En esta sección integraremos la ecuación de movimiento con respecto al tiempo y con ello obtendremos el principio del impulso y el momentum. Se demostrara entonces que la ecuación resultante es útil para resolver problemas que implican fuerza, velocidad y tiempo. La ecuación de movimiento para una partícula de masa m puede escribirse como:
Donde a y v son medidas desde un marco de referencia inercial. Reordenando los términos e integrando entre los límites v = v1 en t = t1 y v = v2 en t = t2, tenemos:
O bien:
∑ ∫ m
v2
- mv1
A esta ecuación se le conoce como principio del impulso y momentum lineal . A partir de la derivación se puede ver que es simplemente una integración de la ecuación de movimiento con respeto al tiempo. Esta ecuación proporciona un medio directo para obtener la velocidad final v2 de la partícula después de un periodo de tiempo específico,cuando se conoce la velocidad inicial de la partícula y las fuerzas que actúan sobre esta son 0 constntes 0 pueden ser expresadas como funciones del tiempo. En comparación, si v2 fue determinada usando la ecuación de movimiento, será necesario un proceso de dos pasos; esto es, aplicar ∑F = ma para obtener a y luego integrar a=dv/dt para obtener v2.
Cuando uno de los dos vectores de la forma L=mv que aparecen en la ecuación anterior se denomina momentum lineal de la partícula. Como m es un escalar positivo, el vector momentum lineal tiene la misma dirección que v, y su magnitud mv tiene unidades de masa- velocidad, esto es, kg˖ m/s o slug ˖ pies/s.
∫
La integral que aparece en la ecuación 15-2 se llama impulso lineal. Este término es una cantidad vectorial que mide el efecto de una fuerza durante el tiempo que ésta actúa. Como el tiempo es un escalar positivo, el impulso actúa en la misma dirección que la fuerza, y su magnitud tiene unidades de fuerza-tiempo, es decir, N˖s o lb˖s, *si la fuerza es expresada como una función del tiempo, el impulso puedes ser determinado por evaluación directa de la integral. En particular la magnitud del impulso
∫ , la cual
representa el área sombreada rectangular mostrada en la figura 15-2.
Para la resolución de problemas, la ecuación 15-2 puede ser rescrita en la forma:
∑ ∫ = mv
mv1 +
2
La cual establece que el momentum lineal de la partícula en t 1, mas la suma de todos los impulsos aplicados a la partícula desde t 1 hasta t2, es equivalente al momentum final de la partícula en t 2. Estos tres términos están ilustrados gráficamente en los diagramas de impulso y momentum mostrados en la figura 153. Los dos diagramas de momentum son simplemente formas delineadas de la partícula que indican la dirección y la magnitud de los momentos iniciales y final de la partícula m v1 y mv2, respectivamente, figura 15-3. Similar al diagrama de cuerpo libre, el diagrama de impulso es una forma delineada de la partícula que muestra todos los impulsos que actúan sobre la partícula cuando esta localizada en algún punto intermedio a lo largo de su trayectoria. En general, siempre que la magnitud o la dirección de una fuerza varían con el tiempo, el impulso es representado en el diagrama de impulso como a la partícula es
Fc(t2-t1),
∫ . Si la fuerza es constante, el impulso aplicado
y actúa en la misma dirección que
Fc.
Si cada uno de los vectores mostrados en la ecuación 15-3 es resuelto en sus componentes x, y, z, podemos escribir simbólicamente la siguientes tres ecuaciones escalares:
∑ ∫ dt= m( m(v ) +∑ ∫ dt= m( m(v ) +∑ ∫ dt= m( m(vx)1 +
x
vx)2
y 1
y
vy)2
z 1
z
vz)2
Estas ecuaciones representan el principio del impulso y momentum lineal para la partícula en las direccione x, y, z, respectivamente.
