UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA SANITARIA CURSO: DINAMICA TEMA : APLICACIÓN Y EJERCICIOS DE ENERGIA CINETICA IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO .
DOCENTE : ING CESAR ESPEZUA LLERENA
ALUMNOS : CALSINA CALCINA YURI COAGUILA OVIEDO GUILIANA MAMANI CAYLLAHUA CRICEIDA
AREQUIPA – PERU DINAMICA
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2017
PRESENTACIÓN
En este trabajo la intención es utilizar la segunda ley de Newton junto con la cinemática para obtener como resultado el principio del impulso y cantidad de movimiento para movimiento para una partícula y un sistema de partículas. Y en base a las ecuaciones del impulso y la cantidad de movimiento explicaremos como sucede en la vida cotidiana, y no mezclar con otros puntos no relacionados, y así demostrar d emostrar los resultados que ejerce una fuerza sobre una partícula. En conclusión se pretende adquirir los conocimientos del tema para aplicarlos a nuestra formación académica profesional, donde intervengan impulsos a través de una fuerza dando esta la cantidad de movimiento lineal.
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INDICE INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………. 3 OBJETIVOS………………………………………………………………………. 4 OBJETIVO GENERAL…………………………………………………………… 4
OBJETIVOS ESPECÍFICOS…………………………………………………..... 4 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL……………………… LINEAL……………………….
5
EL TIEMPO SOBRE EL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO…………………………………………………………………….. 6 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UNA PARTÍCULA… P ARTÍCULA…...6
IMPULSO DE UNA FUERZA……………………………………………………8 CANTIDAD DE MOVIMIENTO………………………………………………….9 TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO…………………………...9
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS……………………………………………………………………...11 EJERCICIOS TIPOS………………………………………………………………12 EJERCICIOS A RESOLVER……………………………………………………..19 APLICACIONES ………………………………………………………………… ..21
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CONCLUSIONES………………………………………………………………….22 BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………. ...23 LINKOGRAFÍA…………………………………………………………………….23
INTRODUCCIÓN El presente trabajo trata sobre el principio del impulso y la cantidad de movimiento el cual explicaremos durante su desarrollo del tema. El contenido de este se basa en la segunda ley de Newton para resolver problemas que involucren fuerza, masa, velocidad y tiempo. Donde integraremos con respecto al tiempo y con la combinación de la cinemática obtendremos como resultado el principio del impulso y cantidad de movimiento para una, y un sistema de partículas. La estructura del tema se divide en conceptos (marco teórico), formulas y su explicación, desarrollo de ejercicios (tipos, aplicativos y a resolver) y conclusiones; del principio del impulso y la cantidad de movimiento. Para la elaboración del trabajo hemos extraído información bibliográfica y linkográfica, para ello se selecciono lo importante del tema para poder explicarlo en forma clara y precisa. Esperamos que este trabajo sirva como fuente de investigación para posteriores investigaciones.
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OBJETIVOS: OBJETIVO GENERAL:
Conocer las aplicaciones de de energia cinetica , impulso y cantidad de movimiento .
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Detallar y conocer los conceptos de impulso y cantidad de movimiento lineal de una partícula. Capacitarse para emprender los contenidos de la asignatura en función de nuestras futuras necesidades de nuestra profesión. Desarrollar la capacidad de integración entre los nuevos conocimientos y las propias vivencias cotidianas. Hacer una excelente exposición con la finalidad que nuestros compañeros junto con nuestro docente entiendan el tema requerido.
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IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Al integrar respecto al desplazamiento del punto material la ecuación del movimiento F=m* a, obtenemos el Trabajo y la Energía. Ahora vamos a la integración de la ecuación del movimiento respecto al tiempo y no a la del desplazamiento; ello nos llevara a las EC UACIONES DE IMPULS O Y LA CA NTIDAD DE MOVIMIENTO, esto nos ayudara a resolver problemas en los cuales las fuerzas aplicadas actúan durante intervalos de tiempos cortos o intervalos de tiempo determinados.
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Hay que considerar que este es un método básico útil para la solución de problemas que involucran movimiento de partículas. Este método se usa para resolver problemas que involucran fuerza, masa, velocidad y tiempo.
1) EL TIEMPO SOBRE EL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Siempre que se desee cambiar la cantidad de movimiento un cuerpo, es necesario considerar la fuerza aplicada y el tiempo de su aplicación. Un ejemplo de esto sería cuando beisbolista golpea una pelota con gran fuerza, para proporcionarle una cierta cantidad de movimiento pero, si desea obtener el máximo de la cantidad de movimiento, prolongará el tiempo de contacto de la PARA LOGRAR UN MAYOR IMPULSO, fuerza sobre la pelota. Una fuerza grande EL BEISBOLISTA PROLONGA SU BATAZO multiplicada por un tiempo grande da por EL MAYOR TIEMPO POSIBLE
de un
resultado un gran impulso, y éste a su vez, producirá un mayor cambio en la cantidad de movimiento de la pelota.
Siempre que se desee impartir el mayor impulso a un objeto, simplemente se aplica mayor fuerza y se prolonga tanto como sea posible, el tiempo de contacto. Supongamos ahora, que un auto se desplaza a alta velocidad y choca contra un muro de contención. Su gran cantidad de movimiento termina en un tiempo muy corto. Comprendemos que para detener rápidamente un objeto que posee una gran cantidad de movimiento, la fuerza aplicada debe ser muy grande. Podríamos comparar los resultados de un auto, que a alta velocidad choca contra un muro de concreto, con los resultados de otro auto que choca contra una montaña de arena. En ambos casos el cambio de cantidad de movimiento es el mismo. Sin embargo, los tiempos de impacto son distintos.
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¿EN QUE CASO ES MAS GRANDE LA FUERZA DE IMPACTO?
Cuando el auto golpea el muro de concreto, el tiempo de impacto es corto, por lo que la fuerza de impacto promedio es enorme. En cambio, cuando golpea la montaña de arena la fuerza se prolonga por un tiempo mayor y en consecuencia ésta es considerablemente menor.
Otro ejemplo sería, cuando un boxeador trata de reducir al mínimo la fuerza de impacto provocada por un puñetazo con gran cantidad de movimiento, la fuerza aplicada será menor si se prolonga el tiempo del impacto; esto es, el boxeador se hace hacia atrás mientras es golpeado. Si recibe el puñetazo al acercarse a su oponente, el tiempo de
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¿QUÉ EFECTO TIENE EL TIEMPO SOBRE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO?
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contacto se reduce, lo que da por resultado una mayor fuerza.
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UNA PARTICULA Consideremos una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza F . La segunda ley de newton puede expresarse en la forma:
∑ ̇
Como la masa de la partícula no depende del tiempo, podemos introducirla en la derivada y tenemos:
o
(E1)
Donde multiplicando ambos lados por dt e integrando desde un instante inicial t1 hasta un instante t2:
∫ ∫ ∫
(E2)
Donde el término de la izquierda se llama impulso lineal denotado por un I , y mv es la cantidad de movimiento
lineal denotado por un L . Este resultado es el principio del impulso y la cantidad de movimiento lineal. Por ello, la ecuación E2 dice que el impulso I
durante un cierto intervalo de tiempo es igual al incremento de la cantidad de movimiento de la partícula durante ese intervalo de tiempo.
Principio del impulso y la cantidad de movimiento
Como demostraremos mas adelante, el impulso de una fuerza se puede conocer aunque la propia fuerza no se conozca.
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Finalmente, se debe recordar que para producir un impulso, una fuerza solo necesita existir durante un intervalo de tiempo.
Impulso de una Fuerza La integral
∫
recibe el nombre de impulso de la fuerza F. El impulso es un
vector cuyas dimensiones son fuerza-tiempo. En el sistema SI su módulo se expresa en N.s = Kg.m/s, que es la misma unidad que se utiliza en cantidad de movimiento lineal de una partícula. Si se utilizan unidades del U.S. Customary System, el impulso se expresa en lb.s= slug.ft/s, que también la unidad que se utiliza en la cantidad de movimiento. En general, la fuerza resultante F(t) = F(t)eF será un vector de modulo y dirección variables con el tiempo entre los instantes
F
en t1 y t2. Pero si la dirección eF de la fuerza no variara durante ese intervalo de tiempo podría sacarse de la integral. Entonces el valor de la integral ─ que representa el
t 1
modulo del impulso ─ es igual al área sombreado bajo la gráfica de F en función
t 2
Figura 2
del tiempo (fig. 2). Si también fuese constante el módulo de la fuerza, también se podría sacar de la integral y quedaría:
∫ ∫
(E3)
La ecuación E3 se utiliza también para definir la fuerza media en el tiempo Fmed, que es la fuerza constante equivalente que daría el mismo impulso con la fuerza original variable con el tiempo
F
− ∫
(E4) Figura 3
Fuerza impulsadora y su valor medio DINAMICA
Página 10 t t 1
t 2
El valor medio de la fuerza dado por a ecuación E4 (valor medio en el tiempo) suele ser diferente del valor medio calculado partir del trabajo efectuado por la fuerza (valor medio en la distancia). Cuando el módulo y la dirección de la fuerza resultante F(t) varíen ambos durante el intervalo de tiempo, el cálculo de la integral del impulso deberá realizarse por componentes. Se prefiere utilizar componentes cartesianas rectangulares porque los vectores unitarios i, j y k no varían con el tiempo. Descomponiendo F en sus componentes rectangulares tenemos:
∫ ∫ + ∫ + ∫
Aun cuando el trabajo de una fuerza y el impulso de una fuerza sean integrales de una fuerza, son conceptos totalmente diferentes: 1. El trabajo de una fuerza es una magnitud escalar. El impulso es vectorial. 2. El trabajo de una fuerza es nulo si la fuerza no tiene componente según la dirección del desplazamiento. El impulso de una fuerza no es nunca nulo ni siquiera si está aplicada a un punto en reposo.
Cantidad de movimiento El vector m.v de las ecuaciones E1 y E2 se representa por el símbolo L y recibe el nombre de cantidad de movimiento de una partícula. Como m es un escalar positivo, los vectores cantidad de movimiento y velocidad del punto tendrán la misma dirección y sentido. El módulo de la cantidad de movimiento es igual al producto de la masa m por la celeridad v de una partícula. En el sistema SI, la unidad de cantidad de movimiento es el Kg .m/s o, lo que es equivalente, N.s. En el U.S. Customary system es el slug.ft/s o lb.s.
Teorema de la Cantidad de movimiento Tomando la ecuación E2 podemos despejar mv2 donde nos daría una ecuación de la siguiente manera:
+ ∫
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(E5)
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Y a la vez sabiendo que mv es la cantidad de movimiento, representado por L , obtendremos:
+ ∫
∫
La cantidad de movimiento final L 2 de una partícula es la suma vectorial de su cantidad de movimiento inicial L 1 más el impulso fuerzas que se ejercen sobre dicho punto.
dt de la resultante de todas las
A diferencia de la ecuación del teorema de las fuerzas vivas, que es una ecuación escalar, la ecuación E5 es una ecuación vectorial que representa tres ecuaciones escalares. Expresada en coordenadas cartesianas rectangulares, sus tres componentes escalares son:
+ + +
Tengamos ahora en cuenta que el teorema de la cantidad de movimiento no constituye un principio nuevo. Es simplemente una combinación de la segunda ley de newton con los principios de la cinemática para el caso particular en que la fuerza sea función del tiempo. A pesar de todo resulta útil para obtener la velocidad del punto de una partícula cuando se conoce la fuerza en función del tiempo y no nos interesa la aceleración. Cuando varias fuerzas actúan sobre una partícula, debe considerarse el impulso de cada una de las fuerzas. Se tiene:
∑ →
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS DINAMICA
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En la primera parte considerábamos las relaciones de impulso-cantidad de movimiento para una única partícula. Ahora queremos desarrollar las relaciones impulso-cantidad de movimiento para un sistema de part ículas. En consecuencia, consideraremos un sistema de n partículas. Comenzaremos con la ley de Newton desarrollada anteriormente, pero esta vez para un sistema de partículas:
=
Como sabemos que las fuerzas internas se anulan entre sí, F debe ser la fuerza externa total que actúa sobre el sistema de n partículas. Multiplicando por dt, e integrando entre t1 y t2, escribimos que:
= =
De esta forma, vemos que el impulso de la fuerza externa total que actúa sobre el sistema de partículas durante un intervalo de tiempo es igual a la suma de los incrementos de las cantidades de movimiento de las partículas durante ese intervalo de tiempo.
COLISIONES ELÁSTICAS E INELÁSTICAS EN UNA DIMENSIÓN Supóngase que dos masas m1 y m2 colisionan frontalmente, como se observa en la ver figura , durante la colisión aparece, por la tercera ley de Newton, la fuerza de interacción entre ellas, las cuales son iguales y opuestas, estas fuerzas como ya se menciono antes no cambia la cantidad de movimiento de las masas
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Existen tres tipos de colisiones:
I)
Colisión elástica. En este tipo de colisión la energía de las partículas inmediatamente antes y después de la colisión permanece constante
II)
Colisión inelástica. En este tipo de colisión la energía de las partículas no se mantiene constante, parte de ella se pierde en forma de calor y en la deformación que sufren los cuerpos durante el choque. Figura 19
Durante una colisión inelástica, parte de la energía cinética de las masas se convierte en calor
III)
Colisión completamente inelástica. Es considerada también una colisión inelástica pero en este caso los cuerpos permanecen unidos después del choque.
COLISION ELASTICA EN UNA DIMENSIÓN Supongamos dos partículas moviéndose en la misma dirección ta l como se indica en la figura 7.15
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En la figura se indican las velocidades de las masas inmediatamente antes y después de la colisión elástica Si conocemos sus velocidades antes de la colisión ¿cuáles serán sus velocidades inmediatamente después del choque? Por ser una colisión elástica su energía se debe conservar, por lo tanto: 1 2
m1 (v 1)2 +
1 2
m2(v 2)2 =
1 2
m1 (v 1)2 +
1 2
m2 (v 2)2
de aquí se obtiene m1((v 1)2
(v 1)2 )
= m1((v 2)2 (v 1)2 )
por conservación de la cantidad de movimiento
p1 + p2 = p1 + p2 como están en la misma dirección podemos eliminar el vector unitario
i
ˆ
m1v 1 + m 2v 2 = m1v 1 + m 2v 2 de aquí:
m1(v 1 v 1) = m2 (v 2 v 2)
dividiendo las ecuaciones
(v 1
v 2) = (v 2
(v 1
v 2) =
v 1 )
(v 1
o:
v 2)
la cual nos indica que la velocidad relativa de acercamiento es igual y opuesta a la velocidad relativa de alejamiento Resolviendo las ecuaciones obtenemos las velocidades después de la colisión:
' v 1
' v 2
(m m ) 2m 1 2 v 2 v (m m ) 1 (m m ) 2 1 2 1 2
2m 1
(m v
(m m ) 1 1 2
2
m
1
) v
(m m ) 2 1 2
COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN: Retomemos nuevamente la ecuación (v 1 v 2) =
(v 1
v 2)
y analicemos la siguiente situación: Supongamos dos partículas moviéndose una al encuentro de la otra con velocidades de 10 m/s y 30 m/s tal como se indica en la figura
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Si fijamos un observador en la partícula 1 ¿Qué verá este observador antes y después de la colisión? El observador en todo momento asumirá que la partícula 1 no se mueve respecto de él y que la partícula 2 se le aproxima con una rapidez de 40 m/s (ver figura)
Velocidad de las partículas vistas por un observador fijo en la partícula 1
además como la colisión es elástica, el observador con seguridad dirá que la energía cinética de la partícula 2 será la misma antes y después de la colisión es decir su velocidad no cambia, (ver figura) El entonces puede afirmar que la velocidad de acercamiento y la velocidad de alejamiento de la partícula 2 son iguales y opuesta, es decir:
vacercamiento = valejamiento
Velocidad de alejamiento de la partícula 2 vista por el 0bservador fijo en 1
Ahora ¿qué vera el observador si la colisión es inelástica?
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La rapidez de alejamiento de la partícula 2 medida por el observador es menor que la de acercamiento
En este caso el observador vera que debido a la colisión se ha liberado calor y se ha producido una deformación en ambas partículas, tal como se indica en la figura 25 En este caso el observador puede afirmar que la rapidez de acercamiento es mayor que la rapidez de alejamiento, es decir:
vacercamiento valejamiento Por ultimo ¿qué vera el observador si la colisión fuera completamente inelástica?
En este caso el observador vera que la partícula 2 queda unida a la partícula 1 y ha perdido toda su energía como consecuencia de la colisión completamente inelástica, es decir: valejamiento = 0
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En una colisión completamente inelástica, para el observador ligado a la partícula 1, la partícula 2 no se mueve Tengamos en cuenta que la velocidad que mide el observador ligado a la partícula 1 es la velocidad relativa de la partícula dos respecto de la partícula 1, entonces para un observador en tierra las ecuaciones correspondientes serán:
Para una colisión elástica:
( v 1 v 2) = '
v
1
v
2
para una colisión inelástica:
v
2
'
(v 1
v 2)
1
v
1
( v 1 v 2) <
(v 1
1 ' v2 '
v
ó
v
2
v 2)
1
v
1
y para una colisión completamente inelástica: ( v 1 v 2) = 0 ó equivalentemente: v1 ' v 2 '
v
2
0
v
1
Se define el coeficiente de restitución como: 1'
v2 ' v v1 2
v
=
el cual nos permite analizar que tipo de colisión se ha efectuado 1
si
ε
si
0 ε 1 la colisión es inelástica y
si
ε
0
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la colisión es elástica
la colisión es completamente inelástica
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EJERCICIOS 1. Sobre la caja de 50 lb mostrada la figura actúa una fuerza de magnitud variable P= (20t) lb, donde t esta en segundos. Determine la velocidad de la 2 s después que P a sido aplicada. La velocidad inicial es 3 pies/s hacia abajo por el plano, y el coeficiente de fricción cinética entre la caja y plano es =0.3.
en
caja
=
µ
el
S olución:
Diagrama de cuerpo libre: Como la magnitud de la fuerza P=20t varia con el tiempo, el impulso que genera debe ser determinado integrando sobre el intervalo de tiempo
2 s.
Principio de impulso y cantidad de movimiento:
+ ∑ 50 3 + 20 0.3230° 50 32.2 32.2 4.66+400.6 +501.55 →① DINAMICA
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La ecuación de equilibrio puede ser aplicada en la dirección y.
↖ 0 : + ∑
Remplazando
5030°0 43.3 ① 4.66+400.6 +501.55 4.66+400.643.3+501.55 44.3 / en
↙
Rpta.
3. Los bloques A y B mostrados en la figura tienen una masa de 3 y 5 respectivamente. Si el sistema es liberado del reposo, determine la velocidad del bloque B en despreciar la masa de las poleas y las cuerdas
kg,
6s.
S olución:
Diagrama de cuerpo libre Como el peso de cada bloque es constante las tensiones en la cuerda también serán constantes.
Principio del impulso y cantidad de movimiento. Bloque A:
+∑ ∫ 3026+39.81N63 +∑ ∫
(+↓)
→①
Bloque B: (+↓)
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506+59.81N65 →② ① 39.816 3 2 12+ 2 ② 39.81126 3 6 +59.81N6 52 17.91 / 35.82/ Des pejando T de la ecuaci ón
R emplazando en
T
4.- Se dispara un proyectil contra un bloque. El proyectil queda incrustado en el bloque. Hallar la velocidad inicial del proyectil para que juntos suban hasta 20 cm P0=Pf mp.v0 + mb.vb = ms.vs m.v0 + 9m.0 = (m + 9m).v s m.v0 = 10m.vs v0 = 10.vs EMB = EMC ECB + EpgB + EpeB = ECC + EpgC + EpeC
Reemplazando: DINAMICA
12 . +. . ℎ 12 . +. . ℎ 12 10 +10100 12 100 +100.2 5 1000.2 2 v 0 = 10.(2)
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v0 = 20 m/s
5. La fuerza P, que varia linealmente con el tiempo tal como se representa, se aplica al bloque de 10 Kg inicialmente en reposo. Si los coeficientes de rozamiento estático y dinámico valen 0.6 y 0.4 respectivamente, hallar la velocidad del bloque para t=4s.
S olución: N
Del grafico: P= 25t. Haciendo el diagrama de cuerpo libre: F=m.g.
109.810.6 58.86 109.810.439.24 . : 2558.86 ⇒ 2.35 ∶ DINAMICA
P
mg
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∫.2539.24 10 100 25 10 2 39.24 2.435 25 4 25 2. 3 5 10 2 39.244 2 39.242.35 10 66.22 _2 6.62 / → . 3. En el instante t=2.2s la cantidad de movimiento total de un sistema de 5 partículas esta dado por . En el instante t=2.4s, la cantidad de movimiento a cambiado kg.m/s. Calcular el modulo F del valor medio temporal de la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema durante el intervalo.
_2.23.42. 6 +4. 6 . / . 3.72.2+4.9
S olución:
. 3.42.6+4.6 ./ . 3.72.2+4.9 . . ∫ . → . − . 10.3+0.0.42+0.3 0. 3 0. 4 0. 3 || √ 0.2 +0.2 +0.2 .
Δt=0.2s
→ F(Δt)=
-
Reemplazando:
F
2.92 N
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EJERCICIOS A RESOLVER: 1. El cohete de la figura viaja en línea recta hacia arriba cuando repentinamente empieza a girar en sentido anti horario a 0.25 rev./s, y es destruido 2s después. Su masa es m=90 Mg, su empuje es T=1.0 MN y su velocidad hacia arriba cuando empieza a girar es de 10 m/s. Si se ignoran las Fuerzas Aerodinámicas, ¿Cuál era su velocidad al ser destruido?
S olución: La velocidad angular del cuete es /2. Con T=0, Como el tiempo en que empieza a girar, el ángulo entre su eje y la vertical es /2) T. La fuerza total sobre el cohete
(
∑ + ∑ 2 + 2 [ 2 2 + 2 2 ] 20 De modo que el impulso entre t=0 y t=2s es:
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4 2
Del principio de impulso y cantidad de movimiento,
⅀ 4 1×10290×109.81 90×10 10 14.159.62 /
2. El bloque A pesa 10 lb y el bloque B 3 lb. Si B se está moviendo hacia abajo con velocidad (V B) I=3 pies/s en t =0, determine la velocidad de a cuando t=15, suponga que el plano horizontal es lizo o desprecie la masa de poleas y cuerdas.
S olución: DINAMICA
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+2 2 ←+ + 10 10 2 3 2 1 32.+↓2 32. 2 + 32.32 3 + 31 271 32.32 32.32 3+31271 32.32 2 32. 2 10 60 64. 4 +1. 5 105. 6 1. 4 0 10.5/
3. Sobre una partícula inicialmente en reposo actúa una Fuerza cuya variación en el tiempo se muestra gráficamente en la figura. Si la partícula tiene una masa de 15 kg y está obligada a moverse según una recta de la Fuerza, ¿Cuál será su velocidad después de 15s?
A partir de la definic ión del impuls o, el DINAMICA
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área bajo la curva fuerza-tiempo será, en un ejemplo unidimensional, igual al modulo del impulso. De esta forma, calculamos simplemente esta área entre los instantes t=0 y t=15 s; Impulso =
1050 + 575 625 Area1
area 2
De esta forma, la velocidad final viene dada como:
625 15()0
Por tanto:
= 41.7 m/s.
APLICACIONES DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO I.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN LA MECANICA DE FLUIDOS
Ecuación de la Fuerza: Siempre que la magnitud o dirección de la velocidad de un cuerpo cambie, se requiere una fuerza para llevar a cabo dicho cambio. La segunda ley de Newton del movimiento se utiliza con frecuencia para expresar este concepto en forma matemática; la manera más común es:
En la ecuación es apropiada para la utilización con cuerpos sólidos. Puesto que la DINAMICA
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masa permanece constante y la aceleración del cuerpo completo se puede determinar. El problema de flujo de fluidos, un flujo continuo provoca que se presente una aceleración, por lo que es apropiada una forma diferente de la ecuación de Newton.
El término
puede interpretarse como la velocidad de flujo de masa, esto es,
la cantidad de masa fluyendo en un determinado lapso. Donde, M se relaciona con la velocidad del flujo de masa Q por la relación:
Donde p es la densidad del fluido. Por consiguiente se puede decir que:
Ecuación de la Fuerza
Ecuación de Impulso Movimiento:
La ecuación de fuerza se relaciona con otro principio de la dinámica de fluidos, la ecuación impulso – momento. El impulso se define como la fuerza que actúa sobre un cuerpo en un periodo y se indica por:
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La cual depende del cambio total en tiempo es apropiada cuando se este tratando con condiciones del flujo estacionario. Cuando cambien las condiciones, se utiliza:
Donde es la cantidad de cambio en tiempo expresada en forma diferencial. El momento se define como el producto de la masa de un cuerpo y su velocidad. El cambio de momento es :
En un sentido instantaneo:
En donde se puede agrupar con la ecuación de la energía:
Con eso se demuestra la ecuación impulso – momento para condiciones de flujo estacionario.
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PROBLEMA:
Un chorro de agua de una pulgada de diámetro que tiene una velocidad de 20 pies/s se deflecta por medio de una paleta curvada a 90°, como se muestra en la figura. El chorro fluye libremente en la atmosfera sobre un plano horizontal. Calcule las fuerzas x e y que ejerce la paleta sobre el agua.
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PROBLEMA:
A la bola blanca A se le confiere una velocidad inicial de 5 m/s. Si choca directamente con la bola B, vB = 0 (e=0.8), determine la velocidad de B y el ángulo θ justo después de que rebota en la banda C (e’=0.6). Cada bola tiene una masa de 0.4kg. Ignore el tamaño de cada bola.
SOLUCION:
Conservación de Cantidad de Movimiento lineal: mA (vA)1 + mB (vB)1 = mA (vA)2 + mB (vB)2 (0.4)(5) + 0 = 0.4 (v A)2 + 0.4 (vB)2 5= (v A)2 + (vB)2
Coeficiente de Restitución:
Reemplazamos (1) en (2):
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(vB)2 = 5 - (v A)2
(1)
……..
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5 - (vA)2 - (vA)2 = 4 = 0.50 m/s
(vA)2
(vB)2 = 4.50 m/s
Conservación de Cantidad de Movimiento lineal en el eje y: Cuando B golpea la banda en C.
mB(vBy)2 = mB (vBy)3 0.4(4.50 sen 30°) = 0.4 (v B )3
sen θ
(vB )3 sen θ = 2.25 …….. (3)
Coeficiente de Restitución en x:
De (3): (vB)3 sen θ = 2.25
De (4): (vB)3 cos θ = 0.6 x 4.50 x cos30°
(vB)3 cos θ = 2.34
Dividimos ambas ecuaciones
Así:
tan θ = (2.25/2.34) θ = 43.9 °
Por lo tanto : (vB)3 = 3.24 m/s
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APLICACIONES DEL IMPACTO PROBLEMA:
Colisión en un cruce: Un automóvil de 1500 kg, que viaja al este con una rapidez de 25,0 m/s, choca en un cruce con una camioneta de 2500 kg que viaja al norte con una rapidez de 20,0 m/s, como se muestra en la figura. Encuentre la dirección y magnitud de la velocidad del choque después de la colisión, y suponga que los vehículos quedan unidos después de la colisión.
SOLUCION: La figura debe ayudarlo a formar ideas de la situación antes y después de la colisión. Elija el este a lo largo de la dirección x positiva y el norte a lo largo de la dirección y positiva.
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Un automóvil que viaja hacia el este choca con una camioneta que viaja hacia el norte. Antes de la colisión, el único objeto que tiene cantidad de movimiento en la dirección x es el automóvil. Por lo tanto, la magnitud de la cantidad de movimiento inicial total del sistema (automóvil mas camioneta) en la dirección x solo es la del automóvil. De igual modo, la cantidad de movimiento inicial total del sistema en la dirección y es la de la camioneta. Después de la colisión, suponga que los despojos se mueven a un ángulo θ y rapidez v f . Evalué la cantidad de movimiento inicial del sistema en la dirección x :
Escriba una expresión para la cantidad de movimiento final en la dirección x :
Iguale las cantidades de movimiento inicial y final en la dirección x :
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Evalué la cantidad de movimiento inicial del sistema en la dirección y :
Escriba una expresión para la cantidad de movimiento final en la dirección y :
Iguale las cantidades de movimiento inicial y final en la dirección y :
Divida la ecuación 2) entre la ecuación 1) y resuelva para θ:
Use la ecuación 2) para encontrar el valor de v f :
Note que el ángulo θ esta cualitativamente en concordancia con la figura dada; además que la rapidez final de la combinación es menor que las magnitudes de velocidad iniciales de los dos automóviles. Este resultado es consistente con la energía cinética del sistema a reducir en una colisión inelástica. Puede ser útil si dibuja los vectores cantidad de movimiento de cada vehículo antes de la colisión y de los dos vehículos juntos después de la colisión.
CONCLUSIONES
En conclusión “los teoremas de la cantidad de movimiento y el impulso dan integrales de las ecuaciones del movimiento respecto al tiempo, son
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especialmente útiles para resolver problemas en los que hay que relacionar las velocidades de una partícula y un sistema de partículas en dos instantes diferentes, pudiéndose expresar las fuerzas en función del tiempo. La cantidad de movimiento de un sistema de puntos materiales, es el producto de su masa por la velocidad, por lo tanto, el teorema de la cantidad de movimiento expresado por la ecuación conocida puede aplicarse tanto a un sistema de puntos materiales independientes en interacción”.
Podemos decir que el impulso y la cantidad de movimiento pertenecen al mismo principio, el cual es la segunda ley de newton, por lo cual no presenta una gran diferencia.
Nos ayuda, este tema, para nuestros cursos en adelante que tendremos a lo largo de nuestra carrera y así mejorar nuestro estudio.
Determinamos que este tema nos ayuda mucho en el campo de la ingeniería para determinar más rápido problemas que intervengan fuerzas, masa, velocidad con un intervalo de tiempo en nuestros campos de trabajo.
La ecuación de cantidad de movimiento, es muy importante en nuestra carrera, ya que con esta podemos diseñar y conocer las fuerzas que actúan sobre una estructura.
Se aprendió y analizó de forma clara la ecuación de cantidad de movimiento, y sus aplicaciones.
Se desarrolló la ecuación de cantidad de movimiento, mediante la aplicación de la ley de la conservación de cantidad de movimiento de la materia situado en el seno del fluido en movimiento. Se proporcionó información sobre la ecuación de cantidad de movimiento en los diferentes sistemas coordenados, con la finalidad de hacer más sencillo su manejo . Existen dos casos ideales en los que es posible determinar totalmente cómo se va a mover cada partícula después de un choque; choqué elástico (en donde se conserva tanto la energía cinética como el momento lineal) y choque inelástico (aquí ambas partículas permanecen unidas tras el choque, por lo tanto produce la mayor perdida de la energía posible).
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