TRIGONOMETRÍA PLANA 1.
En cada caso, encuentre los valores de las restantes funciones trigonométricas si: a) b) c) d) e) f) g) h)
2.
1
cos =
; no está en Q I. I.
7
i)
sen =
j)
cos =
k)
tan =
l)
sen =
tan = 5; no está en Q IV. 7
sen =
; no está en Q II.
8
cos =
3 4
15
tan =
8
sen = cos = tan =
; no está en Q II.
; cos > 0.
5 13
40 41 24 7
2 13 13 77 9
2 5 15
; no está en Q IV
; no está en Q I.
2 10 7
; no está en Q IV.
; no está en Q I.
m) csc = 9; no está en Q I. ; tan < 0. ; sen > 0.
n)
cot = 2; no está en Q I.
o)
sec = b; está en Q IV.
p)
cot = a; está en Q I.
; sen < 0.
Califique como falso o verdadero las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta a)
cos 10º < cos 20º
g)
b)
sen 25º < sen 50º
c)
sen 45º + sen 45º = sen 90º
d)
cot 20º = tan 70º
e)
sen(5º + ) = cos(85º )
f)
cos 50º =
3.
Si sen =
4.
Si cos =
co s ec 50
9
5
co s ec 66
= sen 24º
1
2
sec 12º =
sen 2 78
1
17
4
h)
1
, con QII, QII, determine el valor de la expresión
, con QI, determine el valor de la expresión :
cos tg sec
.
sen ctg cos co s cos co sec
____________________________________________ _____________________________
1
5.
Considere que 0 y suponga que si tg = p entonces Determine el valor de y el valor de p
2 5
7.
Calcule el valor exacto de las siguientes expresiones:
9.
10.
2
Si sen
5
y co s
1 2 p
.
, encuentre sen( ) y cos( - ).
2
2
3
0
cos 60º cos 90
a)
3sen 45º·cos 30º +
b)
7 cos 45º sen 60º·cos 30º + cos 0º
c)
5
d)
12sen 60º 16cos 30 + sen 30º
e)
20sen 45º 6cos 30º + 3sen 30º sen 0º
f)
10cos 60º 4sen 30º sen 45
g)
3
h)
cos 60º + 6 sen 45º - 3 sen 90º
6
sen
.
6.
8.
sen 2 1
4
3 sen
60º 7
2
2
4
3
2
4
cos 45º + sen 30º
4
2
3
5
2
0
6
cos 45º + 16sen 60º 18cos 60º
5
3
Encuentre los valores exactos de seno y coseno de los siguientes ángulos, sin utilizar calculadora: a)
210º
c)315º
e)300º
g)225º
b)
135º
d)330º
f) 240º
h)480º
Calcule: a)
sen 195º a partir de las funciones de 60º y 135º
b)
cos 345º a partir de las funciones de 30º y 315º
c)
sen 285º a partir de las funciones de 240º y 45º
d)
cos 165º a partir de las funciones de 45º y 120º
Simplifique cada expresión reduciéndola a un solo término: a)
cos 200º cos 160º sen 200º sen 160º
b)
sen sen 2 cos cos 2
2
11.
5
d)
sen 80º cos 100º + sen 100º cos 80º
6
+ cos
sen
6
cos
5
c)
6
sen
6
Verifique las siguientes igualdades: a)
sen( + ) = sen .
b)
sen (
c)
cos(C D)cosD sen(C D)senD = cosC.
d)
sen(45º + ) cos(225º + ) =
e)
sen(30º + ) + cos(120º + ) = 0.
7 2
4 ) = cos 4.
3
3
cos.
< A < 2, encuentre los valores exactos de cos
12.
Si cos A =
13.
Si sen B =
14.
Si cos
15.
Sea f la función trigonométrica definida por f(x) = 3 – 2 cos(2x
16.
C 2
=
, con
2
7
12 13
5 8
2
, con < B < , con
2
<
C 2
3
2
2
, encuentre los valores exactos de sen
y cos 2A
B 2
y sen 2B
< , encuentre los valores exactos de cos C y cos
2
a)
Grafique la función f indicando sus principales características.
b)
Determine los valores de x[0, 2[ tales que f(x) = 2.
Dadas las funciones reales f(x) = 1 + 2 sen(2x a)
A
2
C 4
).
) y g(x) = sen x
Determine, si existe, x[0, 2[ tal que f(x) = g(x).
b) Haga un bosquejo de la gráfica de f indicando amplitud, periodo, fase y desfase. 17.
18.
Considere la función trigonométrica f x 1
1 2
sen x
a)
Grafique la función f.
b)
Determine los valores de x[0,2[ tales que f ( x )
Sea f la función trigonométrica definida por
2
3
4
f x 23cosx
a)
Grafique la función f
b)
Determine los valores de x[0,2[ tales que f ( x )
1
2
3 _____________________________________________ _____________________________________
x 1 Considere la función real f x 2 cos
19.
2
a)
Grafique la función f indicando período y amplitud
b) Verifique si se satisface la igualdad 20.
2
1 1 2 sen x 2 2 2
Consideremos f(x) = a)
f x 2 18 1 cosx
Bosqueje un gráfico para la función f(x) indicando período, traslación, desfase y amplitud.
b)
Resuelva la ecuación f(x) =
7 4
en 2 , 2
Identidades trigonométricas 21.
¿Cuáles valores de a, b y c hacen de la siguiente ecuación una identidad? 2
4
2
4
3 + 4cos + 5cos = a + bsen + csen 22.
Demuestre las siguientes identidades: 2
2
a)2 cos x 1 = 1 2 sen x 4
4
k)
2
b)sen x cos x = 1 2 cos x 2
2
2
2
c)tan x cot x = sec x cosec x 2
d)(cosec x cot x) =
e)
cos2 x
1 cos x 1 cos x
(1 senx )
= (sec x + tan x)
3
3
f) sen x·cos x cos x· sen x = g) h) i)
1 cos x senx 2 sec x sec x 1
m) 2
2
= tan
1 4
2
= csc (
2
sen x
senx
sec 2x
cos 3x cos x
sen2x 1 cos 2x
= 2
1 cos x cos x
= tan
x 2
o)
tan A 5 cscA 1 82 2 cos2 A 2 8 sec A tan A 8 csc A 1 63 cos A
p)
sec (sen 1)(tan + sec ) = 1
)
2
sen3x
1
tan = (sec + 1)(csc cot )
q)
sen4x cos 2x cos 4x sen2x cos
sen 4x
csc2 x
1
n)
x
2 x
2
l)
2
r) =tan 2x s)
5 sec A
2 2 2 2 (cot tan ) = cot (2 sec )
tan 2 1 csc2 tan 2 2
= sen 4 2
2
2
(cot tan ) = cot (2 sec )
j) tan x + cot x = 2cosec 2x
4 _____________________________________________ _____________________________________
cot 2 A
t)
sen 2B
u)
1 cos
cot 2 B
2
w)
2
= cot A – cot B
sen 2A
2 csc cot 2 cot 2 csc cot 1
2
2
= cot – 2csc cot + csc
1 cos
senB cos B 1 1 senB v) senB cos B 1 cos B
23.
csc + cot + 1 =
1
Demuestre que
4
20
sec (5) +
1 40
6
6
2
2
x)
csc cot = 1 + 3csc cot
y)
(senA senB cosA cosB) 2 (senA cosB + cosA senB) = 1
2
1
sec2(5) es idéntica a
1
4
20
tan (5) +
8
+
2
tan (5) + C
donde C es una constante real; determine el valor de esa constante C.
24.
Decida si las siguientes igualdades son o no identidades trigonométricas: a)
2 2 10 cos 11º 10 sen 11º
b)
sen cos 6 6
c)
4sen 4sen = cos 2
4
2
1 2cos 8 = cos (16 )
j)
21 cos2B = 2cosB
2
3
1 co s160 d) = sen6 8 2 e) f) g) h) 25.
2sen
B 2
B
cos
2
2
2
2
sen2
cos 2
cos
l)
sen 6A = 2sen 12Acos 12A
m)
cos
n)
sen 11B
2
2
5
6
= sen
2
1 2
5
6
=
1
k)
= sen B
2sen 3 1 = cos 6.
1 cos 200
2
i)
5
= cos
3
cos 22B =
1 2
= cos 80º
2
2
cos 6A = cos 12A + sen 6A
Transforme 4
3
a)
cos en
b)
sen 2 en
c)
sen cos en
4
2
2
8
+
3 8
+
1 2 1 2
1 8
cos 2 + cos 4 +
1 8
1 8
cos 4
1 8
cos 8
cos 4
_____________________________________________ _____________________________________
5
26.
Con las hipótesis de cada caso, determine sen(A + B) y cos(A + B). Compruebe su resultado utilizando calculadora o computadora y aproxime A, B y A + B.
1
y senB
9
a)
senA
b)
cos A
3 , con A en Q I y tan B , con B en Q II 17 4
c)
senA
4
d)
cotA =
10
10
, con A y B en Q I
8
5
, con A en Q I y senA
12 5
, con A en Q I y cosB =
7 25 15 17
, con B en Q III , con B en Q III
Funciones trigonométricas inversas 27.
Calcule el valor de:
a)
sen arccos
b)
tg arctg
3 arcsen 5 4 4
3 1 arcco t g 4 2
3 1 arccos c) 2 2 Resuelva para x la ecuación: x 1 arctg x 1 a) arctg x 2 x 2 4 sen arcsen
27.
28.
b)
arccos(x) + arctg(x) =
c)
arcsen( x ) arccos(x )
Demuestre que Arcsen
2
1 5
.
6
Arcsen
2 5
2
6 _____________________________________________ _____________________________________
Ecuaciones trigonométricas 29.
Resuelva las siguientes ecuaciones para i) 2
a) 2sen = 1
[0, 2]
ii)
w) cos 2 = 1 sen
2
b) csc = 4
x) sen 4
3
cos 2 = 0
y) sen 2 +
2
sen = 0
2
c) 4cos = 1 2
d) tan = 3
z) cos 4 = 7cos 2 + 8 3
e) sen( 7º) =
f) g) h) i)
2
cos( + 10º) =
2
2
2 cos
3 = 0
3 csc 2 = 0
k) tan = tan
m) 2cossen + 2cos + sen + 1 = 0 2
n) 2cos cos = 1 2
o) 2sen + 3sen + 1 = 0 2
p) 2cos 9cos 5 = 0
r)
3
tan = 0
2
s) 6sec + 5sec + 1 = 0 t)
ff)
=1
2 2cos + 7sen = 5
gg) tan + cot = 2csc 2
ii)
cos 3 + cos = cos 2
jj)
4tan =
2
2sen + 7cos 5 = 0
u) cos + sec = 1,9
3
2
sec 2
kk) 3sec 2 + 2sen + 1 = 0 ll)
2sen
sen
2sen tan
2
ee) sen = 6cos + 6
2
csc = 2csc
3
hh) sen = 3cos
3
q) cos =
2
dd) sen 2 + 2cos 2
cos ec 2 2 cos 2
l)
2 cc) cos 6 + sen 3 = 0
3 = 0
2sen 3 = 0
j) (2cos 1)
2
bb) cos 2cos = 0
2sen 1 3 sec 2
aa) sen = sen
2
mm) tan(
4
2
1 cos 2
) = 1 sen 2 2
2
nn) cot + sen cos cot = 0 oo) 3 2 cos
2
1 cos 6
v) 3sec csc = csc
7 _____________________________________________ _____________________________________
Resolución de triángulos 30.
La medida del ángulo mayor de un triángulo es el doble de la medida del ángulo menor, ¿Es la medida del lado mayor el doble de la medida del lado menor? Obtenga la medida de c, si = 40,4º, = 81,0º y a = 100.
31.
Se desea determinar la distancia entre dos puntos A y B que se encuentran en las orillas opuestas de un río. Se traza un segmento de recta AC de una longitud de 240 metros y se encuentra que los ángulos BAC y ACB miden 63º 20’ y 54º 10’, respectivamente. Calcule la distancia aproximada entre A y B.
32.
Un topógrafo elige un punto C a 375 metros de A y 530 metros de B, para determinar la distancia entre A y B. Determine la distancia requerida sabiendo que el ángulo BAC mide 49º 30’.
33.
Un poste de telégrafos, que está inclinado en un ángulo de 12º con respecto al sol, da una sombra sobre la tierra de 10 metros de longitud, cuando el ángulo de elevación del sol es de 64º. Obtenga la longitud del poste.
34.
Una carretera recta forma un ángulo de 15º con la horizontal. Un poste vertical, que se encuentra en la orilla de la carretera, produce una sombra sobre ésta de 75 metros de longitud, cuando el ángulo de elevación del sol es de 57º. Determine la longitud del poste.
35.
El ángulo de una de las esquinas de un terreno triangular mide 73º 40’. Si los lados entre los cuales se encuentra dicho ángulo, tienen una longitud de 175 y 150 metros, determine la longitud del tercero de los lados.
36.
Un poste vertical sobre una ladera, mide 40 metros de alto y forma un ángulo de 17º con el horizonte. Encuentre la longitud mínima que debe tener una cuerda, que parte de la punta del poste, para que alcance un punto a 72 metros de la base del poste.
37.
Demuestre que para todo triángulo ABC, se cumple. 2
2
2
a)
a + b + c = 2(bccos + accos + abcos )
b)
cos a
co s b
cos c
a 2 b 2 c 2 2abc
38.
Desde un punto sobre el piso localizado a 120 metros de la Torre Eiffel, se observa que el ángulo de elevación de la punta de la torre es 68,2º. ¿Qué altura tiene la torre?.
39.
Desde un punto localizado en el mismo plano que la parte superior de las cataratas de Bridalveil en el parque nacional de Yosemite y a una distancia de 234 metros, el ángulo de depresión del extremo inferior de las cataratas es de 41,5º. Encuentre la altura de las cataratas de Bridalveil.
40.
Un helicóptero vuela a 130 metros sobre uno de los extremos de un puente que se tiende sobre el río Missouri en la ciudad de Jefferson. El ángulo de depresión del otro
8
extremo del puente visto desde el helicóptero es de 32,0º. ¿Qué longitud tiene el puente? 41.
El ángulo de elevación de la parte más alta de la torre del City Hall de Filadelfia, tomada desde un punto al nivel del piso y a 100 metros de su base es de 61,3º ¿Qué altura tiene el edificio?
42.
Encuentre el radio de una circunferencia para la cual una cuerda de 10,8cm. corresponde a un ángulo de 38,4º en su centro.
43.
Un cercado de altura h está localizado en posición este – oeste. El ángulo de elevación del sol es y su orientación es SW. Obtenga el ancho de la sombra que proyecta el cercado al nivel del piso.
44.
Desde la cima de un peñasco al borde de un lago, se observa una boya con un ángulo de depresión y una segunda boya más cercana al peñasco, está a d metros de la base de éste. Demuestre que la distancia entre las boyas es d(tan cot 1) metros.
45.
Un helicóptero sobrevuela directamente sobre un camino que va de este a oeste al nivel del suelo. Mirando hacia el este, el piloto ve un bache en el camino, con un ángulo de depresión . Mirando hacia el oeste, observa otro bache en el camino con un ángulo de depresión . Si los baches están separados por “a” metros, determine a qué altura vuela el helicóptero.
46.
Un observador en A mira directamente al norte y ve un meteoro con un ángulo de elevación de 55º. En el mismo instante, otro observador, localizado 10 Km. al oeste de A, ve el mismo meteoro y ubica su posición como N 50º E, pero olvida anotar el ángulo de elevación. Encuentre la altura del meteoro y la distancia desde el punto A al meteoro.
47.
Desde una cabaña C ubicada en la cima de una colina costera ubicada a 120 m. sobre el nivel del mar, se observa un velero S detenido en la bahía. Obtenga la longitud que recorre la luz de un foco que se dirige desde la cabaña hasta el velero con un ángulo de depresión de 30º.
48.
Sobre un terreno plano ha crecido un árbol inclinado hacia su derecha. Desde la base P del árbol, un observador se desplaza s unidades hacia la izquierda llegando al punto A y continúa t unidades en dicha dirección hasta ubicarse en un punto B. Si desde los puntos A y B observa la cúspide del árbol con ángulos de elevación y , respectivamente, determine la longitud del árbol y su ángulo de inclinación.
49.
Sea ABC un triángulo equilátero y P un punto interior de él. Si las distancias desde P a los tres vértices son 1m, 1m y 2m, determine el área del triángulo.
50.
Desde el pie de un poste, el ángulo de elevación a la punta de un campanario mide ; desde la parte superior del poste que tiene “m metros” de altura, el ángulo de elevación o a la punta de dicho campanario mide . Si el pie del poste y de la torre están en la misma recta horizontal, compruebe que la altura h de la torre
o
9
h 51.
m tg tg tg
Un asta de bandera está enclavada verticalmente en lo alto de un edificio. Desde m metros de distancia, los ángulos de elevación de la punta del asta y la parte superior del edificio son 2 y respectivamente. Demuestre que el asta de bandera mide:
h
m tg (1 tg 2 ) 1 tg 2
52.
Desde la cumbre H de un cerro de 100m. de altura se observa un campamento A con un ángulo de depresión de 45º y una aldea B con un ángulo de depresión de 30º; además, el ángulo entre las visuales a los puntos A y B es de 120º. Determine la distancia entre A y B.
53.
En los extremos de una calle existen una torre y una iglesia y entre sus bases hay una distancia de 200m. Desde el punto equidistante a ambos edificios se miden sus ángulos de elevación y resulta que suman 90º. Además se supo que desde el pie de la torre el ángulo de elevación de la iglesia mide º mientras que desde el pie de la iglesia el ángulo de elevación de la torre mide (2)º. Calcule las alturas de ambos edificios.
10
