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U N IVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFECIONAL DE INGENIERIA CIVIL
CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO IMPULSO Y MOMENTUM
CURSO: DINÁMICA
DOCENTE
:
Ing.Msc. Yrma Rodríguez LLontop.
ALUMNOS ALUMNOS :
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CANTIDAD D M!"IMINT!
Concepto# La cantidad de movimiento, momento inea, !m"et# o mom$nt#m e% #na ma&nit#d vecto'ia, c#(a #nidad en e SI e% )*& m+% ( -#e en mec.nica c.%ica %e de/ne como e "'od#cto de a ma%a de c#e'"o ( %# veocidad en #n in%t in%tan ante te dete dete''mina minado do00 En c#an c#anto to a nom1 nom1''e Gai Gaie eo o Gai Gaie eii en %# Di%c Di%c#'% #'%o% o% %o1' %o1'e e do% do% n#eva n#eva%% cien cienci cia% a% #%a #%a e t$'m t$'mino ino ita itaia iano no im"et im"eto, o, mient'a% -#e I%aac Ne2ton #%a en P'inci"ia Mat3ematicae, t$'mino atino mot#% )movimiento ( vi% )4#e'5a0 6i%t 6i%t7' 7'ic icam amen ente te e co conc nce" e"to to de ca cant ntid idad ad de movim movimie ient nto o %#'& %#'&i7 i7 en e conte8to de a mec.nica ne2toniana en e%t'ec3a 'eaci7n con e conce"to de veocidad ( e de ma%a0 En mec.nica ne2toniana %e de/ne a cantidad de movimiento inea como e "'od#cto de a ma%a "o' a veocidad9
⃗ =m v L ⃗
La idea int#itiva t'a% e%ta de/nici7n e%t. en -#e a cantidad de movimiento de"end!a tanto de a ma%a como de a veocidad9 %i %e ima&ina #na mo%ca ( #n cami7n, am1o% movi$ndo%e a :; *m+3, a e8"e'iencia cotidiana dice -#e a mo%ca e% 4.ci de detene' con a mano mient'a% -#e e cami7n no, a#n-#e o% do% va(an a a mi%ma veocidad0 E%ta int#ici7n ev7 a de/ni' #na ma&nit#d -#e 4#e'a "'o"o'ciona tanto a a ma%a de o1
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IMP$L%!
Concepto En mec.nica, %e denomina im"#%o a a ma&nit#d 4!%ica, &ene'amente 'e"'e%entada como )I, de/nida como a va'iaci7n en a cantidad de movimiento -#e e8"e'imenta #n o1
dL ………I= dt
∑∫ Fdt
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CANTIDAD D M!"IMINT! LINAL D $N %!LID! Cantidad de movimiento %e de/ne como a %#ma de a% cantidade% de movimiento de o% di%tinto% "#nto%0 Utii5ando a de/nici7n de cent'o de ma%a, dic3a ma&nit#d "#ede e%c'i1i'%e en a 4o'ma9 L=
∑ L =∑ ( m v ) =m v ρ
ρ
ρ
G
ρ
Si e c#e'"o '!&ido 4#e%e contin#o, a %#ma de1e'!a %#%tit#i'%e "o' a inte&'a9
∫
∫ v dm= m v
L= d L=
G
Entonce% e teo'ema de a cantidad de movimiento %e "od'!a e%c'i1i' en a 4o'ma9 v v (¿ ¿ G )f t f
(¿¿ G )i +∑ ∫ F ρ dt = m ¿ ρ
t i
m¿
t f
Donde
∑ ∫ F dt ρ
ρ
t i
e% e im"#%o de toda% a% 4#e'5a% e8te'io'e% de
%i%tema0
CANTIDAD D M!"IMINT! AN&$LAR D $N %!LID! ! C$RP! RI&ID! Con%ide'a'emo% a c#e'"o -#e a"a'ece en a /&#'a, e c#a %e %omete a #n movimiento "ano &ene'a0 En e %i%tema -#e %e m#e%t'a, e "#nto a'1it'a'io P tiene #na veocidad conocida
v P
( e c#e'"o tiene #na veocidad an&#a'
ω 0 Po' con%i&#iente, a veocidad de a "a't!c#a iésima de c#e'"o e%9
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v i= v p + v i = v P + ω∗r P
La cantidad de movimiento an&#a' de e%ta "a'te con 'e%"ecto a "#nto P e% i&#a a >momento? de %# cantidad de movimiento inea con 'e%"ecto a "#nto P0 Po' tanto9 H (¿¿ P )i=r∗mi v i
¿
Si e8"'e%amo% v i en 4#nci7n de
v P
( #tii5amo% vecto'e% ca'te%iano%,
tenemo%9 H (¿¿ P )i k =mi ( x i+ y j )∗[ ( v P x ) i + ( v P y ) j + ωk ∗( x i+ y j ) ]
¿
H
(¿¿ P )i=−mi y ( v Px ) + mi x ( v P y ) + mi ω r ¿ Si
mi → dm
2
e inte&'amo% a o a'&o de toda a ma%a m de c#e'"o
o1tenemo%9 ydm
∫¿ ¿
xdm
∫¿
¿ H P =−¿ En e%te ca%o
H P
'e"'e%enta a cantidad de movimiento an&#a' de
c#e'"o con 'e%"ecto a #n e
∫ ydm= y´ m∫ xdm= x´ m Página 1
Tenemo%9 H P =−´ y m v Px + x´ m v Py + I P ω x m = 0 , tenemo%9 Si P coincide con e cent'o de ma%a G de c#e'"o ) y´ m=´
H G= I G ω
M!MNT$M LINAL Y M!MNT$M AN&$LAR %&'N L M!"IMINT! DL C$RP!
Tras(aci)n C#ando #n c#e'"o %e %omete a t'a%aci7n 'ecti!nea o c#'vi!nea, %# cent'o de ma%a tiene
v G =v
ω =0
(
0 Po' con%i&#iente9
L=m v G H G= 0
Rotaci)n con respecto a un *e C#ando #n c#e'"o '!&ido 'ota a'ededo' de #n e
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En oca%ione% e% conveniente cac#a' a cantidad de movimiento an&#a' con 'e%"ecto a "#nto O0 Si o1%e'vamo% -#e
L ( o v G)
%iem"'e e%
"e'"endic#a' 3a r G , tenemo%9 H O= I 0 ω + r G m v G 2
H O= I G ω + r G mωr G → H O= I O ω
Mo+imiento P(ano &enera( C#ando #n c#e'"o %e %omete a #n movimiento "ano &ene'a, a cantidad de movimiento inea ( an&#a' con 'e%"ecto a G e%9 L=m v G H G= I 0 ω
Si a cantidad de movimiento %e cac#a con 'e%"ecto a #n "#nto A e% nece%a'io inc#i' e momento de L y H G con 'e%"ecto a e%te "#nto0 H A = I G ω + dm v G
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PRINCIPI! D IMP$L%! Y CANTIDAD D M!"IMINT! LINAL# E%ta1ece -#e a %#ma de todo% o% im"#%o% c'eado% "o' e %i%tema de 4#e'5a% e8te'na% -#e act@a en e c#e'"o d#'ante e inte'vao
t 1 y t 2
e%
i&#a a cam1io de a cantidad inea de c#e'"o d#'ante e%te inte'vao0 La ec#aci7n de t'a%aci7n de #n c#e'"o '!&ido "#ede e%c'i1i'%e como9
∑ F =m a
G
Como a ma%a de c#e'"o e% con%tante9
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∑ F = ddt ( m v ) G
t 2
∑∫ F dt = m v
G 2
−m v G
1
t 1
PRINCIPI! D IMP$L%! Y CANTIDAD D M!"IMINT! AN&$LAR La %#ma de im"#%o an&#a' -#e act@a en e c#e'"o d#'ante e inte'vao t 1 y t 2
e% i&#a a cam1io de a cantidad de movimiento an&#a' de c#e'"o
d#'ante e%te inte'vao” La ec#aci7n de t'a%aci7n de #n c#e'"o '!&ido "#ede e%c'i1i'%e como9
∑ M =α I G
G
Como e momento de ine'cia e% con%tante9
∑ M = ddt ( ω I ) G
G
t 2
∑∫ M
G
dt = I G ω2− I G ω1
t 1
De mi%mo modo "a'a a 'otaci7n con 'e%"ecto a #n e
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t 2
∑∫ M
O
dt = I O ω2− I O ω1
t 1
Pa'a #n movimiento "ano de c#e'"o %e #%a a% %i&#iente% ec#acione%9 t 2
m ( v Gx )1 +
∑∫ F dt =m ( v X
Gx
)
2
t 1
t 2
m ( v Gy )1 +
∑∫ F dt =m (v y
Gy
)
2
t 1
t 2
I G ω 1+
∑∫ M
G
dt = I G ω 2
t 1
Conser+aci)n
de
(a
Cantidad
de
Mo+imiento Linea( Si a %#ma de todo% o% im"#%o% ineae% -#e e%t.n en #n %i%tema de c#e'"o% '!&ido% conectado e% ce'o en #na di'ecci7n e%"ec!/ca, entonce% a cantidad de movimiento inea de %i%tema e% con%tante, o %e con%e'va en e%ta di'ecci7n, e% deci'9
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∑ catidad d!movimi!to "i! a" d!" #i#t!ma
¿ ¿ ¿
E%ta ec#aci7n %e conoce como a cantidad de movimiento inea0 Sin ind#ci' e''o'e% a"'ecia1e% en o% c.c#o%, a
ec#aci7n "#ede %e'
a"'ecia1e en #na di'ecci7n e%"ec!/ca a o a'&o de a c#a o% im"#%o% ineae% %on m!nimo% o no im"#%ado'e%0 De mane'a e%"ec!/ca, a% 4#e'5a% no im"#%o'a% oc#''en c#ando 4#e'5a% m!nima% act@an d#'ante a"%o% m#( co'to%0 A&#no% e
Conser+aci)n
de
(a
Cantidad
de
Mo+imiento Angu(ar C#ando no act@a 4#e'5a e8te'na %o1'e #n c#e'"o '!&ido, o #n %i%tema de c#e'"o% '!&ido%, o% im"#%o% de a% 4#e'5a% e8te'na% %on ce'o ( e %i%tema de a% cantidade% de movimiento en e tiem"o
t 1
%i%tema de a% cantidade% de movimiento en e tiem"o
e% e-#i"oente a t 2
0 S#mando e
i&#aando de mane'a %#ce%iva a% com"onente% x , a% com"onente% y ( o% momento% de a% cantidade% de movimiento en o% tiem"o%
t 1
(
t 2
%e conc#(e -#e a cantidad de movimiento inea tota de %i%tema %e con%e'va en c#a-#ie' di'ecci7n, ( -#e %# cantidad de movimiento an&#a' tota %e con%e'va a'ededo' de c#a-#ie' "#nto0 Sin em1a'&o 3a( m#c3a% a"icacione% de in&enie'!a en a% -#e no %e con%e'va a cantidad de movimiento inea a#n-#e %e con%e've a cantidad
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de movimiento an&#a' H O de %i%tema a'ededo' de #n "#nto dando O, e%to e%, en e -#e9
( H O ) =( H O ) 1
2
Tae% ca%o% oc#''en c#ando a !nea de acci7n de toda% a% 4#e'5a% e8te'na% "a%a "o' O, o de mane'a m.% &ene'a, c#ando a %#ma de o% im"#%o% an&#a'e% de a% 4#e'5a% e8te'na% a'ededo' de O e% ce'o0
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C,!-$ N %!LID! R&ID!
C/o0ue Centra( C/o0ue 2c3ntrico Lo% %#ce%o% de im"acto
%e ca%i/can %e&@n a "o%ici7n 'eativa de o%
cent'o% de ma%a de o% c#e'"o%, a veocidad 'eativa de o% cent'o% de ma%a # a !nea de im"acto9 'ecta no'ma a a% %#"e'/cie% en e "#nto de im"acto0 Cuando los centros de masa de ambos cuerpos se hallen sobra la línea de impacto, diremos que se trata de un c/o0ue centra(0 Cuando el centro de masa de uno o ambos cuerpos no se halle sobra la línea de impacto diremos que se trata de un c/o0ue e2c3ntrico4 e%te ti"o de im"acto %#ee %#cede'
c#ando #no o do% c#e'"o% e%t.n imitado% a &i'a' con 'e%"ecto a #n e
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C/o0ue 2c3ntrico E an.i%i% de o% "'o1ema% de c3o-#e de "#nto% mate'iae% %e 3a 'eai5ado en IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARTICULA, i#%t'a1a e ca%o de c3o-#e cent'a "a'a e -#e a !nea de im"acto coincid!a con a 'ecta -#e #ne o% cent'o% de ma%a0 Po' o tanto, a% 4#e'5a% de contacto en e c3o-#e "a%a1an "o' o% cent'o% de ma%a de o% c#e'"o% )/&0 B
5ig. 1
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E%to% "'o1ema% %e 'e%ov!an ec3ando mano de a con%e'vaci7n de a cantidad de movimiento <#nto con e coe/ciente 'e%tit#ci7n )e, -#e com"'a' a veocidad 'eativa de %e"a'aci7n de o% "#nto% de contacto )de%"#$% de c3o-#e con %# veocidad 'eativa de a"'o8imaci7n )ante% de c3o-#e E "'o1ema e c3o-#e en c#e'"o% '!&ido% e% m#( "a'ecido a de c3o-#e de "#nto% mate'iae%, "e'o %e com"ica i&e'amente "o' e 3ec3o de -#e a !nea de im"acto no %#ee "a%a' "o' o% cent'o% de ma%a de o% c#e'"o% )/&0
5ig. 6 S#'&e #na n#eva com"icaci7n %i de/nimo% e coe/ciente de 'e%tit#ci7n diciendo -#e e% e cociente ent'e e im"#%o de 'e%tit#ci7n ( e im"#%o de de4o'maci7n como %e 3i5o con "a't!c#a0 Un an.i%i% %eme
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Ahora bien, la velocidad el cuerpo en el punto de impacto suele ser diferente a la velocidad de su centro de masa 0 Por (o tanto4 cuando se
trate de un c/o0ue e2c3ntrico4 (as ecuaciones de +e(ocidad re(ati+a se de7erán uti(izar para re(acionar (as +e(ocidades de (os puntos de contracto en (a ecuaci)n de( coe8ciente de restituci)n (as +e(ocidades de (os centros de masa en (as ecuaciones de (os teoremas de (a cantidad e mo+imiento momento cin3tico 0
Aná(isis de( proceso de impacto Con%ide'e, "o' e
Se %#"one -#e <#%to ante% de a coi%i7n &i'a en %entido cont'a'io a de a% manecia% de 'eo< a #na veocidad an&#a' )B0 Lo% dia&'ama% cinem.tico% de am1o% c#e'"o% <#%to ante% de a coi%i7n %e m#e%t'a en a /&#'a0 Siem"'e -#e o% c#e'"o% %ean #ni4o'me%, a% 4#e'5a% im"#%o'a% -#e e
(¿¿ $) =( ω$ ) r ¿ 1
1
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A%imi%mo, en e c#e'"o A e com"onente de a veocidad
a'&o de !nea de im"acto e%
% (¿¿ A )1 a o%
¿
v (¿¿ A )1 0 Pa'a -#e a coi%i7n oc#''a
¿
v v (¿¿ $ )1 (¿¿ A )1>¿
¿ D#'ante e im"acto %e e
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O1%e've -#e a 4#e'5a im"#%o'a en e "#nto C de c#e'"o -#e &i'a c'ea 'eaccione% im"#%o'a% en e "a%ado' en O0 n estos diagramas
se supone 0ue e( impacto crea 9uerzas 0ue son muc/o más grades 0ue (os pesos no impu(sores en (os cuerpos, o% c#ae% no %e m#e%t'an0 C#ando a de4o'maci7n en e "#nto C e% m.8ima, C en am1o% c#e'"o% e m#eve con #an veocidad com@n > +: a o a'&o de !nea de im"acto
Oc#''e entonce% #n "e'iodo de restitución d#'ante e c#a o% c#e'"o% tienden a 'ec#"e'a' %#% 4o'ma% o'i&inae%0 La 4a%e de 'e%tit#ci7n c'ea Página 1
#na 4#e'5a im"#%o'a i&#a "e'o o"#e%ta R -#e act@a ent'e o% c#e'"o% "oco %e m#e%t'a en e dia&'ama de im"#%o0
De%"#$% de a 'e%tit#ci7n o% c#e'"o% %e a"a'tan de modo -#e e
"#nto C en e c#e'"o tiene #n veocidad
c#e'"o A tiene #na veocidad
% (¿¿ A )2
¿
v (¿¿ $)2
¿
( e "#nto C en e
, donde
v % (¿ ¿ A )2 (¿¿ $)2 >¿
¿
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En &ene'a, #n "'o1ema -#e im"ica im"acto de do% c#e'"o% 'e-#ie'e
dete'mina' a% do% inc7&nita%
v v (¿¿ $)1 (¿¿ A )1 y ¿
v (¿¿ $)2
¿
(
v (¿¿ A )2 %#"ond'emo% -#e
¿
%on
conocida%
¿ ( o #! p%!d! d!t!rmiar m!diat! ci!matica & m!todo# d! !!r'ia & !tc () 0
Pa'a
'e%ove' "'o1ema% como e%to% de1en e%c'i1i'%e do% ec#acione%0 •
•
Po' o &ene'a, a "'ime'a ec#aci7n im"ica a conser+aci)n de (a cantidad de mo+imiento angu(ar a (os dos cuerpos. En e ca%o de -#e o% c#e'"o% A ( , "odemo% 4o'm#a' -#e a cantidad e movimiento an&#a' %e con%e'va con 'e%"ecto a "#nto >O? "#e%to -#e o% im"#%o en O c'ean #n momento ce'o con 'e%"ecto a O0 La %e&#nda ec#aci7n %e o1tiene "o' a de/nici7n de coe/ciente de 'e%tit#ci7n >e?, e c#a e% a 'eaci7n de im"#%o de 'e%tit#ci7n ( e im"#%o de de4o'maci7n0
Sin em1a'&o e% im"o'tante tene' en c#enta -#e e%te an.i%i% tiene #na a"icaci7n m#( imitada en in&enie'!a, "o'-#e %e encont'7 -#e o% vao'e% de
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>e? en e%te ca%o %on m#( %en%i1e% a mate'ia, a &eomet'!a ( a veocidad de o% c#e'"o% -#e c3ocan0 A"icando a con%e'vaci7n de a cantidad e movimiento "a'a encont'a' e im"#%o de de4o'maci7n ( 'e%tit#ci7n de ta mane'a -#e a dividi'o% ( 'em"a5ando a veocidad com@n de en e momento m.8imo o1tenemo% v v v v
(¿¿ A ) −(¿¿ $ ) ¿ (¿¿ A ) (¿¿ $) − ¿ ¿ ! =¿ 1
1
2
2
E%ta ec#aci7n e% %imia' a a o1tenida c#ando %e ten!a c3o-#e% en "a't!c#a% (impactoc!tra" )
Con e "a' de ec#acione% mencionada% o1t#vimo%
v v (¿¿ A )2 (¿¿ $)2 y ¿
"e'o
¿
"a'a encont'a' a veocidad en e cent'o de ma%a #tii5a'emo% (as
ecuaciones de +e(ocidad re(ati+a v v (¿¿ A )2+ ω A x r G
A
/ A
(¿¿ G ) A =¿ ¿ v v (¿¿ $)2 + ω A x r G
$
/ A
(¿¿ G )$=¿ ¿
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EJERCICIO Nº01 - Problema0-!" LI#RO$ ING" MEC%NICA$ DIN%MICA" AUTOR$ &ILLIAM '" RILEY Un "e%o de ; N "ende de #na c#e'da -#e e%ta a''oado %o1'e a "a'te e8te'na de #n tam1o' 3#eco0 E tam1o' de ; H& tiene #n 'adio de &i'o de B mm ( e 'o5amiento en %# e
Sol()*+,$ A,l*.*. e, el /ambor (e)o$ E%te e8"e'imente #n movimiento 'otaciona, entonce% "a'a %# de%a''oo a"ica'emo% e "'inci"io de Im"#%o ( Momento An&#a'0 I ω 1+
∑∫ M dt = I ω 0
2
10
0
+∫ ) ( 0.20 ) dt = 1 m k
2
2
0
) ( 0.20 ) ( 10 ) =
1 2
( ) v2
0.20
( 20 ) ( 0.175 ) 2
( ) v2
0.20
) =0.765625 v 2
A,l*.*. e, el #lo(e 2e 30 N$ E 1o-#e -#e %e m#e%t'a e8"e'imenta #n movimiento de t'a%aci7n, "o' o -#e "a'a %# de%a''oo #%a'emo% e "'inci"io de Im"#%o ( Momento inea0
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m v 1+
∑∫ F dt =m v x
10
0
+∫ ( 50 −) ) dt = 0
( 50−) ) (10 )=
50 9.81
50 9.81
2
v2
v2
Reem4la5amo. T e, la e)(a)*+,$ 50
− 0.765625 v =5.1 v 2
2
v 2= 39.21 m / #!'
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EJERCICIO Nº0 MC GILL7
Problema 3"60 LI#RO$ DIN%MICA" AUTOR$
E ciind'o en a /&#'a tiene #na ma%a m J K %#& ( 'adio de &i'o H J 4t0 6a( %#/ciente 4'icci7n "a'a im"edi'
'e%1aamiento
%o1'e
e
"ano0 Una c#e'da e%ta en'oada a'ededo' de 'adio inte'io' ( #na ten%i7n
T
J
;
1
%e
a"ica
"a'aeamente a "ano, como %e m#e%t'a
en
a
/&#'a0
U%e
o%
"'inci"io% de im"#%o ( a cantidad de movimiento "a'a encont'a' a veocidad de C de%"#$% de K %e&, %i e movimiento comien5a de%de e 'e"o%o0
Sol()*+, 9 Ante% de e
∑∫ M dt = I ω c
c
3
0
2
1
+∫ ( 2 ) −3 Fr ) dt = m k
2
2
0
( 180−3 Fr ) ( 3 )= 1 ( 3 ) ( 5 ) 2
2
Fr =
m v 1+
∑∫ F dt =m v c
540
−12.5 v 9
2
( ) v2 3
( ) v2 3
… … … (1)
2
3
0
+∫ [ ) − Fr −m'*! ( 37 )] dt =m v
2
0
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[ 90− Fr −3∗32.2∗*! (37 )] ( 3 ) =3 v 32.04
2
−v = Fr … … … ( 2 ) 2
Igualamos !" # $"% 32.04
−v = 2
−12.5 v
540
2
9
v 2=71.9 ft / #!'
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EJERCICIO Nº08" - LI#RO$ DIN%MICA" AUTOR$ R" C 9I##ELER E di%co de B *& tiene veocidad an&#a' i&#a a ; 'ad+%e&0 Si e 4'eno AC e% a"icado de mane'a -#e a ma&nit#d de a 4#e'5a P va'!a con e tiem"o como %e m#e%t'a0 Dete'mine e tiem"o nece%a'io "a'a detene' e di%co0 E coe/ciente de 4'icci7n cin$tica en e "#nto e% ;0:
Sol()*+,$ A,l*.*. 2el 4roblema$ e %i%tema mo%t'ado e%ta 'eai5ando #n movimiento an&#a', "o' o -#e "a'a %# de%a''oo %oo #%a'emo% e "'inci"io de im"#%o ( moment#m an&#a'0 Pa'a 3aa' e vao' de tiem"o, 3a'emo% #%o de a &'a/ca -#e %e m#e%t'a en a /&#'a, "#e% a3! %e 'e"'e%enta a cantidad de 4#e'5a -#e %e de1e #%a' "a'a detene' e di%co0
DCL 2el S*./ema$
∑ M =0 A
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( 0.5 ) + $ −( 0.4 ) Fr −( 1 ) P =0 ( 0.5 ) + $ −( 0.4 ) ( % ) ( + $ ) −( 1 ) P =0 0.5 + $
−( 0.4 ) 0.4 + $= P
+ $ =2.941 P Fr =1.176 P
A4l*)amo. el 4r*,)*4*o 2e Im4(l.o : mome,/(m a,;(lar e, el 2*.)o I O ω 1+
−1 2
−1 2
∑∫ M dt = I O
[∫
O
]
t 2
2
m , ω1 + −
ω2
0.2 Frdt
t 1
[
=0
t
]
( 12 ) ( 0.2 ) ( 20 ) + −1.176 ( 0.2 )∫ Pdt = 0 2
[
0
t
]
−0.240 ( 20 )+ −1.176 ( 0.2 )∫ Pdt =0 … … … ( 1 ) 0
t
Do,2e
∫ Pdt 0
e. el rea 2eba
)omo .e
m(e./ra e, la ;ra>)a7 e,/o,)e. a.(m*e,2o (, /*em4o me,or a .e;(,2o. /e,emo.$ t
∫ Pdt = 12 (5 ) ( 2 ) +5 ( t −2 )=( 5 t −5 ) + (#… …… (2) 0
Página 1
Reem4la5amo. la e)(a)*+, ?@ e, la e)(a)*+, ?1@$
−0.240 ( 20 )+ [−1.176 ( 0.2 ) ( 5 t −5 ) ] =0 t =5.08 #!'
Página 1
EJERCICIO Nº0" - LI#RO$ DIN%MICA" AUTOR$ MC GILL7 E ca''o mo%t'ado en a /&#'a tiene ma%a M %in con%ide'a' %#% c#at'o '#eda%, cada #na de a% c#ae% e% #n di%co con ma%a m+0 La% '#eda% deante'a% ( %# e
Sol()*+,$ A,l*.*. e, la. r(e2a.$ a% '#eda% %e'.n anai5ada% de "a' en "a', o %ea toma'emo% e "a' de '#eda% t'a%e'a% como #na %oa ma%a, a%! como a% deante'a% como ot'a %oa ma%a, "o' o -#e a ma%a "a'a e an.i%i% de a% '#eda% %e'. >m?0 E movimiento de a% '#eda% e% #n movimiento "ano &ene'a, "#e% a a ve5 -#e &i'an, tam1i$n %e de%"a5an0 E 'adio de a% '#eda% %e'. R0
I c ω- +
∑∫ M dt = I ω c
t
0
c
1
-
+∫ [ ( , ) Fr ] dt = m , ω - 2
0
1
( , ) ( Fr ) ( t ) = m , 2
2 Fr
2
=
m v - +
m v - t
2
v c ,
… … … (1)
∑∫ F dt =m v X
-
Página 1
t
0
+∫ [ -x + m'*! ( ∅ )− Fr ] dt =m v - 0
[ -x + m'*! ( )− Fr ] ( t )=m v ∅
-x =
m v - t
-
+ Fr −m'*! ( ∅ ) … … … ( 2 )
A,l*.*. .olo 2el )arro$ no %e toma'. en c#enta a ma%a de a% '#eda%, "e'o %i a% 'eaccione% 3o'i5ontae% de o% e
∑∫ F dt = M v X
G
t
0
+∫ [ M'*! ( ∅ )−2 -x ] dt = M v G 0
[ M'*! ( )−2 -x ] ( t ) = M v ∅
G
M'*! ( ∅ ) M v G − -x = … … … (3) 2 2 t
I;(alamo. la. e)(a)*o,e. ?@ : ?8@7 : 2e.4e
+ Fr −m'*! ( ∅ )=
M'*! ( ∅ ) M v G − 2 2 t
mv M'*! (∅ ) M v G − + m'*! ( ∅ )− G Fr = t 2 2 t
Página 1
2 Fr
=
t'*! ( ∅ ) ( M + 2 m)− v G ( M + 2 m ) t
… … …( 4 )
I;(alamo. la. e)(a)*o,e. ?8@ : ?@7 : allamo. la B G mv - t
=
t'*! ( ∅ ) ( M + 2 m )− v G ( M + 2 m ) t
m v G + v G ( M + 2 m )=t'*! ( ∅ ) ( M + 2 m )
vG=
t'*! ( ∅ ) ( M + 2 m ) M + 3 m
t
( ) ( M + 2 m ) ∫ '*! M +3 m
vG=
∅
0
Página 1
;RCICI!% D APLICACI
%!L$CI
CONSERVACIN DEL MOMENTO ANGULAR La 4#e'5a F de1ido a im"acto e% inte'na a %i%tema -#e con%ta de a 1a''a de&ada ( e 1o-#e, "o' o tanto %e an#an0 Siendo a%!, e momento an&#a' %e con%e'vaci7n 'e%"ecto a "#nto A0 E momento de ine'cia de a va'ia de&ada %o1'e e "#nto A e%9 I A =
1 12
2
m r + md
2
Página 1
I A =
1 12
4 ".
(
32.2
2
ft
)( 3 ft ) +(
4". 32.2
2
2
ft
)( 1.5 ft )
2
#
#
2
I A =0.3727 #"%'( ft
( H A ) =( H A ) 1
2
v.
¿ ¿
v.
¿ ¿
( m. )¿ v.
¿ ¿ ft 4 ". ( )( 12 )( 3 ft )=( 32.2
ft
#
#
2
4 ". 32.2
ft
)¿
2
#
v.
¿ ¿ 4.477 = 0.3727 ¿
A"icando a ec#aci7n de coe/ciente de 'e%tit#ci7n9
Página 1
v$
¿ ¿
v.
¿ ¿ ¿2 ¿ v$
¿ ¿
v.
¿ ¿ ¿ ! =¿ v$
¿ ¿
v.
¿ ¿ ¿2 ¿ 0.8=¿ v$
¿ ¿
v.
¿ ¿
−9.6=¿ Pe'o no de1emo% ovida' -#e9 v . =3 / v$
¿ ¿
−9.6=¿ T'a1a
¿ ¿
0.3727
¿
Página 1
v$
¿ ¿ ¿
Donde9 / =8.65 rad / #
v$
¿ ¿ ¿
v.
¿ ¿ ¿
EJERCICIO Nº0!" La 1oa %oida de ma%a m %e de
0 1
%o1'e e
1o'de de #n e%ca7n0 Si 'e1ota 3o'i5ontamente de e%ca7n con #na veocidad
0 2
, dete'mine e .n&#o
1
a c#a oc#''e e contacto0
S#"on&a -#e no 3a( de%i5amiento c#ando a 1oa c3oca con e e%ca7n0 E coe/ciente de 'e%tit#ci7n e%
! 0
Página 1
%!L$CI
Con%e'vaci7n de Movimiento an&#a'9 2
I G = m r
2
5
/ 2=
0 2 cos 1 r
( H A ) =( H A ) 1
2
[ m (0 ) ] r 2 = I .
$
1
G
ω2 + [ m . ( 0 $ )2 ] r 2 2
Página 1
[ m 0 ] r sin 1 = 1
0 2 0 1
( )( 2 5
mr
2
0 2 cos 1 r
)+ [
m0 2 ] r cos 1
= 5 tan 1 … … … ( I ) 7
Coe>)*e,/e 2e re./*/()*+,$ !=
−( 0 . ) ( 0 . ) −0 0
2
1
!=
−(0 sin 1 ) −(0 cos 1) 2
1
0 2 0 1
=!
cos 1
sin 1
… … … ( II )
U.a,2o la. e)(a)*o,e. I : II 5 7
tan 1
tan
2
=
! cos 1 sin 1
7
1= ! 5
1= Arc)'
(√ ) 7 5
!
Página 1
EJERCICIO Nº0" Do% 1oa% de ace'o de i&#a di.met'o e%t.n #nida% mediante #na 1a''a '!&ida de "e%o de%"'ecia1e %e&@n %e ve en a /&#'a, ( %e de
Y A
B0 cm C
D
Lat7n
Ace'o
%!L$CI
Como "odemo% a"'ecia' a veocidad inicia de a% 1oa% de ace'o en tJ; e% ce'o, "e'o a momento de im"acta' cont'a a% "anc3a% de ace'o ( de at7n am1a% tiene #na mi%ma veocidad, a -#e %e "'ocede'. a 3aa' mediante a% ec#acione% cinem.tica%9 vdv ='dy vdv =−9.81 dy
v
0
0
0.152
∫ vdv = ∫ −9.81 dy 2
v = 2∗9.81 ∗0.152 v =−1.727 j m / #
Página 1
II0
Anai5amo% a 1oa A ( a "anc3a C de at7n9 v -
¿ ¿
v A
¿ ¿ ¿2 ¿ v A
¿ ¿
v -
¿ ¿ ¿ ! =¿ Pe'o %e conoce9 v A
¿ ¿ ¿
v -
¿ ¿ ¿
v -
¿ ¿ ¿
Reem"a5ando
v A
¿ ¿ ¿2 0 −¿ 0.4 =¿ v A
¿ ¿ ¿
III0
L#e&o anai5amo% a 1oa ( a "anc3a D, de a mi%ma 4o'ma -#e a 1oa A ( a "anc3a C0
Página 1
v 3
¿ ¿
v$
¿ ¿ ¿2 ¿ v$
¿ ¿
v 3
¿ ¿ ¿ ! =¿ Pe'o %e conoce9 v$
¿ ¿ ¿
v 3
¿ ¿ ¿
v 3
¿ ¿ ¿
Reem"a5ando9 v$
¿ ¿ ¿2 0 −¿ 0.6 =¿ v$
¿ ¿ ¿
IV0
Finamente Anai5amo% A ( como movimiento de %oido '!&ido, de o c#a %e o1tiene9 v A
¿ ¿
v$
¿ ¿ ¿
Página 1
0.6908 j ^
/=
=1.0362 j + / k^ 4(−0.61 i^ ) ^
−0.3454 −0.61
/ =0.566 k rad / #
EJERCICIO Nº06" vG
E cent'o de ma%a de a 1oa de K 1 tiene #na veocidad de
¿ ¿ c#ando ¿
c3oca con e e8t'emo de&ado de a 1a''a #ni4o'me de i1'a%, a c#a e%t. en 'e"o%o0 Dete'mine a veocidad an&#a' de a 1a''a 'e%"ecto a e
%!L$CI
1
( ) 5
12 32.2
( 4 ) =0.2070 #"%'(ft 2
2
Página 1
