapleumientOI en al caso lIe YBrlol tramOI lIe solicitación. Ecuaehin universal Si .1obN 1" viga fldúan \'nri'ls fllen,ls (fig. 7..1), l.'lllOllces, en los la IllY d" \'ariaci6n de los momcnlos [lectur!'fI estara dada pur distintas expresiones IInalíticas. Ser,i necflS<1rio I.lflrllflaf la l."·,llaciOll difereucial de la líBea elástica parl' carla 11""'10. El JIÚllll'rO de Coh.~tunt..s de inlegración resnllllní '1"1' "1 r10ble ,lel uúmero de ',ran>o.~. Pata ealc"J¡'l'la.~. $icmpt" Sl.l puedo plfl¡.tcal" rllt II(¡mero suficiente dc l'cu
y
,
,
,
n, I • •
,
m
\
,
,
j
,
f----Fil. 1.•
Si no rccllrtimo.'l a procedilllitl.,\lIs especiales. entouce,~ d calculo de Jas constantes arbitrarias, en el caso de mllchos tTl\ll\OS de solicilución, resulta muy laborío~. COIl pror,edhllicllt,Ol; csper.iflles. puede rcdllcir~ Il dos el "úmero de constantes de illlegraCiúlI. tnd"pcndienIllll}(lIlto .1.,1 número de lrnmt)~. "1
Elito~
procedimiClltos
eonsj,¡t~1l
en lo 9iguieule:
-t. Obtenom()~ la expresión .Iel momento Jlector en la sección siempre como el momento dI! ¡liS fUllUas extorioN9. situat.las entre 111 SlJecj{m y el origen de] sistemK ..le eoordeo1Jdas. 2. Integramos estas expl'C.'ioncs sin aLrir los par~tlte.s¡s. 3. Pllrtl o/Heller una fórmula definitiva mb cómoda, introducimos pa~ .,1 momento ~ el multiplicando (: - a}' que es igual .. 1" uni~ dad. Planl«lnlOS el inlegremo:o! la ecuaci6n diferencial de la nexiún pilla ClId. lino de lO! cuatro trllmO!ll de la viga. l-er trnmu
U-do tramo
¡\l._O.
J'f, _ !» _ 'J» (J,-a)".
O.
EJI/; = C ..
El JI; = !IR (:.-11)". EJII;_!.IR (~-Il) +C~,
EJIII_C,:,--!-D 1.
Lo
1;.') ,,; _
.·1 11,"'"
9(=;:
')'
:1
+ C 'Z'T" O 2·
IJI- el tramo
M ... !JI (l;z-at+ P (l:.-b), EJy; = (1,-lIt +P(:J - b). · ID' (z~-a) P (0,_6)' El Y.= :.!
m
+ C•.
+
E'JY I_llll{'~-")'+P(ZI l ¡¡
h)I+
C•~t~ +0a
IV -o tramO ""( )0 P( z.- l),q(z,-cl" J. ,="" z,-a T 1-:2 ' "
11.- -""(
"l·
~
::.-(1
L'J ' - " , ( . _
e
Y. -
-¡
ti
JO -/- P
(::,-
)+ P(z,
"1 !lJI(z,_a)' + c.v.2
2.
b)
+ q(z._c)" l! '
lo)' .... //(¡. •
G
c)'+c.'
Ph.-b)· +//(z.-c>"'...LC' +0 ti ii . • . • •'
Para obtener los ocho constantes de integraeión dil'lpooemM di lu eondleionl!l siguientes: 1) cuando z,j=::._tl. II,-Y.: 2)3- cuando:: 1 "'" : : . - a. J.I; = v~: 3) cuando ;,._:._6. ¡t.-1/.: 4) euando :,._z._c, y;_y;; 5) cuando ::,=2I._C, V.-¡t.: 6) cuando =.""¡;,_c. ,,;_,,~; 7) cuando ::, _l. ¡t. -= O; S) cuando ::,_1. 111_0.
'"
POf medio de elltlll hallamos, C,_C'l.=C,=C.=C; D1""Ds=D,=D,-D.
As! pues. en lugar de ocho constRntes quedan dos, que se obtienen de las condiciones 7 y 8. Como ya se indicó anteriormel'j"te, la constanto arbitraria e representa el ángulo de gil:o en el ori~n de coordenadas multiplicado pOf la rigidet de la sección de la viga, es decir,
e_E/e o• mientras que la Constante D representa la flecha en el mismo origen multipUcada por EJ, D_BJllo· Analizando las expresiones de la f1ecba de 19 viga, o.bservilm08 que la forma más general la tiene la ecuaci6n del tlPQ siguiente: FI ~D+C +WI{I ..p +P(% b)'+q{< e)' ~ yz :¡ 6 ~
Teniendo en cuenta que D ~ E/yo Y C=EJe o y, considerando de aplicación de varios momeo tos y fuerzas, obtendremos la, así Jllimada, {,)rmula univerSllI, que a primera vista parece c()Juplicada, pero que re~ulta muy cómoda en las ~plicacione~, ilObre lodo cllulldo ~ trilla d(l cargas complicadas: el
caSO
EJy= EJyo+- lUA.z+ ~ 'ilR(:z
"J'
+~
P (S;-b)3 + ~
9('2.4 cJ·
,
(7.12)
Aquí, 9.R. P y q son las hienas y momentos exteriores (incluyendo las reacciones en los apoyos), situados entre la seccíun dada y el origen del sistema de coordenadas; Yo Y 6 0 , la flecha y el ángulo de giro en el origen del sistema de coordenAdas. Por el mismo procedimiento o derivando las fi,rmulllS (7.12), se ubtiene la fórmula universal para los ángulos de giro
EJ¡/=EJ6.+ ~ !ll(z-a)+ ~ P(, 2. b)~ siendo a, b.
<:
+~
Q('-¡;-C)3,
(7.13)
las clist3ncias del origen de coordenadas a 105 puntos de aplicación del momento, de la fuerUl concentrada y al comienzo del tramo solicitndo por carga uniformemente distribuida. Si los momentos y las fuerzas actúan en dirección contraria a la considerada, al deducir 111 fórmula, entonces btos deben considerarse negull,·o.q. 183
Es ¡"'J",rl"lItll obser'"ar, qno el úllimo lénni711l d... eSlas fórmulu!! corrllcl,Q solamellte cuando l.a carga distrillllirln no se ¡IIlerrlJmpo ¡¡JItes rle la scccUm en lo Que ge calcula yo e. Si la clll'ga se interrumpe IIntes. se lll. debo contiuu.. r hastll la sección,C1uda, agregando al mismo tiompu "Ira ca'll:¡'
flg. 7.5 I'~I illf:n)l\'l.'llil.'IIlu de las fórmlllas uni\'ers¡\l,,,~ coll,~i~to Pon (/tlc. ]10 SIl pueden l.JInl,lCllr directamente pflra el cálculo de los dellpl..z
§ 60, Ejemplos de dleulo de desplazemlenios en la flexión por 111 fórmula universal Ejemplo i.2. C'l1cular 11\ flecha nLÍlxima y el ángulu de g'iru lTIaxirnu ell el vlIladizu soJiciL:ldo 11(>1' ulla cnrj;!" lllliFOl'llJomlll1lt: di'$lrihllida (ng. i.(;).
RestJluct¡í,1. J\esultll. I)\UY cómodo uhicar el origeu del siJllem
CrlSuYo=Oyeo=o. P(lr lo talllo, por la ecuación universal se puede calcular oIirer.ta-
mente ¡"uh Y Omh' que, como se ve del dilJlljo, LiemJll lugar IHI la sección z = l.
Como se dijo, para poder IImplear III fórmula univer.~al, es lH.lCC~Il río escribir los momentos y las r.H~nas que se ellcuen1.ran entre la
""
~tJCCl.0ll cotl~jderada y el ori¡;:en del :listewa de cOQrdelludas, Para ello, calculamos vrevillmenlp. la fuerza y el momento reactivos en el empotramiento. La fuerza riJflcti'·ll. es A = ql Y está dirigida hacia arriha. En la foírmn1a univer.'>/l"1 figurará COII lligl'o positi"O,\..EI,momeillu reactivo A = l/ lIJ I', est:í dirigido "H' contra de lag manecillas del reloj, Jo qlltl quiere decir que en 1il fórmulA ulIÍ\'ersal, figurará con signo
m
negaLj,·o,
,
y
---
A-~I---f
-------- -Fig. 1.7
L¡¡1ó distnocias dal origen !le coordenadas al mumel,Lu,
¡l
la JlJAe-
dOI' d" lljWY" y 11ll1ril.:on d" IIlC.llrgauu¡[ormcmontcdislrih"idH, SO" i.t!"lIall'.~
a
eS decir,
("·el'U.
a'-/¡_c~-;O,
CakuJcrno:; y, cuando :=1, EJ ,¡l' (I-O)~ y",,¡~-
-""T--,--
lJS
decir,
'JI (1
,
y",~x,
o)~
q (1
"
Luego, Y","~'
-
\J)'
ql-1
,,< --,-. (7.14)
iiJJT .
De la ftírrnllJIl. uni\'ersal lIara Jos JIlg'lIln.<¡ dtJ gir() !so dodllr.e qne q (1 (l)" ?I" ','J' _. _ ?I~ (I ")-1 ,/1(1 0)11. 6 = --,c. YU'h""T . ;¡ por In In ni .., .lIm,;r·.... OJJ'¡;~"'" -
.
.,
UEJ '
Ejemplo 7.3, Determinar Ym:.r y On,,¡, on la vigB de la figura i ./. ~¡motr¡a, IlIs rCllceionM 1Ii10 ¡glll\le~ ll. k",R=-l/-nl. t:bicalllo.~ el origen de c(~,rdeoada.~ ~ll el "p"yo izquierdo, I::nloneell .lIo=O. Para olJlcocr 00 cmpleillJlo~ la condición, cuando z_l, y=O. Asi, P"I:!:9, El =El~, L(¡-(ll"~q(/-W O Hr.sillu<:-ión.. En virtud de \11
y,=1
lI'":!.!;
V.
=-.
'"
Da aquí resulta,
'"
Bo = -24ET oc BA
•
Ee obvio que BA - -6 0 , Loa ángulos de giro máximos tienen Jug.>r en los apoyos:
5mu = 10" 1-1 BDI· La necha máxima ocurre en el centro del vano, _
ql~
I
EJII'-T - -""2-\ y+ LuegQ.
{-(1/2_0)1
q(l/2
6
UjO
24
5qIO oc -
3M •
5qll
Yrn'~ = -
38/.EJ'
(7.15)
Ejemplo 7.4. Clllcular la flecha máxima y el ángulo de giro en lo~ apoyol$ de la viga, solicitada por una fuerza concentrada en el medio del vano (lig. 7.8).
Ir
".ft~+_f_* =i::z~ Fig. 7.8
Resolud6ft. La~ reaco.;iOlltlll son iguales a I/SP carla una y están dirigiulls hada arriba.
SiLuamos el origen de las coordenfldas en el ext,remo i~quierdo, por lo Unt<> Yo _ 0, PaTa hallar e o empleamos la eonuiclÓn. según la cual. cuando z = l la flecha es nula:. y = O·.
de aqui,
'"
EJ 50 - -"""'i6 . Por lo tanto,
• En e:lI/I uso Se pulld/l Cllleular ea l.wbl6n d/l la condición d/l qU/I en /11 medio del vano la tungente a 18 !lnea elbUca l!!! hodzontal, 8lI de-elr, y'
, .... 0.
'-;:;
'"
En virtud de la slmelría, el ángulo do giro en el
llpo)'O
derecho
~,.
y la f1eeu máxinu, luego,
y por fiD, PO'
y,... ~ - - 48EI •
(7.16)
Ejemplo 7,5. CalculQr lu flechas 80 los puntos D y e, liS! como el ángulo de giro en el puoto B d'e le. vlgll represllntlld8 on la figura 7.9.
1::1 momento de inercia ,je la .!eCci61l de la vlga.es J = 13380 cm 4 (p('rril doble te.Ni 38). El módulo deel8rticidad. E F' 2 ·10" kgf/.cm'. RtNOlucMn. CalculamO! 111.'1 reacciones de apoyo: 1. ~¡\18=OO; A·~+1,·3-8_4·i_4.2_0, A",,2t. 2. l::Y_O; -2-4+8-4-4_0, 8_t4/. Sil,lIlIIlIOS el origell de las coordenadl18 eu el I1110YO i~qu¡erdo. Entonces Yo = Q. El ángulo de giro 8 0 .'le determina dll la con,jici6n y .. O, CUlln,lo :! - 40'1. Por la fórmnla unlverMI de 111.5 flechu obtenomos para z - 40'1. El Eje .4+8«4-21' 2(4-0)1 _2(4-0)1 +2(4-214_0 1/1_1=' í 6 a 2' -.
PuUlo qne la carga distribuida se IntelTumpe en el punto D. según lo dicho anteriormente, l. prolongamos MslB el extremo puo la GI'IlnpeD.samO.'l con otra carga de direcelón contraria llplieedl 11 tramo DB. El último término colUidera preci.'lllmenle la carga distribuida que actúa b.eia arriba (en la JiR'ura no eJ'ltin :enejadas eSla!! lnnllformaeione.s de 1, t:l!.Tlrl\).
'"
II'Jó,lill'nd" 1",. vpCrIlC¡""es
OpOl'lll"n~,
lendreltlos
0.<1::1
tlO=HA=-rr-'
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H"lh"Jlo~ "hora la flef.ha en el pnllt" l,\(U-2)' liJ!/(;~I¡.:~:l.tl-T .! -
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_ -39,:-\·1(1" IU il,')1 • uro
111)
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_:{fI.;-I·l'J~..,.
~.W' 1:.lJ/ll.l ~
..;7 .Jl'"
11.8. cm,
-,'
O ·nl.
::.l(jí.IJ~\IjO=
l'
1
cm.
,~ak"J;""o~ .,¡ ;;Ilgulo .ll! gir" e1l d punto 1.1. 1'01' 1" rórrn"l; ]la,'" Jus "ugu)..S dll eiru, o.:u>\nd" z=tl In, Ohl'!I1t'JIlos.
llnj\·l·T.~,,1 ~
3' ) !/;,=li,.J
8 l''1 __") -----:¡---,-.2·1.' ::.,,' I 2 (1,-2)" ¡;
"
=-
-12.~~
-
1m',.. -12,3.10' kgf.c",·,
§ 81. Teorema de recip,ocidad de los trabaJos.
Teorema de reciprocidad de 108 de8plazamlentos l)emo.'>Lromo~
abora un teorema quo tione itrl]lortllllLI)¡ '(plica-
cioues. Se trata del Leonlmll de n,dprocidnd de los lrnhajos. o teoremA dI' 13eLli, eie~t¡r¡cu italiano que lue al primoro 011 publicar este teorema. Para- ello. analicemos un si~tllm¡¡ linealmente dcfurmable 1>" dos estados difereotl.'S qUll correspontlen a dos cargas distintAs (rl¡,r. 7-.t0). Pum simplificar los mUculo.~ analhamos Ulla viga simple solicitada en los dos estados por In corg'" más elementlll (11110 fllerza concentrada l!U cadlt estado). La carga, llls tlsfuerlOs interiores y las
deformaciones. correspondientes ;.. tlstos dos estados. van acompaliados de los 5ubíndiclls t y 2. En la lígura 7.4.0. a e5tá repl'esentlluo el primer estado delsilltemn yen la figura 7.10. b. el segundo. El dt'Spl/lzomieuto en dil't!cción a la carga del primer estado, originado por la carga dcl mismo estado, está designado por ~". 'SS
El d~ph,,.amiento en d¡N!'CCióll a la carq:1 dol segundo l!!Jtlldo. originado por la carga del primer estado, !le designa por 6 2 ,-
Las llnolllcion(!!l de los de!!lplllJ.l.mienLOS del segundo estlldo eSl¡Ín
illtlicadu en la figura 7.toO. b. Los dC!lpllluml~nlOS cuyas anotll.c;innes
tienen dos !Iubíodices ¡¡Ullles. por ejemplu 6j" AI t •
SIil
denominan
desplllumie1llos principales y los ~pluamienth tipo 6'1' 6:1, etc, 811xllial"llS. Demostremos eL leorema de reeiprooidad de lot trahajOll que dice: el t,aiHJjo de tu !uU"..lJS ezterlort. o ¡flterlons del primer p
- iJ,,-----Pi
--"-
1>=-4-----1,,,""'..,.,., -
----"" ---
.....
'i
fIJ. el>tado.
"/1
1.16
fll, 1.n
lo:! de.'plow.mjentol dl'l M'gllrnfQ titado. 1:11 Igual al trabajo
de la;; futlr%U:I del ~Krl1ui(¡ "filado en los dt'"plazomiet¡/n,y Ilriglnadt>S por las /U"I'ZII$ del prlTrU'f tMlldo. Para demoslrar eSLe l00remll carguemos 1" "¡¡Jn cvn I,,~ rllen;l~ PI
Itplic;iuíloll1.s 0'\ urd~1l di!
I'~,
¡ovéue la IÚ"1Il1,lll (2.44}1.
'"
El trabajo.
r~l;v""Jo por
P.ell su prop¡/') desplaUlmiento 8u sorfi, A
P",c
u~-2-'
El trabajo suplementario que realiu. J. fuerza P, en el desplat..mlento 6,1. debido a PI. es. A II "",P16 Iz • Hacemos bincapié, en que.1 calcular A't. no "pareee el coelieien. te t )Iucslo que" fm!na PI permanece constante, al relllilDr este
T
trabajo en el desplull.miento 6 11 _
El lralllljo tolal, rell.lb.do por las fuenas eXll'riores. al ser apliclldu en el orflcn correspondiente al primer caso, resulta !ler. A,-All+A!z+A, •. El fTahojo A" (llltl realin la fuerza en los UC!!!pII\ZDWicntos origi· llodos fHJr olra fllel'r.1I (fuOrtDll) se denomlna trabaJo supltnumtario. Sin embargo. c.stl' Lrab~jo puede que. en realidad. DO se realice, /Sino que 56 interprete como Ilosible: es dl'l;ir, como un 1mbnju que será realiudo, ai se solicita el sistema gjmultáneau.cnte por lns dos cargas. Elite trabajo l!O denomina trabajo virtual (posi.ble). 2. Carguemos ahura la viga en otro ordl:n: primero aplicamos 13 fuena Pl y después In fuerza P, (Hg. 7. tt. b). ~:l trabajo que reali:a p~ en Sil Ilropio de3platllmienlO ó:: será, A
A
P, :: :: - ----::r.
y el que reali"ll P, en Sil propio desplaumientn L\1l bmbién. cs.
A lI =
P,:" .
LA fucnll P: reflliza, en el desplaumiento 6:" el trabajo siguienle. A~I=PtA:l'
Así obtenemos para el trabajQ coropleLu, en el segundo caso dl' .wlicítación. Au- A~I
+ AH + A: l ·
Puesto que el trabajo total no depende del orden de aplicación de la carga,
Juego (7.t7)
En nuestro caso concreto. P,Ó'1""P:!J.Z,J'
(7.t8)
Queda demostrado el tcorl.'ma cnuneil/lrlo Ilnteriormente sobre la reciprocidad de los trabajos virtualCll de 11..5 fuena!'; eJrtcriore!. Su
.
,
demostración se llevó a c(ilbo pllra el cuo de fuerzu cl:t.eriore.s con· centradas, aunque es válido también para cualquier tipo de carga exterior: COnl;e1ltrada, distribuida" moment05 e'xterioNs. Se debe tener en cuenta. que el trabajo de los momentos se caleula no en los despls7;amientos lineale5, 5ino en loa desplatamientoa angulares. De una manera análoga !re demustra la reciprocidad de los trabajos virtualea de laa fuerzas interiores, UI1=V 11 .
(7.19)
El trabajo virtual, VII. por ejemplo, para UJl elemento de viga de longitud d::, será (lig. 7.11, e y ,d): dUll~M,d el' De la figura se oLtiene directamente,
del~.!:.. .
"
Puesto que,
(véase 18 fórmula 6.7). por consiguienlO, " _ Mtdz d" 'lEJ ' y por lo tanto,
dU
~ M,Mldz EJ
l2 --
El trabujo virlual U ,2 para toda hI
,
vi~lI.
de lungitud
1 U ,~= J\ M,M --¡fJ""" d Z,
serr., (7.20)
"
siendo 111, y Af. loa vnl()rea C(lrriente~ de Jos mOlUento~ r1eclores en el primor y segundo eatados. Insistimos en que en esta fórmula, ill"ual que al ealculllJ' el trlllJOjo virtual de l;ls fuerzas e:Hl:lriures, 110 figuro el coofi('.ieole '/•. De una manera análoga se puede demostrar que l:ll tTaoaj() de la~ fuer:tlJs interivres del ~egullrll) estado en los rlespJ¡namiento~ originlJdos por las fuerzas i¡lteriores del primer l:lstado se Gillcula por lA fórmula siguiente:
,
J~
VI' =
MtM, d -----er z.
{i.21)
"
CompatJ.ndo (7.20) y (7.21.) se demuestra que, puesto que,
eH
efl-'Ct".
U,,=U~I'
,
,
(' M,M 2 d~_ (' M2·l!.! 1
.)
"
EJ
M
.)
"
EJ
'Z. ¡UI
Q'lcd(, dCmO>ltfllda la reelprucid.. d
f'/t'flll:l iuteriore~.
Partiendo de l. ley de eonservación do 1.. ent'rjtla. ~ plltlde deIllO¡trllr 'I"e el trabAja virtlJul de la~ ju~r:Q.' C'(ertOlY' e, dI! magnitud iKua{ al (rahojo virtual dI! IN IIl"r~' in/~r¡onr. A,:=11,:
,
De 1.. dieho
¡t;(l
,4~, =11:,. deduce tnmbién que, An_A:,=U",.,UII •
(7.22)
Est;,.~
correlaciunes ~r¡in emph.. ada~ m¡j,~ adelante par.. jUl!tHicar 01 mdlodu d.. ~Iot,r de clÓlcldo de desplonmienlOIl. Del lC'orl1J11a de reci¡lroclt1ad dll los trllblljo~ \'lrl" .. II<", crtlno en!IV parlicuhn, se deduce olro teorema importaule: III teorema de reel¡lI'ooldad dc los detllllazamient08 (teorema do l\Inxwell). CAnl!ideTalld" P, ... P~_l, del teorema de Botti so "blieno (por la iúrmuhl (7.18),
(7,23)
f'_"
"'C'eir, el d('1lplaznm¡rnll) d"l pUI/io de fJplicar/ólI de In prim,.ra jUrT: del punto de apltrad,ln dt- lu
1It'gunda jUrT:a Imitarla, ~n dirf'«j(ín a nt4 úlllma, oriCinndo pUl' fu prfnu-tu jun-:a wliÚlria. I~O$ dl
¡gllalee .. III uuidnd (ruerus unilaria,) 5e ""olan por 6". h.:, cte. en lugllr de A", A n , ele, ~'Illl! idlimll!l anotac.lOll8ll se t1dmil~u ¡»ora d""lllllumiclltoll ne 1.lt'nus dr magnitud arbilrDriu.
S 12. Métoda de lIohr d. cálclIlo de 101 dupleumlenhl. Regle d. Vefnhehe,uln VellmO!! lIbora el método general de ca!eulu de los despla7.arniento,; vtHiao pll.tll.cualqulllt lli,tcmn lineahnenle deformflble, solicitado ·por U'la carga' arbitraria, Esle método fue propuesto p'ol' ('I dp.stllelldo
cieJltHico ¡deman O. Moln.
Supongamos. por ejemplo, que es uecellario calcular el despla~ ""-miento verticIIJ del punto A do la \'i~1I repreacntllda 00 111 figurll 1.t2, Q. El estado
'"
El trahajo de IIl.$ fu..ru!!1 uteriort'8 sera igual al producto
, y,1 -= J ----er- d:. , \' !tI¡M_
(7.2!,)
Esta e!I la magnífica fórmula de Mohr (inteKrlll de Mohr) que pennitc dotermillll.r el de!lplannlientu en cualquier punlo de 1m si!llcmn linllalmcnttl dc!ormltb(e.
ril. 1.12
En l·~t~ fórml1llt, el producto que figllr¡l denll"fl dtl 111 illt,tl~rnl eS positi"" si lo" d ....~ momcltt... J:l flecll)l"\.'!I titlncn ti! Illillmo
Mlill~
sigilO. Si !iC calcula!'le 1"1 dl!llphu:amitllllO ol1gtllAr en el }J1tn1.O A, l!ntOllces en el e
°
AIlOI:lnlloroor A cllll.lqui¡>r df'!lplllXllmitllllu (lineal o.lllI:ular) la rórul1lltl (llIlt'll:I"llI) .1., j\[ohr .,n lA forma si¡:uil'llle:
~riballl03
,
.. _ \' M"lf_ d'
LO -
.}
--r:r-
~.
(7.2!»)
"
1::n 1'1 elle" geno:ral, 111 I'xpfI'lliim 1I1l1l.Ihica do M, y tU¡, l'llt'du ~r en lo! di.~linlos tramo!! de la vigll. O• .,11 ¡¡cueral. del !'btemi!l ('lii.!llico. Por cllnl'n (ugar dc 13 r'¡rmul. (7.2:1) st debe ('mplelU' utra di~tillla
.,
mi.! aeneral.
, •
'" ~
-ú,l
,11, M •
":J
• trabajan
.>-
a •.
(i .26)
Si las oorras del slllema 11 traeeión (compre!:ión) y 110 a lIe.cióll. como, }l<.)r ejemplo. en las armaduras, cntoncC5 In rórmulo de )Iohr será, (7.27)
En eslu rórml,la el producto N,.~·_ es J>O'lilivo, Jli los dos cdueuos lIOn de trllcción o 10ll dos de compresión. Si Ilts barrllll trnhlljnu ni
'1
fllI. 1.13
mismo tiempo a fie"lón y a Lr3cción
(colUp~lóu),
entollfll":'l. el, 101l
ea._ corrientes, como lo dellluesLran loa eálcuJos comparall\·Oo'J. llC "'!Jelle calcular el desplaumienLo considerando 5tI1omenle los InOLnenlOs flectores, puesto que la Influenci. de bit (uena! axlalfls t:9 muy pequeña. I;'or la misma causa, (ODIO se indicó llMeriormelJte. en los cuo, corrientes, se puede prellClndlr de la influencia de lu fuen.as COfLlIn't&!l.
Eo lugar de caloular direclamellte llis Integrales de Mohr, se ]luede recurrir al método gn..fo-Itnlllitlco. denominlldo tmétodo ¡le Illllltiplicllción de los gráBcost o método de Verellhchaguin. Veamos dos gráfico' de los momentos f1ectorl!!J. de los cualtlll unu M. tiene configuración arbitraria y el otro /Ir, es rectiUneo (rig. 7.13). Consideramos que la sección de la barra es constante en el tellluO AB. Eu este CallO,
...
(7.28)
El producto M ... d:
I!S
igual al área elemental dw", del gráfieo
de M ... (rayada en la figura). Así, pues, •
H
S , M¡fI,[... d::. = í, ilt¡d6l....
(7.29)
Pero.
.
por lo tanto,
/¡f¡=:tga,
SM,dw... = ,
tg
a;
.',
(7·301
~ ::'00....
(7.31)
H
La expresión ~ ¡; d61 ... representa ell momento e.!Jt¡jtico del área
,
tlel gráfico de M~ respecto a eierto eje y, que p/l~ por el punto O. E8te momellto estático es, e1aro esta, Igllal /1 w...::.<. siendo el área del gráfico de 10l! momenlOS y::.., lu distuneia del eje y al centro de gr/lvedAtI tleJ grafieo de JIf .... Oc la figura se detluee directamente que,
w'"
M' :c=tg:'
(7,32)
Aquí Jif~ es la ordenada del gráfico de l.t¡ situada 1k>1¡..11O del
centro de gral'edad del gráfico de M", (debajo de) punto C), POr In lanto, (7.33)
es decir, 111 infepal que
le
clIkula
t'$
igual DI prOd/ldO drl arta del
gra/lrQ de Al", {de clJII/iguracl6n (lrbitrario) por lo ardmada dd l{r6/iclI ,.,.ctil¡nco, Alf, situado. debajo del centro de grol/raod dd prlmn' gro/feo.
El \'/llor de 6lAM~ se con",iderll positivo, lli lo!! "os gr"ficos ~e cocuen· 1ran :l un mismo Indo de lo barra y llegativo, en ('nlllJ cOlltrurio. El re!l"UItIHlv positivo de la multiplicación de lo!! ¡¡r"ncos indica que la dirccci61l del desplazamiento coincide con la de lo rUt'no uuilar¡' (o momenlo). Es necesario lener el. cuelllll q\le la ordenada Al: weseogtll5iempre en t'lltrilfico reetillneo. En el caso particuhlr, cuando los dUlI gr/ificos lSon rt!elilinc~, se puede multiplicar el "ea de cualquiera deellos por la corre.'!pondiente ordenllda del otro. Cuando :se trata de carlU corrientes compull:!lUl!; por Ulomelltos concentrados e.J:terio~. fuen.as COflCCJltradlllS y car¡:a.'< uniformemen. te dislribuidas, entonces cualquier gráfico de rnumentos al puede nc!!componer en grAfiC03 ~mples de tipo reeUlngular. triangular y parabólico de segundo orden. fJO
195
En 111 1IIh1" 7.1 ...stán dadlJ5 los valores de lal! ilreas de esLos gr.í.ricos illlí .;om" las coordenadas de sus centros de gravedad. TItU 7.1 11I'laat/a Al .......,
d~
lttUal.d
,
.!.,
175fT
,
2..111
I i%fEf
~,
¡:§If
~/
• ,
Para acclerlU' los c'¡¡GuluS .se pu...dl:l cmpl6lilr la h.bl.. de 105 prodo I'l!< Rrilncos (tabl... 7.2). EIl e!Sla LioIJI.Io. en las c.. !ill ...~ llonde se enllan 103 gr.i[¡cos co-rrespoudienlt':'l. estiu dll.dos 105 r".'!\lhll.dos de l. muhipliCllción de estos gráficos. Al descomponer IUI gnHico complejo en .gráficos e\cmll"lale9 dados en 185 tublos 7.1 y 7.2. Sil debe (eller en cuenta qUl:llos gráflcos parabólicos corresponden a 1.. acción cxdll.'liva dllla lHuga dí5tribuida. En aqllellos cnBOS. cuaudu en un gráfico complejo 10;1 tramos curvllílleo.~ corresponden a Inllcción si rnUltáUtl8 de mOffillntos couce/ltrados, fuerIDS cOllCI!lll.radll..'1 'J earga uniforml'mellLC di~trihu;da. para evilnr error...". S4i delle de!IComponer el diagrama compul!sto en una serie de enlicos independientes: de los mnmenLos concentra.dos. de IRs fuerlilS concenlradas 'J de la carga uniformemente distribuida. Sllpongllmos 'lue. por ejemplo. se Docesi'" u.leulllr el despl•• zamienlo vcrtiCllI dl'l e"tremo ilq,uierrlo de la viga de la figura 7.H. dlJClo.~
".
El gr~rico to\.nl de la carga está reprosenh.d" eJllfl ¡¡gllrll 7.14, O, El gráficO r.orrespondientll a 1" fllena unitaria
A!:::P=::::::;;a==~~lIifillllll~l'c a)uf-=annJJiim 'c
'1
i
r==mjIrrITIll
bJ O
e)
ega
ol----+-~T' i I !
dJO!'
'~"a
Por eso. es uilcesario de!'>C'Omll0Uer el grHico o,;ollll,lcjo .1... L, [igura 7.14. f'. en el",mentll.les, rtJprescTltlldos Vil l~,.~ rig"ra~ 7.11" b Y 7.14, r. El ~rafico de lll. figura 7.14. b 110 debo oxcl"Hiv't1ocHl.o:' 1" ["cr'.l' concentrl'lll
'"'
+ ":1'-: +• •• ~
~
N
-
N -
.
::;;~
-I=- '
... + . ::.. :::..
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~ .. • + ~ ~
•• - +
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•+
~
.~
199
1'""" ~Il" multiplicamos "l ¡::r"rico Iriall¡,tlllr,1' de la figlll'H 7.1/1, b por lJI (111"0. Illmbil!J1 triangular. de Ja fi¡:,'urll 7.14, d Y ~lJ"w.mo~ 11 este prodllf.tu rl prodlll'to dd ¡,:ráfico parabólko dl:l Jo [¡gur,' 7.11, e pOI' el In'l'N"j([¡d del lr¡llnO Be de la fi¡{lIra 7.14, d, pucstn qne ('11 ('\ trilmo liS las ol"(lelladas del griÍfko de In figura 7.14, e ~on llUIIl.~. I~II el ollSO do hl1rra~ de sección Varillhlo d método ¡le Vt'.\'('shchaglllll dé trIuILi\,licnd,J1I de grMicos 110 e.~ flllli(:abl('. ya qOU.1 en /!sLj) caw BJ no se puede sacar rlll'nl de In illtt::gra1. I~n e~le caso, ~e dclil) CXJll'I:lÑ,r EJ l'lI fllllci(¡n de la ilbseisn de la sccción y clolcl¡lar ;c¡¡lullllda, la inlc¡.{I·:ldúu (o mulliplic"ción) 'le ro:!u!i~.n para r,udll 1I'lllno por SC1Jurado (COII el c()1're~polldienLe valor de El) y ~e suman, de~pllés, lo~ resllllados. La de!l(~1 Illgellrllicu de Jns ml1lUClllOS f!ccLor('s corrcspOIHlicnl(!." a la recta I..N y los momellLo!! ftecLores cUl'rcspulldionl,es ul gráfico parabólico LNlffL, que o:oillcide con ..1 gr;¡fio:o o:orrespoudituLc 11 una vig"¡¡ simple de longil'\ld a, solicitado por \lna carga IIIlHormemCIlI!'l distribuida q (vóaso el {ljemplo IU;), '1: _q". 'l'~ MO~T(a-z)--"'T"-T' 'I~!
Y cuya ordellado Illti:o;imft, eJl el centro del vallo, tos T ' Para (lcllJosLrllr 0810, c5('.rillamQ1; In I:l:o;presiún roal del moml:lotl> f!oolor en In sección z. '1 l'.=~
P (a-I-z)---y-=", IJ0 . - /) ' : : 1]:2 2'
( 1)
Veamos ahora 11J cxpresi6!1 del momento rl"clor C't esta (l('ccióu interpretada como In SUOla lllgcbroicn de las ordenodas de In recta LN y las ordenllda~ de 111 parlibolll. LNML. La ecuación de la recLlI LN es, ftl~=
-I'a-kz,
siendo k la langcnto del ángulo de indlnno;ión de cs\.a recla, qo' -P.2a--.,--{-I'a) qa k,.,. : _.-p-'"'[,
Por lo tl!.nto, la ecuación de 108 JIlomentoo f1ectores, obtenida como la ~uma olgebraica do la ccuacióll de la recta. LN y la
de la parábola LNll'¡N :-;erá.
r '")
M.=M.+M G = -Pa- P'I:r
'1~' q:~ ¡"-Y-7= -Pa-P:- '1," T ,·
L
lo que coincido plenamente con In
eXpre~ión
(l).
Al multiplicar lt)" gt·{i[icos por el méloi'lo de Veresbchaguiu. será
nllcllsario llIultiplicar III trapecio BLNC por el trapecio dlll griHicounit>:lrio de Illomentos del trnIDO Be (ng. 7.14, dl Y restar el produclo del gn'fico .parabólico LN.~fl. (de área 2 'I.!!.') por o,ml"lUlO . . (o) ..... 3a . 8 lrapec)(J del grálico unitario. Esle rntiLodo de dC~COmp()5¡ci"" do los grú{jco~ e.~ r,OIl_ Vllnillllte cuando el traDlO Cllrv¡Hueo 5e encuentra en uno de 10.<> [.'¡¡mos
cl:ll1lrallls de la viga. Ejemplo 7.6. CllleulM el
z
p
dcspla~
>:amiento vertical y el anl:ptliH' do UII voladi7.o en {'l lllgar de lljlJicaciún de 1>. carga. (fig. 7.1[1).
Rrsoluci.611. Con:ltrllinlUs el gráfico de lo~ mo!O(mtu.' flcclorc5 p"ra P.L {';,;¡allo rle cnrgll ((jg. 7.Hi, aJ. Para calcular el despIIl'l.IIU\it'lIlo e) .. vcrl.i¡:nl c/lCogcmos el eSlado ficticio flQ 7.15 ele la viga con "tia fUCH." unit.arill eH el plinto lIc llplicllción de la carg:"l\. C<)ll~t.rlLimos el grM;co rle lu~ mnrncntus flcclorcs de esta rUt\r•. 1I. (01:(.7.1"', /J). POI'la rúrmulu 11(, 1\101Jr, ~ 01)1;(0110 el dC!lpla',llm;enl.o. vllrticlll,
.~
,
,,_ l' M"'!J'd:
.~
,)
El Ulornellto fh-'ctOf do la
1::.1
" carga
'
es,
;\'1¡,= -/lz
y el de la fucr'll ullitllriu, M;=~1;;.
Introduciendo estos v!llol't:s de ¡U j • y de JIt h,tcgraciólI, se olJUcnv
j1Jf
"'11 In ¡"tegral, despues.
,
, S
p<,
(-Pz)(-=)dz~w·
Y"""'U
"
E!;tc mismo resultado fUe ¡,bteuirio anleriormente por otro procedimi .. nto. ~Ol
El signo positivo de la fJecha indica que el punto de aplicación de la fuerza P se despla:r.a hltcia ab1\Jo (en dlrecciún a la ruana uuilllria).
Si bubiéscOl05 dirigido 1:1 fuerza unitaria hacha arriba, entonces Jli, .., h y, por lo tanto, al integrar, la flecha resultada negativa. F-"Ie signo indicarlA que el desplnamiento oeurre hacia abajo como «OS en realidad y 1\0 hacia arriba. Cah;ulemos ahora la integral de Mohr. multiplicando los iráticos por el métodl,l de Veresbchaguio.
PUC.!Ito que 105 dos gráficos lIon ruetilineo5. no Importa en cuál ·dl' 1011 grlificos se coge el área yen cuál de ellos le ordenada. El área del grtífico de la carga cs.
(i)p--rI PI' . m centro de
gr8\'edad de eSla ligllf:l se encuentrA a la distAncia
.g.l dul empotrllmiento.
HlIllemos l. ordenada del gr:Uico de los mOm8Dl.Oll de la fuenoa unitaria situada bllJo el <;entro de guvedad del¡rilico correspondienle " IIl. carga. Es IÁcil uemostrar q lIe ma ordenada es, 2/31. Por lo lanto, le
1p~2
I
II-W wpJl1 ¡-7!17
Pl~
Esl- m ·
E~le mismo reBultado se oJ¡~ione por la toLla de las in~egrlllos. El producto de lo~ gníficos re>jultó positivo, puesto qUll ambos gríi. ficos se sitúan debajo de la barra. A:!l, pues, el punLo de aplicación ~le la catgll se desplua hacia abajo, eo la dirección admilida VMa la IueuQ uuitaria. PIna determinar el deJ'pLnamienlO angular (ángulo de giro) escogemos el estado Ijcticio de la vica, con un momento concentrado IlIlitario qoo actua sobre el ellrcrno de la viga. Construimos el ¡rAbeo de los momentos f1eetore8 para este caso
(fiC. 7.15, e). Multiplicando los gráficos. obtenemos el desplazamiento angular. El área del gráfico de la carga 65, I
Ulp-7Pl~.
-8
Las ordenadas del gJ:;áfieo del momonto unitario son iguales In unidad en todus los puntos. Por lo tanto, el ángulo de giro
de la sección serú,
'"
O-ID" . Puesto que los dos gráfi~ se encuentran en la parto de abajo, el 'Producto teSl!-lta positivo. Asi, PUllS, la seeei6n del u.Lremo de la 202
harra gira en la direcdÓn de las manecillas del reluj (en la dirección del momento unitario). Ejemplo 7.7 Calcultr por el método de ~tohr-Vereshchaguin l. Hecha en el punto D de la viga repre39ntada en la figura 7.t6. El \:rUiOl) wtal de los momentos f1ecLores esti dado en la figura 6.U. 8_Jtt
. ...
t
,.2~",
A
D
,
2m
:rR-8rm 2m
~.zt;.
f
IP.~l D
1m
;.z,~ 12)\ ' 1 3
2
I 1~1m. l' 'JI~~I i
,:::
,
, 1
,;:;:;
.
I i I
Ag. 1,15
Rt60lw;i6n. Descomponemos el gráfico lIe los momentos de la carga, es dceir, construjmo~ por separado los gráficos correspolldleotes a Cid. carga. Para ma)'or comodidad al multiplicar, convione construir 105 gráfico! de!lCompuestos (elementale3) respecto a la sección, cuya flecha SIl calcula, en elite c.a.so, respecto a la secciÓn D. En la figW'a 7.16, a figura el gráfico de los momeRLos f1ectores de le reaceion A (tramo AD) y de la carga P_4t(tramo De). LosgrifiC05 se eolUtruyen en la fibra comprimida. En la. figura 7.t6. b figuran los gráficos de los momentos de la reacción B (tramo BO), de la clU'ga unifonnemenle di~tribuida hquierda (tramo AD) y do la carga ullHorroemenLe distribuida sobre
el tr8mo He. 1.':SI.l! gr:Hico e~l'¡ reprel!'Ctl1.nd(, en la lignrl:l 7.to, b. en el «ramO De. en h\ parto de ,.hajo. I~~ogem"~ d~SflllH~ cl ('~tndo >\lIülj¡,r de la viga, p:lra lo cual apli'-illllOS 11I1il fuerza \millUin en ('1 parllo D, cuyo rlesl'l,w.o.I1lie1llo .Qt/ cHlndl1 (fig. 7.H!, e). El grMino tlt! lo.~ UlOI()ünlo... de \[1 ruerza lUlit.arin u~l.'¡ dado on la [¡¡rura ¡.Hl, d. fo,hdLiplic~mos ahora lo>!
gr"ficos 11['\ 1 al 7, ¡lOr los ~dHc()~ 8 Y .'J. IIprovcchundo lll!< labial< PM";' la ntullipli('acióll tlc lus g'rüficos. EstllS operaciones se rcali1.an t.euiclIdú 1'11 cuenta el signo. Los gdlnc"ll ([ue se en(;ucntran al mismo Indo ele 111 vi¡t" ~e lU\IIUpliclln cOll silmo positivo y los que se encueu-
tran f\ dislint,us lados du olla, cUJI sigilO M,ll"ati\'o. l\\IlIUl'li¡\'''Hto d grMico 1 por tl\ 15.'le ohlioue, e
'1l,.'lf~=
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MultiplicllllJo el :; por el 8
--,-= -;:r 1·1·~
8
~
I,m.
ballamo~,
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El produc,tn del;] por el {) da, --hl(" I h)---r l, 5 -
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y el oJp.\
1.:!(~·11i+-8)_
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por el tI,
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pnr el 9, 11 I ., 2R -+(2h'i·h,~)=- ;'-(1.-12 '_4)=_;.¡-tm a .
Sum,1m[o los producl.og, (JI,tendremos.
EJy"
~
_S,li7 tm ft •
El sigilO «1O\'"0~~ imlicu ljllC el pUlIlo fJ se d~splall\ hacia urril", y no h.. cia aLajo, como ~c orienLu 11'1 rllCH.lI unitluia.
El lI1i~mo res\lllado se ObluYO antes por la lórulUla \Il\i'>ersal (véase el ejemplo 7.::'). Claro -est.1, en c."e ejemplo se podi:l. uaber de~om"p\Je.~to el gráfico soIamoute en el tramo AD, puesto que en el trllmo DB el grUico re"lultantc 05 recl.¡Hnco y no hay necesidad de descomponerlo. En el tramo Be no hay nccesidad de ilescomponer el grá[ico, puesto que el gráfico corruspondientc a la fuerza unitaria e~ cero. La de!lComposic ión dol gráfico en el tramu He resnlta nece~ario para el cálculo de la flecha en el plln~o c. Ejemplo 7,8. Hlll\llr lo~ l'I('splazamiclllos '·ertlelll. hori1.ont,al y augnlllr de 11) .'lección A de la IJllrra quebrada de la figura 7.17, a. La rigidez .1e la sección ilel tramo vertical de la barra es EJ¡, y la del tramo horizont:ll, EJ~.
Rnolw:16n. Construimos el grAfico do los momentog fleetortl! <4.10 la carga (fig. 7. t7, b) (véase el ejomplo 6.9). Pllra ludiar el d{\.~plll-
"
1"" ®
-'')
,
,
-----,
r•. 1.H ¡ji,miento vt'rtical rie la SlP.Cción A, ~!cogcmo!l r\ t'!'lólriO oluilillr del "¡... teln,, do la ng. 7.17, c. Lll fllena ll"ilar;., Mfllieadll •·.... 1 ¡lulIlo A, <:slá ¡Jirigiull hlleia abltjo.
El gr¡Hicf> de Jos momelltOJl rJeclore, flaril »C'lhl 011 la ri¡:urll
7.17,~.
~te
t!!Il.ado s.e reptO-
Calculamos el dellplozamiout.o vertical por la fórmula de Mollr. empleando el rnótodo de multiplicación de IOll gr¿íficos. Puesto qUfl en el estad" nuxiliar. en la Larra ....ertk,al, no exista gnífico de M" multiplicamos :!olament.e los gráficos correspondient.es al tramo horizontAl. El área del gráfico la cogemos riel gráfico de la Cllrga y la ordellndn del auxlllar,
,
,
L\""rt = El;. Plll~ T
{l'
Cumo e,IOll rlos gráficos io(J encuellt¡'llll por oebltjo. ¡,I resultad .... del proiluct.o se escribe con signo positi....o. Por lo lanto, el punt.o A se desplaza hacia abajo, el! decir, en la mism~ Jirección que la fuerza Imitaria vertical. Para llal10r el desplazamiento horizontal del punto A. c1'll'ogem(,s ul estado auxiliar COll una fuenlt horizontal unitaria, dirigida hada la izquierdn (lig. 7.17, d). En esta millmo figurn estlÍ repl"(!sentatlf> el correspondiente gr;ífico do:! los moment.os. El producto de lif p y M, .. t ;¡,' Ó~or = EJ, ¡¡- PI,I, 1f /1 T EJ PI¡f2l,
2
resultó posit_iyo, puesto 'I11e los gráficos multipHcados se encuenlran a unll misma pArle de la barra. P;>rll. obtener el desp\aumiel1to angular, c3Cogemoll fll estnu() auxilillr del sistema. según la ligura 7.17, e y construimos el grárico de los momentos fledores que le corresponde (fig. 7.17, ~). El producto de 111 p y M 3 es igualo,
,,
0= XJ;,T Pi,l,·1
,
+ Eh Plll~. L
Como 10.'1 gráficos multiplicados se encuent.ran 1I uno- misma pllrte de la barro, este producto resultó posit.h·o. La seceiún A, pue¡;, gira. ('11 la dirocción do 111.'1 maneeilllls del reloj. El mismo resultado se obt.iene, aplicando las tahlRS para mulpplicar gráficos. El aspecto de l&. barra deformada está ,represent.ado elt la figurEl 7.17, l. doude los desplazamientos estiln n!-presentados a una. escala desptoporcionaJnlente grande. § 83. Cálculo de 'Igal utátlcamante indeterminadas (hlpeJ8státlcal) Se llaman estállcamente indeterminadas (hlpere9táUca$) aqllello$ vIgas en la, cuate' la' ecuat:.lone, de equilibrio son in$ulteiente' para calcl~lar 10$ c$luerzos interiores. Eu el cálculo deest.as vigas, aparte de las ecuaciones de la estática. es necesario plsntear ecuaciones suplementarias que se denominan
ecullciones de los despla1.llm ¡entos (o ecuaciones de \35 defonnaciones)v y q ue se obtienen, analizando las cOllniciollCs de deIormad6n de la vigll.
Veamos, pOf ejemplo, la viga representada en l~ figura' 7.18, a. El número de reacciones d'e apoyo desconocidas es cuatro: trell en el' empotrAmiento y una en el apoyo móvil. Disponemos de tres aIlURciones de la Ilsté.tica. Es decir, el número de incógnitas supérlluas' es UDo. y 01 grado de biperestllticidad. de la viga es también igual a uno. Las incógnitQll supé;rfluis que llPil.r-ecen en 68t6 tipo ne problemas son resultado de la edsteneia de liglldurasque son superabundantes para el equilibrio del sólido absolutnmente rlgido. Para calcular las. ",igas estáticamente indeterminadas, se puede emplear el método que ya conocemos, que'se ,empleaba para resol\'er-
problemas hiperestátieo8 de la tracción y.torsión, Para ello, convertimos mentalmente el' sistem.a hiperestá~ieo. dado en isostático, eliminando las ligaduras supérflullS y SU8ti~ tuy6ndolas por las reacciones desconoeidlis,-·" ,El sistema estáticamente determilÍado obteni(jo de esta. manera· lo denominaremos Ililllema baile. Para que 01 sislema base no se· diferencie del dado, es necesario exigir que, en el sis~oma bas!', los de5plw~amientos de tu secciones en los lugares de las ligaduras. eliminadaa, y en dirección a las reaccioDEIlI desconocirlas, aquf apHcad9.S. sean Iguales a cero. Estas ecuaciones representan las condiciones de compatibilidad de las deformaciones del sistema base COIlo la~ ligaduras impuestas al sistema hi¡lerestático dado y permiten. resolver el problema planteado, Es~ll.s ecuaciones se denominan también ecuaciones de compatibl~ [¡dad de las deformaciones (mejor dicho de los "desplozamientos)_ Pnra una misma viga biperestática se pueden escoger varios sistemas base. Por ejemplo. se puede eliminar el apoyo móvil, sustituyéndolo por la fucrza desconocida X, (fig. 7.18;'b). La ecullción de las deformaciones, en este caro, exprCilnrá la idea de que, para· que el ~istemn dado y el sistema base sean eqlliva1entes, es nece.qario. que el desplazamionto vertical del extremo derecho do In viga (pUIIto B), bajo la acción de la cllrgll q y de la [uorzll. X,. sea igual a o::ero. Las flecJ\fl5 (desplazamientos) se pueden obtener por los métodolSque ya conocemos: la fól'muln universal o el método de fo,lohr-Vere~hchagllill,
Claro está, si se dispone de las fórmulas de lns !lecha.<;:, con\'iellc' "plicarlas, Es~e método generalmente, se denomina método decomparación de las deformaciones. Por ejemplo, para plantear las ecuaciolles de las deformaciones. (para el sistema bose de la figurA 7.18, b) se puede tecurrir a ¡as fórmulas (7,9) y (7.14.), ohtenidas >l.rlteriormentll, Igualando las flechas del extremo del VOllldizo, correspondientes u la carga dislrihuida uniformemente y a 111 fuerza concentrada, hallnrcmos, X,/3
ql_ 8EJ
=
~EJ
""
flJ A
I'!lIIl1l11111llllll!lllll!i
DJ ~
~
9
1I111111111l1l1lfJ11 ~ III ~ X,
~
<)~"''' : 1M ff'
)!I d)
,
i9'~l I~. , L
~
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d';
?!JI ¡¡III11 ¡¡1n¡lIlI!
')
Fil. 7.19
i
De esta ecuación se obtiene: X, = qf. Después de hallar X" dc los ,gráficos lIf*~ (fig. 7.1g, e) y Q (ng. 7.17, d) ~e realiza COIDO en ulla viga jsoslÍltica, Eu la &!gunda variante de sistema base (Hg. 7.18, e), se eliminó la ligll.durll., que impide el giro de la sección h;quierdu (el empotra· miento se sustitU)'Ó por lUla articwacióo inmó\·iJj. Su acción se s1l5tiluye por el momento desconocido X •. LIl ecuación suplementaria (ecunr.iÓn de la~ deformnciones) expresa la condición de que el ángulo <1" giro tle ItI sección A, bajo la acción de la cllrga q y el momcnt" X~, es igulIl a cero. La eleccióll de uno u ot.ro sistema hnse no innu~re sobro el resultado final del cálculo. Los grancos definitivos rle A1!1.~ y Q serán idé"LicoH independienlemente del !listema base admitido. Sin embargo, la laboriosidad del calculo rlepe.nde del sislema base que se l:ldmita. En el caSi) de vigas de una ligadura superllua, Cllta laboriosidad, prácticamente, es igual pura todos· lo,s slstem1!scbue.Cl,la.n,do se trata de varias incógniLas sllplÍrfhulJ\ el sistema baSll so escoge dé tal mrlrlera 'pre la re~oluci"n 001 ~islomf\ do ecu!le¡olJlJl:I de loa desplazamienLos roqulern ol monor tr"bojo posible, Si on el ca~o do "na "i¡:-II dI!- varios vllnos (e~l.al:l "igos .'Je nenominan también "igas continuas, fi¡,;. 7.H)). se c!lccion~s ClI lo~ llPOYOS climi"lIóos, enlon~,eli cn e.ada ulla de IfUIl.'ClllICiollcs de los dcsl'l"lIamieJllos Iigurorán todas IlIs iJ)cógnil.a~ supérfluas, In que "o"dllciní 1I. grandes dificulLad&!, al rc~ol\'cr el sistllzon dll ~'(:ua,;io"es. ~i 01 ~islema baso so esr,oge d(l un;! manera racional, l'HtOItCC~ las incvgnitas se '!'(lpuran. es decir, disminuye 01 número de inógnitas que figura en ca,b, un.. d(l las ec..aci
L>esarrollando eSlaS ecuaciones, se puedo demostrar que en c8da 11M de ellas no figuran más de lres momentos de apoyo,
§ 64. Ejemplos de calculo de vi9as hlperestáticas Ejllmplo 7.9. Construir 105 gráfico~ de M JI • e Y Q para lo. viga roprc3Cntlldll. el) In ligura 7.20, a. Resolución. Esta estructura tilme, como es fácil de demostrar, un;> sola ligadura snpérflua. (El sistema ba~ se escoge en forma de voladizo, "liminnndo el apoyo derecho y sustituyéndolo por Jo. reacción deOlCollocida X (Hg. 7.20, b). La ecu¡oción de las deformacionos e~: Ya=O. 1..3 n ..cha origiuad3 por X (ng. 7.20, b) en el ¡Junto 8 (vJase In fórmula 7.U) ~erii;
x,,
Y".... = ~f.'J • Pafll calcuhlf la !lecha del puut,) B. al acLllar la fnerza P (Hg. 7.20, d), recurrimo~ a ll! fórmula universal. UbkaUlos el origen de hu; e.oordenadM eH el e:Clremo iJquicrdo d.. 13 viga, obteniendo entonces, 110=0 y 9 0 =0.
Las re<.cciollea (]" apoyo son; A _ P Y fIl" "" P ~ (véase la lig. 7.20, d). Supouieodo Z ~ 1, ¡emlremos para la e;uildón univerSllI: 131111'1'- _ M" (~-O)~ ~
,
+ A (/--:..':!.e _ J' (/-lr1.)' Ú 6
"
Introduciendo aquí "lA'" 7 y A = P, hullaremos, Y"p= -
~'I'I'
4'/jf:J .
La I!cuació" de las deformnciones se pUllde escribir ahura do la formu .;¡iguicnto
de donde resulta,
X_~l'. El mometlltl flector etl una sección arbitrarill del tramo CE, distancia ~l del extremo'dertlchQ, Bllra. (fig. 7.20, e),
, Pz"
l\1'1 = Xz..=f¡'j
Para el tramo AC se obtiene,
M,...,~Pz,-P(z:---f) El grli.Iico de Mu
'"
es~á
representado en la ligura 7.20, f.
fl
la
t~1
)' en
f"en.o.
('1 ~I'''m''
GOrt.:".~e
Al..'.
,
en el tn.m... eH sen!.
Q.,--x=- 12 J'. :'1' + J' =ffi "p . Q'l- -16
10:11 la li¡,::uMt 7.20. N tll>lá representadu el ¡:rilfieo de Q. EJeluplo 7.10. Construir los gráfico'!! de M,,~c Y Q para la viga de .lfO! vanos de la figllrll 7.21. (l. RaolucwfI. El problema tiene lID grado de bipercslatieidad. En Clllidad de i.ucógnila .!Il1flérFl"", admitímOlJ 1" reaccivn X en el apoyo intcl'modil), ohLeniendo así, »>1'" la ecuación de la.~ deformacjonl;l~.
YlJ=O. 1::t1 eMLe Cll~O, mi !'llpr/llKlnlnmos en la figura III si¡;toma hase solio Cit(ldu PUl' 11I curga lhda )' por la rell,ctilJll incóglJita X. Ll' rJed.a ea el puntu R. urigillll.dll por lll. carga" ~ "hUeno 1101' In fórmula (7.t5), q (21)'
"
!IRq ..... - 3M""7fJ . LIt
IIcrl\.'l
currt'llpondiellte
If"'):' (7.16).
X
n
deleflllin8
6e
por
la
rór-
x (:!I)s
Y.: "'" f,J¡jEJ •
L. ucUl'Giún de lu ddurmaeíones serii la aigllil'ote: 5f r~l)' X {::I)I -~ 1- 4BEJ =0,
•
de donde se obtiene. X-fql. I.os rcnccioDlIM A y e 9<)11.
,
,
A =C_,¡l_-¡;-ql_':;ql.
El momento necto!' en In sección arbllrarill :, ¡Jel tramo Be NlSultll, '1 ' !t,_· ~ "'I-1i'q z . Por esta l'cuaci6n so cOllstn'yll el gráfico de M'I~~ (Iig. 7.2t, ej.
En 111 mitAd i:tquierda de la viga, el gtlÍfico ea simé~riCQ al de la deroch•. La fueru cortante en el tramo Be, $llrá, 3
Q'I= -sql+ql, y en el tramo AS,
Q,= --tr¡I--}ql--!-q:l' POf
'"
MUS
ecuaciones se construye el grifico de Q «(jg. 7.21. dl
§ &5. fLlndllmento8 del mlltodo general de ojloLllo de Ilatemes hlperedjtlcos (fLlndamentoll del mlltodo de las fuarlas)
En parágrafos ll.nterior~s se analizaban las vigas cst;iticarncnte indeterm ¡nadas (hipcrestáticas), Eu la t~cniCll se encuentran sistemas hiperestiitico,~ mús complejo~. donde las fuen.ru Interiores no se pueden obtener eul'./$Ivamente de las eclUlctone.s dI! equilibrio. Los sistemas hiperestáticos formados por barras, unidas rígidamente, se denuminan pórticos. Los métodoo de cálculo de sistlimas hipcresláticos compuestos por blU'raa se estudian CaD todo detallei·eri la d'euria de las Estructllrl\~J. Esto.'! mil todos :;on muy variados. Aq-u¡ daremos solamente los fundnmentos dll uno de los miis (lifundidos, 01 método de lu fuerzas, y lo i1uslrfll"emos con ejemplos de sistemllS hiperestático.'l muy simple", .0\1 calcular sistemas esláticllillE'lItlJ indeterlUilludo~ por ~I méLodo do ISlS {ucrza~, se c~c0R'0 ell calidad de illcógnitas, I,)s esfuor1.OS que !\1l~t.itU~·en la ¡¡cció" de lAS IigAdlll'lI~ eliminadm; (supérIluas). El orden a !>Cg\lir pura calcular los sislemas hilloreSl!íUe,¡s rO)' el m~Lotlo de las fuerzas es el siguiente. 1, Se comienza por determiuar 01 grado de hipOl"estaLicidnd (lel .'\¡~tomll, cnlculando el lIúmero ¡jo li,R'adurus slll?érfllln~. 2. So escoge, después, el sistema bllse que se ohtie'll' stlpnrill,do, del sistema dado las ligaduras .'iupérfluflll. )~st(lS ,;c $llsl.il.IIYCH pOI' los esfulJr1.os sup~rfluos dcs<:onoeidos. 3. Se plantean lAS ecuaciones de I{\~ deformadones (mejor dicho, de los desph17,lllllieutos), 'Iue expresan las con¡jiciones de complltibilidad de las deforml'cionos del sislema base con el Sil'LCmll hipercslát.ico darlo. Si los closplazlllllicnloo en dirección a 11lS lig-lHlt1rllS eliminadas 011 el si.'ltcma base no e:dst.en, elltouces la~ ecuaciolll'S de la.~ dolormneiones reprll.'lCntarlÍlI 11< condición do igullldlld a CN~' de Ilsto~ despla'tamientos. 4. Se resuelven las ecuaciouc~ obtenidas. 5. Una vez calculadas h,s incógnitas supérflullS, se r_lllcnlan los esfuenos intlJrioro$ en los elemontos del sistema Iliporesl.álico (momentos fiectores, fllenas cortantes, etc.. ). J~ste l\á1culo, )lor el método de las secciones. no presentn dificultades. Las ecuucioile!l do los desplaZAmientos, 1\1 calculal' 1111 sistema estáticamente iudeterminado por el flOlltodo de lns fuerzas, se eS<'_riben de una forma dcterlllinada (canónica). Si el sistemll hipere51,;Lieo dalia liene n ¡lIcúgnilas .'l111..~..rlullS, entonces el sistema de /1 ecuaciones can"nÍl;H.'l pllrll el r,\lnl1o de
est:J.s incógnitas se escribe de la rorma siguiente: tillXI+Ó,.X t +ti,~Xn +Ólp ""0, lí.,X ,_:... 62 ,X"I+6th.X,. +8~p~- O,
+
tinIX,+Ó~.X.-.--
... +ó",.X,,-;-6~p=O. El coofi{,¡ellte repn::SQuta el rleJlphl1:amjento del punto antl:rior en esJI misma direc\;i6u, que surge al aplicar la carga exterior. El ptimer miembro ue b primera ecuación es el desplu.amiento total uel PUllto de aplicación de la fuerza X,. en uirección a esta fUerZll, originadu por todas las fuerzas. Puesto que ell el sist.ema dado este despla'tamieut(l no t):tisl<\, ¡;c iguala 51\ oxpresión a cero. La segundri ecuación exprClln la condición de igualdad a cero uel dl:splazamiellto total del punto dI! aplicllción de X" \Jn dirección M esl:!. fuena, debino Il todas las fuerzaS. El senti(lo del resto de las ecuaciones está claro. Las dificultades del cálculo da !listemas hiperestaticos radica llO en el planteamiento de las ecuaciones, sino on su resolución. Cuando el numero de ecuaciones es pequeño, éstas pueden Har resueltas sin dilicultad por el m.:iLodo de eliminación suoosiva de Ins incógnitas. En el caso de UD número m¡¡yor de ecuaciones, se llmplollu métodos especiales que facilitan la solución (mHodo de Gau.'l.5, método do aproximaciones sucesivas, cálculo por modio de miíquilll{s, etc). I:;n el CUfl;O de Teoria de las Estructuras este problema se estudia con más detalle. ,. La técnica del ctlc)llo de los sistemas biperestáticos más simples, .la expondremos en los ejemplos siguientes. Ejemplo 7.11. c.:.nstruir el gráfico de los momentos flectorlls en el pórtico representado en la figura 7.22, 02. La rigidez de las secciones de las barras 69 igual. Resoluci6n. El pórtico tiene un grado de lIipereslalicidad. gn efecto, el número total de reacciones de apoyo es cuatro (tres en el empotramiento y una en el apoyo derecho). El número de ecuacione~ de equilibrio es solamente tres. El sistema bllse se obtiene, eliminando el apoyo derecho. como sa ve de la figura 7.22, b. La incógnita supérflua que compensa la ligadura retirada.es Xl' Planteamos la ecuación de los dllllplazamientos. Para ello, igualamos a cero el desplazamiento cn dirección a XI'
,,,
21r.
En este caso la ecuación conónica es la si¡,:uiente. ~lIXI+L\,q=O,
siendo 05" el ,Iesplaza,nienlo en dirección 11 111 primera ioc6gnit", oth:;nado pOt esla 1tlism~ incógnita igulll a la unidad: I,.\,~, el desplazamiento 1.'11 dirección n la primera inl.'ógnitll debido 1l la carga. P'HlI caleutar los deSpl/lzal\liento~ empleamos el método de MohrVercsh,:J¡aguin (muJt,iplicamoil los grlHicos), Eu la figura 7.22. e está representado el grMir.o de Joa mOlllentos Hedores dI' la I:al"gn y en la fignr.. 7.22, d, el grlíflco M, eorreSpon· diehle /l la fuerza unitarin XI = 1. 1'1'1"''' hallar el desplazamionto ¡¡,¡, multiplic1unos 01 gráfico 11-1, por sI misllllJ. obteniendo, 1
I
2
On-H'I1l 3 / .....
l~
"M,J'
El do.~pl"zumie"to !.\,q ao uhliene, multiplicando I"s gr>Íficus y M" tenit'f,do en ellent" que se encuentran a dislintus ladlJs d(l la !Jl¡rrll (l,ori7.onlnt),
Mq
I I/I~ J q/4 j,,/-- -7fT2l2-~ -7;l[T'
Así, ¡¡ues.
Oe llquí
.'>C
obtiene,
El signo poHilivo de XI demueslril 'I"e la dirección quC fu" olinlitidn para X" C'orrespooue a III verdadero. El j,robl(lma queda así rt'suolto. Ahol'a podolllvs ya construir el grú/k-o de JolI momenlos iJecto'"l:'s en el sistema dndo. La manera mi,; f~eil lle reolizarlo es aumeutar iu ordenRQus del gráfico M,3/4ql veces (así se obtiene el gráfico do MI) y sumarlas a las del gráfico Mq. El gtáfico 111, o)3t' repl"esentaf.lo on la figura 7.22, e. SUm~ndo este gráfico al gráfico illq , StI obliene el graneo Ml"'~l definitivo (tolal) repre.'lCntado en la figura 7,22. f. Ejoulpln 7.t2. Construir el gráfit_o de los lIlomentos fleetores en el pórtico lit! la figura 7.23, a. ReSlllud61l. El gtlldo de hipercsllltioidlld do tIste pórlico es tambión llno, En la Figura i.23, b est¡Í repreSentado el sistema b>:lSll correSpondiente o este coso, en 1R Iigura 7.23, e, el grálico de Jos momentos do la ('llrga y en />( figura 7.23, d, el correspondiente a In ineógllitll unitaria supé(flull. 216
La ecuación canónica de lo!! desplazamiento!! es la siguiente:
IS Il X.+A,.=O.
JI,
Multipllcaodo el gráfico
6,,-
por si mitlltlo. hallamOll
112
b".
41'
t
Tlzll""f L+ V lll-"31fT Jnullipliundo Mq por M •• ha.1laffiOS á 1q • Para multiplicar la pllrábola cuadrada por el trilÍngulo (en la I».rra vertia.l). recu·
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ol
¡-----'-'---,
d) ITTTITITT1rTT1"T1TI_'
• -.:=>
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'l ¡P-WJ.l.U.LW
•
",
", fll. 1.21
rrimos II la taula de l!IulliplicJ:lcUm de gráficos. l'CIICIllO
-e;
1 U 1 ,,11 li"l""'" - 7 ] " ~ 7-7[72
Por lo lOll .......
x.""
",,1'
"
- -XF.7'
Aumentamos las ordenadas r1tll ¡,I¡Beo 111 \o ~~ql \"er..cs (lig. 7. 2;-\. e) y 11111 lll1mam~ 1,I 1'11 del ~lÍlieo M". El .rlifioo llofinitivo de 1011 lIlomentos se da en 18 filf\lrll 7.23. J.
";jrmplo 7.13 Con.struir el graneo de los momentos l'lectOre:l parll el párlico de la figura 7.24.4. RtlOllldÓll. El grlllllo de bipereslati&idlld de eshl pórtico ea dos. En l. figura 7.24. b est.á representlldo el si.-;lema hase admitido. formado por uTla barra quebrllda. Las eeuaciunes CilDonic.as par. el lIistemll de \Ios inc6gnitU son,
IJ"X, -i.b,sX~ 1-/\,q"""O.
¡¡"X, ¡.6,.,X1 +á",=O. l~o. pdmerll el;ll(u::ión 8Xpr8ll11. 1u condición de Iguoldlld a cero del Illlspla7.llluil.'nto en dirección a In primera incógnita, originado') por
todos 1l\~ flll'r1.1I~. La lIogunda ecuación cxproSlt la co"dici611 de igulIhlod a cero dcl desplnUlmiellto en direcci6n n 111. f4l'gunda incógnita, originado por tod"s las fnenas. l"os eoefieieutcs de laJ! eeulI('iollcs se clllculatl multiplicando los gr:ificos. Los desplaumientM 6 11 )' 6 n se t1eUOmillan dv;plnamientos principales y 61t ). 6,,, auxiliares. SegÍln el t.eorerua 0.18 )laxw('i1 118 reciprocidad de los despl:aamientos, tenemos: 6,,=6,;,. EIl:r.ifil"o .te los llIomentO$ correspoudienkl 11 la cUHa, así como los de lu inwgnitu aupérflllllS unilarias, esl.fon representados en la fignra 7.24, c. d. ~. )tullipliundo ,,1 grlifioo
."1,
pe.r si mismo, tendremos:
6\1 ... :J"::J (vtlase el ejelllpln anterior),
"
6z, = :JiU (\It1l\St' el 1
mislll<'>
ejemplo). ¡"
1
611 - 6:. -U"2 lll =""fiT ' 5~
6 1\1- -11
la '
."
6zq=-4EJ'
Introduciendo esto! resultados en l' y 15i1;nplifiC&ndo por V . bailaremos:
.;. X,+
-t X'-f ql =0,
'x' '+T'X' ""'i
'"
la., e.cuaciones C8.oonk->'s
' 1-0 . ,-,q
2t~
,
Xt=TQ1,
,
, '\:2-2ijQI.
MullipliCllodo 10l! grlilicosunihrios M, y M1. por X, y
x.s•
~
pectivamellle, se uhlienen Ins gt'áfico! MI y MI (lig. 7.24, f. g). El q-rUir.o definitivo de los momento. necloros representado en la riloluno 7.24. 1r.!IC baila sumando Jos WUicos N h Al. Y M."
§ 611. Ublclci6n rlelonal d. los .poy" de '" 'ilU DI'Mle el punID de vista de Ju ecollomf. del material, ticue gran importalle;;> In ubicllción cotTeGta fiere 11 las vi~s tlStálíeamcnto determinadas (isostlÍlicu) y
Q
In~
hil!cres1liticllS.
f:n UII(\ villa Jlimplemente Ilpoyada en sus e);lrcmos }' !!Olicitll,la por cnr;:n un1formcmente distribuida, el momento f1e¡;tor mlÍ.xitno (rill. 7.25. 11), tOUlo se sabe, lIurgO 111. el medio del vallO :1fmh No C~ L1iUciJ dlllll.)~trnr que eo la vll{a de i"ual longitud, pero ()OlI voh¡db.Oll (fig. 7.2:;.11), el momento lJ6Clor ~ menor. I~t valor milliroo del momento !lector máximo ~ obtieuo cUllfillo el mOmllllto en la sm:óón uel npoyo es i~unl 01 mOll¡ellto lOaxlmo en el VUIQ. Esta condición se cumple cuando ll! 10llgitud de cada uno de IOll vol:ldi1.os es O.2U71. El momcnlo má:J:imo obtenido cn esto
'!!;.
C/lSO
C~.
."
M.....~=~. Así, pues, ubicllDdo debidamente los apoyos, !lO copsiguo disminuir III momenlo fleclor seis veteS', aproxim.damoote. Se I"llOOmiendll al elItudiante que e...1cuJe, él mi~mo, la longitud mis conveniente de la vigu de un volllldl:ro. solicitadll por una carga urtifonnemente distribuida. En el Cl/ISO dl,l una viga hiperestitica de d~ vano:> se requiere operar con tre5 1D0mentos fleclores distintos: ,tI A, (,\le - M A,). M JI Y el momento en el ya1l0 .41. (Hll" 7.2.6). Para que lA viga tenga la mínima Wu16n, constante en toda la lon"itud, ('$ necesario cou!leiuir qoo aean ill'Hales do, moml!ntos mllximos de 1015 Lre" inilicados. Se recomienda también al estudiante demostnor que el v.lor mínimo do Jos momentOll flectore!l máximos resulta cUlllldo In longi-
'"
~ , ',
• ,
,
,
,,,
aiiíJ/t
b)
Fil. T.U
al rTTTnTn"1TrTTITTTn"1TrTTTP1cfí'm
r".1.1I
2'll
..,
tul! de 1u.'S voladiloll es O,I,I)8t Y.
entonces. J\f A
~
111 10
OC<
.,.
TI ;
Jf.... ;y;. Pora una vig:! de dos "lI.nos de lA misma longitud (O,(iOSI·2 + 2l). pero sin yolauil.os. el "Iomento rJeGtor máximo tiene lugar en la ~ión sobre el apo)'o intermedio (véa~ las figuras 7.26 y 7.2\)
+
y ".
Así. I,ues, ('JI eslo CllSo. la introducción de dos voladi1.os permlu! dismiuuir el morncllto do cAlculo tre!! "lIces. En una viga de \UJJ vano~. :;j" voladiros. 1/1 dll'isión en VII nos más favorable está repr&.-.enloda en la figurtl 7.27. a y en Ullll de cinco vanos, en la ligura
7.27, b. El Ilulllillis CQrrllspondicntc ])(,rmitll establecel' 1", ubicac;ióu m/i9 CÚII\'cIJiente de los apoyos para otros lipos de soliciLaoión. SupongaIDOs que. por ejemplo, la, terga (le intensidad q puede ser llplieada cu:dquier tramo de la vigll. Al CllTgBr Jo.'! "olatllzos (fig. 7.28. al
Il.
con la cnrga ql' obtendrem03, 'J'
q."t " ...." .... :r.
Si "' «lrgll. el tr..UtO Clltrc los apoyos (Jig. 7.28, b) con la carlf:l
Q1'
'mtoraees.
M;...:ro =
"'t .
Igualando los vulol"CS mál:;mo.'l de los Ulomentos, se outieno la JOllgilud óptimll del volad¡~o.
a
=~-./1i 2
V
q, .
~s nece~ .. rio
señalar que no siemprl! re~llltll decisivo el cálculo pOr los momentoll f1llCtores, toS decir. por rcsistton~ia. En /llgunos casos, la colocación do los apoyos 80 dehll relllizll-r partiendo de la condición de rigidet. para conseguir (u flecbas mínimll.5. Por ejemplo, en Ja viga simplemente apo)'llda. :IOlicitada por una carga uuiformemente distribuida (lIg. 7.25, a), la flecho m6l:ima en el medio del vano es. V""'
~
q''''
0.013ql"
-astN= -----v-.
Cuando hay dos "oladiIO$, la flecha en el centro del vano dismi· ouyo (fig. 7.25, b). La longitud óptima del voladilo se obtieoe de l. coadlcion de Igualdad de las flechall en el eJ[ttemo del "oladllO y en el centro del vaoo. Por la fórmula univenal. omitiendn 10ll e.álculOll que se recomienda realiur al estudiante, se obtiene la longitud
",
Fig.1.21
" F"'""A,-----I!I-"""'{ I l. F
a
I
_¡
, 6)' : 1
'V' I Hm,¡'"T
l.
I
I
C!_-'~L'_~
óptima lIeI volndho, de 111. (\otldici6n Ull dgide1.. a. ~"" O.223l. Lil flecha m¡ixiTllll currespondiente a esta longitud rl"l voladi7.o es decir, 13,7 veces menor que la flecha de la dga sin vulntli1.os. Bllto 110 eS o:draiio. ya qlle la longitud de 111 viga figurH' en In fórmula de la flecha. cle\'lIda II la cuarta polencia, lo que (J1lÍcre docir, que nt disminuir la longitud de l:l viga dos voceS, );\ flecha ,I(~ la viga ,lísminuirá 16 \'eces.
e~ U.(l(XlD.l
rD '
§ &7. Formas racionales do las lecciones de las vigal
Las nuís COll\'cllielltc,~ t1c~dc el punlo ele vista dl::ll gasto de maL,,'dal. sun lils !,S()cciones de las vigils que tiene" la mayor parle det material si~tlada en 111.11 partos superior e iurcrior de la sección, doudl:! ras len~iOJleS son máximas, y el material, por lo tanto, se ajlro\'echa cull In mayor plenitud (fig. 7.2\l. a).
o)
Fig. 7.21 Para eValUllr cuantitativamente la eficiencia de una sección (partiendo del gasto del material) .se puede emplear la magnitud adimensional siguiente: w _ Ir",
'" 'vP" que se denomina módulo uniLario axia.l de la sección. La magnitud w'" depende solamente de la furma de la sección. En la tabla 7.3 están dados los ...alores do w'" para algunas de las secciones má.s difundidas.
TUla 1.! Valore. da 101 m6dlllol unltlrlOl 8.1111111 di I1 IIccl6a
Circulo r."lIdrado
0.14
O, tG7
Anillo (C-ñ-.O.!l)
0.5'
ea""l
0.:;7-1,:1;; 1,02-1.:;\
Doble le ordinari"
Como vemos, las secciones menos convenientes son: la circular. la cuadrada y las semejantes a ellas, que tienen gran parle del material conceutrado en el eje neulro, lluude el material cs~;, u"IJilml;lnte cargado (rig. 7.29, o). Las s{'(;ciones más l'onvl'uientes son las de doble te, e'lnnl· 'i eJl rorJl\a de caja (fig. 7.29, a). 'f¡elle gran illlportllncill. l¡ráctica el problema de la altura racional de la!! vigas de perfil de doble te, puestu que esLe perfil constituye el perfil prinei¡H11 para viglls, qUI' producen ¡.. s fábrlc-Ils soviétk,,~. Al resol,,!;:!" cste prublenHl, soo pOlliblcs 111:1 si,nplificaciones siguientes. 1. Se pued.e preSGind¡r del espesor del ala <5~ en comparflciún con In altura h~1 dellllma y, por lo tanto, la altura del alma k,,1 se puede irlentificll.r con la de loda la viga h (Hg. 7.29,0.). 2. Al calcular el momenlo de inercia do la sección respedo 111 eje neutro, ge puede prescindir del momento de i"ercia d!;:I ala reSp.:cto a Sil propio eje central. Tlc)l[i.mrlo en cucntll c~tas suposiciones, se obtiO:!lle para el monJCnto rle inercia,
giUfldo Fo. 01 ó;roa de In sección del aja. El moo\Jlo de la sección es, IV" -2J"_Fh+<\~lh~ T - o. -0-' luego,
.. C"n lB
la viga.
1 ~-39'
"0l1d;~i6n
<.lO$~Brtllda
lB p'c,(I,llido
Así. ¡m"li, el ,¡rol!. complctlt de 111. scceion SI,lra, 'H' U 2W", U~11I ·=.w-.-;-r. I _--¡- _ _
. . .... :':11'", ,_+ ,./,.+"31 h
h
al,
"
AbOu. estamos en condicione.!! de calculAr la altura JI, par.. la ella! el área de b. secci6n ~ minimll.. Par. 0110 es necesario e;;lablN:ct la relación entre el espesor del alma 6.. 1 y la alt.v.ra h. Ó
-
,•• , • • •, ,
I
I L.-
Q.J r /111111-)1
~
...
UJI-!f
..
jBn la rJgurn 7.30 ut' representada 6. , en función de h para las vigu de dohle te. De este I{rifico se doduco que l. relación entre 6 al '1 h puede Sflr rtpresent.&dtl, aproJ:imadllmCflle. por la f'Cuaei6n de IIn3 recta. que no pase por el origen de h.t coordenadas, ~l-o.+~h.
(7.M)
1.09 coeficientes a. y t'. plIru las vigas son, segitll el GOST 8239-56. a _ 2 mm y ji = O,Ot29 Y. ~gún el OST toot6-39, a = 3,66 mm. ~ __ 0,0IG7. Teniendo en cllt'.nta la relación (7.34) pOta 6. 1• se obticno pare el lirea .le la sección, k' 2W,. (i .3S) ~f o-h+.} ~1l1"
'-..,.
"
Igualaodo a ceru la Ilerivllda T-O. se obtiene la altura óptima 00 la viga, " (lI; ... ~ 2. R~~ O "' "-'3"fo,)p-1iI''''''P= . '
De esta ecuación cúbla se h.o.lla h 6 •• P:lra resolverla, se pueden tRlplear las tablas, o el m'todo de intentos sucesivos, o, por ultimo. el mllitorlo gráfico. Para ello se fijan ciertos valores de h,p, por la fótl:lIula (7.36) se calcul. W,. y se construye el gráfico de hl relaci6n eAlre estas dos mu:nitudea. Disponiendo de este gráfico. es Ucil rt.'SOh""r el problemD. t1lclproc:o: dado IY,.. calcular h,p.
'"
La curva 2 de la figura 7.31 representa la dllpendencia óptima entre W" y h, según la ecuaci6n (7.36). En la misma l,igura la curvo. 1 representa la dependencia enl.f(:l W" y h para los pcrtilc.s doble le, i1el GOST 8239-D6.
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1500
)50C
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Flg.1-31
Comparando esllls curVAS, vemo>, que la alturel de las vigas de la telhla da perfil"s lípicos resulta rebajada lln comparación con la óptima, lo que conduce a un sobregaslo del metal (10-20%). Cuando o: = 0, de la flírmula (7.36), obtenemos la fórmula aproximadll ",¡guiente,
'/3W, l¡f'
h",p~l
(7.37)
que se emplea, por ej"mplo, para designel' la altura do las vigas soldadas. Si el material tiene distinta re.sistenc.ia a tracci6n y n compresión (el hierro fuudido, por ejemplo), entonces la sección :'lÍmétrica respecto ni lljO nelltro se hace entieconómica. C:omparl:lfnos, por ejemplo, dos secciones de una viga de hierro f'mdido, una de perfil te y la otra, de doble te (fig. 7.32). EII la sección noble te (fig. 7.32, a y b) lns temsiones máximas en los fibras extremas son ig'Hlles. Las dimensiones de 1.. sección se dl
La~ tellsiones en las rilor~l.'j extremllS del ala .'lOn menor(,"; que IlIs de las mIras extremns del alnm. Por C.'lO, cuando .se emplean eslo" "igas resulta neceSllrio comprobllr la resistencia en do!! secciones, correspondiente!! al momento i1cctor máximo ¡>OlliliYo, una de dlas. y 111 mh:imo negati"O, la Otfll. Cuando el gráfico de los momenl().'j f1edOrcil es de un solo i!igno, conviene colocar el lila en la ~ona lraccionada )' ellllma eu la compri",idll. En ~te caso, se Jlueden c;.lcolar lal! dimensiones del nlrull
Fil.
7.S~
y .lel 1lla ,le lnl mnllcrn, quo 11l.~ lClls¡one~ de lrllcciún CI, .'it'lIn ¡I!unlos 10,1 )' la" de COIllI)¡"(~sióll o"." 10,,1. Por lo tanlo. el materi''¡!!l' ~'pro vceh" , de esta mallertl. caloalmente. M,í.'j racion,d aUll, I)or el !t"ast~ tic material, resulta, par:. las vigas de hil'rro fundido, 1" !leCCión rcp~ntadll en la figura 7.:12. ". PM/\
;l
• Fit. 1.33
el ospe.'lOr del alma SIl admite el valor mlnimo obtenido del cálculo por tunslones tangenciales y por tensiones principales. Escogiendo debidamente las dimollllionos de las alas, SIl puedo obtener 01 de~pla umieuto llCCC5llrio de la linea neutra, pMIl que las lensiones en lll~ fibrllS extremas sean igUllles a las admisibles a tracción y com prelliÓn. Al OllCOger la sección de una viga se debe tener en cuenta también, qua los momentO! flectores varian a lo largo de la viga. Por ellO, para economiur material, (l!l conveniente emplear "ilrols de sección vlriable (lig. 7.33). El mélodo expue~to do Inálisis de la racionalidad de las~iones, baSldo en I1 condición de resistencia, 56 puede aplicar también al IqUas de Li racionalidad de lIS secciones partiendo de la condición de rigidn, es decir, de la condición necesaria para obtener el área minima de la sección, para un momento de inercia dado.
Pueslo qne en este tc¡¡lo nrcvo no hay posibilidad dO::l 81nulizar esta importllule e iot~resfln:c l;ue~tjón con mlÍs detalle, proponemos al est.udiantll qUl! realic~' esta illve~tigflción por sí mismo. Se le
rec\)mif!l~tla
demostrar, particulnrmcnte. que en el cnso de
uoa ser,,:ión de doble le, la altura ópHmll, de la condición se obtiene de In ecuación,
¡JI!
rigidllz.
2 Il~' ':l: ho~¡¡-4J",= O. 1'"t'''óP+a
Los \'ulores de o: y~ son los mismos que anles. Se recomienda tanlbión delerminnr la ulluro tÍptirnll de la Sl,<,~i611 de te. Ejemplo 7,14. Hallar la sección de una "iga de perfil de doble te óptimo, para el ejemplo 6.10 del § 53. Resplucl6n. Por el gráfico de la. figura 7.31, calculamos h¡;p en rondón del módulo de la sección W", = 1125 crn~, obteniendo h óp = 1'\8 cm. El área de la sección, según la [óTUlul.n (7.a5), es 2 l 12'
,>
.,
F=----,,¡¡"-j-i-0,Z.1j8+i-0.012'J 48:=73
C0I 2
En el ejemplo del § 53 .ndmitimos un perfil doble- l~ J\~ 115 de area de secci{m F = 83,0 cm', lo que significa un 14% más que el área ópLima (según la condición de resistencia) de l.n SlJcciÓn. Por la tabla del surtido e10 perfiles del afio 1939 (05'1' tQOIG-39) 511 dehería admitir el perfil Joblo te N.lt(l, b, pilra el cual W,., = = 1 11,0 cUl~ y F = 94,1 cm~. Como veOlOS, el surtido <;le perfiles del aiio 11J51;) (C05T 823~-5G) es mós económico que el dd 11J39.
CAPITUln '1111
HIPOTfSIS DE RESISTENCIA
§ 68. Proptlsito de In hipótesis de resistencia Hasta aquí, veníamos e..~tndiundo los cálculos por resistencia, cUllndo 01 malcrinl IlstllLoa SOrnlltido 8 nn estado tensiollld monoaxia I (tracción. compresión) o a un estallo bidimensional muy simple. cuanclo las tensioJles principales eH cada punto erau de igulll magllitui!. pero do siguo contrario (deslizamiento, torsióo). gl planteamiento do las eonrliciones de re.~isleIlCia en estos casos lIO presentaba alficn Itades. Para garanli7.ar la resistencia del material se reqlH~r¡a que la ten!'ión normal maxima (on el caao de tracción, compresión). o la máxima tensión tangencial, 110 fuese mayor que la correspondiente tensión admisible, cuyo valor M establecía por el limite de fluencia o, por el (Je resistellcill oorreapondiente (para los materiales frag¡Ies). del¡,rminados experimentalmente. r.liis adelante, al ostudiar deformaciones más cOmplejllB, como la lor.~i6n con flexión, pOf ejemplo, y otras, nos encontraremos con estados lelL.~ionnles miís complicados. En 1" Iigura 8.1 e~lá representado el caso general de un estado ten~ional LriilirnensioMl, así como el plano on el que actúa la tonsión tllngellcial tll"xima. Recordemog que anteriormente se admitió la convención siguiente para dc~ignar la! tensiones principales: al Jo aJ (teniendo en cuentll el signo). Surge In pregunta siguiente: ¿Qué tensiones alU"" a, llm Y a3l1", se desarrollan cuando se llega al estado límite del mnterial, es decLr, cuando occurre la rotura o comienza la lluencia? Hespondl:r a eslll pregwlta significaría también n:solver el pro· blema siguiente: calcular los valorc.~ seguros (admisibles) de las teMionllS principales o" (J. y OJo El problema planteado es muy complejo. La manera más segur¡¡ de resolverlo, consiste en ensayar una probeta, con la relación de las tensiones principales dada, hasta su rolura o el comlento de la f1uencia, y establecer. de e5tll monera, los valores límites de la.~ tensioue!' principales y, dospués, los admisibles.
;.. °,:;"
230
Sin embargo, 1105 Vemo~ obligados a recha"tllr esto,método, puesto que cada combinación nueVll ele ¡liS tensiones, reque"rerla un lluevo ~ns[\yo.
Al mi8mo tiempo, la realizadón de estos ensayos requierll el empleo de máquinlls '1 dispositivos muy complicados. Rellulta necesario, pOf lo tanto, .disponer de alguna hipótesis (teoría), que permita evaluar el peligro relacionado con el paso del mllwrial al estado limite, en el caso del llstado tensional compuesto, sin T(!Curr¡l' cada vez a ensayos laboriosos, limitándonos a los resultados de los ensayos más elementaLes. es decir, a los ensayos de estadoll tcnsionala9 monoaxiales. Fueron propuestas varillll hipótesis oe este tipo y continúan las invesLi_ gaciolJes en esta direceión. Esto !le explica por la complejidad de la naturale~;1 del fallo. De~dll el punto de vista lisieo, la destrucción del material cons~te en la separación de unas partículas do otras (la, as! llamada, destrucción frágil), o en el deslizamiento de las part{culas (denominada degtrucfi¡. 1.1 ción dúctil, acompaiiada de grandes deformaciones plásticas). La complejidad del problema consiste en que un mismo lllllterial en coudiciones de ensayo diferentes (temperatura del Ilmbiente, velocidad de 111. defofmación, etc.) y para estados tensionlllcs distintos, puede destruirse de una manera frágil o dúctiL Al miSmo liempo, en algunos casos, puede ocurrir la rotura de tipo comuinado, cuando en unas zonas la dt\strucción ocurre como resultado de la separación de las particulas y en otras, como resultado del desli1,amiento. Esto demuestra quo la naturaleza del estado limito del material y las condiciones necesarias para que éste pase al estado limite dependen de muchos factores. Es lógico considerar en calidad de estos factores las tensiones (normales y tangeociales) y las deformaciones (lineales yaugulates). Fue propuesto también admitif en calidad de criterio de paso al estado límite, la energía potenciaJ de la deformación. La idea de las hipótesis de resistencia, que en adelante se analhao, consiste en que cada Ul\a de ellas escoge, de la gran cantidad de factores que influyen sobre 1ll resistencia del material, uoo, ignorando los demás (subrayamos que aqul y en adelante, al hablar de resisteneiu, tenemos en cuenta tanto la destruceióII, on el sentido propio de la palabra, como el comienzo de la fiuencia), A medida que se fueron acumulando datos experimentales, se hizo evidente la necesidad de emplear hipótesis de resistencia más complejas, basadas no solamente en los ensayos de tracción y eomprt'-
"
•
"ión mOIl/)llxi,lIC'!!, lIino tamLién en los en!.ll.yos de estado! ten5ionelt>s compuestos. W llelCuridarl .1e UnO. u otrn hipót is de rOSilllenCla se COJllpruCbll experimentalmonte. I-'Of eso. allt~ de V~f a ht eXpoi!lieióD de las hipótesis de rc!i!tenei8, analir-II11IOS los l'e!IlIhedG.' de algunos ensayo! de estad(li!l lelUionales biD;'(illlell. Los OlrtadOll ten.i!liOOldC5 biDxial~. p!lra di5lintas fl"lncione! de la! tellsione5 prineilllll8!l. se obtienen "011 It'llIti\"t1 rllcilirllul, I!llsayando tl.Ibo.i!! de paredell dclpd,lll, lIOwetillul< f\ l'rt'l!iÚll ¡"'edr.r y n 1:'1 l...;.ción de 1ITU' f"er~a a}l:ial, simuitlillt>lIi!1.
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Lo~ res"ltlldo:< de Jos enSlIYos I,,~ ropre~clltllmos gr¡JIícao\Cllte (ng. R.2,), mcdillute el diagramn de 111 ull¡lt:'nllcncia entre 105 \"alO",5 de 111.$ tensiolle.! principales en el momento de la rotura. o en r.1 del eomielllo de la "lIeneia del material (es decir, el flilllgTilma de I:l relaeiol1 entre los vlllores limites do lal< ll'n!liont'!! prineipalt'!!). Enl(lQces. la tensi6n limite eOtl'\'$pondiente • la tracción mono-a,.¡:1! SIl representari por Ja recta DF (si el eltmcnto representado en la ligura se trlllc;eionll en direcelbn vcrtical), o por DA (tn el eallO de tracción del elemento en direceiÓ'1 borir.ontAI). siendo, parn JOi" materiale!l lsótropoS. DF = DA. La. longitud de e!ltos segmentos tS IgullI al limito de resísteDeía o al lImite de f1uenclll, de lo. tracción mOnoaJ(IIlJ, según ei estado limite que se analice· .
• Al cOll~ttlllr 01 diagrama en eUe'lli60. !lO altora p.rcioh"flllh In rOl{la de anotación de lu tens;onllll vrlneipRlllH. As/. por ejompl .... en el c""drAnta l. lu .bseln!l deles pun~"" COrT(IlIpondien~8SQ cualqUier .Iado tension.l bluliIJ 1M l¡ueles al v.loco limite de la tenei6n prinelpal, que ectiJa horizontalmonte )' quo.o dee.lgna por f7~J"'''''e la r8""_lIfltacloll del .IQllenlo traccionado en el cuadrante 1), a plIlIar e que, plU"a 11)1: puntfll!l qua se eacuentr4l' pCIf dobajo de la Iílle;l. punte«d. OC, o,. > a" f)I: dacir. al .tOllUte rlgurOMlmenta e le regle d" 1.. noteclQllos. "deber!a conJIldeJ"v CO
'"
Cuanrln ~e lruta de comprt.'8ióll munoaxial, In tensión ¡¡milo se represento flor el segmento OB, " por el segmento OK. Ens8yom"s' lI.hora 1llla probetfl sometid.. a ciert,o estado tensional biaxia 1, I'on,jernplo, a un e~t;:¡do tul. en el que la tens;Ó.n o'>. Al crecer, !~ea siempre cos vece8 mayor que 111 tensión cr,. Al alcantar ostas t()",~iones ciertos valores, POl'ojeml'lo O;llm Y O.lhn, OCl!~Tiró la tlestrued61} o la fluencia del material. Situemos en el diagrama el punto E, r,uYl\S coortlolllldas ~n oj,llm Y O~Jlm' Realizando ensayos semejantes para otras relaciones entro la~ tO;lJlsioues principale5. 5ituando en el diagrama los puntos correspood¡enles y uniéndolos entre si, obtendremos ciurtu linea KFCAB qne denominaremos di8grllmll de las tenllioneslímllell En el CIl50 de ma1.ori"les is6tropos, 1" liJJoa a-a es, obviamente, el eje de simetrlll ne este diagrama, rosultando suficiente construir In mitad del diagralnn Ile las tensiones limites: CEFK ¡; CAB [el caso de compresión biaxilll (lIT cuadrante dol diagrama} no se IIndi7.lIl. J,os puntos situados e1l el primer cUlldrante del diagrnml\ carllCte· rhnr"n 1.. tracción hilJxial (o~ - O: 00; > O y 0. > O); lus quc se enc.uentrlln en los cuntlran~",s~egundQ y cuarto, la tracc¡úlI-compresión billxial (o, > O: o. = O; 03 < O); los situndos en el tercer cuadranle, la comprosi6n biaxinl (o. < O: 03 < O: 0, = O). En la (¡gllra 8.3 e:;tú representado el diagrama dc lIos tensiones límites para el mat.erial frÓªil. hierro fundirlo gris. La composiciún quimic.Jll-O,52%. So e"~"Yllr()l\ lullo~ de nierro fundirlo do díámetro exterior, 111 mm y os de 3[) mm de diámetro interior, con pllred tlll de t mm do espesor y de 220 mm de lon¡;:itud. Las pr(JbetllS de yeso quo fueron lundidas Uf! yeso medicinal, eran tllmbi';¡Il de forma de tubos .le 39.5 mm de dilÍmetro interior y de paredes de 3 mm de espt'sor Por ser la m{,({uina de ensayos de potencill insuficiente 110 so consiguió recibir para el virlrio puntos intermedios elllre cr~ ... ~ 3D kgrJmm' y cr, "" ~ fH.S l
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De b filtura 84. a se ve que ~rA el vidrio, hasta 111 ltmslulI a, -= 30 kgflmm', la tensión de tracdún (J, = 4 kgt/mm' tenl». un plIpel decisivo. En el caso del )'cso, hasta I,a tCllllión 0, ~ _ - 1.2 k¡::f1mOl'. el papel dec;isivo corresponde a la tensl6n de tracción 01 _ 0,4 kgflmm'. El tercer cuadrante (compresión biu:ial) no se analhÓ. En la figura 8.5 están dados los re:l1llto.dos rle los enuyo.!l para el acero y el cohre, q\IQ pertenecen 01 Ilr.!lpo de malérialc~ pl(istlcos. En este caso, on los ejes do coorlienadas no se ubican 108 V~ lores fiLHlolutos do h.s tensiones límites, sillo sus cocientes con el limite de lluencia a tracción (compresión) monolllxial. Del rlia¡rllma .!le desprendo, que los puntos experimentales ~ ubican .!!Obre cierta cuzva CKADB. Esto testifica que, a diferencia de los dlarumas anterioI'Cll. en este caso nin¡una de lu tensiones juega un papel declsi,,:o. Plttt el cuo del estado teosional tridimensional, existen mucho mImos dato., elperimentlllt5 que para el del estado tensional pla,no. Se han realhiado en.s.ayos sol.menté para un número limltlldo de cambioacionel de las t.ellsíOIll'!1 llrincipnle:s. PMlcmu!J ahora ti la expo~ici"'n de lai'! hipblo"is do nl.lliShHlci;, fundnmentlllM existentes. Algunlli!i de ella.' !l6 co"lirrUIIII por I()~ ensayus tRnlo Como hip,'itesis qUi:> dolermiunn In resistencia dcl mt'!Lednl n 111 delltrucción, como hiJlÍ>LC.!Iis que delermimln 111 resisloncia (1<'1 mllterilllll 11IIdeformllcione!l plasticas(a 1:1 almrieión de la flueucllI).
+
= -
+
§ 69. Primera hip6tul. de re.lltencla L .. primera hipótUill de 1"C1Iilltllncie se 11enominll tambi';:lI hipótesis de las tensiones nonneles múIlma&, pUl:!lItO que se admhe (0111" criterio de rellistellCia. hl teulIión nOtlnlll mit:
(8.1)
ll,. el valor limite de la tensión norlll.1 miixima (de las tres) (en el momento del fallu). 0ll.... 1;, tensión limite puta la compresión u trnwiólI lIlonoaxilll (Iimit~ ,le rei'lislencia). El dillgraulIl do ¡:le teolliolltls IbniU!s sevún 101 primera bipótl!.sis de rl'.!listcncia I!stii representada en la figura 8.6, a y t'OIlSl.ll do 1;'15
.siendo
a",b
rf!el.a~.
1.2. 2_3. J-4 Y }·i. Los se~mentos 0.4 =OF represenllln las lcnsioncs límitf'!> correspondienl['s 11 111. t.rlleeiGII ","n'III,¡"I; 1,,,,, lll'1t"'l'nlos OO_OK.
'"
11\ lem¡ión límile de la comp¡'esión 1I"'0......xiol. En el caso de rnrllerialt'JI frágiles, 08> OF 'J en el de rnlllerill.les pliisticós. OH_OF (Hg. 8.6, b). Dividiendo los miembros de la desigualdad (l':\.1) por el coeficienlo de seguridlld, oblendretn05. 0",1:1,-"; 101 (8.2) siendo Oll'lh el ,-alor reol mñximo de lit lcn!lióll prillcipai. en "lIlor absoluto, que surge en el puu«o pelivo!lO de la pletA: 101, el valor admisible de la tellsiÓn norlDfll. correspondlenle 3 la traccl6n o compresi6n menonia!. TCllil:u,do en ('.lIenla b, dcsigualdad (8.2), 1M l",ooe cnunCillt 1:1 primera hipótesis de Nl.'1i!i\.enci .. de 111 '"1l.llcrtl lIiguicnte.
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fII·'" r,Q rcnstnu:ia dd ma(t:ri,1! el. el caso de- /I/l. t$lado Unn.(>n.al Cl)mplJt,.. lo S(> ¡:ar"lln/iZll, si la tCllst6/l. ,wrmalnu¡xima no ubllla la t~ió,. nomurl o(/mili"'''. corrf'slXmdllmic al estada tendOllal mmU/axial, c..'mo \'IJIIl()';, c"trl hipóte:!is r.on.sidCI1l ~f)ll1.mcl\te la in(1uenrJn rio 10 tl'''llión prindlllll máxima (",n \-alor nhsó!uto), pl'1lsch,,\i(',,
§ 70. Segunda hip4tesls de resistencia Esta hipótesis se denomina también hfpólesi~ de 118 deformaclo.,es lineales máximlls. Segú}~ esta hfp6tesb, resls/mcla del moler/III en el caso de un ~8/(Jdo tensional compueato, re considrra garantizada si. la deformacMn lineal unitaria 1n
w
siendo r el la deformación unitaria admisible para Ja tracción monoI\xial. Soponiendo que, i[)clu~o hasta la rutura, para el material ell valida la ley de Hooke (lo que l's lldmisiLle !;Olarncnte pUl'a los materiales {ágiles}. podemoll pusar do Ja.~ doforrnaci"ne.~ ll. las lllnsi\lneS mediante lo ley gencrlllizadll de Hooke (vénso el § 20). De las tres deformaciu"",,,, f<" e~ y e." lli tonemos en cuenta la,¡ anot,lcione5 de l"~ tem¡iollo~ (al:" a~> a~), In deformación máJ(irnn, eh el scntillo algebraico, ('s e" (8.<\) L~ deformación admisible Id >;t1 uhticne do los I)tlsayos" t,·aeci.íu monoaxinl. Si parll las tensiones 56 admito el valor lal, entonces. llCgún la ley de Hooke, queda doterminado el valor a(lmi.~iblo de lfl, oJeformación.
'o,
[el=T'
(8.!i)
Por lo tanto, la conilicitÍn (8.3) 5ll puede expre!llir n través de las tllrlsiones, según In fórmula (1:1.4), de In formll siguiente: (8.ri) El primer miembro de la desigualdad (8.6) represen tu ciertA tensiÚll denouoinada tensión reducida o equivalente, La seg,mda hipútesis no se confirma por los resulta,los de los (Ins..'lyoll. En efecto, según esta hipótesis, la probetn que estú ~omotida a I-racción en dos direcciones deberá resistir rnnyor telllliún qne cnando se somete a tracción en ulla sola dirección. Sin embargo, los ensa· yos esto no lo confirman.
*
71. Tercera blpCite'ls de ruiatenclll
Según 111 tel't-era hipótesis de resistencia, dellom(uadll taml!jéu hip6tesis de las tensiones tangeMiafes máximas, la re:ú$(encfa delllUl.ferial cn el CfUt) de 1m estado lenstonal compuesto !/ti considcra garanli;ada. si la /lmsi6n Itmgendal máxima no es superior a la tensión tangencial admisil>le, estu/.Jlecida sobre la base de los ensayOll realizados para un estado tensionat mrlnoaxial,
(8.7) E.. ul § 18 SI:' ,Jemo~tr<Í
"T"oá.x
_1)"1-- 11.1
:.!.
La t6Jl:ltii Nlluciomlda t'OIl la ten~ión 1I0tlll!Ü lI
I'I=T'
que se
a cero.
deducc de la fórmula unl.erior, si se SUpOrtC en eHu u J igll"t
A!!í, pues, la conrliciún de resisLenci¡•. según la terr.era hipótesis, eJ'preS3d3 a tra,,';;s de las tensiones normales, se escribe así, U~"lo.=tll-a3
(8.8)-
P"I"" comparar esta hipótesis con 1')11 rosultn
""
Comparando el diagr~ma de las tensionM limites de acuerdo COA la tcrcera hip6tesis (rectllS CA y AS de la figura 8.5) con 10.'1reslIitados de los ensayos para mll.terilllcs plósticos, observllmos que la tereera iLlp6tesis, en lineas generales, caracteriu la rolsistencla de estos materiales a las deformaciones pllistlcas de una monera satisfactoria, en todo caso, de \lila manera mós acertada quu la primera hip6tesis (lineas CE y BE). En el caso del deslitamienlo puro (torsión), cuando a, = ... y a, """ _ "t'. según la fórmula (8.9) se obtiene,
2T,_a/> es decir, a,_0,5a" siendo "t', el limite de [(uencia por dcsliUlmiento puro, ('I/> el Iimitede,fluenciA en lH traccipn monoa."inl (compresj,6n,). Los en8aYos, pllT3 la mayoria de los aceros, dan "t,~. O,6"a/. La deficienda de la tercera. hipóiesis de resistencia consiste enque no consider~ In inllucnci~ de I~ tensión princip~l intermedia· (u 2 ) sobre la resistencia del fll;ltCrlAI. Actualmente, la lcrccm hipólcsi"'''¡e resisteuciH se empica Rmplillmente Pllr¡, los mal,erildes pl¡;slico~, que l'e resisten igualmen1.e1, lo tracción y a la compresión.
§ 72. Hip6tesla energéticas de resistencia Según la primen de 18~ hipóL.esi$ energéticas, la re"sis/'"fIcia del material en el case de un estado len,¡io/WI compuesla queda aJ!eguruda, si la. mergfa potencial unitaria de la deformaci6n no /1.9 su.pl:rior a la ener/!ia potencial unitario, admisible, obtenlda de los enIUIY0J! con estados /tmsionales mOl1oaziales, (8..JO) "
La energía potencial unitaria de la dclormacilin en el cMo do IIn ,'sllldo \l~IJsi{)n,,1
u
=
1 [o ~1 -1 21::
o~2 -
- (J32 ~? _/, (a,o,
+ 0"20", -1- aau,)],
(8\\ ..)-
Esta llIo¡fuitud es ~ielllpre posiliva. Por eso, la hipótesis cnergéigllal que la tercem, /lO considera la diferencia entre b tl'acción y la compresión, es rlecir, següll estll hip6Lesi!! se debe admitir qut!, liCH.
1011 - [
<=
[o].
LII energía potencitll unitnria Il.dmisible en el caso de un estarlot.en.'lioJJal monoll"ial. cuando (J, =' [al, a~ = (1, = O, SI' cakula por
la
misma fórrnuh, (8,11), (8.12)
Introduciendo el valor do l~ •.\1:1 la f6rwulu (tu 1) y el de .Je lA Córruul¡. (8.12), en lit fórmuln (8.10), obtendremos.
l'~l
o~ + oi -+ o~ - 2j.¡, «(J.o! + atO') + ora.) '" lal', o sea, (8.13)
Los elUlayos demuestran que si en Ullidad de criterio do resistencia no toda la eoergía de la deformación, sino solamente 13 pól.rte qlle está relacionada con la variaci6n de b. forma del sólido, tmIOUC811 ,;e obtienen mejores resultado.!!. La manera mlis fácil de obtener elihl condici6n, consiste en supoJler i!.JI la fórmula (~.13) tl = 0.5 puesto que cua.ndo tJ. = 0,5, el ....olulllell del 3Úlido 00 varia (vt;a:se vi ; 20). Por lo t.'l.Dto, la cundición de resistencia (en 8!lte caro. la condici6n de pIUlieidad), según la hi¡>utesis enerllética de la vJ.lfiaciúu de la forma (que se denomina tamoi,;n ellarta hip
(8.14)
En el rllllO pnrticuhr, cuandO' .'10 Ir;lta de p [anv (o~"" O), oblem!rc'llos,
{f''1''I~ =
UII ('st/l'~l\
V ur + a~ -a.Oto(.; 101.
lClIsionnl {8.1fl)
Pnl'G comparar estA hip(¡tosi>:j COII IU!4 rllllulta.ios do los ell8
plllntoomo.~
+ a in",-O'1l,,, 1f21hn-OU,,,,
3"
°11h..
2
(8.16)
.siendo am.., y (J,u... los valores límites dv 181 tensioncs principales. 011,"' c1 valor limite de la tensión en la tracción mooo"::lial (compresi6n). A esta ecuación, en el diagrama de las tellsioOOll Iimile<, le ea!'.responde una elipse (fig. 8.6, b). Compaflllndo la oondici6n de pla!ltiddad según la cuarta bipótasis (linea CKADB de la (igura 8.5). con los resultados de los en!l0Yos, ob8EIrvamO! \lna buen" coincidencia. Para el desliumiento puro, do (8.16), se obtiene 3'tJ _ aJ, de donde bailamos, 't, = 0,580:" resultado que 8EI "proIima al e:lperimentll.l. Lo8 ensayos confirman e.!Ita hipótesis, no solamente como hipótesis de_ plas\icidad. sino también como hip6te!lis de resis-tenCÍll de ma.teriales dúctiles, que tienen igual resisteoeia a tracci6n y compresi6n. En el caso de materiales frágiles, los resultados de 111 cuarta hipótesis nv son satis(actorios.
73. Tendencia. del deeerrollo de las hlp4tUI8 de n.latencla
§
r~sisl€mcla analizadas anteriormente dan resultao solamente en el callO de rotura frágil (primera hipótesis), o en el ca~o de rotura. ductil (tercera o cuarta). Al mismo tiempo estas llipó\.esis no tienen en consideración la diferencia de la rCllistencla de 109 materiales a tracción y a compresión. Avarte de las h.ipólesis analizadas, fueron propuestas otras muchas hipótesis. Algunas de ellas merecen lltencfóll, aunque no pueden ser expuestas en este breve teJ[to con detalle. En este sentido se deue destacar, ante todo, la hipótesis de resistencia de Q. Mobr, que constituye una generalización de la 'tarcera hipótesis ,'j que 'perJoite considerar la riiferencia de la resieteneia de los miJ.teriald a tracción ya compre5ión. S .. gún la hipótesis de Mohr, la conillcl6n de rl'~istendll se ellcrlbe en !l, forma siguiente,
Las hipótesis (le
dOl! ~I\tlsfaclorio~,
(8.17) ~icn'¡o
'11='011
["~l
'
lod. la tellsi\ll\ admisible a tracción; Icr~l.
la tlHlsi6n atlllllsible a compresión. Cuando \1 ... 1, la J¡ipóte~is de rllsistllncia de Moh... coincide con la t",rC"ra hipótesis. En el diagrama de las tensiones Ilmites. In hipól...,>:li:s ,Ic Mollr. cn el primer mm(lranle, coincide con la primer" y la ter(:era hipótelljs de rcsistctlcía (líneas Fe y (;A de la tigura 8.3). Eu 111 cuarlo cuadrante nos da la (Icpendeneia entre los valores limites de las tellsione;¡O,lln, y O~]jm en forma de la reda AB. Como vemos, en el CIl80 ne rmlterial~s frágil\:!s, la hipótesis de r.lohr da re~ultAdos satisfactorios. Merece a~ención tamIJién lo generalización de la hipótesis energética
-,-
1-' (o, + "1+(}~) +
++V(1
v)~ (a,+of+a,)'+4\1I
+ (J~ +o~
{o,(lt+Ot
":;;:[o¡),
siendo
Para el estado tensional biaxial, cuando 03=0, se obLiene, O"
,-. (Ol ·1" oz)-+ -r+¿
V(t
v)I(0"1+0~)1+4\1(af+o~ Olff¡) < [od.
En el caso de materiales de igual resistencia a tracción y a compresión, es decir, cuando \1 = i, la hipótesis de Balandiu coincide con la cuarta hipótesis de resistencia. Los ensayos demuestran que la hipótesis de Balandin, en cierto intervalo de estados tensionales, da resultados satisfactorios. Asi, para el hierro fundido, puede emplearse en la segunda parle del cuerto cuadrante de las tensiones (véase flg. 8.3), cornen"nodo descle el momento, cuando la tensión de compresión se hace igual a la de tracción. Al parecllr, también se puede emplear en el tercer cuadr:lnle (aunque 00 existen toctavia datOll eJl;porimentales suficumtcs para 01 tercer cuadr1\llte). l\lerecen atención las así llamadas hipótC!lis de r~islcl\cla unida~_ que fueron propuestas últimamente, donde como criterio de resistenei:! se considera, no un ~olo factor. sino do~ e iucluso tIl.!~. El [lrofesor Y. B. Fridman propuso unir In 8eguoda y tercern hipótO~IS de resistencia. El académico N. N. Davidenkov, basándose eu los en.S11yos citados anteriormente con el hierro fundido. el vidrio y el yeso, l'ro-puso ullir la primere hipótesis con la de P. P. Balandin. Por ejetoplo. para el hierro fundido, la primera hipótesis deberá eOlplearse para el primer cuadrante de las teus[ones yen la primera parte del cuarlo, mientra~ la tensión de compresión no sea superior a le de tracción. El académico N. N. Davidenkov considera que en el resto del cuarto (o segundo) cuadrante, así como también en el tllrcero. se debe emplear la hipótesis de P. P. Balandin. Fueron propuestas también o~ras hipótesis de resistenclll. El profesor M. M. F¡¡onenko-Borodieh propuso escribir la condición do reslstllJlciá en forma de un polinomio de segunda, o incluso, do tercera potencia respecto a las tensiones principales, que contiene cierto número de constantes arbitrarias que se determinan de los ensayos. en particular, de los ensayos del estado tens[onal compuesto. Sin embargo, los diagramas de la destrucción de los matadal&!! frágiles. expuestos anteriormente, indican de una manera clara, que la condición de resistencia del material no puede ser representada por lllla función coatlnua en todo el intervalo de los estadQS teosionales. Para los materillles frágiles pll-rece ser más justificada la hip6te:li~ unida de resistencia de N. N. Oavidenkov. Hemos analizado las hipótesis de resistencia, b!!sandonos en lo~ resultados de los ensayos de estados tensionales biaJl;iales. Para lo~ estados tellsionales triaxiales, se dispone de mucho menos datoJ'l experimentale,s., Los ensayos existentes testifican que en los estados 242
tensionaJes cercanos a la compresión triaxial, los maleriales. inCluso los frágilc5, son capaces de resistir
grand~
lcn8ionos. Al comprimir
uniformemente materiales como el acero, el cobre, el aluminio no se observa la destrucción incluso 11 presiones enormes de 50000200 000 kgf/cm'. Según los datos experimentales de que se dispone. se puede con, .'liderar que en el caso de materiales plásticos sometidos a un estado
tensianal triaxial, la hipótesis eoergé-
IAm I
~.IOQ¡'5'
tica de cambio de forma y la tercera
hipótesis de
~sistencia
dlln resultados
t
satisfactorios. En lo que ae reriere a los
ffill.tcriales frágiles. cnando las tres tensiones principales !IOn posilivas (de trac-
ción), aquf se recomienda la primera hipótesis de resistencia. Para otros esta.... -.w.w~1 dos tensionllles, muchos llutores recomien_ dan el criterio de resistC'nr.ia de !\Ioltr. Ejemplo 8.1 . Com I)r(.ba r, )lor la {;u¡\rla Fil. U hipótesis, la resjgtendn del material (acero 20) sometido 11 compresión triaxial' 03 = -5000 kgflcm'. o, = -4000 kgf/cm', 0', = -4 OUU kgf/cm', [od = 1 üOO kgf/cm". Relolución. Según la hipótesis de resistencia enérgetica de cambio de forma, la tl:nsióu equivalcntll es (fórmula 8.14), O.qwl. =
~
~
V 0'8 -1- 02 -1- 0', -0'30' -02"1 - 0 & , _
=V5UOO"+4000'+4000"
2
5000.~OOO
4000·40UO
/,OUO·5UOO
= 1 UOO kgf/c.m 3 < 1600
~gf/cm".
El> interesante serla13r q ue segun la primera hi¡Jótesis de resistencia, que en este CI\!lO no es aplkable, Ml obliene O',q.l. = 5 000 kgf/cm', es decir, una tensión mucho mayor. Ejcu.plo 8.2. Comprobar la resi~tencia de una pieza de hierro fundido, cuyo e~tl)do tetlsionol del punto peligroso, está representado en la Iigura 8.1. Lns tensiones admisibles son: 10,1 =- 350 kgficm" y ]° 0 1 = 1 200 kgf/r.m·, v = 0.29. Rtwlzu:i6n. Puesto que el estado tcnsional no cstá dado por las tensiones principales, calculamos prtviamento est~s tensiones por las fé/rmulas del § t9. Obtenemos:
o, =
-;-+ +V 0"+1>..-"= 1~ +-fr- 'V"oO·O··-'~4-."""~")1 =
= 50 -1- 20ü = 2::;/; kgrlcm",
" 'V--o'=y-;r 0"";"4..-"=50_206= -1511 kgrh"u". Como la ¡elIsión de tracción es. Cll valor a}Jsoluto, mayor que la ,je compresión, enlo1Jce., según la hipótesis unida Ile resistencia de N. N. Davidenkov, en este M!>O ~ debe aplicnr la hil"il..sis tle las 16·
~,3
tensiones llormlllC!I mA.limas, e~ decir, (Joqul. = 25ft kgflcm l < 350 kgf/cm ' . Así, PUC~. queda g,uanlizada la resislentia del 1TI1lterial.
Ejemplo 8.3 Calcular el coelichHlle de seguridad parll uno. pie~lI de hierro colado, si 011 el punto peJigro-w las tensiones principales son: a, = 2:"10 kgf/cm', O'~ = Ü. a~ '"'" -500 kgf/cm l . ";1 linlilll de r
1-"(ll,+OJ) ' V(I -vJ'C lJ,+o, J' +- 4 v (oJi+ " .oj-a,O'., , ) -=
+'¿ V(t
O,2il)'{2;>O
El cocliciellte do
Parll cum¡)lolrlt.r,
1.0,29(2:iO~+5UO"+::::;;u.MO)_ =27ü.fJ kgf/e,lII~.
5(0):
~(l¡¡\lri(l!ld cs, 11 =- ~7f:,
~Hlclllemos
- ." =
5,8.
cl coeficiento de
hipótesis
SCgUridil~t
po,' la
k¡¡f/clJl~.
n=l:J~ ..... ~.Ofl. A.'ji, ptll'S, el t!mp]'w de la hipúlo;
hipótesi~
do
resi~l.enCÍa
de Mohr).
CAPITUlO Il{
CASO GENERAL DE SOLlClTAC1DH DE UNA BARRA (RESISTENCIA COMPUESTA)
§ 74. Conceptos fundamentales HeRlos estudiallo cuatro tipos Utl solicitación simple de una barra: tracci6n (compresi6n) central, deslizamiento, torsión Y flexión plo.na. En todos estos casos, en las secciones tralliJvtlrsales de la borra, sllrgi3, bajo la ao.:ci6n de la carga, solameJlte UJI esfuerzo interior (fnena axial o cortante, momento torsor o flector). Solamente el caso general Je flexión piona (Flexión transversal) rCS\lltó ser unu exclu~ion. En este caso, en las secciones trallsversales de la barra surgen ~imultál\ellmente dos esfuenos luLeriore!l; cl momento lledor y la fuerza cortll,nte. Pero, incluso en este caS(l, en los cált'ulos por resisumda y por rigidet, como regla glmeral, se consideraba solamente UI} lJ~fuerzo interior, generalmente, el Dlomenlo fleetor. Sin tJmbargo, en la práctica a menudo se encuentran casos más c;ornplicado~, cuando en las secciones transversales de la barra, nclúan simultil.neanlente varios factores interiores (illfuerzos interiores), que se consideran coujuntamente en Jos cálculos por re.sistencia. por ejemplo, la fuerza oxial y el momento torsor, o la conl1>inaci6n .tt! Ires o más esfuerzus intetÍOI'es. Estos cn.o:o::J ~e i1enominan reslsteuda compuesta. El orden a re~olver esll.::! problemas l!S 1:1 siguiclll.O. Primeramenltl, por el método de 'll,~ secciones, se determinan los fnclores i.nteriorcs, que apareccn en las sCl:ciolles lrallsver5nles de [a barril. Si la r.l\rgll es complicflda, se rer.omienda cOllstndr lo~ gdlicos tlll los esfuerzos interiores, que lJormit.en determinar la p,,~ición de la seccion (leligrosa-. DesplIólS de osto. bllij.¡Íl1dose tJlI el principio de superposición de las ruenas, ~tJ cllleuln!! las tC\1siunes normales y Langencllllcs corre.~poud¡entes a t:ada esfl/eno intorior por :-epHr.,do, por las fórmulas obtenidas en capítulo:> RnCerioTe~. Anflli~allrlo la Ilistrihucióu de las tensiolle~ en la stJcc;ión, St: lmlla 0\ pllHto peligroso .. En algllll"" ca,.u~ r~uHa imp"",ible. "0" Jlh:,,;¡ s~guri",,<1, cHtahlecer por los grMk"l! de I.o.! >J;
r,,,"
L::n e. l'''' lO!' gr"licos, ~c "COKen <1"" (l ~·"CC" lIlúlll 5llCcJonC$ qu,' se ""p,-,"cn pcHgr'",,,s y 50 rcali,,, <:J ""Iculo pnra cada "na d" ellas.
(o !IUPUe9t1l11u!'Dlc pcHgm$O), p:lril .,1 \lu.al se plantea la condición de re5istcncill. Si rll!Ultll que en el plinto peligroso tiene JUior UD estado len.!!ional IOoDollIial (lrllcdón o compresión JQolloaIi..ales), enton<,cs par.. d cálculo porN!.ii>lUmcin es suficiente comparar la ten· sión normal total, que surge Iiln osle llunto (debida a todos los 69fuerzo~ intcriore~). con In admlslhle (lo,) o 1l1~I). Si el estado tensiODal del punto peligroso c!I biaxiAl-, enlllUCtl!l el ciilculo se dehe rl:llllíZllr CUlpl.,Hndo una u otra bipótesis de resbtencia. Comu se salte de lu expueslo lmleriormcnto, la c!occión de la hipótesis de resistencia se dclernl;fUl. ante todo, por 01 estado dol mlLerial (1'1&.stico o lrágil). Si se 1le('e:lita C11lcular unu u otro despuumieoto, elltOllCOS t8mbitll ~ rocUrri.' (11 principiu d" s"perp~ición do las IUel"Uls.
§ 15. Ejemplos de construccl6n de gráficos de los esfuerzos Interiores en barras de eje quebrado VoamO:l 1111 ejemplo de conslrucciun ,1., los gr;ifieo& de los mamen· tos tor!jQn.!s y f1cel.ores, asi como de las fuenas axiales, paro la barra de eje quebrildo de la figura 9. t. a. En ma miSma figura ~tí reprelOllntada el !i..ish¡mll de coo~dcDlull'ls.
J-y ,
~
p
<2> p
d)
d)
ril. I.i
El lUomellto lIeelor en ulIa l>Occión arhltrarla de la barra se obtiene como la 8uma algebraica de los momentos (respecto al eje corres~
En ~I dleulo de barra~ no se enClJontUrI CUOII ¡/l'J e!ll.a¡/o~ ten~i(lnde.!
trl."i.l~.
f'ondientel de laa flle",u exteriores, que actúan 11 una parte dtl la socei6n. Para no calcular previamente !.Ils reacc:iones en el empotramiento. se recomienda coger la 8uma de 101 momentos de las fuerzas que actúan sobre el llJ:tNlIlJO libre de la barra. El momento nector eo llna lIeC.Gi6n cualquiera del tramo AB, es M'II - Pu.l (ng. 9.t. Por .ta ecuación, en a parte derecha. de la barra (en l. (lb,.. comprimida), 5e eOll.!ltru)'Ó el gráfico /.1 114 para el tramo AB. Pa,.. obtener los m01llllnt()!J flet:tores en las seeeiones del tramo BC. conviene trasladar la hiena P panlel8mente a si misma del punto A al punto B. Al trasladar la fue"_ se debe .gregar un momenlo que se encuentra en el plano del dibujo, es \Ieelr, en el plano ZOY, y que es igual a M lI1 "'"' Pil' Puesto que el plano de acci6n de este momento e~ perpendicular al eje del tramo BC de la barra, el momen_ to tol'!iona 111. barra. LB. floxl60 ~e origina solamente por la fuerza P. Por eso, 01 momonto fleetor en 18 sección de abllCi.!lll UI es,
bl'
¡\1... _P•. I.IlS fibras comprimidAs fiel trlllnO llC
D.D. l·ncuonlrAn a la derecha dOnde 8(l conslruyil el gr,uico J\1..~, tu}'a ..rdeni\dll má.:l.:ima es P~. Do ulla 'lliUll,lrll. nmil"ga Sll construye el ¡rliBco de los momenl.llS r1cctores para el tramo CD. l:"ana ello, \rnlsdalJlll5 la fuerza P y el nlomento llfw• = PI. del punto B al punto'l C. En este último actúan la fuena P, dirigida a lo largo del Lraroo CV, y dos mOmentos, uno de ellos M •• _ PI, que se trulada sin ea,nbio alguno. y 1)1 otro M", _ p~, que re!Ulta al trasladar la Clll)rlD. P del punto B al punto C. Eslos dos moment.05 1)(1/' Y M!1:J (en la figura no estin representados) encorvan Lo¡ baO'1l: el primero, en el plano vertical y el ~do, en el horbonta!. Los col'Tespondientes gráficos de los momentos Ileetores para el Iramo CD c~t{in represeoto.floscn la fIgura 9.1. b. Estos estAn coostruioos en la parte de la! f1bt'B.'1 eomprinlidas del tramo. Con~lruy!lulOS llhorll el gr~Jico de los momontos tor!lOres. La berra (ln el tromo AH no sufre torsi6n, puesto que la fuerza P lIe Cllcuentra en el mismo plano que 01 elo longitudinal del tramo AL/. El momento torsor en las secciones dol tramo Be es.
El grMieo M,o'
l!oll
J¡1 "" ~ ,ti~, = Pl,. puede construir a cuolquler lado de la barril
,till'. 9.1, c). El tramo CD no sufre to1'llióo, puesto que 1, fucrJ:1l P c:s paf8lel• • ~u eje. Conl'lLruim~ ell0r! el gráfico de I.s fuerus axiales. De la colldiciun de equilibrio de Ins partes !:M'pllrndas. proyectando lall foen&! 4 Ln dlstanciu de uao de 1.. .uln!IDOII del lumo dado ""'''''li6n H deo
;<
la H(,d6......
sobre las direcciones dD los eje\! de lo\! distinlos tramos de la harra, obtenrln)mos (fig. 9.t, d).
J.YA/'=O; Nnc=O; Nco=P
(tracción).
1;;1 gráfico de N
§ 78. Flexión en dOll planos (Flexión de••lada) La flell:ión desdada aparece cuando las fuerzas'.:exteriol"t'.lo". que son perpelldicutllres al eje de 1/\ b/\rrll, no se Ilncuenlrllll en Ull plano que pllSIl I,or un eje principal dl! inercia de su sección trtlllsversnl (fig. ~.2). EII este caso el mOlllerlto flector que oparece en la ~cción
fig.
9.~
transversal .se puede d~SCOluJH.>II"r ell dos monlcnloH fleclores, que flctúan en los planos que pasan por los ejes principales de in.,rcill de la sección. Así, pues, la flexión desviada se puede considerar como la combinación de dos flexiones pl/lIlaS en plauo.;; ortogonales. En la flexion desviada las tensiones normaleló, en cualquier Plinto do ¡ .. seccion tnulsver.w.l, serán igunlll.!! a la lIuma algebraica de las tensioulJ,s originudulI por los momentos flectores que actúan en los dos plauos. Veamos, por ejemplo, el punlo dllla acCCJOn de apoyo, de·coor~ denadas ;¡; e y, respecto a los ('les principales celltrales.
e
En esta sección: a) el momento f1eeto~ que surge como consecuencia de 10. flexión de la barra
(!11
el plano vertical eon el eje neutro ¡\f % =P~I-
:1:,
es
Feos 'l'/:
h) el momento fleetor. originRuo por la (lexión de la bnrrll. en el plnno horizontal de eje lllJutro ¡J. sen;. Ilf~ = Phl-P sen ",/.
Aquí, Po Y P¡, son las componentes vertical y horizontal de la fuer1.0. p¡ 1, es la longitud de la vigll. En la mitad superior de 111. viga yen el punto e inclusive, como consecuencia del momento f1edor Mz. surgen tensiones de tracetón. mientras que en la mitad inferior, tensiones de compresión, puesto que la parte conveJ:lI. de la barra es 111 de arriba. El valor de las tensiones en el ptlnto e se obtiene por la fórmula. (lile ya conocemos de 111 teoria tle Jn llc.'(ión plana,
"J x lJ'''---7;Y'
e,
siendo y la dislnl1cia del ejo lIentro x al punto J~, el momento de inercia do la secci6n lrl)n~ver:'llll respecto al t':je z. En le mihrl dorocluo. da la vign y, por lo tanto, en 01 punto tambi~n. coma consecuencia do la aoo¡6n del momento Hector M}I' .'!urgirlin tensiones de tracci6n, mientru que un la parta itquierdu de hl viga. ~ensiOlle9 de compresión, yo quo la parte conve"a de la viga, 1m le f1t:xión en el plano horizontal. so encuentra u lil derecha. Es fácil ¡;onvencorse de esto, t:ncorvnndo une regla esbelta en el plano horizontal. El valor de lu ten.'!¡ones en el pUlItu C. origí lindas por el momento fll:ctor M u, so determina por la fórmula análog1l a la anterior, Mu o" =J;;.1:,
e
siendo x la distancia del eje y (la línea neutra en la floxión ell el plano horizontal) al ¡JUnlo C; J u' el momentodl,linercill de la.'$(lcción trllnsYcr~1 de la viga, respecto al ejo y. La tensión tot,,} en el punto sera evidl:ntemllnte.
e
M.o .I/ u O=--'~--x. J.< . Ju
(!J.I)
Estas fórmulas ~erán vididM Lambién para cualquier otra forma de 1/1. seccióo tle In "igll. Si la sección tienlJ pUrlto~ angllJares, en los cuales se liene .:rm~. e Y.tlh s.imulllÍl1eamenle (rt>etá ngula, Jable te), entonces la~ tensiones
milximas, en valor absoluto, a.pllnlCen pre<:iso.mente en estos puntos, múJ(
;1/:<
j\f U
mi" cr=±W;±""fY;'
siendo
2" lV*=Tcl
módulo do
(9.2)
lo sección respecto al eje :r,
Wy= 2~~, el módulo de la. sección respecto al eje y. Es obvio, que serán peligrosos aquellos punto!> angulares de la sección, donde se sumall las tensiones do un mismo signo. En el csso representado en la figura 9.2 puntos de e.ste tipo son B y E; el punto B so encuentra en la zona de tracción y E, en la de compnlsiún. Por eso, las tensiones en los puntos B y E serán,
,
•'.
u
(lo _ _ M*·_..J.. _ /lf_
IV",
Wu
'
M", ,ll u
Para ulla 5eceif>t1 orbilraria, que no Ul)n6 ullgulos ~alienles. resulta neee¡Indo establecer previamente los pUDtus «peligrosos~, es decir, llquellos pllnlos de la sección. donde actúan las tensiones máximas de tracción y compresión (ng. 9.3). )<~sto !le nlaliza de la manen. siguienFil. 9.~ te. Primero 1!C llalla la posici6n de la línea neulra en 1ft flexi6n desviada, es decir. se halla el lugar geométrico de los puntos de la seeci6ll, en 10Jl l;uales los lensiones normales son iguales 11 cero. En otraJl palahras. se determina la Hnea que separa 111. parte traccionada do la sc¡;.. ción, de la comprimida. Supongamos que esta linea es n-/¡. En la flexión las tensiones crecen 11 mccl ida que nOl! alejalllOs de la línea "~utr¡¡,. Teniendo eJlto en cuenta, deducimos que los puntos en los que se dehe comprobar las tansiones, son los más alejados de la Hnea neutra, es decIr, los punto K y L. Cuando el material trabaja igual a trllcci6n que a compnlsión, el más peligroso será aquel de los puntos indicados, donde surge la teusión de máximo valor absoluto. La ecuación de la linoa ¡teutra se ohliene, igualando a cero el segundo miemhro de la fórmll!a (9.1),
ó
M" 250
.
• K'o) =0, (-¡-+y,
(9.3)
donde
y ~ e V. !(I1l la5 coordenadlll.!l (·orrientes de los puntos de la 11I1I'!1II neutra. PUe.!lto que M" # O, entonces. K•
..!!..+ __o -O. 1"
1,
(9.4)
Ella eli la ecuación de ~a linea neutra. Como vemOl, e!ta e.!I la ecuación de una recla que pua por el (Irisen de las coordenada!!. Esta rec:u, puede ser ll!ICrita de otra forma. Pan\ ello, dividimos los dos miembros de la eeuación pot" ;ro. obteniendo, (9.5)
'.
Pueslo quO.!!. ... lg ~ es la tllngente del :ingulo de inclinación de h. linea neutra re!lJN'lCto al eje z, es decir, el cof'1iciente angu_ lar de la recIa tg~=k, entonces,
Id 6
J"
+L ... o J~
J
k_t.g~,.._K+.
(9.6)
• Asl, puea, la 6cuación do la linea neutra, escrita en la forma conocida en la Georoetrla Analitica como canúnlca (ecuación de la recta con el coeficiente angular), ller' la siguiente,
yo=k;r.= - K
j" .:ro.
•
(9.7)
Para el CiliO ref'reM!otado en l. fleur'" 9.3 lendrt'm05 K"" 19lp y, por lo tnnlo. el coeficiente angulllr de In linea neutra ser;¡ la siguiente:
tg~= -tglJl
j" .
• cuando
(9.8)
Como vemos de esta ecuación, J" '+ J P' ~I ángulu ~ no es I¡ual a qJ, es decir. que la líne. neutra no ell pt!rpcndiculllr a l. linea de solicitación, como ocurre en el caso de la flexión plana. Solamente en el 08150 patticula.r. cuando J" _ J, (c:.irculo, cUl,dr:o.do, etc..), la línea neutra será perpend.ic:ular a la de soHcitación, pero en este ca.,so, la flexión desvil,d. se hace imposible, puesto que CU1\Iquifr ~je central de '" seceión lllI eje principal de inercia. Conviene tener en cuenta qua la hneA de 1lOIic.il.ción y la linea neulrll siempre pa~n por cuadran les de la &ección di"1-;lIlos (Hg. 9.3).
Asi, en. osto "lISO, la linea de so(icitación (lj~ riecir, la linea de acción de 1" fuerza P) pasa por Jos cuadrantes primero y tercero, mientrAS que la linea neutra, por el segundo y cuarto, Una vez t1eterminada la posición de la linea neutra y UCSpUéll de ludiar los putos de la sección trans\'ersal, más .dejados de la líllea neutra (pllnto_~ pcligl'Osos), se puede l'eulhar la comprobación de la resistencia de la sección. Si el mfltarial de la viga se resillte dl' manerll dilerente a tracción y a compresión, I'ntonces la comprobación de la resistencia. se debe realiznr paI"a los dos puntos mas alejados do la linea neutra (puntos K y L de la figura 9.3). En el casu iudica.lo (lig. 0.3). la. condición rie resistencia se e&:;ribe así, (!).\)
Cuundo [0,1 .... lo.l. es d('cir, en el cai$O de mo.t.criales plásticos, el cálculo. como ya se indicó, se rNIHza para nn solo plllllo, por ejemplo, en 01 caso representado en la figura 9.3 para el punto K. puesto (Iue 1(11<1> 1(11.\. En las seccjoues tipo rectángulo, doble te, etc., 111 coudición de resistencia se obtienl:l do la fórmuln (9.2),
(9.1U) En' el ca.so do un material rrágil, como el billrro fundido, por ejelIlplo, en la fúr¡nuln (9.10) se debe introducir la t,eru;ión admisible a tro."ción lo,!. El dJ.lculo de las dimeJlsiones J1O~SIlrias de la sección transn'rsal se realizo. (según sen forma de la i$ección) por las fórmulas (9.9) y (9.10). Generalmente rosulta necesario reali~ar el cálc\do por tallteos sucesivos. Una vez admilidw¡ ciertas dimensiones de la sección, se cOfllprueha el cumplimiento de las condiciones de resistencia: fórmulas (9.9) y (9.10). S¡ la diferencia entre las tensionos de trabajo y las aduüi$ibies es cOllsiderllble, se escogen olras dimensiones de 111 sección y se repite, después, el-cálculo. Los tanteos indicados SEl repiten has~a que la diferencia entre (J... Ax Y (01 no g.c,} superior 11 5 -+- 10%. Para calculu las secciones de las vigas perfiladas se emplean las tabla'" del surtido de perfileg. El calculo de una sección circular se realiza por la fórmula de la flexUlll plana, partienclo del momento rlector tolal,
1I11r~ =
V M~+ M~.
Tiene doterminado ¡lIlareS práetico el problema de cómo e.wollOf la forma rie JI!. sección IraosverslIJ de lal manera, que el gllsto de material en 1" f1e:lión desvia.da !lea el milllmo. El!: (íeil demostrllr (ltC recomie"ds _1 estudiante ru1izarlo) que el gllllto minimo de mllterial p.rll una .!IlI«ión rectangular {(ig. 9.2) (el 'rell mínima de l.
sección)
S8
obtiene cuando MI cumple la condición, ,\
·\l x
b -"'i\I;'
(9.11)
Sin embargo. la sección rectangular no e! la mM! convellienle en la Uo,;lón desviada. Las más conveniente! son las que tienen rOl'mil de caja de paredes delgadas. Las flechas en la flexión des\'illda se calculan en cada plano por Sl!Jlllrll.do, o integrando la ecuación diferencial de la línea elhtlcl. o por la fórmula universal, o por el "hltodo de Mohr. La flecha lotB\ ~e obtiene como la anUlII lil'eoltuílrlca de las f¡odlas C:OlllpOJl.:lt\l<'~,
"i.. ud.. II~
IMI f100bas en los planos resp"ctivll 'tlellte, l.:. t'ondieiüll ti.. rigidn 6C escribe a$l, C YD
hori~ontlll
y 'tel'licnl,
1I..... ~ <: 1111, clnn,lt' 1111 es la Recha edllusible. I~jemplo 9,1. CaIeUlllf J.. seeeión de UIIII \'illll que !e encon';!, Cl\ dos ph.nos (Iig. 9,4). La I.cnsiún admillihle t'll la¡"":l600 k$cllem", H"'l l,lII los pleno... yertical y hOfi~onllll, hul!rarl1os los Ylll"fl,l>l m'.xiUIOS de lo:; momentos, M~-2ll1l y t:tJlI\ll"r"'mo~
l. Sceri\lIl
:,lgUIIRS
MM-itrl!.
"'"finnle~
ft"Ctllngulaf,
de seccione~ tl·lIItS'·ersllte.~. AdmilHlllos In rel¡u;ió" "Illimn (9,11),
h M. .... 2 -¡;--¡;¡;
es d" eelf, 1- 2b.
Enton(;<'5, por h. fór",ulll (9.10)
!Se
obtiene, M,
JI
mlixa=w:-+¡v"" lal; . "m%
2.11iI·1I a ~ --¡;:¡¡;r-
•
•
1·1~·' ~
De aqul hallamos, 1> _ 7,2 cm y h 'fon.'lYo~1 llef5, f', =cm",
to...
;>fV\
I
= 1 uuu kgr CIII',
=
14,4 ero. El lima dt" 111 se«.ion
el
2. Seccl,m duhle te. AdllJitimO!l un perfil doble te ,\/~ 36, para w." = ¡t,:i cm~, W.. = 71.1 cm" y F = 61,9 cm~. Por la
cu~l
fórmula (fl.rO), "¡¡lendremos, 2· ,1)0 1·1~ 270 +1 400 ... 1 070 lll¡Jxcr-""""I1T+""""ii':'T"=
kgf/cm~,
lensión que e,~ superior a la admisih\p en un 4,4% (lo que es permisible).
,
3. Se~ión anular de relación de los diámetros interior y exterior
c=75=O,9. La batrl'l circul81' (rnl'lcha o flnular) se debe calcular por ¡liS fórmulas de la flexión Illana, partiendo del momento total:
Mtk<:= V M~+M~ =V2~-W ... 2,23 tm. Hallllrno.s el diámetro de [a sección, .'
de donde Sil uuUcnc D
.
__ 37,4 cm'.
,
2.23dQ-'0,9')
0.11)3(1 =
=
1000 k g 1/cm. •
16 cm, d "'" 0.9 ·16 = 14,4 cm y F
=
Si consideramos el tirea tic la ~ecciÓD circular I;\UllCa por 100%. entonces cltirea del perfil doble te :será el 165% y 1& del rectángulo, 27G%. , De o~to ejemplo se ve qué grllndllS posil:illidades existen para di~minuir el gasto de material, empleando secciones racionales. Se propone al estudiant.e que continúe la invlls,t¡'gacióD de este problema, aDeHundo .secciones de ceja de diversas relaciones de le. altura a le enchura. § 77. Flexl6n y tnccl6n (llomprtllI6n) combinadas
En la figura 9.5 está representado el caso de e.cción simultanea de flexión y tracción centra\. La ce.rga transversal, que origiua la flexión, puede ser también más compleja.
, P,
, ,i~------ 0'
Para calcular las tensiones completas, rncurrimos al principio de superposición de Ills fuer"tlls. Las ten.'liones de trilcción origÍlllHlll.'l por la fllena PI son, en todos los puntos de la sec~i6n transversal. igualcs y se obtienen por lo rórmula, P,
o=F-' en el caso general (para cualquier carga axial), por ID fórmula (2.2),
fl.
N
o=P' siendo N la fuena axial en 111 eocción en cu('stión. Las tensiones debidas ni memento nector. son. ge~ún 111. fórmula «(\.8), ..1f T
(Y "'"
""T;"" U·
Por lo tanto, ll\ tensión total en cualquier pllnfo es, N
M.
a"" -¡r + ---r;- y.
(9.12)
nll llnes~ro ea'lO la SOleeión pe\il(rQ~a es la del llmllOlrllmicnlo, doude Ilctú¡) el momento f1eetor máxilUo j'ifmh = l'~l, En esta stlt:cic'on, los pUlIlos más recargados son'll aquellos que ~ uncuentran l'Tl la linea An, IlIlesto que preci$3mente en ellos l;41 suman las ten,¡;ones debidas a la traooión y \
En l"s puntus de la línea DC las tt'nsi",ws senio mt'Hores, N
.Ir"
a=7-~'
Para ir,S barras qUll trabajan igual a tracdún y a r,urnpresión, la cundiciún de re:sistencill. se oscribe asi, (9.\3)
Si la
C':H"gl'
transversal es compleja, enlonces para determinar
la sl"'ción peligrOSll y el valor del Illoml'nto f1cctor mlÍximo, sed IIccc~ario construir
previamente el gráfir:o de los momentos !lectores, Las correlaciones obtenidas :;on válldas también. cuando aclúl:l ulla fuerza de compre,;iún, salvo qne la lensión : será negativa, y las lensiouB.~ máximas (un vall>r nhsoluto) oCllrL'iráll en los puntu;c de 1" linea DC. Es necesario wiíalar, que cuantlo actúa una fllena de compresióu, las fórmul(ls expnestas son válidas .solamen~e para lJllrr:ls de gran rigidez, es dceir, talando la infinencia ile la fuerta axi,\1 de compresión sobre la dp.fOl'Olaciún de la fkdón es insignificnnle y se puedo prescindir de ulJ:, (§ 92). Cuall1 fÚf\l1Uln. N
<]
= ± ---;: ±
TM ,
Mg
,
y ± -,- x.
(o. Vi)
Eu el caso de barras de materiales plásticos (que lrnbajllll igu¡d a trllcción que a comprR'lión) de secciones transversales que tienen puntos angulares, que SOn 105 mIÍS lllejados de los eje!;! princ¡pale.~ z e y (tipo rect'ngulo, doble te, etc.), In condición de resilllencill se escribe asf, N
.l/x
M~.,
mb o =}T + 11' , +Tv, '... la,1· En el caso de barrM de materiales que no t.rahajau igual a trar:cióu que a compresi6n, la comprobación de la resislcncia deberá realizar.se tanto por las tensiones de trncción como por las de compresión.
'"
§ 78. Compresión (tracci6n) excéntrln Muy a menudo, la carga axial está aplicada no en el centro dll gravedad de la sección trausvel'S
Ir,
M"'_Pyp .... Nyp y rCspecto al ejc y, lI'1.~P,¡;}'_Nxp.
Por eso, 10 teru;ión en un punLo cual. quiera de 1ll. sección transversal de coordollndns x t! y. se obtendrá C0010 en el c'"'so do trnr.ción axial )' fle"ióll en ,los Illanos, combinadas, C~ decir, pOl" la fórmula (9.f/,), N
.
.'lo:
:l/u
O=p+-,-Y+-y-X. ,
(9.1ti)
Para las secciones de puntos ungul ...,cs salientes, las tensiones extrcwo.s ,¡(j cu1cul:orfin por la fórmula,
n,,·,.' o-..!!....± mí«
-,..
!'tIo:
wr
±!!..!.-, IV.
(9.10)
donl.!e 11'" Y W u son los módulos de la Fil. U l'CCl:ión respecto " Jo~ ejes :J: e y, respectl vamente. En la ~ección reprl.'selltada eu la figura 9.6, b, llls lCIIl;iQncs máximas surgen tln el punto E, puesto que aquí se suman las lcu!liou('s dll trucción debidl18 11 la tracción centl'al con las len5iolllls de trucci(,u originau3s por la fl('xión en dos )llanO!l, N
M~,
M
u
,
O"l:"'-7+-ii--+W. , Lns tellsiones mínimas (r>n r>\ sentido algtlbraioo) "curre" en d punto D. N M", Mu aD~-7-"W;-W;-'
pudiendo ser tanto de tracción, como de compresión. La condición de resistencia por las teosion~ de tracción N
Mo:
máX(f~F+ W", '?-3U
M~
-1-W;"'[0'\'
ser;;
(9.1.7) 257
Si el punto de aplicación do la fueru ll(l encuentra sohro UIlO dI! los ejes principales de inercia de la seccióD, por ejemplo, soLte el eje y, enlonces la fórIllula auleriot se simpliIicará, • N, Mz I I TrIlI:
1918 . )
En el eMO de una !>eCciÓIl transversal de forma arbitraria, para cale,utar la posición do los puntos peligrosos es necesario hallar la posiciiín de In línea lleutra. Su ecuación se obtiene, igualando a cero las teIlsiones,
+ -----¡;-!Jo N vp + ¡;-:c..."', l"'xp U
N
F
(O.W)
siendo Xo e !Jo lbS coordenadus corrientes de IQS puntos de la Iínca neutra. Inlrl,lducidO$ 105 nolaciones sigui<'lJtes: Je<
j'
x"""p'
., Jv lv=-¡¡-o
Las magnitudes
de la
$I:ICcl6ll
l~...
·v" p ' J.
Iv =
V·Y;7"
caractr:l"i~an
la geoml:ll'ia
y_ se dmominan radios de giro dI! la secci6n resprxto
los efesJ: e y. respectilJo.ffl.1!nle. Losrad¡os ole giro se miden en unidades de longitud, gelleralmenle o"lll cm. Ahora, la fónl\u!a (9.19) se puede c!lCribir en 1:1 forma siguiente,
ti
.f!....(t+ZI'Zo+'JP!/O)
r:,
1"
N
COlJlO
F
*- O resulta
,~"'"
O
que. "'~ro+III"~O..L 1 ~O
"
--;r,
'\1'
' ..
•
(9.20)
E9tQ el'! la ecullció¡' de ll:l lineQ neutra, que se puede escribir a travéll de I'!UI'! intcrsactoo 50bre loo ciCl!, en la forma siguiente, ,,-+ilG=1
siendo
"
T
'
" 1J~
4= - ; : ' b=-~
"
(9.21)
([1.22)
1
los intersectos de la línea neutra sobre los ejes de coordenadas z e '" re.spectiVllmente. Puesto que el radio de giro es siempre positivo, las magnitudes a y zp y ti e YP ,son de signos opuestos. 258
Una vez bailada la posición de la linea neutra, es fácil ),a construir el grUico de 1115 tens\onl)s normales. Para ello, traz'!mos la lioea 11 (eje del gráfico) perpendicular a 111 Hnea neutra (véasllla fig. 9.6, b). Truando por los puntos E y D perpendiculares a la línDII f 1, llevlIUloll a ellll lo~ puntos extremos D y E de la secCión. Para la construccIón del gr{jfico de las tensiones disponemos de dos puntos: el punlo K de la línea neutra. donde (J =,0, y el puntaL que se obtiene, teniendo en cuenla. que el segmentp LM, a cIerta escala, tiene que representar 111 tensión en el centro de gravedlld de la sección. Puesto que en estecenlro x = y .. 0, por'la fórmula (9.1.5) se demuestra que esta teusión es, N
(J~=F
.
Ejemplo 9.2. Hallar la posir.ión do la Hnea Deutra para la sección repre!\entadll en la figura 9.7. si :r. p "'" 3 CID )' IIp'''' -2 cm.
6
" Resolu.cI6n. Por les fórmulas (9.22) clllculamos los ioter!leclo;¡ de la Hnell neulra sohre los ejes principales de inercia :x e y, 11"'-
" _....!!...=
'" b=
_
I~ .... _ yp
1l!·183 1'l·1'l·18
3
- -9 r.m,
18·12~
12.12.18
2 ' " +6
elll.
Situamos estos segmentos, Y. por 108 puntos B y C. Irazamos la linea neutra n - n. Ejemplo 9.3. Durante el taladro de una pieza, sobre el hu.~iIIo A de la máquina de taladrar actún UDa fuerza axial de f 000 kgt (fig. 9.8). ClIlcular el diámetro de la columna maciza dl' hierro fundido B. La teus1ón lldmisible a la tracción es 10" 11 = 400kgf/cm". Rtwluci6n. La columnl\. trabaja ... LrM,ción excentrica. Por la fór17·
259
mula (9.18) tlilndrcltlos, " N +.4111""_[ [ maxO"=p ----w;-~.;. (JI' In\.rooud.,mlu llquí los v/llores num.;ric\'ls, halla~JIlo~ . t 000·4, :1 (U'.40 -;'00 JIIUX(J= 3,14<110 -,----¡¡;--i"dr - .... ' . POI" lauLfJos, obLCllUJllO~, d = 10,1 cm. Ejelllplo !lA. Ullll barrn dll SCCcillll recLnlJglilar, 10 X 20 cm,
"'= " ," TIn
,
V
I fl~ .
,
~
•, P,
f0.?~
...
f1a. U
"
aplicad n con uun eM,culricidad del cm respecto al ejex, y se encorva por la fuerza Pi = 400 kgf (Hg. 9.{J). C"lclllar las tensiones notmales <)n los pOllLos A, R, y D de la Sl'ceión de IlmpotralJJiento. lndicac/611. La fueull P, urigina t.r¡l.cciúll y fle:dún lln el plano verLicHI (respecto ni eje x); 111. fu('na l't OIH)Of"a la barl'a el! el plano horizOllLlI1 (I'(lspecto al eje (1), Soluciún, O"A = -65 kgUr:m 1 (compresión), 0n = -5 kgUcm~ (compresión), lJ c = +115 kgUcm l (tTlI.r,ción), (J ""'" +55 kgf/cm1 {tracción).
e
§ 79. Nllieleo central Si la Jinell neutra no cruu l. 8&<:ción, ""loll«!.'! en tOOCC.Íóri.. De la fórmula (11.22) {acilmenio ~e obtienen las e... pre!li
"l
r.p--"1
IIP~-;:' 260
1
(9.23)
de b
Aquí. 1... ~oeei6n
~ell'mento! a
Y b S011 los intDrsect09 de In
~anll'anle
nI contorno
sobre los eje.s de coordenad",. Cuand" al contorno ClI continuo,
para IllS diforentH pOIlieion\lll d.. l. tllllgenle obtendrem09Y Por astas fórmulas 1M coordenada.'! do una InfinIdad de puntO!!. cuyo r.(llljunto ropf08entará Una Hnfm cerrada alrededor do} """tro de gravedad de la a1!CG16u. La f'Q'I~ rJ~¡ "rra . lo' punto.
y
JJ_-+.i¡:f¡-...J
A
Fil. 9,HI
1
Fil. 9.11
En el CUn ,le uoa sección tlc N"'I"rIlO poligonal ,le" I"dce, por la fórmula
(!J.2:~), aO I'ac~
obtienen laa coordenadas
!lp_O.
Por In 18.010. el núcleo tentr,tl811rli Un circulo ,le radio
f.
*
EJemplo 1/.6. Calcular ha dim&n,iones del núcloo Cen!r:!.l do un rectánguln (fig. 9.11). Sol"dÚn. 1;;1 ní,dll<> centTal
~or';
un rombo euya. ,li"j(onal ..... 30n
y -} .
'"'
§ 80. Torsl6n '1 desllzamlonto comblnldos. Ctilculo de resortes ., htillclI de paso plqueño
La acción combinada de una fuerza enrtanto y un momento torsor ocurre en las secciones tratlllveN;alell de las espiras del resorte en hélice de pequeiío paso, cOlllprimido o traccionado por una fuerza P (rig. ~l.12).
~
§Q ,A {tz
"
-
p
p
Fil. 9.13
Fil. 9.12
Para calcular los esfuerT.OS interiores en hu:! secciones ~ransveN;ales del hilo del resorte, IIplicamos el mlÍtodo uo las secciones. Tracemos una sección cualquiera y analicemos el equilibrio da la parte inferior del re~orte (lig. !U3). Sen D el diámetro medio del resorte; n, el (J{lInero de espiras y d. el diámetro de lA sección de la espito. Prescindimos de la inclin:leión de la espira. El cqaHibrio de esta parLe dol resorte se conseguirá solamente, si se aplica en tu sección tran.'l,·ersal del hilo una fuerza cortllnte Q de valor tl.bsoluto igunl a P y un momento torsor /1-'10' igual al momento creado por la fuer-¡;a P respecto al centro de gravedad de la sección (respecto al eje longitudinal de la e~pira). Tode~ los demás esfuerzos inl.eriore.'l utón iguales a cero, lo que se puede demostrltr de las correspondientes ecuaciones de el:¡ui· librio, teniendo en cueota que el eje de la espira .!lB encuentran en el plano perpendicu.lar al eje del resorle. La magnitud de la fuena Q y del momento 1I-f lo. la hallamos de la ecuacIón de-equilibrio. Igualando a cero la suma de la! proyeetione.'l .'l
Igualando ahora a cero la suma de loS momentos, aplicll.dO! a la parte separada, hallaremos. D MIor=P 2 .
'"
Supongamos que las tensiones tangenclale.i correspondientes o la deformación por deslbamiento (relacionadas con la'fuerzll cortante) ~e distribuyen uniformemente en la sección (fig. 9.14,a):
O
4P
-e, "" p = íidt
(9.24)
Admitamos también que las tensiones tangencillle,o¡: cOITespon_ dientes a la deformación de la torsión (ralacionadas con el momento tor80r) se distribuyen en la se«lón transversal de la ospira de la misma forma que en la torsión de una barra recta de sección circular,
es decir, que aumentan linealmente del centro al contorno de la l'ección (Hg. 9.14. b). Siendo asl. las tensiones máxlOlO:s debidas a la torsi6n se determinllri.n por la fórmula siguiente.
p.E..
M,o.
8PD
2
"t2=-¡-V;-= nd' "'" "d3
.,-
(9.25)
El punto peligroso será el punto A del contorno, en el cual coinciden las dir('c~iones de T, y T,. Por lo tanto, las tensiones tangencialca má,1;irna.s serán, 4P
8PD
-e
gPD ( ",(.1
t+ 2lJd )
(9.U)
En la mayoría de los casos el segundo sumando, dentro de los paréntesis, es muy inferior a la unidad y se puede prescindir de él, lo que equivale u prescindir de la inHuencia del deslil'amiento en comparación con la de la torsión. Entonces podemos escribir, de una tllllller/l aproximada, 8PD
Tmh ~ "t2~ ll¡i3 •
En la práctica, el cálculo de resortes en htllice de pequefio paso se realiz¡¡ por la fórmula siguiente: 8PD
....... ~ = k ",,p
<. [-ej.
(9.27) 263
siendo k eL coeficiente de cnrreCClOn, que considera la influencia de la fUCrlll. Q y la de la curvatura de la espira sobre la distribución y magnitud de las tensiones tangenciales. debidas al momento torsor. Los "'alor~ de k estún dados en la hü,la 9..\. 1IUJ 9.1 Co."el.~t6
d6 eorneelh
I~
para el c6lulo por "ilie6
r"l.te~cl/l
,
"
-;r
•
1.,>8
• 1,1,0
1,31
1,25
de loe rnortn en
• t. II¡
1.18
1,21
Pll.rl:l hnJlar la flecha (variación de In 1Illura) li del resorle. igualamos el trabajo de la fllerza exlerior P a la enrrgill potencilll de la defurmación por torsión. El lrnhnjo de la fuerza l' en el desplaumliento 6 ('s, como se s:lloe,
PO A= ~ .
La energía potencial de la defonnaciém por torsión sera (§ 3!l¡'
n""J., M'",J _J., ZGJ p - 2
(p~r¡. GJ))
donde l = ':tDn es la longitud del hilo de} de espiras. Puesto que .4"" n. obtendremos, PlJ
decir, ~
u'¡m~ru
:Id'
"
8PD""
u=~.
Ejemplo 9.7. Comprobar yo .determ!nar su' flecha, si = 2500 kgflcm', d = 20 mm, .... 8·1~ kgflcm l • Resolucf6n. Clllculamos la
el
P~D'lnD"
T"" 8G e~
•
re~orL~; JI
(~.28)
la resistencia del f(~Jjorte en hélice P = 300 kgf, D = 200 tum, III = elnú.mcro rla ellpiras es n = 8 Y Gtensión,
8·300·20 • 3.t4.l* --') 180 k'g f'¡cm, " que resulta ser' un 8,8% inferior a la admisible. En este caso .se consideró k = 1,11, según la tabla 9.1. ¡lara D <1= 10.
t tmAl='
'"
Hallam03 la flecha del resorte por la fórmula (9.28), ,
-
8·000·~·8
8.liJi.2' _J
2
cm.
Ejemplo 9.8. Un resorte en hélice de hilo de acero do djlimetrO' d _ .¡ mm. tiene un diámetro medio D _ 45 mm. El nÚIDIlT'O efecüvo de Q8piras·, n. _ 6. El e!lpado entre las espiras, antes de apliear 1/1. CU'Ka. e!j: S • .., 1.00 mm. ¿Qué fueru .w ¡Jebe aplicar al ~rte para que de:saptlre:r.~ e5l.O espacio? JmJitDcI6r1. La lIecha del resorte, buu, entror en conllleto lit 6-=(tl-I)8.
Solución: P "'" 2,35 kgJ. § 81. Tonrón y flnllln combInadas
La
barrn
rllpre~ntlldfl
en la figurll 9.15, trabaja II tOnlión
y flexión. En Las construcciones de Oliliquinlt!l son muy (reCuenles In pletas que tl'll.blljan • lorsión y Dwd6n combinadas. Un ejemplo tipito dll ellas lo constituyen los árboles de div8rs:lS maquinu.
t:
1::= $$r ~ ~b .; ..~ I
1
,1
-
-
(Jo~~
1 I
M}
~H~ ,
H»
I
~"'"
fil. !.IS
C.oo,cllcemos por calcular por sepArado, lonAndonos en el Imnel plo do superposición, 1M teusionll8 debidas a lll. torsión y las origill:l._ dnll por 111 flexiono OlJrante la flexión. como 1IO Sll.be, en 185 sec.:ciones transversales de la barril. aparecen tensione normlllell que Illcan¡nn el VII lar mltxialo en las fi.brll!J cxttcma.'l de la vlll'a, 0_
...,'t.c IV...
'
• El núm ....o total de .piru dll los resortel c.omprimidO!l es 1.5-2 m.
'lU. ,,1 n......u .. e(ecc.¡.,o do OIpITU.
en co..t.eco con los platoe do .. poyo.
pu~n
que lu d. loe "lremO!!. quo ...;ln
,1<, ¡Mrt¡cipe.n .., l. dd'onnacilm del "_lo.
'"
llsi, como también teusiones tangenciales, que alcanzan el valor mhimo en la linea neutra, y se talculan por Ja, Córmula de Zhuravski. En las secciones cirtulares y, en general, en las secciones macizas, -esta... tensiones SQn insignificantes en comparación con las tensiones tangenciales dcuidas a la torsión y se puede prescindir de ellas. Durante la tor.¡ión, en las secciones transvenales sllrgen tensiones 'tnngeneiale!, que alCllnzan el valor máJrimo en los puntos de! contor.,0 de la sección; Af,o,
'=--w;-=
Af,o,
2W x •
E" el caso representado en la figura 9.15 la sección, donde surg(! -el momento flector máximo, coincide con la I'lCCción de momento tors
Hg. 9.15
(!l&CCibn peligrosa), los puntos peligrosos son A y B. Veamos el estado tensional del punto A (fig. 9.16). En el plano de la seCCiÓll transversal que paso. por eate punto, actúan las ten!iones tangenciales má:cimas originadas por la torsión. = ":~o, y las tensiones normales
,
.
mDximn (en esLe caso son de trae<::ión) debida! ala fl8xión (] = ·~U.., • En el pIaDo de la sección longitudinal no exiaten tensIones normales, mientras que las tangenciales (en virtud dI! la ley de fflCiprocidad) tieD,eo el mismo valor que en la sección transversal. Puesto que el estado tenaion.al es biulal, para comprobar la resistentia empleamos una de las hipótesis de resistencia. Teniendo -e.n.cuenta los lirboles de acer<'!, aplicamos la tercera o cuarta hipótesis ~de resistencia. Pata ello es necesario determinar las tensiones principales del estado' tensiona1 dado (fig. 9.16). L8.ll tensiones principalil! se obtienen por la conocida CórmuJa, o
' y0'+41', --
0"3=0"~=T±~
_"
No nos planteamos el problema de calcular el ángulo de inclinación de los pl~nos principales, aunque se puede obtenerlo por la fórmula (2.35)¡
'"
LIl eondición de resilltenc.iR 5ell'im 111 tercera hipótesis (hipótesis
-
oJ.r;;: lo¡.
0, -
Introduciendo aqul los '\'810res de o, }' a" ohtendrel1lOll, (J6qI<1.~Vo-+<1Ti<:I(JI.
(9.29)
Teniendo en cuenta que (J
M/I_ Y T _ M, ..
=
~.
W,.
ballamO!l.
o-.¡o",.= V Mh.. W.+M'r.... <101.
Pllru e•.Icu18r la
~jón
obteneruos
w
"
ae
(9.3'0)
a<¡ni l. relación siguiente:
·VMj,..+M1...
(9.3:1)
101
Recordemos que en el Cll.lIO, cuando el árbol esta sometido u !IcJ¡lón en dos planos perpendicutores,
M floc - V M1 + Mt. Según la cuarta bipóte!Jis de ruislenela (hipótesis de b energ{a potencilll unitarla de cambio de forllla) la condición de resistencin pll fa el estado tensional plano es.
a~~l. -, V'a':'+Oa":'=C.".O.CJ < [(JJ. Introduciendo aqul 01 y a" expresnd05 ti lrov6s de " y llllcelón tranaverMI del lírbol, obtendremos, Pero
0_
Míp.... •
0
,.~V(Ji+3tt
Y "{
'~:or por lo tanto,
pllr!l
en !ll
(0.32)
•
O~",I. =
De aqur,
T
y M}I..,+0.75Mf.. jli..
<: (01.
(9.33)
c"lcular 111. !leCCión, se obtiene.
1/ Af" ... +O.1SM1...
1VJ< =
(0-1'
(9.34)
En el eno de mll.teriales de difeM!nte resistencia 11 tracción y compresión (algunos tipos de aceros de li,a, hierro fundido y al¡u· nas aleaciones), 58 debe emplear la hipótesis de M!5illtencia de Mohr ola hipótesis unida de N. N. Davidenkov. Según la hipótesis de Mom.
0..,..
.1._
o, - "'0,< fo,l,
'"
donde. (a,]
... -1'0;1 . IntrOOuciendo aquí 1011 valorC$ de o, y
t_...
a~fH .. ---:r-0+~ '"
o
oJo
obtendremos.
1+v.r-.----::: o ...L.4,-
(9.35)
~oa.
l-vM"NO 1~"l/'" .,' /J~'l~lo----Y-~+ :!I\'~ . 11""+" ,... <101·
(9.30J
De aquí S8 obtiene la rehlción siguic'ltC. PJlrfl calcular la ciótl, lY
z
_
M'I""U
s~
(U.::li)
§ 12. Torsl4n y traccl4n (Gompr••ldn) combinad •• EII .,,;1 .. caSu. en 111:'1 5eCcionf'!1 Inn9'-er$3le!\ do la barra sut'gl'n ¡¡huulllálleamcnte nos esfller~os illtc.l'iores: el momento tor:oor y la fllerMI llxial (dc tracción o de cOUlpre8ión). EII una barra do socdón circulor las lcnsiouc:'I tangenciales m,í.ximus. dllbidll!l a lB tOl'!\i6n, ocurren en los puntos elel contorno y son. MIo,
"[,..,,~
LA tracción OCllsiona, Cll lodos los punto.' ele In sección I·rlln... Vf'fSllI, lensiona ul,lfmoletl:. N
O-F' Ahora, como en el C480 de torsión y flexión combinadas, se debe calcular las tensiones principales y emplear la hipótesis de resistencia correspondiente. Como resultado ee obtiene para la!!' ten!llOIlf'S reducida.s la rórmll~ la (9.29) (por la tercera hipótesis de resistCncia) y la rónnula (9.32) (por la euertn hipótesis). En estes rórmullll se deben Introducir IO!l valores do o y 'C obten¡~ dos Anteriormoutc. Definitivamente, se obtiene la condieión do resistencia Vara la torsión y trllceióñ (eompresi6n) eombinada.!!: a) segün la tercera hipótesis de rcsilJtend3 O~",h-
¡/( FN)' +" ("'''J' -,¡;:;- <:10).
(9.38)
IJ) según la cDula hipótesis do resisleocill 0 .....
,.=.,/(; )'+3( "IJ:' )',<;[0).
(Q.39)
Se debe prefedr la fórmula (9.39), pU85tO que la cuarta hip6tesis. en el C8!!6 de materiales plúJicoS, concuerda bien con los re:rultadO! de lo!! l'n5ll)'OS y conduce , 1lO1ucione, máa económicas. ¡'ara los materiale:l de diferente ~istencia a. til'1lf:.Ci6n y a comp~ slÓII. de la hipótesis de Mohr, .wg\ln l. f6mula (9.35), !le nbtlene
,-. N ,
.-"¡/(FN )'+4 (.0,.,), -w;- "" 10".J
O'·~¡."----:¡--F-'------:r-
Cuando
!ie
('.40)
trata de flexión, tanión y tracción (compresión)
combinadas. por el mismo procedimiento SIl (Ibtiene la f6rmula para' ~I
cilculo (seg(in la euar!.a hipótesis de resistencia), 0....'. =
N +!oIJI_)i. AI,o. )'-11 ¡/( F""""W';"" -r 3( """lf';" .... o .
(9.41)
Al clllcular las secciones, se debo empl611f el mélodo de aprOJ:imaciooes !lUce.si \'8lI, es decir, fijar "lgilO valor del diámetro y comproiJar despu6s. si se cumplen llls C(llIdicioncoJ ue resistencil\ (9.39),
(9.40) o (9.41). Si re;;ulta una diferencia grande entrll el primcr miembro y (11 segunuo, entoncell se debe fijar un lluevo vl:llor del Ji:ímetro y a~í sucesiVameJlto. EWlllenndo la regla de cálculo 110 se requeriré muello tiempo ¡ll'lrll relllizllr el cálculo. En 108 calClllo~ de comprohación, cuando el dilírne\.ro dol árbol ea conocido, el eoeficielll.e .10 8c{luriduu .!Ill halla por la rurmula, n ,
siendo
"
a,
(H.42)
('/-.¡~I.
Il\ limite de f1ueIleio, la tcnsion equivalente (redutlida) segím la hi¡.t'~l,ra¡s do resistencia correspnndiente. En 01 c.M) de materiales pllÓstil;ull, lo. tensión l'quiv"lcntc !le puede ulculllr por 111, tercera hipótesis de resistencia, es utJeir. (Jor la fórmula (9.29). A~í. pues, el roefieiente de R¡::uridad scrá, a~ ..,••
n_
., -,,,,\=¡,,, V('/t-!-1~
Esta fÚnllUla se puede escribir tambil.'o de b, furnul siguionte,
u=
si~odo TJ
V~+ (ir I
-!f (de acuerdo con
--r."'F~
Ji.;r+ :;
(9....3)
la tercera hipótesis de resistlJl:.eia).
""
La fórmula (9.4.3), después de algunas ttUlsformadones, te<:ibe 13 forma siguiente, 11 "a"~ (944) 1 1 =-Y"~+n' ' . o,
Y -=-+_. ""
n~
s¡"lldu n~ = :: el coeficiente de segutidad por lila le!!, 1... _:.L , el coeficiente de seguridlld por gencialcs. Se debe O!J¡;c.¡·\·llr, que las fórmulas (9.43) y VáJjUS8 también, clIanrlo se emplea la cuarta tanda, salvo qne, en este caso, "1=0,5&1 1,
las tensioncs lIorlas tensiolles tan(9.4";) permanecen hipótesis de resig..
§ 83. Ejemplo de clllculo de un árbol por flexión y torsi6n combinadas
Al diseñar áTholes que trabajan a toralón y fle,¡jón combinllda;¡-. tislos ~e calculan por resistencia eslatica a los esfuerzos máximo>! de poc,a duraci{¡n y por fatiga para las cargos alternadas que acluan \ID tiempo prolongado (cap. XIl).
Veamos IIn. ejemplo de cálculo de la resistencia estliticl) de un árbol (fig. 9.17. a). El árbol está sometido a la acción de dos fuenas 270
\'''rticales PI Y PI> una botizolltal PI y tru momentos exteriores: m, _ 0,4 1m, '!IJl1'" t hn)' lDl J =O,6 1m, que otigiban 5ll tonión. El mueri.1 del árbol 85 acoro 45, cuyo limite de fluencia 01 _ 3600 kgUcm ' y cuyo lIm.1le de resl.!ltencla, 'o" ... 6100 kgUC0l 1 • POr J(Nl dat05 del § 12, ertablec"mo!l el coeficiente general normativo de seguridad n. como el producto de tte!l eoeliciente.s parcial". n"'nl~J'
Admi\iOlOll n, = 1,a (col\3lderando que 1., tensiones !Se obtienen <:011 una exactitud media). nI = 1,4. (para la relación~ _ O,6}
",
y 11..'" J,a (coDsilJeraudo un grado medio de re:lponsabilidlld de la plau). As!. pues. el coeficiente general de seguridad es, n ... 1,3·1,4· j ,3'" 2,36. 1.tlI lellsión admisible 05,
a 000
101 "'" ~,:s6 - t 500 k¡Clem". 1. COllstruimos el grafico de 103 momentos fleclores originados por IlIs fuerzas verliealu. M;;;: (fig. 9.11, b).
2. Construimos el gráfico de los momentos f1octore.
por la, fueru.!! horizontales. El diagrama
."1r.-:..
tanle (lolil.l).
3. Para mayor claridad coDllt.JUÍmos el gr6rico de los momcIltos. fJe<:toreil totales como la llum. geométrica de los dos anteriores. Los momentos Jle<:tores loLales son, M\;'=1 tm; M~oI_V1·+I·.... 1.41 tmi M~'=t lm. El griHico M':' cslli tepre:reutado en la figura 9.17, d. Las ordlmaulUl de este grifico se ubiean convllncioualmente llll eL plnno dol dibujo. 4. C01l5truimos el grUico de los momclltos torsores. El gráfico. !tf,~, ut4 representado 01\ la figura 9.t7. tlo c.lcuJamos el diámetro del árbol en la S('cción peligroS3 C. donde actúa el momento fleclor máx.hJ10 Mi;'.'. "'" 1,41 tm y el momento torso: Al lo' _ 0,6 tm. Para calcular la sección. recurrimos. " la cuarLa hipótesis de resistencia. VI41<.UP+O.1;..I;(}lAAJi lOO • IV '"'~ YM'I..+O,1iiMf_ lo) ,:;00 = cm de donde .- obtiene. d_
.'/0': V 0.1- .'/illl V 0;1- 10 C;ID..
'"
§ 84. Cdltulo du rlll:lplllntll6 dll parlldlls dlllgadas
El! la t6Cllio.:a .:00 emplean GOO frllcuencill recipientes cuyas paredes la \H'esiuu ue ¡'¡~ HqlIido~, gases y mo.leriales movedizo~ (r-uldcro~ de vapor, Jepósitos, cámara~ de trabajo de los lUotores, cisternas, etc.). Si los recipitmtes tienen la forma de cuerpos de "evolución y si el espe.~Or de las paredes os insi¡,:nificanLc, enlollces, tll cálculo de las tClIl~iones en laa paredus sometidM tl carga, se reali7.1I fácilmente. re~isten
fig. 9.11 Eu el CllSO de pequeiios espesores de las puredes, sln cometer error gruude, Sol puede cOruliderar que en las partldes lipa recen solamente lerlsiones normales (de tracciUu o de compresi6n) y que .estas tensiones so distribuyen uniformemente dentro del espesor de la pared. Dos cálculos que se basan en estas suposiciunes se confirman bien por los experimentos, si el espesor de la pared no supera In .décima parte, aproximlldamonte, del radio de curvatura mínimo de la llarerl. Separemos do la pared del rocipiente un elemento de dimensiones dl, y dl~. Designamos el espesol:' de la pared pOI:' 1) (fig. 9.18). Los radios de curvatura de lo. superficie del recipiente en este lugar IK'lI p, Y PI' Sobre-el elemeuto actúa la presión interior P, perpendicular a su superfiCie. Sustituyamos la interacción eutre el elemento y el resto del redpionl.e pOt las fuerza'S interiores cuya intensidad es 0 1 y 0 1 , Puesto que el espesor de las patedes es pequeíio, como se dijo anterior· un
272
mente.
!e
puede considtlrl\T, que elites tell.'liOnCllO distribuyen uuifor-
mementl:! en el e~pll$()r de la pared. Planteemos la condiei6n de equilibrio del elemento. Para olio, pro)"/!Clllmos las fUCrulS que M:túll.o !!Obre él. sqbre III diN:'<:eiún de
la nonosl n_n ti Ja lfUperneie del elemento. l... proyecciún de la car¡a 3fri. pdl,dl,. La pruycrci,m de la teu:l'lón 0, sobre la dil"CCeiún d~ 111 normal se representa por el segmento ab igual. o, sen "~. I~a proyecci6n del ufllertO que 8clua 80bre la cara 1-4 (y 2-3) es,
y .
2a,1I dl~,se"
~•
Uo manera 8n:ílogn se obtieno la proye<:ci6n del esfuerzo que lletilll soilro la car" ./-2 (y '-J).
2OtUJo di,
d<'l't
Ilt'Tl"T •
J)O~IJUc;S de prorc(;tar tOOIl.S 1118 fuerzas que actúan soLre 01 cJemellló elegido, sohre la. direcc;i(," de la IlC>Tlll"J f l - I ! , úlJtclIdremos
p di, dlt~ 2o,ódl,scn d~, _
2a16 dl, sen d~ _ O.
Pueslo que II~ dill,cIlsiont',:
!IOO\
pequeiia!'. podemos
<,;t)1l.~1rltlr..r
~eJl~;::;~ y sen!r-:o;- "~. T<'/lic",lo esto en eUCIlla, de 13 oeuaci6n de equilibrio hlllhlmos, p di, dll-o,O ti/-=. (;'h- "lO (il, d
¡\d\'irtiendo que dq>, _ -'- y d'P:I=
di
"
,U~_"'.dl,dl~Ó
P,.
1'1
JI
~,
,
.. Llendrculnl<.
0Idl , ,/I;6_ 0 . 1'1
I)ClIPllÓS de simplificar por di, di! Y de dividir lIor .5
.!!.L 1'1
+~ = 1':
~Il
.J!... • tl
obtiene,
(!).45)
EII~a fórmula <10 denomina ccullció" de L"l,IAee. Vl!llmOS el dlleul.. du·dO!! lipos dc recipientes, que se encoelltrlln n menud .. Cll ItI linteliéll: el c"rtÍrico y el cilinrlrieo '. Nos limitllmos nI caso de la prUltiúll j"I~Tior de los ¡rases. l. Recipiente fitrérleo.
En esto
c>lSo.
Pl-P:.t-r y (Jl"",a._a. L,oS ej
l'lo" de cllc,,\n 0111 recipl"'lell 0111 -pared/llll d.
~rI eG<'>-
fill'".a.J6D. "''' Me "''' 1... te..~os "on>ple'os d. R.ia~",,";_ de ~fal.;.ll!1l. "-Jf~
273
Do la fórmula (9.1i5) se deduco que,
,
Zo _-.l!-.
,
de donde
ohl(lnemo~.
(J
=-
fr
(H.4ü)
Puesto que en este caso 01 estado tenRíollnl es plllTlO, para el e/,leuto por resistellc.i.. sera DeGelUlriO recurrir a un:l de las hipótesis ,le re~islellcia. La~ tensiones pdncipales son las sigllitlnle.'l: 01 = o, 0, ... (J y 0". = O. Segun la tercem hipótesis oe resistencia 0, _ o, ~ 4 10"1. Introduciendo u<¡ui
0 1, 0-"23<1 " es decir, In comprnlm.:ión de la resistencia eJ'SO de un eslndo ttmsional monooxial. 50gun la tuarta hipótesis de resi$tencia.
JI 0:+<1:
PU!lslO qu., en nuestro caoo
!'t!
realiza como eH el
o,O"z< [(JJ.
a, "'" a~ =- o
y 03"'"
0,
" < [0[.
a= 111
Es decir, oJ.t(lJlcn'os lu misma condiciún que se obtuvo por la tercera
hipótesis nO resÍf'tencia. 2. Recipil'nte eiHndrico. En osLe CllSo (fig. 9.19, a) PI "'" r (radio del cilindro) y fl. "" (rndio rl., Clll'Vlllllr.1 d!! la directriz del cilindro).
00
t-_·_}€} (~L1J}~, '
,
<;
'J F1a. 9.19
De la 6cp.ación de Laplace se obtieno,
"
,
7="7)' es decir,
a, = ';," ,
(9.4;)
Para calcular la lensión o. seccionamos el recipienle por un plano "p6rpllndi.cuJar·a Sil eje y analizamos la condición de equilibrio de una de las par~e9 dal recipiellte (fig. 9.19, b).
'"
Proyectando sobre el eje del recipiente todas ,)a, fuenas que llctúan wbre la parte separada, obtendremos,
.
-P+ lJ t 2l'lr6_0,
siendo P=llrt p la resultante de las ffuerzas de presión del gas sobre el fondo del recipiente. Así, puos, - pnr l lJ~2l'lr6_ O, es decir, lJ~ = ;~ . (9.48)
+
Observemos que, puesto que 01 anillo que-.constituye la ,sec:ción del cilindro, donde actúan las tensiones.lJs, es' de ,pJ!.red':J.delgada.",u .:lrea se ca1ct,ló COIDO el prodllcto de la longitud de la circunferencia por el espesor de la pared. ' Comparando las Ulnsiones 0, y o. en el recipiente cilíndrico, observamos que,
,
(J.'" "2 <:J,.
ta condición de resistf.'ncia, según la IcrCllra hipótesi!! de resistl'ncill, es para el recipiente cillndrico,
<:J''l",r-O,=;;; <[o). U! condición de nsi!!t1mcia, segun la cuarta hipótesis.
lJ~,,"IO = Va: + a: (J!a~'" lal. ]¡,troduciendo Ilqui los valorcs ¡le a, y o~ ~Il las y (9.48), se ohtiene. a,q,,!o=0,8B "o' 4: [ojo
~",r;;
rórmll)~S
(U.47
(!l. 50)
La diferencia entre los r",sultlldos obtenidos por las fórmt,ias (9.49) )' (9.50) cs del 14%. Se recomienda emplear la fórmula que se funda en la cuarta hipótesis de re,o¡.iSle"cia. Ej~mplo 9.9. Calcular por In cllnrta hipótesis de resi~te/lci1l el espel>Clr de las pnrcdes de un(l caldera cilindriea de di:ímetroD ". 2 m, ,;ornctida 11 In presión interior del vapor, P = 10 otm :=:::: 10 kgf/cm Z , lol = 1000 kgf/crn z. Rcrolución. De la lórmnl¡¡ (9.50) oiJtcncmos, 6 -"""[0]= 0.86p, O.M·lll· lOO 8 G 1000 -O , 8G cm_, mm.
Admitimos <'l = 10 mID. Ejemplo 9,10. Calcular el eSpesor do las paredes ,Jcl recipiente cilindrico para el líquido de peso cspecftico l' .., 1 tJm'. Las dimen. sion~ del reeipi€lnte €latón indicndas en la filf\lra 9.20. LII tensión admi~ible del matcrial de las pllredcll es 101 = t 000 kgf/orn z. t8·
275
Resolu.clón. La presión dll\ líquido sol>re la pared dll¡ rllcipiento es Ilroporciorl(lJ ¡¡ la distsllcia a la superficie libre, P=l'z. Si el espesor de la pilrcd es constante, cntouC()s el c~lculo reflli1.o. por la máxilQU presión, que tiene lugar en la base, Pm;l~= p,-= )'h_ 1·9 -u 1·/m· _ O,!! kgricm~. El espesor de la pared ,Jd ,
r~jpierlte
0,\).&)1) 02,=¡¡:¡¡¡¡-="" , I
es,
., 7
C1tl=~.
~cgún
llC
la fórmula (OAD),
.,
"'''l''><" mili.
Si l,or las cundiciones o.I.e curruHión se puede lldmilir "" espesur rut'nor, ~mtonces se debon emplear recipientes de espesor' do la pared .,~
"
. "
- -~+-~ -T-
l,-
~
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,
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,
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~¡
~
~l
,
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"
FIl. 1.20
v:uiabh·, di\'i,li~ndola 1.'11 Sl:cciont.'s y Cllicu1l1nllo el l)Slle.'I(Ir de cado. una de ellas ¡IOr las pre¡
CAPITULO 1
CALCULO DE LA ESTABILIDAD DE BARRAS COMPRIMIDAS (FLEXION LON8ITUDlNAL)
§ 86. FIrmas estables e Inestables del equlllllrlo De la Mecáoica Teórica se silbe, que el equilibrio de un sólido Ilbsolultlrnentc rígiilo pucilo scr cslable. Indiferente e Inestable. Por ejemplo, la csfera (11lC sc ellCllcnlra sobre una supcrficie cóncava licue un ostailo do equilibrio ost¡¡[,lo. \ Si ~e la ,Iesvía ligera mento dc esta llosi!'P¡;r ejl'lllplos ;\)I;iJogo!l qnl.' ~c renerllll nI l'lluilihtio de S(jlidos ,lcfol"lnabJcs. f ,;', A.~í. <:u.. ndo sohre una barra lar'la , actlla Hna carga axial de ~omprcsiÓlt rela t i,"amente pequciia (menor q ue cierto , valor rl'ítico), ilqllélla se oncolllrlJrá en '! 1111 estado dc cquilibrio establo (rig. Fi~, 11.1 111.2, a). Si. aplicando una carga transFil. 10,2 VCI'~II, se da una peque»a f!cll:ión a la bnrra, ésta recuperará su forma inicial de e(]uilibrio, so I'cclificar(¡, llna vcz retiradn la carga \.ransvcr!!UL Para UIl valor de la fuerza de comprcsión P igual al crílico P"u, la barrase encontrar(1 en Jln estado de e([uilibrio indiferente, es decir. nI ¡;el' desviada ligeralllente de SIl 1'0~ici,·ltJ rectilinea inicial, y rlesPllllS do Iihernrlll, ll()rmllnocerá tllmbil;u en equilibrio en la posición desviada. Por último, .':!i la
1
l
",'
:!77
fulll"l.a P lllI mayor que la crllu;:a. elltonc~ la forma rectilinell. d" equilibrio resuhara ill6!llable. Cuando la fUllM:l1 e3 superior 11. la erílica, resultA eslabltl la forma curvilinea de equilibrio, La blllTa trllbajará ya a compre:dúD y (lexiún coO\blulIdns y DU exelush'.menle • compnl3ión cenlfll.1. Incluso un pequciío e:lUIO de la fuen.a !\Obre el valor edtico. conduce 1\ que 1.:1 barra reciba grande~ flech.lll y a 111 aparición en ella de graudes tensiones. La barra se oestruye o recibe t1erorm:lciuncs inadmisiblemeuto grande!!. En ambos casos, la barra, pr-;ctici'mcut.e, se Inutiliza. es decir, desde 01 plinto de "ista del cálculo de ingeniorin la fller'~lI critica deberé considClllNQ eomo carga poli¡,:rosll (IlmitD). Así, pues, la fll.tr:a críUca n pu/!(le dejlrllr tomo aquella fuerzo, puro. la c¡,al el equilibrio d~ fu barra comprimida el indl!ercnk; en olr4$ palabras, comD la fMr';4 para la. cual laMo fu forma rectUinca, eomQ la eurvilinea eontigua a ella, 1011 jofJl'l(U pO$lble$ de equilibrio, El elHJllelM an/l.lizado del trllbAjo de UIl/l. barra comprimida Il.xialmente. ticme hasta cierto punto un clU'ácler tcÚ'tico. En la prJ.ctica no~ vemo~ obligado~ a coutar con que la luen/l. de eompr8!iÓIl puede actuar con cierta excentricidad )' la barra puede tener cierta (aunque pequel1a) cu""atu"['8 inicial. Por eso, la flexión de la barra .se observ., como regla :,tener:.I, ya al comien1.o de iJU solicitación longitudinlll. Llls iJlvestigDciones demuestran que mieoLrllS la (ucr:t;1l de c(lmpresiÓll sea menor que la critica, las flechas de la barra serán peq\ll)íil\S~ pero Al acerear~ el valor de la carga ni crítico, COmiell1.UD f\ crecer r{lpidntnOllte. Este criterio (/l.llmento rápido do las flee1.lns pllra un Crt1Cilllhmtl'l pequeiío de la (uerza) puede ser considorado COlDO criterio de perdida de estnbilidad. Una vel clllculada la carga crítica, es ne«Sllrio esta1.llecer 1/1. carga admisible !\Obre la berta comprimida . .Por moti"o5 de Mlguridad, la carga admisible, naturalmente. deberá !ler menor que la critica, ¡PI- P'rf' ,
".
(10.1)
slend!) n" el cooUelente de seguridad por establlitl.lld (pandL'O). La magnitud del coeficiente de seguridad por pllndeo deber~ ser tal, que garantice el trabajo scguro de la barra, a pesar de que IlIS cond¡ciolles reales de su trobajo puedan lIor meDOs bvora1.llell que las admitidas patfl el ('1Ilculo (debido a la hetero¡reneidlld del material. a·I03'errores comelidos al delermhulr lilS cargas. cte.). El coeficiente de seguridad por ptllldeo SIl admite algo mayor que el de seguridad 0r J'9!1inencill, 'Puesto que se tieneu en cOII!liderllCión (actores desavora.bles suplementarios cowo Mn: la curvatura inieial de la barra., la excentricidad de la carga y otros. Para. el acero la m.¡rnitud del coeficiente normath'O de seguridad
f.
'"
por pandeo n. se admite entre i J 8 y
~.
para el hierro lundldo, entre
5 y 5,5 Y para la ·madera, fDtre.2,8 y ~1.,2.·. Para UDll,..cOll~lderac¡6n mejor de In condiciones concretas de yab,jo de las. barras eompriloidu, lle rlXiOmienda emplear no un C9e(ic.i~Dt.e ¡reneflll de ~guridad por pandeo, Mno todo UD si!ltema de coeficientes partic\llarea de ~llr¡dll.d.
al igual que en 01 cálculo por resistencia.
La pérdida de la Mtabi\idlld del equilibrio .16stieo'lluooe ocurrir
tlmbién en la torSi6n, no:x.i6n y en las deformaciones compuestas. Lu in,'estigllciones demuestran qus la pérdida del pandeo fue la caU!la de muchas ClltbLrofe!l y Ilveriu de las eonstro.llx:ionu. § 88. f6rmula da ful.r p.r. la fUIna critica Veamos el estado crítico de una ba~ra comprimtda, cuando 111 fuenll «o compresión ll1eflllul el valor crítico, y supongamos.que la barra Vllndcll ligcrllrnt:ntu (flg. 10.3). Si los lnomentos de iTl(l~ia
fil. "J
N!Spcew a 1_ dos e.k!l cenlnl.ll!!~ prillclpala9 dt' 1" "Ccción tr:lllsYcrs;¡1 JIU son iguales, enlonces el pandeo oculTiru eo l.'ll'l:lno rle OICllor righle7....s de'Cir, que las secciones lrllns\'crsales girarún I't':l'peeto al eje do menor momento de inercia. Esto se delJlllestt;l ClÍcilmCfltc. cumprlrlliendo una ~gla 8l'lbehll. Pllrn ,1 ~tudio del plUldeo y pnra e:tleulllr la fucna crilicn roc"rrimos R III lICuación difurt:llcialaproximadn de la línea ('\108tir8 de la vigll h'clIsc el § 58): ¡.;J ".lnY~ "'" M /J... (10.2)
.,w-
'El mOI\\lmto flll(',lor respecto al centro de gra"'Hbu ,le la d6n ..1 d... lrl hlTta encorvad
El ~il;!oO Ileg;"livo iodie:. que la barra so C-flrorva enn la pllrle (;UII"OXI\ hacia urrlba, mícntrtls ql.e la orde'"l.d... H ~ I'Mitivo.. Si l• • LO/' '·alor... illtllc.dOll det c.oaIicientc de 84Curid"d ...... pand
_
l.
admitid.. en el Mlculo d. \a$ a«ructu~ Los VAlor1l!l de PIe qua"" e Meran al c.IGI!llr los ,,1-''''''011 d. 1.. maql/i"u fJX'l' ..¡..nplo, l . tom.iUOIl , ". c:<1DO;ldera .... _ '" -:-
barr.. Ile (l1H;orva ('011 la cOllvelidatl hllcill abajo, enLon('.e! el momento .'!l'ríl'l llO:sltivo. pl'ro 1M! ordenlldas de y serian llegoti\'lI.8. ). obtenuríamO!! .Ie ""IW" ("1 millmo ~!ulllldo (10.3). Tl'niendo en cuenta (10.1'1). la et'u(acillll (10.2) lle l'scrihirá ~¡, EJ"'¡.y..... -P
nbll'lUl~ono.~.
yO 7/;l y _0.
Eull, e... una l\('UIII:¡t1ll rliferonl':illJ Iincal ¡Jo segund,. orden. Su ~ulllCjóll gl'nernJ, como ~o dc",u('l!lrll. (011 las :'Ihtem;itkus, el!
11_/1 ro~ h -i-E sen kz,
(1O.Ii)
11 1'15 ""llstHrJLe'! tlo lllh'Rrnciól1. PHr;l r~1.lcnl;lrlll"; .~l! l'!mr.rCII'\ llOS nJrJur.id.. lI condiri"lIes de e.-:tremnl' de 1.. bar..... 1) t:OlIJ,d" ::_U, y -U; :¿) nJaluln :;.-1, V=O. O", la Jlrimorn condición hnlltlmos Á O. Por lo tan lo, /11 barr¡1 se cllcor....a !!Cg'(1D lila sinusoide, !I .... H Sl'lIk:.
ell'",Ju .ti
y
'Ir."
De la l!C¡;:ullda condidón so timp,
a sell /'-l =
O.
ElItll n>llIciún es ,'fIlida en dos e.... !lUS: loer CfIS". B = O. Pero. si.tl = O Y H _ 0, de la t,oCllilCiúll (10.4). re:ocnltll Ol\Lollces quo lu flecha!'! da la harra son iguale!! 11. cero. 1(1 que cOlllrlldico 11 13 5Upo5iclón inicial. 2·<10 C.!lSO, llllll kJ ... O, E$IB, oondj¡¡ióu 86 oumple, ¡¡liando kl ",el be 111 serie illfinila ~iguionle dI' vtl1ort's:
kl_O.
n,
2:1, 3." ... , mi,
siendo n uo número Butero ¡lrbilrario. k= ni' y, puesto que. k_
entrmccs,
V
De aquí
hallotnos que
- Pcrlt __ , EJ mil.
Asi .se obtionen un.!l ¡,¡linid3.u de valores de 1., e«rgtIs uhicu, que cOlTespond,eu a dU4.inus formas de pandeo de la barra.
Dei'lde el punt.o de ,'i~ta practico, presenta interés solnmento el ,·.. Ior minimo de la fuerza crítica. para In cunl tiene lugar 111 p6rrlida de est.abilidad de la barra. LIl. primeru raíz I~ = O no resuelve el prohlelnll. Cuando n ,.,. 1. so obtiene el valor miuimo de la fuorza cdUca. sig\lientl.": (10.fl)
esta es la fórmula de t~uler. A la fuerza edlica obLe{lida por lA fÓI'mula (10.5), corre~porllle la f1
Y~BsenTz. El resto de In$ raices dan "nlores mayores do la fuerza criUca y, por lo tanto, no los consideraremos. A ellos corresponde la I1eJ(ión de In barra por unll. sinusoide do vll.rias semiondas, que. resulta·.!)n el ca50 cualldo la fle.~ióll por la sinu!lOirle de una semiondl?- no pue.d.& ocurl'ir ilcbidn a la existeucia, por tljcmplu, do UgOdUl"lli'l intel'l.oedios. Se debe prestar "tcncióll u que la constante B y, por lo tanto, 111 formo ue In Iinca elástica ola la bllrra qucdlll"on indlltllrminlullls. Si pMa 1" invcstigación del paTldco se p.llIplca la OClllICióll rcsióll y 1,. flecha .In In hnrrn. § 81. Influencia del tipCl de 8pCl~Cl de ICla extremos de 18 barra Geup.ralrncnle, los cxtrl:!OlOS de In h;trra se llpoynll du mln ,le las mnnc,·"s rcpri:~cnL"d>ls Cll In figura 10./1. Lll segunda, correspondiente al apoyo arlicul"do dc los .Ios extremos, fue annli1.tul" ya, 111 dcrlucil' la fórmula de E"ler. Pnra lo.~ oLru.~ Lipos de opoyo, In rÓl'mnla geuerali1.a
n'Elm¡lO P"'fJ "'"
(,.01)2
(10.ti)
dondo Il es el coeficiente de reducción de lit longitud de In bnro·a. que delll:Tlde del tipo de apoyo de sus I'.xtremos (ri¡:. 11).4); l •. = f.ll es la JutJgitud dec~iva do In Larra. Cuanto mtlllOf eJ:l J,l. mayor scrú la carga ~.rílica y, por lo ttlnlo, lo cargn IIdll'1isible sobre la barra. Por ejemplo, la cargll que actúa sobre la barra empotrada en F.HS do~ extremos puede ser 1tl veces mayor que la que actúa sobre la barra CmpOlrl\lla en UII ~ol() llxtremo. Por cso, allí donde rellulta posilJle, se rlebcn do empotnlr l'ígiuan,enLE>
'"
los dos extremos de la barra. Sin embargo, en la práctica. ealo no ..siempre es posible. Loa elementos que sirven de apoyo de los ext,remos (\e 111. barra en cuestión, son siempre, más o menos, elásticos. ceden, y ÓSIO introduce cierta indeterminación en los cálculoJl. Por e!!O,
l' UlllY a mellluJo, incluso cnl'llldo los e:'l:tremos de la barra están rígidamente a otros elementos, el cálculo so realiza considerando quo los extremos astan lHticulnrlos, lo que \'ll a 11l\'fJr de lo resctva do resistoncia.
~mpot.rados
§ 88. Dominio de la fórmula de Euler No siempre 1>6 puede emplear lo fórmula de Euler. Al rladucirla, -emphl:lmos la ecuación diftlrellci¡¡lde ialinlJaeláslica, quesebasacn la ley tic Hooke. Esla úlli\"lIil, como e" sabido, es válido mientras las teOSiono.'I no rebasen 01 limite de proporcionalidad. Par.:l elllouloccr el dominio de la fórmula do Euler, calculemos
la tcn~iúll crílica 0cdl' es decit, III tensión que !lurge en la sección tranS\'efiWl do la barro. al actuar la carga críliCil, l'crll
O
"'E/ ml ,,
(10.7)
sienrlo F 01 aroa de la sección trnnsversal de la barra.
Puesto que tmlll=V' /mln es 01 radio de giro lOiuimo de la sección P, -trnnsversal de la barra, por lo tanto, la fórmula (10.7) se puode
(....E...-)'.
I mln La magnilud~ caracterfza la influencia de tas dimerulolles 'mln .de la IJarra y el- mQl10 de apoyo de BUS extrem.os. Se denomina esbeltez 4e la barril y M. anota por ).. La esbeltez es una magnitud adimen.monal.
A~1.
pues, designando
obtenemos
,,2E
"uu-V'
(10.8)
Para que l!9 JI'ltda emplear la fórmulli do Euler. es l1ecC!lllrio que se cumpla la condición siguiente: ,,2E
(10.9)
lI'<">"u=¡;r<:o" ~ieudo
o, el límite de proporcinnalidad del Ulalet.ial de lit barra. Despt.,iando de la fórmulll. (10.9) la esbeltOl., oblendremo.\ 01 dominIo de la fórmula de Euler en la forma shNiente:
(10.10)
.... si. pues, para 1al borriU tk aaro tk bajo (ulmno. la fórmula ik Eull!1' • pu«1e aplfcar, .A w. ~It~ lk tu¡ll.illal (6 mallor que 100. De una manera IInlíloga se establece el dominio de la f,'rrutlla de EHler para el hierro hlntlido: ). SO. P/HlI lo.. aceros de contenido rnt'dio de carbono, :u;í como Jlllra 1011
>
>-
§ 89. F6rmut.. amplricas para le determinación di las IenslGnes criticas Si, como ocurre muy a menudo en la prácllca. la esbeltot de lu burra es mellar que las magnitudes indIcadas. entonces la f(,rmulll. da EuJer relIulla inaceptalJ1o. pUl.'sto que ill! ll.'ll~iont'~ críticas lICrán, en ellle CIlSO. superiores 81 limite do proporcionnlidnd y la ley de Hooke, por lo Wlnto, dej~rá de ser válida. Exi~tell. m",lOdo! teóric~ aproximados rara el clilculo de 1113 fuenAs critieas cuando la p(lrdidll de l!5tll.hilidlld ocurre en el dominio no elbtico, pero !lU anUis;~ !IlIle fuera tla Jo~ márgenos de este texlo. En eslus Cllso,s se emrlea. geoeralmente. l. si~iente fórmula empirica. obtenida por e eientíHcu ru.so F. S. YlISinskJ, basad.
011 nUIlll'ro",,);,;
t!.~p()rimentos realizad(,~
pur todn una serie
Jicos: iJvH =
a_bl>.,
(10.1 J)
'i /¡ ('ucHcicntes qlle depondolli ,Id matpri¡,l. Para el lI("en> C1'-3, c'''llIdo 111 eslll1hez varía de f. =-" 1,0 hHstll 1>. '"" = tOO, l<),~ (;ocfici<'llU'a a Y /¡ Jlutlden lIer cnnlliderad,)~ iguale'! n {j = :1 100 kgf/cm' y b = 11,4 kgf/cm". l'a1"1l t'sbclLect's }. <
sjelldo
(1
§ 90. fórmula práctica para el calculo por pandeo En lugar de las dos [úrmulas, la de Elller y In d" Yasinski. ('
I~¡.'la f(,rmulll priíl't¡c~, que se limpIen ampliamenlc al ca!lallnl" las ostr1U;luras, I!s In ~igu;cnte:
('10.12) .~ielldo
('11
locl la tensión admisible (¡áska a compresión; 'P, ni <:.ocficienttl dc di~minución de la tensión; a,dmisi(¡lt,l· básica ?o coeficiente do pandeo). Lll Olagnilud de t¡> dependo t1111 material y de la es(¡elle:¡; de la Larrn y ~e obtiene por la tabla 10.1; F, ('s el área de 1,1 sección transversal do la barra. La magnitud
La tt'llsión 1l.lmisible !lúsieli a compresión IITcl, como es (vél\se la fórmula (2.17)),
SE!
s¡¡he,
[ocl=~,
"
siendo all rn la tensión límite que lle oonsidera igllal al límite de fluencia para lo~ materiales plásticos, y al límite de resistencia para 108 frágiles. La relación entre el coeficiente
(10.14)
'"
.de donde so dedu\:e que,
lp_~. lar.! n .. Empll1nndo la fórmula (2,17) obtennreulOs,
(10,15)
<1",., "
(10.16)
.~---. "'\1m ".
Al calcular la llecci6n, la {,írn11l1a (10,12) se transforma de la f.,rrull siguiente:
F_J.!l. '1' 1".1
En los cálculos nos vemos obligados e. fijar prevje.mente el valor puesto que lA esbeltez ¡., 110 sil conoce, por ser desc.onocida tamel úrea F de la sección de lB que depende la esbelte:!;. Como primera 8.pro.ximac\óu, ~ recomienda considerar !P. = 0,5, Se cnlculan después F, J m1n , iml<,. }, y. por la tabln, se obtiene el correspondiente valor fle ql;.
(le
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E&r"Jl"~
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11,89 n. gr,
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IJ.:H
O,H U,r.O
U,21\
U,4f(
D,12
0,(•.)
0,118
'SO
Si hay gran ..¡ ¡fenmcia entre los valores de
lp',
entonces se
'
".'z---,-'
y así. sllcesivllmenle, hll!\ll que la diferencia entre lo!'! valores cOlJsilcmi\'UH no sea menor de 4 -:- 0%.
Para Ills hlll'rllS. cuyas seCciones tienen grandes debilitamientos (agujeros, por ejemplo), aparle del cálculo por pllndeo, se debe reali7.lI.r tambión el cfikulo común de resistencia por la fúrmula, /, 0= Fn~!ft
-< [o
siendo F~cla el área ef«:tiva (de trabajo) de la sección de la barra. En los cálculos por pandeo se considera 01 úrea al! la sección compleLa (F br ... l .). En IIlgunos tllSOS (al calcular, por ejemplo, los elementos ll.:las construcciOnes thl ltláqllinas), los valores de los coeficientes ue seguridad por pandeo n e que fueron p(flv¡~tos, al confccciODllr las tablas do los GoefiGieutes qJ, resultan insuficielltl1S, En estos casos el cálculo se debe reali7.al', partiendo dircctnUlente del cocficiente /le llec~1rio. empleando la formllla de Euler o la de Yasin!!ki. Do la mísmll manera :le debe obrar, al calcular por pandeo bnrr:lS de materialos que no figuran en la tabla de los cooficientes
., / ' ," ¡-V --¡¡-.
El radio dI! giro i es unA magnitud dimensiollal. Para COlllparar las divcr~s secciones entre si es mb cómoda la magnitud adimensionul siguiente,
(10.17)
que se puede denominar l'lIdlo unitario de giro. En la tabla 10.2 están dndos, los valores de p para algunas de las secciones más difundidas. Como vemos, las menos convenientes son las rectangulares macizas, quO tienen momentos do ineroia desigu'ales respecto a 108 ejesprincipales Y. por lo t8nto, no se cumple el principio de igual estabilidad de la barra en los dos planol:l principales de inercia.
'"
TULA lU TipO de ."""I
tWcllingulo de
~"'2
0.20!'
0,2811 0,253 0,27-0,41
C.undTmlo Circulo Perfil dol,Je I~ Canal Perfil angular Allillll, para c_O,1-;-.O,!l
O,Z9..Q,J,t
Q,3·0,5 H,2
1,64-2.25
Anillo. ¡lIlTl c_O,B-;-.fI,\Y.,
Las secciones IDiís COIH'lmientc,," son la", anulares, así contÓ 1113
de cajón de paredesdelgada,;. LoscalculosdemueslTlln, qué In sustitución de 1lI.s ],al'rM comprimidllR
Ilesolución. <>lllcniendu,
'1
C(Onsid<.lralllo~
600 kgflcm",
CO,"O prilllerA n pr<>xlmnción lFl = 0,5,
. l' 000110 62 • J. = 'PI (O'] -. ó,:'>.J 000"'" ,5 cm .
De las tahlas dol surtido dI! perfilcg tlpico~ (COS'f 8239-5[; $} <.lsco¡.¡cmos el perfil doble te N°36 de área F ... 6t,9 cln t , "~l radio .Ie giro miniroo, de estas mismlls lalJlas, re~llltll :l6r ¡",III so i~ <.1' 2,89 CID, La esbeltez dll la harr.\ será, J. ",1 1 .~'OO 69 ~ ~O = ;m(1I ='T,89= ,ól>'l::",
El c01J!idcnlo 'P para el acero Gr-3, cUlIudo:A = 70, de la labIa 10. '1, resulta
06"
~,.,l.
EntOnces,
1'= e
O';;::'~600 =48
Escogemos el perfil doJ,lo i u = 2,69 Clu.
te
cm".
W30 de área
1'=46,5 cm"
""
La cshallcz do la mlrrll es, f'l 200 t': '~-,-- = ..-¡:;-,;=:;: 7 v. mln
"""
'Pi."""
I)c la tlll.la 10.1 se obtiene 0,78 (interpoiundo Jos valor<.JS ("urrcsjIOlldio.llllrn¡ l\ ,.=-70 y ¡,,,,,SU). La '('n~iÓJl en la slJCción trnllsvcrsal de In Illlrl'a Sl.'rá entonces, /' roO uoo o=p"" I,U,:; ""tORO kgf1rn.'.
LIl t.cnsií," udmis¡blo llll el cálculo por pandeo res.. /I". [ud = tp; rae! _0,78·1 naO z:,.-J 22::> kgf(cm~. Ln ,,"blcnsión S\lpOllll, 122~
" 12"¿:¡10$0 100.,.-_\1,8,6.
H('ali%I\"IO~
ot,ro intento IIIÜ, (,'ollsidClralldo flIIC, O.7A+O.r.s U 72 'l'J=
2
=,
[.00011
¡''> t':
.
.\sí lll>leucmos. "
r =n,7t.ltlOO
la,.)
•
cm.
Escogemos el pl.'rfil doblo le .N: 27 dc ,ínm F = 40,1 cm~ e i c = 2,54 cm. La e"l¡elloz do la. barril con'Cflpolld¡unlc (Os iguul a ),. ~21_.
= l.:oI,
~-.
_
{9.
El coeri"i':l/ItlJ tI', seg.íll In lab):,. es l'cnulllos pll.ra In lonsHIll (1
0,7:'.
~ 52o~;j = 1250 kgUc",a,
Lil "tl>t1l0I ~~lOIl(lCi . 1" (nl = ,'>0' ,'" >"ti resu1ta a dmlSl ";jemplo 10.2. Calcular las dimensiones de una sección anular para los misluos
.
¡,l.
Ejell1plo IQ.3. Hallar la carga a
La longitud de la barra es 80 cm, y el coeficiente ullce!\llrio de
seguridad por paulleo, n.~ ~ 3. Resaluclúll. Pueslo qlle está dado un tletermjll(l.l10 coeficiente de seguri,lad por ptlndeo, realizamos el c.álculo directamenle por la fórmula de Euler o la de Yasinski. Para hallar cuál de las dos es aplicable ti este casu, calculamos 1" esbeltez do! la barl·u.
>'ieudo,
La esiJeltez resulliJ menor de 100. es decir, la fórmula de Euler p:na la bl\l'ru de acero de IJujo ctlrhono. no e.s lIplicuble. El cil!c\llo deber;; realizorsl' por la fórmula de Yo>;in~ki.
§ 92. FlnlOn por fuerzas longltudlnslel J tranlversales
.J"
Vellmos de nUllvo el caso la a¡;ción conü.illn(1n sohre 1" barra. d.. 'lOa fuerza UJI:ial de .;oropresió" y de Ulla carga ttllnsvet,s¡li (fi¡r. 1(1.::'». Bajo la ¡,cción dc ost" carga la Larra se deforma como
~----'"
- -------;
F1Q. 10,5
está ind;c.. do eJJ la fil!"llr" por la línca pUlltCUlJ.". Si las n",formadllHCS son pequc;ias en cOl!lplltaciún con las dimCll~iolles ilEl la :;er.ción, entonces lns teJ1~iollel' quo SUl'g(lll en 111 Lorr(l, se pueden dolllrminnr JlhrtielHlu oel principio de slIperpos,ciún de las f\l .. r~as. cs decir. por
sepnrol1o, para la fuerza de compresión, por la fórmula.
s 0,_ - 7
(10. IR)
}' por" la carglJ lranl'\"er8al que origina la f1e:d6n, JXlr la
" 2 = ± 1"-M~!I~c s;(,'nd" Lo
,
fórlllul~.
(10.'19)
M~/I"o
t(:,,~i'm
el ffiOlllento flector dobido exclusi"llmclIte a (a eHI'ga tranl'vorsa l. totll.1 se obl,icno. por lo tanto, por la conocido. r",r-
mulo. Oz=_~±M611~C F IV'
En ¡',s barras de pequeÍla r¡gida... es llcccsario considerar tilmbién Id \110111<'lÜO fleetor !lllplemenlario quc IlIHU'ece on la seccir"m '_rlln8n~r· ~ .. I (le la barra, como consecuencia d~ IR acción de la fuerza ax;nl
{jul".'. obvinm(,lIte, ~s igual 11 11'1 8 = Sy. EIt e8le caso la" tellsiones se dcherán l,allnr por la formula.
(10.2\)
El cálculo de lInll I,nrrll do pequeúf' rigidoz por la accióu cnmbinada de la flexión y la compresión, que lW realiza teniendo en <:.onsideracióo los momentos flectores $Uplemlllltllrios originados por In fuerzo axial y 311 influencia sobro Ins flechas de la bllrra, se ,10110mina comúnmente c¡ilculo por flexión origilloda por fIlOT'7.IlS longitlldinales y transversales. En el caso de barras de gran rigirlcL <.;00 solicitación o.nálogn se dico !'implem(mte del cálculo por acc-ilm combilllula de la flexión y la compresión. El valor de la fJoc.ha, que elltm en Ja expresiún 11-1 5 = Sy, y. p"r lo tanto, en la fórmula (10.21), es desconocido. Este valor no se puede determinar considerando solamente 111 acción de la carga transversal, puesto que depende también del momento flector suplementa~io, originado por In fuerza de c,ompresión, momento que, a su vez, rlependo de la flocha. A~í, pues, la ley de supel'posición de las fuerzas no \'Ale en el caso de flexión por fuerzas longitudinales y transversales. DilO de los métodos de reSOhlCión de este tipo do proLlemas. o'" el de las aproximilcioucs sucesivas. HaIle/llos.primeramente, la flocha Ol'iginllrla por 111 carga lra"1\vel'sal. POI' ejemplo. para una viga ",obre dos apoyos con uoa fuena concentrada en su centro, la flecha ID;i"hna en el ceutro del vnno es (como !Oe demosLró anteriormente). P<' Y,nh'" 481:' J .
El momento flector nliiximo. dehido a e¡o;ta carga, OC\lrrc ell la i
"
/01 011«:","4'" . Teniendo eslo en cnell13, la fórmula anterior se puede escribir en 1.. forMII lliguillote. M o /I_~11 (tO.22) VIn'l""'" liRl CoD
(tO.23)
M 15 -SV..... ,
asi como el momenlo total, PI
JUJI_e-MO 11t<:+M, - T + SVD4.· (10.2.41) Si el segundo sumando no es pequeño en compafllción c.on el primero, $ti debe precisar la /iOlución. Para ello. el valor de /of Jlft obtenido se jn~roduce en la fórmula (10.22), obteniendo alli un \'alor mh e.xacl,o do V..b y de!!pu~, un valor mb aproximado del momento f1eetor y de In ~ensión. Existe lambién otra solución, más eXllcta, del problema de Ja [[erióll por fuerz~ longitudinalell y trau!\'ersales, que !e exponll en los ~extos completos de Relli!~encla do Materiales. Esta !lOlucion demuestra que en la flexion por fllet'tas lons:ltudinales y tr/lns"er8ll~ le." la rrecllD se determina por 111 formula y - /lot, (IO.2!i) .siendo !lu In 118cll\\ debido. 1I lo. fllertll Lrall.~\·er&l[; - , el c(¡eficlenll\ Ot' corn'cclóll, quo Tt'fiejn la inUuenciQ
,
,~
-
.,'
~'E:
de la fl1t'fZa de compresivn: S.' la, aSÍ Illlmada. (llena de t:lller. 1;:" el CIlOO ,le \lna hArTl A'f:.I de extremos artit.:\Ilarlos. SIt-=--¡¡-. El momento Oeelor tokll
SI;¡
dl'lcnniulI por 1,. f,¡tmula siguiente:
!I1,lu-Mo11... +Sy'"
Jlf"I'''+
S''i .
l_sg
(10.26)
U! lel.siones máximas en la" fibraa <''!JrtrI'W0L5 lIIl ohlienen por la fórmula o=_!...._~ F
ov
(10.27) (10.28)
De In fúrll\llla (HJ.28)
~ (Ic'\lIo,;o
t6Jlsion6~
'lile las
crCClJn c",[I
mayor mlli,1cl. que lH l:lIl'g'a. En efecto, si supollemol; que lo carga trans~'er;;;ll y ItI lllll~itlldinal rr~cen pt"Oporcionalrncnlc 1'1 un mismo parfllllolro, digamus, n veCtll;, entonces la magnitud Yo crecerá tombi6u n veces y, IlOf 10 tOnto, el idUmo ~\lm(lnOO de la fórmula (10.28) 811rntlnl,ná de 1Il,¡rlCfIl 110 proporcional II n. Por eso, el cá!r.ulo do la resistelLcia en In flcJf;,'''' por cargas longitudinales y tramov[>rsal.. ~ lJO se plledo I'calhar llor la:! tensiones atlmisihles. El cálculo so realiza
llOI" Ins cnrglls admisibles, t1ctennilll'lDd" el valor de las fuerzas par:l
ro,,,,,,,
i" ¡ • 4=3U8Obk 4m
g
f
Flg. 10.6
las cuales 1:1 tensión ell el {Junto peligroso de la sección Lfllllsvc,-s;.l alcanr.R el límite de fluencill. Dividiendo esle valor de la!! fuerJ\¡l!! Jlor el codieiente ;Je seguridad necesnrio, se halla la carga atlmisiLJt::. Al comprohnr la rc~istellr.in de una bnrra, ~ calcula el codicien1lJ efectiYo de ~cguridnd y se compara ton el requerido. b:l eáo!eu)o del Godir.itllllc efectivo de seguridad !le rcaliw, admilientlo que la ({¡rmula (10,28) es viilid,l hasta la {Iparición de la fluencia y que dUl'llllte el crecirnif'nto tic 1&5 fuerzas exteriores, 11\ relación entre la carJ,¡ll trallsvcrstll y la longit.udinal se mantiene conslante. Según e!!laS suposiciolle~, b:lSll.lldonos en In ftlrmuln (10.28), PO\ltllllOS escribir,
s;:,. + "'01IJ'~"" -1- ~,.,....IV(I_~) s"
.
(1O.2\l)
El núuH'ro n indica en cmílLl:lS VCGUS se debe aumentar las rUP.fLaS o_~te~iores para que la tensión en el ¡Junto peligroso sea igual ,11 límite' de fluencla. En otraspalabrlls, !les el coeficiente e(ccti,-o de seguridlld por las cargas. De lo. fórmula (10.29), resolviendo la corre;;.. pOlldiente ecuación cuadrática, se obtiene n. Cuando la carga transversal origina la nexióll en el plllllO de m(Íxiul3 rigidez de la barra, la CÓDlprobación do la resistcncia, que 86 realiza COIU\) se indicó. no excluyo la nece~idad de comprobar la estabUidad do la viga el) el plaJJO de minima rigidez, por los método~ expuestos eu'.los párrafos a.nteriores. Ejemplo 10.4. Calcular la tensión máxima !ln la sección lrnlJ~ versal de una viga de dos apoyos. Su sección es de doble te ,N~ 20, do Ji = 26,~ cm\, W" = 184 cma y J" = 1840 C1Il4 , LIl viga eslá !IOlicitada por IIna fucrza P = 100 kgf, aplicada en el centro de l~ viga, y por una fuerza r1e compresiÓIl S .... 30 000 kgi. La 1\17. de la viga es 8 ID, El límite de fluencia, (JI = 2 I¡OO kgf/crn 2 (Hg. 10,6). 292
ResolucUin. La tensión ol'igilHHla por lo. (ucrl.a de comprosiúu es, O"¡=
-~
-~u~=
=
-1120 kgf/cm'.
El momento lIector máximo dehido " la Cflrga PI
trAlI~V{'rSlII
será,
100·800
M c //, c =T=----;¡-=2.10' kgf/em y la lonsilin norOlul máxima. f1riginada por él. (J~
= -
MCIl.,. 2·tO~ ",. - 1("' kgi. cm ' . --w--".... - ---¡s.¡HI
¡\sí. nosultn que la tElnsi<Í1I tulal. sjn cOIJSidCrur el momento Oril-(illOtlO
por la fuerza axial, vale (} = --1120 -109= -1229 kgUcm ' .
Calculemos ahora la t.ensión que Of.asioll/l el momeuto suplelJ,cnUrio, engendrado por IR. fuerza' axial Para ello bailemos la flecha máxima de la viga en el centrn dol vano, por Jo. fórnoula ohlenidll nnteriormonto,
YQ'~
PI' 100 8()l)~ 48EJ "18.21{llllliO=0292 C/lI
La fllon;:; de Euler es, «I~;J
S "~-,-,-=
3,1Ii:l·2·1O·1ll"·1 ¡V.O l\()()"1
Y r.l coeficienle de corrccclún,
~_'/,(){, =.1/,J
k¡::I=;,7,'Il
,
c"",~~2,08.
l - fl1 .1,
L;j tensión suplelllentarill que ocasioll'l el momento dl'loidn II la fuerza uxinl sef(l, ~Sy""
'Y¿=---¡¡:r;-=-
:l(lOOYl·(I.2!l:!·:!,OH Uló
-- -!J0 kgff(',tU~.
La tellsión tot,ll valr.
"=
_1120_ tOll-~l!l = -1328 k/oif/eru l .
Como vet/109, la tensión suplementaria originnfla Ilor el'llomclllu do h fuerza Ilxia\ e5, rclativ,lownte, per¡lOc;;n (7.5% ,]e In lotal) u pesar de que en DI tljeTllJllo se admitió, cOllscicIII.cm.'ull'. 1111,1 "iga ,[" gran e~helte:¡; '" _ I~ ~. ::~ = 97 y olla cnnsit1ec'lble fuona de compresió", qlle cOllstituye pI 52% de 1" do Eulcr. Sin I!mbargo. n medida que la fuerza de cOlI\llre~iól\ ~e aCl'I'Ca " lA de Euler, Ins tell~ionc.~ y las derorml\ciollc.~ Colllkll1.an Il crer.cr rápirlllmente.
Así, cUlI.ndo:) = (J,!:lB SE IH Uec.ful fe\luJb IPUf la fürmula (10.25)1 !JO ,,~. P:ora S = u,99 S¡,;, 5e obtiene ya 100 y~. Cualldo S _ Sr;, a un aumento ¡trbiLrarilUDenltt pequeún de la carqa COTTE'!!iIIOnde un aumento arbitrarianllmte grande de lBS flechas. es docir. tiello lugar la pérdida de la etltahiliJad del equilibrio de 111 viga. PllrH cnlcular la ~rva de r<:sisleneia. se dehe ...mplear 1/10 fo", mula Ih.l,2!I), De3pejando de la ecuación eu;ulráliea el vaJor de n, se olotir.'Il:l I~ "-" 1,6, lo que quiere docir lIUC, 111 lIumenlar bl! carglll! ¡ullllvorsal y JOlleitudinal 1,6 ,'ceca. Il:I.! ten~iOll@s máxima:> alellnZM¡ el Iímito de fluencia, o SCa, 24(10 kgf;":m 1 , Si .se ealculll~e el euenciclItc de seguridad re~pocto a lillS teu~lones, se obtClltlria
,,=
JI =
olro
rl~"ll11¡lllo,
Siu tlw1.la¡'go. lIi ,~o aulllentnSI' lil (:Hfgo. 1,81 veces, resultor'a, por In fórmula (10.~), qUII lns l<.'nsionel:l máximas superar[lI11 C
CAPITULO XI
ACCIOH OINAMICA DE LAS CARGAS
§ 9S. CarllB8 dlnllimlcas Hasla aquí, estlldiábamos la, acción, sobre la$ piezllll, de lasosrgas estáticas. Como se sabe de Jo expuesto anteriormente, 13s cargas estlÍticas vllrían su ma~nitud, de cero a los valores definitivos, tan len Lamente, que las aceleraciones que en C$tas condiciones reciben los elementos de la... costrucluras son dcsp~eciablcltle"te pequeñas. Sin p-rnl!ll.I'A"O. muy a meuudo las cargas t.ienen c,arácter dinámico, v"e>lLo qno vurian Cll fUTwi6n del tiempo COlO grau r:\pidc:I.. Lu acción de estos cargas va acompo'-ll,da de \liLraci.me.'1 de ¡"S ('atruC~llrIlS y sus elementos.
Las tenslonesqll.e su.rg<:n duranLe las vibrocione.' de l(ls piews, pu<:r1ell :Jer de magnitud m.ucha$ veces n!a.'lur que i(ls tensiones correspollllientcs u ¡:nrgas estIiUc(ls. I~i cúJ,;ulo do 1..11 piezas .la las estructuras por cargns ,Iimímicas c!\ más cOTuplicauo que l!1 clÍlculv por cargas e~tática9. La dificultau (:(Insiste en que, por una illlrte. los esfuerzos interiores yo la!' tensiones. dl'bidos a las cargas dilllímicll:>, .'le oblionen por métodos mi\9 COlnplicad "S y, por otr;). en que 1011 métodos de determiuacióll tle las caractcrís.uc:ls lIlcc¡jnicas de los 1I1l1teriales para cargas dilllilllicas. son lI\mhiéu más complicados. Por ejemplo, cuandu ll.ctúu UIlI\ cargo. tle impacto (o!< dcdr, Ull(' Cilrg'i.l de duración muy pcquejíu), muchos m:.torialos. lJUO cnando Sé trata de C(lrgllS estáticas son pliislic08. se comportan como materialllS frágiles. J::n el caso de ~rg;ls variables repetidas, la resigLencia del material dcerc<:ll bruscamente. El método ganer,,1 de cá¡'~1l1o por cargas dinárni<:as so ba.s..~ en ¡:ol conocido principio de lJ'AlcUlbcrl de la Mecánie
secciones y aplicar las ecuaciones dll equllihrio para calcular los eJIfuer:los interiores. En aquellos CIOSOS, euando res"lla dificultO!la la delenninaeiull de lo!" focr:l.:as de inerei:l, eOlllo por ejemplo, eu el ellso de las fuenos de ¡mplleto, pan el raleulo de la", leosiQne.s y deformaciones .Jio'mic1'ls ~ ",eurro 11 la ley dll conser... "eiull de la energía.
§ U. C6Itulo da lu hnelon .. an al can de mo,imiento uniformemenh acelerado ~il "'lidios CII_. las acelcr-dclf'ulE'5 de las piens de las máquina.'! son ronoei.lJU. Lu IOllsiouO!' dimímiCll'" !te calculan, enIOllCe5• .!!in d¡[icultlld. VCllonOS .. lgllOrlS ('jeml,l
=r~
,le':::::::E7?=':.¡=. ,
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/
q.¡a
, ,I
JlliTI l' IIIJlll 1{1 JJ J 1Ji ¡In¿
, ~ ,~ '"'" '
~
I "'fiN
fla. 1l.1
f •. 11.'
Ejemplo ll.i. Ull peso Q se mueve hacia arriba con la acelerllciu.. (fig. 11.1). Calcullu b. tensión que surge en el cable,!!i se prescinde del paso de éste. ApliCllmOll al paso 111. fuer'lI de inereía ma = diri¡idl hacia abajo. Empleamos el miltooo ¡Je la.'! goccioneo$. Tr.~ mos la .secc16n a - II Y retiramos 111. parle superior del caLle. AnotamOl! el ealuerso I!O el cable por N
11
fa,
o",,,F-Q(l -: 2911
)=0.
d,) .tonrlc h"llaremos,
o,u..
""'!f (1 ++) =
0u¡K,lIn,
tellsiÓl1 corre.\lpondienle " -In ncción eSl:itiell del Ileso,
Kdl" = '1
-I-'¡.
el coeficiente dinámico.
Asi, pues, en mucbos cnsos, las tensiones dinámicas se pueden a través de las estáticas y riel coeficionte dinámico. Esto es esp~ialmentll cómooo, pue,;to que el valor; del coeficiente dinámiro con frecuencia se obtieno experimentalmente. Ejemplo 11.2. Una bnrra de peso q, por unidad de longitud, se ",leva mediante d0.9 hilos fijndos a sus extremos (fig. 11. f ). Su m_ovimiento, que es de traslación, tiene una ecelcraci6n a. Calcular las tcm;ione.~ cn la hann. AplicfllllJO a cflda eJemenl0 de la barra, de longitud unilaria, la fuen.a ue inercia..Q. d, vemos qHu el problema es equivalente ni de IIna viga siml'llc. solicHada por \lHa c/lrg-a nuiforn,enlellte diSI"ib\,ida tic inlclIsidaJ q +(l. E.I tt1ome"I,Q f1eclOl' máximo onurirá en el centro d... In viga. e.~preg¡¡,r
,
%
JH.l'~= ~iC'nrlo
,11."
=
('¡-!-_~")l' '1Ii( ") Il =11 1 1-7 =.~f~.. K"""
el monll:"to lJ",clor t;orrespoJldicnto n "c>:wiliclt. unifvrmemenle distribllida
Q¡;
IIHa cnrg;t <10 intt)n-
sidlld q, K,,¡., .... 1 ~, el coeficic"t.o dinámko. La tensión dinámica mhillla se obtiene por la fórmula de la
+
,
r1o;,dón,
§ 95. Cálculc por Impnto
Vcamos 01 cuo de iOlIHlcln IUlIgltudinll1 de un pe~o, ~obrc "IJ cuerpo illmóvil. SUPOIl¡;:¡1I)10S (lno el peso Q elle de lIna altura h rob"l' una hnrr¡¡ i"móvil (fi't. ti.a, aJ. La velocidad del (:u'Jl']Jo en <:1 illltl
Esb ,·elocid:od di~milluyc! hnsll\ Imcel'!lo linio. en un periodo ,ltI liempo muy peque¡'io qu~ se mi.lto t11l milesiu,u$ o ccntésimaa d .. 5Cg1l1ldo. Debido a. JIl ~rnll Aceleración (reLllrdllción). surge una fuerza dI' ¡"ereia consitlentble que determino. 11' Ilcción del imp:leLo. Sil. ernha~o, es muy dificil ~lableeer teóriCJlmenl.e 11. ley de variltdón. de JI'< \·c/«idlld Y. IloOr lo tanlo. la magnillld de la rllena
"; fil.1U
de inereia. Allu; se clll¡¡lea fllro m':lodo. basad" cn la ley de co.. ~r '·:lcib" dE' la clIl'r.;ía y en l." lI1.posiciom:!! IIiguienlCS: 1) UtS lensiOlle!l durante el impo.cW no llOO sUflcriore! al límite de propó..... ionalidad, mltlll8flióndo,;e pues válidn la ley de J-1ool..c (impacto el';~ti<"o). ¿) 1..0;; ("Ilcrpo!! .Iespuéll .Iel impacLo 1111 se sepllrllll tino del oLro. 3) La nHI!1l lito III bIUTli. 'I"e se golpt'8 se considera paqut!ihl l'!Jl compan,cion ("011 la del cllerpo que ¡¡:olpclt y 110 se tiene. por lo tRilLo. eo consideraci6n en el ClSlculo. 4) Se pre!lcinde dt! In pérdida de parle de la cllergía, que se transforma en calor y en mo\'ilniento o¡¡cilalorio del cuerpo que golpea. Igualamos el trabajo del cuerpo que clle 1\ la energía potenciol de la defoMnnci6n de lo. borra. El tr¡¡bajo rlllllizndo por 01 peso que
ene es: A-Q(h.+lifd¡~J.
siendO) litdl" lo. derormaci6n din,;mica (acvrtaOliento) de In l¡¡trrll. La ene~i¡¡ polellcial de la dl'form3Ci6u de la compresión (vóase el § 2t) c!.
n-
AJ;¡..SF
2I . De estas dos expresiones hallamos: Q (h+~,,¡~)=
AJ~¡ ...t·¡·
21
o sro., ó.l~,~EF
-Q2ló1olbo - Qh21_ O.
Di\'ldielldo los dos miembro, de esta illualdld por EF obtendremos • Ql2 QI2h O ó.l'fi"-7F" ó.JolIA-U -.
Pero : : _ ó.41f es la derormación di la barra debida a la es\áLi~meflte. por lo Unto, Ó.t:.i .. - 201• .,tll"l. - 2ó.l"'lh _ O.
atrgll Q, aplinda
¡.>espejando de esta ecuación cuadrlitica a Al"I., halJ¡lremos, Ald'" _
¡)"I...
±
V óJ~¡
+2JIAl".,.
Escugiendo el :ligno positi"o(la solución con ~I signo I,csativo dc 1:0 raíz contrndlce al ~entido físico (Iel problema), tlL~etl·
uela,,~c dl'emo~.
(11.1)
sielUJo K"¡II ('1 coe[¡e[enUl dinámico. Dh'irliCntlo los dos miembros flor la longitud de la barra y mulUplict'illdolo5 por el módulo de ela.o¡\icidlld E, segúu l. ley do Hooktl. pasuffi'" ole la>! defc>rmlOcioncs l\ las tensiones. 0",... =0...
' '1/'"' (1 ~ Y •I
" ) -u""¡",,,... <-
i\.l~..
(11.2)
I)c l'''l.t\S rónnulll$ tse deduce que la magnitud de las hmsiune,¡ y las deform:l.ciones d,inámicas dependen de 111 deformaciulI CSt
Casc> ¡>articular
Si h = O, es decir, si la carga
SI.: aplica ¡¡úhllamml/', ("/I1.()IICC5 du '>1$ fórmula>! (11.1) y (11.2) se obtiene!,
6,1 41 .. =
2~lrd; (/4111
= 2or .¡,
decir, 41 apUcar .Ri.6ltamtnlt la (argo, 14$ dcjormocionl'$ y tu Itn$tone, $On dO$ veces 1IUlyoru que ltu que ocu.rrl:n 1'11 tlt r:u~ da la a&cllin ut4tica de la mlsma carga. Son 5llmej:lIItes las lürmulas para el caso del imp.'lCto transversal (f1cll"ionilnte), salvo que aquf. en lugar do 111.,1 ¡OC debe eullSidenlr la flocho. estática de la v1lea en el lugar de impacto IJ..d y en lugar de Al./I.., la flecha dinámie.tl !ldl. (ng. t 1.3, b). ('.l:I
'"
}:jclllplo 1t .3.SoLJrll el centro
~"
>;cc<;jún tramwcrSllJ. RI'.wlllcJ6n. Por la fórmula (7.16) hllIlamos la flecha es\;í(ica
El r·<>efici('Iltc dilJ;;lQico serJ, K,u" ..... 1 En
('~l{'
1'-'/1_,--.-0..-""'1-'-]/1_" M # . e
';;"\5
'llIe el "slúlicu, Caklllar"',,~
,Jill~mico del
l·Jtl -(j4.
U,(¡IJJj11
peso (Ille cae es 64
VCCl~;<
'l1t1yor
la l.t:Hlsi .... n e.~uhina del peli" Q.
1:1 lllOlIIonlo 'Ilcctor má ... irno ocurre l.'n 111 sección central d6 In vign y es igu"l a H Q! 100.30(1 - "'00 k f' J fI'·~=-7C=--r,-= /,) q'ClJl. l~a
tl'lIsiólI l'st"t;ClI máx:ima sel·';, (J~.I =
M/I~. -¡¡:;;"'" 7500 407 =
11'),0 kgf/cm:
y la maXIJlln lelJsiúll dill;Ímic
= Jo.. + K'1¡" =-1S,f,·()1¡ =
1 100 kgf/cm'.
por su acción, las ~:arga'" dinámicas. A esto hay que agregar que las tensiones ndmisibles en el impllclo se escogon inferiores ... las correspondientC's R enrgas estáticas, De este ejlJmplo:se ve qué pllligrosas
~Oll,
§ 96. EnSlyos de materIales 8 GarlJaI de Impacta (ensayo por ImpaGto) LllS invl'sligacioucs demuestnm que la velocidad de lu.'\ deformaciones influye, _l>!lnsiLlemente, sobro las propi(!dades mecánicas de los Illnlcrillles. En In figura HA están reprcsl.'nta,lo!:' dos diagrlllllllS ue ll'acción, corrt:>spondientes ""0" 111 solicitnción e.~tálica (JI), y (l la solillitaci6n dinlÍmica, el ot-,:o, (8). De estos diagramas se deduce que, en la traccioll por imllacLo, ellímitl:! de h. fluencia }' el lIe resistencia croceno L~s investigaciolllls de N, N. Davidenkov y ol,ros ,loUluestrnn :100
que el limite de fluenci¡¡ aumenta Cll un 2O-iO% y el limile do resistencia, en \lll '10-30%, en cOlnporllción con los ~,orrl!spondil!l\~es a la solicilllci6n de tracción e~tática. La plasticidad, al crecer la velol;irlD
8
Fi~
flg, 11 .•
11,5
PllTa construir el di~gr¡lOla de h'3l,;l;ión por impaclo, ¡lt.d ¡ipu B cit, In fí¡:uro. 11.'t, SI'! ¡'cqllicren miiquinlls especiales mny cotnJllicad3.~. G"lleO'alruclltc, se cmplea Otl'O mélol!rl simplificado parll cvalllar las prujlirtlllrlllS riel llHltr.rial, cllanuo aclúnJl cllrga.~ (.!l¡ impacto. •.1. nsí ll;\m"do, ellstl)'o por impllclOl. l':HII los ensayos &: cmpllJlHl prohcllls de forma estlludurlizada. Una de t!1I1ll1 cst¡l rcpl"t~l!"'Il¡ado ",n 1... li¡':lIl"u 11.5. En el medio dtJ la probeta 51: hace \J!)I<. rnllufu.do 2 mm de pro(ur"lidl1r1 paro qUl:I el mnterinllrabaja en las cOII,lic;úllell DI{'~ .¡esfav,," rahl€ll. ¡lO!'S lfl raJlura con¡]uce a la concelltrllCi"ll U() tCII.'Iiones. LII probeta SO,somete n dCl!trucción por impacto en uu martillaLu pcndular aspeci¡¡1 (fig. t1.B). El cllcbillo del Iléndulo (e). clllvado a la altara }¡,. al cae,·, rOUlpe 111 probeta golpe'''lllola en el punto K (véasc Sig, tI.5), elevándose de~IJUés a (llln altura )~. < h" debido a la cllcrgin cinG\,iclI que le queda. BI trabajo flHI.\i1.udo Ilor el péudnlo es A ~. Q (lo, - h~). I':stc trllbnjo se gastll cn la destrucción de la pro})ela. cxcluycmlo IInn parte pCIIHcüa 6A que se absorbo p
.,1, rk!(I'''''''J 114-7l. ClJl~ siondo Al ." A -
•
6.4 la e!l(1rgín quo se consumo par;, 1:, dcslr''',;ci,)¡) lIc la Ilfobcta, F el área de In S
.".
LrJ. magnitud Uh ~ (1('nomina resiliencia uuihtria del mnterial. Cuanto mayor es aA, tnllto mejor se resiste el material .. 1 impacto )' t.uto mb dúctil es. La ma¡rlitud de la J'C!Iiliencia ti .. depclldc de la lemllettltuttl t en que .!lll dl'$lrrolllln los en!layo.!!. Para el ll.-ero CT-3, cl gr.aico do a~ en funcilm de t elllM rflflr~ntado en la figura l1.í_ Al di.!'!tuinuir la temperatu"", ti .. fli.!!minuye también. E'(jste Ull intcf\·Il.!O de lemper..tllrus t~rj. (>1, III 'lile /l .. d¡... minuye COII CJ5peeial mpidel. Esle
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illtcrvlllo !Se denomina inlenalo crítieo de In temperillurn. La zona de 11I!! Icm~ralurll.S sllulldas • la izquierda del inlcn'alo critico se flcnOlllillll zona de frRgilidad pur tcmper.lura. Corno "-emos. eslll :tuna. en d CIlMl flel licero CT·3 corre;oponde .. lcmplH-.. luras inferiores II -2;)~C. Pllra lemperalurII5 de -20" a -1-30". el '·alor de 11.. de t':lte Hcero es 8-12 kgfm/em 1 . Para algunO!l otros UpOll de acero. 1011 valores de la resiliencia, /1. 1.empCrll.lllrnS norm/l.lcs. e!llán dados en lo. tabla 11.1. TAILI 11.1
".. '.f,....
ACt;11O
n1
Ae~ro ollll~e
e 0.'5%
e o,20",¡",o.~ Aetl"O e U.30 .... 0.4O% Aetro e O'~""O.60" Aemo
A«ro .1 ni,!,,,,,! N"¡ 3,0,,"
."
qtll:l/C""
",.
_.f"...,. o..
.;,(I...¡...60 :;(1 .... 70 8O...¡...90
"'"
...
3O...¡...00 55...¡...75 70...¡...85 9O...¡... Ioc,
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§ 97, O.clllclones libres de un .11t.m. d. un grado de IIb.,t.d Como ya se indicó, la particlllaridad c:aracleristiea de las c.ar¡1l8 tlinámicas co~i.5te en el aurglmiento de oscilacionell en las C!'!:tructu' ras y sus elementos. Veamos 01 problema m's limpie de la teoría de las oscilaciones, el de las oscilaciones libres:' (o propiail) de un cuerpo, CU)'. m.sa esta concenlrada en un punto (lig. 11.8). lA.1 OJCtkulona 6e derwmin(Ul, ::1'.ff.!"'l
•
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Al. 11.1
O
F., 11.1
libres. ri oc:urr<'!n.un /uu:a. <'!X/triera pnlurbadoral¡t .5Vn. r.r:elustvamcn· te eOfl~utnd" de las propitdadt3 tlú.u¿ctU del sistema o,cilante. ConcroUl.arnos los n.lonamienlos para el CASO de un pe!'O Q col1I:1ldo do una harra elástica sin peso, AH (o muelle), Par.¡ oblill:ar al cuerpo:l o... cilllr IIlrcdedol' de sn posición de equilibrio, t.'stlrllOi03 lA hnrrn AH I1l1a nllllinltud arbitrario. lI Q , dejiindola Ilcspu';s libro, gl I,alúrpo 1;0¡noll"l.l\ríl H rCuliznr unos movimientos oscilAtorios e1l dirección \·ertitll1. Ln posición t1el cuerpo oscilante se caracterÍ7.11 por IIn "'010 parámetro que es 6, cs dlJoCir, el desplozt\miento ,le] cucrpo, re.~p~to a la po.'dciúu de su equilibrio estático. En estc caso, y en los r,,-!!!Os nn:aOROS, se dice que el si&ema tiene un grado de libertad, La magnitud de 6 "ftriarA en f,mción del tiempo, >'CgÚn rierll\ le)'. Para detcrmin..uln, aplicamos el principio de O'Alembert que dice: durante el mQVimi~nto de un pllnto mat~ial, la rtacción de la IIltadura, fa /u~:a diula 11 14 inercia 8It equilibrun mutuam<'!ntt. Pa", eliminar la ¡nn"llnria del peso propio del cuerpo, Iloaliumos sus oseila<:iones t1$pceto a la posici6n de equilibrio estático. 1-'01' 10 t-anto. sobre el cuerpo 6GtÍlan durante las oscilaciones las fuerzas siguientes:
t) lu Il.'llcciún d,' III hurra JIH. dirigidll In I(lY oe Honkc. :l
,. --,-' EI'~
:!) 1"
rller:t" de irwn·ln. dirigioa luu:ia Q"'"
Ilrrn~,.
. , dI'
(1 t.4)
Ln 'lima
e
o
dI
J
•
St'~,
.116 .•, U JiT -,..- (,)' - •
w-
(tUi)
,-- V- . ;n~.,
• • 1::1· ~
~
V
-~""'
( 11.l\)
¡\'ltll ,,>..,!lla fr~u('llcia circu(¡lr oJc las
i1::.
1I_.oIw"ifolc+8senllll,
(l1.í)
de dondo se deduce que (¡) ClI In fre<:uencin circular de la, oseitaeiones, e:l dl.'Cir. el "úmero,Je OKi1aclont·s cODlf'lelall que lRt renli:r..1n en 2:1 .!II:1fullllo.... LIII constantes A y B $e dotOrtllillllll de Inl condiciones de origen. Si 011 el instante inici81, es decir. cuando l _ Ú. el dt'~plazllm;ellto del euerpo ora 11 _ Óo}' 18 ,'eldeldad. ti =- v~. C!lllom:e.5. de 111.$ ecutlclo-
""
, *1
, f_u ,1
6Q_AcosO+BsellO. _IlQ _ _
Ul(.4senO_8co~O),
A-60: o definitivamente,
B",,~;
•
ll-lltcoslOl+':
SCllwt.
VealOos el ca!Ml particular de movimiento $igulente. El peso Q. al enu de una altura h, pe¡a al travesaño C. IfReeicmando. de esta mllncra. In bllrra CD (flg. U.9). Determinar el proceso ulterior del JO<
movimient.o. LlUI condicioues inicialu !IOn: 1) cUlUldo '=-0, Ó""O;
2)
CUllUÚU
t_O. v_L·._I/Zg'"
Asi. pues.
A=-O. B=':
=Y2h~••,.
Pur lo tanto. despu~s del impacto, el cuerpo re.liurá ~il.· .Irededor de la posición de equilibrio estático. segUn la ley:
cion~
6 .. ·Y2h61••,·¡;en (lit. La frt'CUl'ocia de las o:ICilacioll{'$ del peso es
.. /7ffi "'''''V 0 ' Y ka lllllplitlln do las oscihlcümc8 V2hl1l•• I. El IlespJazaltLiento Olh:imo del cuerpo (1ellienno en cnenta la deforJilIH:I"n estática) !jOr:\. Óm;lx
=- ól e• l
+ V 2Ml••• = M••• ( 1 + JI \~:.)
.
Este rcsult.ado coineide wn la fórmula (11.1). oblenidll por ol.J'o V~iuliento L....q ¡no en lrllor dt! wnsenación do la energia (si ~ e~ <:ollsiden.blt!/T.leute .n,)·or Que I:a unidad Y. por lo tanto. se pot:de prescindir de la unidad b.jo l. raÍ!. de la. fórmula 11.1). En el ejemplo aualitado• .se "upuso que 11I. o~nllcione! propIas del "islema. que oeumn st'glÍn III ley (11.7). Lienen lugar sin dispcrsiúlI de t'nergía, C!< decir. sin fll6rul! dll resllltencia. f:u esus el,lllllicione.!, 111" U$i1l1.ciono.~ continuarlÍn un ticnlpo infinitllLlleute lar/l:O. En 11'1 rlt~lidad. lIill embllrgo. ~ielUpre existcn (uenas de resistOI" CiD (fri<:ciún. re~ilitcfldo. (hll lIire, cU.) que cunduCOll il UDa dilimluuilion rnn~to.llLc de l¡" amplitnd de la~ o!ciI8<:ioues IibrC.'l y, ('.omu rl:!" 1I1lItto.du. Ue8puo\ll ñu Lranli.lurrir cierto t1emIIO, las osciJnciouc.!l d(';tllparOOCn completll1H('llIC. bl cl!tlldiu de la8 OS(',jlllciulle~ libre.!!. cualllJo os¡~terl flle17.~s resl~llmcia, Mle de los marcos de este bre\'C te"to dc ne~istellclll de !\bt,llriales.
ue
§ 91, Olcllulonel tarud.. d. un II&tem. de UJl Irllfa de lIbert.d. RlunDJlcl. Anllliremos .. hord el Cll!!O c\landa duraute las ~i1aciones, sobre el sistema de un ¡rado dfl Ilber18d actúa. a parte dfl la reaceiün de la ligadura y la fllena de inereia, también noa fuerza perl-urbadora que v.ría en (unció.. d'" tiem¡w. !iegÚn cierta I"y.
Supongamos que al pe!() Q (Iig. tl.8) 58 fijn un lnotor des..quitilJrlldo, por ejemplo, un vibrAdor. La ley de variación de la {uerUl perl.urlmdora (11I {uución (Iel tiempo puede >ler m.stallte compleja. Analicemos el caso particular muy frecuente, cuando la fuena perturbadora varía on fuuci6n del tiempo seguu la (unción senoldal, P(t)_PmuMlnQt,
(11.8)
n.
siendo P_~ el valor mliximo do la fuerza perturbadOra, (recuellciA. Ln ecuación elel movimiento del peso (11.5) serú.
",
JjT+Cal'6-=Pmb scn9t.
511
(JI.!l)
La ¡"Lcgrnl !tlmaral dll esta ecuación no hotl\og.;nea se obtiene como Is Stl"'/'( ,le In integral de la ecusción homog,;noa {cs dí!<:ir, ... ill III ~ guudo mi9u.hro): y una !()Iución pllrticular cunlquicra dllla ecuación difert!tlcia( uo hOfTwg~nea (11.9). La integrlll de la ecuación homogéoea ee, ti _ A cosllll B sen wl. (t 1.10) La solucitín particular de e:ltn ecuacióu (t 1.9), In escogemos do [a forroa slguilmt~: 6&_Csen QI, (l1.t f) siendo e un coeficiente indet"rm.inatlo. Para calcularlo, introducimos la. solución (H.lI) en la ecuacl6n original (11.9), obteniendo (~enit'ndo en cuenta que ~~ "'" _ CQ" tIlln Dt)
+
P....:i~ e =",i_H~ •
(11.12)
Asi, PUIll'l, la integral genoral de la ecuación (11.9) sed. p
O_Ac09wt+Bsenwt+ m,,~~tlenn,.
(11.1;~)
Como vomos, las oscilscio.nos del peso Be compotlen de Ill~ ollCJlllcione, ,libres y de las O,cllllc[ones originadas por la cnrga per~urha. dora. Estas oscilaciones se donomiOl(ll oscilaeiollos forzadas. La frenuencia Q de las olcilaciones forzadas, COlnO so ye de (11.13), es rgual a la frocuench, de las oscilaciones de la fuena perturbadorn (11.8). La amplitud de lu oscilaciones foru.das es p••
•
~-O"
Si la freeuencia de la fuerza perturbadora se acerca a la de las oscilaciones propiAS de la caraa, entonces la amplitud de lu oscilaciones fonadas: se haee mu)' grande.
Sin embar¡o. cuando Q = introduce en l. ecu,cióo (11.13), entonces el primer miembro de esLa ecuación so cOOyiert.B en cero. En este C1I5O, es decir, cuando Q :.- 61, la solución partieubr de I~ ecullci6n (t 1.9) se debe e3COger en l. fOnDa. si¡uienl8. ó·_tICsennt+Dcosllt). (1i;t4)
tt t. t t)
Introduciendo oslll sohlción en (11.9), obtendremos,
;
c~ O
Pm'~ D-----;¡n.
Por In tanto, IR -'Olución general de la ecuacl6n (1i.9) será la siguiente,
6_Aoo!lwt+Bs8IlClJt_
.-:;:x COI5/olt.
(U.15)
Como se ve. 1. frecuencia de 111.' o,'lCilacioDelI foru.das coincide con IIIll de las OllCilllclones libres. mhmll'lls que l. llll.plilud
'P_x
~
crece
propon:ionalmente .1 tiempo. El fenómeno que consistll en el crecimiento. en fllneiún delllempo, de la amplitud de las os<:ilaciones, cUllndo la frecucnci/l de las oscilado!lOIl libres coin(;jde (;on b. de la" oscj)¡u::iones forudHs. se denomina re~oll/l.ncla y la propia coincidencill de las fl'OOuencias, condid61l de reSllllancla. AUllquo en realidlld siempre c:d¡¡tlon rúer~a" de resislencia que frcnnn el crecimienlo de lo. amplitud do bs oscilaclooes, de todas formo.' In resonancia es lln fenómeno muy pl)Hgroso y se c::ligl) una comprobación obligatoria de todas las cOll.!ltrueclones y suS elemenlo!! por rt"SOllancia (Cllando actúa.n cargn qlle varlan pcri6diCllmenle en función del tiempo). Si la freCUellf'ill de las oscilaciones libres )' la de las forudu se dife.rencian poco, e.nlonus t"!I nccellluio, mediante modificaciones eon5Lr"ctivllS. Ilumentar 1)1 inl6r"alo entre
Se debe tener tomblél' en cupnt1l, que inclu~o cunnJo 1Il _ a, pllra la aparición de o5cil¡H;¡on(!s (je gran lImplitud se requiere cierto tiempo pllrn el .balanceot del silltema (véase la FÚflll\lln 11.15). Por ellO, In II.cci6n no prolon¡rada de Ulla fUeull perturbndorn de frecuencia n - w. como regla general. no )'lnlSCuta ningún peligro. ('.asos más complejos de o.!IGilleioncs (osdll1niones de si!llemllS de vllri05 grados de Iibertllld, oscilRciones de vigas y otros) .!le ."a¡¡un ell texLos especlale:o.
CA,ITULO XII
CALCULO DE LA RESISTENCIA EN EL CASO DE TENSIONES QUE VARIAI CIClICAMEMTE EN FUNCIDH Del TIEMPO (CALCULO POR fAllSA)
§ 99. DefinicIones fundamentales· MU"has pieZA!! de las rnáquinll9. durAnhl su servicio, .!lC SOl/teten con fre"uencill a In aceión do carga", (tcru!iones) 'Iue varían periútliClImente lOn f\lución dcl liempo. lA, Cll.Sl\)'OlI demut':illrlUl que cn e~ condiciones las piezas S(l destruyen con tensiones inferiores a Ii.s originadas por CIlf'gl\S elllAUCIIS. EJ
l'
"1"'
• f:1I el m'l.aao de elileulo por fltill no ha)' tod ... ia unüormi
308
v.
Sor_o
concen~rador
de ~en8¡ones y, teniendo ell Cucnta el debilitamienlo progresivo de la secci6n, se convierte en el lugar del fallo definitivo. En la seooi6n donde ocurre la dellt.rucci6n se pueden observar claramente dos zonas: lIna de superficie lisa, esmerilada (zona del desarrollo 'Paulatino de la grieta) y otra de SUperficie rugosa (zona de la destrucción definitiva, debida al debilitamiento de la sección). ":0 la figura 12.1 se ve la rotografla de la sección de un carril destruido. Alrededor de la griet.., interior, que qued6 en el carril
Fig. 12.1 desputis de ser Illtllilllldo, se Vil tina :lllllerfj¡;io liSll, eSlIlcrilada, que so formó corno resultado del desarrollo paulo.lillo de lu grieta. Se ve desputis la superficie rugO!la de la .~ecc¡ón, donde ocurrilÍ 1" desCrul:cióll d(,fillitivlI del cilrril. como con~ccuencia del rucrte debilitamiento ,lo su ':lIl{:ciólI. Para el !! grielas de fatiga. Veamos más dctalladamente las carga.s IlltCI'lIlld,1$ y, por lo 1,,,,to. las lensiones alternadas, lambiÓn. En el caso general, como so iudicó en el § 1" l;l¡! cnrgas y lns tensiones pueden variar en f""ción delliempo por leyes muy complejas. L¡IS lellsione;¡ aherlllldas pucden ser de l'lÍginleu estllbh,cido o no eslllhlecido. 3
CUllndo.'lll trw, adelante consideraremos que 111 variación (le las tensiones en funciyn del tiempo Uerle carúcter senoidal, como esto está representado en la figura 12.3. El ciclo de In.'! tensiones illternadas (vé~.'lll la fig. 12.3, ll) ~o t.:aracteriza por: . 1) In lcnsióu máxima (en el slllllido algehraico de ln palabra) 0m./.x, 2) 1" tilnsión mínima O,nln 3) la tensilJll media
en
(12.1)
4) la Amplitud del ddo
,
(12.2)
5) el coeficiente de asimetría del ciclo
(l2,i:l)
De las fórwll!ils (12.1) )' (12.2), así como de la figura 12.3, se deduce que, (12.1,) (12.5) Oml" = o'" - o~. CUllndo o""",=o~· ll"mlu=-O se tiene un ciclo de lensiones simétrico (fig, 12¡:~, "J. El! e.o;te caso, 0,,,=0, o,,=lJ, r= - t. 310
tT ,t,,¡t¡nm'
r~I'/t'_'
~
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'"o "\'" , -'"'" v -lO
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"knL\. "' "1
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d' FI1.1U
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El ciclo do las l(lrlsionl'8 rCllI"eSo"t,,,I,, on 1;1 figura denorniu" do ""Isací/in. ~;,\ este caso, o
12.:~.(' St·
o
CJ",~x'''O, Omln-Ü, O",_y, tTn~ 2 ' r=O.
1.11 tellsi"n c;;t"ticn cO/lsh,"te "e puedo iutllrpl·ctar (rilt. 12.:~. ti) cmn') un CII"O Illlrticular del ciclo variable cuya':! c;'rastOI'istkll.~ so,,; limó, =0, O",ln=O' Om=O, Oa=O, r_ - l . Cualquier o,;ido de tellsiones alternadllS se puede represent,.r como la lllHl1l\ de IIn ciclo simétrico de tensión m,ixima igu;ll a la '"lllllilllll del !licio dado y una tensión constante igufll a la tensión mediu del !licio en !lllestión. En el easa de tensiones tangcncialcs alternadas, se rnanticlICIl lo.~ Lórminos y rel1lcione.~ OXpllestos MIlIi, COn 111 sllsLil,ució" ,le o I'or "r. § lDD. Curva de la fatiga para el ciclo simétrico, limite de rosl.tancla a la fatiga· Par", lo.~ cákulos pUl' resis1enciu, cllando actúan ten,¡iollc.~ alterrta
ropeLidn':!,
!!El
deben !lonocer
la.~
camctedstic:,s ml.'e;¡niclls
riel nwl.crilll. 'IU\! ~ determinan mediaute OIlSIIYOS ,lo Ilrohcta~ cn
m;¡lluilla~ ellllociales. I~l ensllYo llHís ':!imple y IlHís diFundido es el de probeta':! somo1idn':! n un ciclo simétrico de tellsiolle~. El principio del [unciOllnmiento de unn de estas In,¡lluiulIS Ilarn ensayar probelas Il la flexión, se ilustra en la Figurn 12.1,. Ln ¡¡robet:. I se fija en el IlInndril2 ,lel hn.~illo ,le la miiqlli"", filiO gira COn ciert.lI velocidad angular. En el 1l.~treJllO de 1;, llrubet" se coloca 111\ cojinele 3, Il través del cnal se tran,¡nliLIl la [uena P de dirección cou':!tante. 8s fácil "er, qlle en esL;,s condiciones, la probela se SOUletc a flexión de ciclo siméLrico. En efecto, en el Iluulo A mós peligroso, el material de la probeta. cuando el punto ocupa la posición representada en la figura 12.4, está sometido n una tensión de tracción o, puesto que el voladizo se flexiona con In parle COll"cxa ha.cia arriba. Sin embargo, después que la probeta giro media revolución, el punto A se situará ya abajo, en la zolla comprimida, y la tensión en él será -o. Después de la media vuelta siguiente el punto A volverá a encontrarse de nuevo en In parte de arriba, etc. Al pasar por la linea neutra, la tensión en el punlo A será igual fl cero. Los ensayos se rcalitan en el orden siguiente, Se escogen 6.-8 probetfls igueles de suparficie pulida y de diámetro. generalmente, igual a 6--;-.10 mm. La primera probela se carga hasta \lna tensión cOilllidll· rabie 0\ para que se destruya después de un núllloro NI de revoluciones
• En la lileratura tooniCII espafiola a ."'1" limil .. Se le llellomillll '8mbi"" limite elástico ver¡;l&dero, a diferencia del límite elH,l;co aparente, correo'po.. di",,(o a eargM no'al!er"adu, (N. del T.).
(ciclos), relativamente pequeilo. Aqui se tiene en cuenta la teMión rnhjma del ciclo en el punto mís cargado de l. seceion. En el callO de 1,1 flexión, como se SIlbe. la tensión máxima surge en los plllltos
,
fig.1U
extremO!! de la sección y se determina por la f6nnuJa, U~1_
,l/JIu
w• .
LO!! roslIl1aciOll de los ensayos 5C sitúan sobre el diagrama que se construye en el sÍ!telrl
Después lIlI OIlSIlY:U la primem probeta, epMecc en el r1111gr¡¡mU en ¡)lIlIlo A, do coordtmarla~ NI y al"'~1 lo Sfltlpl('Il11'IILe a,). Se """"Y" desputÍs la
~egutlda
Jlruhlllll.. sOlllolllindoio
Il.
uIla ulll,lún
alao ",ti!! pcqu"ii" o.' Nattlr"lmenLe. la p.-eocta ~"
"n"Mi~·"we"te.
U"1l ve.. "n.... ylldQs tod." 1,.. pr'Ol la", y d .. wl'u'" ,le unir los !,UlIto.. .4, n, c.: • ..le., ver una li...e ov.., 5<> obtiene hl cun'a AHCD
tIlle _
Kst" eurv" lIC earllctlllri7.a I'or ser, .. parUr de "iona len3¡61l, pr,;o;r
'"
ticamente borizontal (trllmo CD). E!>to quiere decir, que cuando la ten~ión adquiere cierto valor, la proheta puede resi¡;tir sin destruirse un nÍlmllro infinito de ciclos, La rrwgntlud máxima de la tensión que varía peri6dicamente, que ~l material puede resistir sin rUs/ruirse indefi"idame/lle, se denomina [imite de retltstclU:ia a la fatiga. Prácticamente, como lo demuestran los ensayos, la probeta. dtl acero Ilue re~i.~te 107 ciclos (este númel''' se denomina número h!il!ico de ciclos) puede resistir también una infinidad de ellos. Por eso, los ensayos de las probetas de acero se interrumpen des]Jués de 107 ciclos. La tensiólI qllC corresponde 11 N = lO' se es~nblece como limite de resistencia a la fa~ig3, En los metales no ferrosos y los ateros templados no se consigue Ilslnhlnccr un número de ciclos tal, de.~pués del cual la probeta no se destruya. En eslos casos 5e illtroilllce el concepto de limite cOInenelonft' t.le rCS;lltentlia n In fHtign, igual a la teusi6n que la probeta es Co.pa1 de resistir d\lr3nte un Ilútncro determilllldo de ciclos (generalmente N = t0' cicloll). De una maner,a análoga. pero en olras máquillas, se reaHznll IOl! eusayos y se determinan los limites de resistencia a la fatiga, cuando actúan fuerzas axiales 0_11 , en la torsi6n (1"_,) y para el caso de deformaciones compuestas. At.tuahnente, pllra l.l111chos materil\lell fIEl ha.n obteaido yo los limites de resistencia a la fatiga que figuran en los manuales. De estos datos se ve qUll, para la mayoría de los metales. 01 límite de resistencia n la fatiga. on el ciclo simétrico, es interior al Hwitc de rruencía. Muchas pi07.a:! de la:! máquinas, durante su servicio, se llometen sulllrllcnUl a un número limitado de variacionos do las tensiones. Eu esto:! casos, ",1 cálculo se roali7.a por el límite m!i:! alto, as! l1awlldo, limite restrlllgido.de ~Illlencia a la fatiga, cuando el materlal nllliste un número fijado de cicloll. El .valor del limite restringido de regia.tentia a la fatiga se obtiene de la curVll de la fatiga para un valor determinado del número de ciclos N. § 101. Diagrama de loa limites de resistencia a le fatiga Para hallar el- límite de resistencia a la fatiga cuando actúan tensionos de ciclo i'aimétrico, so con8trUye otro diagrama denominado dIagrama de los Jrmitell de resllltencfa a h, fatiga. Este diagram,a se pu'ede construir de diferentes maneras, según los parámetros de las tensiones alternadas qile se consideren básicos. Si se entiend~ por parámetros búsicos do las tensiones altllrnadns la tensión máxima del ciclo (om.~) y la teIlSlón media del mismo
'"
(o...). entonces se obtiene el diagrama de 8mith¡ :si se consideran como p"rimet.r0.5 bhicos l. amplitud delaa ten5ionu (oG) 'Y la ten· sión media. se obtendri el diagrama de 8algh.
fl,.l2.8
Veamos cómo se construye el diagrama de Smith. La tensión mlÍxlllla del ciclo lA situamos sobre el eje vertical y la tensión media. !tI.lore el horizontal (fi¡. 12.6). Primeramente. soltre el eje a_e $El mal'Gll el punto e, cuya ordonadn es igual al limite de resistencia a la fatiga en el cielo simétrico 0_1 (la tensión media en este cielo es I¡ual a cero). Despues. experi· ",clllahnente. se halla el limite de resistencia a la fati,. para alguna l"lIl'g'n a!lmétrica. por ejemplo, una carga pulSllnte de tensión maxlma ir;ual al doble del valor medio. ::;e sltua sobre el diagrama el punw P, cuya ordena.la es ¡gulll ni IImilo rlo resistencin iI la fatiga del cielo pul!an~e (Jo. Para muchos materiales Jo, valore, de a -1 '1 o" son cODachlos }' se flan en los manllllle~. Do una mRnera eomejllnle. experimentalmente. !!(! 1Iall;, el límite dO! resistencia a la fllligil para los l:ielos asiml!lricos de o~ros pllrá.11lÚlrOll. Los resultlldos se situan 80bre el dillgrama en forma de jlUlILoS A. B. etc.. cuyas ordenadllS son los Hmites de resistencia n 111 fntiga .Ie los ciclos correspondientes de las tensiolles. El punto D que se t'nr.llllntra al mismo 1.1e-m]l0 sobre la billl'!ctrh OV. caracteriu la le-llslon limite (límite de resistencia) para la carga coni'llAllte. cunndo fT""T""
0 ...
Puesto que para lO!! materiales plái'ltico!l el límite de fluencill 01 ei¡ tambh,n ten,¡ón peligro~. en el diagrama .se tratll la línell hori'lontal KL cuya ordenada es (J,- (En el caso de olllteriales plásticos. CII)'O dillgrllma de traecion no tiene litea de flnencia. el papel de 01 lú jueca el limite eQnvenciouai de f1uencla (01)' Por lo tanto. el diaemma de 105 límites de resistencia a la fatiga (mejor dicho. el t1iagra-
'"
La suma de las coordcnada~ de lmalquier punto de la curva límite ACB nos da la magnitud del limite de resistencia a la flltiga, dada b tensión media del ciclo (formula 1:.!.4): 0r"" O~:rI
=
O~I,'D
+ cr~ltn.
Para lo.'S mal.etialu pltisticos, la tcosión Dlayor
(¡lit! 1']
IImi~e
no deLerá ¡;cc
limite de f1uencia, (J"+(J,,,.~a!.
Por eso. en el diagrama de las tensiones limites, se traza la rectll DE, que se obticue de la ecuación, (Ja ·1' o .. = (J!_ El diagrama definiUvo de 13s tcnsione8 límites e.'ltQ dfldo por la Hoea AKD.
En la práctica, generalmente, lIe emplea el diagrama aproximado de 0a - u". que consta de dos tramos -rectos A L y LD,~,y.ql!~._P.'a~ por los tres punto.!! A, e y D (método de Serensen~Kinnsosh.vI)'¡).~
" ,
,,~~A
LJ
K
El punto lJ se obtiene en la inte1'8eooión de las rer.ws DE y Ae. Los cálculo:! que :le realizan por el dillgrama du Smilh y por el de H~igh, l:on método!! de aproximación iguales, cunducen u los mismo!! resultados. § 102. Factores que Influyen sobre el limite
de resistencIa. la fatiga Los ensayos demuestrall q= los {actorH: concentraciun de !¡:,Ui"nes. €Umell8lones de La pte;;:a. estaM de la superficie, el carácter del tratamiento tecnQlúgico y algwU)s otros, Influye/¡ senslblenumte sobre la magnitud dd limite de resistencia a la ¡aUca. Aualicémo!'\lo!'\ con más detalle. Fll7
A. Influ.ncla d. la concDlltracl4n dD t.n.IDIIU
1.(1 vorladó" súbita de la forma de la pieza, los agujeros, las ranuras, cortes, etc., disminuyen considerablemente el limite de rasistencia a la fatiga an comparaci6n con el Hlllite de reslstenda para probetas cilíndricas lisas. Esta disminución se tiene en cuenta por el t'odiciente efectivo de concelllraclóu de las tensiones, que se dotermillll. experimentalmente. Para ello, se escogen dos series de probcta.s iguales (6+8, en cada serie). las primeras sin concentradón de tensiones y las segundas COD concentración, y se dctero"inaJl los limites de resistencia a la fatiga para el ciclo sinlO!lrico, (J _lo en 01 CtlSQ (le probetlls sin COllcelllrlldorell de t.ensiones, y f] -'0 en el caso ue prolJetas eon concentra,lOT. La fracciólI, k" ~.!!..=L 0_,,,,
(t2.9)
dett;:rm;na el v.. lor ,Iel coeficil>nte efeetivo (roal) de conceotrnei{;J) de tensiones. Los ensayos demuestran que t'>J coeficiente efectivo de COn~,l!lltroci6fl se diFol"eucia del te6rico aG' puesto que el ¡,rimero depcll
'siendo (k,,)o el coeficiente efectivo de concentrllci6n, correspondien' te n = 2, " el coeficiente de correcei6n, que.se olJtiene de la figura 12.1'1. La curva 1 nos da ]'05 valóres de, para la flexión y la CUl'\'a 2, para la torsi6n. Los valores de k" y k, para los árboles con muescas de chavetas (una o dos) se dan en las titblas 12.2 y 12.3. ~ LOiS valore.'$ del coeficiento toórico ,$C detcrminan " tl.'Ó.l'icamento (IJ.Or 1(i:!I m<'itotlos de 1.... Teori.. . de la Elastiddad), o prperimo"talm<+"te, <:omplI.r",ll!Je> 1011 limites !le rc:;iahmcia pl\ra probet1l5 de materIales rnu}" frágilf.'ll !ill conCentracia" de to,,~lone,$ y 'con ella.
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B. lnlluenda di 111 dlmlnelonll1 Ib.olutll d. 111 ~Iez .. COI(I.O demuestran los en80.Yos, cuanto mayores Sl.m las dimensiones absolu.tas de las pieza.s, tanlD mmor es el limite de resistencia a la fatiga. El cociente dellímile de resistencia a la fatiga de uni\ pien de tamaño d al límite Ile NlSi~tCllCi/l a la fatiga de une probeta de coufiguracióu análoga de peqlle¡¡a~ dimensiones (do = 6 ~ 12 mm) se denomina coeliciente de influencia. de IlIs dimensiones absolutas de la sección (faclor de c~cala):
Ea
~
&,
= ~bL para las tangem;iall'S.
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para las leusiones {Iormales,
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,~= {LJ~)ao .
Se considera que 111 pieza de lamaiío d y la probeta de tomll.uo do d.eberán tener configuraci6n geométrica semejante. En la figura 12.12 está dauo el gráfico de los valores de Ea. La cun'a 1 corre~ponde a los /lceros al carbono dúctiltl5 de limite derasistencia (].t = 40 -:- 50 kgI/rnm', la curva 2, a losaccros de liga de alta resistenc.ia, de límite de resistenc.ia o" _ 120 -:- 14ükgflmm". Pllra "11101'(15 intermedios del limite de resistencia, se debe interpolar entre las dos curvas. Por falta de lluficiente cantidad de datos experimentales, sobl'(l los coeficientes E, (para la torsión) se puede nproximadamento considerar que e.." ~ Ea· Se debe seflalar qlJe todavía no hay suficientes datos experimentales pilla determinar E. 320
C. 1""uIIlcla 11. la call'ad d' la ,uplrllcll ., d. la cauall'ac16n 111 la capa Iuplrllclal
Len Cn34!1U8 dcmlU61ran que el mal IrCllClmlenlo de lCl mpcr/lcie th 14. piaa rMlU:t ti límUt (k re61Jltl¡cfCl a l4/0/ig4.. La innueneia de In r.alidlld de 1M .!luperJiei'l esl" relllcionade a la all'lraei6n de la microgcomelrill. y III estarlo del metal 'lll 111 upa superficilll. In que .. Sil '·n. dependo del mélodu de tratamiento rnee
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Fil. n.u Pnra 1l\'l"lIU/lr In inrh,enci¡' de ];, ~ .. tidl"ld do ", Huper[¡cio .501"6!:!/ Iilllilll dI:' resi~h:lllGill 11 J" fatigll, ~e ilOlrodllcc el cueficicllto fI. igulI/ al coch'nlOj ,l0l1 límile de rosi~I,('IIcin " 111 f:lligll
En la riKurll J::!.1;J.!'l) dll 01 "f¡Hir" do IVII vlllore,; ,Ic f\ COl ru"c1ón tlol límile de re5i.!lle,,,~ill o, del ucoro y del tipo ,1" mall',iOlalio 010 Is sllperr¡,·iu. L~!l 1;lInas .:orn:."lijx./ulell 1I los llloquioolld"" .~upornci¡¡Jell "iJf"iclll.cl!: l. l'uU,lo. 2. ""m!:!ril",lo, 3, torll(!IUlo fin". 11, l"r"o:ldo do dC:4b,,:/!' mn" curo picios sultrc el YlIlor ,le ~. f"u.. del m ....'orlo Cllllllealll"l J"-'lra la cou~lidl:tcioll de In cap" "llVl'riicjal,,so! tI,," m. lus lnall"""lS ("ll""" 1" nol... 11.. 1,1 l"i¡,;iul( .'((8).
"Ir
i"'"
§ lOS. Determln.el'n del coeficiente de I8gllrid.d p.r. el olelo Ilmllltrlco El coeficiente de seguridad se calcula c(.mo la razón enlre el límite de resistellci;l .. la fatiga de la pien y la tensión m6xima G.. del cielo simlitrico: 11 .. _
(<1'_,..)" •
(I
o.
!!iendu (a . ...)" el Iimitlt de r1!!Ii!ltellcia a 1" fati¡¡lI de la pie7-a. que tiene en consideración la tOllcentraeión de las tensil> nes, la illliuellcin de la! dlmenslolles absolutl'i'l y el estll.do de la !uptJrficie. es de(:ir.
(a_l",j_ )
"'-I~P K .
(1
o
una lIl11nera. an'loga se determina el coeficiente do seguridad torsión, 11 ....., ('(_'~)d (12.t3)
,
'.
En el ..:
V":"-l-'" dunrle n., y
11.,
se determinan por las f6rmulu
(t~.U)
y 112.13).
§ 104. Oetlrmlnaclh del eellfleieoh de legurldad para el ciclo .!lmUdeo d. tlnaiones 1~08 eAlculos para el cielo asimétrico de la" tllnsjones se hMIHl sobre el diagrama aitnpHriclldo, CML. de las tensiones Hrnites de la probeta (figur.u 12.6 y i2.1"4). El diagrama de 1M tensiOM!I Hmi.tes de la pieza se eonstruyo. teniendo en euenta la contenlraeión de las tensiOnes, la influencia de lu dimeo!!iones absolutM y el estado de la superficie. De acuerdo eou los datos del experimento, la influellcia de los factore!! citados se refiere ~lameDte a la componente variable del cielo, e!l decir, a l. ampUtud de 0o , La amplitud limite de la tensión parA la probeta es. lIegun la rónnuJa (J2.7), o. = 0IllÚ -o.. = 0'_,- '4''00", (12.1'i)
y para la piu:J. MOgón lo eXpuesto anteriormeule.
(o) ._ ti 322
a.r.1i {o_,-t,..c... ----¡;-..... lt!S
(t2.15)
La ecu8oi6n ge la línea de las tensiones limite!, EN (vea8l' la fig. 12.14). pllra la pie!a será, entonces. . . . . ("-.-'$Ig";")~~ (<11t).. -(a"").,+o,,.-
*
•
--a.,.
(12.16)
Aquí, con primas están indicadas las coordenadas variables.
Calculemo.s ahora el coeficiente de se¡uridad de J~ pieza cuando actúan las len!liones I1ternadlll y 0". (plinto R" del diagrllma, véllse la figura t2.14).
a"".
H
•
,
-.
,,¡'"
"
L:L-l"~'+-.LJL
---"·.
Fli. lt.14
,
Supongnmos que el llumentar la Cllrga que llctúa sobre In piela,
la fracción...!!!!..:! permanece constllnte. Este tipo de cargll se dellomi~ . na &impil'. En e!lla CIl~O. el puoLo limite quo r.orr
'.
Hit'
0 ....
La mll{;'nilud (a,.)" (ord('ollda del pun lo) ,,, ohlendrt'D¡()8 rt'liOh'ielldo la!! ecuacionl'S de lall líneas EN y oS. L" I'('uaeión de OS es.
(fZ.18) Con primal:! l'Slin repre!ll:lnt::.dlls ]¡¡l:! coordennd:t;l \ari¡,},]l':!s. J¡"'lI:1lanoJo los 8t'gundos miewbros de l~ rórulUI3s (12.lti) y (12.18), OblCndrrmos. (o ,-1fI"";"J'O . ".... ~. k"
de duodfl.
+ o'" =
--;;;:;- 11....
lnlroduciendo I\hora el valor de o;" en la fónuola (t2.16)o(12.t8). hallaremus la onil'nadll del punto S. (12.1!J)
P',r lo I¡,nlu, ha,·¡i,,,donus en la ríJrTmllu (12.1i), ~ obtiene III .:orreIIIf.;iül' dcfilliti\'a ~iKuiente parll. In ddermillHCií'" dtl eoelicitmte de scg,lridllll, n "'"' o
k"""
"_1
(12.20)
--;.r+~.,.o",
De ",111 '"" .. tora 'Iluilulla sllullticnc
plIrll
III lun;ión. (t:l.21)
811 el caso de \lti e.'ftJIdo Lellsiullol cuwpurew, por t.'jt'Olpl
valores de fl" y n" por IAl:! form"las (12.20) y tI2.:!t). Aparle del codidentc de !M!guril19d ¡J0r ",sil:'t.enchl a 111 fatiga, se debe calcnlllr también el coeficiente de st'.l!:.arldad ¡J0r reSil!tcllcill a las deformaciones phístiens. IJuesto 'lue el punllJ S puede res.ultar po:r encima de 1" linea M f.. El coericiente de 1'Ieiuridlul por relli,te¡.ci¡¡ a las deforrnnclonn pllÍsUc.'\.~ ~ ealc"lll. per las fórmula"'. y
.UJI
n" = ...!!.L- -= ",uh
"
n,---~ "t",~~
"1
0..'-0",
"
T"-!-"t,,,
(1.2.22) (12.23)
El OOtIficierllO cfoct-Í\'o "lo S't!:Uri(i1ld (real) es tllllll!OlOr ,le lo!'! oblonilllls por 11Is fJrmulils (12.20) y (12.22), o. e11 el caso de 1" lor: la lúrnlulll que delermina el cooficienle generol de seguri<:la,l (n) !lO Jebe i,.,t-roducir el menor de los valores n" y /4,. que se obtienen como l!6 indicó ¡wlerion"onlc.
y
'"
§ 105. Medidas pr.etle.. P'" el Incremento de la ,ulstencla • la fatil' Al disrilllr piez8ll que trabajan ti ten5iOlle~ IllternlldA~. se meomiendll recurrIr a las medidall silnlientes, par. 11 umenlllr la re!istencia a hl fatiga. 1. t:I!lpletlr materiales que S(l1In bomoglhlOOS lo ,más ¡>09ible, de estructura microgranulu, Jihres de foeOl!! de concentración de teosionl!S (¡rrietas, burbuj.~ de gllS. incrustacion8! no metálicall, ctc.),
mm ~~-~~fpF· 'I~,
12.15
FII' 12,1&
2. I)lIr 11 hlS piezll~ conlivurac¡ou~ que rCilu1.c«n la concentrllci6n de lell:dones. No,¡e deloe admitir que !le paae de una dimensi6n de lo. sección nutra sin curvlIs de aCllerl10 intermedl:'llt. En algunos CllSO! !le re<:olllicuda emplear ranllnll~ de d~rg" cSllttiales, deconceRtI'1ldort'..!de tensioues. AsI. por cjen,plo. si en ellull'ftr d"e UII c..mhio brusco de la ~iÍlu se hace uun rtlnuril circl.JlIr 1'" 11'1 p,ute miill (l:rllellll de 111. plcu (fig. 12.15), enlullee,!! disminuye bn.scamenlc la mll¡¡:nitud de l:as lensionC!l local0$8. 3. J~llI.bornf cnidlldosaml'lIte la ;superficie de 1" pic'l.Il, p.ulélldola incluso, Ilnra ~limillaf In:! diminutas rayas, lJ"~ldo 'lile csl,¡¡~ pucden ser el comienzo de UIIO flllura grlel.fl de f.. li¡;fl. ,j, gmplellf métodOl:i O"IlC:<:illlc.<; para HlIlIllllllaf la fe:;;isLc"l'in l\ la faliga (corlsolirlllciún slIperfidlll, entrt!JI{lmienl.u tlt' 11lS Iliu'w! COIL cnrllll.!l elevadas ,lo POCIf, ulI]"aci,ill, el.c.). Cnn 1.. cousulidneió" superficial I'''r unolul'ccimi,;-ulo pUl'
def",~
nllll:IOIICS ell frín !"ola",erottl su pueril' aunll'Jllar el períodu de SCtVil·jO dl' IU8 I'iet,as de In:'l nl:iquinall ~-3 \'1:('e8 ton l(lI.1!ln!l !"'llllllllonlnrioll imúl!lIi i,·nnLe's. l~litCl l."'l"I\'ulc 1\ dupli<:lIf o It¡plie"r la I'ro
dt' lu maqulnas. Ejemplo 12.1. ellle.. l.f pOf rl
0,30 tm y
nltu \(¡tllUr
,11,...
~
ltAU tlll.
":1 "'Ilterial llt.1 .irl....l el! acero li5, de 3 tiUU
kqf'cm~,
0_ 1 '-
2~)l)
0, _
t> 100 kgrlcn>',ol _
kgf1cm', TJ _ lo! 100 kG'f¡..,lll t y
l~.
1:>\10 k¡;¡:f/clll'. L3 "llvcrficie del i¡rl,o) ~LIÍ pulida. por lo t:l.IlLO el coofieicnlC dI! ¡,:.lidud de la .'iuperCicic 1II'!Ii ~ =' O.~;¿ ("';J1!l1ll 111 ligu,. 12.13). Cun.!ij,llÍre~ t'I C>I,..., eU3THlo tu l.ensilllle9 origilllldn por la 1I~ xion vnrian ll't.'g.í .. el cielo Jl;n1élrico y 18lJ origilllldlls por la torsiVII, »I.-glÍn 01 ciclo plll~'lto:. /ttSl'l!lIdún, <;ah"ula'lIo,
o
m.h""'
T,,,,,~ ...
,líll~~ 11"
~ lI'J'
JII~
lensione!l nominales:
_ 0,:\'\1)'>
~-
Q.4·1~
... Ó,~.~~ -
4t1
k,l/cm',
27~ k ,1
r: rl Cm I .
C,\lc\lI"1110.~ ahun, 1,,5 ""'IJ1itl1d...~ y tu W,,~iOllc.s Illl',lias del clclu: 01 0, t (1, 0" _" "'"' kg ¡cm!, Tno "" 1" = t3l:l.5 kgl/cfIl', U ..,1I1l1ll0S lu" '"fJelic.ic"IC!I de coo"''''llroclón do las hmsioll811.
C::UlI"'¡V 7.-~=o.n!);; y ;~ = 2. -""'gún el grMico de In figurll 12.,1), L!:l. '!'"nhmrlo l!1l coenta (liJO en nUe:ltN) tu,..-, ~_~~_I,t1. Sl'gón elO graOeo de la figura 12.11, hallamo, el roefiehmte de corn'ccilin E -- 0,7. A"j, por la {ú~ml"lI (11.10), L('lld~cmo",
"btcllernos (k.. )o
1.'. . -=1 rO.7{1,8-t),.,I.56.
El cocficiente .1.. ",!;C.llla para un t'jO! tle d "'" 91} mm ...,.. st'pn la ngura t2.12 (CUf,"/\ 1), t.. 0,71. Cah:ulllmos III t:Ol'lici('flle de concentr&Ci6n de tell!iollllli la tUfsión. Por el g~afico lit> la figura 12.9, para O,05~. y d ... 2,
-1 -
obtenemos:
(k~)o
=
tAo
tMn<
D
Teniendo en Clleutll que eu nuestro caso 7-1,11, según el grllfico (véase la figura 12.11), hallamos el coeficiente de corrección ¡ _ 0,58 (curva 2). Entonces por 1lI fórmula (12.10). so outleno, 1.·••• 1 +O.58{IA-l)_t.2:J.
BI coeficiente tle escalA en la torsión lu euusidertilllus igulIl al de la flexión, e$ tlecir. e _ 0,71c.lculamos los coeCicie/\l.VJ de 5t!guridad: a) por el limite de rcslslellcia a In fatiga. '!o=- *,,<:1. 0_1
",.
tj\+'t""'"
2 :;00
'-
l:56.m-:-:- - 2.5(;, 0.71.0,92+0
b) por el límite de fluencia, . .....!!.L
3 GOO
8 7
n,,= (l1Il~~
=ill= , ,
. nT =
2tOO 765 =275= , ,
n'
TI
TIl>/I~
8,7:7,65
Va,7 +7,W
=5,7.
j
CQmo vemos, el coeilcien~e de seguridad mínimo n!sultó ser el ('.a1culado por ellilllite de resistencia a la fatiga I't "" 2,35. Esle debe compararse con el coeficiente de seguridad que dan las. nor·mas 1I = n,n.nJ' cuyo valor se establece de acuerdo con las indicaciones del § 12. Suponiendo que llls tensiones se hlln calculado coo llna exactitud ¡nedill. podemos consic1erllr ni = 1,3. Considerando el caso dl:! una tecnología normal, una nomogelleidad del material media y 1Inas dimensiones también medias, admitimos ~ue n z "" 1.5. Suponiendo, por fin, qutJ la pieza tiene un grado medio de responsahilidad, admitimos 113 = t,3. Así, llues, el \'alor gelleral del coeficiente de seg'uridad "orml\~ivo rt'sultR, n = 1,3·1,5· 1,3= 2,53. Así, pues, en el ejemplo en cuesti61l, el coeficiente do seguridad c:[ectivo (n = 2,35) resultó ser algo menor que el normativo. Es necesario. por lo tanto, aumeo1-ar el diámetro o emplellr un acero más re~istent,e.
RESISTENCIA DE MATERIALES A LAS DEFORMACIO.ES
PlASTICAS. CALCULO POR ESTADOS LIMITES
§ 106. Modalo aUltíico-plbtlco del mate,ial al dlculo
p.'.
III1R" Iill"L Al 1,lalll(,llf !¡,\S IJcllacione! p
se puede prei:ICindir de las doformar.ionos plásticas, por ser éslas muy
pequeñas, Se considllra pues, que el matar/u! ha~tl:l Su destrucción :..e Illiono Illa ley d,e Hook(' (tig. 13.1, d). Al enle11lar piezes de materiales muy plásticos (Hg. 13.1. b), el diagrtlma ohLenido, toniendoen coosideración las deformaciones pláslicas, se llcopla según la figura 13.1, e, e1:\ decir, so prescinde de la eonsoUdacióll del material, puesto ql,e cuando llls tensiones se igualan aL lírnHe de IJueneia, St!' desarrollan consideraMes deformaciones plásticas y apilrecon desp1a1.ólmienLos, que impiden el ulLerior funcionamiento segur<> de la
6)
e)
'bL' ~' (
(]
d)
~,
,O:
, 'p
M
t:~,
.J
Fig,
~
f)
n·'
pie1.a. A vecc~ se emplell ol,ro diagrama, mú.~ simple aún. OCB (diagrama de Prllndtl), es decir. se lOonsidcra que el mat.erial es hlealmente pJí\slico. PnrLie/ldo de esta Silllplt! supl}~ici"'n 501lro la>l pfopi{'dndcs (Lc! malerial, res"ll,a posible rosolvor los prohl"lI\:Is 1I'l<Í,~ curllplic,lIdos de la plil.'<üdd"u: eslndo t"lIIsional c(>!I1lJillnrlo, sisl,clllllS hipllresl,ítjcos. l\I;\~ ¡,(lclllJlII~ S(' alllllbtll/l alg\lllo.~ de lo~ problcl1l11S JIIás ",illll'lt's, q'lC se l~s\l{'I"cn, clllpleaHll0 ('sl(' (,ipll ,lo dillgr¡¡tlln. ['>lra h'l! nllller¡ulC's do mediallil plnSlicidad, on los dklllos se f;:llIplPII el dingrnnlll de las dcfot'llIt1cionCI:I ollÍslico-plás(,iclIs dn 111 fi¡;lIra 13.1, l. C[ue Liene IHI r,,"sincnl('ilín la cOll,;Qlitllldiitt dcl Ill>lICl"il,L Ha~la 01 punlo L, se {~
cas, lal:! leyes de corga y oc.wnrgil
~Oll dis~illtIlS,
shmdo
l~
dt! carga
"" lilll',tl Y 111 de dCllClll'gll ...¡empre OH 1:",.,ktCI" lilll'U!. En la figllrIl 1:3, t, e 1" ley de C,ilr~a se I,llll'lIctari7.(( pOI' la I¡uen UI1 JJ y la d" hl desl'~"lr'gll, ¡lOr la Iíuea BE, qllo SiOlllpl'C es paralela a OA. LII defof¡""ció" cumpleta OD e.. ~á compullllla por dos par1.11~: la I'I"sLillll OE )' la elá.!;til'.n EV que dcs,"lp'll"ecc dCllputi~ ,]c re1ir'ar la Cllrull.
Se debe sciinllll" tnmbién, que ~l e1\luuiar las deformacioucs plásticas, así COII'O al esludiilr las deformaciones ehisticas, se deben .diferenciar dos ClISOS: 1) el calOO de las deformacionel! eJ.-islh:o-plálllicllS pequeñas• .cllnndo lal! deforlllaciones son peqlle'-II\8 en comparación con las dimensiollcs do los lJucrpos que se deforman, 2) el caso de deformaciones elástieo-plástictls grandes, cllando "" se puede prescindir de la varil\o,;ión oc las dimensiones del sólido y de la variación de la distancia entre los puu~os de aplicación de las fuerzlls, etc. En udelnntc se alJali7.all los C:lSoS uc deformaciones elá:lticoplá:1I ieas PC(I",:¡jía_~. Se tienen en cmmta solamente las cargas esláticas, quo Stl IIplicfJn una soln ve?, pueslo que en tll caso de car¡,:as cepctidas, resultaría necesluio calcular la:! deformaciones plá*,lilllls .que aparecen en la pieza dUl"ante cada descarga IJIHl\'ll. Cuan.lo actúan .cargas ll.1tecnadas periódic:J~, las pic?1ls :le deben cah;ular por resistencia a la flll.;ga. § 101. Cálculo de sl.temes hlperestátlcos
que Irabajan a tracción-compresión, consIderando la plasticidad del matarlal Veamos el ejemplo del § 14 (fig. 13.2). Al resolver este problema, suponiendo qUtl las uefornlacione.':l eran elásticafl, es decir, que las tensiones no superaban el limite de proporcionalidad, SIl obtuvo, IV,,,,,,N 3 _O,l,P; N 2 =O,2P. Puesto que las áreas de las bnrras :lon igu.. les. la tOllsión en las ba'rras extremas eJ. = u) = será dos veces mayor que cn la borra
o,;P
o,;p.
.central U'¡ = La carga peligrosa. (PI) so determina, igualando las tensiones en las barras extremas aL limite de fluencia, F
PI = ~~4 -= 2,50 I F.
(13.1)
Veamos ahora el comportamiento del sistema cuando la carga sigue creciendo, conSiderando que el material es idealmente plástico (véa.se la Hg. 13.1, e). Los esfuerzos de las barras de los extromOfl, a pesar del aumento de la carga, no pueden cmeer, pecrnRneci'-lndo constantes e igua.les
!
uIF. • Al reuliur el eálcalo dentro del dominio cl'¡~tico, se considera peligr(>;!a aquella carga que ocasina, por. lo menoe en una barra, tensiones que alcan~all
(>1 IlrrtÓte de fluenci ... Claro "-'Ita, el
vencluna.i.
t~rm[nn
.peligrosa. tiene \lto
cor~ctet
con-
El esfuerzo en la barra ClIntrn! crecerá, hasta que lIUS tllnsionea alcancen el 1imi~e do Hucnda. Una vez que los eduerzos en las tres barras SlJan iguales a (l,F. se agotará la capacidad resistenl-0 del !listeros. De IR condición de equilibrio del sistema que se encuentra fln ...1 esLado límite, se obtieno. JIU
(13.2)
P llm =30/F.
Comparando esta expresión con IR ,(13.1), vemos que, cuando se tiene flon cuenta la plasticidad del material, la' carga limite resulta
p
llluyor que la peligrosa obtenida según el cálculo baSlldo sobre las dllform:u:.iones e\¡l.stlcas. En catidad de segundo ejemplo, "eamo.'! el sistemll repre$llnLado en la {¡gura 13.3. Calculando los esfuerzos en IIIS barras de este
p
5i~lellla
cuando el material trabaja dentro del dominio ¡'ll1sUco,
se
demostró que la barra mág llObrecnrgada es la ceJJtral (§ 14). La carg
+
Cuando se rCll.liz
cuando In tensiones en Iuln.!lb"rrns alcallUIl 1lIIí,,'ile de rJucllcill. y 10$ esl,,('noll, la fAaRnilud o/F. De l. wudieióll de ellOliJibrio do la parte ~parlldl\, obteudr(lln~. r'y'=o: 0JF+2<'JJFcll!lo:t=PUm, resullarujll 'Iue 1<1. c;ugn límite l"', P IID ,-1r1r (2nls!lI: + 1) > PJ " De IIllní lle dedul:e Il'le ClUJndo Il: conwt'rDf1 14~ fh/DrmDcionc~ pkb· licll', 111 corga limite rll I4Il 6istl'mll hiMrtU6UCfl rttulf¡¡, mayar II"~ cllalldo lit cf.lleula COlIs¡(úralldo wlamerrk IfU dt'/ormacionl'" eftistreas. ClIlIutlu o"tUil una Cill1ln esliilicn. segÍln lo C.l:puclll.o, lell"HUO! la posibilidad de :llllllcntllr, en ciertos (;a:!U~, IAmbión la carga admisible, igual ;1,
IPI = C\,n,u!u
~e Clll~ula
1'11111 ,
"
por eslfluo el;i.'llil:o,
IPJ'=-~
"
El clll'il'ute do lal! c;'l'lfu llt\misibll'!l, ubtí'uidu por lo" do!! metop
1105 IlIdic.,d
trabajan II ltllcdo" (COllll)resión). los
valore~
,le /'/ y I'um CoilOd,le".
§ 108. Toulón plástica de barras
de ucclón circular En el CIlSO de In lorsilill OJ¡lsLkll de llua harrll drcular (§ ;!.')), las WnsinnC!lllllÍximall (m los !lUdIo! dl:'l C"lltor!l1l de la ~,"eíón se d~LerJlli· tlan por la fórmula,
Ut lOa~.. itud del 11l0lUllnLo torsor peligroso !oC ¡¡!>ti","c Je la cOlllti· ción 11.. igualdad de las lCu*iones maximlls 111 limite de r1uc"da (flg. 13.4,8), es det;ir,
.." f,... ¡=ZT¡W,.=f, ~-:; ::>::TJO,~.
(l:iA)
Sin embargo. estll no e~ 01 momonl.o lilniLe par~ un ll1alerial Es posillle un cNlCimienlo posterior del moment.o tonar a cuenta del aumento de ¡liS tensiones en los punLos inU!riores de la sección 'lile estan men05 .solicitados. Para un malo/al tdtalm~nu pl.dsttco. ~( nw.tk limit~ t!$ tJqud ~n rl cual Úl6 ten6i.onu en ~ lo$ pu.ntal de ««ilin JPIl ¡,¡udn Gl límlu ~ jlrunclll Vigo 13.". b). pllis~ico.
w
'! Fil. 13.•
P!ilnleemos la e"presll)fl cleI muml'nlo LUr~or límite, cunlO el momento resullante
Mi..... lL"'Plle:-lro r¡lIC dF=2-.p re..~ .. ll
t4J
ST¡rl.fr·
(t3.5)
"
(:iro;t del llnillo IllclU"'lllal. fig. 1:\.4.c).
.
M"... 11M = 2nT¡
SP'''J''
(13.1;)
"
.. >'C1l,
,11 1 ..,
"
'Il"-·";
~r~T.=~V' .. JM.T'.
In.i)
d'lIld,;.
,2.nd" 11-,.. ,,1<1'-'11:"1' -lT'
3
t\.·/:l)
La lIIagnitud 1I',•. I'I.,_:'O:l
rlcllomina múdulo pl;¡81icn dl' la se<.;c!ón la lor~il",. Comp;u;,"do las rórnlllla~ (13.;) y (13 ). ,·onltl.~ flur el "Ioml!uto l.arS"t límite. clIDmlo 5(\ collsidl'ntll l¡ts d rUtlllndulIl'!!- fll;;"lirllS 1101 m:r.lt:,ill.l, ~ 1II~)'(lr que el IOOlllClltO fll!li¡.,rrosv '¡lle l'e uht.ienCl ~"a.ltf\u se tienen \lit CIlcuLll S01;'''ll'lltc 11I1I dcfotlllnciOlll!l" ... r:,>
Cll
\I'~ plti.
)f,•. II'"
Ji,,,,. I
....
.:
...
----¡y;- ... """i:! -;¡; = ;r .
(13.9) :1:,1:1
Los ensayos demuestran que el momento lor~or límite obtenlrlo por JI Córmuln (13.7) coincide muy bien con 1Il1 valor eX¡terimcntal. Sil! exponor la rlemostracion, seiialemlls que en caso de una seeeiun anul.r de di:írnclro oxterior D y de diiÍ:mctro inleriord. el módulo pUst.ico de la sección en la torsión cs,
IV".
pI. -
~c: (I-~),
. d ' IH!nOC=fj'
La denlostt:lci"n .le Cl'Illl fórmula re l"C'Comiondn realizar al propio esturli:lIlte.
§ 109. FleJlón pljatlca de ,llIaa laasUttcas EII 11\ f1elCiólI elástica 50 ontendía por ostado peligroso aquel en el qllc Ills lellsiones normlllOll en los puntos c...:tremos de la sección
At·1U
El
monoeu~o
fleetor resultaba ser. M JI..,. 1 _lV.. o/.
(13.10)
siendo W., el mÓ1Julo de la sección en la flexión. Por ejemplo, cn et caso de un rectángulo, MI
W,,_--¡¡- . Sin embargo, como demues~rlln los enSll)'os, este estado no M el estado Umlle. Es pMible un crecimiento posteriur do la carg~ conll:~ consecucncia de la propagación de la f1uencill ti las fibras inleriores de la viga. El gt"áfico de las Lensiones correspondientes lI.l estado liqJiteelIU representado en la figura 13.5. b. El aumcnto posterior de Ja carga result:t imposible (la consolidRción del material no.se tiene en cuenta). En la .sección peligrosa (doild~ actúa ellnomento:f1celor mhimo) surge la, así lIam:tda, articulación
plás~ic3.
E:n estll sección el montelllo lI",clor alcanza ~u valor Illlli'\'/11"". lito· 1... 3 magni~\ld de es~e momento se ob~ielle de la condición de que"''' lodos los punlo!! de la sección poligroSl\ las tensiones normlll~s son iguales (en valor absoluto) al límite de f1ueI1Cia or· Veamos primeramente el caso de la flexión plana pura. Hallomosla posición de la linea neutrll de la seI;<,;ión transversal. Teniendo ",n cuenta que la fuerza asial, que es la rMultante de las fuerza:,. normales interiONlS {JI dI', es igual a cero, hallaremos, t.e
N,,~ ~ (JI dF=:O,
,
o,
.
h,
h,
~ bdy-(Jj ~ bdy=O,
"
.'\\cndo ¡, l~ auchura de l~ viga (vadllble). Las integrales representan bs /ireas 1'1 )' Fz de las plIrleSl traciOllRda }' comprimida de 1ll. secci61l. Así, IIUO~, O¡{f?l-f't) = 0,
(nH}
,JI' donde se obticne,
(13. t2} Por lo talllo, en la flexión pllhliea la li/ua neutra divide la scecirln partes de igu.al áre". Obtengamos nhora la expresión del rnomeulo I1cctor limite como. el momnnto reS,j1talll.e de 1:16 f\leflp~ normale~ intnl"jore~ 01 dF~ en
dI/S
M/"~JIDI =
" sea, M/lto1h"=O/
~
y
,J o, dFy "
rl,.,+ o{ SydF.
J',
r.
Estas iutegmles represeulllll los mOilllJlltos estliticos Su: y Su dI'! 11\ parte ~lJplJrilJr o inferior rnspCtlljvpmeutu dl'1 ,¡rIJa de III sor,dón, "c"pe¡;to 11 la líuea neutra. Por Jo Il1nto,
(13. t:~) Purl\ las secciones que SUlI "imútrklls rC'spelOlu t\l tl¡e perplJ11_ dic\llar al plano de so!icitar,ión, halhnnos, Su=S~.,=So~,
:siendu SO" el momento estático de In mitad úe 111 slwei{,n rú.~ peclu a l~ Ilmm ne\llra. La rórmulll (1::l..1:i) se escl'ibe ahorn M'I, M)lo<
I!m= oj2S o" =
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(1:1.11,)
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Es III,til', L'l uWJoIcnlu f1Clclor Umit.r, rUilndú se C(¡ll.~idlJran b,s ddt\l"~ matl()llCS pl'ISlil:;I.~, aUllIenla ·1.~, veces. En el C
ció" 1l lIll ,"omcnlo Hecto!' y IllIlI fuol'~u corL(lllhl. Al I:nlculllr vigas cst:ítknmonl,o il,dl'lerminndas. 11\ [;()11.~idcrf\cjtÍlL de 11l~ Ilr.fol'lnaciOllcs plásticas pt>rmill' Illiwifeslnr r05O<1'I'"S. 1ll11yon's allll, de Ullllloul.o 110 lu c~pHcill~d re.sislellle dl'l ;¡isl,!:llllfl.
§ 110. Condiciones de plasticidad I~IL t'l caso dc un esludo LerlsiollaL combil\ndo. nsí como NI la Lo'-.... SiÓll y en la f1~xiólI pur" (es decir, en l'l dr=slizallliento pnro y en el estado tOJJsiollal 1I101l01l.\'¡"al), resull,a i mpo.'!ihle, hll!<ú'l
que
plll.!llicidad c..nduce al crilerln do ~uh'lllenciil, 5(.'1rÍln la tercer. hipótesis de ~istenci•. 2-da Jlipótesls (wndición de plnticidad de Hu~r-l'tllses). )fidependicnLemenle del tipo del estado tensional, In nucncia del meterinl wrgll, cuando la energía polencial unitllria'correspondiente (\ la vari"eióu dI! la formll nlcnn~lI. cierto valor, qllll e~ constanto panl el ma\.orl,l dado. Este \'alor 11) S6 ostllbleco experll'flentnlmonlll de los en!!llYOs, a tracción monoa:dal de la probeta. J.:.1I formulación matemiÍtica de esta tondiciúll de plasticidad conduce 11 la condición tle equivalencia de 1.. cuarl.ll hipótt'sis de re~i,teDcia, La 5elt:unda' condición de pbsticldad concuertla, algo mejor 0011 11M ~ull-adoe de los ensayo!; que la primera. aunque In correlaciones de calclllo resultan miis compliCl'lda.!!.
§ 111. Tonl6n y trlcel6n llomblnedal plistlcal de una bau. de IIcol6n clrcul., Aquí aprovechamos lo~ ~ultario~ definitivo!! de la l'(Iluo::iqD esu.- problema. Se ~lIpont' que las ten.!iolle5 !JOn ill"ua'u en tOOllS llls .seccIones de la bartll. l'al"ll III.'! delormadoull'l IUIIJ:"itudinall's!le admite la hi¡lÚL.e-l\is de las lj(!CciOIltl:! plallas. SOlld",ite t¡lml!il1/, qne, en "Ulla dI: que las ,lclorlllllf'Íones 3011 Jl!.'queiill:'l. el O::Olltorno de la $Cuiiill tnns\'ersnl, en Sil propio -plano. 1111 Sl' .I('forma, sillf> que lIira como UIl (liseo rigi,]o. Parl.iendo de eS!./l hipóll'sls l!I,l obticue Ii! eC1Hlció" quo (Ine In '\lCr7~'1 ".~is"r en el e!'tadtl límile,
de
(t:~,t6)
lliendo r el radio do la sección Ll"lIllS\'l'rsat de la l.oaITII., K~, ... ~ una ton~lnllte igual 11 tres, si se élllplel.l la prin)crll COIltlici{m de I'lasticida,', y Il Clul.lro, "i l!tl p;)rle de In M'¡:ulldll cl/lIdjcióll de plllSliciolld.
IV,'PM" Olluódul... plústico de In seuióll en In lor~i('lI, igual" 4-~r"
§ 112, FleJl6n, traccI6n y dlllliZlmllftto cDmblllldl1 pli.tllllS E.1;ponconos lo.'! resultlldos de la MI'lción lllltoximadrl uhlcnidll 1. no;slljO\' de .,,,le prublema pnr41 el C:ISO 11*1 "na ~eCl.'iúl\ ret':l.ulIgola'·, LA. f!(;lJllción que AAlahlece 111 relacilin entro el nlOllll'fltl' 11L'<'tor jlf J ,..., u"., la r"en.. lI)(181 X u ... y 1.. fllena cnnl.lllll<\ Qllno. CU el Il(>r N.
;\,11
eSl./ldo Iimile se clICril>
+
NflJD
9QIlm
•
4boJ ...... 1iibij=o¡W"p1...,
(13.17)
siendo IV" "lioI: = ~ l"l módulo plás!ito do 111 sección en la f1c:l:iólI. Existe oLra solllciün mb exaClll de esle problema. pero las (¡,r· mulas de cálculo l"f'..!UIUlII, Jlallll'lllmente. má, cl;unplicadllS.
§ 113. Hacines b.hical lobre el dlculo
por utados IImltel El mótodo e;\:flllC~L() en lo~ capítulos nntf'riores de eálculu Ul" $C dcnomhlll. (;,í1culo por tellslOIle5 81.1misiblcs. Selj:ún este mHodo, el clIlculo de In reslstenciu y la ri¡¡:illcz dl' las pie~lls i
0<: 10-1 = !!L I.. J • siendo II¡] el C«'rieienw normath·o de ~¡,,"Uridad. El coeficiente efet.ti\'o de 8egllridoul se obtiene como la rrncciuu del Hnlile de f1ut'uc;ia y la tensión ~al. n __ o, o
Sin embargo, como ~e señaló anteriormente, !liguillallo lu ley de Hooke¡ no est;lmos en condiciones de calculor las c.ngas HlIIlte... q'ue p·uede resistir la piela en el momento de sn rotura o en el de IfI Iiparlci6n de una deformación plástica 110 determinada mngultud. En much03 caJIOs. e¡,¡ más correcto realizar lo~ cálculos de la nlsisLenc¡a. cuando actúen cargo., estáticas, teniendo en cunsirlereclórl In deformaciones pláslleu. como !!El indico en este capítulo. y clIlcular 01 coeficieate de llBfUridlld como ti cociente de la C-argll límite QIlIa y la de Lrabejo Q (ql1e en realidad aClÚIl).
n
Qllm
----r-
Es mis justo Lambien. 1111 calcular lu piezas. en lugar de 0"0. empleer todo un !i.stema de coeficientes pereilles de seguridad que consideren l. I.nfluencill de 105 lactore.s principales sobre la resisten-
.38
cla de la piau. Esto permite, de una minera más diferenciadll, tener cueota lu muy diversas condiciones concretas de tmb3jo de la pieu. En relaci6n a eJltO. últimamente, recibe mayor dihuión el mHodo de dlculo de las piezas por estados límitu, que permite, en ciertos CilIOS. eolUideru lu deformaciooes pluticu. Eo el diufio de las e.structuru el método de cálculo por e3ladoll limites se admitiu como obligatorio de5dc 1955. En l. constrocci6n de maquillUl!l. debido a la gran diversidad de condiciones. 00 existe una reglamentaci6n tan tlslricta de los ml!tota¡¡ carga~ pueden ell1ar constituidll.s por fu('ru,1f P, momentos .~, presiones q, eLe. 2. El cst.ado línlite por dclorDladon~ y d~plu"mientos. Cuando .!le /Ilcanu. este esl.1do. en hl pieu. que sigue manteniendo SIl r&!islentia y esllobiJidad, apU8C4ln deforrnaciooll!!l u OllCilacioue$ l."ll&fl que hacon Impo9ible la exp]()lflcion ult.crior de la pit.'ta. 3• .1::1 e.stado limite por la magnitud del desgnt.e de la elIPo' ¡¡uparricial do la pieu. Cada \lIlO de estos estlldos I.ímites se earacterilll. por su condici6n limite que iudica. que para que sea posible la explutación segurl'. las ruer7.ll.s que actuan Mlbtp. In pina deberlO ser 1IlcllOl'ell f\1l1l In ma~nitud limite y, en el olltlldo limite, iguales a eUl'. Para el primer 8Stlo¡JO HrniLe esta condicUm que !ro dellonlill~ condición de no dOllt"rucción, cs la sj¡.::niontc. 0/\
N"'::':(l',
(t3.18)
siendo N el esfuerzo en la pielll. <1>, 1Il resistenoia IInlile de la pieu. correspondiente al momento de agotamiento de la capacidad l'e!ist.enle. El esIuerto en la pina se establece c("no la ~uma de los e.!!fuenos de cada ClIrgll normativa considerando. en eadll cuo. 10.'1 correspondientes coeficientes de .sobreurga ma)·ore.~ qllc In Ilnhlaó. Am,
n,.
pUQS.,
(13.JO)
Ln
1('~islcncill
lilllite tic la piC7.a <1l ,lellcnde de 111 furma y dim('lldt, 11I piCtil, de la l"Csisl,encill del matlJrilll al corrcspondient.e l,ipo rlt' delonlllldóu y de Ill,s condiciOllllS de tr"bajo de la IlilJ~p, es dl'l'ir. 1:lion('~
(13.:W) II~ 01 (".ooficiclIto dc hornug.meidad dcl mutcrinl, 113' ('1 cocfi¡;icJlle de la.~ cOlldiciollCl! de I,rl/bajo, qllQ consideJ'/1 1'1 grlldo de responsabilidad de la pieM y olrns parlio.:ularidaucs que direcltllHcllte /10 00 reflejan en 10.'1 dLclllos, (J"~,, 1.. resistencia normal ¡va del nmlerial (parn los mntcrilllcs pl;lsticos, el vlllor 110rmati~·o dcllÍ¡ilite do fltle"dil, y para lo~ Ir;jgiles, el valor normativo del IimitlJ ,lo resisLlJllcill, gil los c.cilclllos por f'lliga, el límite de resiste.ncia a la iatiga), 1", el fuctor gt'omóLrico 110 In J!ie7.l\ (úrea, I(lódulo de la sl"'~ cióo, ote.). Al calcu],I(' 110r faUga la resislelld
!licudo
(13.21) Para el !;l:'glllldo estado límIte. la conr! ición límite ser;; la
siguil~ntt':
(t3,22) siondo l1 el desplal.amient.o máximo do la sección de la pie1.lI, originado por la carga. de trabajo, l1 an ,. el desplaza,miento limite, que implica la necesirlad de interrumpí\" la explotncióll (lo la pieza (en [unción del r!estíno de la pieza). Pnrn que el método de cálcllto por estados limiles 00 emplee In!Ís amplinl11eot;c en In COllstrllcd6n do múquinas, es necesarill. una lIormnlización mus rletullarltl do loi cudicieutes de 6Obrecurga, de homogeneidad, de las coudiciollcs de trabajo, del volor limite do la deformación plástiCll, del desgaste Iímlte, etc, Esto ¡Jermitirá, al escoge~ las dlmeJlsiones de In pieza, basarse no sula mente sobre la el.:perioucía y d o.~Le del COlls~ruclor, sino también sobro Criterios objetivos y normas, lo que aumentará la seguridad de la pieza y permitirá dióunillUir 01 gasto dlJ materifll al confeccionada. :1~O
l.
§ 114. Concrusidn. Direcciones modernas en deutullo di ros mlltodos d. c6lculo di In estructuras Los métodos de cálculo de Ill~ e~l,rllctUrllS se JeSllrfll\lflll cnnUnuamente, mejorálldo:!e y pro[undizáltdose. gn 10l! últimos aiios se ell1boran da una ma.neril mll'y inLensa los prublemas de la dilláimjca de Ilts t'lItrucluras. los métorlos de crliculo de las esl,ruluras que Henen en cuenta las deformacinnes plásticas del material, los métodos de cálculo por fatiga., los problelllaS de la estabilidad, el empleo de Ill.s máqllinlls compulndorlls en los enlcuJos de las estrucLuraS, y otros proLlemlls. Met:Cce' especial atención el nuevo, es sus principios, método dll dlculo de las estructuras que se elabora, de una manera. muy intensa. en los úlLimo¡4 a¡¡().~, e~nciltlmente en la Unión S.oviética, (los trabajos de N. S. SI.relet-8ki, A. H. [\1.haniL~in, V. V. Bololin y otros). Este método se puede denominar convencionalmente métooo probabllístfeo·estadístieo (o slmplemellte esllldistfco). La ¡del,l fundlllllcntal de este mótodo consiste en lo siguiente. Las magnitudes qUIl figuran en la ecuación de resistencia. rigidez y estabilidad, lItles como las C(lTg(ls. hlS cnrllcteríst.iCIl8 I1c 1M propieollllos del mnterial. 1118 cllrllc1.erísticRs goom,ít.riCllS de 1:l~ 1iCllCiolles, se conside.mll. no como lOugnitudes Gonstullle.~ ri!{urusttmente detcnn;n.ldas, SillO como magnitlldes rllsullles (conjuntos C'st,lldísti(08) que lienell UIl/l deLermíllfldll, II veces muy eOnl!iderllble, variabilidad (disjlorsión). El estudio de t'3laS magnitudes e.~ pnsihle sol1l.mClItl: pnr los métodm¡ de la Teoría de Proba.l.o¡lid~dcs. El gradn do di¡;persi,m do ulla \1 otrn magnitud al! t,nr;lfteriza por la <:orrespondiento cm'vlI de distribución. ~;1I ¡;alidad dI: l'jemplo, I:ll la fi'lura t.fi so representó la curva de distribllciólI de III presión del viento y en la figura 2.2~. la curva do distribución del ¡¡mil,e de f1uencin del aCoro 01... bnjo ¡;8rhOIlO. I,,<:luso mugnHudcH '11'0 paret:ClI cUlIslalltC>l. eOllHl nl Hr~a d<: la !\Ccci"n, módulo de 1" !!('c<:iún, mumento de iuercill y ~inol'l.Hl1ente, las diml'nsioncs lincales do la pi('ZlI, !;IHl, I!II rl!ulitllld, IIlllguitlldes ostadísticamente \"llriable>l, como cousecueHda de 108 inovjl.ables erl"(lrcs de confc('-eión y meilieiÓn. Las Gurvas de distribución se pueden construir a ba.w de los dato!! experimelltales o, en llI¡;uJlOS casos. de una manera puramente espe· culal,ivlI :según ciertas leyes tooriClls, que responden a las pI't)piCllades importantes del conjunto estadistico dado. Exüten critt,rios (de Pearson, Kolmogorov, Dernslein) por los cUlIles 9fI puede eslahlecer que la curva teórica corresponde. con suficiente Cl.:AcUtl.d. l\ la empiriCll. Las curv"s da distri}¡lIl~iún pueden ser simé¡'ri¡,as (fig. 2.22) o a8imetricns (fig. l.f)).
L" (UrVR \.córica más difundida. que descrihe la t1istribucion simétrica, llll la CUrvA de CnuM, denominada Larubién CUrVa 1l0rm.1 (rig. 2.22). '1'.mIJicn es po!\iblo emplear la C\lr\'. de Gau!!J para IR!! leytl' de distrilmció" ll¡¡illlélri~S, recurriendo a Ullll U otra. tcorret;eióru de es. tllr'-8. Ln C
N
(13.2<\)
El problema sobre In disminución de la tensióll en comparación la límite, se resueh'o según el méto,]o existente de lOll tensiones admisibles, introduciendo el coeficiente de seguridad 11. EIl el método e.,tadlsUco se considera que la di1\¡ninución de lu magnitudes de los Sll¡undos miembros tlll (13.23) o (t3.24) n vece! no dn una garantía completa de 18 no destrucci6n de la piou, ya que las curvos de distribución no cortan el eje horh:onttll. Por oso, incluso para una magnitud eons.iderable del coeficiente de seguridad siempre existe alguna posibilidad de que la pieza se destruya. El problema consillta en saber calcular es!.l posibllidl'ld del fallo y, en fuación del destino de la pien., ~ r uno u otro valor de esta como admisible. Para ello. es necesario construir III curva de distribucióll de la función de rei!istencia D = ID - N (o R - o). euaodo la función de distribución de Jl y o es normal, la CUr"VI de la funci6n D lo será tamdilÍu (fig. t3.6). Sobre el eje vertical se ~n
,.,
sitúan los valores de la densidad de la probabilidad de la distribuci6n de Di sobre el hori:tontal, 10$ valores de la propia función D. El atea de la curva es igual a la unidad. Los valores positivos lIe la función D corresponden a los casos de solicitación sin peligro; 109 valores ne¡.:ativos, a los casos de lallo de la pie:ta. La probabiliuad V da que
-~
o Fig.1U
la pie7;8 se destruya se caraet~r\7;a por el á~a lIe la curva de di:;
y cero.
"
V= ~ Pl;dD.
(t3.25)
En lugar de la probabilidad dd fallo 1'. ac pul'.•le opcrnr COH la probabilidad de la no destrllcción W, que es iguaL 111 áre~ de la ¡»lrte positiva de la curva de di~trjbllcilÍo de la función d,~ re~istCl\r.ia. JF",,~p¡;>,lJ);-I-r.
(1:~.2ü)
"
Para calcular la illl,¡>gral (13.2~1) i!Xis!ll11 lI"oIas eSllec,iales. La pl'Obllbilit.llld calculada de la .lestruccióJl lIe 11\ c·oll~lrllcdón no
En el proyecto ,It: Ill" nue\'as flOTillaS tic clllculo \le 1115 es~rl\ctur(L~ para los edificios y cs~r"C~llr(l;S Ill' especill.1 rcspo"ssbiliotad. 1I1 8"
fallo signlfiCII una eaWÍ81ro{e. sr NlCulllienda como Ill'()babilidl'd admislblf! Ilel tallo 3·10..... e5llecir. que ~ admite la posibilidlld de l. de.'lrucciÓn dll tres cs~ruc~ut1lS de ""d.. millún. Si el f/lllo .Ie la piOUl (cOll&.ruct'iólI) no cQlldllce 11 "ídima$, SillO que. !I01/llncntc. CouduCl'!" la lleet"lIid'lIl dt Ulla repllnll;ióll o iI 1.. ,¡u.slillleiún ,le la piC1t1. enwlIC'c:! la probl.bilidlld adu.i!lilole dd 111110 de la pieUl pllelle dell'fmimtrse por mo~i\los pllf'll.lIlen~e e<:ouúu.icQ:k es decir. partlcmlo dt'1 minilllo del ("",.lo Lulal de 111 picla (el «I!to de Sil CUnfll(ciú" y de !!1I repafacióll). Al empleo pniclicu del método esladístieo dcbt'ní anteceder un amplio lrabajo de il1\1es~igllel(01l pllra el esilLllio de l...s CUfVOS de di.~lribuciún rle la, C"H'l1l\s. UC 11J,!! carac~er¡~LiclI8 de lA. fesislflrll;Íll dcllUlILC!dul ':1 de olra~ mllgniludes. que inOuyen sobre la l't's¡sl~llcl" ,le];, ("()u!JL'·u(".ciún.
APENDICES
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Volumen Ansul" ,,1 • .,0 '\"8ulo C.t.elf,., Velocidad lineal VelOCIdad angul"r
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Coeficienlt! .1., ..,¡im"trill del del.. 310 de tali"ad de la !"pertid., 321 de eOl:lto>ntrllción llc ICI",ionll'lllS de ,lef"rwación u~"~"el"'al 30 llin'mlw 297 de \u"m()Jj"""'idad del "U~lrrial 331) dr InflnClIcla de 1.... ,lh"en~iO'l~ _b~olut.~ di' 1M .. ~:eión 32U tle l'lldur.ei"'n do 1.. 10n¡(iLu,1 281
de rechlCCÍlin d" 1_
tcn~i""
Molwl.
gil>11I on la f1ui"", 1''''lIiwdinAI ("anoil!O) 21:14 do [,CRuridad 54, ~~ d8 Allgurldad en el pandflO 273 d.. ",,"sillilidad dol maLnr-ial JIIl - do IOh~l'Ja 3.lll CompruiÓJ\ as'al :/.7 - de III""a.~""belt,,,~. "éal'l": fJc.(fóll 10n¡:Uudinll 277 - ucéJllr>c:a 257 (".ut>('et\u...ión de leasi","" 3' _ .'fI IP.I ea
""
"ti
CoIl~LnJed,;n Jos dia,r~mas (¡:.¡¡. ficoa) de loa mOllle"tns Ul~f'f$ t IG C'.oUl;nllldad d,,1 JU~h,ri.1 JJ C'.rillt.les I t CuIP.UQ 39 Cuerpo ah5ulul.meale rígido ';' Cucrpo def"nn.bl. 7, 18 Cun'. de di~ribllelUa, ,'"are: dJa¡rilm. da tl'K\II!!ocilS 1&, .53 CUr\'atura del eje do 1, ,·;.... "182
IJ-A~lJIwt, principio el.. 295 flefonnación anpllr 18 PO' rJ c1~I¡umllltlto 95. 96 dlolÍmica 29ll
l::ndurK:iml.olo 39 - por deformKlón llIl. frio ns - "r.rfici.l m F,ner¡' o poto"";.' 0.1810 delormodÓII
.,Ihtiu 19
en l. nnxión, vh",: curvatura del
"J~ lIfI J. "Iga 162 en In fIuenel. plisticI Hnul 18 pequella 8. 330
-
t&mlca 66
la
lo~i6n
124
trans"USlII 30 "olum"lriu 79
Dd"ormaclooes eoropuo~lll>f 21 De!lIumlento 90 -
pU
Desplanmiento 19, 33 Ulgullr en la O."don. \.~",;oo: 'ngulo el.. lI'iro ,le 1.. Meei';" d. "n~
"lIrl 171
linnl en 1. lfe1.i6n. ,-,,_: flecha .... l. 117 rletennlnllClÓII de l•• df1onnllCioolll 124 Dial/n"'8 de coml'ruió<> 48 _ el.. los d""Pt...mhmtOll 80
,·'lta
- 'lín''''!"..
_ _ -
-
do rrecuend 53 de lIn11lh. v6 : tlaill'h. di'1l'rt.mn
..
n~~i~luncia
d.les 295 fJhllor.ao-i';n 42 aMoluta ll6 - uuJl •• ia 96
y d~~'iumi,,"lo 3.~7
do ~t~lo-
UI~IOl"<'un
... .,uac,"" do l. línea ellblica 177 - - ",'ulra 2500, z:i8 Er.ulO<.iono;ll canónica 113 Eje d.. r. ha ..." 9 - "~"(r~l <10 la IoMra jlO - upulr" 159 - d, 1,.¡uciPlOl in~reia lOO EIa.t;~ dad l!l
8~
FAC!()r de ...:.la 3W Fibra 14.7, 151, 159 I'll!'Ch. 'lo Una vIra 171 - d¡n~lllie" de IIna vjl(a 200 - estlliell de Una vi!:a 299 Floxi6n 142, 117 des"lado 142. 2'8 IOD¡1ludinol 271 longitudinal Y In.n.sven
3O(l
Ulnll.mica ~l) b
M ,,1 d,,~llnm(onlo 97 011 In flu16n 175 en la lorsi6n 129
unharla ".-la doformaci6a S3: EflUYO por urá·' de impaelQ 3()() _ de malerlaS. 3:> - de reistlltlda a l. fall¡a 312 EqulllbrlQ eslalia. 271 - UldifeJ'\!lllo 211 - int$lab1e 271 F",bdtu de la barra 282 Rlflltrao en la lIoxióa 14& - inicial j2 - inta.ior 20 ESlabHJdad, 8\ '" Est.lldQ blnia 2~ fr'all 4.1 I1ne,,1 2' pl'"k.. 41 toIDSional 23 trlulal 2<1 "''\Ilu, fórmula de :as1, 282 EJ:CC'nl.ieldad z:i7 F.xtons6lDotro 7
~5
rinclpa\ 19 ll'MIttual .. l. ",actividad '" {plástica' 19 el'
-
-
-
J'l\lr~ 142 Y to,."ión eomhi,,~du, v~a-!<>: 'or.16n Y r1CXióll c.olllbln~dl$ Zl\5 Y traed,;n (eIlP'prMi/Í.ll) eomhin~das 25.~
- u.nn"....¡ 142 Fluenei. pl"~tic. ""
}·ónnul. de Lar'&«!. vc_: Laplau. r6tmul. d" 213 unio·""",,1 181, 183. 18-l
-
d" ZI1un"slIi, l6rwtlla do 168
t'"crrn u'lal 20.
"{,II-'ll':
~7
tOr'HIII" 20. 90. 117
-
rrlti<~ 278. ;:111 (1 .. ¡"creia IU. 296
7,hnra'·$ki.
11.. i(1h. dill(!r~mR
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lOo: '.•ml,-"I .1" ;"""cia
,I~ ro.~b~nci" (JUo<:ánkn) 2:).11-_2M las sor.du",,~ 1'1,,"0< ~~l. I:;!I ,1" h.. Icn_nes HO'-IIJaI". 2:1.">
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¡h"iw:¡'H Im]JM!n :!U7
~r"",\·e. ...... l 2!'lfl
-
h,e,;":'>ilo sUl'(.rflu" 2Ú7. 21:1 Illl,·!!."l <1..,. Mohr, vf",;c: :'010)10., inl,,g.al d.. 1!J3 l~olrol'lo. \'''AA<': 11I"Icri,,1 i~olró ¡';I;O 11 ..lu~g"~
(holgura,)
~o t~"11ll'r"lu.a
ü9
""I'I"eo. r(,.mula de :!7Ol l...." de l-lo<,l;c. \-l'I'!'e: Ilnokc. lry dO) 2H - de X,'whm, V""SI': N.. wt<'>ll. I... y du j(¡ - ,IJ' .cciprueü¡'"l <11, l,,~ I1'HsIOlkS Illn~"daJcs 73 U¡::,,,lu.u ~"\'6rf'ua 207 Lbnl10 ,1" e l\~tlcldad :).8 de n"""d" ;:18 - propuml"""lidad 38 - re.• islen"'a ('Il~c~Jlku) :H! - d.. l'(>~islend~ ~ l~ fatiga 311. Línca "eu~rn l:in, :!5(1, 2511 ~
-
frágil ':1
bOlnogénoe 1t - Iselr6pico 1 J - de poca plasticidad 41 - plá.'i!·lcn 4' Max\\·e!I. lenrema .dt> t9:! 1\1<110<10 do wleult\~po' estados
3"
-
estadisl;CO 16, 5". 341
-
Jo los f"cu.as 213 de Ins ~CCCiOl)Oli 2ú
~
Hmi~a
Múduto del dCilllum;olllo (modulo do obsliddad do s.C'U"'I,,
"
362
1I:"IJ~ro)
l'ol~. ,1,· in',"-,-ia W:.! ",inell"LI ,le in"I"{"i't 103 (",."nl" 21. It fI ""hr. ¡'il,úl".i~ do ,.""i"loncin de :Y.l ~. i"learal <1" I~l;j
Now!"n. I(\y ,le JI} (llnlrlml 11e rncdicí
Xe"~"n
Oscil"clo]le, f"J<"']"~ 3("15 -
]ib''Ch303
I'and,'" 21:\1 l-'Iatl .._~ principales 24 l'erlU r,.,r.nd" 1:32 Pomo:; 90_95 l']aca 9 l'lnsli,';d"d 19 l'oi!1-""I\. roollclutlw de. V~"Stl: ceeneil·nl.e
0<'
Pritlcipio do SaiR\~"ellont. "..atoe: :;Mlll-\'e"alll, principio do 12 - de supcrl'0,iciún de las ¡"~rza' 12 Probelas ~"lIln
Radie¡ de giro
t':4 41] HeeipÍt'Dl.'" tle paredM d... l!!adas 272 Ill'Givro<:idod do I"s .dospluaUli
Regl3 de Vrreshdl/lg,.ill, vea.
l\l!ducci6n 40 lIc1a,aeiÓl' 4-\ 1',elllMiII!:'l 90
"'ll''''
de ItI:!
Too~m/l
-
l\o:Si~t8tleia (J:nKiJlic.) 7
-
al calor (lemtort'ellIRtenela) 1; COlllpuesla, véa~: deformaei,lI.'''' cornl'uKIu 21. 245 Ilaonitltcia 3<05, 307 Clll!liOrtes :!61 Iliglde~ tII la ne'(lón 162 - el. l. tOl'liión t25 S~iut.-V(!Mnt. principio d~ 12 SeCf.i{n. raelun .. l n~ :>i$I<:roa bis!) 1\3, 210, 213 - d<: l'cuotlunes cIln6nieas dol mélll ISI) ¡Ji ""'ilh, dl.gr¡¡ma ,~e JI:; S"litlo hOlnogtDl'\>, y~.ue: m.t
;""~rlipico,
tco~ml
ue '<19
V~Il!tl:
EklUi, 100-
y~,--Oi!:
Zhura..,.ki,
TQf$iúo de balTal;,Je
lI.iIIenda 302
-
de Onll, I'e'lIII de ISS do Zhurauki,
v,:_,
ma~rllU
i" ..
tt'típic
:l!l
-
p"n:"d~delgadl$
'"
de ulIll "'-ml de §f'OCi,ip dralllf 119 d. un. ~rt'l d. lIl:C(;j.6o nO ein:lllllr
IJO -
Y [":"i6" WDlhiDadas 2t.:.
-
do 111\Ullles 262
-
re.'
- '1 Ir.ceilin "Qlnbina;!u lGlI Tr",b.1O d. lu fUt'rllS ""t
-
el:c6nt~ir.a
25;
,
_ y t(>l"!li6n cDmbinodos. véNle: 10fúdn y trllcci6n CQrrib,olldllJ 268
Ve""hcb~llin,
regla de 1!)2 Vi!:. 17<1 o- all"iliu (lteOeía) t'l!
e.mUnuI m lioble le t ,O d. dos "1>01'0< 15:! - .Ic ,J,. un..... 212 _ ¡'il"'(Dljtiu (<<'!>lillr.lltlW!nl.e ;lId... wm.h,llIl) I'¡'¡ . - illO>!Le dl"l.f'rroina,ll) 144- qllcbrlda 1:.6 - de 8«.16n raelun~l 22<1 _ de lió!«-llin varialllu 228 - eu ,·ul,,,liro 150 -
Wohlcr, diD.l:rnml tic 311, Zhuranlllll" dn '''9
IHDICE
PREfACIO
Capitulo 1, CONSIDERACIONES fUNDAMENTALES §
1. l'roll¡'~jt08 ,Id w~t" tRl!8i.~""nci9. do matcrioll'M Sllpooic;on€~ introducidas un la n ... Uitollcia de Ula(.(>ri"h'~
~ ~
2.
§ §
1" }'ocnoll "xterioru (cargas} . S. Dlllorrnácioll€a y dC8,,1!l~.orn¡elltml Ii. M"tlKlQ
!i !i
,,,
•, • ,•
• •,•
:~.
Siswrn"" de ulliolu.ll'8 d" rnadición do las maguitudes ute"ónicl!s
7 10 13
1:;' 18 20 22
Capitulo 11. TRAce ION y COMPRESION 8. C,uculo d" las
fuer~M
intcrlo
\1. C.'dculo (\(' ¡.." tellsi""U!:' W. C~lc"ln d" J"8
de 1<>8
13. P,'ülcipaln t'pOll tle proMo';""! 8ulore 01 cálculo de la r"si".. tellcio. d,o harras traccionadas (comprimidll5) 14. Problemas ""t~ticllmnnle il'ldpto:mninadOl! (hipo,...,.sI.;lic!>s) en la tracció" y cOlllpre5ió,. 15. Tensiones ofigtlladn5 por lO! cambios de temperatura y duraut.. ,,1 moot~jo. H~gulación ... lilil;illol de 1". o,¡fuo(""¿"" ""
,o
las construcciouM 16. l'end,\ono5 ("1 plauos indinado« on el
CIl~1)
dI' tl'acció" (."m_
presi6n) e" una dirL'<:cióll . . . . t7. Ley ,le r~lprocidlld do 11l~ t¡',U!;,mos tltngenciHl"5 J8. ('.11lc"lo uo la" tetl~iones ,m planos inclinados, en el
.
71
73 ca~(·
,1 ... tucoión (compresión) en uos dirucciones 19. Cálculb de las Illusionos pl"jncipal
~
'§
20, nelacibn cu~re lu d~{Qrmac¡Qn~.s r 14a tnns¡one.s en 105 ca~ do Cslado.s lenaionalea planos y de volumen (lo}' de HookQ s:eneTeli~ada) , Zl. Trál¡a.jo de las fUl.>nas exteriores e interiores en el ~a90 de tncelólI (cQUlprl\.!lión), energía potencinl dc In delor-meció" 22. Concentración de ¡..""Ionu. l'e,,~io"u.! de contacto
80
84
Capible 111. DESLIZAMIENTO i § §
23. Clílculo de las tellsiones 24. Deformación por de~liUllliento 2.:i. ¡'''('rgía. potencial del de~lifBmíent..., Rehelón entro I...~ lre's COIl~tant
90 !l.~
97"
Capitule IV. CAAACTEAISTICAS llEOMETfllCAS DE LAS SECCIONES § §
ao.
~
1M. Hd"ción elltru 1"" momentO<" de inercia res~clo a ejea parnlelos 29. '\\"ltlcnt,,,. de ;lIQl'Cíll du IlIs 'lCcdn1lCa símples :)1). ~In("" de ollerela 110 líg"",~ complejas :lJ. Ynrioci6n de !.-,,¡ wn"'cnL". ,le ;",.rcia al girar IV/! ojc~ 32. J...:jcs }lrin(".ipMJ<'~ ole jnHeia y mDm~n\.oS princiflalr~ dll in<'r_ eia
§
§ §
!
~1"IO(>nto
e~l"tt¡CU
do la l!lIccióll
lOO
27, Mnmentos de illerda de b 5oe~ióll
.J :13. Hnlllcilin entre los product
'102
p
dvs
lOO 104 106 101
108
si~t~·
ma. I'arald,,, ,In oj~,
110
Capitula V. TOAS/ON ~
31"
~
J,',.
§
~li.
i
:J7.
38. 1 J'J. §
!
40.
, 1,1. 1 4:1. § fo3. ~ I..r,.
C"nsLr(l~";ó"
do lo~ diagramas de I,,~ momontn!l tor>",·"." ,lo las tClIsioues eu las barras de llCcción circulur nclaeión ont.·'! ('1 lllomenLo quo se ttan.~mite " "U árbol, la pO!o'llcia y la ~'elncidad angular ncf""mn,,¡nnM y despln."m;ento~ que """",pañan b l"'l'~ióll <1" b.na" do ""r.ci6n circular Co,'strucció" de los l!".'¡¡ic()il de ]0Jj ánglll .... ,l,~ lor~íón g"erg;a pulendol <1<1 h tON¡ión n("ll)tadn~ pr¡n"ip"les ,lo 1" ICMín de 1" Lo,,,ió,, ,1" b,""'as de .':lección no circular TOl':'i6n dn barrll' 01(' p"T
IIll 119 J:M
124 '126 12!1 130 1~2
n.s 1:J7 1;'9 .1Géí
C.pltulo VI. FLEXION. CALCULO DE LAS TENSlllNES § § ~
§
§
§
·15. .'\"oejones gl',,,,,raJ,,s ~oLrc I~ ddorruadón CJI la tle.\;';;" ·IG. 1'ipO!! de apoyO!! de la" vi8"a~ ·H. Ciilcnl.> de las n'lIcdo".,,, de apoyo riul'l'tl en Jo fh"jún 1,9. CI.>,"'endón sobre \"" ~ign"" ,le l... rnm"{'n~o" Ileclo"l" y .1" 1"" ["en..,; COrl¡lllU'S .'1-!. flelacióll cntre el momento llector. h (u~r7.a cor~:"l!." y lo inwnsi,hd de la caKea di"trib,,¡dó,l r'l_ C"nstr-ucdón <1" los gr,·,ficos dc Jos mom._nlOS f1ccto!"C:I y .10 j(,,. f""nll." ~,o!'lanwlt r.~. Del.. rru;nó,lci';n de la~ len""I"c.~ uOl·",ale.¿o r..' t. COll(Jir,ión ,1" ",,,i,,lend/l pnr ¡"'uSiO"M normales é>1. Dotc"nJiu/lci"n de JfUj leo"ion.. ~ tangOll~i"le" T.msio" .." en las ~cdone" indinn,las la viga. T<·n~iOl"·.<
,.r,_
de
p,·iucl]J"I~~ ~
§
;;,¡;. (;<>J1c"nlrllci61l ele t"""iOllns en la fl"xiún .~"i. Ellc!gia pl.>tcndnl d(.l la e1(.1["rmaciull ~n lu He"i,,"
1'.1 1'¡~
1M, l·¡n !·H
1,,8 14\.1 l.~
l(j:! ll~;
J7:! 174 17f,
Capltll'n VII. FLEXION. CALCULa DE las DESPLAZAMIENTOS r~.
,
,,
¡:~"a<·i,íll olif"r.. nci .. L d" la lioea "J;'stic.... d" 1.. villa 311, O,'l"rmj,,,.ciú,, ,1" I080C"plaZllmiCfltos cn~t.J cnso ti" '·'u·i .... t"·IUUo._ ,h. svlldt"ciÓu. Ecn"ri,"" ""huNa] (;0. t;jcmph>s olo Clílculo de dt<;pln7.lIl1liellto3 eJl la flexión por la fórmula ulliwrsal 1)1 _ '!".-úrCHla d~ rcciprocidlltl de In" ~r"ll11j08. Tl'oruma d() ruei. l'rodcla,l de los ,h,""l",... ",j"ol"" C,2. lI1etu.lo o" ;,\Iul,r de c~Jcul" el" ,,,,, d""vl"za,ui"nto •. Ih-gl" do V
Ucas) 61. Ejemplos ,lo dlcul" do '·ig:.s loiporcstillicas 05. Pundam'lllh'll d...1 método genen\ do cálculo de sistemas hip
li7 li"l
1M 1&3-
19:!
:!OC, 21(} 21~
:!20 W.
CapItulo VIII. HIPOTESIS DE RESISTENCIA I I §
t I
,jI:l.
Gll.
70. 71.
72. S 73.
l'ropósito de las hip6tesi" do resistencia Primera hip6tesis de rt!s~telJeia. Sogunda 'bipót<:>sts de resistencia '¡'e¡:cer" }Ilpóte.sjs ,le rt'3i"t.an~ia Hipótesis onergéticas de re.~istoncia T"nd"neil'!1 del desarrolLo d" la" hipótt>sis de resis!.elleja·
230 235
237 231:>-
2..1924'
C.,rtula IX. CASO eUERAl DE sollClrAclON DE UNA BARRA (RESISTENCIA COMPUESTA)
t t t I I
t i I
I
f
7". CODCllpLO..:ión y tcaedón (eompl'elIión) combi~rlllll 711. (';ompn",i6n (Ir,..;d6n) ex'*nLriea 79, "'udcll f:C!ntul 110, Torsión }' d~~llzamle.ntl\ cOlllbinadbo¡. C:;leul" <:ción (f:Omllfodón) f:ombinlldll.S 83. Ejemplo,) de r,ilrulo de '"' Arbol por fleXIón y IO/1016'n eom· binad." M. Cúleuh. de n-<'iplt!"lt'~ de V",ecIü dclgadu
2tS-
24ft. 248 255· 257 200
262: 26S
288
270zn
C.pítulo l. CALCULO OE LA ElTA,lllDAO DE BARRAS COMPRIMIDAS (FLUION LONGITUDINAL)
J !'l~, i !Su. ~
,
f
J t 1
FOfm3~ n¡rmul~
CSI/lhln ... ineslllbll''¡ del e'lullil.rio ,le 1';"ltlr PMfU 1M fllorZll critica
87, I"U"enr.;,' ¡Jd I,il''' de a!,"Y" ¡Jo lO! extromot do 1.. horra 1J8. O"llliniu ti" ln {órmul,. de EulC!. Ag. FórlJ1ula~ cmpir;e"~ !'lIra la detl'l'u'inación de lo! leneiol)C>l "filie.." OO. }-ónullla pri.eti"" p " " el Clileulo PIK" plltdllo 91. Y')f'lllAS raeinn"ll'S de 1.......'Ceio,,~ d~ barras coml'.im;,11U 'J~. n ..... ¡ó" P"f" I""n... ~ lnnlltltudh.:tles }' Ir;ol'~V(·ualp..
277 279 281 282
:!SS ::l&'ó 28ú 28')
C.pllul. lIl. ACCtO.. OINAMICA DE LAS CARBAS
,
I
!I,'t. C~rga~ dlnA,"it';ll,; QI,. C,Iku!" ole la" h'"si''''e~ ~n ,,1 C,~!o II~ mO"illlientn 1111;-
2'lS
f''''mcmPlIh' n.pl,·rlldo C"kul" p"r imp'I<:I" ~;._~),,~ ,lo m .. t.'ri"l"s II cll'lla" de ¡"lIlIlClo (I)ns&)'o por impacto) Ol!dlaciUlW'I libl'l':! r1e un Silll!ma de on K.ado do libt.rtad 98. U~ilnd",,("lI f ........ndn 010 \/" sl:stem.. de un Indo de li!:>e....
296
, ,.. , ". • 9~.
I
tad. ll~",,".lll
29; 300 ~
305
,eapltlara 111. CALCULO DE LAIRESISTENCIA EH El CASO DE TENSIONU QUE \/ARIAN CIClICAMENTE EN FUMCION DEl TIEMPO ¡CALCULO POR FATleAI
! ; tl9. OefilliejoOO!l hllll'aMfnU'eli f 100. Cur"", de la fali¡¡:a pan. el cido aimétrieo. Limitf do:
n re:!i~
tenda a la raliga
31Z
t 101. DillgT'llma de ioslímiw.. de re!istllnc;. 11 la fauga i 102. F.cto.....s que Influ)'1IP .ohre el limite dt rosbl,eod1l.
11. l. fUlg& i toJ. Dcterm;llllciúlI del r.oeficiente de qurid¡ul para el dr~o ahnétrieo t;rtu-1. Ilek'nninación dcl <:OI'ficientc de 5I'guridlld Illlra el r.klu B~hllétrico do l,e".IOIlM :I)rl5. Mcdidll..'l I'mellen llar. el i¡lerellll)n~O do 111. rl'.'¡~tl.nc;a R In ÍRtiga
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CapltllJo XJIl. RESISTENCIA DE MATERIALES A LAS DEFORUACIONES PlASTICAS. CALCULO POR ESTADOS LIMITES
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Indice de m@,leril\S
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