INTRODUCCION
El presente trabajo “Cinética “Cinética de sistemas de partículas” partículas ” tiene como objetivo reconocer y utilizar los aspectos de la cinética de sistemas de partículas en la solución de problemas, así como, analizar su comportamiento aplicando los conceptos de conservación del momento lineal y angular. Y esto sirve como evidencia y/o trabajo final de la unidad 4 para la carrera de ingeniería civil. El trabajo cuenta con la introducción al tema principal para entender conceptos básicos de la cinética de partículas, así como el desarrollo de los temas de la unidad en los que se incluyen: Definiciones de trabajo y energía, campos de aplicaciones y ejemplos sobre ello; Impulso y cantidad de movimiento para un sistema de partículas, Principio del impulso y la cantidad de movimiento, Impacto y Cantidad de Movimiento lineal y angular. Este trabajo también cuenta con ejemplos para la comprensión de los temas.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Para empezar a estudiar este tema es necesario conocer los conceptos básicos y lo que significa cada uno de ellos, así como las unidades que los representan y así aplicarlo al estudio de un sistema de partículas. Se llama impulso a la magnitud física, denotada usualmente como I, definida como la variación en la cantidad de movimiento que experimenta un objeto en un sistema cerrado. El término difiere de lo que cotidianamente conocemos como impulso y fue acuñado por Isaac Newton en su segunda ley, donde lo llamó vis motrix , refiriéndose a una especie de fuerza del movimiento. La cantidad de movimiento , momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo. Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la
mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. En mecánica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad:
∙ Al obtener el principio del trabajo y la energía y se integra esa ley con respecto al tiempo se obtiene una relación entre la integral respecto al tiempo de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el cambio en su cantidad de movimiento. Con este principio del impulso y la cantidad de movimiento podemos determinar el cambio en la velocidad de un cuerpo cuando se conocen las fuerzas externas en función del tiempo. Aplicando el principio a dos o más cuerpos, obtenemos la ley de la conservación de la cantidad de movimiento lineal, que nos permite analizar impactos entre cuerpos y evaluar las fuerzas ejercidas por flujos continuos de masa, como ocurre en los motores de retroimpulso de aviones y cohetes. El movimiento de un sistema de partículas, es el movimiento de un gran número de partículas consideradas en conjunto.
IMPACTO
En máquinas de estampado o de forja, los troqueles se impactan contra las piezas de trabajo. Las impresoras mecánicas crean imágenes impactando elementos metálicos contra papel y placas. Hay vehículos que se impactan intencionalmente, como los vagones de ferrocarril y otros de manera accidental. Los impactos ocurren en muchas situaciones de interés para la ingeniería. Si se conocen las velocidades de dos cuerpos antes de que choquen, ¿Cómo cambiaran después de la colisión? Es decir, ¿Cómo afecta el impacto sus movimientos? Un choque entre dos cuerpos que ocurre en un intervalo muy pequeño y durante el cual dos cuerpos ejercen fuerzas relativamente grandes entre si recibe el nombre de impacto. La normal común a las superficies en contacto durante el impacto se conoce como línea de impacto. Si los centros de masa en los dos cuerpos que chocan se ubican sobre esta línea, el impacto es un impacto central. En otro caso, se dice que el impacto es excéntrico. Si los cuerpos que chocan no están sujetos a fuerzas externas, sus cantidades de movimiento lineal total deben ser las mismas antes y después del impacto. Aun cuando estén sujetas a fuerzas externas, el impacto es a menudo tan fuerte y su duración tan breve, que el efecto en sus movimientos durante el impacto es insignificante.
y
′ y ′
Suponga que los cuerpos A y B con velocidades entran en colisión y sean Sus velocidades después del impacto. Si los efectos de f uerzas externas son insignificantes, la cantidad de movimiento lineal se conserva: (13)
+ ′ +′ Además, la velocidad v de su centro de masa es la misma antes y después del impacto (14)
++ Si A y B se adhieren y permanecen juntos, después de la colisión se dice que sufren un impacto perfectamente plástico. La ecuación anterior da la velocidad de su centro de masa del cuerpo que ellos forman después del impacto. Un aspecto notable de este resultado es que se puede determinar la velocidad posterior al impacto sin considerar la naturaleza física del impacto. Si A y B no se adhieren, la mera conservación de la cantidad de movimiento lineal no es suficiente para determinar sus velocidades después del impacto.
a) Impacto central directo
b) Impacto central oblicuo
IMPACTO CENTRAL DIRECTO
Esta propiedad se utiliza para determinar experimentalmente el valor del coeficiente de restitución de dos materiales dados. Las velocidades de las dos partículas después del impacto pueden obtenerse ahora al resolver simultáneamente las ecuaciones y ′ + ′ + ′ para ′ y ′ . Hay que recordar que la deducción de las ecuaciones se basa en la
suposición de que la partícula B se localiza a la derecha de A, y que ambas partículas se están moviendo al principio hacia la derecha. Si la partícula B se mueve inicialmente hacia la izquierda, el escalar debe considerarse negativo. La misma convención del signo se cumple para las velocidades después del impacto: un signo positivo para indicara que la partícula A se mueve hacia la derecha después del impacto, y un signo negativo señalara que se mueve hacia la izquierda.
′
IMPACTO CENTRAL OBLICUO Se afirma que el impacto será oblicuo. Puesto que no se conocen ni la dirección ni La
magnitud de las velocidades
, , de
las partículas
después del impacto su
determinación requerirá el uso de 4 ecuaciones independientes.
1.- la componente de la cantidad de movimiento de cada partícula a lo largo del eje t , considera por separado , se conserva , en consecuencia , la componente t de la velocidad de cada partícula permanece invariable .se escribe .
, , 2.- la componente a lo largo del eje de la cantidad de movimiento total de las dos partículas, se escribe
+ , + , 3.-la componente a lo largo de la componente
de la velocidad relativa de las dos
partículas después del impacto se obtiene multiplicando la componente relativa antes del impacto por el coeficiente de restitucion.
de su velocidad
, , El impacto central oblicuo de dos partículas se ha basado en la suposición de que ambas partículas se mueven libremente antes y después del impacto.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
Las ecuaciones obtenidas anteriormente para el movimiento de un sistema de partículas, pueden expresarse en una forma más condensada si se introduce la cantidad de movimiento lineal y angular del sistema de partículas. Al definir la cantidad de movimiento lineal L del sistema de partículas como la suma de las cantidades de movimiento lineal de las diversas partículas del sistema, se escribe
∑ =
Si se define la cantidad de movimiento angular HO alrededor de O del sistema de partículas de una manera similar, se tiene
∑ × =
Al diferenciar ambos miembros de las ecuaciones con respecto a t, se escribe
=
=
∑ ∑ Y
=
=
=
=
̇ ∑ ̇ × + ∑ × ̇ ∑ × + ∑ × Que se reduce a
̇ ∑ × =
Ya que los vectores vi y mi vi son colineales. Observe que los miembros del lado derecho de las ecuaciones 14.8 y 14.9 son respectivamente idénticos a los miembros del lado derecho de las ecuaciones 14.4 y 14.5. Se concluye que los miembros del lado izquierdo de estas ecuaciones son respectivamente iguales. Al recordar que el miembro del lado izquierdo de la ecuación 14.5 representa la suma de los momentos MO alrededor de O de las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema, y al omitir el subíndice i de las sumatorias se escribe
∑ ∑ ̇ Estas ecuaciones expresan que la resultante y el momento resultante alrededor de un punto fijo O de las fuerzas externas son, respectivamente iguales a las razones de cambio de la cantidad de movimiento lineal y de la cantidad de movimiento angular alrededor de O del sistema de partículas. BIBLIOGRAFIA http://www.esi2.us.es/DFA/FISICATELECO/archivos/curso0405/apuntes/Cap05.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento
PROBLEMAS
EJEMPLO 1 Lanzamos un huevo a una hoja de papel o a una pared con la misma velocidad. ¿Cuál tiene: Mayor variación de la velocidad? El 2, puesto que F es mayor (y pasa de tener V a pararse) Mayor variación de la cantidad de movimiento? Lo mismo, la variación en V es mayor e n 2 Mayor impulso sobre el huevo? El 2, puesto que el I=Δ(mv) Mayor tiempo de impacto? El 1 Mayor fuerza sobre el huevo? El 2
EJEMPLO 2
El cohete de la Fig. 5.3 viaja en línea recta hacia arriba cuando repentinamente empieza a girar en sentido antihorario a 0.25 rev/s, y es destruido 2s después. Su masa m= 90 mg, su empuje es T= 1.0 mn y su velocidad hacia arriba cuando empieza a girar es de 10 m/s. Si se ignoran las fuerzas aerodinámicas, ¿Cuál era su velocidad al ser destruido? Estrategia Cuando conocemos la velocidad angular, podemos determinar la dirección del empuje en función del tiempo y calcular el impulso durante el periodo de 2s. Solución La velocidad angular del cohete es π/2 rad/s. Con t = 0 como el tiempo en que empieza a girar, el ángulo entra entre su eje y la vertical es (π/2) t La fuerza total sobre el cohete es
∑sin 2 cos 2 De modo que el impulse entre t = 0 y t = 2s es
∫ ∫ sin 2
+cos 2
2 2 [( cos 2 ) +( sin 2 ) ] 4 2 Del principio del impulso y la cantidad de movimiento
∫ ∑
4 1×10 290×109.81 90×10 10 Obtenemos v2 = -14.15 i – 9.62 j (m/s) EJEMPLO 3
Una pelota de golf en vuelo es fotografiada a intervalos de 0.001 s. La pelota de 1.62 onzas tiene 1.68 pulg de diámetro. Se el palo toco la pelota durante 0.0006 s, calcule la fuerza impulsiva media ejercida por el palo. ESTRATEGIA Midiendo la distancia recorrida por la pelota en uno de los intervalos de 0.001 s, podemos calcular su velocidad después de ser golpeada y luego usar la ecuación 9 para determinar la fuerza media total sobre la pelota. SOLUCION Comparando la distancia recorrida durante uno de los intervalos de 0.001 s con el diámetro conocido de la pelota, calculamos que esta viajo 1.9 pulg y que su dirección fue de 21° sobre la horizontal. La magnitud de la vel ocidad de la pelota es
1.9⁄12pies 158 pie/s 0.001s El peso de la pelota es 1.62/16 = 0.101 lb, por lo que su masa es 0.101/32.2 = 3.14 x 10 -3 slugs.
∑media 0.0006∑media 3.14×10−158.3cos21° + 21° 0 ∑media 775+297
EJEMPLO 4 Un automóvil que pesa 4000 lb desciende por una pendiente de 5° a una velocidad de 60 mi/h cuando se aplican los frenos, lo que provoca una fuerza de frenado total constante (aplicada por el camino sobre los neumáticos) de 1500 lb. Determine el tiempo que se requiere para que el automóvil se detenga. SOLUCION: Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento. Puesto que cada una de las fuerzas es constante en magnitud y dirección, cada impulso correspondiente es igual al producto de la fuerza y al intervalo t.
+∑− + componentes: + 5° (4 000/32.2)(88 ft/s) + (4 000 sen 5°) t – 1500 t = 0
t =
9.49 s
EJEMPLO 5 Una pelota de beisbol de 4 oz se lanza con una velocidad de 80 ft/s hacia un bateador. Después de que la bola es golpeada por el bat B, adquiere una velocidad de 120 ft/s en la dirección que se indica. Si el bat y la bola están en contacto 0.015 s, determine la fuerza impulsiva promedio ejercida sobre la pelota durante el impacto. SOLUCION: Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento a la pelota. Puesto que el peso de esta misma es una fuerza no impulsiva, puede ignorarse.
+∑− + → componentes + ∆ cos40° 4 4 32.162 80⁄ +0.015 32.162 120⁄cos40° 89 +↑ componentes 0 + ∆ sen40° 4 0.015 32.162 120⁄sen40° 39.9 A partir de sus componentes y se determina la magnitud y dirección de la fuerza F. F = 97.5 lb Dirección 24.2°
