I. A partir de la segunda ley de Newton 1)
; 2)
; 3)
a la combinación de masa por velocidad se le llama cantidad de movimiento, y la representaremos por la letra P ; 4) P = M v; la cantidad de movimiento es un vector que lleva la misma dirección y sentido que el de la velocidad. Sustituyendo P en 3) se tiene 5) que representa en forma general a la cantidad de movimiento y significa que la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual a la fuerza que actúa sobre él.
Cuando dos cuerpos interactúan ejerciendo una fuerza entre ellos ya sea a distancia (gravitación) o por contacto directo (coalición), al aplicarse en estos casos la tercera ley de Newton, quedaría lo cual significa: la fuerza que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2 , es igual y opuesta a la fuerza que ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1 . Por lo cual y de acuerdo a la ecuación 5): 6) que significa que la fuerza que ejerce el cuerpo 1, sobre el cuerpo 2 es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento del cuerpo 2. La ecuación 7) significa que la fuerza que ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1 es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento del cuerpo 1. Sumando ambas ecuaciones Sustituyendo ; sea,
;o
.
Lo cual significa que si la suma de la rapidéz de cambio de las cantidades de movimiento es cero, entonces la suma de las cantidades de movimiento es constante (la derivada de una constante es cero) ; significando también que las fuerza externas son cero, y que . De lo anterior se puede decir que la suma de las cantidades de movimiento de un sistema aislado de dos cuerpos que ejercen fuerzas antre sí, es constante, independientemente de la forma en que se sumen las fuerzas. A esto se le llama el principio de la conservación de la cantidad de movimiento.
Para dos cuerpos que se mueven con cierta velocidad antes y después de una colisión: y significa que la cantidad de movimiento total antes del choque es igual a la cantidad de movimiento total después del choque; es decir la cantidad de movimiento permanece constante. Un caso semejante se tiene en el caso de una colisión entre 3 o más cuerpos sin la intervención de fuerzas externas.
Impulso y cantidad de movimiento. Es una colisión de dos cuerpos la fuerza que se ejerce durante el impacto actúa durante un tiempo relativamente corto y origina un cambio en la cantidad de movimiento en el cuerpo sobre el cual actúa la fuerza. Con el propósito de establecer una relación entre la fuerza aplicada, el tiempo de acción y el cambio de la cantidad de movimiento resultante; estableceremos que la fuerza aplicada durante un intervalo de tiempo
, es una fuerza
promedio Fm , y al producto de la fuerza promedio Fm por el intervalo de tiempo , le llamaremos impulso I, quedando sustituyendo
; ; se tiene
como Quedando:
son aquellas en las cuales cuando dos cuerpos coalecen la masa de uno de ellos se queda pegada a la masa del otro y la masa final resultante se mueve con cierta
velocidad. Si ambos cuerpos llevan la misma dirección y el mismo sentido y uno alcanza al otro;
Si ambos cuerpos se mueven en sentido contrario antes del choque, y considerando que
;
Colisiones perfectamente inelásticas. Se considera que las colisiones perfectamente inelásticas ocurren cuando dos cuerpos al chocar la masa de uno queda pegada a la del otro y la masa final resultante queda en reposo inmediatamente después del choque, es decir la energía cinética final inmediatamente después del choque es cero; lo cual significa que la energía cinética que existía antes del impacto se disipa, se emplea en realizar un trabajo al deformarse los cuerpos o al menos de ellos:
son aquellas en las cuales no hay intercambio de masa, los cuerpos no se quedan pegados inmediatamente después de una colisión:
PROBLEMA 5.5.1. Si una flecha de 25 g a 90 km/h penetra en un bloque de madera colgado de una cuerda. a)¿Qué impulso entrega al bloque? b)¿Qué velocidad adquirirá el bloque si su masa es de 5 kg?
Solución a) En este caso se considera que el impulso que le comunica la flecha al bloque es igual al producto de la masa de la flecha por su velocidad: b) Este es una caso de choque inelástico.Para determinar la velocidad que adquiere el bloque inmediatamente después del impacto, se establece que la cantidad de movimiento total inmediatamente antes del impacto es igual a la cantidad de movimiento total inmediatamente después del impacto. Sea
la masa y la velocidad de la flecha,
la masa y la velocidad del bloque respectivamente , y
la velocidad del conjunto
inmediatamente después del impacto: (1)
.
c) Suponer que se desea también obtener la altura máxima h alcanzada por el conjunto. c).- La energía cinética obtenida inmediatamente después del impacto es igual a la energía potencial del conjunto en su nivel más alto alcanzado: ; notar que
corresponde a la velocidad de
caída libre cuando se deja caer un cuerpo desde el reposo.
PROBLEMA 5.5.2. Se deja caer una pelota de 120 gramos desde una altura de 4.8m, sobre un piso duro, y rebota exactamente hasta la misma altura. ¿Cuál es el impulso recibido sobre la pelota, durante los 3.013 segundos que estuvo en contacto con el piso?
Solución. Este es un caso de un choque perfectamente elástico. Para determinar el impulso recibido por la pelota, considerar que la cantidad de movimiento es un vector que tiene tiene la misma dirección y sentido que el de la velocidad. Así el impulso que el piso le comunica a la
pelota es igual al cambio de la cantidad de movimiento de la pelota. Considerando la velocidad positiva hacia abajo y negativa hacia arriba, y que como la velocidad de llegada al piso es igual a la velocidad de salida puesto que regresa a la misma altura, se tiene:
PROBLEMA 5.5.3. Un satélite de comunicaciones de 4000 kg de masa se puede disparar del compartimiento de carga del transbordador espacial mediante resortes. Determinado satélite se dispara a 0.3 m/s. (a) ¿Qué impulso transmiten los resortes? b) Si los resortes trabajan durante un periodo de =0.2seg, ¿Qué fuerza promedio ejerce el resorte?
Solución. a) Impulso de los resortes es igual a la cantidad de movimiento que se le transmite al satélite: b) El impulso es el mismo que en el inciso anterior, y es igual al producto de la fuerza promedio , , por el intervalo de tiempo en cual actúa:
PROBLEMA 5 5.4. Una pelota de tenis de 0.05kg de masa , es golpeada por una raqueta. La velocidad de la pelota al dejar la raqueta, es 20 m/s. (a) ¿Cuál es el impulso? (b) Si el tiempo de contacto entre el palo y la pelota es 0.02seg. ¿Cuál es la fuerza promedio? (c) Si la fuerza disminuye a cero linealmente con el tiempo, durante los 0.02seg, ¿Cuál es el valor de la fuerza al principio del contacto?
Solución: a) El impulso es igual al producto de la masa por la velocidad: b) Impulso : I=
. Cantidad de movimiento =MV ;
Por definición la fuerza promedio es el cociente que resulta de dividir al impulso entre el intervalo de tiempo:
; c) 1)
; 2)
que nos dice que el impulso I es el producto de multiplicar la fuerza aplicada por el intervalo de tiempo
y es igual al cambio de la cantidad de movimiento
. Para intervalos de tiempo muy pequeños, el impulso se evalúa simplemente con la expresión ;siendo
la fuerza promedio.También se considera el impulso como el área
que resulta de graficar la fuerza contra el tiempo.Haciendo trángulos semejantes: ;
PROBLEMA 5.5.5. Un catcher atrapa un lanzamiento de 45m/s, y su guante retrocede 0.25m. La masa de la pelota es 0.14kg. Suponga que la desaceleración de la pelota, durante el tiempo que la cachan, , es constante e igual a determinada a (a) Calcule la fuerza m
promedio,
, que ejerce el guante. (b) ¿Cuánto trabajo se efectúa? ; (c) Calcule
Solución: a) Primero calcular la aceleración media: Posteriormente calcular el intervalo de tiempo pedido : Por último calcular la fuerza promedio pedida: b) Trabajo realizado :
PROBLEMA 5.5.6. Una pelota de 200g de masa de deja caer desde una altura de 1.00 m sobre el escalón superior de una escalera. cada escalón está a 15 cm de altura sobre el siguiente. La pelota rebota de manera perfectamente elástica, pero tiene una pequeña velocidad horizontal, de modo que el siguiente rebote es sobre el segundo escalón, y después en el tercero, y así sucesivamente. Suponga que el tamaño de cada escalón es tal, que la pelota siempre rebota en el siguiente hacia abajo. ¿Cuál es el impulso que se transmite al enésimo escalón?
Solución: El impulso que se le transmite el enésimo escalón es el promedio que realiza el primer escalón: Considerando la velocidad de llegada positiva y la velocida de salida negativa, el impulso promedio es igual a la mitad del cambio de la cantidad de movimiento
La velocidad de llegada al piso: Por lo que
Resp.
PROBLEMA 5.5.7. En un péndulo balístico, una bola de masa
y velocidad v se incrusta
en un bloque de masa colgado de un hilo. El bloque y la bala, con masa total , se mueven a continuación como un péndulo, para el cual se puede medir con facilidad la altura máxima que alcanza. Este aparato se puede emplear para medir la velocidad de la bala. (a) ¿Qué fracción de la energía cinética de la bala se pierde en el choque? (b) Deduzca una fórmula para medir V, en términos de
PROBLEMA 5.5.8. Un bloque de 40 kg se mueve hacia la derecha con una rapidéz de por la acción de las fuerzas . Si éstas fuerzas varían de la manera que se indica
en la gráfica, determinar la rapidéz del bloque a los 6 segundos. Despreciar la fricción y la masa de las poleas y las cuerdas.
1) Considerando positivo el movimiento hacia la derecha, y por la forma en que actúan las fuerzas de acuerdo a la disposición de las poleas, la fuerza efectiva que actúa sobre el bloque, es: 2) Como la acción de las fuerzas es variable, el bloque es impulsado por las variaciones de las fuerzas, por lo que la ecuación que se aplica, es: 3) En los primeros 2 segundos el impulso efectivo es de
4) En los 2 siguientes segundos el impulso efectivo es de
5) En los 2 últimos segundos el impulso efectivo es de
6) Sustituyendo los valores, se tiene: 7) Con lo cual resulta que la velocidad del bloque a los 6 segundos es de
Resp.
choca PROBLEMA 5.5.9. Una bala de 0.002 kg de masa que viaja a la velocidad de con un bloque de madera de 5 kg de masa y sale por el otro extremo del bloque con una velocidad de como se indica en la figura. Determinar: a) la velocidad del bloque justo
antes de que la bala salga de él; b) la fuerza normal promedio dentro del bloque, si la bala lo atraviesa en una milésima de segundo; c) el tiempo en que el bloque se desliza hasta detenerse. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es de 0.5
1) Denotando a la masa de la bala por
; y a la masa del bloque por
; considerando
positivo el movimiento hacia la derecha. 2)Considerando a la bala y al bloque como un solo sistema, no hay impulso externo, por lo que se aplica la ecuación: 3) Sustituyendo valores: 4) Despejando, se obtiene que la velocidad del bloque justo antes de que salga la bala, es de 5) Para obtener la fuerza normal promedio que la bala ejerce sobre el bloque, se deben considerar tanto el impulso que la bala ejerce sobre el bloque como la cantidad de movimiento de la bala en el sentido vertical, para lo cual consideramos positivas las fuerzas dirigidas hacia arriba:
6) Sustituyendo valores:
7) Despejando, se obtiene que la fuerza normal promedio que la bala ejerce sobre el bloque, es de
Resp.
PROBLEMA 5.5.10. Un bloque de 40 newtons es lanzado horizontalmente con una velocidad de , sobre la superficie de un carrito que está inicialmente en reposo y que
tiene un peso de 80 newtons. Determinar el tiempo que tarda el bloque en detenerse y la distancia que recorre el carrito durante este tiempo. El coeficiente dinámico de rozamiento entre ambas superficies es de 0.3. Despreciar el rozamiento de la ruedas y entre el carrito y el piso.
1) Sean
la masa y la velocidad del bloque;
la masa y la velocidad del carrito.
2) Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento al conjunto, antes y durante el movimiento: 3) Sustituyendo valores: 4) Como
; resulta:
es la velocidad que se alcanza en el
contacto inicial porque posteriormente el bloque se detiene y el carrito continúa moviéndose. 5) Considerando ahora el impulso y la cantidad de movimiento del bloque al estar en contacto con el carrito:
Siendo F la fuerza de rozamiento que tiene el valor
de:
;
donde N es la fuerza normal, que es la reacción de la superficie de apoyo sobre el bloque y que tiene el valor de 40 newtons, por lo que el valor de la fuerza de rozamiento es de
(desafortunadamente la fuerza normal se acostumbra representarla con la letra N y la unidad de fuerza en newtons también) 6) Sustituyendo valores y considerando positivo el movimiento hacia la derecha: ; despejando se obtiene: t= 0.455seg. Es el tiempo durante el cual el bloque se movió sobre el carrito. Resp. 7) Con el tiempo que dura el movimiento del bloque sobre el carrito y sabiendo que parte del reposo, obtenemos su aceleración y posteriormente la distancia que recorrió el carrito en ése intervalo de tiempo durante el cual el bloque se movió sobre él:
;
Es la distancia que rrecorió el carrito hasta que el
bloque se detuvo. Resp.
PROBLEMA 5.5.11. Un bloque de 40 kg de masa, partiendo del reposo se desliza 3m hacia abajo sobre una rampa que tiene una masa de 80 kg. Si no hay rozamiento entre todas las superficies de contacto, determinar la velocidad de la rampa cuando la caja recorra los 3m.
1) Aplicando el principio de la conservación de la energía entre los puntos A y B, y tomando como nivel de referencia el punto B: L a energía cinética en A mas la energía potencial en A , es igual a la energía cinética en B :
2) Sustituyendo valores y representando por
a la masa
del bloque y de la rampa respectivamente: ; simplificando: 3) Aplicando el principio de cantidad de movimiento en la dirección horizontal x entre los puntos A y B , y considerando positivo el movimiento hacia la derecha: ; sutituyendo valores: 4) De la velocidad relativa de la rampa con respecto al bloque tenemos: 5) Considerando positiva la velocidad en la dirección horizontal hacia la derecha, tenemos:
6) Considerando positiva la velocidad hacia arriba, en la velocidad relativa tenemos: ; 7) Sustituyendo (2) y (4) en (3) tenemos:
:
8) Sabemos que
; sustituyendo (2) y (5):
quedando resulta:
; 9) Sustituyendo (6) en (1):
Resp.
;
