AÑO DEL BUEN SERVICIO AL CIUDADANO”
“
UNIVERSIDAD CATÓLICA LOS ÁNGELES DE CHIMBOTE FACULTAD DE INGENIERÍAS ESCUELA DE INGENIERÍA DE CIVIL TRABAJO CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO INTEGRANTES
:
GONZALES QUISPE, Jhoselin GUTIÉRREZ FLORES, David F. GUTIÉRREZ TINCO ERICK
DOCENTE
:
Lic. JULIO FRANCISCO JIMÉNEZ ARANA
CURSO
:
DINÁMICA
CICLO
:
IV-B AYACUCHO – PERÚ 2017
DEDICATORIA A Dios por habernos permitido llegar hasta este punto y habernos dado salud, ser el manantial de vida y darnos lo necesario para seguir adelante cada día para lograr nuestros objetivos, además de su infinita bondad y amor
DEDICATORIA A Dios por habernos permitido llegar hasta este punto y habernos dado salud, ser el manantial de vida y darnos lo necesario para seguir adelante cada día para lograr nuestros objetivos, además de su infinita bondad y amor
AGRADECIMIENTO
Queremos agradecer al docente del curso ya que con mucha voluntad paciencia nos enseñó para superarnos cada día, también agradecemos a nuestros padres porque ellos estuvieron en los días más difíciles de nuestras vidas como estudiantes. Y agradecemos a Dios por darnos la salud que tenemos, por tener una cabeza con la que puedo pensar muy bien y además un cuerpo sano y una mente. Estamos seguros que nuestras metas planteadas darán fruto en el futuro y por ende debemos esforzarnos cada día para ser mejor en la universidad y en todo lugar sin olvidar el respeto que engrandece a la persona.
Contenido
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN ................................. .................................................. .................................. ................................. .................................. .................................. .............................6 .............6
CAPITULO I .................................. .................................................. ................................. ................................. ................................. .................................. .................................7 ................7 MARCO TEÓRICO ............................... ................................................. ................................... ................................. ................................. ................................. ........................7 ........7
1.2.
Impulso lineal .................................. .................................................. ................................. ................................. ................................. .................................8 ................8
1.3.
Principio del impulso impulso y cantidad de movimiento de una partícula. .............................9 .............................9
2.
Principio de impulso y cantidad de movimiento movimiento lineales para un sistema sistema de partículas ..11
3.
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL ...........................13 ...........................13
4.
IMPACTO ............................... ................................................ .................................. .................................. .................................. ................................. ...........................15 ...........15
5.
4.1.
Fases del impacto ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. .........................17 ........17
4.2.
Efectos del choque .................................. .................................................. ................................. ................................. ................................. .......................18 ......18
4.3.
Tipos de choque: ............................... ................................................ .................................. ................................. ................................. ............................18 ...........18
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR ............................... ................................................ ................................... ....................21 ..21 5.1.
Formulación escalar. ................................. ................................................. ................................. ................................. .................................. ....................22 ..22
5.2.
Formulación vectorial ................................. .................................................. .................................. ................................. ................................. .................22 22
6. RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO DE UNA FUERZA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR ................................. ................................................. ................................. ................................. ................................. .......................23 ......23 6.1. 7.
8.
Sistema de partículas. ............................... ................................................ .................................. ................................. .................................. ....................23 ..23
PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULARES ............24 7.1.
Formulación vectorial . ................................ ................................................. .................................. ................................. ................................. .................24 24
7.2.
Formulación escalar .................................. .................................................. ................................. ................................. .................................. ....................24 ..24
7.3.
Conservación de la cantidad de movimiento angular ................................. .................................................. .................25 25
FLUJO CONTINUO DE UNA CORRIENTE DE FLUIDO ................................ ..............................................25 ..............25
CAPITULO II ................................. ................................................. ................................. ................................. .................................. .................................. ..............................27 ..............27 CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ................................. .................................................. .................................. .................................. .................................. ................................. ................................. ................................. ...................27 ...27
1.
Rotación pura y traslación pura ................................. ................................................. ................................. .................................. .........................27 ........27
2.
Caso general del movimiento ............................... ................................................ ................................... .................................. ..............................31 ..............31 a.
Teoría de charle. ................................. ................................................. ................................. ................................. ................................. ...............................31 ..............31
3.
Movimiento plano de un solido ................................. .................................................. .................................. ................................. ...........................33 ...........33
4.
Movimiento plano restringido .................................. .................................................. .................................. .................................. ...........................34 ...........34
5.
Principio de trabajos virtuales ................................. .................................................. .................................. ................................. ...........................35 ...........35
6.
Principios de impulso y cantidad de movimiento movimiento aplicados a cuerpos rígidos y sistema ..39
CONCLUSIONES ............................... ................................................ .................................. ................................. ................................. .................................. .........................42 ........42 Bibliografía ............................... ................................................ .................................. ................................. ................................. ................................. .................................. ....................43 ..43 EJERCICIO DE APLICACIÓN .................................. .................................................. ................................. ................................. .................................. ....................44 ..44
INTRODUCCIÓN En este capítulo utilizaremos la segunda ley de newton junto con la cinemática para obtener como resultado el principio del impulso y cantidad de movimiento para una partícula y un sistema de partículas con ello centrar nuestra atención a la integración de la ecuación del movimiento respecto al tiempo y no respecto al desplazamiento. Estas ecuaciones facilitan notablemente la resolución de numerosos problemas en que las fuerzas aplicadas actúan durante intervalos de tiempo cortísimos o bien durante intervalos de tiempos específicos.
CAPITULO I CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO OBJETIVOS
Desarrollar el principio de impulso y cantidad de movimiento lineal para una partícula, y emplearlo para resolver problemas que involucran fuerza, velocidad y tiempo.
Calcular el tiempo utilizando cinética de partícula: 2° Ley de Newton, Trabajo y energía, y sobretodo Cantidad de movimiento lineal.
Estudiar la conservación de la cantidad de movimiento lineal para partículas.
Estudiar el coeficiente de restitución y sus utilidades. Hallar el coeficiente de restitución.
Analizar diferentes tipos de choque (impacto).
MARCO TEÓRICO 1.1. Cantidad de movimiento lineal La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o "Momentum Lineal"; es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que se define como el producto de su masa por su velocidad es decir cuando un cuerpo de masa "m"; se mueve con una velocidad "v", se dice que posee o tiene una cantidad de movimiento definida por el producto de su masa por su velocidad y describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica.
La cantidad de movimiento lineal para un sistema de partículas la cantidad de movimiento se define como la suma de las cantidades de movimiento de las partículas en el sistema. El vector mv de las ecuaciones se representa por el símbolo P y recibe el nombre de cantidad de movimiento del punto material. Como m es un escalar positivo, los vectores cantidad de movimiento y velocidad del punto tendrán la misma dirección y sentido. El módulo de la cantidad de movimiento es igual al producto de la masa m por la velocidad v del punto material, en el sistema SI, la unidad de cantidad de movimiento es el kg.m/s o N.s.
⃗ ⃗ Dónde:
⃗ : Cantidad de movimiento (N.s) ⃗ : Velocidad (m/s) : Masa (kg) 1.2. Impulso lineal Llamado también "ímpetu o impulsión"; y es una magnitud física vectorial cuyas dimensiones son fuerza-tiempo y mide el efecto de una fuerza (f) que actúa sobre un cuerpo durante un tiempo muy pequeño (t) (tiempo que la fuerza actúa), produciendo un desplazamiento del cuerpo en la dirección de la fuerza.
1.3. Principio del impulso y cantidad de movimiento de una partícula.
Consideremos una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza F, Como se vio en el capítulo anterior; la segunda ley de Newton puede Expresarse en la forma:
Donde a y v se miden a partir de un marco de referencia inercial. Al multiplicar a ambos lados de la ecuación por dt obtenemos:
=
Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa. Al reordenar los términos e integrar entre los límites v = v1 cuando t = t1 y v = v2 cuando t = t2, tenemos:
Finalmente Integrando la ecuación de movimiento con respecto al tiempo obtenemos el principio de impulso y cantidad de movimiento nos indica que: El
impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento.
Esta ecuación se conoce como principio de impulso y cantidad de movimiento lineal. Por la derivación se ve que es simplemente una integración con respecto al tiempo de la ecuación de movimiento.
Si cada uno de los vectores en la ecuación se divide en sus componentes x, y, z, podemos escribir las tres ecuaciones escalares siguientes de impulso y cantidad de movimiento lineal.
2. Principio de impulso y cantidad de movimiento lineales para un sistema de partículas
El principio de impulso y cantidad de movimientos lineales para un sistema de partículas que se mueven con respecto a una referencia inercial, se obtiene con la ecuación de movimiento aplicada a todas las partículas del sistema es decir:
Al multiplicar ambos lados de la ecuación por dt e integrar entre los limites t = t1, vi = (vi)1 y t = t2, vi = (vi)2 se obtiene:
Esta ecuación establece que los momentos lineales iniciales del sistema más los impulsos de todas las fuerzas externas que actúan el sistema t1 y t2 son iguales a los momentos lineales del sistema.
Como la ubicación del centro de masa G del sistema se determina a partir de
∑ , donde m = Σmi es la masa total de todas las partículas y si luego se considera la derivada con respecto al tiempo tenemos:
La cual establece que la cantidad de movimiento lineal total del sistema de partículas equivale a la cantidad de movimiento lineal de una partícula aglomerada “ficticia” de masa m = Σ mi que se mueve a la velocidad del centro de masa del sistema. AL sustituir en la ecuación se obtiene:
Aquí la cantidad de movimiento lineal inicial de la partícula aglomerada más los impulsos externos que actúan en el sistema de partículas de t1 a t2 es igual a la cantidad de movimiento lineal final de la partícula aglomerada. Por consiguiente, la ecuación anterior justifica la aplicación del principio de impulso y cantidad de movimiento lineales a un sistema de partículas que componen un cuerpo rígido.
3. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Considere los objetos 1 y 2 es la fuerza ejercida sobre 2 por 1 y F2 es la fuerza ejercida sobre 1 por 2. Esas fuerzas podrían resultar del contacto entre los dos cuerpos, o podrían ser ejercidas por un resorte que los conectara. Como consecuencia de la tercera ley de Newton, esas fuerzas son iguales y opuestas, de manera que:
F1 + F2 = 0 Suponga que ninguna otra fuerza externa actúa sobre 1 y 2, o que las otras fuerzas externas son insignificantes en comparación con las fuerzas que 1 y 2 ejercen entre sí. Entonces se puede aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento a cada objeto durante tiempos arbitrarios t1 y t2: Suponga que ninguna otra fuerza externa actúa sobre 1 y 2, o que las otras fuerzas externas son insignificantes en comparación con las fuerzas que 1 y 2 ejercen entre sí. Entonces se puede aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento a cada objeto durante
tiempos arbitrarios t1 y t2:
Al sumar estas ecuaciones, los términos de la izquierda se cancelan y se tiene:
Lo que significa que la cantidad de movimiento lineal total de A y B se conserva:
+ = 1 1
2 2
3.1.Conservación de la cantidad de movimiento lineal para un sistema de partículas Cuando la suma de los impulsos externos que actúan en un sistema de partículas es cero, la
ecuación:
Se reduce a una forma simplificada:
Esta ecuación se conoce como la conservación de cantidad de movimiento lineal. Establece que la cantidad de movimiento lineal total de un sistema de partículas permanece constante durante el lapso de tiempo t1 a t2.
4. IMPACTO Un impacto entre dos cuerpos se define como una interacción fuerte entre los cuerpos, ya sea por contacto directo o por la naturaleza de su proximidad, que dura un tiempo relativamente corto. Suele ir acompañado de fuerzas de reacción entre los cuerpos relativamente intensas, lo que da lugar a fuertes cambios de velocidad de uno o ambos
cuerpos
.
Las intensas fuerzas de reacción también originan una deformación considerable de los cuerpos en colisión y en consecuencia la conversión de energía mecánica en sonido y calor. En todo choque se cumple que: La cantidad de movimiento antes del choque es igual a la cantidad de movimiento después del choque:
m1 y m2: Masas (kg). V1 y V2: Velocidades antes del choque (m/s). V´1 y V´2: Velocidades después del choque (m/s).
4.1.
Fases del impacto
El choque de dos cuerpos consta de dos fases que se acompaña de una generación de calor y sonido y son las siguientes:
Fase de compresión o deformación: En esta fase, que transcurre desde el instante de contacto hasta el de máxima deformación, los dos cuerpos se encuentran comprimidos por la intensa fuerza de interacción. Al final de esta fase, los cuerpos ni siguen aproximándose ni se separan.
Fase de restitución o restauración: En esta fase, que transcurre desde el instante de máxima deformación hasta el de separación total, los cuerpos van separando a causa de que las fuerzas interiores de los cuerpos actúan de manera que les devuelvan la forma original. Por lo general, sin embargo, la recuperación de ésta no es total. Parte de la energía inicial se disipa, durante el choque, a causa de la deformación residual permanente de los cuerpos y de las vibraciones sonoras que se
originan.
4.2.
Efectos del choque
La mecánica de choque tiene el potencial de dañar, deformar, etc.
Un cuerpo frágil se puede fracturar. Por ejemplo, dos copas de cristal pueden romperse en caso de colisión una contra de la otra. Un objeto dúctil se puede doblar por una conmoción (deformar). Por ejemplo, una
jarra de cobre se puede curvar cuando cae en el suelo.
4.3. Tipos de choque: 1) Por su Elasticidad
ELÁSTICOS: En un choque elástica se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, que se separan después del choque, es decir:
INELÁSTICAS: Un choque inelástico es un tipo de choque en el que la energía cinética no se conserva. Como consecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrir deformaciones y aumento de su temperatura. La principal característica de este tipo de choque es que existe una disipación de energía, ya que tanto el trabajo realizado durante la deformación de los cuerpos como el aumento de su energía interna se obtiene a costa de la energía cinética de los mismos antes del choque.
Con respecto a la dirección de las velocidades respecto a la línea de impacto.
CHOQUE DIRECTO:
Cuando las velocidades iniciales de los cuerpos en colisión tengan la dirección de la línea de impacto se dirá que es un choque directo. El choque directo es una colisión frontal. Cuando la línea de movimiento de los cuerpos, antes y después del choque,
es la misma.
CHOQUE OBLICUO: Cuando las velocidades iniciales de los cuerpos en colisión no tengan la dirección de la línea de impacto diremos que es un choque oblicuo. Cuando la línea de movimiento de los cuerpos, antes y después del choque son diferentes.
Según su la posición del centro de masa:
CHOQUE CÉNTRICO: Este choque se da cuando los centros de masa de ambos cuerpos se hallan sobre la línea de impacto.
CHOQUE EXCÉNTRICO: Este choque se da cuando los centros de masa de ambos cuerpos no se hallan sobre la línea de impacto.
Coeficiente de Restitución Es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas clásicas. Cuando dos cuerpos chocan, sus materiales pueden comportarse de distinta manera según las fuerzas de restitución que actúen sobre los mismos. Hay materiales cuyas fuerzas restituirán completamente la forma de los cuerpos sin haber cambio de forma ni energía cinética perdida en forma de calor, etc. En otros tipos de choque los materiales cambian su forma, liberan calor, etc., modificándose la energía cinética total. Un coeficiente de restitución (e) se define entonces como aquel que evalúa esta pérdida o no de energía cinética, según las fuerzas de restitución y la elasticidad de los materiales.
5. CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR La cantidad de movimiento angular de una partícula con respecto a un punto O se define como el “momento” de la cantidad de movimiento lineal de la partícula con
respecto a O.
5.1. Formulación escalar. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva situada en el plano x – y, la cantidad de movimiento angular en cualquier instante se determina con respecto al punto O (en realidad el eje z) por medio de una formulación escalar. Aquí, d es el brazo de momento o distancia perpendicular de O a la línea de acción de mv.
5.2.
Formulación vectorial Si la partícula se mueve a lo largo de una curva espacial, el producto vectorial (o producto cruz) puede utilizarse para determinar la cantidad de movimiento angular con respecto a O. ,o cual se resuelve con matriz de 3x3
6. RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO DE UNA FUERZA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Los momentos con respecto al punto O de todas las fuerzas que actúan en la partícula que pueden relacionarse con su cantidad de movimiento angular al aplicar la ecuación de movimiento. Si la masa de la partícula es constante, podemos escribir
̇
Los momentos de las fuerzas con respecto al punto O se obtienen mediante una multiplicación de producto vectorial en ambos lados de esta ecuación por el vector de posición r, el cual se mide con respecto al marco de referencia inercial x, y, z.
̇ Aplicando la derivada a (r x mv) se obtiene
̇ 6.1.
Sistema de partículas. Puede derivarse una ecuación con la misma forma para el sistema de partículas que se muestra en la figura. Las fuerzas que actúan en la partícula enésima arbitraria del sistema son una fuerza externa resultante Fi y una fuerza interna resultante fi. Al expresar los momentos de estas fuerzas con respecto al punto O.
̇
7. PRINCIPIO
DE
IMPULSO
Y
CANTIDAD
DE
MOVIMIENTO
ANGULARES Se integra para suponer en un instante
Impulso angular =
∫ ∫
7.1. Formulación vectorial. Con los principios de impulso y cantidad de movimiento es posible, por consiguiente, escribir dos ecuaciones que definan el movimiento de la partícula
7.2.
Formulación escalar En general, las ecuaciones anteriores pueden expresarse en su forma de componentes x, y, z. Si la partícula está limitada a moverse en el plano x-y, pueden escribirse tres ecuaciones escalares para expresar el movimiento
7.3. Conservación de la cantidad de movimiento angular Cuando todos los impulsos angulares que actúan en la partícula son cero durante el tiempo t1 a t2.
Esta ecuación se conoce como la conservación de la cantidad de movimiento angular. Establece que de t1 a t2 la cantidad de movimiento angular de la partícula permanece constante. Obviamente, sin ningún impulso externo aplicado a la partícula, tanto la cantidad de movimiento lineal como la cantidad de movimiento angular se conservarán.
8. FLUJO CONTINUO DE UNA CORRIENTE DE FLUIDO Aplicaremos el principio de impulso y cantidad de movimiento al flujo de masa constante de partículas de fluido que entran a y salen de un volumen de control.
Principio de impulso y cantidad de movimiento Considere el flujo continuo de una corriente de fluido que circula a través de un tubo. El cambio de la dirección del fluido dentro del volumen de control lo provoca el impulso de la fuerza externa resultante ejercida en la superficie de control por la pared del tubo. Esta fuerza resultante se determina al aplicar el principio de impulso y cantidad de movimiento al volumen de control
Si aplicamos el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales, tenemos
Si r, r A, r B son vectores de posición medidos desde el punto O a los centros geométricos del volumen de control y las aberturas en A y B, entonces el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales con respecto a O se vuelve
Si dividimos ambos lados de las dos ecuaciones anteriores entre dt y simplificamos, tenemos
El término dm/dt se llama flujo de masa. Indica la cantidad constante de fluido que se dirige hacia dentro o hacia fuera del volumen de control por unidad de tiempo.
CAPITULO II
CINÉTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 1. Rotación pura y traslación pura Un cuerpo se traslada cuando todos sus puntos se mueven paralelamente y con la misma velocidad, tal como se ilustra en la figura 1a. Un cuerpo rota cuando todos sus puntos giran alrededor de un mismo eje (llamado eje de rotación) con la misma velocidad angular, tal como se ilustra en la figura 1b (en este caso el eje de rotación es perpendicular al plano representado por la hoja de papel que estamos observando y pasa por el punto O). En general el movimiento del cuerpo será una combinación de ambos.
Cuando el cuerpo está en traslación pura (o cuando el interés es en analizar su movimiento de traslación), se puede asumir como si fuera una partícula. Son ejemplos:
Un esquiador deslizándose por una montaña (figura 2a).
Un ciclista trasladándose (en cuyo caso no hay interés en lo que pasa con la bicicleta, sino con el sistema como un todo - figura 2b -)
El análisis de la traslación de la Tierra alrededor del sol (en este caso la Tierra se consideraría una partícula).
En el caso de querer estudiar la rotación del cuerpo no se puede asumir como una partícula. En la figura 3a se ilustra la rotación del planeta Tierra alrededor de su eje (eje que pasa por los polos). En la figura 3b se ilustra la transmisión de movimiento de rotación entre dos piñones.
Un cuerpo sólido rígido realiza un movimiento de traslación cuando, considerando un segmento entre dos puntos A y B del cuerpo, éste se mantiene siempre paralelo a
sí mismo, durante todo el movimiento. Considerando el cuerpo rígido como un conjunto continuo de puntos materiales, cada punto material describirá, en el movimiento, una trayectoria determinada y a todos los demás puntos materiales describirán trayectorias equidistantes entre sí. Si la traslación es rectilínea, las trayectorias son rectas y paralelas entre sí (equidistantes), y si la traslación es curvilínea, las trayectorias de los puntos materiales son curvas planas o alabeadas equidistantes entre sí.
En un sólido en movimiento de traslación todos sus puntos tienen la misma velocidad instantánea y la misma aceleración instantánea. Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste. El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los puntos del sólido que están sobre el eje permanece en reposo en tanto que los demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso, la velocidad "v" de un punto "P" del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en un
instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje de rotación Dicha velocidad viene dada por
El módulo de la velocidad, es decir, la celeridad, es
Pero se verifica que ds = rd?, midiéndose el ángulo en radianes (rad), de modo que
El cociente dα/dt recibe el nombre de velocidad angular y se designa por w:
Y podemos expresar la velocidad "v" de cualquier punto del sólido como el producto de la velocidad angular por la distancia "r" del punto al eje de rotación. Designando por "w" la velocidad angular, podemos escribir
2. Caso general del movimiento Es el movimiento de un cuerpo rígido que no puede clasificarse como Traslación Pura, ni como Rotación Pura. El movimiento general se asume como una combinación simultánea de Traslación y Rotación. MOVIMIENTO GENERAL = TRASLACION + ROTACION M.G = T + R
a. Teoría de charle. Cualquier movimiento general en el plano de un cuerpo rígido se explica como la combinación de dos movimientos más simples:
Una traslación tomando como referencia un punto cualquiera y Una rotación alrededor de dicho punto. Un sólido fijo se caracteriza por ser indeformable, las posiciones relativas de los puntos del sólido se mantienen fijas aunque se apliquen fuerzas al mismo.
En la figura anterior vemos que la posición del punto "P" del sólido es:
Donde "C" se refiere al centro de masa del sólido. El vector "R" que va del centro de masas al punto "P" es un vector cuyo módulo es constante. Derivando la expresión anterior respecto al tiempo se obtiene:
El primer término es la velocidad del punto "P", el segundo la velocidad de masas y el tercero es la velocidad del punto "P" respecto al centro de masas.
3. Movimiento plano de un solido Por movimiento plano paralelo (o simplemente plano) se entiende el movimiento del cuerpo sólido durante el cual todos sus puntos se desplazan paralelamente a un plano fijo. Muchas piezas de mecanismos y máquinas efectúan un movimiento plano, por ejemplo, una rueda móvil sobre un segmento de vía rectilínea, una biela de un mecanismo de Biela manivela; etc.
El movimiento de rotación de un cuerpo sólido, es un caso particular del movimiento plano. Examinaremos la sección "S" del cuerpo situada en un plano "OXY" paralelo al plano
Si tenemos un movimiento plano, todos los puntos del cuerpo situados sobre la recta MM" perpendiculares a la sección S, es decir, al plano?, se desplazan de un modo
idéntico. Por eso, para el estudio del movimiento de todo el cuerpo es suficiente estudiar el movimiento de una sección S en el plano OXY.
4. Movimiento plano restringido La mayoría de las aplicaciones de ingeniería tienen que ver con cuerpos rígidos que se mueven bajo ciertas restricciones. Por ejemplo, las manivelas deben girar alrededor de un eje fijo, las ruedas deben rodar sin patinar y las bielas deben describir ciertos movimientos prescritos. En todos estos casos, existen relaciones precisas entre los componentes de la aceleración "a" del centro de masa "G" del cuerpo considerado y su aceleración angular "a", se dice que el movimiento correspondiente es un movimiento restringido. La solución de un problema que implica un movimiento plano restringido requiere un análisis cinemático preliminar. Considérese, por ejemplo una barra esbelta AB, de longitud "l" y masa "m", cuyos extremos están conectados a bloques de masa insignificante que se deslizan a lo largo de correderas horizontales y verticales sin fricción, como se muestra en la siguiente figura
Se sabe que la aceleración "a" del centro de masa "G" de la barra se puede determinar en cualquier instante dado a partir de la posición de la barra, de su velocidad angular y de su aceleración angular en dicho instante. Se desea determinar el valor correspondiente de la fuerza "P", así como las reacciones en "A" y "B"; primero se determinan los componentes "ax" y "ay" de la aceleración del centro de masas "G". A continuación se aplica el principio de D"Alembert (ver figura siguiente), utilizando las expresiones obtenidas para "ax" y "ay". Entonces se pueden determinar las fuerzas des conocidas "P", "NA" y "NB" escribiendo y resolviendo las ecuaciones apropiadas.
5. Principio de trabajos virtuales "para una deformación virtual infinitamente pequeña de un cuerpo que se encuentra en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual interno de deformación"
Válido cualquiera sea la ley del estado de tensiones y su relación con las deformaciones. Es conveniente, antes de pasar al análisis general del principio, considerar algunos términos de la definición:
En primer lugar estamos considerando un cuerpo en equilibrio, al que con posterioridad se le provoca una deformación. Dicha deformación es arbitraria y posible, compatible con las condiciones de vínculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo.
Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios representan el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, Ae.
Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales, generan trabajo debido a la deformación virtual impuesta, dando origen al trabajo virtual interno de deformación, Ai.
El Principio de Trabajos Virtuales puede entonces expresarse sintéticamente como: Ae = Ai.
Consideremos ahora el caso de una estructura plana con barras resistentes a flexión, sometido a un sistema de cargas "Pm" en su plano, siendo "C" las correspondientes reacciones de vínculo exteriores.
Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos M,N,Q, de tal manera que existe equilibrio entre la acción interna y la externa. Sometemos al sistema a una deformación virtual, por lo que los puntos de aplicación de las cargas "Pm" y C, sufrirán desplazamientos "dm" y "?c" (si existen corrimientos de apoyos) en la dirección de las mismas. Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas externas estará dado por:
Para expresar el trabajo virtual interno de deformación, es decir el trabajo de los esfuerzos internos (M,N,Q) debido a la deformación virtual a que sometimos al sistema, consideramos un elemento de una barra "dx" de altura "h".
La deformación virtual provocará, un desplazamiento relativo de las dos secciones del elemento que podrá expresarse por una traslación y una rotación "dn". La traslación la podemos considerar compuesta por dos componentes; una a lo largo del eje de la barra "∆ds" y otra normal "∆dn".
El trabajo diferencial de las fuerzas internas que actúan sobre el elemento "dx" será:
La integración de esta expresión a toda la estructura representa el trabajo virtual de deformación Ai. Supongamos que la deformación virtual fue provocada por un sistema de cargas exteriores que incluye variación de temperatura, y que genera esfuerzos internos que designaremos como M, N y Q. Admitimos que la
temperatura varía linealmente con la altura h de la sección transversal como se indica en la figura siguiente:
Donde definimos con T1 y T2 a las temperaturas de la fibra superior e inferior respectivamente, Tc la temperatura correspondiente al centro de gravedad de la sección y ∆T = T2-T1
Observamos que la temperatura genera deformaciones "∆ds" y "dα" en la sección. Finalmente igualando el trabajo externo y el interno resulta:
Que es la expresión del Principio de Trabajos Virtuales, para el caso general de estructuras planas
6. Principios de impulso y cantidad de movimiento aplicados a cuerpos rígidos y sistema Partiendo de la Segunda Ley de Newton ("La resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de masa m, es directamente proporcional y tiene la misma dirección y sentido que la aceleración que produce") podemos definir dos conceptos importantes para el análisis del movimiento, como son el impulso y la cantidad de movimiento que posee un cuerpo. Supongamos que analizamos a un lanzador de bala durante la ejecución de un lanzamiento, y que este se realiza sobre una plataforma especial que permite medir la intensidad y registrar el tiempo durante el cual actúan las fuerzas que se ejercen contra ella. En la figura podemos observar el registro de las componentes horizontales de las fuerzas que se ejercen contra el suelo, considerando como positivas a aquellas que tienen la dirección del lanzamiento, y negativas en caso contrario.
Si observamos el registro notamos la variación de la fuerza en los diferentes intervalos de tiempo. A la integral de una fuerza en el intervalo de tiempo que ella actúa se lo denomina impulso. De la expresión anterior podemos deducir que el impulso está representado por el área bajo la curva limitada por los instantes de tiempo definidos. Aplicando la Segunda Ley de Newton podemos llegar a encontrar una interesante relación: Recordando que: F = m.a
Donde "F" representa la fuerza media ejercida en un intervalo de tiempo "?t = tf-ti" , en el cual podemos considerar a "ti = 0", y "a" representa la aceleración media, la cual puede ser Reemplazada por: a
= (vf – vi) / t
Reemplazando en la anterior tenemos que: F = m(vf – vi) / t
Pasando "t" al otro lado de la igualdad y eliminando el paréntesis obtenemos: F.t = m. vf – m. vi
La expresión anterior implica que el impulso de una fuerza es igual a la variedad de cantidad de movimiento que esta produce. Cabe aclarar que en cierta bibliografía a la variación de la cantidad de movimiento se la conoce como momentum.
Conservación de la cantidad de movimiento durante los choques: Los choques son una situación muy común en la actividad deportiva. Por ejemplo cuando un futbolista impacta una pelota, la fuerza ejercida por el pié contra la pelota es igual y contraria a la que ejerce la pelota contra el pié (Tercera Ley de Newton). El tiempo que durante el cual actúan dichas fuerzas es también idéntico. Dado que el impulso de una fuerza es igual al producto de dicha fuerza por el tiempo durante el cual actúa, podemos deducir que el impulso que la fuerza del pié ejerce sobre la pelota es igual y contrario al que la pelota recibe, por lo tanto también ocurrirá lo mismo con la cantidad de movimiento. Expresando esto último algebraicamente mvf1 – mvi1 = -(mvf2 – mvi2) Pasando el segundo término de la igualdad al primero: (mvf1 – mvi1) + (mvf2 – mvi2) = 0
La anterior expresa el principio de la conservación de la cantidad de movimiento que dice: en un sistema en el cual los cuerpos chocan, la variación de la cantidad de movimiento permanece constante, a menos que sobre dicho sistema actúen fuerzas externas.
CONCLUSIONES
Es necesario destacar que la fuerza que interviene en el impulso, no es una fuerza constante, sino que con respecto al tiempo, por lo que cuando nos referimos a estas fuerzas, hablamos de una fuerza promedio.
Es necesario destacar que la fuerza que interviene en el impulso, no es una fuerza constante, sino que con respecto al tiempo, por lo que cuando nos referimos a estas fuerzas, hablamos de una fuerza promedio.
Llamamos momento lineal a la magnitud que nos mide la capacidad que tiene un cuerpo de producir un efecto sobre otro en una colisión.
Llamamos impulso a la variación del momento lineal. Cuando aumentamos el momento lineal de un cuerpo, está recibiendo impulso positivo; cuando disminuimos ese mismo momento lineal, el impulso es negativo.
El teorema de la cantidad de movimiento, que para un sistema de partículas puntuales requiere que las fuerzas de las partículas sólo dependan de la distancia entre ellas y estén dirigidas según la línea que las une. En mecánica de medios continuos y mecánica del sólido rígido pueden formularse teoremas vectoriales de conservación de cantidad de movimiento.
El teorema del momento cinético, establece que bajo condiciones similares al anterior teorema vectorial la suma de momentos de fuerza respecto a un eje es igual a la variación temporal del momento angular Existen varias formas de plantear ecuaciones de movimiento que permitan predecir la evolución en el tiempo de un sistema mecánico en función de las condiciones iniciales y las fuerzas actuantes. En mecánica clásica existen varias formulaciones posibles para plantear ecuaciones:
Bibliografía
Dinámica II: Mecánica Para Ingeniería y sus Aplicaciones – David J. MacGill & Wilton King
Mecánica Vectorial para Ingenieros. Beer Johnston.
Ingeniería mecánica dinámica R. C. HIBBELER
EJERCICIO DE APLICACIÓN
1. El jeep de tracción en las 4 ruedas de 1.5 Mg se utiliza para empujar dos embalajes idénticos, cada uno de 500 kg de masa. Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas y el suelo es
=0.6, determine la rapidez máxime posible que el jeep puede
alcanzar en 5s, sin que las llantas patinen. El coeficiente de fricción cinética entre los embalajes ye l suelo es
=0.3.
SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre
= =0.6N
y de
=0.3
( )c=
m( 1)y + Σ
∫ =m( )y 2
1500(0) + (5)- 1500(9.81)(5) = 1500(0)
= 14715 N m( )x + Σ∫ t=m( )x 1
2
1500(0) + 0.6(1475)(5)- p(5) = 1500v V=29.43 – 3.333(0.0001)P ………………(1)
∫ =m( )y
m( 1)y + Σ
2
1000(0) + (5) – 1000(9.81)(5) = 1000(0)
= 9810 N m(1)x + Σ∫ =m(2)x 1000(0) + P(5) – 0.3(9.81)(5) = 1000v V= 0.005P – 14.715…………………………………….(2) Resolviendo la ecuación (1) y (2) V= 11.722 m/s = 11.8 m/s P= 5297.4 N 2. Determine los componentes de reacción que la junta A fija del tubo ejerce en el codo en la figura, si el agua que fluye por el tubo se somete a una presión de bombeo de 100 kPa en A. La descarga en B es QB es 0.2 m3/s. La densidad del agua es 1000 kg/m3 asa del codo lleno de agua es de 20 kg con su centro de masa en G.
SOLUCIÓN Consideraremos que el volumen de control es la superficie externa del codo. Con un sistema de coordenadas inercial fijo, la velocidad de flujo en A y B y la velocidad de flujo y la densidad del agua es constante, QB = QA = Q.
VA= 25.46 m/s VA=
VA = 6.37 m/s
Diagrama de cuerpo libre F = AA*PA = 100*103*П*0.12 F = 3141.6 N En B no actúa ninguna presión estática, puesto que el agua se descarga a la presión atmosférica, es decir, la presión medida por un manómetro en B es igual a cero, PB = 0
Ecuaciones de flujo continuo.
luego
3141.6 - FX = 200 (0-6.37)
FX = 4.41 kN
luego -20*9.81 - Fy = 200 (-25 - 07)
Fy = 4.9 kN
Mo + 20*9.81 = 200 (0.3*25.46)
Mo = 1.5 kN .m 3. La paleta divide el chorro de agua que tiene un diámetro de 3pulg. si un cuarto de agua fluye hacia abajo mientras que los otros tres cuartos fluyen hacia arriba, y el fluyo total es Q = 0.5pies3/s, determine las componentes de fuerza horizontal y vertical ejercida sobre la paleta por el chorro: δ= 62.4lb/pie3.
SOLUCIÓN DATOS: δ = 62.4lb/pie3.
Q = 0.5pies3/s, Luego la velocidad es V = Q/A
̇ 4. El bloque A pesa 16.1 lb y se encuentra viajando hacia la derecha sobre
el plano liso de 50 pie/s. El bloque B pesa 8.05 lb y está en equilibrio con el resorte que justamente le impide resbalar sobre el tramo rugoso del plano. El cuerpo a golpea al B; el coeficiente de restitución e = 1/2. Encuentre la deformación máxima del resorte
Sabiendo que cuando el bloque A llega a recorrer el plano inclinado, se originan nuevas fuerzas que actúen sobre él:
El impacto entre los bloques se tratarán por separado, por tanto se dividirá en:
1.- Conservación de la energía:
+=+
= V2 = 36.32 Ft/s 2.- Conservación de Cantidad de movimiento Sabiendo que el impacto es elástico e=1/2=0.5. Tenemos lo siguiente: mAVA + mBVB = mAV’A + mBV’B
VB = 0
0.5 =
…..18.016 + ……………...ii
Luego reemplazando
3.- Por teorema del trabajo y la energía tenemos:
VBO = 0 Y VBf = V’B
( ) X = 11.98 Ft Donde X es la deformación máxima
5. El cañón de 1200 lb de la figura dispara un proyectil de 8 lb con una velocidad de salida de 1500 pies/s con respecto al suelo. Si el disparo ocurre en 0.03 s, determine a) la velocidad de retroceso del cañón justo después del disparo b) la fuerza impulsora promedio que actúa en el proyectil. El soporte del cañón está fijo en el suelo y el retroceso horizontal del cañón es absorbido por dos resortes.
SOLUCIÓN Consideraremos el proyectil y el cañón como un solo sistema, puesto que las fuerzas impulsoras, F , entre el cañón y el proyectil son internas al sistema y por consiguiente se eliminarán del análisis. Además, durante el tiempo ∆t = 0.03 s, cada uno de los dos resortes de retroceso conectados al soporte ejerce una fuerza no impulsora F s en el cañón. Esto se debe a que ∆t es muy corto, de modo que durante este tiempo el cañón sólo recorre una distancia s muy corta. En consecuencia, Fs = ks = 0, donde k es la rigidez del resorte. Entonces se concluye que la cantidad de movimiento del sistema se conserva en la dirección horizontal.
