F ACULTAD DE I NGENI ERÍA, ARQUI ARQUI TECTURA Y URBANI SM O
Escuela Profesional de Ingeniería Civil
ECUACIÓN DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Estudiantes:
Barrera Mendoza, Moisés Jesús
Paz Pastor, Roberto
Peralta Peralta, Franklin
Rojas More, Melvin David
Salazar Inoñan, Jhon
Asignatura: Dinámica
Docente: Castope Camacho Miguel
Año Académico: 2012-I
Aula- Sección: 405- “A” Chiclayo, 11 de Junio del 2012
Impulso y cantidad de movimiento lineal de una partícula y un sistema de partículas
PRESENTACIÓN
En este trabajo la intención es utilizar la segunda ley de Newton junto con la cinemática para obtener como resultado el principio del impulso y cantidad de movimiento para movimiento para una partícula y un sistema de partículas. Y en base a las ecuaciones del impulso y la cantidad de movimiento explicaremos como sucede en la vida cotidiana, y no mesclar con otros puntos no relacionados, y así d emostrar los resultados que ejerce una fuerza sobre una partícula. En conclusión se pretende adquirir los conocimientos del tema para aplicarlos a nuestra formación académica profesional, donde intervengan impulsos a través de una fuerza dando esta la cantidad de movimiento lineal.
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Impulso y cantidad de movimiento lineal de una partícula y un sistema de partículas
INDICE INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………. 3 OBJETIVOS………………………………………………………………………. 4 OBJETIVO GENERAL…………………………………………………………… 4
OBJETIVOS ESPECÍFICOS…………………………………………………..... 4 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL……………………….
5
EL TIEMPO SOBRE EL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO…………………………………………………………………….. 6 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UNA PARTÍCULA…...6 IMPULSO DE UNA FUERZA……………………………………………………8 CANTIDAD DE MOVIMIENTO………………………………………………….9 TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO…………………………...9
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS……………………………………………………………………...11 EJERCICIOS TIPOS………………………………………………………………12 EJERCICIOS APLICATIVOS…………………………………………………….16 EJERCICIOS A RESOLVER……………………………………………………..19 CONCLUSIONES………………………………………………………………….22 BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………. ...23 LINKOGRAFÍA…………………………………………………………………….23
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INTRODUCCIÓN
El presente trabajo trata sobre el principio del impulso y la cantidad de movimiento el cual explicaremos durante su desarrollo del tema. El contenido de este se basa en la segunda ley de Newton para resolver problemas que involucren fuerza, masa, velocidad y tiempo. Donde integraremos con respecto al tiempo y con la combinación de la cinemática obtendremos como resultado el principio del impulso y cantidad de movimiento para una, y un sistema de partículas. La estructura del tema se divide en conceptos (marco teórico), formulas y su explicación, desarrollo de ejercicios (tipos, aplicativos y a resolver) y conclusiones; del principio del impulso y la cantidad de movimiento. Para la elaboración del trabajo hemos extraído información bibliográfica y linkográfica, para ello se selecciono lo importante del tema para poder explicarlo en forma clara y precisa. Esperamos que este trabajo sirva como fuente de investigación para posteriores investigaciones.
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OBJETIVOS: OBJETIVO GENERAL:
Aplicar las ecuaciones de impulso y cantidad de movimiento para resolver problemas en función del tiempo, dado que se establezca en las propias vivencias cotidianas.
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Detallar y conocer los conceptos de impulso y cantidad de movimiento lineal de una partícula. Capacitarse para emprender los contenidos de la asignatura en función de nuestras futuras necesidades de nuestra profesión. Desarrollar la capacidad de integración entre los nuevos conocimientos y las propias vivencias cotidianas. Hacer una excelente exposición con la finalidad que nuestros compañeros junto con nuestro docente entiendan el tema requerido.
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IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Al integrar respecto al desplazamiento del punto material la ecuación del movimiento F= m * a , obtenemos el Trabajo y la Energía. Ahora vamos a la integración de la ecuación del movimiento respecto al tiempo y no a la del desplazamiento; ello nos llevara a las ECUACIONES DE IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO , esto nos ayudara a resolver problemas en los cuales las fuerzas aplicadas actúan durante intervalos de tiempos cortos o intervalos de tiempo determinados.
Hay que considerar que este es un método básico útil para la solución de problemas que involucran movimiento de partículas. Este método se usa para resolver problemas que involucran fuerza, masa, velocidad y tiempo.
1) EL TIEMPO SOBRE EL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Siempre que se desee cambiar la cantidad de movimiento de un cuerpo, es necesario considerar la fuerza aplicada y el tiempo de su aplicación. Un ejemplo de esto sería cuando un beisbolista golpea una pelota con gran fuerza, para proporcionarle una cierta cantidad de movimiento pero, si desea obtener el máximo de la cantidad de movimiento, prolongará el tiempo de PARA LOGRAR UN MAYOR IMPULSO, contacto de la fuerza sobre la pelota. Una EL BEISBOLISTA PROLONGA SU BATAZO fuerza grande multiplicada por un tiempo EL MAYOR TIEMPO POSIBLE grande da por resultado un gran impulso, y éste a su vez, producirá un mayor cambio en la cantidad de movimiento de la pelota. DINAMICA - CASTOPE CAMACHO
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Siempre que se desee impartir el mayor impulso a un objeto, simplemente se aplica mayor fuerza y se prolonga tanto como sea posible, el tiempo de contacto. Supongamos ahora, que un auto se desplaza a alta velocidad y choca contra un muro de contención. Su gran cantidad de movimiento termina en un tiempo muy corto. Comprendemos que para detener rápidamente un objeto que posee una gran cantidad de movimiento, la fuerza aplicada debe ser muy grande. Podríamos comparar los resultados de un auto, que a alta velocidad choca contra un muro de concreto, con los resultados de otro auto que choca contra una montaña de arena. En ambos casos el cambio de cantidad de movimiento es el mismo. Sin embargo, los tiempos de impacto son distintos.
¿EN QUE CASO ES MAS GRANDE LA FUERZA DE IMPACTO?
Cuando el auto golpea el muro de concreto, el tiempo de impacto es corto, por lo que la fuerza de impacto promedio es enorme. En cambio, cuando golpea la montaña de arena la fuerza se prolonga por un tiempo mayor y en consecuencia ésta es considerablemente menor. Otro ejemplo sería, cuando un boxeador trata de reducir al mínimo la fuerza de impacto provocada por un puñetazo con gran cantidad de movimiento, la fuerza aplicada será menor si se prolonga el tiempo del impacto; esto es, el boxeador se hace hacia atrás mientras es golpeado. Si recibe el puñetazo al acercarse a su oponente, el tiempo de contacto se reduce, lo que ¿QUÉ EFECTO TIENE EL TIEMPO da por resultado una SOBRE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO? mayor fuerza.
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IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UNA PARTICULA Consideremos una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza F . La segunda ley de newton puede expresarse en la forma :
∑ ̇
Como la masa de la partícula no depende del tiempo, podemos introducirla en la derivada y tenemos:
o
(E1)
Donde multiplicando ambos lados por dt e integrando desde un instante inicial
t1 hasta un instante t2:
∫ ∫ ∫
(E2)
Donde el término de la izquierda se llama impulso lineal denotado por un I , y
mv es la cantidad de movimiento lineal denotado por un L . Este resultado es el principio del impulso y la cantidad de movimiento lineal. Por ello, la ecuación E2 dice que el impulso I durante un cierto intervalo de tiempo es igual al incremento de la cantidad de movimiento de la partícula durante ese intervalo de tiempo.
Figura 1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento
Como demostraremos mas adelante, el impulso de una fuerza se puede conocer aunque la propia fuerza no se conozca. Finalmente, se debe recordar que para producir un impulso, una fuerza solo necesita existir durante un intervalo de tiempo.
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Impulso de una Fuerza La integral
∫
recibe el nombre de impulso de la fuerza F. El impulso
es un vector cuyas dimensiones son fuerza-tiempo. En el sistema SI su módulo se expresa en N.s = Kg.m/s, que es la misma unidad que se utiliza en cantidad de movimiento lineal de una partícula. Si se utilizan unidades del U.S. Customary System, el impulso se expresa en lb.s= slug.ft/s, que también la unidad que se utiliza en la cantidad de movimiento. En general, la fuerza resultante F(t) = F(t)eF será un vector de modulo y dirección variables con el tiempo entre los instantes
F
en t1 y t2. Pero si la dirección eF de la fuerza no variara durante ese intervalo de tiempo podría sacarse de la integral. Entonces el valor de la integral ─ que representa el
t 1
modulo del impulso ─ es igual al área sombreado bajo la gráfica de F en función
t 2
Figura 2
del tiempo (fig. 2). Si también fuese constante el módulo de la fuerza, también se podría sacar de la integral y quedaría:
∫ ∫
(E3)
La ecuación E3 se utiliza también para definir la fuerza media en el tiempo
Fmed, que es la fuerza constante equivalente que
daría el mismo impulso con
la fuerza original variable con el tiempo
F
∫
(E4) Figura 3
Fuerza impulsadora y su valor medio
t t 1
t 2
El valor medio de la fuerza dado por a ecuación E4 (valor medio en el tiempo) suele ser diferente del valor medio calculado partir del trabajo efectuado por la fuerza (valor medio en la distancia). DINAMICA - CASTOPE CAMACHO
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Cuando el módulo y la dirección de la fuerza resultante F(t) varíen ambos durante el intervalo de tiempo, el cálculo de la integral del impulso deberá realizarse por componentes. Se prefiere utilizar componentes cartesianas rectangulares porque los vectores unitarios i, j y k no varían con el tiempo. Descomponiendo F en sus componentes rectangulares tenemos:
∫ ∫ ∫ ∫
Aun cuando el trabajo de una fuerza y el impulso de una fuerza sean integrales de una fuerza, son conceptos totalmente diferentes: 1. El trabajo de una fuerza es una magnitud escalar. El impulso es vectorial. 2. El trabajo de una fuerza es nulo si la fuerza no tiene componente según la dirección del desplazamiento. El impulso de una fuerza no es nunca nulo ni siquiera si está aplicada a un punto en reposo.
Cantidad de movimiento El vector m .v de las ecuaciones E1 y E2 se representa por el símbolo L y recibe el nombre de cantidad de movimiento de una partícula. Como m es un escalar positivo, los vectores cantidad de movimiento y velocidad del punto tendrán la misma dirección y sentido. El módulo de la cantidad de movimiento es igual al producto de la masa m por la celeridad v de una partícula. En el sistema SI, la . . unidad de cantidad de movimiento es el Kg m/s o, lo que es equivalente, N s. En el U.S. Customary system es el slug.ft/s o lb.s.
Teorema de la Cantidad de movimiento Tomando la ecuación E2 podemos despejar mv2 donde nos daría una ecuación de la siguiente manera:
∫
(E5)
Y a la vez sabiendo que m v es la cantidad de movimiento, representado por L , obtendremos:
∫
∫
La cantidad de movimiento final L 2 de una partícula es la suma vectorial de su cantidad de movimiento inicial L 1 más el impulso todas las fuerzas que se ejercen sobre dicho punto.
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dt de la resultante de
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A diferencia de la ecuación del teorema de las fuerzas vivas, que es una ecuación escalar, la ecuación E5 es una ecuación vectorial que representa tres ecuaciones escalares. Expresada en coordenadas cartesianas rectangulares, sus tres componentes escalares son:
Tengamos ahora en cuenta que el teorema de la cantidad de movimiento no constituye un principio nuevo. Es simplemente una combinación de la segunda ley de newton con los principios de la cinemática para el caso particular en que la fuerza sea función del tiempo. A pesar de todo resulta útil para obtener la velocidad del punto de una partícula cuando se conoce la fuerza en función del tiempo y no nos interesa la aceleración. Cuando varias fuerzas actúan sobre una partícula, debe considerarse impulso de cada una de las fuerzas. Se tiene:
el
∑
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IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS En la primera parte considerábamos las relaciones de impulso-cantidad de movimiento para una única partícula. Ahora queremos desarrollar las relaciones impulso-cantidad de movimiento para un sistema de partículas. En consecuencia, consideraremos un sistema de n partículas. Comenzaremos con la ley de Newton desarrollada anteriormente, pero esta vez para un sistema de partículas:
Como sabemos que las fuerzas internas se anulan entre sí, F debe ser la fuerza externa total que actúa sobre el sistema de n partículas. Multiplicando por dt, e integrando entre t1 y t2, escribimos que:
De esta forma, vemos que el impulso de la fuerza externa total que actúa sobre el sistema de partículas durante un intervalo de tiempo es igual a la suma de los incrementos de las cantidades de movimiento de las partículas durante ese intervalo de tiempo.
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EJERCICIOS EJERCICIOS TIPOS: 1. Un automóvil que pesa 4000 lb desciende por una pendiente de 5° a una rapidez de 60 mi/h cuando se aplican los frenos lo que provoca una fuerza de frenado total constante (aplicada por el camino sobre los neumáticos) de 1500 lb. Determine el tiempo que se requiere para que el automóvil se detenga.
Solución: Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento. Puesto que cada una de las fuerzas es constante en magnitud y dirección, cada impulso correspondiente es igual al producto de las fuerzas y al intervalo t.
∑ DINAMICA - CASTOPE CAMACHO
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2. Sobre la caja de 50 lb mostrada en la figura actúa una fuerza de magnitud variable P= (20t) lb, donde t esta en segundos. Determine la velocidad de la caja 2 s después que P a sido aplicada. La velocidad inicial es 3 pies/s hacia abajo por el plano, y el coeficiente de fricción cinética entre la caja y el plano es =0.3.
Solución :
Diagrama de cuerpo libre: Como la magnitud de la fuerza P=20t varia con el tiempo, el impulso que genera debe ser determinado integrando sobre el intervalo de tiempo 2 s.
Principio de impulso y cantidad de movimiento:
∑ La ecuación de equilibrio puede ser aplicada en la dirección y.
↖ + ∑
Remplazando
en
↙
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Rpta.
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3. Los bloques A y B mostrados en la figura tienen una masa de 3 y 5 kg, respectivamente. Si el sistema es liberado del reposo, determine la velocidad del bloque B en 6s. despreciar la masa de las poleas y las cuerdas
Solución :
Diagrama de cuerpo libre Como el peso de cada bloque es constante las tensiones en la cuerda también serán constantes.
Principio del impulso y cantidad de movimiento. Bloque A:
∑ ∫ ∑ ∫ (+↓)
Bloque B: (+↓)
Despejando T de la ecuación
Remplazando en
T
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4. Un camión de 27 kN se está moviendo con una velocidad de 30 m/s. El conductor pisa de repente los frenos en el instante t=0, de forma que bloquea sus ruedas. La carga A de 9 kN de peso rompe sus soportes y en el instante t=4s se esta deslizando respecto al camión con una velocidad de 0.9 m/s. ¿Cuál será la velocidad del camión en ese instante? Tomar entre los neumáticos y el pavimento como 0.4
Como no sabemos la naturaleza de las Fuerzas entre el camión y la carga A mientras se están rompiendo los soportes, lo más fácil es considerar el sistema de dos partículas formado por el camión y las cargas de forma que las fuerzas mencionadas se conviertan en internas y no será necesario considerarlas.
Reemplazando:
Nótese que la primera Cantidad entre los corchetes del lado derecho de la ecuación (a) es la Cantidad de Movimiento del camión para t=4s, y la segunda Cantidad de Movimiento dentro de los mismos corchetes es la Cantidad de Movimiento de la carga en ese instante. Podemos despejar fácilmente:
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EJERCICIOS APL ICATIVO:
1. La velocidad de una partícula de 1.2 Kg esta dado por donde V esta en metros por segundo y el tiempo t esta en segundos. Hallar la cantidad de movimiento L de la partícula, su modulo L y la fuerza total que actúa sobre la partícula cuando t = 2s.
Solución:
||√ ̇ ̇ m
v
L
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2. La fuerza P, que varia linealmente con el tiempo tal como se representa, se aplica al bloque de 10 Kg inicialmente en reposo. Si los coeficientes de rozamiento estático y dinámico valen 0.6 y 0.4 respectivamente, hallar la velocidad del bloque para t=4s. Solución:
N
Del grafico: P= 25t. Haciendo el diagrama de cuerpo libre:
F=m.g.
⇒ ∫ DINAMICA - CASTOPE CAMACHO
P
mg
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3. En el instante t=2.2s la cantidad de movimiento total de un sistema de 5 partículas esta dado por . En el instante t=2.4s, la cantidad de movimiento a cambiado kg.m/s. Calcular el modulo F del valor medio temporal de la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema durante el intervalo.
Solución:
∫ || .
Δt=0.2s
→ F(Δt)=
-
Reemplazando:
F
2.92 N
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EJERCICIOS A RESOLVER: 1. El cohete de la figura viaja en línea recta hacia arriba cuando repentinamente empieza a girar en sentido anti horario a 0.25 rev./s, y es destruido 2s después. Su masa es m=90 Mg, su empuje es T=1.0 MN y su velocidad hacia arriba cuando empieza a girar es de 10 m/s. Si se ignoran las Fuerzas Aerodinámicas, ¿Cuál era su velocidad al ser destruido? Solución :
La velocidad angular del cuete es /2. Con T=0, Como el tiempo en que empieza a girar, el ángulo entre su eje y la vertical es ( /2) T. La fuerza total sobre el cohete
∑ ∑ * + [ ] De modo que el impulso entre t=0 y t=2s es:
Del principio de impulso y cantidad de movimiento,
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2. El bloque A pesa 10 lb y el bloque B 3 lb. Si B se está moviendo hacia abajo con velocidad (VB) I=3 pies/s en t =0, determine la velocidad de a cuando t=15, suponga que el plano horizontal es lizo o desprecie la masa de poleas y cuerdas.
Solución:
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3. Sobre una partícula inicialmente en reposo actúa una Fuerza cuya variación en el tiempo se muestra gráficamente en la figura. Si la partícula tiene una masa de 15 kg y está obligada a moverse según una recta de la Fuerza, ¿Cuál será su velocidad después de 15s?
A partir de la definición del impulso, el área bajo la curva fuerza-tiempo será, en un ejemplo unidimensional, igual al modulo del impulso. De esta forma, calculamos simplemente esta área entre los instantes t=0 y t=15 s; Impulso =
Area1
area 2
De esta forma, la velocidad final viene dada como:
()
Por tanto:
= 41.7 m/s.
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CONCLUSIONES
En conclusión “los teoremas de la cantidad de movimiento y el impulso dan integrales de las ecuaciones del movimiento respecto al tiempo, son especialmente útiles para resolver problemas en los que hay que relacionar las velocidades de una partícula y un sistema de partículas en dos instantes diferentes, pudiéndose expresar las fuerzas en función del tiempo. La cantidad de movimiento de un sistema de puntos materiales, es el producto de su masa por la velocidad, por lo tanto, el teorema de la cantidad de movimiento expresado por la ecuación conocida puede aplicarse tanto a un sistema de puntos materiales independientes en interacción”.
Podemos decir que el impulso y la cantidad de movimiento pertenecen al mismo principio, el cual es la segunda ley de newton, por lo cual no presenta una gran diferencia.
Nos ayuda, este tema, para nuestros cursos en adelante que tendremos a lo largo de nuestra carrera y así mejorar nuestro estudio.
Determinamos que este tema nos ayuda mucho en el campo de la ingeniería civil para determinar más rápido problemas que intervengan fuerzas, masa, velocidad con un intervalo de tiempo en nuestros campos de trabajo.
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BIBLIOGRAFÍA
BEER JHONSON (dinámica vectorial), Edición 9°-2008 IRVINGH CHAIMES (dinámica vectorial), Edición 4°-2003 HIBBELER, R.C (Mecánica vectorial para ingenieros), Edición 4°-2004 J.L. MERIAM (Mecánica para ingenieros) ,Edición 3°-2007 WILLIAM RILEY (Ingeniería Mecánica) BEDFORD ANTHONY (Mecánica para ingenieros), Edición1°-2010
LINKOGRAFÍA
http://4.bp.blogspot.com/_OTFeVxov1wI/TLu_o9l09iI/AAAAAAAAADA/Rf x5s6rF_O8/s1600/DINAMICA+-+CANTIDAD+DE+MOVIMIENTO.GIF http://laboralfq.files.wordpress.com/2011/02/impulso-cantidad-demovimiento.pdf http://www.monografias.com/trabajos-pdf/movimiento-lineal problemas/movimiento-lineal-problemas.pdf http://www.conevyt.org.mx/bachillerato/material_bachilleres/cb6/5sempdf /fimo1pdf/fimo1_fasc2.pdf
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