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DINAMICA IC-244 SOLUCIONARIO DINAMICA POR WILLIAM .F RILEY: TEMA:CANTIDAD DE MOVIENTO CAPITULO 19-18 A 19-36
Integrantes: ARAUJO MORALES, Yover GAMBOA PERALTA, Eder TORRES PEREZ, WALTER GIL GUILLEN,Ruben Dario 12 de octubre del 2014
1
DEDICADO A...
Los que en los momentos mas dificiles aun siguen confiando en nosotros,NUESTRA FAMILIA .
2
Parte I Resolucion de ejercicios
3
0.1. 0.1.
prob proble lema ma 19 19-1 -18 8
En cierto instante, la posici´on on y velocidad de tres puntos materiales vienen dadas por: Dado Punto material 2-4 1 2 3 m,Kg 1 2 3 3 8 5 x, m y, m 4 3 7 vx ,m/s 10 0 -2 vy ,m/s -5 5 3 Hallar la situaci´on on y la velocidad del centro de masa en ese instante ´ SOLUCION
Halando la situaci´on on del centro de masa
mr m 13 + 4 + 28 + 3 + 35 + 7 = 1+2+3 34 31 17 = + = +4 6 6 3 =5, =5,66 + 5, 5,16
rCM =
CM = Hallando la velocidad del centro de masa: M T T V CM
mv = V G m 110 5 + 20 + 5 + 3 2 + 3 = 1+2+3 4 + 14 = 6 2 7 = + 1 = 0,667 + 2, 2,333 3 3
V CM CM =
−
−
4
mV
0.2. 0.2.
prob proble lema ma 19 19-1 -19 9
En cierto instante el centro de masa de tres puntos materiales de masas 3Kg, 5Kg y 1Kg. Respectivamen Respectivamente, te, se encuentran encuentran en r G = 8ˆi + 5 jˆ + 3kˆ m. y tiene una velocidad dada por V G = 5ˆi 12kˆ m/s. en ese instante el punto material de 3Kg tiene la posici´ on r 3 = 5ˆi m. Y m. Y la velocidad v 3 = 3ˆi + 8kˆ m/s, m/s, mientras que el punto material de 1Kg tiene la posici´ on r 1 = 8 jˆ + 3kˆ m y la velocidad v 1 = 3ˆi 3 jˆ m/s. m/s. Determinar la posici´ on y velocidad del punto material de 5Kg en ese instante.
→ −
−→
−→
−→
− −→
−→
´ SOLUCION
Dato mG
m3
−→ −→ −→ −→
r G = 8ˆi + 5 j + jˆ + 3kˆ V G = 5ˆi 12kˆ
−
r G = 8ˆi + 5 j + jˆ + 3kˆ V G = 5ˆi 12kˆ
m1
−
c = 8 j + jˆ + 3kˆ v 1 = 3ˆi 3 jˆ
−→
−
−→r 5 =?? −→v 5 =??
5
−
Velocidad del centro de masa
−→ V
G =
−→ V
−→
−→
mi v i mi
−→
−→
m3 v 3 + m + m5 v 5 + m + m1 v 1 G = m3 + m + m5 + m + m1
Reemplazando: 5ˆi
−
12ˆi ˆ 12k =
→v 5 jˆ + 24 2 4kˆ + 5 − − 3 j + 9
−→v 5 = 33ˆi + 1 jˆ − 132 kˆ 9
3
9
Posici´ on del centro de masa:
−→r
G
=
−→
−→
mi r i mi
−→
−→
m3 r 3 + m + m5 r 5 + m + m1 r 1 G = m3 + m + m5 + m + m1
−→r Reemplazando:
−→
15ˆi + 8 j + jˆ + 3kˆ + 5 r 5 ˆ ˆ ˆ 8i + 5 j + j + 3 k = 9 24 −→r 5 = 57ˆi + 37 j + jˆ + kˆ 5
6
5
5
0.3. 0.3.
prob proble lema ma 19 19-2 -20 0
Un trineo de 25 Kg est´ a desliz´ andose por una superficie horizontal llana y exenta se rozamiento con una celeridad de 5m/s, m/s, cuando un hombre de 60 Kg se sube a el de un salto. Si la velocidad inicial del hombre era de 2m/s perpendicularmente al movimiento del trineo. Determinar la velocidad final del trineo con el hombre.
´ SOLUCION
Datos: mA = 25 K g
−→ V
Ai
= 5ˆim/s
mB = 60 K g
−→ V
Bi
=
ˆ −2km/s
−→ V =??
Aplicando la ecuacion de conservacion de movimiento, en el eje x
−→ L
ix
−→
= L f x
−→
−→
∗
∗
−→
mA V Ai + m + mB V Bi = (mA+mB ) V Reemplazando: (25)
5ˆi + (60) (0) = (25 + 60)
−→ V = 1,47ˆim/s 7
V ∗ −→
0.4. 0.4.
prob proble lema ma 19 19-2 -21 1
Dos autom´ oviles chocan en un cruce, seg´ un se indica en la figura. El auto A pesa 11 KN y tiene una celeridad inicial de VA= 24 Km/h , mientras que el auto B pesa 17,5 KN y tiene una celeridad inicial VB = 40Km/h. Si los autos quedan enganchados y se mueven conjuntamente conjuntamente despu´es es del choque, determinar su celeridad Vf y direcci´ on ? despu´es es de dicho choque..
´ SOLUCION
DATOS
8
mA = µK = µK N vA = 254Km/h 254Km/h mB = 17, 17,5K N vB = 40KN/h 40KN/h ´ SOLUCION
Por condici´ condicion o´n Ec. cantidad de movimiento mAvA + m + mB vB =
mvf
mA vA + m + mB vB = m A + m + mB vf cos θ + sen θ
= m A + m + mB vf cos θ mA vA = m
(1)
+ mB vf sen θ mB vB = m A + m
(2)
En 1 11K 11K N 24Km/h 24Km/h = =
28, 28,5K N vf cos θ x
⇐⇒ v
f
=
9,263 cos θ
En 2 9,263 17, 17,5K N 40Km/h 40Km/h = = 28, 28,3K N sen θ cos θ θ = 69, 69,34
0.5. 0.5.
◦
⇐⇒ 2,6516 = tan θ
vf = 26, 26,25Km/h 25Km/h
prob proble lema ma 19 19-2 -22 2
Dos autom´ oviles chocan en un cruce, seg´ un se indica en la figura. El auto 25 km/h,, A tiene una masa de 1000 Kg y una velocidad inicial de V A = 25 km/h mientras que el auto B tiene una masa de 1500 Kg. Si los autos quedan enganchados y se mueven conjuntamente en la direcci´ on dada por el anguloθ ´ anguloθ=30 despu´es es del choque, determinar determi nar la celeridad celeri dad V B que llevaba el auto B inmediatamente antes de chocar. ◦
9
´ SOLUCION
Datos: mA = 1000 K g
−→ V
A
= 6,94ˆim/s
mB = 1500 K g
−→ V
B
=??
θ = 30
10
◦
Aplicando la ecuaci´ on de la conservaci´ on de cantidad de movimiento, en el eje x: L ix = L f x
−→
mA V Ai + m + mB
−→ −→ V
−→
Bi
−→
= (mA+ mB ) V cos30 cos30
◦
Reemplazando: (1000)
∗
6,94ˆi + (1500) (0) = (2500)
∗
−→ V = 3,21ˆi(m/s) m/s) −→ 3.21tag (30 )=1.85 jˆ = V
∗ −→ V cos30 cos30
◦
x ◦
y
= 1,85 jˆ
θ = 30
−→V = 3,21ˆi(m/s) m/s) x x
Aplicando la ecuaci´ on de la conservaci´ on de cantidad de movimiento, en el eje Y: L iy = L f y mA
−→ −→ −→ −→ V + m + m V = (m Ai
B
Bi
A+
−→
mB ) V y
Reemplazando: (1000) (0) + (1500)
∗
−→ V
B
∗ −→
V B = (2500) (1, (1,85 j) jˆ)
= 3,08 j( jˆ(m/s) m/s)
11
∗
0.6. 0.6.
prob proble lema ma 19 19-2 -23 3
.- Un punto material que pesa 10N se desliza por una superficie horizontal, llena y exenta de rozamiento con una celeridad de vi=3m/s, seg´ un se indica en la figura P19-23.Cuando el punto se halla a 6 m de la pared, explota y se rompe en dos partes iguales. Una de ellas choca contra la pared en YA=1.5m mientras la otra lo hace en YB=3m.Determinar: El impulso que se ejerce sobre la parte A en la explosi´ on. La velocidad V A/B de la parte A relativa a la parte B inmediatamente inmediatamente despu´es es de la explosi´ on. La diferencia de tiempos entre el choque de A con la pared y el de B .
´ SOLUCION
M A + M + M B = 1
mvi = m = m A mB + m + mB vB
mAvA = m = m A vA cos θ + v + vA sen θ mB vB = m B vB cos θ
−v
B
sen θ
+ vA 0,24 mAvA = m A vA 0,97 + v mB vB = m B vB 0,89 12
−v
B
0,48
(3)
igualando en 11 mA + m + mB 3 = m A vA 0,97 + 0, 0,24 + m + mB vB 0,89
− 0,48
253 = m = m A vA 0,97 + m + mB vB 0,89
(4)
mA vA 0,24 + m + mB vB 0,48 = 0
(5)
mA vA = 2mB vB
(6)
−
reemplazando la ecuaci´ on o n 14 en 12 mB vB = 26, 26,50, 50,
mA vA = 53
0,583 mAvA = 2,056 + 0,
mB vB = 0,94
0.7. 0.7.
− 0,508
prob proble lema ma 19 19-2 -24 4
. .- Un punto material que pesa 5Kg se desliza por una superficie llana, horizontal y exenta de rozamiento a vi=4m/s, seg´ un se indica en la figura P19-23.Cuando se halla a 10 m de la pared, explota y se rompe en dos partes de masas MA=3Kg y MB=2Kg. Si la parte de 3Kg llega a la pared 3s despu´es es de la explosi´ explos i´ on en YA=7.5m, determinar : El impulso ejercido sobre A por la explosi´ on. La velocidad V A/B de la parte A relativa a la B inmediatamente inmediatamen te despu´es es de la explosi´ explos i´ on. La posici´ on YB a que choca B con la pared. La diferencia de tiempos entre el choque de A con la pared y el de B. .
13
´ SOLUCI ON
M A + M + M B = 5
mvi = m = m A mB + m + mB vB
(7)
mAvA = m = m A vA cos θ + v + vA sen θ mB vB = m B vB cos θ
−v
B
sen θ
mAvA = m A vA 0,97 + v + vA 0,24 mB vB = m B vB 0,89
−v
B
0,48
igualando en 11
mA + m + mB 3 = m A vA 0,97 + 0, 0,24 + m + mB vB 0,89
− 0,48
253 = m = m A vA 0,77 + m + mB vB 0,699
(8)
mA vA 0,24 + m + mB vB 0,48 = 0
(9)
−
14
mA vA = 2mB vB
(10)
reemplazando la ecuaci´ on 14 en 12 mB vB = 26, 26,50, 50,
mA vA = 53
mAvA = 2,0 + 7, 7 ,5
0.8. 0.8.
prob proble lema ma 19 19-2 -25 5
. .- Un punto material que pesa 25N se desliza por una superficie horizontal llana y exenta de rozamiento a Vi= 3m/s, seg´ un se indica en la figura. Cuando el punto material se halla a 6 m de la pared, explota y se rompe en dos. Una parte, de masa mA alcanza la pared en YA= 1.5m, mientras la otra, de masa mB lo hace en YB= 3m. Si las dos partes llegan simult´ aneamente a la pared, determinar: a. Las masas mA y mB de las dos partes. b. El impulso ejercido sobre A por la explosi´ on. c. La velocidad V A/B de la parte parte A relativ relativaa a la B inmediatam inmediatamente ente despu´es es de la explosi´ explosi´ on. .
´ SOLUCI ON
15
19,25
M A + M + M B = 25
mvi = m = m A mB + m + mB vB
(11)
´ SOLUCI ON
mAvA = m = m A vA cos θ + v + vA sen θ mB vB = m B vB cos θ
−v
B
sen θ
mAvA = m A vA 0,97 + v + vA 0,24 mB vB = m B vB 0,89
−v
B
0,48
igualando en 11 mA + m + mB 3 = m A vA 0,97 + 0, 0,24 + m + mB vB 0,89
− 0,48
253 = m = m A vA 0,97 + m + mB vB 0,89
(12)
mA vA 0,24 + m + mB vB 0,48 = 0
(13)
−
mA vA = 2mB vB
16
(14)
reemplazando la ecuaci´ on 14 en 12 mB vB = 26, 26,50, 50,
mA vA = 53
mAvA = 51, 51,41 + 12, 12,72
mB vB = 23, 23,59
17
12,72 − 12,
0.9. 0.9.
prob proble lema ma 19 19-2 -26 6
. Se dispara una granada de 5 kg con una velocidad inicial Vo= 125 m/s y angulo=75 , seg´ un se indica en la figura. En el punto m´ as alto de su trayectoria, la granada explota y se rompe en dos. Un fragmento de 2 kg llega al suelo en x= 50 m ; y= 350 m cuando t= 25 s. Determinar: a. Cuando y donde llega al suelo el fragmento de 3 Kg. b. El impulso ejercido sobre el fragmento de 2 Kg por la explosi´ on. c. El modulo medio Fmed de la fuerza explosiva si la duraci´ on de la explosi´ on es ?t= 0.003 s . ◦
´ SOLUCI ON
125m/s,, mT = 5kg, kg , θ = 75 , m1 + m + m2 = 5kg t = 25s 25s, datos v0 = 125m/s ◦
Fuerza que act´ ua en la gravedad Movimiento centro masa ag = vG = v 0 cos θ + v + v0 sen θ
81m/s2 , −9,81m/s
81tm/s = = − 9,81tm/s
38, 38,82t 82t + 120, 120,74t 74t
rG = 38, 38,82t 82t + 120, 120,74t 74t En el punto mas alto
905t2 m − 4,905t
dz g =0 dt
120,74 − 9,81t 81t = 0 ⇐⇒ 120,
12,31s 31s instante de la explosion entonces t = 12, x = 0, y = 477, 477,87, 87, z = = 743, 743,02 18
81t2 m/s, − 9,81t
Despu´ Despu´es es de la explosion explosion en la masa m1 = 2kg act´ ua la gravedad solo. Ec. movimiento centro masa ag = 9,81m/s 81m/s2 , v1 = v1x + v 1y + v1z 9,81t 81t2 12, 12,31
−
−
−
Posiciones: x1 = v1x t2 12, 12,31, 31, y1 = 477 477,87 + v1y t2 9,81 2 743, 743,02 + v + v1z t 12, 12,31 t 12, 12,31 2
−
25s Para t2 = 25s v1x =
50 25−12,31
−
−
−
= 3,94m/s 94m/s,, v1y =
12,31, 31, − 12,
z 1 =
10,08m/s 08m/s,, v1 z =-45.48m/s =-45.48m/s −10,
Ec. cantidad de movimiento durante el movimiento 538, 538,82 + 59, 59,810, 810,003 = 23, 23,94 + 10, 10,08
45,48 + 3v 3v2 − 45,
entonces v2 =
71,42 + 45, 45,33m/s 33m/s −2,63 + 71,
Despu´ es es de la explosion fuerza ejercida en m2 = 3K g ; despu´es es de la 2 explosion es la gravedad a2 = 9,81m/s 81m/s
−
v2 =
71,42 + 45, 45,33 − 9,81t 81t3 − 12, 12,31 −2,63 + 71,
Posiciones x2 = 2,63t 63t3 12, 12,31, 31, y2 = 477, 477,87 + 71, 71,42t 42t 12, 12,31, 31, 9,81 2 z 2 = 743, 743,02 45, 45,33t 33t3 12, 12,31 t 12, 12,31 . 2 3
−
− −
−
−
−
−
Por condici´ on: Cuando el material m2 = 20N 20N llega al suelo z 2 = 0 t = 30, 30,07s 07s entonces x2 = 46, 46,71m 71m, y2 = 1746, 1746,30m 30m
−
Fuerza media en m1 = 2K g mvG = mv = mv G 238, 238,82 + F + F 00,003 = 23, 23,94
10,08 − 45, 45,48 − 10,
entonces F med 2626,7 med = 2626,
− 32600 − 30320 ⇐⇒ F
med med
19
= 44597, 44597,8N
Impulso I = m 2vf
− m
I = m 2v2
− m2v0
I = 2 2,63 + 71, 71,42 + 45, 45,33
−
I =
0.10 0.10..
v
T 0
− 238, 238,82 + 120, 120,74
65,20 − 150, 150,82 −526 + 65,
prob proble lema ma 19 19-2 -27 7
Se dispara una granada de peso 50 N con una velocidad inicial Vo= 135 m/s y angulo=50 , seg´ un se indica en la figura. Cuando t= 5 s, la granada explota y se rompe en dos. Un fragmento de 30 N de peso llega al suelo en x= 300 m ; y= 2100 m cuando t= 25 s. Determinar: a. Cuando y donde llega al suelo el fragmento de 20 N. b. El impulso ejercido sobre el fragmento de 30 N por la explosi´ on. c. El modulo medio Fmed de la fuerza explosiva si la duraci´ on de la explosi´ on es ?t= 0.001 s . ◦
´ SOLUCI ON
20
135m/s,, t2 = 25 llega 25 llega al suelo m1 , t1 = 5s (tiempo de explosion) dato v0 = 135m/s t2 = 5s (explosion trayectoria mas alta) En m1 = 30N 30N (movimiento (movimiento centro entro masa) ag = v0 cos θ + v 0 sen θ 9,81tm/s 81tm/s = 86, 86,78t 78t + 103, 103,41t 41t 9,81 2 86, 86,78t 78t + 103, 103,41t 41t tm 2 Para t1 = 05s 05s
− −
−9,81m/s 81m/s2 , v 81t2 m/s, m/s, γ − 9,81t
G G
= =
x = 0, y = 433, 433,9, z = = 364, 364,43 Despu´es es de la explosion explos ion 81m/s2 , v1 = −9,81m/s
Ec. movimiento del centro de masa m1 = 30N 30N ag = v1x + v + v1y + v + v1z 9,81t 81t2 5
−
− v1 t2 − 5,
Posiciones: x1 = v1z t 5 9,281 t 52
− −
Para t2 = 25s 25s
−
x
y1 = 433, 433,9 + v1y t2
− 5,
z 1 = 394, 394,43 +
v1x = 15m/s 15m/s,, v1y = 83, 83,31m/s 31m/s v1z = 78, 78,38m/s 38m/s Ec. cantidad de movimiento impulso en ma = 30N 30N 5086, 5086,78 + 509, 509,810, 810,001 = 3015 + 83, 83,31 + 78, 78,38 + 20v 20v2 entonces v2 =
22,5 + 91, 91,98 − 117, 117,59 −22,
Despu´es es de d e la explosion explos ion fuerza f uerza ejercida en m m 2 = 20N 20N ;; a 2 = v2
22,5 + 91, 91,98 − 117, 117,59 + 9, 9,81t 81t3 − 5 − 22,
Posiciones 21
81m/s2 −9,81m/s
x2 = 22, 22,5t3 z 2 = 394, 394,43
−
− 5, y2 = 433, 433,9 + 91, 91,98t 98t − 5, 9 81 117,59t 59t3 − 5 − 2 t3 − 5. − 117, ,
Por condici´ on: Cuando el material m2 = 20N 20N llega al suelo z 2 = 0 t3 = 7,98s 98s entonces x2 = 67, 67,05, 05, y2 = 7,8
−
Fuerza media en m1 = 30N 30N mvG inicial = mvG final 3086, 3086,78 + F + F 00,001 = 3015 + 83, 83,31 + 78, 78,38 entonces F med med = 450000
2396K N − 104100 + 2351400 ⇐⇒ F = 2396K I = m 1 V 1 − m1 V 1 I = = 3015 + 83, 83,31 + 78, 78,38 − 3086, 3086,78 + 103, 103,41 I = = 450 − 104, 104,1 − 750, 750,9 med med
El impulso de m1 = 30N 30N
0.11 0.11..
prob proble lema ma 19 19-2 -28 8
Una caja A de 10 Kg desciende por una rampa exenta de rozamiento (θ = 250 ) y choca contra una caja B de 5 Kg unida a un resorte de rigidez (k = 8500N/m 8500N/m)). A consecuencia del choque ambas cajas quedan unidas y se deslizan conjuntamente. Si la caja A a partido del reposo siendo d = 5m, determinar: . d espu´ es es del choque. choque. a . las velocidades de las cajas inmediatamente despu´ b . la m´ axima compresi´ on que sufrir´ a el resorte durante durante el movimiento resultante. c. la aceleraci´ on de las cajas en le instante de m´ axima compresi´ on.
22
Soluci´ on:
Dato: mA = 10 K g mB = 5 K g θ = 25
◦
velocidad de A antes de llegar al choque.
−→
f x = m = m A a A
Reemplazando:
−→
mA gsin25 gsin25 = m A a A ◦
−→a −→a −→ V
2 fA
−→
2
−→ −→ V
A
= 9,81 sin25 sin25
A
= 4,14ˆi(m/s2 )
∗
◦
= V iA + 2 a A d reemplazando: 2 fA
=0+2
−→ V
fA
∗ ∗ 1,14ˆi
= 6,43ˆi(m/s2 )
23
(5)
en el momento del choque aplicamos la ecuaci´ on de conservaci´ on de movimiento: L i = L f mA
−→ V
−→ −→ −→ −→ V + m + m V = (m
Bi
fA
B
Bi
A
−→
+ m + mB ) V
= 0 (se encuentra en reposo) reposo)
Reemplazando: (10) (6, (6,43) + (5) (0) = (10 + 5)
∗
∗
V ∗ −→
−→ V = 4,28ˆi(m/s) m/s) (Velocidad del sistema) (a)
Como no act´ uan fuerzas exteriores, entonces aplicamos el teorema de la conservaci´ on de energ´ energ´ıa entre los puntos 1 y 2. = E 2 E 1 = E 2 1 1 (mA + m + mB ) gh + gh + (m (mA + m + mB ) V = kx 2 2 2
−→
24
Reemplazando: (15) (9, (9,81)
∗
∗
1 1 xsin25 xsin250 + (15) (4, (4,28)2 = (8500)x (8500)x2 2 2
x1 =
∗
−0,17
x1 = 0,19m 19m
hallamos la aceleraci´ on cuando los bloques A y B est´ an detenidos
−→ V
2 f (A+B )
−→
2
−→
= V i(A+B) + 2 a ( A+B) x
−→ V
2 f (A+B )
Reemplazando:
=0
−→
0 = 4,282 + 2 a (0, (0,19)
−→a = −105, 105,28(m/s 28(m/s2 ) 0.12 0.12..
prob proble lema ma 19 19-2 -29 9
la caja A, que pesa 125N, desciende por una rampa ( rampa (θ = 250) y choca contra otra caja de peso 50N que esta unida a un resorte de (k = 2kN/m) kN/m). A consecuencia del choque ambas cajas quedan unidas y se deslizan conjuntamente por una superficie rugosa de (u = 0,4) Si 4) Si la caja A a partido del reposo siendo d = 6m, determinar: a. las velocidades de las cajas inmediatamente despu´ d espu´ es es del choque. b. la m´ axima compresi´ on que sufrir´ a el resorte durante durante el movimiento resultante.
25
c. la aceleraci´ on de las cajas en le instante de m´ axima compresi´ on.
Soluci´ on:
velocidad de A antes de llegar al choque.
Reemplazando:
−→
f x = m = m A a A
− f = m −→a →a 125sin 125sin25 250 − uN = m − −→a = 0,06ˆi(m/s2) 2 −→ −→ 2 + 2−→a d V = V 125sin 125sin25 250
r
A
A
A
fA
iA
26
A
A A
reemplazando:
−→ V
2 fA
=0+2
−→ V
fA
∗ ∗ 0,06ˆi
(6)
= 0,85ˆi(m/s) m/s)
en el momento del choque aplicamos la ecuaci´ on de conservaci´ on de movimiento: L i = L f mA
−→ V
Bi
−→ −→ −→ −→ V + m + m V = (m fA
B
Bi
A
−→
+ m + mB ) V
= 0 (se encuentra en reposo) reposo)
Reemplazando: (12, (12,74) (0, (0,85) + (5, (5,1) (0) = (12, (12,74 + 5, 5,1)
∗
∗
V ∗ −→
−→ V = 0,6ˆi(m/s) m/s) (Velocidad del sistema) (a) Como existen existen fuerzas fuerzas exterior exteriores, es, entonc entonces aplicamos aplicamos el teor teorema ema del trabajo trabajo y energ´ energ´ıa entre los puntos 1 y 2.
wf r = E = E 2 1 1 ( m −fr.x = fr.x = kx 2 − (m 2 2
A
− E 1 −→2 (m + m + m ) V + (m B
A
+ m + mB ) gh
Reemplazando: 1 1 45,31x 31x = (2000) x2 − (17, (17 ,84) ∗ (0, (0,61)2 − (17, (17,84) ∗ (9, (9,81) −45, 2 2
27
xsin25 xsin250
x1 =
−4,50 ∗ 10
−
2
m
x2 = 7,37 10 2 m (Se toma el positivo)
∗
−
hallamos la aceleraci´ on cuando los bloques A y B est´ an detenidos (en el punto 2)
−→ V
2
f (A+B )
−→ −→ V
2
−→
= V i(A+B) + 2 a ( A+B) x 2
f (A+B )
Reemplazando:
=0
−→
0 = 0,62 + 2 a (7, (7,37 10 2 )
∗
−
−→a = −2,44(m/s 44(m/s2) 0.13 0.13..
prob proble lema ma 19 19-3 -30 0
Un bloque de madera de 0.4 Kg esta en reposo sobre una superficie horizontal rugosa (UK=0.3) y recibe el impacto de una bala de 0.03 Kg que lleva una velocidad inicial Vi=100m/s (fig-30).En el choque, la bala queda incrustada en la madera, Determinar: a. La celeridad del conjunto bloque-bala bloque-bala inme i nmediatamente diatamente despu´es es del choque. b. La distancia di stancia que recorrer´ a el bloque antes de detenerse
Soluci´ on
a
veP 0 = veP v eP f f mb = masadelabala mm = masadelamadera mb v0 + m + mm v0 = m b + m + mm vf 28
reemplazando los datos 1000, 1000,03 = 0, 0,43v 43vf donde vf velocidad de la bala vf = 6,977m/s 977m/s DC L desp d espu´ u´es es del choque b DCL
f r µN m = m = m b + m + mm m0 = masa del bloque-bala m0 = velocidad inicial de la madera mas velocidad inicial de la bala
F x = m = m b + m + mm a
−f
F y = 0
x
= m b + m + mm a
⇐⇒ N = mg ⇐⇒ ⇐⇒ N = 0,43 − 9,81 − m + m N − + m g = 0 b
(15)
m
N = m b + m + mm g
f r = N µk
(16)
(17)
(18)
17 y 16 en 15 + m g = m = m + m + m −µ m + m = a −µ g = a k
b
m
b
k
vf = v 02 + 2ax v02 = 2µk x
48, 48,678 = 2µ 2µk gx reemplazando datos x = 8,27 29
m
a
0.14 0.14..
prob proble lema ma 19 19-3 -31 1
un bloque de madera de peso 5N est´ a en reposo sobre una superficie horizontal horizontal rugosa ( rugosa (u = 0,25) y 25) y recibe el impacto de una bala de 7 g, en el choque la bala queda incrustada en el bloque. Sin el bloque se desliza 7.5 m antes de detenerse, determinar:
Soluci´ on:
en el momento del choque aplicamos la ecuaci´ on de conservaci´ on de movimiento: L i = L f mA
−→ −→ −→ −→ V + m + m V = (m
−→ V
= 0 (se encuentra en reposo) reposo)
A
A
B
B
A
−→
+ m + mB ) V
Reemplazando: (0, (0,51) (0) + (0, (0,007)
∗
30
∗ −→
V B = (0, (0,517)
V ∗ −→
(0, (0,007)
∗ −→
∗−→ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
V B = (0, (0,517) V
(19)
−→ V = 0,6ˆi(m/s) m/s) (Velocidad del sistema) (a) Como existen existen fuerzas fuerzas exterior exteriores, es, entonc entonces aplicamos aplicamos el teor teorema ema del trabajo trabajo y energ´ energ´ıa entre los puntos 1 y 2. wf r = E = E 2
− E 1
1 −fr.d = fr.d = 0 − (m (m 2
A
−→2
+ m + mB ) V
Reemplazando:
−→2 (0 ,517) V −0,25 ∗ 7,5 = 21 (0, −→ V = 2,69(m/s 69(m/s)) − − − − − − − − − − − − − − − −
(20)
(2) en (1)
−→ V
B
0.15 0.15..
= 198, 198,68(m/s 68(m/s))
prob proble lema ma 19 19-3 -32 2
Un bloque de madera de 0.3Kg esta unido a un resorte de K=7500N/m(fig-32).El bloque esta en reposo sobre una superficie horizontal rugosa (UK=0.4)y recibe el impacto de una bala de 0.030kg que lleva una velocidad inicial Vi=150m/s. En el choque, la bala queda incrustada en la madera. Determinar: a. La celeridad del conjunto bloque-bala inmediatamente inmediatamente despu´es es del choque. b. La distancia que recorr recorrer´ er´ a el bloque antes de detenerse. : Soluci´ on:
31
a Datos
k = 7500 µk = 0,40 v mb = 0,030 0 = P f f P mb v0 + m + mm vm = m = m b + m + mm vf 0,030150 = 0, 0,030 + 0, 0,30v 30vf 4,50 = 0, 0,33v 33vf vf = 13, 13,636m/s 636m/s
b
N = mg
(21)
m = m = m b + m + mm f r = µ k N = µ k mb + m + mm g luego W = ∆EM aplicando y reemplsazndo ecuaciones
−f ∆x = 21 nv2 + 21 k∆x2 − 12 mv02 − 12 k∆x2 r
f
−f ∆x = 21 k∆x2 − 12 mv02 r
32
(22)
−N µ ∆x = 21 ∆x2 − 12 mv02 2370,4∆x 4∆x = 0,2∆x 2∆x2 − 30, 30,693 −3,2370, 3,750∆x 750∆x2 + 1, 1,294∆x 294∆x2 − 30, 30,693 = 0 √ b ± b2 − 4ac − x = k
2a x = 0,9029 0,903
∼
0.16 0.16..
prob proble lema ma 19 19-3 -33 3
Un bloque de madera de 0.340kg esta unido a un resorte de K=1000N/m (fig19-32). El bloque esta en reposo sobre una superficie horizontal rugosa (UK=0.35) y el resorte indeformado cuando recibe el impacto de una bala de 7g. En el choque, la bala queda incrustada en la madera. Si el m´ aximo acortamiento acortamiento del resorte despu´es es del impacto es de 62.5mm,determinar: a. La celeridad del conjunto conjunto bloque-bala bloque-bala inme i nmediatamente diatamente despu´es es del choque. b. La celeridad Vi que llevaba la bala. : Soluci´ on a
mb vi + m + mm vi = m b + m + mm vf
0,07v 07vi = 0,41v 41vf
W = ∆EM
−f ∆x = 21 mV 2 + 12 k∆x2 − 12 k∆x2 r
f
f
1 k∆x2 + µk N ∆x 2
33
− 12 mv02 = 0
(23)
reemplazado datos 1 1 1000∆x 1000∆x2 + 0, 0,350, 350,419, 419,81∆x 81∆x = 0,41v 41v02 2 2 1 1 1000, 1000,6252 + 0, 0,350, 350,419, 419,810, 810,625 = 0,41v 41v02 2 2 v0 = 30, 30,9139 = 30, 30,91m/s 91m/s entonces v0 = v f v0 = v = v f = 30, 30,91m/s 91m/s velocidad del bloque celeridad del conjunto
Reemplazado en 23 0,07v 07vi = 0,41v 41vf 0,07v 07vi = 0,4130, 4130,91 vi = 181, 181,04m/s 04m/s (celeridad que llevaba el bloque)
0.17 0.17..
prob proble lema ma 19 19-3 -34 4
Un bloque de madera de 15Kg esta unido a un resorte de K=4500N/m(fig19-32).El bloque esta en reposo sobre una superficie horizontal rugosa (Uk=0.3) y recibe el impacto de una bala de 0.03Kg.En el choque ,la bala queda incrustada en la madera .Determinar la m´ axima celeridad Vi para que el resorte no rebotase.. : Soluci´ on
34
aplicando 0 = P f f P mb v0b + m + mm vm = m = m b + m + mm vf 0,03v 03v0b = 15, 15,03v 03vf
−f = 21 mv2 + 21 kx2 − 12 mv02 + 21 kx2 r
f
por condici´ on
−µ N x = 21 kx2 k
x = 0,019 en modulo. Ahora 1 1 315,039, 039,81 = mv 2 + kv 02 −0,315, 2 2 f
1 vf 2 = 45000, 45000,0192 = 0,315, 315,039, 039,81 2 vf = 6,58 = 6, 6,58m/s 58m/s reemplazando en 24 v0 =
15, 15,036, 036,58 = 3391, 3391,77m/s 77m/s 0,03 celeridad minima
35
(24)
0.18 0.18..
prob proble lema ma 19 19-3 -35 5
un p´endulobal endulo bal´´ıstico consiste en una caja de d e peso 25N que contiene arena y est´ a suspendido de un hilo ligero de 1.5m de longitud, una bala de 14 g inside sobre la caja y queda incrustada en la arena. Si la celeridad que llevaba inicialmente la bala era de 105 m/s, determinar: a. la celeridad celeridad del conjunto conjunto arena-bala arena-bala inmediatamente inmediatamente despu´es es del impacto. b. el m´ aximo angulo ´ que describir´ a el p´endulo end ulo despu´ des pu´es es del impacto. impac to.
Soluci´ on:
Datos: wA = 25N 25N = m A = 2,55 K g mB = 14g 14g = 0,014K 014K g L = 1,5m
−→ V
Bi
= 105(m/s 105(m/s))
36
en el momento del choque aplicamos la ecuaci´ on de conservaci´ on de movimiento: L i = L f mA
−→ V
−→ −→ −→ −→ V + m + m V = (m
Ai
Ai
B
Bi
A
−→
+ m + mB ) V
= 0 (se encuentra en reposo) reposo)
Reemplazando: (2, (2,55) (0) + (0, (0,014) (105) = (2, (2,56)
∗
∗
V ∗ −→
−→ V = 0,57ˆi(m/s) m/s) (Velocidad del sistema) (a) aplicamos conservaci´ on de energ´ energ´ıa entre los puntos 1 y 2: E 2 = E = E 1 (mA + m + mB )gh = gh =
2 1 (mA + m + mB ) V 2
−→
Reemplazando: 1 (2, (2,55 + 0, 0,014) 014) (9, (9,81) h = (2, (2,55 + 0, 0,014)(0, 014)(0,57)2 2 h = 0,017m 017m hallando el m´ aximo angulo ´ que barre: 37
tan?( tan?(θθ) =
X L
−h
Reemplazando:
tan?( tan?(θθ) =
0,24 1,50 0,017
−
θ = 9,19
◦
0.19 0.19..
prob proble lema ma 19 19-3 -36 6
Dos autom´ oviles chocan en un cruce, seg´ un se indica en la figura. El auto A tiene una masa de 1200 Kg y el auto B de 1500 Kg. En el choque, las ruedas de los autos quedan trabadas y los dos se deslizan 2) juntos.Alolargode 10menunadirecci ( µk = µk = 0,2) juntos.Alol argode10 menunadirecci´ ondefinidapor? o´ndefinidapor? = 60 .DeterminarlaceleridadesV .DeterminarlaceleridadesV AyV Bquellevaban Bquellev abanlosauto losautom movilesinmediatamenteantesdechoca o´vilesinmediatamenteantesdechoca ◦
dato
A = 1200K 1200K g B = 1500K 1500K g k = 0,2 d = 10m 10m
38
´ SOLUCI ON
La variaci´ on de la energ´ energ´ıa cin´etica, etica, es el trabajo realizad realizadoo 1 mv 2 = F R d = ∆k = W = W 2 F R d = µmgd = µmgd 1 2 v = µmgd vf = 6,26 2 f Ecuaci´ on cantidad de movimiento
·
·
⇐⇒
mAvA + m + mB vB =
mvf
mA vA + m + mB vB = m A mB 3,13 + 5, 5,42 igualando mA vA = m A mB 3,13
⇐⇒ v
A
= 27003, 27003,13
⇐⇒ v
A
= 7,04
y mB vB = m A mB 5,42
500v ⇐⇒ 500v
A
39
= 27005, 27005,42
⇐⇒ v
B
= 9,76
