Msc. Diego Freire Quiroga
2.1 Momento de inercia de Masa 2.2 Ecuaciones de movimiento de Cinética Plana. 2.3 Ecuaciones de movimiento: Traslación. Traslación. 2.4 Ecuaciones de movimiento: rotación alrededor de un eje fijo. 2.5 Ecuaciones de movimiento: Movimi Movimiento ento plano general.
2.1 Momento de inercia de Masa 2.2 Ecuaciones de movimiento de Cinética Plana. 2.3 Ecuaciones de movimiento: Traslación. 2.4 Ecuaciones de movimiento: rotación alrededor de un eje fijo. 2.5 Ecuaciones de movimiento: Movimiento plano general.
En este capitulo se demostrará que los aspectos de rotación provocados por un momento M, están regidos por una ecuación de la forma:
M = Iα
El símbolo I en esta ecuación se denomina momento de Inercia de masa, Por comparación, el momento de inercia mide la resistencia de un cuerpo a la aceleración angular del mismo modo que la masa mide la resistencia de un cuerpo a la aceleración. (F = ma)
Definimos el momento de inercia como la integral del “segundo momento “ alrededor del eje de todos los elementos de masa dm los cuales componen el cuerpo. El momento de inercia del cuerpo alrededor del eje z en la figura es:
En este caso el “brazo de momento” r es la distancia perpendicular del eje z al elemento arbitrario dm. En el estudio de cinemática plana, por lo general el eje seleccionado para el análisis pasa por el centro de masa G del cuerpo y siempre es perpendicular al plano de movimiento. El momento de inercia con respecto a este eje se denotará como IG.
Si el cuerpo se compone de material de densidad variable,
ρ= ρ (x,y,z)
a masa e emen a m e cuerpo pue e expresarse en función de su densidad y volumen como dm = ρ dV. Si se sustituye dm en la primera ecuación, entonces se calcula el momento de inercia del cuerpo con elementos de volumen en la integración, es decir,
En el caso especial en que ρ sea una cons an e, es e erm no se saca e a n egra y la integración es entonces puramente una función de geometría.
Cuando el elemento de volumen seleccionado para la integración tiene dimensiones infinitesimales en las tres direcciones.
El momento de inercia del cuerpo se determina por medio de una “integración triple” Sin embargo, el proceso de integración puede sim lificarse a un inte ración sim le siem re ue el elemento de volumen seleccionado tenga un tamaño o espesor diferencial en solo una dirección. Para este propósito a menudo se utiliza elementos en forma de casquillo o de disco.
Para obtener el momento de inercia por integración, consideremos solo cuerpos de volúmenes generados al hacer girar una curva alrededor de un eje. Se puede elegir diferenciales:
dos
tipos
de
elementos
Elemento en forma de Casquillo: Si para la integración se selecciona un elemento en forma de casquillo de altura z, radio r=y, espesor dy, entonces el volumen
dV= (2πy)(z)dy
Este elemento puede utilizarse en la ecuación
para determinar el momento de inercia Iz, del cuerpo con respecto al eje z, puesto que a su espesor queda a la misma distancia perpendicular r = y del eje z
Elemento en forma de disco: Si para la integración se selecciona un elemento en forma de disco de radio y y espesor dz, entonces el volumen es
dV = (πy2)dz. Este elemento es finito en la direccion radial y por consiguiente no todas sus partes quedan a la misma distancia radial r del eje z.
Para realizar la integración primero es necesario determinar el momento de inercia del elemento con respecto al e e z y uego ntegrar este resultado. No se pueden utilizar las ecuaciones como en el elemento anterior.
Si se conoce el momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que pasa por su centro de masa, entonces puede determinarse el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo por medio del teorema de los e es aralelos,
Este teorema se deriva de la consideración del cuerpo que se muestra en la figura. Aquí pasa el eje z’ pasa por el centro de masa G, mientras que el eje z paralelo correspondiente queda a una distancia d.
Al seleccionar el elemento de masa diferencial dm, localizado en el punto (x’, y’) y utilizar el teorema de Pitágoras, r2=(d+x’)2 + y2, podemos expresar el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje z como
Dado que r’ 2=x’2 + y2, la primera integral representa IG.
La segunda es igual a cero puesto que el eje z’ para por el centro de masa del cuerpo, es decir
La tercera integral representa la masa total m del cuerpo.
Por lo tanto el momento de inercia con respecto al eje z puede escribirse como.
Donde IG = momento de inercia con respecto al eje z’ que pasa por el centro de masa G. m= masa del cuerpo d= distancia perpendicular entre los ejes paralelos z y z’.
De vez en cuando, el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje especificado se reporta en manuales por medio del radio de giro k.
Este es una ro iedad eométrica ue tiene unidad de longitud. Cuando se conocen el radio de giro y la masa m del cuerpo, el momento de inercia del cuerpo se determina con la ecuación.
Si un cuerpo se compone de varias formas simples como discos, esferas y barras, su momento de inercia con respecto a cualquier eje se determina por la suma algebraica de los momentos de inercia de todas las formas com uestas calculadas con res ecto al e e.
La adición algebraica es necesaria puesto que una parte compuesta debe considerarse como una cantidad negativa si ya se contó como una pieza de otra de parte – por ejemplo, un “ agujero” restado de una placa sólida.
El teorema de los ejes paralelos se requiere para los cálculos si el centro de masa de cada parte compuesta no queda en el eje. ,
2
. G cada una de las partes compuestas se determina por integración, o por formas simples, como barras y discos. G
La semiesfera se forma al hacer girar el área sombreada alrededor del eje y. Determine el momento de inercia I y y exprese el resultado en función de su masa total m. La densidad ρ del material es constante.
Determine el momento de Inercia del ensamble con respecto a un eje perpendicular a la pagina y que pasa por el punto O. El peso especifico del materia es γ = 90 lb/pie3
